चार भुजाओं वाले कैलकुलेटर का उपयोग करके समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

पिछले वर्ष की एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य परीक्षा के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएँ कई स्कूली बच्चों के लिए कठिनाइयाँ पैदा करती हैं। यदि आप सभी आवश्यक सूत्रों को याद रखते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।

इस लेख में आप समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र, साथ ही समाधान वाली समस्याओं के उदाहरण देखेंगे। प्रमाणन परीक्षाओं के दौरान या ओलंपियाड में आपको केआईएम में ये समान मिल सकते हैं। इसलिए, उनके साथ सावधानी से व्यवहार करें।

ट्रैपेज़ॉइड के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

आरंभ करने के लिए, आइए इसे याद रखें चतुर्भुजवह चतुर्भुज कहलाता है जिसमें दो हों विपरीत दिशाएं, उन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर हैं, लेकिन अन्य दो नहीं हैं।

एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई (आधार से लंबवत) को भी कम किया जा सकता है। मध्य रेखा खींची गई है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर है और उनके योग के आधे के बराबर है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, न्यून और अधिक कोण बनाते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

सबसे पहले, आइए एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के मानक सूत्रों को देखें। हम नीचे समद्विबाहु और वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर विचार करेंगे।

तो, कल्पना करें कि आपके पास आधार ए और बी के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड है, जिसमें ऊंचाई एच को बड़े आधार से कम किया गया है। इस मामले में किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना नाशपाती के गोले जितना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के योग को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को ऊंचाई से गुणा करना होगा: एस = 1/2(ए + बी)*एच.

चलिए एक और मामला लेते हैं: मान लीजिए कि एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊंचाई के अलावा, एक मध्य रेखा एम है। हम लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं मध्य रेखा: एम = 1/2(ए + बी)। इसलिए, हम समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को उचित रूप से सरल बना सकते हैं निम्न प्रकार: एस = एम* एच. दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको केंद्र रेखा को ऊँचाई से गुणा करना होगा।

आइए एक अन्य विकल्प पर विचार करें: ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण डी 1 और डी 2 हैं, जो समकोण α पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के गुणनफल को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को उनके बीच के कोण के पाप से गुणा करना होगा: एस= 1/2डी 1 डी 2 *sinα.

अब एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके बारे में इसकी सभी भुजाओं की लंबाई के अलावा कुछ भी ज्ञात नहीं है: ए, बी, सी और डी। यह एक बोझिल और जटिल सूत्र है, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा: एस = 1/2(ए + बी) * √सी 2 - ((1/2(बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस स्थिति के लिए भी सत्य हैं जब आपको क्षेत्रफल सूत्र की आवश्यकता होती है आयताकार समलम्बाकार. यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसका किनारा समकोण पर आधारों से जुड़ता है।

समद्विबाहु समलम्बाकार

एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, समद्विबाहु कहलाता है। हम क्षेत्रफल सूत्र के लिए कई विकल्पों पर विचार करेंगे समद्विबाहु समलम्बाकार.

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पक्ष और बड़ा आधारएक न्यूनकोण α बनाएँ। एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, बशर्ते कि उसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: अंकित वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और इसे पाप से विभाजित करें: S = 4r 2 /sinα. एक अन्य क्षेत्र सूत्र उस विकल्प के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और किनारे के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8आर2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज लेते हैं, जिसमें विकर्ण d 1 और d 2 के अलावा ऊँचाई h भी खींची जाती है। यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2(a + b)। यह जानने के बाद, आपके लिए पहले से परिचित समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को इस रूप में बदलना आसान है: एस = एच 2.

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की कल्पना करें जो x-अक्ष पर दिए गए खंड के भीतर चिह्न नहीं बदलता है। एक वक्रीय समलम्बाकार फलन y = f(x) के ग्राफ द्वारा बनता है - शीर्ष पर, x अक्ष नीचे (खंड) पर है, और किनारों पर - बिंदु a और b और ग्राफ के बीच खींची गई सीधी रेखाएँ हैं समारोह.

