Дисперсия равномерно распределенной случайной величины. Равномерное распределение вероятностей
Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:
где: m – математическое ожидание, s– среднеквадратическое отклонение.
Нормальное распределение называют еще гауссовским по имени немецкого математика Гаусса . Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m,, обозначают так: N (m,s), где: m =a =M ;
Достаточно часто в формулах математическое ожидание обозначают через а . Если случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:
|
|
.График плотности нормального распределения, который называют нормальной кривой или кривой Гаусса, изображен на рис.5.4.
Рис. 5.4. Плотность нормального распределения
Определение числовых характеристик случайной величины по её плотности рассматривается на примере.
Пример 6 .
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
.
Определить вид распределения, найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Сравнивая заданную плотность распределения с (5.16) можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с m =4. Следовательно, математическое ожидание M(X)=4, дисперсия D(X)=9.
Среднее квадратическое отклонение s=3.
Функция Лапласа, имеющая вид:
|
|
,связана с функцией нормального распределения (5.17), cоотношением:
F 0 (x) = Ф(х) + 0,5.
Функции Лапласа нечётная.
Ф(-x )=-Ф(x ).
Значения функции Лапласа Ф(х) табулированы и берутся из таблицы по значению х (см. Приложение 1).
Нормальное распределение непрерывной случайной величины играет важную роль в теории вероятностей и при описании реальности, имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. На практике очень часто встречаются случайные величины, образующиеся именно в результате суммирования многих случайных слагаемых. В частности, анализ ошибок измерения показывает, что они являются суммой разного рода ошибок. Практика показывает, что распределение вероятностей ошибок измерения близко к нормальному закону.
С помощью функции Лапласа можно решать задачи вычисления вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения нормальной случайной величины.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , принимающей все значения из отрезка , называется равномерным , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю. Таким образом, плотность вероятности непрерывной случайной величины X , распределённой равномерно на отрезке , имеет вид:
Определим математическое ожидание , дисперсию и для случайной величины с равномерным распределением.
, 
, 
.
Пример. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3;5) .
a=2, b=8, 
.
Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p , то вероятность его ненаступления равна q=1-p .
Пусть событие A наступило в n испытаниях m раз. Это сложное событие можно записать в виде произведения:
.
Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз , вычисляется по формуле:
или 
(1)
Формула (1) называется формулой Бернулли .
Пусть X – случайная величина, равная числу появлений события A в n испытаниях, которая принимает значения с вероятностями:
Полученный закон распределения случайной величины называется законом биномиального распределения .
| X | m | n | ||||
| P |
Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайных величин, распределённых по биномиальному закону, определяются по формулам:
, , .
Пример. По мишени производятся три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти её закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
p=0,8
, q=0,2
, n=3
, 
, , 
.
- вероятность 0 попаданий;
Вероятность одного попадания;
Вероятность двух попаданий;
- вероятность трёх попаданий.
Получаем закон распределения:
| X | ||||
| P | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Задачи
1. Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза она упадёт гербом вверх.
2. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трёх раз.
3. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
4. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причём вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.
Этот вопрос уже давно подробно изучен, и наиболее широкое распространение получил метод полярных координат, предложенный Джорджем Боксом, Мервином Мюллером и Джорджем Марсальей в 1958 году. Данный метод позволяет получить пару независимых нормально распределенных случайных величин с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 следующим образом:
Где Z 0 и Z 1 - искомые значения, s = u 2 + v 2 , а u и v - равномерно распределенные на отрезке (-1, 1) случайные величины, подобранные таким образом, чтобы выполнялось условие 0 < s < 1.
Многие используют эти формулы, даже не задумываясь, а многие даже и не подозревают об их существовании, так как пользуются готовыми реализациями. Но есть люди, у которых возникают вопросы: «Откуда взялась эта формула? И почему получается сразу пара величин?». Далее я постараюсь дать наглядный ответ на эти вопросы.
Для начала напомню, что такое плотность вероятности, функция распределения случайной величины и обратная функция. Допустим, есть некая случайная величина, распределение которой задано функцией плотности f(x), имеющей следующий вид:
Это означает, что вероятность того, что значение данной случайной величины окажется в интервале (A, B), равняется площади затененной области. И как следствие, площадь всей закрашенной области должна равняться единице, так как в любом случае значение случайной величины попадет в область определения функции f.
Функция распределения случайной величины является интегралом от функции плотности. И в данном случае ее примерный вид будет такой:
Тут смысл в том, что значение случайной величины будет меньше чем A с вероятностью B. И как следствие, функция никогда не убывает, а ее значения лежат в отрезке .
