सतह पर स्पर्शरेखा. किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा समतल समीकरण और सतह सामान्य कैसे खोजें

किसी बिंदु पर और उस पर निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं, जिनमें से कम से कम एक गायब नहीं होता है, तो इस बिंदु के पड़ोस में समीकरण (1) द्वारा परिभाषित सतह होगी सही सतह.

उपरोक्त के अतिरिक्त निर्दिष्ट करने का अंतर्निहित तरीकासतह को परिभाषित किया जा सकता है ज़ाहिर तौर से, यदि चरों में से एक, उदाहरण के लिए z, को अन्य के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

वहाँ भी है पैरामीट्रिकअसाइनमेंट का तरीका. इस मामले में, सतह समीकरणों की प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है:

एक साधारण सतह की अवधारणा

अधिक सटीकता से, साधारण सतह इसे एक इकाई वर्ग के आंतरिक भाग की होमियोमोर्फिक मैपिंग (अर्थात् एक-से-एक और पारस्परिक रूप से निरंतर मैपिंग) की छवि कहा जाता है। इस परिभाषा को विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति दी जा सकती है।

मान लीजिए कि आयताकार निर्देशांक प्रणाली u और v, निर्देशांक वाले समतल पर एक वर्ग दिया गया है आंतरिक बिंदुजो असमानताओं को संतुष्ट करता है 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

उदाहरण साधारण सतहएक गोलार्ध है. पूरा क्षेत्र नहीं है साधारण सतह. इसके लिए सतह की अवधारणा को और अधिक सामान्य बनाने की आवश्यकता है।

अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय, जिसके प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस होता है साधारण सतह, बुलाया सही सतह .

विभेदक ज्यामिति में सतह

घुमावदार

कैटेनॉइड

मीट्रिक सतह के आकार को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, एक हेलिकॉइड और एक कैटेनॉइड की मीट्रिक, तदनुसार पैरामीटरयुक्त, मेल खाती है, अर्थात, उनके क्षेत्रों के बीच एक पत्राचार होता है जो सभी लंबाई (आइसोमेट्री) को संरक्षित करता है। सममितीय परिवर्तनों के अंतर्गत संरक्षित किये जाने वाले गुण कहलाते हैं आंतरिक ज्यामितिसतहों. आंतरिक ज्यामिति अंतरिक्ष में सतह की स्थिति पर निर्भर नहीं करती है और जब इसे तनाव या संपीड़न के बिना मोड़ा जाता है तो यह नहीं बदलती है (उदाहरण के लिए, जब एक सिलेंडर को शंकु में मोड़ा जाता है)।

मीट्रिक गुणांक न केवल सभी वक्रों की लंबाई निर्धारित करते हैं, बल्कि सामान्य तौर पर सतह के अंदर सभी मापों (कोण, क्षेत्रफल, वक्रता, आदि) के परिणाम भी निर्धारित करते हैं। इसलिए, जो कुछ भी केवल मीट्रिक पर निर्भर करता है वह आंतरिक ज्यामिति को संदर्भित करता है।

सामान्य और सामान्य अनुभाग

सतह बिंदुओं पर सामान्य सदिश

किसी सतह की मुख्य विशेषताओं में से एक उसकी है सामान्य- इकाई वेक्टर स्पर्शरेखा तल के लंबवत दिया गया बिंदु:

.

सामान्य का चिह्न निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करता है।

किसी समतल द्वारा किसी सतह का एक खंड जिसमें अभिलंब (किसी दिए गए बिंदु पर) होता है, सतह पर एक निश्चित वक्र बनाता है, जिसे कहा जाता है सामान्य अनुभागसतहों. एक सामान्य खंड के लिए मुख्य सामान्य सतह के सामान्य (चिह्न तक) के साथ मेल खाता है।

यदि सतह पर वक्र एक सामान्य खंड नहीं है, तो इसका मुख्य सामान्य सतह के सामान्य के साथ एक निश्चित कोण θ बनाता है। फिर वक्रता कवक्रता से संबंधित वक्र क एनमेयुनियर के सूत्र द्वारा सामान्य खंड (समान स्पर्शरेखा के साथ):

के लिए सामान्य इकाई वेक्टर के निर्देशांक विभिन्न तरीकेसतही कार्य तालिका में दिए गए हैं:

	किसी सतह बिंदु पर सामान्य निर्देशांक
अंतर्निहित असाइनमेंट
स्पष्ट असाइनमेंट
पैरामीट्रिक विशिष्टता

वक्रता

के लिए अलग-अलग दिशाएँसतह पर किसी दिए गए बिंदु पर सामान्य खंड की विभिन्न वक्रताएं प्राप्त होती हैं, जिसे कहा जाता है सामान्य वक्रता; यदि वक्र का मुख्य सामान्य सतह के सामान्य दिशा के समान दिशा में जाता है, तो इसे प्लस चिह्न दिया जाता है, या यदि सामान्य की दिशाएं विपरीत होती हैं तो ऋण चिह्न दिया जाता है।

सामान्यतया, सतह पर प्रत्येक बिंदु पर दो लंबवत दिशाएँ होती हैं इ 1 और इ 2, जिसमें सामान्य वक्रता न्यूनतम तथा लेती है अधिकतम मूल्य; इन दिशाओं को कहा जाता है मुख्य. अपवाद तब होता है जब सभी दिशाओं में सामान्य वक्रता समान होती है (उदाहरण के लिए, एक गोले के पास या परिक्रमण के दीर्घवृत्त के अंत में), तो एक बिंदु पर सभी दिशाएँ प्रमुख होती हैं।

नकारात्मक (बाएं), शून्य (केंद्र) और सकारात्मक (दाएं) वक्रता वाली सतहें।

प्रमुख दिशाओं में सामान्य वक्रताएँ कहलाती हैं मुख्य वक्रताएँ; आइए उन्हें κ 1 और κ 2 निरूपित करें। आकार:

क= κ 1 κ 2

बुलाया गाऊसी वक्रता, पूर्ण वक्रताया केवल वक्रतासतहों. शब्द भी है वक्रता अदिश, जो वक्रता टेंसर के घुमाव के परिणाम को दर्शाता है; इस मामले में, वक्रता अदिश गाऊसी वक्रता से दोगुनी बड़ी है।

गॉसियन वक्रता की गणना एक मीट्रिक के माध्यम से की जा सकती है, और इसलिए यह सतहों की आंतरिक ज्यामिति का एक उद्देश्य है (ध्यान दें कि प्रमुख वक्रताएं आंतरिक ज्यामिति से संबंधित नहीं हैं)। आप सतह बिंदुओं को वक्रता के चिह्न के आधार पर वर्गीकृत कर सकते हैं (चित्र देखें)। समतल की वक्रता शून्य है. R त्रिज्या वाले गोले की वक्रता सर्वत्र समान होती है। निरंतर नकारात्मक वक्रता की एक सतह भी होती है - छद्ममंडल।

जियोडेसिक रेखाएं, जियोडेसिक वक्रता

सतह पर बना वक्र कहलाता है भूगणितीय रेखा, या केवल जियोडेटिक, यदि इसके सभी बिंदुओं पर वक्र का मुख्य अभिलंब सतह के अभिलंब से मेल खाता है। उदाहरण: एक समतल पर, जियोडेसिक्स सीधी रेखाएं और सीधी रेखाओं के खंड हैं, एक गोले पर - बड़े वृत्त और उनके खंड।

समतुल्य परिभाषा: एक जियोडेसिक रेखा के लिए, ऑस्कुलेटिंग प्लेन पर इसके प्रमुख सामान्य का प्रक्षेपण शून्य वेक्टर है। यदि वक्र जियोडेसिक नहीं है, तो निर्दिष्ट प्रक्षेपण गैर-शून्य है; इसकी लंबाई कहलाती है जियोडेसिक वक्रता क जीसतह पर वक्र. एक रिश्ता है:

,

कहाँ क- किसी दिए गए वक्र की वक्रता, क एन- समान स्पर्शरेखा के साथ इसके सामान्य खंड की वक्रता।

जियोडेसिक रेखाएँ आंतरिक ज्यामिति को संदर्भित करती हैं। आइए हम उनकी मुख्य संपत्तियों की सूची बनाएं।

