त्रिभुज ABC के शीर्षों को देखते हुए, उन्हें ऑनलाइन खोजें। त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं

मानक कार्य "एक विमान पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति" से कुछ कार्यों को हल करने का एक उदाहरण

शीर्ष दिए गए हैं,
,
त्रिकोण एबीसी. खोजो:

त्रिभुज की सभी भुजाओं के समीकरण;

त्रिभुज को परिभाषित करने वाली रैखिक असमानताओं की प्रणाली एबीसी;

शीर्ष से खींचे गए त्रिभुज की ऊंचाई, माध्यिका और समद्विभाजक के समीकरण ए;

त्रिभुज की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु;

त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु;

ऊँचाई की लंबाई किनारे की ओर कम हो गई अब;

कोना ए;

एक चित्र बनाओ.

माना कि त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक हैं: ए (1; 4), में (5; 3), साथ(3; 6). आइए तुरंत एक चित्र बनाएं:

1. किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं के समीकरण लिखने के लिए, हम निर्देशांक के साथ दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करते हैं ( एक्स 0 , य 0 ) और ( एक्स 1 , य 1 ):

=

इस प्रकार, के स्थान पर ( एक्स 0 , य 0 ) बिंदु निर्देशांक ए, और इसके बजाय ( एक्स 1 , य 1 ) बिंदु निर्देशांक में, हमें रेखा का समीकरण प्राप्त होता है अब:

परिणामी समीकरण सीधी रेखा का समीकरण होगा अब, सामान्य रूप में लिखा गया है। इसी प्रकार, हम सीधी रेखा का समीकरण पाते हैं एसी:

और सीधी रेखा का समीकरण भी सूरज:

2. ध्यान दें कि त्रिभुज के बिंदुओं का समुच्चय एबीसीतीन अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रत्येक अर्ध-तल को एक रैखिक असमानता का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। यदि हम दोनों पक्षों का समीकरण लें ∆ एबीसी, उदाहरण के लिए अब, फिर असमानताएँ

और

साथ में पड़े बिंदुओं को परिभाषित करें अलग-अलग पक्षसीधी रेखा से अब. हमें उस आधे तल को चुनना होगा जहां बिंदु C स्थित है। आइए इसके निर्देशांक को दोनों असमानताओं में प्रतिस्थापित करें:

दूसरी असमानता सही होगी, जिसका अर्थ है कि आवश्यक बिंदु असमानता से निर्धारित होते हैं

.

हम सीधी रेखा BC, उसके समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं
. हम परीक्षण बिंदु के रूप में बिंदु A (1, 1) का उपयोग करते हैं:

इसका मतलब है कि आवश्यक असमानता का रूप है:

.

यदि हम सीधी रेखा AC (परीक्षण बिंदु B) की जाँच करते हैं, तो हमें मिलता है:

इसका मतलब है कि आवश्यक असमानता का स्वरूप होगा

अंततः हमें असमानताओं की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

चिन्ह "≤", "≥" का अर्थ है कि त्रिभुज के किनारों पर स्थित बिंदु भी त्रिभुज बनाने वाले बिंदुओं के समूह में शामिल हैं एबीसी.

3. a) शीर्ष से गिराई गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात करने के लिए एतरफ के लिए सूरज, पक्ष के समीकरण पर विचार करें सूरज:
. निर्देशांक के साथ वेक्टर
किनारे पर लंबवत सूरजऔर इसलिए ऊंचाई के समानांतर। आइए एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखें एवेक्टर के समानांतर
:

यह t से हटाई गई ऊँचाई का समीकरण है। एतरफ के लिए सूरज.

ख) भुजा के मध्य के निर्देशांक ज्ञात कीजिए सूरजसूत्रों के अनुसार:

यहाँ
- ये t के निर्देशांक हैं। में, ए
– निर्देशांक टी. साथ. आइए प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

इस बिंदु और बिंदु से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा एआवश्यक माध्यिका है:

ग) हम इस तथ्य के आधार पर समद्विभाजक के समीकरण की तलाश करेंगे कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में एक शीर्ष से त्रिभुज के आधार तक उतरने वाली ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक बराबर होते हैं। आइए दो वेक्टर खोजें
और
और उनकी लंबाई:

फिर वेक्टर
वेक्टर के समान दिशा है
, और इसकी लंबाई
इसी प्रकार, यूनिट वेक्टर
वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाता है
सदिशों का योग

एक वेक्टर है जो कोण के समद्विभाजक के साथ दिशा में मेल खाता है ए. इस प्रकार, वांछित समद्विभाजक का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

4) हमने पहले ही एक ऊंचाई के लिए समीकरण बना लिया है। आइए किसी अन्य ऊंचाई के लिए एक समीकरण बनाएं, उदाहरण के लिए, शीर्ष से में. ओर एसीसमीकरण द्वारा दिया गया
तो वेक्टर
सीधा एसी, और इस प्रकार वांछित ऊंचाई के समानांतर। फिर शीर्ष से गुजरने वाली रेखा का समीकरण मेंवेक्टर की दिशा में
(अर्थात लंबवत एसी), का रूप है:

यह ज्ञात है कि त्रिभुज की ऊँचाई एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। विशेष रूप से, यह बिंदु पाई गई ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन है, अर्थात। समीकरणों की प्रणाली को हल करना:

- इस बिंदु के निर्देशांक.

5. मध्य अबनिर्देशांक हैं
. आइए मध्यिका का समीकरण पक्ष में लिखें एबी.यह रेखा निर्देशांक (3, 2) और (3, 6) वाले बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसका अर्थ है कि इसका समीकरण इस प्रकार है:

ध्यान दें कि एक सीधी रेखा के समीकरण में भिन्न के हर में शून्य का मतलब है कि यह सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर चलती है।

माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को हल करना पर्याप्त है:

त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं
.

6. ऊंचाई की लंबाई किनारे की ओर कम हो गई एबी,बिंदु से दूरी के बराबर साथएक सीधी रेखा की ओर अबसमीकरण के साथ
और सूत्र द्वारा पाया जाता है:

7. कोण की कोज्या एसदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है और , कौन अनुपात के बराबरइन सदिशों का अदिश गुणनफल उनकी लंबाई के गुणनफल तक:

.

समस्या 1. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). ज्ञात करें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) भुजाओं AB और BC के समीकरण और उनके ढलानों; 3) दो अंकों की सटीकता के साथ रेडियन में कोण बी; 4) ऊंचाई सीडी और उसकी लंबाई का समीकरण; 5) माध्यिका AE का समीकरण और ऊँचाई CD के साथ इस माध्यिका के प्रतिच्छेदन के बिंदु K के निर्देशांक; 6) भुजा AB के समानांतर बिंदु K से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण; 7) बिंदु एम के निर्देशांक, सीधी रेखा सीडी के सापेक्ष बिंदु ए के सममित रूप से स्थित हैं।

समाधान:

1. बिंदु A(x 1 ,y 1) और B(x 2 ,y 2) के बीच की दूरी d सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

(1) को लागू करने पर, हम भुजा AB की लंबाई ज्ञात करते हैं:

2. बिंदु A(x 1 ,y 1) और B(x 2 ,y 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार है

(2)

बिंदु A और B के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें भुजा AB का समीकरण प्राप्त होता है:

Y के लिए अंतिम समीकरण को हल करने के बाद, हम कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा समीकरण के रूप में भुजा AB का समीकरण पाते हैं:

कहाँ

बिंदु B और C के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सीधी रेखा BC का समीकरण प्राप्त होता है:

या

3. यह ज्ञात है कि दो सीधी रेखाओं, जिनके कोणीय गुणांक क्रमशः बराबर हैं, के बीच के कोण की स्पर्शरेखा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

(3)

वांछित कोण B सीधी रेखाओं AB और BC से बनता है, जिसके कोणीय गुणांक पाए जाते हैं: (3) लगाने पर, हम प्राप्त करते हैं

या ख़ुशी है.

4. गुजरने वाली रेखा का समीकरण इस बिंदुएक निश्चित दिशा में, रूप होता है

(4)

ऊंचाई CD भुजा AB पर लंबवत है। ऊंचाई सीडी का ढलान ज्ञात करने के लिए, हम रेखाओं की लंबवतता की स्थिति का उपयोग करते हैं। के बाद से (4) में बिंदु सी के निर्देशांक और ऊंचाई के पाए गए कोणीय गुणांक को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

ऊँचाई CD की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम पहले बिंदु D के निर्देशांक निर्धारित करते हैं - सीधी रेखाओं AB और CD का प्रतिच्छेदन बिंदु। सिस्टम को एक साथ हल करना:

हम देखतें है वे। डी(8;0).

