किस कंपन को हार्मोनिक समीकरण कहा जाता है। हार्मोनिक कंपन और उनकी विशेषताएं

प्रारंभिक चरण का चयन, हार्मोनिक दोलनों का वर्णन करते समय, साइन फ़ंक्शन से कोसाइन फ़ंक्शन की ओर जाने की अनुमति देता है:

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन:

हार्मोनिक नियम के अनुसार मुक्त कंपन होने के लिए, यह आवश्यक है कि शरीर को संतुलन स्थिति में वापस लाने वाला बल संतुलन स्थिति से शरीर के विस्थापन के समानुपाती हो और विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित हो:

दोलनशील पिंड का द्रव्यमान कहाँ है?

एक भौतिक प्रणाली जिसमें हार्मोनिक दोलन मौजूद हो सकते हैं, कहलाती है लयबद्ध दोलक,और हार्मोनिक कंपन का समीकरण है हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण.

1.2. कंपन का योग

अक्सर ऐसे मामले होते हैं जब एक प्रणाली एक साथ एक दूसरे से स्वतंत्र दो या कई दोलनों में भाग लेती है। इन मामलों में, एक जटिल दोलन गति बनती है, जो दोलनों को एक-दूसरे पर आरोपित (जोड़कर) करके बनाई जाती है। जाहिर है, दोलनों के योग के मामले बहुत विविध हो सकते हैं। वे न केवल जोड़े गए दोलनों की संख्या पर निर्भर करते हैं, बल्कि दोलनों के मापदंडों, उनकी आवृत्तियों, चरणों, आयामों और दिशाओं पर भी निर्भर करते हैं। दोलनों के योग के सभी संभावित प्रकार के मामलों की समीक्षा करना संभव नहीं है, इसलिए हम केवल व्यक्तिगत उदाहरणों पर विचार करने तक ही खुद को सीमित रखेंगे।

एक सीधी रेखा के अनुदिश निर्देशित हार्मोनिक दोलनों का योग

आइए हम समान अवधि के समान रूप से निर्देशित दोलनों के योग पर विचार करें, लेकिन प्रारंभिक चरण और आयाम में भिन्न हैं। जोड़े गए दोलनों के समीकरण निम्नलिखित रूप में दिए गए हैं:

विस्थापन कहां और कहां हैं; तथा - आयाम; और मुड़े हुए दोलनों के प्रारंभिक चरण हैं।

अंक 2।

एक वेक्टर आरेख (छवि 2) का उपयोग करके परिणामी दोलन के आयाम को निर्धारित करना सुविधाजनक है, जिस पर कोणों और अक्ष पर आयामों और जोड़े गए दोलनों के वेक्टर को प्लॉट किया जाता है, और समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, के आयाम वेक्टर को प्लॉट किया जाता है। कुल दोलन प्राप्त होता है.

यदि आप सदिशों की एक प्रणाली (समानांतर चतुर्भुज) को समान रूप से घुमाते हैं और सदिशों को अक्ष पर प्रक्षेपित करते हैं , तब उनके प्रक्षेपण दिए गए समीकरणों के अनुसार हार्मोनिक दोलन करेंगे। सदिशों की सापेक्ष स्थिति अपरिवर्तित रहती है, इसलिए परिणामी सदिश के प्रक्षेपण की दोलन गति भी हार्मोनिक होगी।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कुल गति एक चक्रीय आवृत्ति वाला एक हार्मोनिक दोलन है। आइए आयाम मापांक निर्धारित करें एपरिणामी दोलन. एक कोने में (समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोणों की समानता से)।

इस तरह,

यहाँ से: ।

कोसाइन प्रमेय के अनुसार,

परिणामी दोलन का प्रारंभिक चरण इससे निर्धारित होता है:

चरण और आयाम के संबंध हमें परिणामी गति के आयाम और प्रारंभिक चरण को खोजने और उसके समीकरण की रचना करने की अनुमति देते हैं:।

धड़कता है

आइए उस मामले पर विचार करें जब दो जोड़े गए दोलनों की आवृत्तियाँ एक-दूसरे से बहुत कम भिन्न होती हैं, और आयाम समान और प्रारंभिक चरण होने देते हैं, अर्थात।

आइए इन समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से जोड़ें:

आइए परिवर्तन करें

चावल। 3.

