पॉइसन वितरण सूत्र उदाहरण. पॉइसन वितरण (दुर्लभ घटनाओं का नियम)

कई व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में, एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है पॉसों वितरण. बहुत सारी संख्याएँ पृथक मात्राएँनिम्नलिखित गुणों के साथ पॉइसन प्रक्रिया की प्राप्ति होती है:

• हम इस बात में रुचि रखते हैं कि किसी यादृच्छिक प्रयोग के संभावित परिणामों की दी गई सीमा में कोई घटना कितनी बार घटित होती है। संभावित परिणामों का क्षेत्र एक समय अंतराल, एक खंड, एक सतह इत्यादि हो सकता है।
• किसी दी गई घटना की संभावना संभावित परिणामों के सभी क्षेत्रों के लिए समान है।
• संभावित परिणामों के एक क्षेत्र में होने वाली घटनाओं की संख्या अन्य क्षेत्रों में होने वाली घटनाओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।
• किसी घटना के संभावित परिणामों की एक ही श्रेणी में एक से अधिक बार घटित होने की संभावना शून्य हो जाती है क्योंकि संभावित परिणामों की सीमा कम हो जाती है।

पॉइसन प्रक्रिया के अर्थ की गहरी समझ हासिल करने के लिए, मान लीजिए कि हम दोपहर के भोजन के दौरान केंद्रीय व्यापार जिले में स्थित बैंक शाखा में आने वाले ग्राहकों की संख्या की जांच करते हैं, यानी। 12 से 13 घंटे तक. मान लीजिए आप प्रति मिनट आने वाले ग्राहकों की संख्या निर्धारित करना चाहते हैं। क्या इस स्थिति में ऊपर सूचीबद्ध विशेषताएं हैं? सबसे पहले, जिस घटना में हम रुचि रखते हैं वह ग्राहक का आगमन है, और संभावित परिणामों की सीमा एक मिनट का अंतराल है। एक मिनट में कितने ग्राहक बैंक में आएंगे - कोई नहीं, एक, दो या अधिक? दूसरा, यह मान लेना उचित है कि एक मिनट के भीतर ग्राहक के आने की संभावना सभी एक मिनट के अंतराल के लिए समान है। तीसरा, किसी एक मिनट के अंतराल के दौरान एक ग्राहक का आगमन किसी अन्य एक मिनट के अंतराल के दौरान किसी अन्य ग्राहक के आगमन से स्वतंत्र होता है। और, अंत में, यदि समय अंतराल शून्य हो जाता है, उदाहरण के लिए, 0.1 सेकंड से कम हो जाता है, तो एक से अधिक ग्राहकों के बैंक में आने की संभावना शून्य हो जाती है। तो, एक मिनट के भीतर दोपहर के भोजन के दौरान बैंक में आने वाले ग्राहकों की संख्या को पॉइसन वितरण द्वारा वर्णित किया गया है।

पॉइसन वितरण में एक पैरामीटर होता है, जिसे प्रतीक λ (ग्रीक अक्षर "लैम्ब्डा") द्वारा दर्शाया जाता है - संभावित परिणामों की दी गई सीमा में सफल परीक्षणों की औसत संख्या। पॉइसन वितरण का विचरण भी λ है और इसका मानक विचलन है। सफल परीक्षणों की संख्या एक्सप्वासों अनियमित परिवर्तनशील वस्तु 0 से अनंत तक भिन्न होता है। पॉइसन वितरण सूत्र द्वारा वर्णित है:

कहाँ पी(एक्स)- संभावना एक्ससफल परीक्षण, λ सफलताओं की अपेक्षित संख्या है, इ- प्राकृतिक लघुगणक का आधार, 2.71828 के बराबर, एक्स- समय की प्रति इकाई सफलताओं की संख्या।

आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएँ। मान लीजिए कि लंच ब्रेक के दौरान प्रति मिनट औसतन तीन ग्राहक बैंक आते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक निश्चित मिनट में दो ग्राहक बैंक में आएंगे? इसकी क्या संभावना है कि दो से अधिक ग्राहक बैंक में आएंगे?

आइए पैरामीटर λ = 3 के साथ सूत्र (1) लागू करें। फिर एक निश्चित मिनट के दौरान दो ग्राहकों के बैंक में आने की संभावना बराबर है

दो से अधिक ग्राहकों के बैंक में आने की प्रायिकता P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = ∞) है। चूँकि सभी संभावनाओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए, सूत्र के दाईं ओर श्रृंखला के सदस्य घटना X ≤ 2 के जुड़ने की संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं। दूसरे शब्दों में, इस श्रृंखला का योग 1 - P है (एक्स ≤ 2). इस प्रकार, P(X> 2) = 1 - P(X≤2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]। अब, सूत्र (1) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, एक मिनट के भीतर दो से अधिक ग्राहकों के बैंक में नहीं आने की संभावना 0.423 (या 42.3%) है, और एक मिनट के भीतर दो से अधिक ग्राहकों के बैंक में आने की संभावना 0.577 (या 57.7%) है।