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके ऐसी गैर-मानक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्: न्यूटन-लीबनिज सूत्र - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). इस सूत्र में, F चयनित खंड पर हमारे फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है। और एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र किसी दिए गए खंड पर एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि से मेल खाता है।

नमूना समस्याएँ

इन सभी सूत्रों को आपके दिमाग में समझना आसान बनाने के लिए, यहां समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही प्राप्त उत्तर की तुलना तैयार समाधान से करें।

कार्य #1:एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी।

समाधान: एक समलम्ब चतुर्भुज AMRS का निर्माण करें। शीर्ष P से होकर एक सीधी रेखा РХ खींचिए ताकि वह विकर्ण MC के समानांतर हो और सीधी रेखा AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेद करे। आपको एक त्रिभुज APХ मिलेगा।

हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिभुज APX और समांतर चतुर्भुज CMRX।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि PX = MC = 12 सेमी और CX = MR = 4 सेमी। जहाँ से हम त्रिभुज ARX की भुजा AX की गणना कर सकते हैं: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 सेमी।

हम यह भी सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज APX समकोण है (ऐसा करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 = AP 2 + PX 2 लागू करें)। और इसके क्षेत्रफल की गणना करें: एस एपीएक्स = 1/2(एपी * पीएक्स) = 1/2(9 * 12) = 54 सेमी 2।

आगे आपको यह साबित करना होगा कि त्रिकोण एएमपी और पीसीएक्स आकार में बराबर हैं। आधार एमआर और सीएक्स (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पार्टियों की समानता होगी। और इन किनारों पर आप जो ऊंचाई कम करते हैं - वे एएमआरएस ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको यह कहने की अनुमति देगा कि एस एएमपीसी = एस एपीएक्स = 54 सेमी 2।

कार्य #2:समलम्बाकार KRMS दिया गया है। इसके पार्श्व पक्षों पर बिंदु O और E हैं, जबकि OE और KS समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्बाकार ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है। आरएम = ए और केएस = बी। आपको OE ढूंढ़ना होगा.

समाधान: बिंदु M के माध्यम से RK के समानांतर एक रेखा खींचें, और OE के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को T के रूप में निर्दिष्ट करें। A, आधार KS के साथ RK के समानांतर बिंदु E के माध्यम से खींची गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। और त्रिभुज TME के ​​लिए ऊँचाई h 1 और त्रिभुज AEC के लिए ऊँचाई h 2 (आप स्वतंत्र रूप से इन त्रिभुजों की समानता साबित कर सकते हैं)।

हम मान लेंगे कि b > a. समलम्ब चतुर्भुज ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a))।

चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) है। आइए दोनों प्रविष्टियों को संयोजित करें और प्राप्त करें: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

इस प्रकार, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6।

निष्कर्ष

ज्यामिति विज्ञान सबसे आसान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से परीक्षा के प्रश्नों का सामना कर सकते हैं। तैयारी में थोड़ी सी दृढ़ता दिखाने के लिए यह काफी है। और, निःसंदेह, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि आप परीक्षा की तैयारी करते समय और सामग्री को दोहराते समय उनका उपयोग कर सकें।

इस लेख के बारे में अपने सहपाठियों और मित्रों को अवश्य बताएं। सोशल नेटवर्क. एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य परीक्षाओं के लिए और अधिक अच्छे ग्रेड होने दें!

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समलम्बाकार है विशेष प्रकारएक चतुर्भुज जिसमें दो विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं, लेकिन अन्य दो नहीं। विभिन्न वास्तविक वस्तुओं में एक समलम्बाकार आकार होता है, इसलिए आपको रोजमर्रा या स्कूल की समस्याओं को हल करने के लिए ऐसी ज्यामितीय आकृति की परिधि की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।

ट्रेपेज़ॉइड ज्यामिति

एक ट्रेपेज़ॉइड (ग्रीक "ट्रैपेज़ियन" से - तालिका) चार खंडों द्वारा सीमित एक विमान पर एक आकृति है, जिनमें से दो समानांतर हैं और दो नहीं हैं। समानांतर खंडों को ट्रेपेज़ॉइड का आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर खंडों को आकृति के किनारे कहा जाता है। भुजाएँ और उनके झुकाव के कोण ट्रेपेज़ॉइड के प्रकार को निर्धारित करते हैं, जो स्केलीन, समद्विबाहु या आयताकार हो सकता है। आधारों और भुजाओं के अलावा, समलम्ब चतुर्भुज में दो और तत्व हैं:

• ऊँचाई - आकृति के समानांतर आधारों के बीच की दूरी;
• मध्य रेखा - भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड।

यह ज्यामितीय आकृति वास्तविक जीवन में व्यापक है।

वास्तविकता में समलंब चतुर्भुज

में रोजमर्रा की जिंदगीकई वास्तविक वस्तुएँ समलम्बाकार आकार लेती हैं। आप मानव गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में आसानी से ट्रेपेज़ॉइड पा सकते हैं:

• आंतरिक डिजाइन और सजावट - सोफा, टेबलटॉप, दीवारें, कालीन, निलंबित छत;
• भूदृश्य डिज़ाइन - लॉन की सीमाएँ और कृत्रिम जलाशय, सजावटी तत्वों के रूप;
• फैशन - कपड़े, जूते और सहायक उपकरण का रूप;
• वास्तुकला - खिड़कियाँ, दीवारें, भवन की नींव;
• उत्पादन - विभिन्न उत्पाद और भाग।

ट्रेपेज़ॉइड के इतने व्यापक उपयोग के साथ, विशेषज्ञों को अक्सर एक ज्यामितीय आकृति की परिधि की गणना करनी पड़ती है।

समलम्बाकार परिधि

एक आकृति का परिमाप है संख्यात्मक विशेषता, जिसकी गणना एन-गॉन के सभी पक्षों की लंबाई के योग के रूप में की जाती है। एक चतुर्भुज एक चतुर्भुज है और सामान्य मामलाइसकी सभी भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है, इसलिए परिधि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

पी = ए + बी + सी + डी,

जहाँ a और c आकृति के आधार हैं, b और d इसकी भुजाएँ हैं।

हालाँकि हमें ट्रैपेज़ॉइड की परिधि की गणना करते समय ऊंचाई जानने की आवश्यकता नहीं है, कैलकुलेटर कोड को इस चर को दर्ज करने की आवश्यकता होती है। चूँकि ऊंचाई किसी भी तरह से गणना को प्रभावित नहीं करती है, हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करते समय आप अपनी आवश्यकताओं के अनुरूप कोई भी ऊंचाई मान दर्ज कर सकते हैं। शून्य से भी बड़ा. आइए कुछ उदाहरण देखें.

वास्तविक जीवन के उदाहरण

रूमाल

मान लीजिए कि आपके पास एक ट्रैपेज़ॉइड आकार का स्कार्फ है और आप इसे फ्रिंज के साथ ट्रिम करना चाहते हैं। आपको स्कार्फ की परिधि जानने की आवश्यकता होगी ताकि खरीदारी न करें अतिरिक्त सामग्रीया दो बार स्टोर पर नहीं जाना। मान लें कि आपके समद्विबाहु स्कार्फ में निम्नलिखित पैरामीटर हैं: ए = 120 सेमी, बी = 60 सेमी, सी = 100 सेमी, डी = 60 सेमी हम इन आंकड़ों को ऑनलाइन फॉर्म में दर्ज करते हैं और फॉर्म में उत्तर प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, स्कार्फ की परिधि 340 सेमी है, और यह इसे खत्म करने के लिए फ्रिंज ब्रैड की बिल्कुल लंबाई है।

ढलानों

उदाहरण के लिए, आप गैर-मानक के लिए ढलान बनाने का निर्णय लेते हैं धातु-प्लास्टिक की खिड़कियाँ, जिसका आकार समलम्बाकार है। ऐसी खिड़कियां व्यापक रूप से भवन डिजाइन में उपयोग की जाती हैं, जिससे कई सैश की संरचना बनती है। अधिकतर, ऐसी खिड़कियाँ एक आयताकार समलम्बाकार के रूप में बनाई जाती हैं। आइए जानें कि ऐसी खिड़की की ढलान बनाने के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता होती है। मानक खिड़कीनिम्नलिखित पैरामीटर हैं a = 140 सेमी, b = 20 सेमी, c = 180 सेमी, d = 50 सेमी हम इन डेटा का उपयोग करते हैं और परिणाम को फॉर्म में प्राप्त करते हैं

इसलिए, समलम्बाकार खिड़की की परिधि 390 सेमी है, और आपको इतनी ही राशि खरीदने की आवश्यकता होगी प्लास्टिक पैनलढलानों के निर्माण के लिए.

निष्कर्ष

ट्रैपेज़ॉइड रोजमर्रा की जिंदगी में एक लोकप्रिय आकृति है, जिसके मापदंडों का निर्धारण सबसे अप्रत्याशित स्थितियों में आवश्यक हो सकता है। कई पेशेवरों के लिए ट्रैपेज़ॉइडल परिधि की गणना करना आवश्यक है: इंजीनियरों और वास्तुकारों से लेकर डिजाइनरों और यांत्रिकी तक। ऑनलाइन कैलकुलेटर की हमारी सूची आपको किसी भी ज्यामितीय आकृतियों और निकायों के लिए गणना करने की अनुमति देगी।

