समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का फैलाव। समान संभाव्यता वितरण
इस मामले में वितरण समारोह, (5.7) के अनुसार, रूप लेगा:
कहाँ: मी - अपेक्षित मूल्य, एस - मानक विचलन।
जर्मन गणितज्ञ गॉस के बाद सामान्य वितरण को गॉसियन भी कहा जाता है। तथ्य यह है कि एक यादृच्छिक चर के मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण होता है: एम,, निम्नानुसार निरूपित किया जाता है: एन (एम, एस), जहां: एम = ए = एम;
अक्सर, सूत्रों में, गणितीय अपेक्षा को किसके द्वारा निरूपित किया जाता है एक . यदि नियम N(0,1) के अनुसार एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है, तो इसे सामान्यीकृत या मानकीकृत सामान्य मान कहा जाता है। इसके लिए वितरण समारोह का रूप है:
|
|
.सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ, जिसे सामान्य वक्र या गॉसियन वक्र कहा जाता है, चित्र 5.4 में दिखाया गया है।
चावल। 5.4। सामान्य वितरण घनत्व
संख्यात्मक विशेषताओं की परिभाषा अनियमित चरइसके घनत्व से एक उदाहरण पर विचार किया जाता है।
उदाहरण 6.
वितरण घनत्व द्वारा एक निरंतर यादृच्छिक चर दिया जाता है: 
.
वितरण का प्रकार निर्धारित करें, गणितीय अपेक्षा M(X) और प्रसरण D(X) ज्ञात करें।
दिए गए वितरण घनत्व की तुलना (5.16) से करने पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि m =4 के साथ सामान्य वितरण नियम दिया गया है। इसलिए, गणितीय अपेक्षा M(X)=4, प्रसरण D(X)=9।
मानक विचलन एस = 3।
लाप्लास फ़ंक्शन, जिसका रूप है:
|
|
,सामान्य बंटन फलन (5.17) से संबंधित है, संबंध द्वारा:
एफ 0 (एक्स) \u003d एफ (एक्स) + 0.5।
लाप्लास समारोह विषम है।
Ф(-x)=-Ф(x).
लाप्लास फ़ंक्शन Ф(х) के मान सारणीबद्ध हैं और x के मान के अनुसार तालिका से लिए गए हैं (देखें परिशिष्ट 1)।
एक सतत यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण संभाव्यता के सिद्धांत और वास्तविकता के विवरण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, यह यादृच्छिक प्राकृतिक घटनाओं में बहुत व्यापक है। व्यवहार में, बहुत बार यादृच्छिक चर होते हैं जो कई यादृच्छिक शब्दों के योग के परिणामस्वरूप बनते हैं। विशेष रूप से, माप त्रुटियों के विश्लेषण से पता चलता है कि वे विभिन्न प्रकार की त्रुटियों का योग हैं। अभ्यास से पता चलता है कि माप त्रुटियों की संभाव्यता वितरण सामान्य कानून के करीब है।
लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग करके, किसी दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना और सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए विचलन की गणना करने की समस्याओं को हल कर सकते हैं।
एक सतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण एक्स, जो अंतराल से सभी मान लेता है , कहा जाता है वर्दी, यदि इस खंड पर इसकी संभाव्यता घनत्व स्थिर है, और इसके बाहर शून्य के बराबर है। इस प्रकार, एक सतत यादृच्छिक चर की प्रायिकता घनत्व एक्स, खंड पर समान रूप से वितरित , की तरह लगता है:
आइए परिभाषित करें अपेक्षित मूल्य, फैलावऔर एक समान वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के लिए।
, 
, 
.
उदाहरण।समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के सभी मान अंतराल पर स्थित हैं . एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (3;5) .
ए = 2, बी = 8, 
.
इसे उत्पादित किया जाए एनपरीक्षण, और किसी घटना के घटित होने की संभावना एप्रत्येक परीक्षा में है पीऔर अन्य परीक्षणों (स्वतंत्र परीक्षणों) के परिणाम पर निर्भर नहीं करता है। चूंकि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है एएक परीक्षा में है पी, तो इसके न होने की प्रायिकता के बराबर है क्ष=1-पी.
