विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा कैसे करें। भिन्न

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करना कोई कठिन कार्य नहीं है। लेकिन ऐसी बारीकियाँ हैं जिन्हें आप शायद स्कूल में समझते थे, लेकिन उसके बाद भूल गए हैं।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें - कुछ पद

यदि आपको याद है कि अंश और हर क्या हैं और एक उचित भिन्न एक अनुचित भिन्न से किस प्रकार भिन्न है, तो इस अनुच्छेद को छोड़ दें। यह उन लोगों के लिए है जो सिद्धांत को पूरी तरह से भूल गए हैं।

अंश है सबसे ऊपर का हिस्साभिन्न वे हैं जिन्हें हम विभाजित करते हैं। हर कम है. इसी से हम विभाजित होते हैं।
उचित भिन्न वह होती है जिसका अंश उसके हर से कम होता है। अनुचित भिन्न वह होती है जिसका अंश उसके हर से बड़ा या उसके बराबर होता है।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने का नियम बहुत सरल है - हम अंश को पूर्णांक से गुणा करते हैं, लेकिन हर को नहीं छूते हैं। उदाहरण के लिए: दो को एक पांचवें से गुणा करने पर हमें दो पांचवें मिलते हैं। चार को तीन सोलहवें से गुणा करने पर बारह सोलहवां भाग आता है।

कमी

दूसरे उदाहरण में, परिणामी भिन्न को कम किया जा सकता है।
इसका मतलब क्या है? कृपया ध्यान दें कि इस भिन्न के अंश और हर दोनों चार से विभाज्य हैं। दोनों संख्याओं को एक उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित करना भिन्न को कम करना कहलाता है। हमें तीन चौथाई मिलते हैं।

अनुचित भिन्न

लेकिन मान लीजिए कि हम चार को दो पांचवें से गुणा करते हैं। यह आठ-पाँचवाँ निकला। यह एक अनुचित भिन्न है.
उसे निश्चित रूप से लाने की जरूरत है सही प्रकार. ऐसा करने के लिए, आपको इसमें से एक संपूर्ण भाग का चयन करना होगा।
यहां आपको शेषफल के साथ भाग का उपयोग करने की आवश्यकता है। हमें एक और तीन शेषफल के रूप में मिलते हैं।
एक पूर्ण और तीन पाँचवाँ भाग हमारा उचित भिन्न है।

पैंतीस आठवें को सही रूप में लाना थोड़ा अधिक कठिन है। सैंतीस की निकटतम संख्या जो आठ से विभाज्य है, बत्तीस है। विभाजित करने पर हमें चार प्राप्त होते हैं। पैंतीस में से बत्तीस घटाने पर हमें तीन प्राप्त होते हैं। परिणाम: चार पूर्ण और तीन आठवां।

अंश और हर की समानता. और यहां सब कुछ बहुत सरल और सुंदर है। यदि अंश और हर बराबर हैं, तो परिणाम केवल एक है।

गुणा साधारण अंशआइए कई संभावित विकल्पों पर गौर करें।

एक सामान्य भिन्न को भिन्न से गुणा करना

यह सबसे सरल मामला है जिसमें आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है भिन्नों को गुणा करने के नियम.

को भिन्न को भिन्न से गुणा करें, ज़रूरी:

• पहले अंश के अंश को दूसरे अंश के अंश से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए अंश के अंश में लिखें;
• पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए भिन्न के हर में लिखें;

अंशों और हरों को गुणा करने से पहले, यह देख लें कि क्या भिन्नों को कम किया जा सकता है। गणनाओं में भिन्नों को कम करने से आपकी गणनाएँ बहुत आसान हो जाएँगी।



किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

भिन्न बनाना किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करेंआपको भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

यदि गुणन का परिणाम एक अनुचित भिन्न है, तो उसे मिश्रित संख्या में बदलना न भूलें, अर्थात पूरे भाग को उजागर करें।



मिश्रित संख्याओं को गुणा करना

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।



किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका

कभी-कभी गणना करते समय किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को वही छोड़ना होगा।



जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, नियम का यह संस्करण उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है यदि अंश का हर किसी शेषफल के बिना एक प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है।

भिन्नों के साथ संचालन

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना

भिन्नों का योग दो प्रकार का होता है:

• समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना
• के साथ भिन्न जोड़ना विभिन्न भाजक

सबसे पहले, आइए समान हर वाली भिन्नों का योग सीखें। यहां सब कुछ सरल है. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को जोड़ें और। अंशों को जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:



अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.भिन्न और जोड़ें।

फिर से, हम अंशों को जोड़ते हैं और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:



उत्तर अनुचित भिन्न निकला। जब कार्य का अंत आता है, तो अनुचित भिन्नों से छुटकारा पाने की प्रथा है। किसी अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसके पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में संपूर्ण भागआसानी से सामने आ जाता है - दो को दो से विभाजित करने पर एक बराबर होता है:



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम एक पिज्जा के बारे में याद करें जो दो भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न और जोड़ें।



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 4.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप एक पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 पूरा पिज़्ज़ा और एक और पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और हर को वही छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना

आइए अब सीखें कि विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते.

