Продольная и поперечная деформация. Продольная и поперечная деформация Нормальные напряжения при растяжении и сжатии

Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называетсяотносительным удлинением (– эпсилон) или продольной деформацией. Продольная деформация – это безразмерная величина. Формула безразмерной деформации:

При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной.
Поперечные размеры стержня в результате деформирования также изменяются, при этом при растяжении они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Если материал является изотропным, то его поперечные деформации равны между собой:
.
Опытным путем установлено, что при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций отношение поперечной деформации к продольной является постоянной для данного материала величиной. Модуль отношения поперечной деформации к продольной, называемый коэффициентом Пуассона иликоэффициентом поперечной деформации, вычисляется по формуле:

Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах. Например, для пробки, для каучука, для стали, для золота.

Закон Гука
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь - сила, которой растягивают (сжимают) стержень, - абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а - коэффициент упругости (или жёсткости).
Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины) явно, записав коэффициент упругости как

Величина называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.
Если ввести относительное удлинение

И нормальное напряжение в поперечном сечении

То закон Гука в относительных единицах запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.
Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Модуль Юнга
Модуль Юнга (модуль упругости) - физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению/сжатию при упругой деформации.
Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

Где:
E - модуль упругости,
F - сила,
S - площадь поверхности, по которой распределено действие силы,
l - длина деформируемого стержня,
x - модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина l).
Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения продольной волны в тонком стержне:

Где - плотность вещества.
Коэффициент Пуассона
Коэффициент Пуассона (обозначается как или) - абсолютная величина отношения поперечной к продольной относительной деформации образца материала. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец.
Уравнение
,
где
- коэффициент Пуассона;
- деформация в поперечном направлении (отрицательна при осевом растяжении, положительна при осевом сжатии);
- продольная деформация (положительна при осевом растяжении, отрицательна при осевом сжатии).

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении и сжатии стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокра­щаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются. На рис.2.7 пунктиром показан деформированный вид растянутого стержня.

ℓ – длина стержня до приложения нагрузки;

ℓ 1 – длина стержня после приложения нагрузки;

b – поперечный размер до приложения нагрузки;

b 1 – поперечный размер после приложения нагрузки.

Абсолютная продольная деформация ∆ℓ = ℓ 1 – ℓ.

Абсолютная поперечная деформация ∆b = b 1 – b.

Значение относительной линейной деформации ε можно определить как отношение абсолютного удлинения ∆ℓ к первоначальной длине бруса ℓ

Аналогично находятся поперечные деформации

При растяжении поперечные размеры уменьшаются: ε > 0, ε′ < 0; при сжатии: ε < 0, ε′ > 0. Опыт показывает, что при упругих деформациях поперечная всегда прямо пропорциональна продольной.

ε′ = – νε. (2.7)

Коэффициент пропорциональности ν называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации . Он представляет собой абсолютную величину отношения поперечной деформации к продольной при осевом растяжении

Назван по имени французского учёного, впервые предложившего его в начале XIX века. Коэффициент Пуассона есть величина постоянная для материала в пределах упругих деформаций (т.е. деформаций, исчезающих после снятия нагрузки). Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах 0 ≤ ν ≤ 0,5: для стали ν = 0,28…0,32; для резины ν = 0,5; для пробки ν = 0.

Между напряжениями и упругими деформациями существует зависимость, известная под названием закон Гука :

σ = Еε. (2.9)

Коэффициент пропорциональности Е между напряжением и деформацией называется модулем нормальной упругости или модулем Юнга. Размерность Е такая же, как и у напряжения. Так же, как и ν, Е – упругая постоянная материала. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформация. Для стали Е = (2...2,2)10 5 МПа или Е = (2...2,2)10 4 кН/см 2 .

Подставляя в формулу (2.9) значение σ по формуле (2.2) и ε по формуле (2.5) , получим выражение для абсолютной деформации

Произведение EF называется жёсткостью бруса при растяжении и сжатии .

Формулы (2.9) и (2.10) – это разные формы записи закона Гука, предложенного в середине XVII века. Современная форма записи этого фундаментального закона физики появилась гораздо позже – в начале XIX века.