चूँकि यह धीरे-धीरे बदलता है, इसलिए मात्रा को शब्द के पूर्ण अर्थ में आयाम नहीं कहा जा सकता (आयाम एक स्थिर मात्रा है)। परंपरागत रूप से, इस मात्रा को परिवर्तनशील आयाम कहा जा सकता है। ऐसे दोलनों का एक ग्राफ चित्र 3 में दिखाया गया है। जोड़े गए दोलनों के आयाम समान हैं, लेकिन अवधि भिन्न हैं, और अवधि एक दूसरे से थोड़ी भिन्न हैं। जब ऐसे कंपनों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो धड़कनें देखी जाती हैं। प्रति सेकंड बीट्स की संख्या अतिरिक्त दोलनों की आवृत्तियों में अंतर से निर्धारित होती है, अर्थात।

धड़कन तब देखी जा सकती है जब दो ट्यूनिंग कांटे बजते हैं यदि आवृत्तियाँ और कंपन एक दूसरे के करीब हों।

परस्पर लंबवत् कंपनों का योग

मान लीजिए कि एक भौतिक बिंदु दो परस्पर लंबवत दिशाओं में समान अवधि के साथ होने वाले दो हार्मोनिक दोलनों में एक साथ भाग लेता है। एक आयताकार समन्वय प्रणाली को बिंदु की संतुलन स्थिति पर मूल बिंदु रखकर इन दिशाओं से जोड़ा जा सकता है। आइए हम क्रमशः और अक्षों के अनुदिश बिंदु C के विस्थापन को निरूपित करें . (चित्र 4)।

आइए कई विशेष मामलों पर विचार करें।

1). दोलनों के प्रारंभिक चरण समान होते हैं

आइए समय का प्रारंभिक बिंदु चुनें ताकि दोनों दोलनों के प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हों। फिर अक्षों के अनुदिश विस्थापन को समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

इन समानताओं को पद दर पद विभाजित करने पर, हमें बिंदु C के प्रक्षेपवक्र के लिए समीकरण प्राप्त होते हैं:
या ।

नतीजतन, दो परस्पर लंबवत दोलनों के योग के परिणामस्वरूप, बिंदु C निर्देशांक के मूल से गुजरने वाली एक सीधी रेखा खंड के साथ दोलन करता है (चित्र 4)।

चावल। 4.

2). प्रारंभिक चरण का अंतर है :

इस मामले में दोलन समीकरणों का रूप है:

बिंदु प्रक्षेपवक्र समीकरण:

नतीजतन, बिंदु C निर्देशांक के मूल से गुजरने वाली एक सीधी रेखा खंड के साथ दोलन करता है, लेकिन पहले मामले की तुलना में विभिन्न चतुर्थांशों में स्थित है। आयाम एदोनों विचारित मामलों में परिणामी दोलन बराबर है:

3). प्रारंभिक चरण का अंतर है .

दोलन समीकरणों का रूप है:

पहले समीकरण को इससे विभाजित करें, दूसरे को :

आइए दोनों समानताओं का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें। हम दोलन बिंदु के परिणामी आंदोलन के प्रक्षेपवक्र के लिए निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:

दोलन बिंदु C अर्ध-अक्षों और के साथ एक दीर्घवृत्त के अनुदिश गति करता है। समान आयामों के लिए, कुल गति का प्रक्षेप पथ एक वृत्त होगा। सामान्य स्थिति में, के लिए, लेकिन एकाधिक, यानी। , परस्पर लंबवत दोलनों को जोड़ने पर, दोलन बिंदु वक्रों के साथ चलता है जिसे लिसाजस आंकड़े कहा जाता है।

लिसाजौस आंकड़े

लिसाजौस आंकड़े- एक बिंदु द्वारा खींचे गए बंद प्रक्षेप पथ जो एक साथ दो परस्पर लंबवत दिशाओं में दो हार्मोनिक दोलन करते हैं।

सबसे पहले फ्रांसीसी वैज्ञानिक जूल्स एंटोनी लिसाजौस ने अध्ययन किया। आंकड़ों की उपस्थिति दोनों दोलनों की अवधि (आवृत्तियों), चरणों और आयामों के बीच संबंध पर निर्भर करती है(चित्र 5)।

चित्र.5.