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को तुरंत नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक को देखेंगे, क्योंकि अन्य विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।

इस पद्धति का सार यह है कि सबसे पहले हम दोनों भिन्नों के हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) को देखते हैं। पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करने के लिए एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है। वे दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं - एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और एक दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है।

फिर भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न-भिन्न हर वाले भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों में बदल दिया जाता है। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1. आइए भिन्नों को जोड़ें और

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक 6 है

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब आइए भिन्नों पर वापस आएं। सबसे पहले, एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त गुणक है। हम इसे पहले अंश तक लिखते हैं। ऐसा करने के लिए भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाएं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। एलसीएम संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त गुणक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। पुनः, हम दूसरे भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखते हैं:

अब हमारे पास जोड़ने के लिए सब कुछ तैयार है। भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:



ध्यान से देखो कि हम क्या करने आये हैं। हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:



यह उदाहरण पूरा करता है. यह जोड़ने के लिए निकलता है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को समान (सामान्य) हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। भिन्नों को घटाकर एक सामान्य हर करने पर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन दो अंशों को पिज़्ज़ा के समान टुकड़ों द्वारा दर्शाया जाएगा। अंतर केवल इतना होगा कि इस बार उन्हें समान शेयरों (समान भाजक तक कम) में विभाजित किया जाएगा।



पहला चित्र एक अंश (छह में से चार टुकड़े) को दर्शाता है, और दूसरा चित्र एक अंश (छह में से तीन टुकड़े) को दर्शाता है। इन टुकड़ों को जोड़ने पर हमें (छह में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न अनुचित है, इसलिए हमने इसके पूरे भाग पर प्रकाश डाला है। परिणामस्वरूप, हमें (एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा छठा पिज़्ज़ा) मिला।

कृपया ध्यान दें कि हमने वर्णन किया है यह उदाहरणबहुत विस्तृत. में शिक्षण संस्थानोंइतना विस्तार से लिखना प्रथागत नहीं है। आपको हर और उनके अतिरिक्त गुणनखंडों दोनों का एलसीएम तुरंत ढूंढने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही पाए गए अतिरिक्त गुणनखंडों को अपने अंश और हर से तेजी से गुणा करने में सक्षम होना चाहिए। यदि हम स्कूल में होते तो हमें यह उदाहरण इस प्रकार लिखना होता:



लेकिन वहाँ भी है पीछे की ओरपदक. यदि आप गणित के अध्ययन के पहले चरण में विस्तृत नोट्स नहीं लेते हैं, तो इस प्रकार के प्रश्न सामने आने लगते हैं। “वह संख्या कहां से आती है?”, “अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्न में क्यों बदल जाते हैं? «.

विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्नलिखित चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

3. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें;
4. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक प्राप्त करें;
5. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
6. उन भिन्नों को जोड़ें जिनके हर समान हों;
7. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला तो उसके पूर्ण भाग का चयन करें;

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए आरेख का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों के लिए एलसीएम ज्ञात करें

दोनों भिन्नों के हरों का एलसीएम ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्याएँ 2, 3 और 4 हैं। आपको इन संख्याओं के लिए LCM ज्ञात करना होगा:

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें

एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करते हैं:

चरण 4. समान हर वाली भिन्नें जोड़ें

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। बस इन भिन्नों को जोड़ना बाकी है। इसे जोड़े:



जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष अभिव्यक्ति को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है. जब कोई अभिव्यक्ति एक पंक्ति में फिट नहीं बैठती है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है नई पंक्ति. दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस अभिव्यक्ति की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर थी।

चरण 5. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकलता है, तो उसके पूरे भाग को हाइलाइट करें

हमारा उत्तर अनुचित भिन्न निकला। हमें इसके एक पूरे हिस्से को उजागर करना होगा. हम हाइलाइट करते हैं:



हमें जवाब मिला

समान हर वाली भिन्नों को घटाना

भिन्नों का घटाव दो प्रकार का होता है:

8. समान हर वाली भिन्नों को घटाना
9. भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

सबसे पहले, आइए सीखें कि समान हर वाली भिन्नों को कैसे घटाया जाए। यहां सब कुछ सरल है. एक भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, लेकिन हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा। आओ इसे करें:

अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

पुनः, पहले भिन्न के अंश से, दूसरे भिन्न के अंश को घटाएँ, और हर को वही छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से आपको शेष भिन्न के अंश को घटाना होगा:

उत्तर अनुचित भिन्न था. यदि उदाहरण पूरा हो गया है, तो अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने की प्रथा है। आइए उत्तर में अनुचित भिन्न से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, आइए इसके संपूर्ण भाग का चयन करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

एक भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश में से दूसरे भिन्न का अंश घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा;

यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

उदाहरण के लिए, आप किसी भिन्न में से भिन्न को घटा सकते हैं क्योंकि भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन आप भिन्न में से भिन्न नहीं घटा सकते, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सामान्य हर उसी सिद्धांत का उपयोग करके पाया जाता है जिसका उपयोग हमने विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले, दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी प्रकार, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और एक दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, जिन भिन्नों के हर अलग-अलग होते थे, वे उन भिन्नों में परिवर्तित हो जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है।

उदाहरण 1।अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

सबसे पहले हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 12 है

एलसीएम (3 और 4) = 12

आइए अब भिन्नों पर लौटते हैं और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। पहली भिन्न के ऊपर चार लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। दूसरे भिन्न के ऊपर तीन लिखें:

अब हम घटाने के लिए तैयार हैं. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:

हमें जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

यह विस्तृत संस्करणसमाधान। यदि हम स्कूल में होते तो हमें इस उदाहरण को संक्षेप में हल करना होता। ऐसा समाधान इस प्रकार दिखेगा:

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। इन भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाकर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन अंशों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भागों में विभाजित किया जाएगा (समान हर तक कम):

पहली तस्वीर एक अंश (बारह में से आठ टुकड़े) दिखाती है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े काटने पर हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पाँच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए सबसे पहले आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

आइए इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें।

भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 30 है।

एलसीएम(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। एलसीएम संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 10 है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 30 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब सब कुछ घटाने के लिए तैयार है. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर समान चिह्न (=) के बारे में न भूलें:

उत्तर सामान्य अंश निकला, और सब कुछ हमारे अनुरूप प्रतीत होता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। इसे सरल और सौंदर्य की दृष्टि से अधिक सुखदायक बनाना आवश्यक होगा। क्या किया जा सकता है? आप इस भिन्न को छोटा कर सकते हैं. याद रखें कि भिन्न को कम करना अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा अंश और हर का विभाजन है।

किसी भिन्न को सही ढंग से कम करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को संख्या 20 और 30 के सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) से विभाजित करना होगा।

जीसीडी को एनओसी के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। कई शुरुआती लोगों की सबसे आम गलती। जीसीडी सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। हम इसे एक अंश को कम करने वाला पाते हैं।

और LCM सबसे छोटा समापवर्त्य है। हम इसे भिन्नों को समान (सामान्य) हर में लाने के लिए पाते हैं।

अब हम संख्या 20 और 30 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) ढूंढेंगे।

तो, हम संख्या 20 और 30 के लिए जीसीडी पाते हैं:

जीसीडी (20 और 30) = 10

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और भिन्न के अंश और हर को 10 से विभाजित करते हैं:

हमें एक सुंदर उत्तर मिला

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को उस संख्या से गुणा करना होगा और हर को वही छोड़ना होगा।

उदाहरण 1. किसी भिन्न को संख्या 1 से गुणा करें.

भिन्न के अंश को संख्या 1 से गुणा करें

रिकॉर्डिंग को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणनखंड की अदला-बदली कर दी जाए, तो उत्पाद नहीं बदलेगा। यदि अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जाता है, तो उत्पाद अभी भी के बराबर होगा। पुनः, पूर्ण संख्या और भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस अंकन को एक का आधा भाग लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज़्ज़ा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज़्ज़ा होगा:

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 से गुणा करें

अभिव्यक्ति को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज़्ज़ा मिलेंगे

और यदि हम गुणक और गुणक की अदला-बदली करते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा में से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

भिन्नों को गुणा करना

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा। यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

उदाहरण 1।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

हमें जवाब मिला. इस अंश को कम करने की सलाह दी जाती है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है अंतिम निर्णयनिम्नलिखित रूप लेगा:

इस अभिव्यक्ति को आधे पिज़्ज़ा से एक पिज़्ज़ा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज़्ज़ा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बाँटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो ले लो:

हम पिज़्ज़ा बनाएंगे. याद रखें कि पिज़्ज़ा कैसा दिखता है, तीन भागों में विभाजित:

इस पिज़्ज़ा के एक टुकड़े और हमारे द्वारा लिए गए दो टुकड़ों के आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में कहें तो हम एक ही साइज के पिज्जा की बात कर रहे हैं. अतः अभिव्यक्ति का मान है

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर अनुचित भिन्न था. आइए इसके पूरे भाग पर प्रकाश डालें:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

उत्तर एक नियमित अंश निकला, लेकिन इसे छोटा कर दिया जाए तो अच्छा रहेगा। इस भिन्न को कम करने के लिए इसे अंश और हर की gcd से विभाजित करना होगा। तो, आइए संख्या 105 और 450 की जीसीडी खोजें:

(105 और 150) के लिए जीसीडी 15 है

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को gcd से विभाजित करते हैं:

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। इससे पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "संख्या पाँच को एक से विभाजित करना," और यह, जैसा कि हम जानते हैं, पाँच के बराबर है:

पारस्परिक संख्याएँ

अब हम बहुत से परिचित होंगे दिलचस्प विषयगणित में। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीत ए वह संख्या है, जिसे जब गुणा किया जाता है ए एक देता है.

आइए इस परिभाषा में वेरिएबल के स्थान पर स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 वह संख्या है, जिसे जब गुणा किया जाता है 5 एक देता है.

क्या ऐसी संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला कि यह संभव है. आइए पाँच को भिन्न के रूप में कल्पना करें:

फिर इस भिन्न को स्वयं से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, किसी भिन्न को स्वयं से गुणा करें, केवल उल्टा करके:

इसके परिणामस्वरूप क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब यह है कि संख्या 5 का व्युत्क्रम वह संख्या है, क्योंकि जब आप 5 को गुणा करते हैं तो आपको एक प्राप्त होता है।

किसी संख्या का व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

• 3 का व्युत्क्रम एक भिन्न है
• 4 का व्युत्क्रम एक भिन्न है

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस इसे पलट दें।

किसी भिन्न को भिन्न से या भिन्न को किसी संख्या से सही ढंग से गुणा करने के लिए, आपको जानना आवश्यक है सरल नियम. अब हम इन नियमों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

एक सामान्य भिन्न को भिन्न से गुणा करना।

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको इन भिन्नों के अंशों के गुणनफल और हर के गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है।

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

आइए एक उदाहरण देखें:
हम पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से गुणा करते हैं, और हम पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से भी गुणा करते हैं।

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ गुना 3)(7 गुना 3) = \frac(4)(7)\\\)

भिन्न \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) को 3 से कम किया गया था।

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना.

सबसे पहले, आइए नियम याद रखें, किसी भी संख्या को भिन्न \(\bf n = \frac(n)(1)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए गुणा करते समय इस नियम का उपयोग करें।

\(5 \गुना \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \गुना \frac(4)(7) = \frac(5 \गुना 4)(1 \गुना 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

अनुचित भिन्न \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) में परिवर्तित किया गया मिश्रित अंश.

दूसरे शब्दों में, किसी संख्या को भिन्न से गुणा करते समय, हम संख्या को अंश से गुणा करते हैं और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।उदाहरण:

\(\frac(2)(5) \गुना 3 = \frac(2 \गुना 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

मिश्रित भिन्नों को गुणा करना।

मिश्रित भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक मिश्रित भिन्न को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर गुणन नियम का उपयोग करना होगा। हम अंश को अंश से गुणा करते हैं, और हर को हर से गुणा करते हैं।

उदाहरण:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \गुना 6) = \frac(3 \गुना \रंग(लाल) (3) \गुना 23)(4 \गुना 2 \गुना \रंग(लाल) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

व्युत्क्रम भिन्नों और संख्याओं का गुणन।

भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) भिन्न \(\bf \frac(b)(a)\) का व्युत्क्रम है, बशर्ते a≠0,b≠0।
भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) और \(\bf \frac(b)(a)\) को व्युत्क्रम भिन्न कहा जाता है। व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 के बराबर होता है।
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

उदाहरण:
\(\frac(5)(9) \गुना \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

