Нахождение части от целого и целого по его части. Образцы решения типовых задач на проценты

Правило нахождения числа по его дроби :

Чтобы найти число по данному значению его дроби, нужно это значение разделить на дробь.

Рассмотрим, как найти число по его дроби, на конкретных примерах.

Примеры .

1) Найти число, 3/4 которого равны 12.

Чтобы найти число по его дроби, это число делим на эту дробь. Чтобы, надо данное число умножить на число, обратное к дроби (то есть на перевернутую дробь). Чтобы , надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. 12 и 3 на 3. Так как в знаменателе получили единицу, ответ — целое число.

2) Найти число, если 9/10 его равняются 3/5.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, это значение делим на эту дробь. Чтобы разделить дробь на дробь, первую дробь умножаем на обратную ко второй (перевернутую). Чтобы умножить дробь на дробь, числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Сокращаем 10 и 5 на 5, 3 и 9 — на 3. В результате получили правильную несократимую дробь, значит это — окончательный результат.

3) Найти число, 9/7 которого равны

Чтобы найти число по значению его дроби, это значение делим на эту дробь. Смешанное число и умножаем его на число, обратное ко второму (перевернутую дробь). Сокращаем 99 и 9 на 9, 7 и 14 — на 7. Поскольку получили неправильную дробь, необходимо выделить из нее целую часть.

Открытый урок по математике в 5б классе.

Учитель: Бамбутова М.И.

Тема: Как найти часть от целого и целое по его части.

Цель: учиться решать задачи на нахождение части от целого и целого по его части.

Образовательные: вывести правило отыскания части от целого и целого по его части,

решать задачи на нахождение части от целого и целого по его части.

Развивающие: развивать память и математическую речь

Воспитательные: воспитывать коммуникативные навыки.

План урока:

1).Вводно-мотивационный этап.

1. Орг. Момент

2. Актуализация опорных знаний

Ответьте на вопросы (слайд)

1) Что обозначает дробь ?

2) Что обозначает дробь ?

3)

Постановка проблемы:

1 задание:

2 задачи на слайде

1) начертите прямоугольник со сторонами 2см и 5 см. Чему равна его площадь?

Решите задачу

1)Площадь прямоугольника 10 см 2 . Закрашено части площади прямоугольника. Чему равна площадь закрашенной части прямоугольника?

2) Закрашенная часть прямоугольника равна 4 см 2 , что составило части всего прямоугольника. Чему равна площадь прямоугольника?

Ответьте на вопросы: ()

часть от целого , а в какой целое по его части ?

Что находим в 1задаче(целое по его части), что находим во 2 задаче(часть от целого)

2 задание: Прочитайте задачи и ответьте на вопросы:

1)Площадь поля – 50 га. За день бригада трактористов вспахала поля. Сколько гектаров вспахала бригада за день?

2)За день бригада вспахала 20 га, что составило площади всего поля.Какова площадь поля?

Ответьте на вопросы: (раздать задачи в виде карточки )

Какая величина принята за целое в каждой задаче?

В какой из задач эта величина известна, а в какой нет?

В какой из задач требуется найти часть от целого , а в какой целое по его части ?

Это какие задачи? (взаимно-обратные)

Что общего в этих задачах? Что мы искали в этих задачах?

-Часть от целого и целое по его части.

Значит какая у нас сегодня тема ?

Тема: Как найти часть от целого и целое по его части.(слайд)

Правильное решение двух последних задач смотрят в учебнике на странице95.

Вот мы решили 4 задачи, обобщим все задачи и выведем правило отыскания части от целого и целого по его части.

Ученики пробуют, в помощь им вразброс словосочетания, нужно собрать в логически правильное предложение, которое будет правилом.

которая выражает эту часть.

соответствующее целому,

Чтобы найти часть от целого,

разделить на знаменатель

и результат умножить на числитель дроби

надо число,

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

и результат умножить на знаменатель дроби,

надо число,

разделить на числитель

которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части,

соответствующее этой части,

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

На доске собрать это правило.

Ученики друг другу проговаривают это правило.

3. Первичное закрепление. Игра «Сортируем задачи».

Практикум по решению задач. 1 вариант решает задачи на нахождение части от целого, 2 вариант решает задачи на нахождение целого по его части.

1. В хоре 80 учащихся, ¼ из них – мальчики.Сколько мальчиков в хоре?

2. В хоре 20 мальчиков, что составляет ¼ всех учащихся в хоре. Сколько всего учащихся в хоре?

3. Небольшой лиственный лес очищает воздух за год от 70 т пыли. А хвойный лес ½ этого количества. Сколько пыли отфильтровывает хвойный лес за год?