सूत्र (1) का उपयोग करके हम ऊँचाई CD की लंबाई ज्ञात करते हैं:

5. माध्यिका AE का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम पहले एक खंड को दो समान भागों में विभाजित करने के सूत्रों का उपयोग करके बिंदु E के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, जो कि भुजा BC का मध्य है:

(5)

इस तरह,

बिंदु A और E के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम माध्यिका के लिए समीकरण पाते हैं:

ऊंचाई सीडी और माध्यिका एई के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को एक साथ हल करते हैं

हम देखतें है।

6. चूँकि वांछित सीधी रेखा भुजा AB के समानांतर है, इसका कोणीय गुणांक सीधी रेखा AB के कोणीय गुणांक के बराबर होगा। (4) में पाए गए बिंदु K के निर्देशांक और कोणीय गुणांक को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. चूँकि सीधी रेखा AB सीधी रेखा CD पर लंबवत है, वांछित बिंदु M, सीधी रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित रूप से स्थित है, सीधी रेखा AB पर स्थित है। इसके अलावा, बिंदु D, खंड AM का मध्यबिंदु है। सूत्र (5) का उपयोग करके, हम वांछित बिंदु M के निर्देशांक पाते हैं:

चित्र में xOy निर्देशांक प्रणाली में त्रिभुज ABC, ऊंचाई CD, माध्यिका AE, सीधी रेखा KF और बिंदु M का निर्माण किया गया है। 1.

कार्य 2. उन बिंदुओं के स्थान के लिए एक समीकरण बनाएं जिनकी किसी दिए गए बिंदु A(4; 0) और दी गई रेखा x=1 से दूरी 2 के बराबर है।

समाधान:

xOy समन्वय प्रणाली में, हम बिंदु A(4;0) और सीधी रेखा x = 1 का निर्माण करते हैं। मान लें कि M(x;y) बिंदुओं की वांछित ज्यामितीय स्थिति का एक मनमाना बिंदु है। आइए दी गई रेखा x = 1 पर लंबवत एमबी को कम करें और बिंदु बी के निर्देशांक निर्धारित करें। चूंकि बिंदु बी दी गई रेखा पर स्थित है, इसका भुज 1 के बराबर है। बिंदु बी की कोटि बिंदु एम के कोटि के बराबर है। .इसलिए, B(1;y) (चित्र 2)।

समस्या की स्थितियों के अनुसार |MA|: |MV| = 2. दूरियाँ |एमए| और |एमबी| हम समस्या 1 के सूत्र (1) से पाते हैं:

बाएँ और दाएँ पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

या

परिणामी समीकरण एक अतिपरवलय है जिसमें वास्तविक अर्ध-अक्ष a = 2 है, और काल्पनिक अर्ध-अक्ष है

आइए हाइपरबोला की नाभियों को परिभाषित करें। अतिपरवलय के लिए, समानता संतुष्ट होती है, और - अतिशयोक्तिपूर्ण तरकीबें। जैसा कि आप देख सकते हैं, दिया गया बिंदु A(4;0) हाइपरबोला का सही फोकस है।

आइए हम परिणामी हाइपरबोला की विलक्षणता निर्धारित करें:

हाइपरबोला अनंतस्पर्शी समीकरणों का रूप और होता है। इसलिए, या और हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख हैं। हाइपरबोला का निर्माण करने से पहले, हम इसके अनंतस्पर्शी का निर्माण करते हैं।

समस्या 3. बिंदु A(4; 3) और सीधी रेखा y = 1 से समदूरस्थ बिंदुओं के बिंदुपथ के लिए एक समीकरण बनाएं। परिणामी समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम करें।