घटना होने दो एमें आया एनपरीक्षणों एमएक बार। इस जटिल घटना को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:
.
तब संभावना है कि एनपरीक्षण घटना एआएगा एमटाइम्स, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:
या 
(1)
सूत्र (1) कहा जाता है बरनौली सूत्र.
होने देना एक्सघटना की घटनाओं की संख्या के बराबर एक यादृच्छिक चर है एमें एनपरीक्षण, जो संभावनाओं के साथ मान लेता है:
एक यादृच्छिक चर के वितरण के परिणामी नियम को कहा जाता है द्विपद वितरण कानून.
| एक्स | एम | एन | ||||
| पी |
अपेक्षित मूल्य, फैलावतथा मानक विचलनद्विपद नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
, , .
उदाहरण।लक्ष्य पर तीन शॉट दागे जाते हैं, और प्रत्येक शॉट को मारने की संभावना 0.8 है। हम एक यादृच्छिक चर पर विचार करते हैं एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या। इसका वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
पी = 0.8, क्यू = 0.2, एन = 3, 
, , 
.
- 0 हिट की संभावना;
एक हिट की संभावना;
दो हिट की संभावना;
तीन हिट की संभावना है।
हमें वितरण कानून मिलता है:
| एक्स | ||||
| पी | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
कार्य
1. एक सिक्के को 7 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह 4 बार उल्टा गिरेगा।
2. एक सिक्के को 8 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि हथियारों का कोट तीन बार से अधिक नहीं दिखाई देगा।
3. बंदूक से गोली चलाने पर लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता p=0.6। गणितीय अपेक्षा खोजें कुल गणनाहिट अगर 10 शॉट निकाल दिए जाते हैं।
4. 20 टिकट खरीदे जाने पर लॉटरी टिकटों की संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें, और एक टिकट के जीतने की संभावना 0.3 है।
इस मुद्दे का लंबे समय से विस्तार से अध्ययन किया गया है, और 1958 में जॉर्ज बॉक्स, मर्विन मुलर और जॉर्ज मार्सग्लिया द्वारा प्रस्तावित ध्रुवीय निर्देशांक की विधि का सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। यह विधिआपको माध्य 0 और भिन्नता 1 के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की एक जोड़ी प्राप्त करने की अनुमति देता है:
जहाँ Z 0 और Z 1 वांछित मान हैं, s \u003d u 2 + v 2, और u और v यादृच्छिक चर समान रूप से खंड (-1, 1) पर वितरित किए गए हैं, इस तरह से चुने गए हैं कि स्थिति 0 संतुष्ट है< s < 1.
कई लोग बिना सोचे-समझे इन फॉर्मूलों का इस्तेमाल करते हैं, और कई तो उनके अस्तित्व पर संदेह भी नहीं करते, क्योंकि वे पहले से तैयार कार्यान्वयन का उपयोग करते हैं। लेकिन ऐसे लोग हैं जिनके पास प्रश्न हैं: “यह सूत्र कहाँ से आया? और आपको एक ही बार में मूल्यों की एक जोड़ी क्यों मिलती है? निम्नलिखित में, मैं इन सवालों का स्पष्ट जवाब देने की कोशिश करूंगा।
आरंभ करने के लिए, मैं आपको याद दिलाता हूं कि संभाव्यता घनत्व, एक यादृच्छिक चर का वितरण कार्य और व्युत्क्रम कार्य क्या हैं। मान लीजिए कि कुछ यादृच्छिक चर है, जिसका वितरण घनत्व फलन f(x) द्वारा दिया गया है, जिसका निम्न रूप है:
इसका मतलब यह है कि संभावना है कि इस यादृच्छिक चर का मान अंतराल (ए, बी) में छायांकित क्षेत्र के बराबर होगा। और परिणामस्वरूप, पूरे छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल एकता के बराबर होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्थिति में यादृच्छिक चर का मान फ़ंक्शन f के डोमेन में आ जाएगा।
किसी यादृच्छिक चर का बंटन फलन घनत्व फलन का अभिन्न अंग है। और इस मामले में यह अनुमानित दृश्यइस प्रकार होगा:
यहाँ अर्थ यह है कि यादृच्छिक चर का मान प्रायिकता B के साथ A से कम होगा। और परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन कभी घटता नहीं है, और इसके मान अंतराल में होते हैं।
एक उलटा कार्य एक ऐसा कार्य है जो मूल कार्य के तर्क को वापस करता है यदि आप इसमें मूल कार्य का मान पास करते हैं। उदाहरण के लिए, फलन x 2 के लिए व्युत्क्रम मूल निष्कर्षण फलन होगा, sin (x) के लिए यह आर्क्सिन (x), आदि है।
चूंकि अधिकांश जेनरेटर छद्म हैं यादृच्छिक संख्याआउटपुट केवल एक समान वितरण देता है, फिर इसे किसी अन्य में बदलना अक्सर आवश्यक हो जाता है। इस मामले में, एक सामान्य गाऊसी के लिए:
एक समान वितरण को किसी अन्य वितरण में बदलने की सभी विधियों का आधार व्युत्क्रम परिवर्तन विधि है। यह निम्नानुसार काम करता है। एक फ़ंक्शन पाया जाता है जो आवश्यक वितरण के फ़ंक्शन के व्युत्क्रम होता है, और खंड (0, 1) पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर इसे एक तर्क के रूप में पारित किया जाता है। आउटपुट पर, हम आवश्यक वितरण के साथ एक मान प्राप्त करते हैं। स्पष्टता के लिए, यहाँ निम्न चित्र है।
इस प्रकार, एक समान खंड है, जैसा कि नए वितरण के अनुसार धब्बा था, एक व्युत्क्रम समारोह के माध्यम से दूसरी धुरी पर प्रक्षेपित किया जा रहा है। लेकिन समस्या यह है कि गौसियन वितरण के घनत्व का अभिन्न गणना करना आसान नहीं है, इसलिए उपरोक्त वैज्ञानिकों को धोखा देना पड़ा।
एक ची-स्क्वायर वितरण (पियर्सन वितरण) है, जो k स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों के योग का वितरण है। और मामले में जब के = 2, यह वितरण घातीय है।
इसका मतलब यह है कि यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बिंदु में यादृच्छिक एक्स और वाई निर्देशांक सामान्य रूप से वितरित होते हैं, तो इन निर्देशांकों को ध्रुवीय प्रणाली (आर, θ) में परिवर्तित करने के बाद, त्रिज्या का वर्ग (मूल से बिंदु तक की दूरी) घातीय रूप से वितरित किया जाएगा, क्योंकि त्रिज्या का वर्ग निर्देशांक के वर्गों का योग है (पाइथागोरस कानून के अनुसार)। समतल पर ऐसे बिंदुओं का वितरण घनत्व इस प्रकार दिखाई देगा:
चूंकि यह सभी दिशाओं में समान है, कोण θ का 0 से 2π तक की सीमा में एक समान वितरण होगा। इसका विलोम भी सत्य है: यदि आप दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर (कोण समान रूप से वितरित और त्रिज्या घातीय रूप से वितरित) का उपयोग करके ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एक बिंदु निर्दिष्ट करते हैं, तो इस बिंदु के आयताकार निर्देशांक स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर होंगे। और समान व्युत्क्रम परिवर्तन विधि का उपयोग करके, समान वितरण से घातीय वितरण पहले से ही प्राप्त करना बहुत आसान है। यह बॉक्स-मुलर ध्रुवीय पद्धति का सार है।