ऐसी गणनाएँ कठिन लग सकती हैं, खासकर यदि पैरामीटर λ काफी बड़ा है। कन्नी काटना जटिल गणना, कई पॉइसन संभावनाएं विशेष तालिकाओं में पाई जा सकती हैं (चित्र 1)। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए मिनट में दो ग्राहकों के बैंक में आने की संभावना, यदि प्रति मिनट औसतन तीन ग्राहक बैंक में आते हैं, तो लाइन के चौराहे पर है एक्स= 2 और कॉलम λ = 3. इस प्रकार, यह 0.2240 या 22.4% के बराबर है।

चावल। 1. λ = 3 के लिए पॉइसन प्रायिकता

अब यह संभावना नहीं है कि यदि एक्सेल के पास उसका फ़ंक्शन =POISSON.DIST() (चित्र 2) है तो कोई भी तालिकाओं का उपयोग करेगा। इस फ़ंक्शन के तीन पैरामीटर हैं: सफल परीक्षणों की संख्या एक्स, सफल परीक्षणों की औसत अपेक्षित संख्या λ, पैरामीटर अभिन्न, जो दो मान लेता है: गलत - इस मामले में, सफल परीक्षणों की संख्या की संभावना की गणना की जाती है एक्स(केवल एक्स), सत्य - इस मामले में, सफल परीक्षणों की संख्या की संभावना 0 से है एक्स।

चावल। 2. λ = 3 के लिए पॉइसन वितरण संभावनाओं की एक्सेल में गणना

पॉइसन वितरण का उपयोग करके द्विपद वितरण का अनुमान

यदि संख्या एनबड़ी, और संख्या आर- छोटा, द्विपद वितरण का अनुमान पॉइसन वितरण का उपयोग करके लगाया जा सकता है। संख्या जितनी अधिक होगी एनऔर कम संख्या आर, सन्निकटन सटीकता जितनी अधिक होगी। सन्निकटन के लिए द्विपद वितरणइस्तेमाल किया गया अगला मॉडलपॉइसन.

कहाँ पी(एक्स)- संभावना एक्सदिए गए मापदंडों के साथ सफलता एनऔर आर, एन- नमूने का आकार, आर-सफलता की सच्ची संभावना, इप्राकृतिक लघुगणक का आधार है, एक्स- नमूने में सफलताओं की संख्या (X = 0, 1, 2,…, एन).

सैद्धांतिक रूप से, एक यादृच्छिक चर जिसमें पॉइसन वितरण होता है, 0 से ∞ तक मान लेता है। हालाँकि, उन स्थितियों में जहां पॉइसन वितरण का उपयोग द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, पॉइसन यादृच्छिक चर बीच में सफलताओं की संख्या है एनअवलोकन - संख्या से अधिक नहीं हो सकते एन. सूत्र (2) से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्या में वृद्धि के साथ एनऔर संख्या में कमी आरबड़ी संख्या में सफलताएँ मिलने की संभावना कम हो जाती है और शून्य हो जाती है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, गणितीय अपेक्षा µ और पॉइसन वितरण का विचरण σ 2 λ के बराबर है। इसलिए, पॉइसन वितरण का उपयोग करके द्विपद वितरण का अनुमान लगाते समय, गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए सूत्र (3) का उपयोग किया जाना चाहिए।

(3) µ = Е(Х) = λ =एनपी

मानक विचलन का अनुमान लगाने के लिए फॉर्मूला (4) का उपयोग किया जाता है।

कृपया ध्यान दें कि सूत्र (4) द्वारा परिकलित मानक विचलन की ओर प्रवृत्त होता है मानक विचलनद्विपद मॉडल में, जब सफलता की संभावना पीशून्य हो जाता है, और, तदनुसार, विफलता की संभावना 1 - पीएकता की ओर प्रवृत्त होता है।

मान लें कि एक निश्चित संयंत्र में उत्पादित 8% टायर ख़राब हैं। द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए पॉइसन वितरण के उपयोग को स्पष्ट करने के लिए, हम 20 टायरों के नमूने में एक दोषपूर्ण टायर खोजने की संभावना की गणना करते हैं। हम सूत्र (2) लागू करते हैं, हमें प्राप्त होता है

यदि हम इसके सन्निकटन के बजाय वास्तविक द्विपद वितरण की गणना करें, तो हमें निम्नलिखित परिणाम मिलेगा:

हालाँकि, ये गणनाएँ काफी कठिन हैं। उसी समय, यदि आप संभावनाओं की गणना के लिए एक्सेल का उपयोग करते हैं, तो पॉइसन वितरण सन्निकटन का उपयोग करना अनावश्यक हो जाता है। अंजीर पर. 3 दिखाता है कि एक्सेल में गणना की जटिलता समान है। हालाँकि, यह खंड, मेरी राय में, यह समझने में उपयोगी है कि, कुछ शर्तों के तहत, द्विपद वितरण और पॉइसन वितरण करीबी परिणाम देते हैं।

चावल। 3. एक्सेल में गणनाओं की जटिलता की तुलना: (ए) पॉइसन वितरण; (बी) द्विपद वितरण