आत्मविश्वास महसूस करने और ज्यामिति पाठों में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, सूत्रों को सीखना पर्याप्त नहीं है। पहले उन्हें समझने की जरूरत है. डरना, और उससे भी अधिक सूत्रों से नफरत करना, अनुत्पादक है। इस आलेख में सुलभ भाषाविश्लेषण किया जाएगा विभिन्न तरीकेएक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना। संबंधित नियमों और प्रमेयों को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम इसके गुणों पर थोड़ा ध्यान देंगे। इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि नियम कैसे काम करते हैं और किन मामलों में कुछ फ़ार्मुलों को लागू किया जाना चाहिए।

एक समलम्बाकार को परिभाषित करना

कुल मिलाकर यह किस प्रकार का आंकड़ा है? ट्रैपेज़ॉइड एक बहुभुज है जिसमें चार कोने और दो समानांतर भुजाएँ होती हैं। समलम्ब चतुर्भुज की अन्य दो भुजाओं को विभिन्न कोणों पर झुकाया जा सकता है। इसकी समानांतर भुजाओं को आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर भुजाओं के लिए "भुजाओं" या "कूल्हों" नाम का उपयोग किया जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में ऐसे आंकड़े काफी आम हैं। ट्रैपेज़ॉइड की रूपरेखा कपड़ों, आंतरिक वस्तुओं, फर्नीचर, व्यंजन और कई अन्य लोगों के सिल्हूट में देखी जा सकती है। ट्रैपेज़ होता है अलग - अलग प्रकार: विषमकोण, समबाहु और आयताकार। हम लेख में बाद में उनके प्रकार और गुणों की अधिक विस्तार से जांच करेंगे।

एक ट्रेपेज़ॉइड के गुण

आइए हम इस आकृति के गुणों पर संक्षेप में ध्यान दें। किसी भी भुजा से सटे कोणों का योग सदैव 180° होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समलम्ब चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° होता है। ट्रेपेज़ॉइड में मध्य रेखा की अवधारणा होती है। यदि आप भुजाओं के मध्यबिंदुओं को एक खंड से जोड़ते हैं, तो यह मध्य रेखा होगी। इसे एम नामित किया गया है। मध्य रेखा में महत्वपूर्ण गुण होते हैं: यह हमेशा आधारों के समानांतर होती है (हमें याद है कि आधार भी एक दूसरे के समानांतर होते हैं) और उनके आधे योग के बराबर होती है:

इस परिभाषा को सीखना और समझना चाहिए, क्योंकि यह कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है!

एक ट्रेपेज़ॉइड के साथ, आप हमेशा ऊँचाई को आधार से कम कर सकते हैं। ऊंचाई एक लंबवत है, जिसे अक्सर प्रतीक एच द्वारा दर्शाया जाता है, जो एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार या उसके विस्तार तक खींचा जाता है। मध्य रेखा और ऊंचाई आपको समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करेगी। ऐसी समस्याएं स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में सबसे आम हैं और नियमित रूप से परीक्षण और परीक्षा पत्रों में दिखाई देती हैं।

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सबसे सरल सूत्र

आइए दो सबसे लोकप्रिय और पर नजर डालें सरल सूत्रजिसकी सहायता से समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है। आप जो खोज रहे हैं उसे आसानी से ढूंढने के लिए ऊंचाई को आधारों के योग के आधे से गुणा करना पर्याप्त है:

एस = एच*(ए + बी)/2.

इस सूत्र में, ए, बी ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को दर्शाते हैं, एच - ऊंचाई। धारणा में आसानी के लिए, इस लेख में, सूत्रों में गुणन चिह्नों को एक प्रतीक (*) से चिह्नित किया गया है, हालांकि आधिकारिक संदर्भ पुस्तकों में गुणन चिह्न आमतौर पर छोड़ दिया जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें.

दिया गया है: 10 और 14 सेमी के बराबर दो आधारों वाला एक समलंब, ऊंचाई 7 सेमी है। समलंब का क्षेत्रफल क्या है?