Формула (2.10) справедлива лишь в пределах тех участков, где сила N и жёсткость EF постоянны. Для ступенчатого стержня и стержня, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются по участкам с постоянными N и F и результаты суммируются алгебраически

Если эти величины изменяются по непрерывному закону, ∆ℓ вычисляется по формуле

В ряде случаев для обеспечения нормальной работы машин и сооружений размеры их деталей должны быть выбраны так, чтобы кроме условия прочности обеспечивалось условие жёсткости

где ∆ℓ – изменение размеров детали;

[∆ℓ] – допускаемая величина этого изменения.

Подчёркиваем, что расчет на жёсткость всегда дополняет расчёт на прочность.

2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса

Простейшим примером задачи о растяжении стержня с переменными по длине параметрами является задача о растяжении призматического стержня под действием собственного веса (рис.2.8,а). Продольная сила N x в поперечном сечении этого бруса (на расстоянии x от его нижнего конца) равна силе тяжести нижележащей части бруса (рис.2.8,б), т.е.

N x = γFx, (2.14)

где γ – объёмный вес материала стержня.

Продольная сила и напряжения меняются по линейному закону, достигая максимума в заделке. Осевое перемещение произвольного сечения равно удлинению вышерасположенной части бруса. Поэтому определить его нужно по формуле (2.12), интегрирование вести от текущего значения х до х = ℓ:

Получили выражение для произвольного сечения стержня

При х = ℓ перемещение наибольшее, оно равно удлинению стержня

На рис.2.8,в,г,д приведены графики N x , σ х и u x

Умножим числитель и знаменатель формулы (2.17) на F и получим:

Выражение γFℓ равно собственному весу стержня G. Поэтому

Формула (2.18) может быть сразу получена из (2.10)., если помнить, что равнодействующая собственного веса G должна быть приложена в центре тяжести стержня и поэтому она вызывает удлинение только верхней половины стержня (рис.2.8,а).

Если стержни, кроме собственного веса, нагружены ещё сосредоточенными продольными силами, то напряжения и деформации определяют на основе принципа независимости действия сил отдельно от сосредоточенных сил и от собственного веса, после чего результаты складывают.

Принцип независимости действия сил вытекает из линейной деформируемости упругих тел. Суть его заключается в том, что любая величина (напряжение, перемещение, деформация) от действия группы сил может быть получена как сумма величин, найденных от каждой силы в отдельности.

Законы Р. Гука и С. Пуассона

Рассмотрим деформации стержня, представленного на рис. 2.2.

Рис. 2.2 Продольные и поперечные деформации при растяжении

Обозначим через абсолютное удлинение стержня. При растяжении – это положительная величина. Через – абсолютную поперечную деформацию. При растяжении – это отрицательная величина. Знаки и соответственно меняются при сжатии.

Отношения

(эпсилон) или , (2.2)

называют относительным удлинением. Оно положительно при растяжении.

Отношения

Или , (2.3)

называют относительной поперечной деформацией. Она отрицательна при растяжении.

Р. Гук в 1660 г. открыл закон, который гласил: «Каково удлинение, такова сила». В современном написании закон Р. Гука записывается так:

то есть напряжение пропорционально относительной деформации. Здесь – модуль упругости первого рода Э. Юнга – это физическая постоянная в пределах действия закона Р. Гука. Для различных материалов она различна. Например, для стали она равна 2·10 6 кгс/см 2 (2·10 5 МПа), для дерева – 1·10 5 кгс/см 2 (1·10 4 МПа), для резины – 100 кгс/см 2 (10 МПа) и т.д.

Учитывая, что , а , получим

где – продольная сила на силовом участке;

– длина силового участка;

– жесткость при растяжении-сжатии.

То есть абсолютная деформация пропорциональна продольной силе, действующей на силовом участке, длине этого участка и обратно пропорциональна жесткости при растяжении-сжатии.

При подсчете по действию внешних нагрузок

где – внешняя продольная сила;

– длина участка стержня, на котором она действует. В этом случае применяют принцип независимости действия сил*).

С. Пуассон доказал, что соотношение – есть постоянная величина, различная для различных материалов, то есть

или , (2.7)

где – коэффициент С. Пуассона. Это, вообще говоря, отрицательная величина. В справочниках ее значение дается «по модулю». Например, для стали она равна 0,25…0,33, для чугуна – 0,23…0,27, для резины – 0,5, для пробки – 0, то есть . Однако для древесины он может быть и больше 0,5.