समाधान:मान लीजिए M(x; y) बिंदुओं के वांछित ज्यामितीय स्थान के बिंदुओं में से एक है। आइए हम बिंदु M से इस सीधी रेखा y = 1 पर लंबवत MB को छोड़ें (चित्र 3)। आइए हम बिंदु B के निर्देशांक निर्धारित करें। स्पष्ट रूप से, बिंदु B का भुज बिंदु M के भुज के बराबर है, और बिंदु B का कोटि 1 के बराबर है, अर्थात B(x; 1)। समस्या की स्थितियों के अनुसार |MA|=|MV| नतीजतन, बिंदुओं के वांछित ज्यामितीय स्थान से संबंधित किसी भी बिंदु M(x;y) के लिए, निम्नलिखित समानता सत्य है:

परिणामी समीकरण बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय को परिभाषित करता है। परवलय समीकरण को उसके सरलतम रूप में लाने के लिए, आइए सेट करें और y + 2 = Y, फिर परवलय समीकरण रूप लेता है:

1. एक त्रिभुज के शीर्ष दिए गए हैं एबीसी.ए(–9; –2), में(3; 7), साथ(1; –7).

1) पार्श्व की लंबाई अब;

2) पक्षों के समीकरण अबऔर एसीऔर उनके कोणीय गुणांक;

3) कोण एरेडियन में;

4) ऊंचाई समीकरण साथडीऔर इसकी लंबाई;

5) एक वृत्त का समीकरण जिसके लिए ऊँचाई है साथडीएक व्यास है;

6) एक त्रिभुज को परिभाषित करने वाली रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली एबीसी.

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं.

1. आइए भुजा AB की लंबाई ज्ञात करें।दो बिंदुओं के बीच की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

2. आइए समीकरण खोजेंदलोंअब औरएसी और उनके कोणीय गुणांक.

आइए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें।

यह सामान्य समीकरणसीधा। आइए इसे y के संबंध में हल करें, हम पाते हैं

, सीधी रेखा का ढलान बराबर होता है

इसी प्रकार साइड एसी के लिए हमारे पास है।

सीधी रेखा का ढलान बराबर होता है

3. हम ढूंढ लेंगेकोनाए रेडियन में. यह दो सदिशों के बीच का कोण है
और
. आइए सदिशों के निर्देशांक लिखें। सदिशों के बीच के कोण की कोज्या बराबर होती है

4. हम ढूंढ लेंगेऊंचाई का समीकरणसाथ डी और इसकी लंबाई.
, इसलिए, उनके कोणीय गुणांक संबंध से संबंधित हैं
.

आइए कोणीय गुणांक के माध्यम से ऊंचाई समीकरण लिखें

डॉट
रेखा CD से संबंधित है, इसलिए इसके निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, इसलिए हमारे पास है

अंत में
या

हम ऊंचाई की लंबाई की गणना बिंदु C से सीधी रेखा AB तक की दूरी के रूप में करते हैं

5. आइए एक वृत्त का समीकरण ज्ञात करें, किस ऊंचाई के लिएसाथ डी एक व्यास है.

हम बिंदु D के निर्देशांक को दो सीधी रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में पाते हैं, जिनके समीकरण ज्ञात हैं।

आइए बिंदु O - वृत्त के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करें। यह सीडी अनुभाग के मध्य में है.

वृत्त की त्रिज्या है

आइए एक वृत्त का समीकरण लिखें।

6) आइए एक त्रिभुज को परिभाषित करेंएबीसी रैखिक असमानताओं की प्रणाली.

आइए रेखा CB का समीकरण ज्ञात करें।

रैखिक असमानताओं की प्रणाली इस तरह दिखेगी।

2. तय करना यह प्रणालीक्रैमर के सूत्रों का उपयोग कर समीकरण। परिणामी समाधान की जाँच करें.

समाधान।आइए हम इस प्रणाली के निर्धारक की गणना करें:

.

आइए निर्धारक खोजें
और सिस्टम को हल करें:

इंतिहान:

उत्तर:

3. समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में लिखें और इसका उपयोग करके हल करें

उलटा मैट्रिक्स. परिणामी समाधान की जाँच करें

समाधान।

आइए मैट्रिक्स ए का निर्धारक ज्ञात करें

मैट्रिक्स गैर-एकवचन है और इसका व्युत्क्रम है। हम सब कुछ ढूंढ लेंगे बीजगणितीय जोड़और एक यूनियन मैट्रिक्स बनाएं।

उलटा मैट्रिक्सइसका रूप है:

चलिए गुणा-भाग करते हैं
और समाधान का सदिश ज्ञात कीजिए।

इंतिहान

.
उत्तर:

समाधान।

एन = (2, 1). सामान्य वेक्टर के लंबवत एक समतल रेखा खींचें और इसे सामान्य की दिशा में ले जाएं,

न्यूनतम उद्देश्य समारोहबिंदु A पर पहुंचता है, और बिंदु B पर अधिकतम होता है। हम उन रेखाओं के समीकरणों को संयुक्त रूप से हल करके इन बिंदुओं के निर्देशांक पाते हैं जिनके चौराहे पर वे स्थित हैं।

5. एक ट्रैवल कंपनी को इससे अधिक की आवश्यकता नहीं है एतीन टन की बसें और नहीं वी

पाँच टन की बसें। पहले ब्रांड की बसों का विक्रय मूल्य दूसरे ब्रांड का 20,000 USD है

40000 अमरीकी डालर एक ट्रैवल कंपनी इससे अधिक आवंटन नहीं कर सकती साथसी.यू.

प्रत्येक ब्रांड की कुल कितनी बसें अलग-अलग खरीदी जानी चाहिए

(कुल) भार क्षमता अधिकतम थी। समस्या को ग्राफ़िक रूप से हल करें.

ए= 20 वी= 18 साथ= 1000000

समाधान. आइए रचना करें गणित का मॉडलकार्य . आइए हम इसे निरूपित करें
- प्रत्येक टन भार वाली बसों की संख्या खरीदी जाएगी। खरीद का उद्देश्य लक्ष्य फ़ंक्शन द्वारा वर्णित खरीदी गई मशीनों की अधिकतम वहन क्षमता प्राप्त करना है

कार्य की सीमाएँ खरीदी गई बसों की संख्या और उनकी लागत से निर्धारित होती हैं।

आइए समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें। . हम समस्या के संभावित समाधानों के क्षेत्र और सामान्य से स्तर रेखाओं का निर्माण करते हैं एन = (3, 5). सामान्य वेक्टर के लंबवत एक समतल रेखा खींचें और इसे सामान्य की दिशा में ले जाएं।

लक्ष्य फलन बिंदु पर अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है
, लक्ष्य फ़ंक्शन मान लेता है .

समाधान. 1. फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है।

2, फलन न तो सम है और न ही विषम।

3. जब x=0, y=20

4. हम एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं।

आइए अवकलज के शून्य ज्ञात करें

किसी फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु.

आइए ऑक्स अक्ष पर स्थिर बिंदुओं को आलेखित करें और अक्ष के प्रत्येक अनुभाग पर व्युत्पन्न के संकेतों की जांच करें।

-अधिकतम बिंदु
;
-न्यूनतम बिंदु

5. हम उत्तलता और अवतलता के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की जांच करते हैं। आइए दूसरा व्युत्पन्न लें

फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु।

पर
- फ़ंक्शन उत्तल है; पर
- फ़ंक्शन अवतल है.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ जैसा दिखता है

6. सबसे बड़ा और खोजें सबसे छोटा मूल्यअंतराल पर कार्य [-1; 4]

आइए खंड के अंत में फ़ंक्शन के मान की गणना करें
न्यूनतम बिंदु पर, फ़ंक्शन मान लेता है, इसलिए, खंड पर सबसे छोटा मान [-1; 4] फ़ंक्शन न्यूनतम बिंदु पर और अधिकतम अंतराल की बाईं सीमा पर होता है।

7. खोजो अनिश्चितकालीन अभिन्नऔर एकीकरण परिणामों की जाँच करें

भेदभाव

समाधान.

इंतिहान।

त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार, यहां कोसाइन के गुणनफल को योग से बदल दिया गया है।

1. भुजाओं AB और BC का समीकरण और उनके कोणीय गुणांक।
असाइनमेंट उन बिंदुओं के निर्देशांक देता है जिनके माध्यम से ये रेखाएं गुजरती हैं, इसलिए हम दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण का उपयोग करेंगे $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ स्थानापन्न करें और समीकरण प्राप्त करें
रेखा AB का समीकरण $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ सीधी रेखा AB का ढलान \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\) के बराबर है
रेखा BC का समीकरण $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ रेखा BC का ढलान \ के बराबर है (k_( BC) = -7\)