दोनों अवधियों की समानता के सबसे सरल मामले में, आंकड़े दीर्घवृत्त होते हैं, जो चरण अंतर के साथ या तो सीधे खंडों में बदल जाते हैं, और चरण अंतर और समान आयाम के साथ, वे एक वृत्त में बदल जाते हैं। यदि दोनों दोलनों की अवधि बिल्कुल मेल नहीं खाती है, तो चरण अंतर हर समय बदलता रहता है, जिसके परिणामस्वरूप दीर्घवृत्त हर समय विकृत होता है। महत्वपूर्ण रूप से भिन्न अवधियों में, लिसाजौस के आंकड़े नहीं देखे गए हैं। हालाँकि, यदि अवधि पूर्णांक के रूप में संबंधित हैं, तो दोनों अवधियों के सबसे छोटे गुणज के बराबर समय अवधि के बाद, गतिमान बिंदु फिर से उसी स्थिति में लौट आता है - अधिक जटिल आकार के लिसाजस आंकड़े प्राप्त होते हैं।
लिसाजस आकृतियाँ एक आयत में फिट होती हैं, जिसका केंद्र निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, और भुजाएँ समन्वय अक्षों के समानांतर होती हैं और उनके दोनों किनारों पर दोलन आयामों के बराबर दूरी पर स्थित होती हैं (चित्र 6)।

§ 6. यांत्रिक कंपनमूल सूत्र

हार्मोनिक समीकरण

कहाँ एक्स -संतुलन स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन; टी- समय; ए,ω, φ - आयाम, कोणीय आवृत्ति, क्रमशः दोलनों का प्रारंभिक चरण; - इस समय दोलनों का चरण टी.

कोणीय आवृत्ति

जहां ν और T दोलनों की आवृत्ति और अवधि हैं।

हार्मोनिक दोलन करने वाले एक बिंदु की गति है

हार्मोनिक दोलन के दौरान त्वरण

आयाम एएक सीधी रेखा के साथ होने वाले समान आवृत्तियों के साथ दो दोलनों को जोड़ने से प्राप्त परिणामी दोलन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ ए 1 और ए 2 - कंपन घटकों के आयाम; φ 1 और φ 2 उनके प्रारंभिक चरण हैं।

परिणामी दोलन का प्रारंभिक चरण φ सूत्र से पाया जा सकता है

अलग-अलग लेकिन समान आवृत्तियों ν 1 और ν 2 के साथ एक सीधी रेखा के साथ होने वाले दो दोलनों को जोड़ने पर उत्पन्न होने वाली धड़कन की आवृत्ति,

आयाम ए 1 और ए 2 और प्रारंभिक चरण φ 1 और φ 2 के साथ दो परस्पर लंबवत दोलनों में भाग लेने वाले बिंदु के प्रक्षेपवक्र का समीकरण,

यदि दोलन घटकों के प्रारंभिक चरण φ 1 और φ 2 समान हैं, तो प्रक्षेपवक्र समीकरण रूप लेता है

अर्थात बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है।

इस घटना में कि चरण अंतर है, समीकरण रूप लेता है

अर्थात्, बिंदु एक दीर्घवृत्त के अनुदिश गति करता है।

किसी भौतिक बिंदु के हार्मोनिक दोलनों का विभेदक समीकरण

, या ,जहाँ m बिंदु का द्रव्यमान है; क- अर्ध-लोचदार बल गुणांक ( क=टीω 2).

हार्मोनिक दोलन करने वाले एक भौतिक बिंदु की कुल ऊर्जा है

स्प्रिंग (स्प्रिंग पेंडुलम) पर निलंबित किसी पिंड के दोलन की अवधि

कहाँ एम- शरीर का भार; क- स्प्रिंग में कठोरता।

सूत्र उस सीमा के भीतर लोचदार कंपन के लिए मान्य है जिसमें हुक का नियम संतुष्ट है (शरीर के द्रव्यमान की तुलना में स्प्रिंग के एक छोटे द्रव्यमान के साथ)।

कहाँ गणितीय लोलक के दोलन की अवधिएल - पेंडुलम की लंबाई;- जी

कहाँ गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधिजे

- अक्ष के सापेक्ष दोलनशील पिंड की जड़ता का क्षण संकोच;ए

- दोलन अक्ष से पेंडुलम के द्रव्यमान केंद्र की दूरी;