आइए इस समस्या का समाधान देखें। इस सूत्र का उपयोग करते हुए, आपको सबसे पहले आधारों का आधा योग ज्ञात करना होगा: (10+14)/2 = 12। इसलिए, आधा योग 12 सेमी के बराबर है। अब हम आधे योग को ऊंचाई से गुणा करते हैं: 12*7 = 84. हम जो खोज रहे हैं वह मिल गया है। उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है। सेमी।

दूसरा प्रसिद्ध सूत्रकहता है: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल मध्य रेखा और समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है। अर्थात्, यह वास्तव में मध्य रेखा की पिछली अवधारणा से अनुसरण करता है: S=m*h।

गणना के लिए विकर्णों का उपयोग करना

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का दूसरा तरीका वास्तव में उतना जटिल नहीं है। यह इसके विकर्णों से जुड़ा हुआ है। इस सूत्र का उपयोग करके, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसके विकर्णों के आधे गुणनफल (d 1 d 2) को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करना होगा:

एस = ½ डी 1 डी 2 पाप एक।

आइए एक समस्या पर विचार करें जो इस पद्धति के अनुप्रयोग को दर्शाती है। दिया गया है: एक समलम्ब चतुर्भुज जिसके विकर्णों की लंबाई क्रमशः 8 और 13 सेमी है। विकर्णों के बीच का कोण 30° है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, यह गणना करना आसान है कि क्या आवश्यक है। जैसा कि आप जानते हैं, पाप 30° 0.5 है। इसलिए, एस = 8*13*0.5=52. उत्तर: क्षेत्रफल 52 वर्ग मीटर है. सेमी।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

एक समलंब चतुर्भुज समद्विबाहु (आइसोसेलस) हो सकता है। इसकी भुजाएँ समान हैं और आधारों पर कोण समान हैं, जो चित्र द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया गया है। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में नियमित रूप से समान गुण होते हैं, साथ ही कई विशेष गुण भी होते हैं। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त परिचालित किया जा सकता है, और इसके भीतर एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए क्या विधियाँ हैं? नीचे दी गई विधि के लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होगी. इसका उपयोग करने के लिए, आपको समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण की ज्या (sin) और कोज्या (cos) का मान जानना होगा। उनकी गणना के लिए या तो ब्रैडिस तालिकाओं की आवश्यकता होती है इंजीनियरिंग कैलकुलेटर. यहाँ सूत्र है:

एस= सी*पाप ए*(ए - सी*क्योंकि ए),

कहाँ साथ- पार्श्व जांघ, ए- निचले आधार पर कोण.

एक समबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण समान हैं, तो वह समद्विबाहु है। इसलिए समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में सहायता के लिए निम्नलिखित सूत्र - विकर्णों के वर्ग का आधा गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या: S = ½ d 2 पाप एक।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

ज्ञात विशेष मामलाआयताकार समलम्बाकार. यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसमें एक ओर (इसकी जांघ) एक समकोण पर आधारों से जुड़ती है। इसमें नियमित ट्रैपेज़ॉइड के गुण हैं। इसके अलावा, उसके पास बहुत कुछ है दिलचस्प विशेषता. ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का अंतर उसके आधारों के वर्गों के अंतर के बराबर होता है। क्षेत्रफल की गणना के लिए पहले वर्णित सभी तरीकों का उपयोग इसके लिए किया जाता है।

हम सरलता का उपयोग करते हैं

यदि आप विशिष्ट सूत्र भूल जाते हैं तो एक तरकीब मदद कर सकती है। आइए बारीकी से देखें कि ट्रैपेज़ॉइड क्या है। यदि हम मानसिक रूप से इसे भागों में विभाजित करते हैं, तो हमें परिचित और समझने योग्य ज्यामितीय आकार मिलेंगे: एक वर्ग या आयत और एक त्रिकोण (एक या दो)। यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई और भुजाएँ ज्ञात हैं, तो आप एक त्रिभुज और एक आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, और फिर सभी परिणामी मानों को जोड़ सकते हैं।

आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करें। एक आयताकार समलम्बाकार दिया गया है। कोण C = 45°, कोण A, D 90° हैं। समलंब का ऊपरी आधार 20 सेमी है, ऊंचाई 16 सेमी है। आपको आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है।