Обратная функция - это функция, которая возвращает аргумент исходной функции, если в нее передать значение исходной функции. Например, для функции x 2 обратной будет функция извлечения корня, для sin(x) это arcsin(x) и т.д.
Так как большинство генераторов псевдослучайных чисел на выходе дают только равномерное распределение, то часто возникает необходимость его преобразования в какое-либо другое. В данном случае в нормальное Гауссовское:
Основу всех методов преобразования равномерного распределения в любое другое составляет метод обратного преобразования. Работает он следующим образом. Находится функция, обратная функции необходимого распределения, и в качестве аргумента передается в нее равномерно распределенная на отрезке (0, 1) случайная величина. На выходе получаем величину с требуемым распределением. Для наглядности привожу следующую картинку.
Таким образом, равномерный отрезок как бы размазывается в соответствии с новым распределением, проецируясь на другую ось через обратную функцию. Но проблема в том, что интеграл от плотности Гауссовского распределения вычисляется непросто, поэтому вышеперечисленным ученым пришлось схитрить.
Существует распределение хи-квадрат (распределение Пирсона), которое представляет собой распределение суммы квадратов k независимых нормальных случайных величин. И в случае, когда k = 2, это распределение является экспоненциальным.
Это означает, что если у точки в прямоугольной системе координат будут случайные координаты X и Y, распределенные нормально, то после перевода этих координат в полярную систему (r, θ) квадрат радиуса (расстояния от начала координат до точки) будет распределен по экспоненциальному закону, так как квадрат радиуса - это сумма квадратов координат (по закону Пифагора). Плотность распределения таких точек на плоскости будет выглядеть следующим образом:
Так как она равноценна во всех направлениях, угол θ будет иметь равномерное распределение в диапазоне от 0 до 2π. Справедливо и обратное: если задать точку в полярной системе координат с помощью двух независимых случайных величин (угла, распределенного равномерно, и радиуса, распределенного экспоненциально), то прямоугольные координаты этой точки будут являться независимыми нормальными случайными величинами. А экспоненциальное распределение из равномерного получить уже гораздо проще, с помощью того же метода обратного преобразования. В этом и заключается суть полярного метода Бокса-Мюллера.
Теперь выведем формулы.
(1)
Для получения r и θ нужно сгенерировать две равномерно распределенные на отрезке (0, 1) случайные величины (назовем их u и v), распределение одной из которых (допустим v) необходимо преобразовать в экспоненциальное для получения радиуса. Функция экспоненциального распределения выглядит следующим образом:
Обратная к ней функция:
Так как равномерное распределение симметрично, то аналогично преобразование будет работать и с функцией
Из формулы распределения хи-квадрат следует, что λ = 0,5. Подставим в эту функцию λ, v и получим квадрат радиуса, а затем и сам радиус:
Угол получим, растянув единичный отрезок до 2π:
Теперь подставим r и θ в формулы (1) и получим:
(2)
Эти формулы уже готовы к использованию. X и Y будут независимы и распределены нормально с дисперсией 1 и математическим ожиданием 0. Чтобы получить распределение с другими характеристиками достаточно умножить результат функции на среднеквадратическое отклонение и прибавить математическое ожидание.
Но есть возможность избавиться от тригонометрических функций, задав угол не прямо, а косвенно через прямоугольные координаты случайной точки в круге. Тогда через эти координаты можно будет вычислить длину радиус-вектора, а потом найти косинус и синус, поделив на нее x и y соответственно. Как и почему это работает?
Выберем случайную точку из равномерно распределенных в круге единичного радиуса и обозначим квадрат длины радиус-вектора этой точки буквой s:
Выбор осуществляется заданием случайных прямоугольных координат x и y, равномерно распределенных в интервале (-1, 1), и отбрасыванием точек, которые не принадлежат кругу, а также центральной точки, в которой угол радиус-вектора не определен. То есть должно выполниться условие 0 < s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Получаем формулы, как в начале статьи. Недостаток этого метода - отбрасывание точек, не вошедших в круг. То есть использование только 78,5% сгенерированных случайных величин. На старых компьютерах отсутствие тригонометрических функций всё равно давало большое преимущество. Сейчас, когда одна команда процессора за мгновение вычисляет одновременно синус и косинус, думаю, эти методы могут еще посоревноваться.
Лично у меня остается еще два вопроса:
- Почему значение s распределено равномерно?
- Почему сумма квадратов двух нормальных случайных величин распределена экспоненциально?