भौतिक लोलक की लंबाई कम होना।

दिए गए सूत्र अतिसूक्ष्म आयामों के मामले में सटीक हैं। परिमित आयामों के लिए, ये सूत्र केवल अनुमानित परिणाम देते हैं। इससे अधिक आयाम न होने पर, अवधि मान में त्रुटि 1% से अधिक नहीं होती है।

कहाँ गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि- एक लोचदार धागे पर लटके किसी पिंड के मरोड़ वाले कंपन की अवधि है क- लोचदार धागे के साथ मेल खाने वाले अक्ष के सापेक्ष शरीर की जड़ता का क्षण;

एक लोचदार धागे की कठोरता, धागे को मोड़ने पर उत्पन्न होने वाले लोचदार क्षण के उस कोण के अनुपात के बराबर होती है जिस पर धागा मुड़ता है। अवमंदित दोलनों का विभेदक समीकरण

कहाँ , या ,आर - - प्रतिरोध गुणांक; δ

अवमंदन गुणांक: ;ω 0 - दोलनों की प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति *

कहाँ नम दोलन समीकरण- पर) इस समय नम दोलनों का आयामटी;

ω उनकी कोणीय आवृत्ति है।

नम दोलनों की कोणीय आवृत्ति

О समय पर अवमंदित दोलनों के आयाम की निर्भरता

कहाँ ए 0 - मैं टी=0.

फिलहाल दोलनों का आयाम

कहाँ नम दोलन समीकरणऔर लघुगणक दोलन कमी- ए(टी+टी)

एक अवधि द्वारा समय में अलग किए गए दो क्रमिक दोलनों के आयाम।

मजबूर दोलनों का विभेदक समीकरण एक बाहरी आवधिक बल एक दोलनशील भौतिक बिंदु पर कार्य कर रहा है और मजबूर दोलन का कारण बन रहा है; 0 - एफ

इसका आयाम मान;

गुंजयमान आवृत्ति और गुंजयमान आयाम और

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1।बिन्दु नियम के अनुसार दोलन करता है एक्स(टी)=, कहाँ ए=2देखें प्रारंभिक चरण निर्धारित करें φ यदि

एक्स(0)=सेमी और एक्स , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента टी=0.

समाधान। आइए गति के समीकरण का उपयोग करें और इस समय विस्थापन को व्यक्त करें टी=0 प्रारंभिक चरण के माध्यम से:

यहाँ से हमें प्रारंभिक चरण मिलता है:

* हार्मोनिक कंपन के लिए पहले दिए गए सूत्रों में, समान मात्रा को केवल ω (सूचकांक 0 के बिना) निर्दिष्ट किया गया था।

आइए दिए गए मानों को इस अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें एक्स(0) और ए:φ= = . तर्क का मान दो कोण मानों से संतुष्ट होता है:

यह तय करने के लिए कि कोण φ का इनमें से कौन सा मान भी शर्त को पूरा करता है, हम पहले पाते हैं:

इस अभिव्यक्ति में मान को प्रतिस्थापित करना टी=0 और वैकल्पिक रूप से प्रारंभिक चरणों के मान और, हम पाते हैं

टी हमेशा की तरह ए>0 और ω>0, तो प्रारंभिक चरण का केवल पहला मान ही शर्त को पूरा करता है। इस प्रकार, वांछित प्रारंभिक चरण

φ के पाए गए मान का उपयोग करके, हम एक वेक्टर आरेख बनाते हैं (चित्र 6.1)। उदाहरण 2.द्रव्यमान के साथ सामग्री बिंदु टी=5 ग्राम आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलन करता है ν =0.5 हर्ट्ज. दोलन आयाम ए=3 सेमी. निर्धारित करें: 1) गति υ उस समय बिंदु जब विस्थापन एक्स== 1.5 सेमी; 2) बिंदु पर कार्य करने वाला अधिकतम बल F अधिकतम; 3) चित्र. 6.1 कुल ऊर्जा इदोलन बिंदु.

