बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि। फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके समीकरणों, असमानताओं, प्रणालियों को हल करना

निम्नलिखित समीकरणों पर विचार करें:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

उपरोक्त प्रत्येक समीकरण दो चरों वाला एक समीकरण है। निर्देशांक तल पर बिंदुओं का वह समूह जिसके निर्देशांक समीकरण को वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं, कहलाता है दो अज्ञात में एक समीकरण का ग्राफ.

दो चरों वाले समीकरण का आलेख

दो चर वाले समीकरणों में कई प्रकार के भूखंड होते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण 2*x + 3*y = 15 के लिए, ग्राफ एक सीधी रेखा होगा, समीकरण x 2 + y 2 = 4 के लिए, ग्राफ 2 की त्रिज्या वाला एक वृत्त होगा, का ग्राफ समीकरण y*x = 1 अतिपरवलय होगा, आदि।

दो चर वाले पूर्णांक समीकरणों में भी डिग्री जैसी कोई चीज़ होती है। यह डिग्री उसी तरह निर्धारित की जाती है जैसे एक चर के साथ पूरे समीकरण के लिए। ऐसा करने के लिए, समीकरण को उस रूप में लाएं जब बाईं तरफएक बहुपद है मानक दृश्य, जबकि दायां शून्य है। यह समकक्ष परिवर्तनों के माध्यम से किया जाता है।

समीकरणों के सिस्टम को हल करने का ग्राफिकल तरीका

आइए जानें कि दो चर वाले दो समीकरणों वाले समीकरणों के सिस्टम को कैसे हल किया जाए। विचार करना ग्राफिक तरीकाऐसी प्रणालियों के समाधान।

उदाहरण 1. समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

(एक्स 2 + वाई 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

आइए एक ही समन्वय प्रणाली में पहले और दूसरे समीकरणों के ग्राफ़ को प्लॉट करें। पहले समीकरण का ग्राफ मूल और त्रिज्या 5 पर केंद्रित एक वृत्त होगा। दूसरे समीकरण का ग्राफ नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय होगा।

रेखांकन के सभी बिंदु प्रत्येक अपने स्वयं के समीकरण को संतुष्ट करेंगे। हमें ऐसे बिंदु खोजने होंगे जो पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को संतुष्ट करें। जाहिर है, ये वे बिंदु होंगे जहां ये दो ग्राफ प्रतिच्छेद करते हैं।

हमारे ड्राइंग का उपयोग करके, हम उन निर्देशांकों के अनुमानित मान पाते हैं जिन पर ये बिंदु प्रतिच्छेद करते हैं। हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

ए(-2.2;-4.5), बी(0;5), सी(2.2;4.5), डी(4,-3)।

तो समीकरणों की हमारी प्रणाली के चार समाधान हैं।

x1 -2.2; y1 -4.5;

x2 0; y2 5;

x3 2.2; y3 4.5;

x4 4,y4 -3।

यदि हम इन मानों को हमारे सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि पहला और तीसरा समाधान अनुमानित है, और दूसरा और चौथा सटीक है। आलेखीय पद्धति का प्रयोग प्रायः जड़ों की संख्या और उनकी अनुमानित सीमाओं का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। समाधान अक्सर सटीक से अधिक अनुमानित होते हैं।

वीडियो पाठ "समीकरण प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि" प्रस्तुत करता है शैक्षिक सामग्रीइस विषय का पता लगाने के लिए। सामग्री शामिल है सामान्य सिद्धांतसमीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के बारे में, साथ ही विस्तृत विवरणउदाहरण के लिए कि कैसे समीकरणों की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल किया जाता है।

दृश्य सहायता निर्माणों के अधिक सुविधाजनक और समझने योग्य निष्पादन के लिए एनिमेशन का उपयोग करती है, साथ ही विभिन्न तरीकेसामग्री की गहराई से समझ, बेहतर याद के लिए महत्वपूर्ण अवधारणाओं और विवरणों को उजागर करना।

वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। छात्रों को याद दिलाया जाता है कि समीकरणों की एक प्रणाली क्या है, और 7 वीं कक्षा में उन्हें पहले से ही समीकरणों की कौन सी प्रणाली से परिचित होना था। पहले, छात्रों को ax+by=c फॉर्म के समीकरणों के सिस्टम को हल करना होता था। समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की अवधारणा को गहरा करने और उन्हें हल करने की क्षमता बनाने के लिए, इस वीडियो पाठ में दूसरी डिग्री के दो समीकरणों के साथ-साथ दूसरी डिग्री के एक समीकरण और दूसरे से मिलकर एक प्रणाली के समाधान पर चर्चा की गई है। - पहली डिग्री के। आपको याद दिलाता है कि समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान क्या है। सिस्टम के समाधान की परिभाषा चर के मूल्यों की एक जोड़ी के रूप में होती है जो सही समानता में प्रतिस्थापित करते समय इसके समीकरणों को उलट देती है, स्क्रीन पर प्रदर्शित होती है। सिस्टम के समाधान की परिभाषा के अनुसार, कार्य निर्दिष्ट है। यह याद रखने के लिए स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है कि किसी सिस्टम को हल करने का अर्थ है उपयुक्त समाधान खोजना या उनकी अनुपस्थिति को साबित करना।