तो, इस और पिछले दो नोटों में, तीन अलग-अलग संख्यात्मक वितरणों पर विचार किया गया था:, और पॉइसन। यह बेहतर ढंग से समझने के लिए कि ये वितरण एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं, हम प्रश्नों का एक छोटा पेड़ प्रस्तुत करते हैं (चित्र 4)।

चावल। 4. वर्गीकरण असतत वितरणसंभावनाओं

लेविन एट अल पुस्तक से सामग्री। प्रबंधकों के लिए सांख्यिकी का उपयोग किया जाता है। - एम.: विलियम्स, 2004. - पी. 320-328

संक्षिप्त सिद्धांत

मान लीजिए कि स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की संभावना बराबर होती है। इन परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संभावना निर्धारित करने के लिए बर्नौली सूत्र का उपयोग किया जाता है। यदि यह बड़ा है, तो या का उपयोग करें। हालाँकि, यदि यह छोटा है तो यह सूत्र उपयुक्त नहीं है। इन मामलों में (बड़े, छोटे) व्यक्ति स्पर्शोन्मुख का सहारा लेता है पॉइसन सूत्र.

आइए हम स्वयं को इस संभावना को खोजने का कार्य निर्धारित करें कि बहुत बड़ी संख्या में परीक्षणों के लिए, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना की संभावना बहुत कम है, घटना ठीक एक बार घटित होगी। आइए एक महत्वपूर्ण धारणा बनाएं: उत्पाद एक स्थिर मूल्य बनाए रखता है, अर्थात्। इसका मतलब है कि विभिन्न परीक्षण श्रृंखलाओं में किसी घटना के घटित होने की औसत संख्या, यानी। पर विभिन्न मूल्य, अपरिवर्तित।

समस्या समाधान उदाहरण

कार्य 1

आधार पर 10,000 विद्युत लैंप प्राप्त हुए। रास्ते में लैंप के टूटने की प्रायिकता 0.0003 है। परिणामी लैंपों में से पांच लैंपों के टूटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान

पॉइसन सूत्र की प्रयोज्यता के लिए शर्त:

यदि एक अलग परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संभावना शून्य के काफी करीब है, तो परीक्षणों की संख्या के बड़े मूल्यों के लिए भी, संभावना की गणना की जाती है स्थानीय प्रमेयलाप्लास पर्याप्त सटीक नहीं है. ऐसे मामलों में, पॉइसन द्वारा प्राप्त सूत्र का उपयोग करें।

बता दें कि घटना- 5 दीपक तोड़े गए

आइए पॉइसन सूत्र का उपयोग करें:

हमारे मामले में:

उत्तर

कार्य 2

कंपनी के पास 1000 उपकरण हैं एक खास तरह का. एक घंटे के भीतर उपकरण के एक टुकड़े की विफलता की संभावना 0.001 है। एक घंटे के भीतर उपकरण विफलताओं की संख्या के वितरण का नियम बनाएं। संख्यात्मक विशेषताएँ खोजें.

समाधान

यादृच्छिक चर - उपकरण विफलताओं की संख्या, मान ले सकते हैं

आइए पॉइसन के नियम का उपयोग करें:

आइए इन संभावनाओं को खोजें:

पॉइसन कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण इस वितरण के पैरामीटर के बराबर है:

मध्यमसमाधान लागत नियंत्रण कार्य 700 - 1200 रूबल (लेकिन पूरे ऑर्डर के लिए 300 रूबल से कम नहीं)। कीमत निर्णय की तात्कालिकता (दिनों से लेकर कई घंटों तक) से काफी प्रभावित होती है। परीक्षा/परीक्षा में ऑनलाइन सहायता की लागत - 1000 रूबल से। टिकट समाधान के लिए.

एप्लिकेशन को सीधे चैट में छोड़ा जा सकता है, जिसमें पहले कार्यों की स्थिति बताई गई है और आपको इसे हल करने की समय सीमा के बारे में सूचित किया गया है। प्रतिक्रिया समय कई मिनट है.

पॉइसन वितरण पर विचार करें, इसकी गणितीय अपेक्षा, विचरण, मोड की गणना करें। MS EXCEL फ़ंक्शन POISSON.DIST() का उपयोग करके, हम वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व ग्राफ़ बनाते हैं। आइए वितरण पैरामीटर, इसकी गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन का अनुमान लगाएं।

सबसे पहले, हम वितरण की एक शुष्क औपचारिक परिभाषा देते हैं, फिर हम उन स्थितियों के उदाहरण देते हैं जहाँ पॉसों वितरण(अंग्रेज़ी) प्वासोंवितरण) एक यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए एक पर्याप्त मॉडल है।

यदि किसी निश्चित समयावधि में (या पदार्थ के एक निश्चित आयतन में) औसत आवृत्ति के साथ यादृच्छिक घटनाएँ घटित होती हैं λ( लैम्ब्डा), फिर घटनाओं की संख्या एक्स, इस अवधि के दौरान हुआ होगा पॉसों वितरण.