और हम विस्थापन का पहला समय व्युत्पन्न लेकर गति सूत्र प्राप्त करते हैं:

विस्थापन के माध्यम से गति को व्यक्त करने के लिए सूत्र (1) और (2) से समय को बाहर करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम दोनों समीकरणों का वर्ग करते हैं और पहले वाले को इससे विभाजित करते हैं ए 2 , A 2 ω 2 पर दूसरा और जोड़ें:

, या

υ के लिए अंतिम समीकरण हल करने के बाद , हम ढूंढ लेंगे

इस सूत्र का उपयोग करके गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

धन चिह्न उस स्थिति से मेल खाता है जब वेग की दिशा अक्ष की सकारात्मक दिशा से मेल खाती है एक्स,ऋण चिह्न - जब वेग की दिशा अक्ष की ऋणात्मक दिशा से मेल खाती है एक्स।

हार्मोनिक दोलन के दौरान विस्थापन, समीकरण (1) के अलावा, समीकरण द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है

इस समीकरण के साथ वही समाधान दोहराने पर हमें वही उत्तर मिलता है।

2. हम न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करके एक बिंदु पर लगने वाले बल का पता लगाते हैं:

कहाँ ए -बिंदु का त्वरण, जिसे हम गति का समय व्युत्पन्न लेकर प्राप्त करते हैं:

त्वरण अभिव्यक्ति को सूत्र (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

अतः अधिकतम बल मान

इस समीकरण में π, ν के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, टीऔर ए,हम ढूंढ लेंगे

3. एक दोलन बिंदु की कुल ऊर्जा समय में किसी भी क्षण के लिए गणना की गई गतिज और संभावित ऊर्जा का योग है।

कुल ऊर्जा की गणना करने का सबसे आसान तरीका उस समय होता है जब गतिज ऊर्जा अपने अधिकतम मूल्य पर पहुंच जाती है। इस समय स्थितिज ऊर्जा शून्य है। इसलिए कुल ऊर्जा इदोलन बिंदु अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है

हम सूत्र (2) से अधिकतम गति निर्धारित करते हैं: . गति के लिए व्यंजक को सूत्र (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

इस सूत्र में मात्राओं के मानों को प्रतिस्थापित करने और गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

या μJ.

उदाहरण 3.एक पतली छड़ की लंबाई के सिरों पर गणितीय लोलक के दोलन की अवधि= 1 मीटर और द्रव्यमान एम 3 =400 ग्राम द्रव्यमान वाली प्रबलित छोटी गेंदें एम 1 =200 ग्राम और एम 2 =300 ग्राम. छड़ एक क्षैतिज अक्ष के चारों ओर लंबवत दोलन करती है

छड़ से जुड़ा हुआ और उसके मध्य से होकर गुजरने वाला (चित्र 6.2 में बिंदु O)। अवधि को परिभाषित करें टीछड़ द्वारा किया गया दोलन.

समाधान। किसी भौतिक लोलक, जैसे गेंदों वाली छड़, के दोलन की अवधि संबंध द्वारा निर्धारित की जाती है

कहाँ गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि- टी -इसका द्रव्यमान; गणितीय लोलक के दोलन की अवधि साथ - लोलक के द्रव्यमान केन्द्र से अक्ष तक की दूरी।

इस लोलक का जड़त्व आघूर्ण गेंदों के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 1 और गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 2 और छड़ी गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 3:

गेंदों को भौतिक बिंदुओं के रूप में लेते हुए, हम उनकी जड़ता के क्षणों को व्यक्त करते हैं:

चूँकि अक्ष छड़ के मध्य से होकर गुजरता है, इस अक्ष के सापेक्ष इसका जड़त्व आघूर्ण होता है गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 3 = =. परिणामी भावों को प्रतिस्थापित करना गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 1 , गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 2 और गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधिसूत्र (2) में 3, हम भौतिक पेंडुलम की जड़ता का कुल क्षण पाते हैं:

इस सूत्र का उपयोग करके गणना करने पर, हम पाते हैं

चावल। 6.2 लोलक के द्रव्यमान में गेंदों का द्रव्यमान और छड़ का द्रव्यमान शामिल होता है:

दूरी गणितीय लोलक के दोलन की अवधि साथ हम निम्नलिखित विचारों के आधार पर दोलन अक्ष से लोलक के द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात करेंगे। यदि अक्ष एक्सछड़ के अनुदिश निर्देशित करें और निर्देशांक के मूल को बिंदु के साथ संरेखित करें के बारे में,फिर आवश्यक दूरी गणितीय लोलक के दोलन की अवधिपेंडुलम के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक के बराबर, अर्थात