यह आकृति स्पष्ट रूप से एक आयत (यदि दो कोण 90° के बराबर हैं) और एक त्रिभुज से बनी है। चूँकि समलंब आयताकार है, इसलिए इसकी ऊँचाई इसकी भुजा के बराबर है, अर्थात 16 सेमी। हमारे पास क्रमशः 20 और 16 सेमी की भुजाओं वाला एक आयत है। अब एक त्रिभुज पर विचार करें जिसका कोण 45° है। हम जानते हैं कि इसकी एक भुजा 16 सेमी है क्योंकि यह भुजा समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई भी है (और हम जानते हैं कि ऊँचाई समकोण पर आधार तक उतरती है), इसलिए, त्रिभुज का दूसरा कोण 90° है। अतः त्रिभुज का शेष कोण 45° है। इसके परिणामस्वरूप हमें एक आयताकार आकृति प्राप्त होती है समद्विबाहु त्रिभुज, जिसके दोनों किनारे एक जैसे हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज की दूसरी भुजा ऊंचाई के बराबर है, यानी 16 सेमी। जो कुछ बचा है वह त्रिभुज और आयत के क्षेत्रफल की गणना करना और परिणामी मान जोड़ना है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के आधे गुणनफल के बराबर होता है: S = (16*16)/2 = 128. एक आयत का क्षेत्रफल उसकी चौड़ाई और लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है: S = 20*16 = 320। हमने आवश्यक पाया: समलम्बाकार एस का क्षेत्रफल = 128 + 320 = 448 वर्ग। देखें। आप उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके स्वयं को आसानी से दोबारा जांच सकते हैं, उत्तर समान होगा।

हम पिक फॉर्मूला का उपयोग करते हैं

अंत में, हम एक और मूल सूत्र प्रस्तुत करते हैं जो एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करता है। इसे पिक फॉर्मूला कहा जाता है. जब चेकर्ड पेपर पर ट्रेपेज़ॉइड खींचा जाता है तो इसका उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसी तरह की समस्याएं अक्सर जीआईए सामग्रियों में पाई जाती हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

एस = एम/2 + एन - 1,

इस सूत्र में M नोड्स की संख्या है, अर्थात। ट्रेपेज़ॉइड (आकृति में नारंगी बिंदु) की सीमाओं पर सेल की रेखाओं के साथ आकृति की रेखाओं का प्रतिच्छेदन, एन आकृति के अंदर नोड्स की संख्या (नीला बिंदु) है। अनियमित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय इसका उपयोग करना सबसे सुविधाजनक होता है। हालाँकि, उपयोग की जाने वाली तकनीकों का शस्त्रागार जितना बड़ा होगा, उतना ही अधिक होगा कम त्रुटियाँऔर बेहतर परिणाम.

बेशक, प्रदान की गई जानकारी ट्रैपेज़ॉइड के प्रकार और गुणों के साथ-साथ इसके क्षेत्र को खोजने के तरीकों को भी समाप्त नहीं करती है। यह आलेख इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं का अवलोकन प्रदान करता है। ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, धीरे-धीरे कार्य करना, आसान सूत्रों और समस्याओं से शुरुआत करना, लगातार अपनी समझ को मजबूत करना और जटिलता के दूसरे स्तर पर जाना महत्वपूर्ण है।

सबसे आम सूत्रों को एक साथ एकत्रित करने से छात्रों को एक ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने और परीक्षणों के लिए बेहतर तैयारी करने के विभिन्न तरीकों को नेविगेट करने में मदद मिलेगी और परीक्षणइस टॉपिक पर।

निर्देश

दोनों विधियों को अधिक समझने योग्य बनाने के लिए, हम कुछ उदाहरण दे सकते हैं।

उदाहरण 1: समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई 10 सेमी है, इसका क्षेत्रफल 100 सेमी² है। इस समलंब की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

एच = 100/10 = 10 सेमी

उत्तर: इस समलंब की ऊंचाई 10 सेमी है

उदाहरण 2: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 100 सेमी² है, आधारों की लंबाई 8 सेमी और 12 सेमी है। इस समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता है:

एच = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 सेमी

उत्तर: इस समलंब की ऊंचाई 20 सेमी है

कृपया ध्यान

ट्रेपेज़ॉइड कई प्रकार के होते हैं:
समद्विबाहु समलम्ब एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं।
एक आयताकार समलम्बाकार एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें से एक आंतरिक कोने 90 डिग्री के बराबर.
यह ध्यान देने योग्य है कि एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड में ऊंचाई पक्ष की लंबाई के साथ मेल खाती है समकोण.
आप एक समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त खींच सकते हैं, या इसे किसी दिए गए चित्र के अंदर फिट कर सकते हैं। आप किसी वृत्त को तभी अंकित कर सकते हैं जब उसके आधारों का योग उसकी विपरीत भुजाओं के योग के बराबर हो। एक वृत्त को केवल एक समद्विबाहु समलंब के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है।

उपयोगी सलाह

एक समांतर चतुर्भुज एक समलंब चतुर्भुज का एक विशेष मामला है, क्योंकि एक सम चतुर्भुज की परिभाषा किसी भी तरह से समांतर चतुर्भुज की परिभाषा का खंडन नहीं करती है। समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के लिए, परिभाषा केवल उसकी भुजाओं के एक जोड़े से संबंधित है। इसलिए, कोई भी समांतर चतुर्भुज भी एक समलम्ब चतुर्भुज होता है। उलटा कथन सत्य नहीं है.