पॉइसन वितरण लागू करना

उदाहरण जब पॉसों वितरणएक पर्याप्त मॉडल है:

• प्राप्त कॉलों की संख्या टेलिफ़ोन एक्सचेंजपीछे निश्चित अवधिसमय;
• किसी निश्चित समयावधि में रेडियोधर्मी क्षय से गुजरने वाले कणों की संख्या;
• एक निश्चित लंबाई के कपड़े के टुकड़े में दोषों की संख्या।

पॉसों वितरणयदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं तो यह एक पर्याप्त मॉडल है:

• घटनाएँ एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से घटित होती हैं, अर्थात् अगली घटना की संभावना पिछली घटना पर निर्भर नहीं करती;
• घटनाओं की औसत आवृत्ति स्थिर है. परिणामस्वरूप, किसी घटना की संभावना अवलोकन अंतराल की लंबाई के समानुपाती होती है;
• दो घटनाएँ एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं;
• घटनाओं की संख्या का मान 0 होना चाहिए; 1; 2…

टिप्पणी: प्रेक्षित यादृच्छिक चर के पास एक अच्छा सुराग है पॉसों वितरण,तथ्य यह है कि लगभग बराबर है (नीचे देखें)।

निम्नलिखित स्थितियों के उदाहरण हैं जहां पॉसों वितरण नही सकतालागू हो जाए:

• एक घंटे के भीतर विश्वविद्यालय छोड़ने वाले छात्रों की संख्या (क्योंकि छात्रों का औसत प्रवाह स्थिर नहीं है: कक्षाओं के दौरान कुछ छात्र होते हैं, और कक्षाओं के बीच छात्रों की संख्या तेजी से बढ़ जाती है);
• कैलिफ़ोर्निया में प्रति वर्ष 5 अंक के आयाम वाले भूकंपों की संख्या (क्योंकि एक भूकंप एक समान आयाम के बार-बार झटके पैदा कर सकता है - घटनाएं स्वतंत्र नहीं हैं);
• गहन देखभाल इकाई में रोगियों द्वारा बिताए गए दिनों की संख्या (क्योंकि गहन देखभाल इकाई में रोगियों द्वारा बिताए गए दिनों की संख्या हमेशा 0 से अधिक होती है)।

टिप्पणी: पॉसों वितरणअधिक सटीक असतत वितरण का एक अनुमान है: और।

टिप्पणी: रिश्ते के बारे में पॉसों वितरणऔर द्विपद वितरणलेख में पढ़ा जा सकता है. रिश्ते के बारे में पॉसों वितरणऔर घातांकी रूप से वितरणके बारे में लेख में पाया जा सकता है।

एमएस एक्सेल में पॉइसन वितरण

MS EXCEL में, संस्करण 2010 से प्रारंभ करते हुए वितरण प्वासोंएक फ़ंक्शन POISSON.DIST() है, अंग्रेजी नाम- POISSON.DIST(), जो आपको न केवल उस संभावना की गणना करने की अनुमति देता है जो एक निश्चित अवधि में घटित होगी एक्सघटनाएँ (फ़ंक्शन संभावित गहराईपी(एक्स), ऊपर सूत्र देखें), लेकिन यह भी (संभावना है कि कम से कम एक निश्चित अवधि में एक्सआयोजन)।

MS EXCEL 2010 से पहले, EXCEL में POISSON() फ़ंक्शन था, जो आपको गणना करने की भी अनुमति देता है वितरण समारोहऔर संभावित गहराईपी(एक्स). अनुकूलता के लिए MS EXCEL 2010 में POISSON() को छोड़ दिया गया है।

उदाहरण फ़ाइल में ग्राफ़ हैं संभाव्यता वितरण घनत्वऔर अभिन्न वितरण समारोह.

पॉसों वितरणइसका आकार तिरछा है (संभावना फ़ंक्शन के दाईं ओर एक लंबी पूंछ), लेकिन जैसे-जैसे पैरामीटर λ बढ़ता है, यह अधिक से अधिक सममित हो जाता है।

टिप्पणी: औसतऔर फैलाव(वर्ग) पैरामीटर के बराबर हैं पॉसों वितरण- λ (देखें उदाहरण फ़ाइल शीट उदाहरण).

काम

ठेठ आवेदन पॉइसन वितरणगुणवत्ता नियंत्रण में, किसी डिवाइस या डिवाइस में दिखाई देने वाले दोषों की संख्या का एक मॉडल है।

उदाहरण के लिए, यदि किसी चिप λ (लैम्ब्डा) में दोषों की औसत संख्या 4 है, तो यादृच्छिक रूप से चयनित चिप में 2 या उससे कम दोष होने की संभावना बराबर है: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

फ़ंक्शन में तीसरा पैरामीटर = TRUE सेट है, इसलिए फ़ंक्शन वापस आ जाएगा अभिन्न वितरण समारोह, अर्थात्, संभाव्यता कि संख्या यादृच्छिक घटनाएँ 0 से 4 तक की सीमा में सम्मिलित होगा।

इस मामले में गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चयनित चिप में ठीक 2 दोष होंगे: POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

फ़ंक्शन में तीसरा पैरामीटर = FALSE सेट है, इसलिए फ़ंक्शन संभाव्यता घनत्व लौटाएगा।

यादृच्छिक रूप से चयनित चिप में 2 से अधिक दोष होने की संभावना बराबर है: = 1-पॉइसन.डिस्ट (2, 4, सत्य) = 0.8535

टिप्पणी: अगर एक्सएक पूर्णांक नहीं है, तो सूत्र की गणना करते समय। सूत्रों =POISSON.DIST( 2 ; 4; झूठ)और =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; झूठ)वही परिणाम लौटाएगा.