मात्राओं के मानों को प्रतिस्थापित करना एम 1 , एम 2 , एम, गणितीय लोलक के दोलन की अवधिऔर गणना करने के बाद हम पाते हैं

सूत्र (1) का उपयोग करके गणना करने पर, हमें एक भौतिक पेंडुलम की दोलन अवधि प्राप्त होती है:

उदाहरण 4.एक भौतिक लोलक लम्बाई की एक छड़ है गणितीय लोलक के दोलन की अवधि= 1 मीटर और द्रव्यमान 3 टी 1 साथइसके एक सिरे पर व्यास और द्रव्यमान का एक घेरा लगा होता है टी 1 . क्षैतिज अक्ष आउंस

लोलक छड़ के मध्य से लंबवत होकर गुजरता है (चित्र 6.3)। अवधि को परिभाषित करें टीऐसे पेंडुलम का दोलन.

समाधान। भौतिक लोलक के दोलन की अवधि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

(1)

कहाँ गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि- दोलन अक्ष के सापेक्ष पेंडुलम की जड़ता का क्षण; टी -इसका द्रव्यमान; गणितीय लोलक के दोलन की अवधिसी - पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र से दोलन अक्ष तक की दूरी।

लोलक का जड़त्व आघूर्ण छड़ के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 1 और घेरा गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 2:

(2).

छड़ के लंबवत और उसके द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष छड़ की जड़ता का क्षण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है . इस मामले में टी= 3टी 1 और

हम स्टीनर के प्रमेय का उपयोग करके घेरा की जड़ता का क्षण ज्ञात करते हैं ,कहाँ गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि- एक मनमाना अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण; गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 0 - किसी दिए गए अक्ष के समानांतर द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण; ए -संकेतित अक्षों के बीच की दूरी. इस सूत्र को घेरा पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है

भावों को प्रतिस्थापित करना गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि 1 और गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधिसूत्र (2) में 2, हम घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पेंडुलम की जड़ता का क्षण पाते हैं:

दूरी गणितीय लोलक के दोलन की अवधि साथ लोलक की धुरी से उसके केंद्र तक का द्रव्यमान बराबर होता है

व्यंजकों को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करना गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि, गणितीय लोलक के दोलन की अवधि s और पेंडुलम का द्रव्यमान, हम इसके दोलनों की अवधि पाते हैं:

इस सूत्र का उपयोग करके गणना करने पर हमें प्राप्त होता है टी=2.17 सेकंड.

उदाहरण 5.समीकरणों द्वारा व्यक्त एक ही दिशा के दो दोलन जोड़े जाते हैं; एक्स 2 = =, कहाँ ए 1 = 1 सेमी, ए 2 =2 सेमी, s, s, ω = =. 1. थरथरानवाला के घटकों के प्रारंभिक चरण φ 1 और φ 2 निर्धारित करें

बनिया. 2. आयाम ज्ञात कीजिये एऔर परिणामी दोलन का प्रारंभिक चरण φ। परिणामी कंपन के लिए समीकरण लिखें।

समाधान। 1. हार्मोनिक कंपन के समीकरण का रूप है

आइए हम समस्या कथन में निर्दिष्ट समीकरणों को उसी रूप में रूपांतरित करें:

अभिव्यक्ति (2) की समानता (1) के साथ तुलना से, हम पहले और दूसरे दोलन के प्रारंभिक चरण पाते हैं:

ख़ुशी और खुश।

2. आयाम निर्धारित करने के लिए एपरिणामी दोलन के लिए, प्रस्तुत वेक्टर आरेख का उपयोग करना सुविधाजनक है चावल। 6.4. कोसाइन प्रमेय के अनुसार, हमें मिलता है

चूँकि दोलन घटकों का चरण अंतर है , फिर φ 2 और φ 1 के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें रेड मिलता है।

आइए मूल्यों को प्रतिस्थापित करें ए 1 , ए 2 और सूत्र (3) में और गणना करें:

ए= 2.65 सेमी.

आइए सीधे चित्र से परिणामी दोलन के प्रारंभिक चरण φ की स्पर्शरेखा निर्धारित करें। 6.4: ,प्रारंभिक चरण कहाँ से आता है?