समीकरणों की एक निश्चित प्रणाली को हल करने की चित्रमय पद्धति में महारत हासिल करने का प्रस्ताव है। आवेदन पत्र यह विधिसमीकरण x 2 + y 2 \u003d 16 और y \u003d - x 2 + 2x + 4 से मिलकर एक प्रणाली को हल करने के उदाहरण पर विचार किया जाता है। सिस्टम का ग्राफिकल सॉल्यूशन इनमें से प्रत्येक समीकरण को प्लॉट करने से शुरू होता है। जाहिर है, समीकरण x 2 + y 2 \u003d 16 का ग्राफ एक वृत्त होगा। इस वृत्त से संबंधित बिंदु समीकरण का हल हैं। समीकरण के आगे, 4 की त्रिज्या वाला एक वृत्त मूल बिंदु पर O केंद्र के साथ समन्वय तल पर बनाया गया है। दूसरे समीकरण का ग्राफ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर होती हैं। यह परवलय समीकरण के ग्राफ के अनुरूप समन्वय तल पर निर्मित होता है। परवलय से संबंधित कोई भी बिंदु समीकरण y \u003d -x 2 + 2x + 4 का हल है। यह समझाया गया है कि समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान उन ग्राफ़ पर बिंदु है जो एक साथ दोनों समीकरणों के ग्राफ़ से संबंधित हैं। इसका मतलब है कि निर्मित ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों की प्रणाली के समाधान होंगे।

यह ध्यान दिया जाता है कि ग्राफिकल विधि में दो ग्राफ़ के चौराहे पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक के अनुमानित मूल्य को खोजने में शामिल होता है, जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के समाधान के सेट को दर्शाता है। यह आंकड़ा दो रेखांकन के पाए गए प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक को चिह्नित करता है: ए, बी, सी, डी[-2;-3.5]। ये बिंदु ग्राफिक रूप से पाए गए समीकरणों की प्रणाली के समाधान हैं। आप उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करके और निष्पक्ष समानता प्राप्त करके उनकी शुद्धता की जांच कर सकते हैं। समीकरण में बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने के बाद, यह देखा जा सकता है कि कुछ बिंदु समाधान का सटीक मान देते हैं, और कुछ समीकरण के समाधान के अनुमानित मान का प्रतिनिधित्व करते हैं: x 1 = 0, y 1 = 4; एक्स 2 \u003d 2, वाई 2 3.5; x 3 3.5, y 3 \u003d -2; एक्स 4 \u003d -2, वाई 4 -3.5।

वीडियो ट्यूटोरियल समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि के सार और अनुप्रयोग के बारे में विस्तार से बताता है। यह इस विषय का अध्ययन करते समय स्कूल में बीजगणित पाठ में वीडियो सहायता के रूप में इसका उपयोग करना संभव बनाता है। इसके अलावा, सामग्री के लिए उपयोगी होगा स्वयं अध्ययनछात्र और दूरस्थ शिक्षा में विषय को समझाने में मदद कर सकते हैं।

इस पाठ में, हम दो चरों वाले दो समीकरणों के निकाय को हल करने पर विचार करेंगे। आइए पहले हम दो के निकाय के आलेखीय हल पर विचार करें रेखीय समीकरण, उनके रेखांकन की समग्रता की विशिष्टताएँ। अगला, हम कई प्रणालियों को हल करते हैं ग्राफिक विधि.

विषय: समीकरणों की प्रणाली

पाठ: समीकरणों के निकाय को हल करने की आलेखीय विधि

प्रणाली पर विचार करें

संख्याओं की एक जोड़ी जो एक साथ सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का समाधान है, कहलाती है समीकरणों की प्रणाली का समाधान.

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान खोजना, या यह स्थापित करना कि कोई समाधान नहीं हैं। हमने बुनियादी समीकरणों के रेखांकन पर विचार किया है, आइए प्रणालियों के विचार पर आगे बढ़ते हैं।

उदाहरण 1. सिस्टम को हल करें

फेसला:

ये रैखिक समीकरण हैं, इनमें से प्रत्येक का आलेख एक सीधी रेखा है। पहले समीकरण का ग्राफ बिंदुओं (0; 1) और (-1; 0) से होकर गुजरता है। दूसरे समीकरण का ग्राफ बिंदुओं (0; -1) और (-1; 0) से होकर गुजरता है। रेखाएँ बिंदु (-1; 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं, यह समीकरणों के निकाय का हल है ( चावल। 1).