अब सूत्र प्राप्त करते हैं।
(1)
आर और θ प्राप्त करने के लिए, खंड (0, 1) पर समान रूप से वितरित दो यादृच्छिक चर उत्पन्न करना आवश्यक है (चलो उन्हें यू और वी कहते हैं), जिनमें से एक का वितरण (मान लीजिए वी) को घातीय में परिवर्तित किया जाना चाहिए त्रिज्या प्राप्त करें। घातीय वितरण समारोह इस तरह दिखता है:
इसका उलटा कार्य:
चूंकि एकसमान वितरण सममित है, परिवर्तन फ़ंक्शन के साथ समान रूप से कार्य करेगा
यह ची-स्क्वायर वितरण सूत्र से अनुसरण करता है कि λ = 0.5। हम λ, v को इस फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं और त्रिज्या का वर्ग प्राप्त करते हैं, और फिर स्वयं त्रिज्या:
हम इकाई खंड को 2π तक खींचकर कोण प्राप्त करते हैं:
अब हम r और θ को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
(2)
ये सूत्र उपयोग के लिए तैयार हैं। एक्स और वाई स्वतंत्र होंगे और सामान्य रूप से 1 के भिन्नता और 0 के माध्य के साथ वितरित होंगे। अन्य विशेषताओं के साथ वितरण प्राप्त करने के लिए, मानक विचलन द्वारा फ़ंक्शन के परिणाम को गुणा करने और माध्य जोड़ने के लिए पर्याप्त है।
लेकिन छुटकारा पाने का एक तरीका है त्रिकोणमितीय फलन, कोण को सीधे नहीं, बल्कि अप्रत्यक्ष रूप से सर्कल में एक यादृच्छिक बिंदु के आयताकार निर्देशांक के माध्यम से निर्दिष्ट करके। फिर, इन निर्देशांकों के माध्यम से, त्रिज्या वेक्टर की लंबाई की गणना करना संभव होगा, और उसके बाद क्रमशः x और y को विभाजित करके कोसाइन और साइन खोजें। यह कैसे और क्यों काम करता है?
हम इकाई त्रिज्या के वृत्त में समान रूप से वितरित से एक यादृच्छिक बिंदु चुनते हैं और इस बिंदु के त्रिज्या वेक्टर की लंबाई के वर्ग को अक्षर s द्वारा निरूपित करते हैं:
यादृच्छिक एक्स और वाई आयताकार निर्देशांक निर्दिष्ट करके अंतराल (-1, 1) में समान रूप से वितरित किया जाता है, और उन बिंदुओं को छोड़ दिया जाता है जो सर्कल से संबंधित नहीं हैं, साथ ही केंद्रीय बिंदु जिस पर त्रिज्या वेक्टर का कोण है परिभाषित नहीं। यानी स्थिति 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
लेख की शुरुआत में हमें सूत्र मिलते हैं। इस पद्धति का नुकसान उन बिंदुओं की अस्वीकृति है जो सर्कल में शामिल नहीं हैं। यही है, उत्पन्न यादृच्छिक चर का केवल 78.5% का उपयोग करना। पुराने कंप्यूटरों पर, त्रिकोणमितीय कार्यों की कमी अभी भी एक बड़ा फायदा था। अब, जब एक प्रोसेसर निर्देश एक साथ एक पल में साइन और कोसाइन की गणना करता है, मुझे लगता है कि ये विधियां अभी भी प्रतिस्पर्धा कर सकती हैं।
व्यक्तिगत रूप से, मेरे दो और प्रश्न हैं:
- S का मान समान रूप से क्यों वितरित किया जाता है?
- दो सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों का योग चरघातांकी रूप से क्यों वितरित किया जाता है?