दोलनों का सबसे सरल प्रकार है हार्मोनिक कंपन- दोलन जिसमें संतुलन स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदलता है।

इस प्रकार, एक वृत्त में गेंद के एकसमान घुमाव के साथ, इसका प्रक्षेपण (प्रकाश की समानांतर किरणों में छाया) एक ऊर्ध्वाधर स्क्रीन पर एक हार्मोनिक दोलन गति करता है (चित्र 1)।

हार्मोनिक कंपन के दौरान संतुलन स्थिति से विस्थापन को एक समीकरण (इसे हार्मोनिक गति का गतिज नियम कहा जाता है) द्वारा वर्णित किया गया है:

जहां x विस्थापन है - एक मात्रा जो संतुलन स्थिति के सापेक्ष समय t पर दोलन बिंदु की स्थिति को दर्शाती है और एक निश्चित समय पर संतुलन स्थिति से बिंदु की स्थिति तक की दूरी से मापी जाती है; ए - दोलनों का आयाम - संतुलन स्थिति से शरीर का अधिकतम विस्थापन; टी - दोलन की अवधि - एक पूर्ण दोलन का समय; वे। समय की सबसे छोटी अवधि जिसके बाद दोलन को चिह्नित करने वाली भौतिक मात्राओं के मान दोहराए जाते हैं; - पहला भाग;

समय टी पर दोलन चरण। दोलन चरण एक आवधिक कार्य का एक तर्क है, जो किसी दिए गए दोलन आयाम के लिए, किसी भी समय शरीर की दोलन प्रणाली (विस्थापन, गति, त्वरण) की स्थिति निर्धारित करता है।

यदि समय के प्रारंभिक क्षण में दोलन बिंदु संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापित हो जाता है, तो, और संतुलन स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदल जाता है

यदि दोलन बिंदु स्थिर संतुलन की स्थिति में है, तो संतुलन स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदलता है

मान V, अवधि का व्युत्क्रम और 1 s में पूर्ण पूर्ण दोलनों की संख्या के बराबर, दोलन आवृत्ति कहलाता है:

यदि समय t के दौरान शरीर N पूर्ण दोलन करता है, तो

आकार यह दर्शाना कि कोई वस्तु s में कितने दोलन करती है, कहलाती है चक्रीय (परिपत्र) आवृत्ति.

हार्मोनिक गति का गतिक नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ग्राफ़िक रूप से, समय पर एक दोलन बिंदु के विस्थापन की निर्भरता को कोसाइन तरंग (या साइन तरंग) द्वारा दर्शाया जाता है।

चित्र 2, मामले के लिए संतुलन स्थिति से दोलन बिंदु के विस्थापन की समय निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है।

आइए जानें कि समय के साथ एक दोलन बिंदु की गति कैसे बदलती है। ऐसा करने के लिए, हम इस अभिव्यक्ति का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

x-अक्ष पर वेग प्रक्षेपण का आयाम कहां है।

यह सूत्र दर्शाता है कि हार्मोनिक दोलनों के दौरान, एक्स-अक्ष पर शरीर के वेग का प्रक्षेपण भी एक हार्मोनिक कानून के अनुसार एक ही आवृत्ति के साथ, एक अलग आयाम के साथ बदलता है और चरण में विस्थापन से आगे होता है (चित्र 2, बी) ).

त्वरण की निर्भरता को स्पष्ट करने के लिए, हम वेग प्रक्षेपण का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

एक्स-अक्ष पर त्वरण प्रक्षेपण का आयाम कहां है।

हार्मोनिक दोलनों के साथ, त्वरण प्रक्षेपण k (छवि 2, सी) द्वारा चरण विस्थापन से आगे है।

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त्वरण समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है।

किसी बिंदु की तात्कालिक गति समय के संबंध में बिंदु के निर्देशांक का व्युत्पन्न है।
किसी बिंदु का त्वरण समय के संबंध में उसकी गति का व्युत्पन्न है, या समय के संबंध में समन्वय का दूसरा व्युत्पन्न है।
इसलिए, पेंडुलम की गति का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहां x" समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है।

मुक्त दोलनों के लिए, निर्देशांक एक्ससमय के साथ बदलता है ताकि समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न सीधे निर्देशांक के समानुपाती हो और संकेत में विपरीत हो।

हार्मोनिक कंपन

गणित से: साइन और कोसाइन के दूसरे व्युत्पन्न उनके तर्क से स्वयं कार्यों के समानुपाती होते हैं, विपरीत चिह्न के साथ लिए जाते हैं, और किसी अन्य फ़ंक्शन में यह संपत्ति नहीं होती है।
इसीलिए:
मुक्त दोलन करने वाले पिंड का समन्वय समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदलता रहता है।

समय के आधार पर किसी भौतिक राशि में साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होने वाले आवधिक परिवर्तन कहलाते हैं हार्मोनिक कंपन.