Экспериментальное исследование процессов деформации и

Разрушения растянутых и сжатых стержней

Русский ученый В.В. Кирпичев доказал, что деформации геометрически подобных образцов подобны, если подобно расположить действующие на них силы, и что по результатам испытаний небольшого образца можно судить о механических характеристиках материала. При этом, конечно, учитывается масштабный фактор, для чего вводится масштабный коэффициент, определяемый экспериментально.

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали

Испытания производят на машинах разрывного действия с одновременной записью диаграммы разрушения в координатах – сила, – абсолютная деформация (рис. 2.3, а). Затем производят пересчет эксперимента с целью построения условной диаграммы в координатах (рис. 2.3, б).

По диаграмме (рис. 2.3, а) можно проследить следующее:

– до точки справедлив закон Гука;

– от точки до точки деформации остаются упругими, но закон Гука уже не справедлив;

– от точки до точки деформации растут без увеличения нагрузки. Здесь происходит разрушение цементного каркаса ферритовых зерен металла, и нагрузка передается на эти зерна. Появляются линии сдвига Чернова–Людерса (под углом 45° к оси образца);

– от точки до точки – стадия вторичного упрочнения металла. В точке нагрузка достигает максимума, и затем появляется сужение в ослабленном сечении образца – «шейка»;

– в точке – образец разрушается.

Рис. 2.3 Диаграммы разрушения стали при растяжении и сжатии

Диаграммы позволяют получить следующие основные механические характеристики стали:

– предел пропорциональности – наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука (2100…2200 кгс/см 2 или 210…220 МПа);

– предел упругости – наибольшее напряжение, при котором деформации еще остаются упругими (2300 кгс/см 2 или 230 МПа);

– предел текучести – напряжение, при котором деформации растут без увеличения нагрузки (2400 кгс/см 2 или 240 МПа);

– предел прочности – напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой образцом за время опыта (3800…4700 кгс/см 2 или 380…470 МПа);

План лекции

1. Деформации, закон Гука при центральном растяжении-сжатии стержней.

2. Механические характеристики материалов при центральном растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержневой элемент конструкции в двух состояниях (см. рисунок 25):

Внешняя продольная сила F отсутствует, начальная длина стержня и его поперечный размер равны соответственно l и b , площадь сечения А одинакова по всей длине l (внешний контур стержня показан сплошными линиями);

Внешняя продольная растягивающая сила, направленная вдоль центральной оси, равна F , длина стержня получила приращение Δl , при этом его поперечный размер уменьшился на величину Δb (внешний контур стержня в деформированном положении показан пунктирными линиями).

l Δl

Рисунок 25. Продольно-поперечная деформация стержня при его центральном растяжении.

Приращение длины стержня Δl называется его абсолютной продольной деформацией, величина Δb – абсолютной поперечной деформацией. Величина Δl может трактоваться как продольное перемещение (вдоль оси z) концевого поперечного сечения стержня. Единицы измерения Δl и Δb те же, что и начальные размеры l и b (м, мм, см). В инженерных расчетах применяется следующее правило знаков для Δl : при растяжении участка стержня происходит увеличение его длины и величина Δl положительна; если же на участке стержня с начальной длиной l возникает внутренняя сжимающая сила N , то величина Δl отрицательна, т. к. происходит отрицательное приращение длины участка.

Если абсолютные деформации Δl и Δb отнести к начальным размерам l и b , то получим относительные деформации:

– относительная продольная деформация;

– относительная поперечная деформация.

Относительные деформации и являются безразмерными (как правило,

очень малыми) величинами, их именуют обычно е. о. д. – единицами относительных деформаций (например, ε = 5,24·10 -5 е. о. д.).

Абсолютное значение отношения относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации является очень важной константой материала, называемой коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона (по фамилии французского ученого)

Как видно коэффициент Пуассона количественно характеризует соотношение между величинами относительной поперечной деформацией и относительной продольной деформацией материала стержня при приложении внешних сил вдоль одной оси. Значения коэффициента Пуассона определяются экспериментально и для различных материалов приводятся в справочниках. Для всех изотропных материалов значения лежит в пределах от 0 до 0,5 (для пробки близко к 0, для каучука и резины близко к 0,5). В частности, для прокатных сталей и алюминиевых сплавов в инженерных расчетах обычно принимается , для бетона .