4. Из бочки вылили 7/12 находившегося там керосина. Сколько литров керосина было в бочке, если из нее вылили 84 литра?

5. Девочка прошла на лыжах 300 м, что составляло 3/8 всей дистанции. Какова длина дистанции?

6. Расчистили от снега 2/5 катка, что составляет 200 кв.м. Найдите площадь всего катка?

7. Девочка прочитала ¾ книги, что составляет 120 страниц. Сколько страниц в книге?

8. Белка всего заготовила 600 орехов. В первую неделю она собрала 20% всех орехов. Сколько собрала белка в первую неделю?

9. Найдите число х , 1/8 от которого равна 1/24.

10. Девочка собрала 40 слив, что составило 1/3 всех слив. Сколько слив было собрано всего?

11. Мама купила 6 кг конфет. Витя сразу же съел 2/3 всех конфет и ему стало плохо. После какого количества конфет у Вити разболелся живот?

12. Мальчик собрал 80 орехов, что составляет 2/3 всех собранных орехов. Сколько орехов было собрано?

13. В курятнике было 40 кур. За неделю лиса утащила 3/8 всех кур. Сколько кур утащила лиса?

14. Алиса упала в сказочный колодец и за 1 минуту пролетела 90 м. Какова глубина колодца, если за 1 минуту Алиса пролетела ¾ всего расстояния?

15. Мачеха перед балом задала Золушке много работы. Чтобы выполнить 3/5 этой работы, Золушке понадобилось 6 часов. За какое время Золушка выполнит всю работу?

4. Рефлексия. Правило проговарить.

5. Домашняя работа: выучить правило, сделать карточку с задачами на нахождение части от целого и целого по его части(по 3 задачи на каждое правило).

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

I. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ОТ ЦЕЛОГО

Чтобы найти часть (%) от целого, надо число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).

ПРИМЕР: В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся. Найди, сколько учеников отсутствовало?
РЕШЕНИЕ 1: Целое в этой задаче – общее количество учащихся (32).
12,5% = 0,125
32 · 0,125 = 4
РЕШЕНИЕ 2: Пусть х учеников отсутствовали, что составляет 12,5%. Если 32 ученика –
общее количество учеников (100%), то
32 ученика – 100%
х учеников – 12,5%

ОТВЕТ: В классе отсутствовало 4 ученика.

II. НАХОЖДЕНИЕ ЦЕЛОГО ПО ЕГО ЧАСТИ

Чтобы найти целое по его части (%-ам), надо число разделить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).

ПРИМЕР: Коля истратил в парке аттракционов 120 крон, что составило75% всех его карманных денег. Сколько было карманных денег у Коли до прихода в парк аттракционов?
РЕШЕНИЕ 1: В этой задаче надо найти целое, если известна данная часть и значение
этой части.
75% = 0,75
120: 0,75 = 160

РЕШЕНИЕ 2: Пусть х крон было у Коли, что составляет целое, т.е 100%. Если он потратил 120 крон, что составило 75%, то
120 крон– 75 %
х крон – 100 %

ОТВЕТ: У Коли было 160 крон.

III. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ

ТИПОВОЙ ВОПРОС:
СКОЛЬКО % СОСТАВЛЯЕТ ОДНА ВЕЛИЧИНА ОТ ДРУГОЙ?

ПРИМЕР: Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:

РЕШЕНИЕ 2: В этой задаче длина прямоугольника 32м составляет 100%, тогда ширина 20м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – х %
32 метра – 100 %

ОТВЕТ: Ширина составляет от длины 62,5%.

NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.

ПРИМЕР: Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:

РЕШЕНИЕ 2: В этой задаче ширина прямоугольника 20м составляет 100%, тогда длина 32м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – 100 %
32 метра – х %

ОТВЕТ: Длина составляет от ширины 160%.

IV. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ

ТИПОВОЙ ВОПРОС:
НА СКОЛЬКО % ИЗМЕНИЛАСЬ (УВЕЛИЧИЛАСЬ, УМЕНЬШИЛАСЬ) ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА?

Чтобы найти изменение величины в % надо:
1) найти на сколько изменилась величина (без %)
2) разделить полученную величину из п.1) на величину, являющуюся основой для сравнения
3) перевести результат в % (выполнив умножение на 100%)

ПРИМЕР: Цена платья снизилась с 1250 крон до 1000 крон. Найди на сколько процентов снизилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:


2) Основа для сравнения здесь 1250 крон (т.е. то, что было изначально)
3)

ОТВЕТ: Цена платья уменьшилась на 20%.

NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.