यादृच्छिक संख्या निर्माण और λ अनुमान

मूल्यों के लिए λ >15 , पॉसों वितरणअच्छी तरह से अनुमानित सामान्य वितरणनिम्नलिखित मापदंडों के साथ: μ =λ , σ 2 =λ .

आप लेख में इन वितरणों के बीच संबंध के बारे में अधिक पढ़ सकते हैं। वहां सन्निकटन के उदाहरण भी दिए गए हैं और स्थितियों की व्याख्या की गई है कि यह कब संभव है और कितनी सटीकता के साथ।

सलाह: आप लेख में MS EXCEL के अन्य वितरणों के बारे में पढ़ सकते हैं।

अधिकांश सामान्य मामलाविभिन्न प्रकार के संभाव्यता वितरण द्विपद वितरण हैं। आइए हम व्यवहार में आने वाले सबसे सामान्य प्रकार के वितरणों को निर्धारित करने के लिए इसकी सार्वभौमिकता का उपयोग करें।

द्विपद वितरण

मान लीजिए कि कोई घटना ए है। घटना A के घटित होने की प्रायिकता बराबर है पी, घटना A के घटित न होने की प्रायिकता 1 है पी, कभी-कभी कहा जाता है क्यू. होने देना एनपरीक्षणों की संख्या, एमइनमें घटना A के घटित होने की आवृत्ति एनपरीक्षण.

यह ज्ञात है कि परिणामों के सभी संभावित संयोजनों की कुल संभावना एक के बराबर है, अर्थात:

1 = पी एन + एन · पी एन 11 पी) + सी एन एन 2 · पी एन 2(1 पी) 2 + + सी एन एम · पी एम(1 पी) एन – एम+ + (1 पी) एन .

अपेक्षित मूल्य एमद्विपद वितरण है:

एम = एन · पी ,

कहाँ एनपरीक्षणों की संख्या, पीघटना A के घटित होने की संभावना.

मानक विचलन σ :

σ = sqrt( एन · पी(1 पी)) .

उदाहरण 1 । संभावना की गणना करें कि एक घटना एक संभावना के साथ है पी= 0.5 , में एन= 10 ट्रायल होंगे एम= 1 बार. हमारे पास है: सी 10 1 = 10 , और आगे: पी 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. जैसा कि आप देख सकते हैं, इस घटना के घटित होने की संभावना काफी कम है। इसे, सबसे पहले, इस तथ्य से समझाया गया है कि यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि घटना घटित होगी या नहीं, क्योंकि संभावना 0.5 है और यहां संभावना "50 से 50" है; और दूसरी बात, यह गणना करना आवश्यक है कि घटना दस में से ठीक एक बार (न अधिक और न कम) घटित होगी।

उदाहरण 2. संभावना की गणना करें कि एक घटना एक संभावना के साथ है पी= 0.5 , में एन= 10 ट्रायल होंगे एम= 2 बार. हमारे पास है: सी 10 2 = 45 , और आगे: पी 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. इस घटना की सम्भावना बढ़ गयी है!

उदाहरण 3. आइए घटना के घटित होने की संभावना को स्वयं बढ़ाएं। आइए इसे और अधिक संभावित बनाएं। संभावना की गणना करें कि एक घटना एक संभावना के साथ है पी= 0.8, इंच एन= 10 ट्रायल होंगे एम= 1 बार. हमारे पास है: सी 10 1 = 10 , और आगे: पी 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. संभावना पहले उदाहरण की तुलना में कम हो गई है! उत्तर, पहली नज़र में, अजीब लगता है, लेकिन चूंकि घटना की पर्याप्त संभावना है, इसलिए यह संभावना नहीं है कि यह केवल एक बार घटित होगी। इसकी सम्भावना अधिक है कि यह एक से अधिक बार घटित होगा। दरअसल, गिनती पी 0 , पी 1 , पी 2 , पी 3, ½, पी 10 (संभावना है कि एक घटना में एन= 10 परीक्षण 0, 1, 2, 3, 10 बार होंगे), हम देखेंगे:

सी 10 0 = 1 , सी 10 1 = 10 , सी 10 2 = 45 , सी 10 3 = 120 , सी 10 4 = 210 , सी 10 5 = 252 ,
सी 10 6 = 210 , सी 10 7 = 120 , सी 10 8 = 45 , सी 10 9 = 10 , सी 10 10 = 1 ;

पी 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000;
पी 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000;
पी 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000;
पी 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008;
पी 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055;
पी 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264;
पी 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881;
पी 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013;
पी 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020(सबसे अधिक संभावना!);
पी 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684;
पी 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074

बिल्कुल पी 0 + पी 1 + पी 2 + पी 3 + पी 4 + पी 5 + पी 6 + पी 7 + पी 8 + पी 9 + पी 10 = 1 .