Зная значение продольной деформации ε (например, в результате замеров при проведении экспериментов) и коэффициент Пуассона для конкретного материала (который можно взять из справочника) можно вычислить значение относительной поперечной деформации

где знак минус свидетельствует о том, что продольные и поперечные деформации всегда имеют противоположные алгебраические знаки (если стержень удлиняется на величину Δl растягивающей силой, то продольная деформация положительна, т. к. длина стержня получает положительное приращение, но при этом поперечный размер b уменьшается, т. е. получает отрицательное приращение Δb и поперечная деформация отрицательна; если же стержень будет сжиматься силой F , то, наоборот, продольная деформация станет отрицательной, а поперечная – положительной).

Внутренние усилия и деформации, возникающие в элементах конструкций под действием внешних нагрузок, представляют собой единый процесс, в котором все факторы взаимосвязаны между собой. Прежде всего, нас интересует взаимосвязь между внутренними усилиями и деформациями, в частности, при центральном растяжении-сжатии стержневых элементов конструкций. При этом, как и выше, будем руководствоваться принципом Сен-Венана: распределение внутренних усилий существенно зависит от способа приложения внешних сил к стержню лишь вблизи места нагружения (в частности, при приложении сил к стержню через малую площадку), а в частях, достаточно удаленных от мест

приложения сил распределение внутренних усилий зависит только от статического эквивалента этих сил, т. е. при действии растягивающих или сжимающих сосредоточенных сил будем считать, что в большей части объема стержня распределение внутренних сил будет равномерным (это подтверждается многочисленными экспериментами и опытом эксплуатации конструкций).

Английским ученым Робертом Гуком еще в 17-м веке была установлена прямая пропорциональная (линейная) зависимость (закон Гука) абсолютной продольной деформации Δl от растягивающей (или сжимающей) силы F . В 19-м веке английским ученым Томасом Юнгом сформулирована идея о том, что для каждого материала существует постоянная величина (названная им модулем упругости материала), характеризующая его способность сопротивляться деформированию при действии внешних сил. При этом Юнг первый указал на то, что линейный закон Гука справедлив только в определенной области деформирования материала, а именно – при упругих его деформациях .

В современном представлении применительно к одноосному центральному растяжению-сжатию стержней закон Гука используется в двух видах.

1) Нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при центральном растяжении прямо пропорционально его относительной продольной деформации

, (1-й вид закона Гука),

где Е – модуль упругости материала при продольных деформациях, значения которого для различных материалов определены экспериментальным путем и занесены в справочники, которыми технические специалисты пользуются при проведении различных инженерных расчетов; так, для прокатных углеродистых сталей, широко применяемых в строительстве и машиностроении ; для алюминиевых сплавов ; для меди ; для других материалов значение Е всегда можно найти в справочниках (см., например, «Справочник по сопротивлению материалов» авторов Писаренко Г.С. и др.). Единицы измерения модуля упругости Е те же, что и единицы измерения нормальных напряжений, т. е. Па , МПа , Н/мм 2 и др.

2) Если в записанном выше 1-м виде закона Гука нормальное напряжение в сечении σ выразить через внутреннюю продольную силу N и площадь поперечного сечения стержня А , т. е. , а относительную продольную деформацию – через начальную длину стержня l и абсолютную продольную деформацию Δl , т. е. , то после простых преобразований получим формулу для практических расчетов (продольная деформация прямо пропорциональна внутренней продольной силе)

(2-й вид закона Гука). (18)

Из этой формулы следует, что с увеличением значения модуля упругости материала Е абсолютная продольная деформация стержня Δl уменьшается. Таким образом, сопротивляемость элементов конструкций деформациям (их жесткость) можно увеличить путем применения для них материалов с более высокими значениями модуля упругости Е . Среди широко применяемых в строительстве и машиностроении конструкционных материалов высоким значением модуля упругости Е обладают стали. Диапазон изменения величины Е для разных марок сталей небольшой: (1,92÷2,12)·10 5 МПа . У алюминиевых сплавов, например, величина Е примерно в три раза меньше, чем у сталей. Поэтому для

конструкций, к жесткости которых предъявляются повышенные требования, предпочтительными материалами являются стали.