ПРИМЕР: Цена платья повысилась с 1000 крон до 1250 крон. Найди на сколько процентов повысилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:

1) 1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
2) Основа для сравнения здесь 1000 крон (т.е. то, что было изначально)
3)
Решение задачи одним действием:

РЕШЕНИЕ 2:
1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
В этой задаче первоначальная цена 1000 крон 100%, тогда изменение цены 250 крон составляет х%. Составим и решим пропорцию:
1000 крон – 100 %
250 крон – х %

х =
ОТВЕТ: Цена платья увеличилась на 25%.

V. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ (ЧИСЛА)

ПРИМЕР: Число уменьшили на 15%, а затем увеличили на 20%. Найди на сколько процентов изменилось число?

Самая распространенная ошибка: число увеличилось на 5 %.

РЕШЕНИЕ 1:
1) Хотя исходное число не дано, для простоты решения можно принять его за 100 (т.е. одно целое или 1)
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85%, или от 100 это было бы 85.
3) Теперь полученный результат надо увеличить на 20%, т.е
85 – 100%
а новое число х – 120% (т.к. увеличилось на 20%)

х =
4)Таким образом в результате изменений число 100 (первоначальное) изменилось и стало 102, а это означает, что первоначальное число увеличилось на 2%

РЕШЕНИЕ 2:
1) Пусть исходное число Х
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85% от Х, т.е. 0,85Х.
3) Теперь полученное число надо увеличить на 20%, т.е
0,85Х – 100%
а новое число? – 120% (т.к. увеличилось на 20%)

? =
4) Таким образом в результате изменений число Х (первоначальное), является основой для сравнения, а число 1,02Х(полученное), (см. IV тип решения задач), тогда

ОТВЕТ: Число увеличилось на 2%.

§ 20. Отыскание части от целого и целого но его части - Учебник по Математикe 5 класс (Зубарева, Мордкович)

Краткое описание:

Бывает, что нам нужно найти какую-то часть от числа, например, с определенного числа картофеля почистить только третью его часть. Или наоборот, когда нам говорят, что только четверть класса пришла на экскурсию, нам нужно узнать какое же общее количество учеников класса. Зная целое, можно найти от него какую-то заданную часть, точно так же, зная часть, можно определить какое же было целое. Об этом сегодня вы и узнаете из этого параграфа учебника.
Определение части от целого, и наоборот, напрямую связано с простыми дробями, которые вы уже изучали. Действия в таком случае происходят не с двумя числами, которые обозначаются дробью, а с одной дробью и одним целым числом. Например, найти 1/2 от 16 будет значить умножить 16 на 1/2, в этом случае знаменатель числа 16 = 1 и выражение можно записать как: 1/2 16/1 = 16/2 = 8.
Для нахождения целого числа по его части, используем обратный способ, и умножаем известное число на перевернутую дробь (то есть, делим на нее). По другому это можно объяснить так: для того, чтобы найти целое из его части, нужно то известное число, которое соответствует его части, разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби, которая обозначает эту часть (что и является действием деления дроби, или умножения на перевернутую дробь – вы можете запомнить самый удобный для вас способ в решении таких задач). Таким образом, чтобы найти целое число, 3/4 которого равны 12, нужно 12: 3/4 = 12 4/3 = 48/3 = 16. Или способ №2, который убирает лишние математические действия – число х, 2/5 от которого равны 20: х = 20: 2 5 = 50.
Проверьте себя при выполнении заданий из учебника и не забудьте просмотреть материал, чтобы лучше его освоить и запомнить!

Тема: Нахождение части от целого и целого по его части

Цель: Систематизировать, расширить, обобщить и закрепить полученные знания по теме «Нахождение части от целого и целого по его части. Информатика среди нас»
Задачи:
Активизировать знания учащихся о понятиях дробь, решение задач на дроби.
Научить учащихся решать задачи по теме, уметь отличать способы решения задач.
Применение полученных теоретических знаний в решении практических задач.
Расширить кругозор учащихся в области информатики.
Этапы проведения урока.

Целеполагание - 2 мин.
Актуализация опорных знаний – 8 мин.
Закрепление и обобщение материала. – 23 мин.
Подведение итогов урока и постановка домашнего задания. – 5 мин.

Ожидаемые результаты: учащиеся должны научиться применять нужные способы решения к той или иной задаче, должны уметь решать задачи, уметь выполнять вычисления дробей.

Ход урока:

Организационный момент. – 2 мин.
Приветствую учащихся.
Целеполагание – 2 мин.
Отгадайте ребус.