सामान्य वितरण

यदि हम मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं पी 0 , पी 1 , पी 2 , पी 3, ½, पी 10 , जिसकी गणना हमने उदाहरण 3 में की है, ग्राफ़ पर, यह पता चलता है कि उनके वितरण का रूप सामान्य वितरण कानून के करीब है (चित्र 27.1 देखें) (व्याख्यान 25 देखें। सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की मॉडलिंग)।

यदि घटना A के घटित होने और न होने की संभावनाएँ लगभग समान हों, तो द्विपद नियम सामान्य हो जाता है, अर्थात सशर्त रूप से हम लिख सकते हैं: पी≈ (1 पी) . उदाहरण के लिए, आइए लेते हैं एन= 10 और पी= 0.5 (अर्थात् पी= 1 पी = 0.5 ).

हम इस तरह की समस्या पर सार्थक तरीके से आएंगे यदि, उदाहरण के लिए, हम सैद्धांतिक रूप से गणना करना चाहते हैं कि एक ही दिन प्रसूति अस्पताल में पैदा हुए 10 बच्चों में से कितने लड़के और कितनी लड़कियां होंगी। अधिक सटीक रूप से, हम लड़कों और लड़कियों पर नहीं, बल्कि इस संभावना पर विचार करेंगे कि केवल लड़के ही पैदा होंगे, कि 1 लड़का और 9 लड़कियाँ पैदा होंगी, कि 2 लड़के और 8 लड़कियाँ पैदा होंगी, इत्यादि। सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि एक लड़का और एक लड़की होने की संभावना समान है और 0.5 के बराबर है (लेकिन वास्तव में, ईमानदारी से कहें तो, यह मामला नहीं है, पाठ्यक्रम "आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस सिस्टम मॉडलिंग" देखें)।

यह स्पष्ट है कि वितरण सममित होगा, क्योंकि 3 लड़के और 7 लड़कियाँ होने की संभावना 7 लड़के और 3 लड़कियाँ होने की संभावना के बराबर है। जन्म की संभावना सबसे अधिक 5 लड़कों और 5 लड़कियों में होगी। यह प्रायिकता 0.25 के बराबर है, वैसे निरपेक्ष मान में यह उतनी बड़ी नहीं है। इसके अलावा, यह संभावना कि 10 या 9 लड़के एक साथ पैदा होंगे, इस संभावना से बहुत कम है कि 10 बच्चों में से 5 ± 1 लड़का पैदा होगा। बस द्विपद वितरण हमें यह गणना करने में मदद करेगा। इसलिए।

सी 10 0 = 1 , सी 10 1 = 10 , सी 10 2 = 45 , सी 10 3 = 120 , सी 10 4 = 210 , सी 10 5 = 252 ,
सी 10 6 = 210 , सी 10 7 = 120 , सी 10 8 = 45 , सी 10 9 = 10 , सी 10 10 = 1 ;

पी 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977;
पी 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766;
पी 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945;
पी 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188;
पी 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078;
पी 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094;
पी 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078;
पी 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188;
पी 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945;
पी 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766;
पी 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977

बिल्कुल पी 0 + पी 1 + पी 2 + पी 3 + पी 4 + पी 5 + पी 6 + पी 7 + पी 8 + पी 9 + पी 10 = 1 .

हम ग्राफ़ पर मूल्यों को प्रतिबिंबित करेंगे पी 0 , पी 1 , पी 2 , पी 3, ½, पी 10 (चित्र 27.2 देखें)।

तो, शर्तों के तहत एम ≈ एन/2 और पी≈ 1 पीया पी≈ 0.5 द्विपद वितरण के बजाय, आप सामान्य वितरण का उपयोग कर सकते हैं। बड़े मूल्यों के लिए एनजैसे-जैसे माध्य और भिन्नता बढ़ती है, ग्राफ़ दाईं ओर शिफ्ट हो जाता है और चपटा हो जाता है एन : एम = एन · पी , डी = एन · पी(1 पी) .

वैसे, द्विपद नियम सामान्य और बढ़ने के साथ बढ़ता है एन, जो केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार काफी स्वाभाविक है (व्याख्यान 34 देखें। सांख्यिकीय परिणामों को ठीक करना और संसाधित करना)।

अब विचार करें कि किसी मामले में द्विपद नियम कैसे बदलता है पी ≠ क्यू, वह है पी> 0 . इस मामले में, वितरण की सामान्यता की परिकल्पना लागू नहीं की जा सकती है, और द्विपद वितरण पॉइसन वितरण में बदल जाता है।

पॉसों वितरण

पॉइसन वितरण है विशेष मामलाद्विपद बंटन (कब एन>> 0 और पर पी> 0 (दुर्लभ घटनाएँ))।

गणित से, एक सूत्र ज्ञात होता है जो आपको द्विपद वितरण के किसी भी सदस्य के मूल्य की मोटे तौर पर गणना करने की अनुमति देता है:

कहाँ ए = एन · पी पॉइसन पैरामीटर (गणितीय अपेक्षा), और विचरण गणितीय अपेक्षा के बराबर है। आइए हम इस संक्रमण की व्याख्या करते हुए गणितीय गणनाएँ प्रस्तुत करें। द्विपद वितरण कानून

पी एम = सी एन एम · पी एम(1 पी) एन – एम

यदि हम लगाएं तो लिखा जा सकता है पी = ए/एन , जैसा

क्योंकि पीबहुत छोटा, केवल संख्याओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए एम, की तुलना में छोटा एन. काम

एकता के बहुत करीब. यही बात आकार पर भी लागू होती है

कीमत

बहुत करीब इ – ए. यहाँ से हमें सूत्र मिलता है:

उदाहरण। बॉक्स में है एन= 100 भाग, अच्छे और दोषपूर्ण दोनों। दोषपूर्ण उत्पाद मिलने की संभावना है पी= 0.01 . मान लीजिए कि हम उत्पाद निकालते हैं, यह निर्धारित करते हैं कि यह दोषपूर्ण है या नहीं, और इसे वापस रख दें। ऐसा करने पर, यह पता चला कि जिन 100 वस्तुओं को हमने छांटा, उनमें से दो ख़राब निकलीं। इसकी सम्भावना क्या है?

द्विपद वितरण के अनुसार, हमें मिलता है:

पॉइसन वितरण के अनुसार, हमें मिलता है:

जैसा कि देखा जा सकता है, मान करीब निकले, इसलिए मामले में दुर्लभ घटनाएँपॉइसन के नियम को लागू करना पूरी तरह से स्वीकार्य है, खासकर क्योंकि इसमें कम कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है।

हम ग्राफ़िक रूप से पॉइसन के नियम का रूप दिखाते हैं। आइए पैरामीटर को एक उदाहरण के रूप में लें। पी = 0.05 , एन= 10 . तब:

सी 10 0 = 1 , सी 10 1 = 10 , सी 10 2 = 45 , सी 10 3 = 120 , सी 10 4 = 210 , सी 10 5 = 252 ,
सी 10 6 = 210 , सी 10 7 = 120 , सी 10 8 = 45 , सी 10 9 = 10 , सी 10 10 = 1 ;

पी 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987;
पी 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151;
पी 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746;
पी 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105;
पी 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096;
पी 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006;
पी 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000;
पी 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000;
पी 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000;
पी 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000;
पी 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000

बिल्कुल पी 0 + पी 1 + पी 2 + पी 3 + पी 4 + पी 5 + पी 6 + पी 7 + पी 8 + पी 9 + पी 10 = 1 .

पर एन> ∞ केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार पॉइसन वितरण सामान्य हो जाता है (देखें)।

$X$ में पैरामीटर $\lambda$ ($\lambda$$>$0) के साथ एक पॉइसन वितरण है यदि यह मात्रा $k=0, 1, 2,\dots$ संभावनाओं के साथ गैर-नकारात्मक पूर्णांक मान लेती है $pk$ =$\frac (\lambda ^(:) )(: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком !} शिमोन डेनिस पॉइसन 1837 में)

पॉसों वितरणइसे दुर्लभ घटनाओं का नियम भी कहा जाता है, क्योंकि संभावनाएँ p किसी दुर्लभ घटना के घटित होने की संख्या का अनुमानित वितरण देती हैं। बड़ी संख्या मेंस्वतंत्र परीक्षण. इस मामले में, $\lambda =n \cdot р$ मान लिया गया है, जहां $n$ बर्नौली परीक्षणों की संख्या है, $р$ एक परीक्षण में होने वाली घटना की संभावना है।

बड़ी संख्या में परीक्षणों के लिए द्विपद वितरण के बजाय पॉइसन के नियम का उपयोग करने की वैधता निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दी गई है।

प्रमेय 1

पॉइसन का प्रमेय.

यदि बर्नौली योजना में n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, ताकि $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (एक सीमित संख्या), तो

$!_(n)^(k) p^(k) (1-p)^(n-k) \to \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}

बिना सबूत के.

नोट 1

पॉइसन सूत्र छोटे $p$ और के लिए अधिक सटीक हो जाता है बड़ी संख्या$n$, और $n \cdot p $

अपेक्षित मूल्यपैरामीटर $\lambda$ के साथ पॉइसन वितरण के साथ यादृच्छिक चर:

$M(X)$=$\sum \limits _(k=0)^(\infty )k\cdot \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}

फैलावपैरामीटर $\lambda$ के साथ पॉइसन वितरण के साथ यादृच्छिक चर:

$D(X)$=$\lambda$ .