Произведение называют параметром жесткости (или просто жесткостью) сечения стержня при его продольных деформациях (единицы измерения продольной жесткости сечения – Н , кН, МН ). Величина с = Е·А/l называется продольной жесткостью стержня длиной l (единицы измерения продольной жесткости стержня с – Н/м , кН/м ).

Если стержень имеет несколько участков (n ) с переменной продольной жесткостью и сложной продольной нагрузкой (функция внутренней продольной силы от координаты z сечения стержня), то суммарная абсолютная продольная деформация стержня определится по более общей формуле

где интегрирование проводится в пределах каждого участка стержня длиной , а дискретное суммирование – по всем участкам стержня от i = 1 до i = n .

Закон Гука широко применяется в инженерных расчетах конструкций, поскольку большинство конструкционных материалов в процессе эксплуатации могут воспринимать весьма значительные напряжения, не разрушаясь в пределах упругих деформаций.

При неупругих (пластических или упруго-пластических) деформациях материала стержня прямое применение закона Гука неправомерно и, следовательно, вышеприведенные формулы использовать нельзя. В этих случаях следует применять другие расчетные зависимости, которые рассматриваются в специальных разделах курсов «Сопротивление материалов», «Строительная механика», «Механика твердого деформируемого тела», а также в курсе «Теория пластичности».

9. Абсолютная и относительная деформация при растяжении (сжатии). Коэффициент Пуассона.

Если под действием силы брус длиной изменил свою продольную величину на , то эта величина называется абсолютной продольной деформацией (абсолютное удлинение или укорочение). При этом наблюдается и поперечная абсолютная деформация .

Отношение называется относительной продольной деформацией, а отношение - относительной поперечной деформацией.

Отношение называется коэффициентом Пуассона, который характеризует упругие свойства материала.

Коэффициент Пуассона имеет значение . (для стали он равен )

10. Сформулировать закон Гука при растяжении (сжатии).

I форма. В поперечных сечениях бруса при центральном растяжении (сжатии) нормальные напряжения равны отношению продольной силы к площади поперечного сечения:

II форма. Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению , откуда .

11. Как определяются напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса?

– сила, равная произведению напряжения на площадь наклонного сечения :

12. По какой формуле можно определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса?

Абсолютное удлинение (укорочение) бруса (стержня) выражается формулой:

, т.е.

Учитывая, что величина представляет собой жесткость поперечного сечения бруса длиной можно сделать вывод: абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна жесткости поперечного сечения. Этот закон впервые сформулировал Гук в 1660 году.

13. Как определяются температурные деформации и напряжения?

При повышении температуры у большинства материалов механические характеристики прочности уменьшаются, а при понижении температуры – увеличиваются. Например, у стали марки Ст3 при и ;

при и , т.е. .

Удлинение стержня при нагревании определяется по формуле , где - коэффициент линейного расширения материала стержня, - длина стержня.

Возникающее в поперечном сечении нормальное напряжение . При понижении температуры происходит укорочение стержня и возникают напряжения сжатия.

14. Дать характеристику диаграммы растяжения (сжатия).

Механические характеристики материалов определяются путем испытаний образцов и построением соответствующих графиков, диаграмм. Наиболее распространенным является статическое испытание на растяжение (сжатие).

Предел пропорциональности (до этого предела справедлив закон Гука);

Предел текучести материала;

Предел прочности материала;

Разрушающее (условное) напряжение;

Точка 5 соответствует истинному разрушающему напряжению.

1-2 площадка текучести материала;

2-3 зона упрочнения материала;

и - величина пластической и упругой деформации.

Модуль упругости при растяжении (сжатии), определяемый как: , т.е. .

15. Какие параметры характеризуют степень пластичности материала?

Степень пластичности материала может быть охарактеризовано величинами:

Остаточным относительным удлинением – как отношение остаточной деформации образца к первоначальной его длине:

где - длина образца после разрыва. Величина для различных марок стали находится в пределах от 8 до 28 %;

Остаточным относительным сужением – как отношение площади поперечного сечения образца в месте разрыва к первоначальной площади:

где - площадь поперечного сечения разорванного образца в наиболее тонком месте шейки. Величина находится в пределах от нескольких процентов для хрупкой высокоуглеродистой стали до 60 % для малоуглеродистой стали.

16. Задачи, решаемые при расчете на прочность при растяжении (сжатии).