Какое слово здесь зашифровано? Верно, интернет.
Какую тему мы с вами сейчас изучаем? (верно, «Нахождение части от целого и целого по его части»)
Как интернет будет связан с данной темой? (будем решать задачи по данной теме на знание интернета0
Кто может сформулировать тему сегодняшнего урока?(Интеренет среди нас)
А знаете ли вы что такое интернет? (Выссказывают свои версии)
Интернет - (от лат. inter - между и net - сеть), глобальная компьютерная сеть, связывающая между собой как пользователей компьютерных сетей, так и пользователей индивидуальных (в том числе домашних) компьютеров.
Актуализация опорных знаний – 8 мин.
Выполните устно:
А) Найдите часть от числа:
3/4 от 16;
2/5 от 80;
7/10 от 120;
3/5 от 150;
6/11 от 121;
5/6 от 108

Б) Найдите число, если:
3/8 его равны 15;
2/5 его равны 30;
5/8 его равны 45;
4/9 его равны 36;
7/10 его равны 42;
2/11 его равны 99.

Закрепление и обобщение материала . – 23 мин.
Как вы думаете, где и когда появился интернет? (высказывают мнения)
В 1957 году, после запуска Советским Союзом первого искусственного спутника Земли, Министерство обороны США посчитало, что на случай войны США нужна надёжная система передачи информации. Агентство по перспективным оборонным научно-исследовательским разработкам США предложило разработать для этого компьютерную сеть.

Сейчас мы решим несколько задач.

У Алены на личной странице на сайте «Одноклассники» загружено 140 фото. 2/7 от количества всех фото загружено в альбом «Личные фото», 1/4 - в альбом «Хобби», 3/35 - в альбом «Отдых», 5/28 – в альбом «Семья», а остальные – «На фото друзей». Сколько фото у Алены в каждом альбоме?
140: 7 * 2 = 40 (ф) «Личные фото»
140: 4 * 1 =35 (ф) «Хобби»
140: 35 * 3 =12 (ф) «Отдых»
140: 28 * 5 = 25 (ф) «Семья»
140 – 40 – 35 – 12 – 25=28 (ф) «На фото друзей»

У Миши в электронной почте 276 писем, что составляет 3/5 от числа писем в электронной почте Коли. На сколько у коли писем больше, чем у Миши?
276: 3 * 5 = 460
460 – 276 = 184.

На флеш – карте, рассчитанной на 4Г байта (1Г байт =1024 М байт) находятся различные файлы. Фото занимают 3/16 всей памяти, фильмы – на 1/8 часть (от всей памяти) больше, чем фото, текстовые документы – на 5/64 часть (от всей памяти) больше, чем фото. Сколько М байт приходится на каждый из файлов?
4 * 1024 = 4096
4096: 16 *3 =768(М байт) на фото
4096: 8 * 1=512
768 + 512 = 1280 (М байт) на фильмы
4096: 64 *5 = 320
320 +768 = 1088 (М байт) на текстовые документы.

Ребята, для чего вам нужен интернет?
Общение;
Информация;
Игры.
Какие вам известны социальные сети? (высказывают свое мнение)
Давайте назовем «плюсы» и «минусы» соцсетей:
«Плюсы»:
Общение;
Информация.
«Минусы»:
Негативное влияние на здоровье;
Интернет – зависимость;
Погружение в виртуальный мир;
Опасность от незнакомцев.

Давайте решим следующую задачу.

Среди учащихся 5 классов одной из школ проходило анкетирование на тему «Соцсети и дети». На вопрос «Сколько времени в день ты проводишь в интернете», 3/10 числа всех опрошенных школьников ответили «5 – 6 часов». Сколько школьников проводит это время в интернете ежедневно, если в опросе участвовали 150 детей?
150: 10 * 3 =45 (детей).
45 детей! Это очень большое число! Ведь ежедневно они тратят столько времени впустую, сидя за компьютером.
Ребята, а как вы думаете, какой вред здоровью может нанести длительное времяпрепровождение в интернете?
Возможные ответы учеников:
Ухудшение зрения;
Снижение двигательной активности;
Психологическое перенапряжение;
Человек теряет способность в общении;
Искривление позвоночника;
Головные боли;
Нарушение сна.

Вот видите сколько всего негативного можно заработать, сидя по несколько часов в интернете!

5. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания . – 5 мин.
Что нового вы сегодня узнали на уроке?
Как вы считаете, какое время оптимально для провождения в интернете ежедневно?
Для чего вы в основном будите использовать интернет?
Считаете ли вы, что 5 – 6 часов в интернете каждый день – это норма?
Домашнее задание : подготовить сообщение по теме «История возникновения интернета»
Объявление оценок.
Спасибо за урок!