समस्याओं को हल करने में पॉइसन सूत्र का अनुप्रयोग

उदाहरण 1

बड़े पैमाने पर उत्पादन में दोषपूर्ण उत्पाद की संभावना $0.002$ है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि $1500 वस्तुओं के एक बैच में 3 से अधिक दोषपूर्ण वस्तुएँ नहीं होंगी। दोषपूर्ण वस्तुओं की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

• मान लीजिए $A$ $1500$ वस्तुओं के एक बैच में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या है। तब वांछित प्रायिकता $A$ $\leq$ $3$ होने की प्रायिकता है। इस समस्या में हमारे पास $n=1500$ और $p=0.002$ वाली बर्नौली योजना है। पॉइसन के प्रमेय को लागू करने के लिए, हम $\lambda=1500 \cdot 0.002=3$ सेट करते हैं। फिर वांछित संभावना

• दोषपूर्ण वस्तुओं की औसत संख्या $M(A)$=$\lambda$=3.

उदाहरण 2

संस्था का स्विचबोर्ड $100$ के ग्राहकों को सेवाएं प्रदान करता है। संभावना है कि एक ग्राहक $1$ मिनट के भीतर कॉल करेगा $0.01$ है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि $1$ मिनट के भीतर कोई भी कॉल नहीं करेगा।

मान लीजिए $A$ $1$ मिनट के दौरान स्विच पर कॉल की संख्या है। तब वांछित प्रायिकता $A=0$ होने की प्रायिकता है। इस समस्या में, $n=100$, $p=0.01$ वाली बर्नौली योजना लागू है। पॉइसन प्रमेय का उपयोग करने के लिए, हम सेट करते हैं

$\lambda=100 \cdot 0.01=1$.

फिर वांछित संभावना

$P = e^-1$ $\लगभग0.37$.

उदाहरण 3

प्लांट ने $500$ के उत्पाद बेस को भेजे। पारगमन में उत्पाद क्षति की संभावना $0.002$ है। पथ के क्षतिग्रस्त हो जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

1. बिल्कुल तीन उत्पाद;
2. तीन से कम आइटम.

पॉइसन सूत्र की टिप्पणी पर विचार करते हुए, चूंकि उत्पाद क्षति की संभावना $p=0.002$ छोटी है, और उत्पादों की संख्या $n=500$ बड़ी है, और $a=n\cdot p=1

दूसरी समस्या को हल करने के लिए, सूत्र लागू होता है, जहाँ $k1=0$ और $k2=2$। हमारे पास है:

उदाहरण 4

पाठ्यपुस्तक $100,000 प्रतियों के संचलन में प्रकाशित हुई थी। एक पाठ्यपुस्तक के गलत तरीके से बंधे होने की संभावना $0.0001$ है। इसकी क्या प्रायिकता है कि प्रचलन में $5$ की दोषपूर्ण पुस्तकें हैं?

समस्या की स्थिति के अनुसार $n = 100000$, $p = 0.0001$।

घटनाएं "$n$ किताबों में से, बिल्कुल $m$ किताबें गलत तरीके से बंधी हुई हैं", जहां $m = 0,1,2, \dots ,100000$, स्वतंत्र हैं। चूँकि संख्या $n$ बड़ी है और संभावना $p$ छोटी है, संभावना $P_n (m)$ की गणना पॉइसन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: $P_n$(m)$\लगभग \frac((\lambda )^ m\cdot e^ (-\lambda ))(m$ , где $\lambda = np$.!}

विचाराधीन समस्या में

$\lambda = 100000 \cdot 0.0001 = 10$।

इसलिए, वांछित संभावना $P_(100000)$(5) समानता द्वारा निर्धारित की जाती है:

$P_(100000)$ (5)$\लगभग \frac(e^(-10)\cdot (10)^5)(5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}

उत्तर: $0.0375.

उदाहरण 5

प्लांट ने $5,000 की अच्छी गुणवत्ता वाले उत्पाद बेस को भेजे। रास्ते में उत्पाद के क्षतिग्रस्त होने की संभावना $0.0002$ है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि तीन अनुपयोगी वस्तुएँ आधार पर आएँगी।

शर्त के अनुसार $n=5000$; $पी = $0.0002; $k = 3$. $\lambda$ खोजें:

$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0.0002 = 1$।

पॉइसन सूत्र के अनुसार वांछित संभाव्यता इसके बराबर है:

उदाहरण 6

संभावना है कि एक ग्राहक एक घंटे के भीतर टेलीफोन एक्सचेंज पर कॉल करेगा 0.01 है। एक घंटे के अंदर 200 सब्सक्राइबर्स ने फोन किया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक घंटे के भीतर 3 ग्राहक कॉल करेंगे।

समस्या की स्थिति पर विचार करते हुए, हम देखते हैं कि:

आइए पॉइसन सूत्र के लिए $\lambda $ खोजें:

\[\lambda=np=200\cdot 0.01=2.\]

पॉइसन सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें और मान प्राप्त करें:

उदाहरण 7

संकाय में 500 छात्र हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि 1 सितंबर को एक ही समय में 2 छात्रों का जन्मदिन है?

हमारे पास $n=500$ है; $p=1/365 \लगभग 0.0027$, $q=0.9973$। चूँकि परीक्षणों की संख्या बड़ी है और निष्पादन की संभावना बहुत कम है और $npq=1.35 \