प्रणाली का हल संख्याओं का एक युग्म है। संख्याओं के इस युग्म को प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही समानता प्राप्त होती है।

हमें मिला केवल निर्णय रैखिक प्रणाली.

याद रखें कि एक रैखिक प्रणाली को हल करते समय, निम्नलिखित मामले संभव हैं:

प्रणाली का एक अनूठा समाधान है - रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,

प्रणाली का कोई समाधान नहीं है - रेखाएं समानांतर हैं,

सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं - रेखाएं मेल खाती हैं।

हमने समीक्षा की विशेष मामलाप्रणाली जब p(x; y) और q(x; y) x और y में रैखिक व्यंजक हैं।

उदाहरण 2. समीकरणों के निकाय को हल करें

फेसला:

पहले समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है, दूसरे समीकरण का आलेख एक वृत्त है। आइए बिंदुओं द्वारा पहला ग्राफ बनाएं (चित्र 2)।

वृत्त का केंद्र बिंदु O(0; 0) पर है, त्रिज्या 1 है।

ग्राफ़ बिंदु A(0; 1) और बिंदु B(-1; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

उदाहरण 3. सिस्टम को ग्राफिक रूप से हल करें

हल: आइए पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाएं - यह एक वृत्त है जिसका केंद्र बिंदु O (0; 0) पर है और 2 की त्रिज्या है। दूसरे समीकरण का ग्राफ एक परवलय है। इसे मूल के सापेक्ष 2 ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात। इसका शीर्ष बिंदु (0; 2) (चित्र 3) है।

रेखांकन में एक है आम बात- टी। ए (0; 2)। यह व्यवस्था का समाधान है। शुद्धता की जाँच के लिए समीकरण में कुछ संख्याएँ रखें।

उदाहरण 4. सिस्टम को हल करें

हल: आइए पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं - यह एक वृत्त है जिसका केंद्र बिंदु O (0; 0) पर है और 1 की त्रिज्या है (चित्र 4)।

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं यह एक टूटी हुई रेखा है (चित्र 5)।

अब इसे oy अक्ष के अनुदिश 1 से नीचे ले जाएँ। यह फ़ंक्शन का ग्राफ होगा

आइए दोनों ग्राफों को एक ही निर्देशांक प्रणाली में रखें (चित्र 6)।

हमें तीन प्रतिच्छेदन बिंदु मिलते हैं - बिंदु A (1; 0), बिंदु B (-1; 0), बिंदु C (0; -1)।

हमने सिस्टम को हल करने के लिए एक ग्राफिकल विधि पर विचार किया है। यदि प्रत्येक समीकरण को रेखांकन करना और प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करना संभव है, तो यह विधि काफी पर्याप्त है।

लेकिन अक्सर ग्राफिकल विधि से सिस्टम का केवल एक अनुमानित समाधान खोजना संभव हो जाता है या समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर देना संभव हो जाता है। इसलिए, अन्य विधियों, अधिक सटीक, की आवश्यकता है, और हम अगले पाठों में उनके साथ व्यवहार करेंगे।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य बीजगणित 9वीं कक्षा: प्रोक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान - चौथा संस्करण। - एम .: मेनेमोसिन, 2002.-192 पी .: बीमार।

2. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित ग्रेड 9: छात्रों के लिए कार्यपुस्तिका शिक्षण संस्थान/ ए। जी। मोर्दकोविच, टी। एन। मिशुस्टिना और अन्य - चौथा संस्करण। - एम .: मेमोसिन, 2002.-143 पी .: बीमार।

3. यू। एन। मकारिचेव, बीजगणित। ग्रेड 9: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए। संस्थान / यू। एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, आई। ई। फेओक्टिस्टोव। - 7 वां संस्करण।, रेव। और अतिरिक्त - एम।: निमोसिन, 2008।

4. अलीमोव श.ए., कोल्यागिन यू.एम., सिदोरोव यू.वी. बीजगणित। श्रेणी 9 16वां संस्करण। - एम।, 2011. - 287 पी।

5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। श्रेणी 9 दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - 12 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। — एम .: 2010। — 224 पी .: बीमार।

6. बीजगणित। श्रेणी 9 2 घंटे में। भाग 2। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए टास्क बुक / ए। जी। मोर्डकोविच, एल। ए। अलेक्जेंड्रोवा, टी। एन। मिशुस्टिना और अन्य; ईडी। ए जी मोर्दकोविच। - 12 वां संस्करण।, रेव। - एम .: 2010.-223 पी .: बीमार।