Если аналогичное преобразование сделать для нормальной случайной величины, то функция плотности ее квадрата окажется похожей на гиперболу. А сложение двух квадратов нормальных случайных величин уже гораздо более сложный процесс, связанный с двойным интегрированием. И то, что в результате получится экспоненциальное распределение, лично мне тут остаётся проверить практическим методом или принять как аксиому. А кому интересно, предлагаю ознакомиться с темой поближе, почерпнув знаний из этих книжек:
- Вентцель Е.С. Теория вероятностей
- Кнут Д.Э. Искусство Программирования, том 2
В заключение приведу пример реализации генератора нормально распределенных случайных чисел на языке JavaScript:
Function Gauss() {
var ready = false;
var second = 0.0;
this.next = function(mean, dev) {
mean = mean == undefined ? 0.0: mean;
dev = dev == undefined ? 1.0: dev;
if (this.ready) {
this.ready = false;
return this.second * dev + mean;
}
else {
var u, v, s;
do {
u = 2.0 * Math.random() - 1.0;
v = 2.0 * Math.random() - 1.0;
s = u * u + v * v;
} while (s > 1.0 || s == 0.0);
var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s);
this.second = r * u;
this.ready = true;
return r * v * dev + mean;
}
};
}
g = new Gauss(); // создаём объект
a = g.next(); // генерируем пару значений и получаем первое из них
b = g.next(); // получаем второе
c = g.next(); // снова генерируем пару значений и получаем первое из них
Параметры mean (математическое ожидание) и dev (среднеквадратическое отклонение) не обязательны. Обращаю ваше внимание на то, что логарифм натуральный.
В качестве примера непрерывной случайной величины рассмотрим случайную величину X, равномерно распределенную на интервале (a; b). Говорят, что случайная величина X равномерно распределена на промежутке (a; b), если ее плотность распределения непостоянна на этом промежутке:
Из условия нормировки определим значение константы c . Площадь под кривой плотности распределения должна быть равна единице, но в нашем случае - это площадь прямоугольника с основанием (b - α) и высотой c (рис. 1).
Рис. 1 Плотность равномерного распределения
Отсюда находим значение постоянной c:
Итак, плотность равномерно распределенной случайной величины равна
Найдем теперь функцию распределения по формуле:
1) для 
2) для
3) для 0+1+0=1.
Таким образом,
Функция распределения непрерывна и не убывает (рис. 2).
Рис. 2 Функция распределения равномерно распределенной случайной величины
Найдем математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины по формуле:
Дисперсия равномерного распределения рассчитывается по формуле и равна
Пример №1
. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0.2 . Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0.04 ; б) большая 0.02
Решение. Ошибка округления есть случайная величина, равномерно распределенная на промежутке между соседними целыми делениями. Рассмотрим в качестве такого деления интервал (0; 0,2) (рис. а). Округление может проводиться как в сторону левой границы - 0, так и в сторону правой - 0,2, значит, ошибка, менее либо равная 0,04, может быть сделана два раза, что необходимо учесть при подсчете вероятности:
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Для второго случая величина ошибки может превышать 0,02 также с обеих границ деления, то есть она может быть либо больше 0,02, либо меньше 0,18.
Тогда вероятность появления такой ошибки:
Пример №2 . Предполагалось, что о стабильности экономической обстановки в стране (отсутствии войн, стихийных бедствий и т. д.) за последние 50 лет можно судить по характеру распределения населения по возрасту: при спокойной обстановке оно должно быть равномерным . В результате проведенного исследования, для одной из стран были получены следующие данные.
Имеются ли основания полагать, что в стране была нестабильная обстановка?Решение проводим с помощью калькулятора Проверка гипотез . Таблица для расчета показателей.
| Группы | Середина интервала, x i | Кол-во, f i | x i * f i | Накопленная частота, S | |x - x ср |*f | (x - x ср) 2 *f | Частота, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
Средняя взвешенная
Показатели вариации .
Абсолютные показатели вариации .
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Среднее квадратическое отклонение .
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 43 не более, чем на 23.92
Проверка гипотез о виде распределения .
4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.
Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X,т.е. по закону: f(x) = 1/(b-a) в интервале (a,b)
надо:
1. Оценить параметры a и b - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через знак * обозначены оценки параметров):
2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f(x) = 1/(b * - a *)
3. Найти теоретические частоты:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-3, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения.
Решение:
1. Найдем оценки параметров a * и b * равномерного распределения по формулам:
2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Найдем теоретические частоты:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
Остальные n s будут равны:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n * i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Итого | 1 | 0.0532 |
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: }