2. दो अंकों की सटीकता के साथ रेडियन में कोण बी
कोण B, रेखाओं AB और BC के बीच का कोण है, जिसकी गणना सूत्र $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$कोणीय गुणांक के मानों को प्रतिस्थापित करके की जाती है इन पंक्तियों से $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| प्राप्त करें = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \लगभग 0.79$$
3. भुजा AB की लंबाई
भुजा AB की लंबाई की गणना बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में की जाती है और यह \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) के बराबर है = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. सीडी की ऊंचाई और उसकी लंबाई का समीकरण.
हम गुजरने वाली सीधी रेखा के सूत्र का उपयोग करके ऊंचाई समीकरण पाएंगे दिया गया बिंदु C(4;13) किसी दी गई दिशा में - सूत्र \(y-y_0=k(x-x_0)\) के अनुसार सीधी रेखा AB पर लंबवत। आइए लंबवत रेखाओं \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) के गुण का उपयोग करके ऊंचाई \(k_(CD)\) का कोणीय गुणांक ज्ञात करें, हमें $$k_(CD)= -\frac(1) मिलता है )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ हम समीकरण में एक सीधी रेखा प्रतिस्थापित करते हैं, हमें $$y मिलता है - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ हम ऊंचाई की लंबाई को इस प्रकार देखेंगे सूत्र $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ का उपयोग करके बिंदु C(4;13) से सीधी रेखा AB तक की दूरी, अंश में समीकरण है सीधी रेखा AB को, आइए इसे इस रूप में घटाएं \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , परिणामी को प्रतिस्थापित करें सूत्र में समीकरण और बिंदु के निर्देशांक $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$

5. माध्यिका AE का समीकरण और बिंदु K के निर्देशांक, ऊँचाई CD के साथ इस माध्यिका का प्रतिच्छेदन।
हम माध्यिका के समीकरण को दो दिए गए बिंदुओं A(-6;8) और E से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में देखेंगे, जहां बिंदु E, बिंदु B और C के बीच का मध्यबिंदु है और इसके निर्देशांक इसके अनुसार पाए जाते हैं सूत्र \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) बिंदुओं के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), तो माध्यिका AE का समीकरण इस प्रकार होगा $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$आइए इसके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें ऊँचाई और माध्यिका, अर्थात् आइए उन्हें खोजें आम बातऐसा करने के लिए, हम एक सिस्टम समीकरण बनाते हैं $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac(4)(3)x+ \frac(23 )(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$$\begin(cases)22y = -4x + 152\\3y = 4x+23\end(केस)=> \begin(केस)25y =175\\3y = 4x+23\end(केस)=> $$$$\begin(केस) y =7\ \ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक \(K(-\frac(1)(2);7)\)

6. एक रेखा का समीकरण जो बिंदु K से होकर भुजा AB के समानांतर गुजरती है।
यदि सीधी रेखा समानांतर है, तो उनके कोणीय गुणांक बराबर हैं, अर्थात। \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), बिंदु \(K(-\frac(1)(2);7)\) के निर्देशांक भी ज्ञात हैं , अर्थात। । एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम किसी दिए गए दिशा \(y - y_0=k(x-x_0)\) में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण के लिए सूत्र लागू करते हैं, डेटा प्रतिस्थापित करते हैं और $ प्राप्त करते हैं $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. बिंदु M के निर्देशांक जो सीधी रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित हैं।
बिंदु M रेखा AB पर स्थित है, क्योंकि सीडी इस तरफ की ऊंचाई है। आइए CD और AB का प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें; ऐसा करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को हल करें $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(केस) =>\begin(केस)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(केस) => $$$$\begin(केस )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(केस) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ बिंदु D(-2;5) के निर्देशांक. शर्त AD=DK के अनुसार, बिंदुओं के बीच की यह दूरी पायथागॉरियन सूत्र \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) द्वारा पाई जाती है, जहां AD और DK हैं बराबर के कर्ण समकोण त्रिभुज, और \(Δx =x_2-x_1\) और \(Δy=y_2-y_1\) इन त्रिभुजों के पैर हैं, यानी। आइए पैर खोजें और बिंदु M के निर्देशांक खोजें। \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), और \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), फिर निर्देशांक बिंदु M का मान बराबर होगा \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), और \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), हमने पाया कि बिंदु के निर्देशांक \( M(2;2)\)