स्रोत:

• समलम्ब चतुर्भुज सूत्र का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

युक्ति 2: यदि क्षेत्रफल ज्ञात है तो समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी चार में से दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। समानांतर भुजाएँ दिए गए भुजा के आधार हैं, अन्य दो भुजाएँ दी गई भुजाएँ हैं। ट्रेपेज़ोइड्स. खोजो ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्स, यदि ज्ञात हो वर्ग, यह बहुत आसान होगा.

निर्देश

आपको यह पता लगाना होगा कि गणना कैसे करें वर्गमूल ट्रेपेज़ोइड्स. प्रारंभिक डेटा के आधार पर इसके लिए कई सूत्र हैं: S = ((a+b)*h)/2, जहां a और b आधार हैं ट्रेपेज़ोइड्स, और h इसकी ऊंचाई (ऊंचाई) है ट्रेपेज़ोइड्स- लंबवत, एक आधार से उतारा हुआ ट्रेपेज़ोइड्सदूसरे करने के लिए);
S = m*h, जहाँ m रेखा है ट्रेपेज़ोइड्स(मध्य रेखा आधारों वाला एक खंड है ट्रेपेज़ोइड्सऔर इसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ना)।

इसे स्पष्ट करने के लिए, समान समस्याओं पर विचार किया जा सकता है: उदाहरण 1: एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है वर्ग 68 सेमी², जिसकी मध्य रेखा 8 सेमी है, आपको खोजने की आवश्यकता है ऊंचाईदिया गया ट्रेपेज़ोइड्स. निर्णय लेने के लिए इस कार्य, आपको पहले व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
h = 68/8 = 8.5 सेमी उत्तर: इसकी ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्स 8.5 सेमी है उदाहरण 2: मान लीजिए y ट्रेपेज़ोइड्स वर्गइसके आधारों की लंबाई 120 सेमी² के बराबर है ट्रेपेज़ोइड्सआपको क्रमशः 8 सेमी और 12 सेमी खोजने की आवश्यकता है ऊंचाईयह ट्रेपेज़ोइड्स. ऐसा करने के लिए, आपको व्युत्पन्न सूत्रों में से एक को लागू करना होगा:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 सेमीउत्तर: दी गई ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्स 12 सेमी के बराबर

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कृपया ध्यान

किसी भी ट्रेपेज़ॉइड में कई गुण होते हैं:

एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होती है;

वह खंड जो किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों को जोड़ता है, उसके आधारों के आधे अंतर के बराबर होता है;

यदि आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है, तो यह समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को काटेगी;

एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि समलम्ब चतुर्भुज के आधारों का योग उसकी भुजाओं के योग के बराबर हो।

समस्याओं को हल करते समय इन गुणों का उपयोग करें।

टिप 3: यदि आधार ज्ञात हैं तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

द्वारा ज्यामितीय परिभाषासमलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी केवल एक जोड़ी भुजाएँ समानांतर होती हैं। ये किनारे उसके हैं कारण. के बीच की दूरी कारणऊंचाई कहलाती है ट्रेपेज़ोइड्स. खोजो वर्ग ट्रेपेज़ोइड्सज्यामितीय सूत्रों का उपयोग करना संभव है।

निर्देश

आधारों को मापें और ट्रेपेज़ोइड्सए बी सी डी। आमतौर पर इन्हें कार्यों में दिया जाता है. भीतर आएं इस उदाहरण मेंकार्य फाउंडेशन एडी (ए) ट्रेपेज़ोइड्स 10 सेमी के बराबर होगा, आधार बीसी (बी) - 6 सेमी, ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्सबीके (एच) - 8 सेमी क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्यामितीय का उपयोग करें ट्रेपेज़ोइड्स, यदि इसके आधारों की लंबाई और ऊंचाई ज्ञात हो - S= 1/2 (a+b)*h, जहां: - a - आधार AD का आकार ट्रेपेज़ोइड्सएबीसीडी, - बी - आधार बीसी का मूल्य, - एच - ऊंचाई बीके का मूल्य।

एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल. अभिवादन! इस प्रकाशन में हम इस सूत्र को देखेंगे। आखिर वह ऐसी क्यों है और उसे कैसे समझें। अगर समझ है तो उसे सिखाने की जरूरत नहीं है. यदि आप केवल इस फॉर्मूले को देखना चाहते हैं और तत्काल चाहते हैं, तो आप तुरंत पृष्ठ को नीचे स्क्रॉल कर सकते हैं))

अब विस्तार से और क्रम से.