1. College.ru गणित पर अनुभाग ()।

2. इंटरनेट परियोजना "कार्य" ()।

3. शैक्षिक पोर्टल"मैं उपयोग का समाधान करूंगा" ()।

1. मोर्दकोविच ए.जी. एट अल। बीजगणित ग्रेड 9: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए कार्यपुस्तिका / ए जी मोर्दकोविच, टी। एन। मिशुस्टिना एट अल। - चौथा संस्करण। - एम ।: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी .: बीमार। नंबर 105, 107, 114, 115।

समीकरणों को हल करने का एक तरीका चित्रमय विधि है। यह कार्यों की साजिश रचने और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने पर आधारित है। द्विघात समीकरण a*x^2+b*x+c=0 को हल करने के लिए एक ग्राफिकल तरीके पर विचार करें।

हल करने का पहला तरीका

आइए समीकरण a*x^2+b*x+c=0 को a*x^2 =-b*x-c के रूप में रूपांतरित करें। हम दो कार्यों y= a*x^2 (पैराबोला) और y=-b*x-c (सीधी रेखा) के ग्राफ बनाते हैं। चौराहे के बिंदुओं की तलाश में। प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भुज समीकरण का हल होगा।

आइए एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं:समीकरण को हल करें x^2-2*x-3=0.

आइए इसे x^2 =2*x+3 में रूपांतरित करें। हम एक समन्वय प्रणाली में y= x^2 और y=2*x+3 कार्यों के ग्राफ बनाते हैं।

रेखांकन दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। उनके एब्सिसास हमारे समीकरण की जड़ें होंगे।

सूत्र समाधान

आश्वस्त होने के लिए, हम विश्लेषणात्मक रूप से इस समाधान की जांच करते हैं। हम तय करेंगे द्विघात समीकरणसूत्र के अनुसार:

डी = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1।

माध्यम, समाधान मेल।

समीकरणों को हल करने की आलेखीय पद्धति में भी इसकी खामियां हैं, इसकी सहायता से समीकरण का सटीक समाधान प्राप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है। आइए समीकरण x^2=3+x को हल करने का प्रयास करें।

आइए एक ही समन्वय प्रणाली में एक परवलय y=x^2 और एक सीधी रेखा y=3+x का निर्माण करें।

एक बार फिर ऐसी ही तस्वीर मिली है. एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। लेकिन हम इन बिंदुओं के एब्सिसास के सटीक मान नहीं कह सकते, केवल अनुमानित: x≈-1.3 x≈2.3।

यदि हम ऐसी सटीकता के उत्तरों से संतुष्ट हैं, तो हम इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन ऐसा कम ही होता है। आमतौर पर सटीक समाधान की आवश्यकता होती है। इसलिए, ग्राफिकल विधि का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, और मुख्य रूप से मौजूदा समाधानों की जांच करने के लिए।

अपनी पढ़ाई में मदद चाहिए?

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। समीकरणों की एक प्रणाली गणितीय समीकरणों का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक में एक निश्चित संख्या में चर होते हैं। सिस्टम को आमतौर पर एक घुंघराले ब्रैकेट द्वारा दर्शाया जाता है और इस ब्रैकेट के तहत सब कुछ सिस्टम का सदस्य होता है। इस तरह की प्रणालियों को हल करने के लिए, कई अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल किया जाता है।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसकी सभी संभावित जड़ों को खोजना या यह साबित करना कि वे मौजूद नहीं हैं। दो चर वाले समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए, आमतौर पर निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है: चित्रमय विधि, प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

मान लीजिए कि हमें एक प्रणाली दी गई है जिसे विधि द्वारा ग्राफिक रूप से हल करने की आवश्यकता है:

\[ \left\(\begin(matrix) x^2+y^2-2x+4y-20=0\\ 2x-y=-1 \end(matrix)\right.\]

समीकरणों की एक प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

* एक समन्वय प्रणाली में समीकरणों के रेखांकन का निर्माण;

* इन रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें, जो सिस्टम का समाधान हैं;

पूर्ण वर्गों का चयन, हम प्राप्त करते हैं:

इसके आधार पर हम प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं\(\begin(matrix)(x-1)^2+(y+2)^2)=25\\ 2x-y=-1 \end(matrix)\right.\]

पहले समीकरण का ग्राफ \[(x-1)^2+(y+2)^2=25\] केंद्र \ और त्रिज्या 5 वाला एक वृत्त है। समीकरणों के ग्राफ़ चित्र 6 में दिखाए गए हैं।

दूसरे समीकरण का ग्राफ \ बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है \ और \ हम बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 5 के साथ एक वृत्त का निर्माण करते हैं और बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं \ और \ ये रेखाएं दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं \ और \

इसके आधार पर, सिस्टम का समाधान: \

उत्तर: \[(1;3); (-3;-5);\]

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