दोलन आयाम

आयामहार्मोनिक दोलन किसी पिंड के उसकी संतुलन स्थिति से सबसे बड़े विस्थापन का मापांक है।

आयाम प्रारंभिक स्थितियों द्वारा, या अधिक सटीक रूप से शरीर को प्रदान की गई ऊर्जा द्वारा निर्धारित किया जाता है।

शरीर के निर्देशांक बनाम समय का ग्राफ एक कोसाइन तरंग है।

एक्स = एक्स एम कॉस ω 0 टी

फिर गति का समीकरण पेंडुलम के मुक्त दोलनों का वर्णन करता है:

हार्मोनिक दोलनों की अवधि और आवृत्ति।

दोलन करते समय, शरीर की गतिविधियाँ समय-समय पर दोहराई जाती हैं।
वह समयावधि T कहलाती है जिसके दौरान सिस्टम दोलनों का एक पूरा चक्र पूरा करता है दोलन की अवधि.

दोलन आवृत्ति प्रति इकाई समय दोलनों की संख्या है।
यदि समय T में एक दोलन होता है, तो प्रति सेकंड दोलनों की संख्या

अंतर्राष्ट्रीय इकाई प्रणाली (SI) में आवृत्ति की इकाई को कहा जाता है हेटर्स(हर्ट्ज) जर्मन भौतिक विज्ञानी जी. हर्ट्ज़ के सम्मान में।

प्रति 2π s में दोलनों की संख्या बराबर है:

मात्रा ω 0 चक्रीय (या गोलाकार) दोलन आवृत्ति है।
एक आवर्त के बराबर समयावधि के बाद दोलन दोहराए जाते हैं।

मुक्त कंपन की आवृत्ति कहलाती है प्राकृतिक आवृत्तिदोलन प्रणाली.
अक्सर, संक्षिप्तता के लिए, चक्रीय आवृत्ति को केवल आवृत्ति कहा जाता है।

प्रणाली के गुणों पर मुक्त दोलनों की आवृत्ति और अवधि की निर्भरता।

1.स्प्रिंग पेंडुलम के लिए

स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति बराबर होती है:

स्प्रिंग की कठोरता k जितनी अधिक होगी, वह उतनी ही अधिक होगी, और जितनी कम होगी, शरीर का द्रव्यमान m उतना ही अधिक होगा।
एक कठोर स्प्रिंग शरीर को अधिक त्वरण प्रदान करता है, शरीर की गति को तेजी से बदलता है, और शरीर जितना अधिक विशाल होता है, बल के प्रभाव में वह उतनी ही धीमी गति से बदलता है।

दोलन अवधि इसके बराबर है:

स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन की अवधि दोलन के आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

2.धागा पेंडुलम के लिए

ऊर्ध्वाधर से धागे के विचलन के छोटे कोणों पर गणितीय पेंडुलम के दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति पेंडुलम की लंबाई और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर करती है:

इन दोलनों की अवधि बराबर होती है

विक्षेपण के छोटे कोणों पर धागे के पेंडुलम के दोलन की अवधि दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

पेंडुलम की लंबाई बढ़ने के साथ दोलन की अवधि बढ़ती है। यह लोलक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

g जितना छोटा होगा, पेंडुलम के दोलन की अवधि उतनी ही लंबी होगी और इसलिए, पेंडुलम घड़ी उतनी ही धीमी चलेगी। इस प्रकार, एक छड़ी पर भार के रूप में पेंडुलम वाली एक घड़ी यदि बेसमेंट से मॉस्को विश्वविद्यालय की सबसे ऊपरी मंजिल (ऊंचाई 200 मीटर) तक उठाई जाती है, तो यह प्रति दिन लगभग 3 सेकंड पीछे हो जाएगी। और यह केवल ऊंचाई के साथ मुक्त गिरावट के त्वरण में कमी के कारण है।