एक समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है, इस चतुर्भुज की दो भुजाएँ समानांतर हैं, अन्य दो नहीं हैं। जो समानांतर नहीं हैं वे समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं। अन्य दो को भुजाएँ कहा जाता है।

यदि भुजाएँ समान हों, तो समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है। यदि कोई एक भुजा आधारों पर लंबवत है, तो ऐसे समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है।

में क्लासिक लुकएक ट्रेपेज़ॉइड को इस प्रकार दर्शाया गया है: बड़ा आधार नीचे है, और छोटा आधार शीर्ष पर है। लेकिन कोई भी उसका चित्रण करने से मना नहीं करता और इसके विपरीत भी। यहाँ रेखाचित्र हैं:

अगली महत्वपूर्ण अवधारणा.

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक खंड है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। मध्य रेखा समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर है।

अब आइए गहराई से जानें। ऐसा क्यों है?

आधारों वाले एक समलम्ब चतुर्भुज पर विचार करें ए और बीऔर मध्य रेखा के साथ एल, और आइए कुछ अतिरिक्त निर्माण करें: आधारों के माध्यम से सीधी रेखाएं खींचें, और मध्य रेखा के सिरों के माध्यम से लंबवत तब तक खींचें जब तक कि वे आधारों के साथ प्रतिच्छेद न करें:

*अनावश्यक पदनामों से बचने के लिए शीर्षों और अन्य बिंदुओं के लिए अक्षर पदनाम जानबूझकर शामिल नहीं किए गए हैं।

देखिए, त्रिभुजों की समानता के दूसरे चिह्न के अनुसार त्रिभुज 1 और 2 बराबर हैं, त्रिभुज 3 और 4 भी समान हैं। त्रिभुजों की समानता से तत्वों की समानता का पता चलता है, अर्थात् पैर (उन्हें क्रमशः नीले और लाल रंग में दर्शाया गया है)।

अब ध्यान दें! यदि हम मानसिक रूप से निचले आधार से नीले और लाल खंडों को "काट" देते हैं, तो हमारे पास मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का किनारा है) रह जाएगा। इसके बाद, यदि हम कटे हुए नीले और लाल खंडों को ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार पर "गोंद" देते हैं, तो हमें ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का पक्ष भी है) मिलेगा।

समझ गया? इससे पता चलता है कि आधारों का योग समलम्ब चतुर्भुज की दो मध्य रेखाओं के बराबर होगा:

एक और स्पष्टीकरण देखें

आइए निम्नलिखित कार्य करें - ट्रेपेज़ॉइड के निचले आधार से गुजरने वाली एक सीधी रेखा बनाएं और एक सीधी रेखा बनाएं जो बिंदु ए और बी से होकर गुजरेगी:

हमें त्रिभुज 1 और 2 मिलते हैं, वे भुजाओं और आसन्न कोणों के अनुदिश बराबर होते हैं (त्रिकोणों की समानता का दूसरा चिह्न)। इसका मतलब यह है कि परिणामी खंड (स्केच में इसे नीले रंग में दर्शाया गया है) ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार के बराबर है।

अब त्रिभुज पर विचार करें:

*इस समलंब की मध्य रेखा और त्रिभुज की मध्य रेखा संपाती हैं।

यह ज्ञात है कि एक त्रिभुज अपने समानांतर आधार के आधे के बराबर होता है, अर्थात:

ठीक है, हमने इसका पता लगा लिया। अब समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बारे में।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र:

वे कहते हैं: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

अर्थात्, यह पता चलता है कि यह केंद्र रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है:

आपने शायद पहले ही नोटिस कर लिया होगा कि यह स्पष्ट है। ज्यामितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि हम मानसिक रूप से त्रिभुज 2 और 4 को समलंब से काट दें और उन्हें क्रमशः त्रिभुज 1 और 3 पर रखें:

तब हमें हमारे समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाला एक आयत मिलेगा। इस आयत का क्षेत्रफल केंद्र रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात हम लिख सकते हैं:

लेकिन बेशक यहां बात लिखने की नहीं, बल्कि समझने की है।

लेख सामग्री को *पीडीएफ प्रारूप में डाउनलोड करें (देखें)।

बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

सादर, अलेक्जेंडर।