यदि एक समान परिवर्तन एक सामान्य यादृच्छिक चर के लिए किया जाता है, तो इसके वर्ग का घनत्व कार्य हाइपरबोला के समान होगा। और सामान्य यादृच्छिक चर के दो वर्गों का जोड़ पहले से ही दोहरे एकीकरण से जुड़ी एक बहुत अधिक जटिल प्रक्रिया है। और तथ्य यह है कि परिणाम एक घातीय वितरण है, मुझे व्यक्तिगत रूप से यहां जांचना है व्यावहारिक तरीकाया एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार करें। और रुचि रखने वालों के लिए, मेरा सुझाव है कि आप इन पुस्तकों से ज्ञान प्राप्त करते हुए, अपने आप को विषय के करीब से परिचित कराएँ:
- वेंटज़ेल ई.एस. सिद्धांत संभावना
- नट डी.ई. प्रोग्रामिंग वॉल्यूम 2 की कला
अंत में, मैं जावास्क्रिप्ट में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या जनरेटर के कार्यान्वयन का एक उदाहरण दूंगा:
फ़ंक्शन गॉस () (var तैयार = गलत; var सेकंड = 0.0; यह.नेक्स्ट = फ़ंक्शन (माध्य, देव) (मतलब = मतलब == अपरिभाषित? 0.0: मतलब; देव = देव == अपरिभाषित? 1.0: देव; अगर ( this.ready) ( this.ready = false; इसे वापस करें। दूसरा * देव + माध्य;) और (var u, v, s; do (u = 2.0 * Math.random) () - 1.0; v = 2.0 * Math. रैंडम () - 1.0; एस = यू * यू + वी * वी;) जबकि (एस> 1.0 || एस == 0.0); वर आर = गणित.sqrt (-2.0 * गणित.लॉग (एस) / एस); यह सेकंड = आर * यू; यह तैयार = सच; वापसी आर * वी * देव + माध्य;));) जी = नया गॉस (); // एक वस्तु बनाएँ a = g.next (); // मूल्यों की एक जोड़ी उत्पन्न करें और पहले प्राप्त करें b = g.next (); // दूसरा c = g.next (); प्राप्त करें // मूल्यों की एक जोड़ी फिर से उत्पन्न करें और पहले प्राप्त करें
माध्य (गणितीय अपेक्षा) और देव (मानक विचलन) पैरामीटर वैकल्पिक हैं। मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता हूं कि लघुगणक स्वाभाविक है।
निरंतर यादृच्छिक चर के एक उदाहरण के रूप में, एक यादृच्छिक चर X को अंतराल (a; b) पर समान रूप से वितरित करने पर विचार करें। हम कहते हैं कि यादृच्छिक चर X बराबर बाटना अंतराल पर (ए; बी), यदि इसका वितरण घनत्व इस अंतराल पर स्थिर नहीं है:
सामान्यीकरण की स्थिति से, हम निरंतर c का मान निर्धारित करते हैं। वितरण घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र एक के बराबर होना चाहिए, लेकिन हमारे मामले में यह आधार (बी - α) और ऊंचाई सी (छवि 1) के साथ आयत का क्षेत्र है। 
चावल। 1 समान वितरण घनत्व
यहाँ से हम स्थिरांक c का मान ज्ञात करते हैं: 
तो, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का घनत्व बराबर है 
आइए अब सूत्र द्वारा वितरण फलन ज्ञात करें:
1) के लिए 
2) के लिए
3) 0+1+0=1 के लिए।
इस तरह, 
वितरण समारोह निरंतर है और घटता नहीं है (चित्र 2)। 
चावल। समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का 2 वितरण समारोह
हमे पता करने दें समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षासूत्र के अनुसार:
समान वितरण विचरणसूत्र द्वारा गणना की जाती है और इसके बराबर है
उदाहरण 1। स्केल विभाजन मूल्य उपकरण को मापना 0.2 के बराबर है। इंस्ट्रूमेंट रीडिंग को निकटतम पूरे डिवीजन में गोल किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि रीडिंग के दौरान त्रुटि होगी: a) 0.04 से कम; बी) बड़ा 0.02
समाधान। राउंडिंग एरर एक यादृच्छिक चर है जो आसन्न पूर्णांक विभाजनों के बीच अंतराल पर समान रूप से वितरित किया जाता है। अंतराल (0; 0.2) को एक विभाजन के रूप में लें (चित्र क)। राउंडिंग को बाईं सीमा - 0, और दाईं ओर - 0.2 दोनों की ओर किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि 0.04 से कम या उसके बराबर की त्रुटि दो बार की जा सकती है, जिसे संभाव्यता की गणना करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए: 