संबंधित सवाल:
किसी भिन्न को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: साधारण भिन्नों का गुणनफल एक अंश को एक अंश से, एक हर को एक हर से गुणा करने पर प्राप्त होता है। मिश्रित भिन्नों का उत्पाद प्राप्त करने के लिए आपको उन्हें परिवर्तित करना होगा अनुचित अंशऔर नियमानुसार गुणा करें।

विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा कैसे करें?
उत्तर: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नों के हर समान हों या अलग-अलग, गुणन एक अंश के साथ एक अंश का, एक हर के साथ एक हर का गुणनफल ज्ञात करने के नियम के अनुसार होता है।

मिश्रित भिन्नों को गुणा कैसे करें?
उत्तर: सबसे पहले, आपको मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना होगा और फिर गुणन के नियमों का उपयोग करके गुणनफल खोजना होगा।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: हम संख्या को अंश से गुणा करते हैं, लेकिन हर को वही छोड़ देते हैं।

उदाहरण 1:
उत्पाद की गणना करें: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

समाधान:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
बी) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( लाल) (5))(3 \गुना \रंग(लाल) (5) \गुना 13) = \frac(4)(39)\)

उदाहरण #2:
किसी संख्या और भिन्न के गुणनफल की गणना करें: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

समाधान:
a) \(3 \गुना \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \गुना \frac(17)(23) = \frac(3 \गुना 17)(1 \गुना 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
बी) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

उदाहरण #3:
भिन्न \(\frac(1)(3)\) का व्युत्क्रम लिखिए?
उत्तर: \(\frac(3)(1) = 3\)

उदाहरण #4:
दो परस्पर व्युत्क्रम भिन्नों के गुणनफल की गणना करें: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

समाधान:
a) \(\frac(104)(215) \गुना \frac(215)(104) = 1\)

उदाहरण #5:
क्या पारस्परिक भिन्न हो सकते हैं:
ए) एक साथ उचित भिन्नों के साथ;
बी) एक साथ अनुचित भिन्न;
ग) एक ही समय में प्राकृतिक संख्या?

समाधान:
a) पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक उदाहरण दें। भिन्न \(\frac(2)(3)\) उचित है, इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(3)(2)\) के बराबर होगा - एक अनुचित भिन्न। उत्तर: नहीं.

बी) लगभग सभी भिन्नों के लिए, यह शर्त पूरी नहीं होती है, लेकिन कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जो एक ही समय में न होने की शर्त को पूरा करती हैं उचित अंश. उदाहरण के लिए, अनुचित भिन्न \(\frac(3)(3)\) है, इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(3)(3)\) के बराबर है। हमें दो अनुचित भिन्न प्राप्त होते हैं। उत्तर: हमेशा कुछ शर्तों के तहत नहीं जब अंश और हर बराबर हों।

ग) प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती करते समय करते हैं, उदाहरण के लिए, 1, 2, 3,…। यदि हम संख्या \(3 = \frac(3)(1)\) लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(1)(3)\) होगा। भिन्न \(\frac(1)(3)\) एक प्राकृतिक संख्या नहीं है। यदि हम सभी संख्याओं को देखें, तो 1 को छोड़कर, संख्या का व्युत्क्रम हमेशा एक भिन्न होता है। यदि हम संख्या 1 लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(1)(1) = \frac(1) होगा )(1) = 1\). संख्या 1 एक प्राकृतिक संख्या है. उत्तर: वे एक साथ केवल एक ही स्थिति में प्राकृत संख्याएँ हो सकते हैं, यदि यह संख्या 1 है।

उदाहरण #6:
मिश्रित भिन्नों का गुणनफल करें: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

समाधान:
a) \(4 \गुना 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \गुना \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
बी) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

उदाहरण #7:
क्या दो पारस्परिक संख्याएँ एक ही समय में मौजूद हो सकती हैं? मिश्रित संख्याएँ?

आइए एक उदाहरण देखें. आइए एक मिश्रित भिन्न \(1\frac(1)(2)\) लें, इसका व्युत्क्रम भिन्न ज्ञात करें, ऐसा करने के लिए हम इसे एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित करते हैं \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2)\). इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(2)(3)\) के बराबर होगा। भिन्न \(\frac(2)(3)\) एक उचित भिन्न है। उत्तर: दो भिन्न जो परस्पर प्रतिलोम हों, एक ही समय में मिश्रित संख्याएँ नहीं हो सकतीं।

ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपना प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" एपोरिया है। यहाँ यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ...वर्तमान समय में चर्चा जारी है, आइए आम मतवैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार को समझने में सफल नहीं हुआ है... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नया भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस साथ चलता है निरंतर गति. उसके पथ का प्रत्येक आगामी खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलिस कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक हजार कदम और दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह नहीं है संपूर्ण समाधानसमस्या। प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर किसी कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं क्या कहना चाहता हूं विशेष ध्यान, यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे प्रदान करते हैं विभिन्न संभावनाएँअनुसंधान के लिए।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

विकिपीडिया पर सेट और मल्टीसेट के बीच अंतर को बहुत अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। चलो देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह स्तर है बात करने वाले तोतेऔर प्रशिक्षित बंदर, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। उपयुक्त गणितीय सिद्धांतगणितज्ञों को स्वयं सेट करता है।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। हम गणितज्ञ को समझाते हैं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट एक सेट के बराबर नहीं है समान तत्व. मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बिलों में अलग-अलग बिल संख्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें एक ही तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: विभिन्न सिक्कों पर है अलग-अलग मात्राप्रत्येक सिक्के की गंदगी, क्रिस्टल संरचना और परमाणु व्यवस्था अद्वितीय है...

और अब मेरे पास सबसे ज्यादा है रुचि पूछो: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देना पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग डफ के साथ जादूगरों का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन यही कारण है कि वे जादूगर हैं, अपने वंशजों को अपने कौशल और ज्ञान सिखाएं, अन्यथा जादूगर बस खत्म हो जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "किसी संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ ढूंढने का प्रयास करें। वह अस्तित्व में नहीं है. गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिसका उपयोग किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सके। आख़िरकार, संख्याएँ हैं ग्राफिक प्रतीक, जिसकी सहायता से हम संख्याएँ लिखते हैं और गणित की भाषा में कार्य इस प्रकार लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन जादूगर इसे आसानी से कर सकते हैं।

आइए जानें कि किसी दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, आइए हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आइए क्रम से सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिख ​​लें। हमने क्या किया है? हमने संख्या को ग्राफिकल संख्या प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

2. हमने एक परिणामी चित्र को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काटा। किसी चित्र को काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. व्यक्तिगत ग्राफ़िक प्रतीकों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

4. परिणामी संख्याएँ जोड़ें। अब ये गणित है.

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये जादूगरों द्वारा पढ़ाए जाने वाले "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं जिनका उपयोग गणितज्ञ करते हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणितीय दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में कोई संख्या लिखते हैं। तो, में विभिन्न प्रणालियाँकैलकुलस में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। साथ एक लंबी संख्या 12345 मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, आइए इसके बारे में लेख से संख्या 26 को देखें। आइए इस संख्या को बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में लिखें। हम हर कदम को माइक्रोस्कोप के नीचे नहीं देखेंगे; हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइये परिणाम पर नजर डालते हैं.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे यदि आपने किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निर्धारित किया है, तो आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

शून्य सभी संख्या प्रणालियों में एक जैसा दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है। गणितज्ञों के लिए प्रश्न: वह चीज़ कैसी है जो गणित में निर्दिष्ट संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? मैं ओझाओं के लिए इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए नहीं। वास्तविकता सिर्फ संख्या के बारे में नहीं है.

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के माप की इकाइयाँ हैं। आख़िरकार, हम संख्याओं की तुलना माप की विभिन्न इकाइयों से नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ समान क्रियाओं की तुलना करने पर अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? यह तब होता है जब परिणाम गणितीय कार्ययह संख्या के आकार, उपयोग की गई माप की इकाई और कार्रवाई करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें वह दरवाज़ा खोलता है और कहता है:

ओह! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- युवती! यह स्वर्ग में आरोहण के दौरान आत्माओं की अनिश्चित पवित्रता के अध्ययन के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर हेलो और ऊपर तीर. और कौन सा शौचालय?

महिला... शीर्ष पर प्रभामंडल और नीचे तीर पुरुष हैं।

अगर आपकी आंखों के सामने दिन में कई बार कुछ ऐसी चीज घूमती है डिज़ाइन कला,

फिर यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आपको अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन मिले:

व्यक्तिगत रूप से, मैं शौच कर रहे व्यक्ति (एक चित्र) में माइनस चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की एक रचना: एक माइनस चिह्न, संख्या चार, डिग्री का एक पदनाम)। और मुझे नहीं लगता कि यह लड़की मूर्ख है जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों को समझने की एक मजबूत रूढ़ि है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है.

1ए "शून्य से चार डिग्री" या "एक ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल नोटेशन में "पूपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं वे स्वचालित रूप से एक संख्या और एक अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में समझते हैं।