पी = 0.2 + 0.2 = 0.4
दूसरे मामले के लिए, त्रुटि मान दोनों विभाजन सीमाओं पर 0.02 से अधिक हो सकता है, अर्थात यह 0.02 से अधिक या 0.18 से कम हो सकता है। 
फिर इस तरह की त्रुटि की संभावना:
उदाहरण #2। यह मान लिया गया था कि पिछले 50 वर्षों में देश में आर्थिक स्थिति की स्थिरता (युद्धों, प्राकृतिक आपदाओं आदि की अनुपस्थिति) का अंदाजा उम्र के हिसाब से जनसंख्या के वितरण की प्रकृति से लगाया जा सकता है: एक शांत स्थिति में, यह होना चाहिए वर्दी. अध्ययन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित आंकड़ों में से एक देश के लिए प्राप्त किया गया था।
क्या यह मानने का कोई कारण है कि देश में अस्थिर स्थिति थी?हम कैलकुलेटर परिकल्पना परीक्षण का उपयोग करके निर्णय लेते हैं. संकेतकों की गणना के लिए तालिका।
| समूहों | अंतराल मध्य, एक्स मैं | मात्रा, फा | एक्स आई * एफ आई | संचयी आवृत्ति, एस | |x - x cf |*f | (एक्स - एक्स एसआर) 2 *एफ | फ्रीक्वेंसी, एफ आई / एन |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
भारित औसत
भिन्नता संकेतक.
पूर्ण भिन्नता दर.
भिन्नता की सीमा प्राथमिक श्रृंखला की विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है।
आर = एक्स अधिकतम - एक्स मिनट
आर=70 - 0=70
फैलाव- इसके माध्य मान के चारों ओर प्रसार के माप की विशेषता है (फैलाव का माप, अर्थात माध्य से विचलन)।
मानक विचलन.
श्रृंखला का प्रत्येक मूल्य 43 के औसत मूल्य से 23.92 से अधिक नहीं है
वितरण के प्रकार के बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण करना.
4. के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करना वर्दी वितरणसामान्य जनसंख्या।
एक्स के समान वितरण के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, अर्थात कानून के अनुसार: f(x) = 1/(b-a) अंतराल में (a,b)
ज़रूरी:
1. पैरामीटर ए और बी का अनुमान लगाएं - अंतराल के अंत में संभावित मान X, सूत्रों के अनुसार (चिह्न के माध्यम से * मापदंडों के अनुमानों को दर्शाता है):
2. अनुमानित बंटन f(x) = 1/(b * - a *) का प्रायिकता घनत्व ज्ञात कीजिए
3. सैद्धांतिक आवृत्तियों का पता लगाएं:
एन 1 \u003d एनपी 1 \u003d एन \u003d एन * 1 / (बी * - ए *) * (एक्स 1 - ए *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. पियर्सन परीक्षण का उपयोग करते हुए अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों की तुलना करें, यह मानते हुए कि स्वतंत्रता की डिग्री k = s-3 है, जहां प्रारंभिक नमूना अंतराल की संख्या है; यदि, हालांकि, छोटी आवृत्तियों का एक संयोजन, और इसलिए अंतराल स्वयं बनाया गया था, तो संयोजन के बाद शेष अंतरालों की संख्या s है।
समाधान:
1. सूत्रों का उपयोग करके समान वितरण के मापदंडों a * और b * का अनुमान लगाएं:
2. कल्पित समान वितरण का घनत्व ज्ञात कीजिए:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. सैद्धान्तिक बारंबारताएँ ज्ञात कीजिए:
एन 1 \u003d एन * एफ (एक्स) (एक्स 1 - ए *) \u003d 1 * 0.0121 (10-1.58) \u003d 0.1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0.0121 (84.42-70) \u003d 0.17
शेष n बराबर होंगे:
एन एस = एन * एफ (एक्स) (एक्स आई - एक्स आई -1)
| मैं | एन मैं | एन * मैं | एन आई - एन * आई | (एन आई - एन * आई) 2 | (एन आई - एन * आई) 2 / एन * आई |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6ई-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0ई-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5ई-5 | 0.000199 |
| कुल | 1 | 0.0532 |
इसलिए, इस आंकड़े के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्र हमेशा दाएँ हाथ का होता है :)