• के माध्यम से इस बिंदुकिसी दी गई दिशा में सतहों पर एक और केवल एक जियोडेसिक होता है।
• सतह के पर्याप्त छोटे क्षेत्र पर, दो बिंदुओं को हमेशा एक जियोडेसिक द्वारा जोड़ा जा सकता है, और, इसके अलावा, केवल एक द्वारा। स्पष्टीकरण: एक गोले पर, विपरीत ध्रुव अनंत संख्या में मेरिडियन से जुड़े होते हैं, और दो करीबी बिंदुओं को न केवल एक बड़े वृत्त के एक खंड द्वारा जोड़ा जा सकता है, बल्कि इसे एक पूर्ण वृत्त में जोड़कर भी जोड़ा जा सकता है, ताकि विशिष्टता बनी रहे छोटे में.
• जियोडेसिक एक सबसे छोटा रास्ता है। अधिक सख्ती से: सतह के एक छोटे से टुकड़े पर दिए गए बिंदुओं के बीच का सबसे छोटा रास्ता एक जियोडेसिक के साथ होता है।

वर्ग

सतह का एक अन्य महत्वपूर्ण गुण इसकी सतह है वर्ग, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

निर्देशांक में हमें मिलता है:

	स्पष्ट असाइनमेंट	पैरामीट्रिक विशिष्टता
क्षेत्र अभिव्यक्ति

एक सतह को उन बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके निर्देशांक संतुष्ट होते हैं एक निश्चित प्रकारसमीकरण:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

यदि फ़ंक्शन F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))किसी बिंदु पर निरंतर है और उस पर निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं, जिनमें से कम से कम एक गायब नहीं होता है, तो इस बिंदु के पड़ोस में समीकरण (1) द्वारा दी गई सतह होगी सही सतह.

उपरोक्त के अतिरिक्त निर्दिष्ट करने का अंतर्निहित तरीका, सतह को परिभाषित किया जा सकता है ज़ाहिर तौर से, यदि चरों में से एक, उदाहरण के लिए, z, को अन्य के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

और अधिक सख्ती से साधारण सतह इसे एक इकाई वर्ग के आंतरिक भाग की होमियोमोर्फिक मैपिंग (अर्थात् एक-से-एक और पारस्परिक रूप से निरंतर मैपिंग) की छवि कहा जाता है। इस परिभाषा को विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति दी जा सकती है।

मान लीजिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली यू और वी के साथ एक विमान पर एक वर्ग दिया गया है, जिसके आंतरिक बिंदुओं के निर्देशांक असमानताओं को संतुष्ट करते हैं 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

उदाहरण साधारण सतहएक गोलार्ध है. पूरा क्षेत्र नहीं है साधारण सतह. इसके लिए सतह की अवधारणा को और अधिक सामान्य बनाने की आवश्यकता है।

अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय, जिसके प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस होता है साधारण सतह, बुलाया सही सतह .

विभेदक ज्यामिति में सतह

घुमावदार

कैटेनॉइड

मीट्रिक सतह के आकार को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, हेलिकॉइड और कैटेनॉइड के मेट्रिक्स, तदनुसार पैरामीटर किए गए, मेल खाते हैं, यानी, उनके क्षेत्रों के बीच एक पत्राचार होता है जो सभी लंबाई (आइसोमेट्री) को संरक्षित करता है। सममितीय परिवर्तनों के अंतर्गत संरक्षित किये जाने वाले गुण कहलाते हैं आंतरिक ज्यामितिसतहों. आंतरिक ज्यामिति अंतरिक्ष में सतह की स्थिति पर निर्भर नहीं करती है और जब इसे तनाव या संपीड़न के बिना मोड़ा जाता है तो यह नहीं बदलती है (उदाहरण के लिए, जब एक सिलेंडर को शंकु में मोड़ा जाता है)।

मीट्रिक गुणांक ई , एफ , जी (\displaystyle ई,\ एफ,\ जी)न केवल सभी वक्रों की लंबाई निर्धारित करें, बल्कि सामान्य तौर पर सतह के अंदर सभी मापों (कोण, क्षेत्रफल, वक्रता, आदि) के परिणाम भी निर्धारित करें। इसलिए, जो कुछ भी केवल मीट्रिक पर निर्भर करता है वह आंतरिक ज्यामिति को संदर्भित करता है।

सामान्य और सामान्य अनुभाग

सतह बिंदुओं पर सामान्य सदिश

किसी सतह की मुख्य विशेषताओं में से एक उसकी है सामान्य- किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा तल पर लंबवत इकाई वेक्टर:

एम = [ आर यू ′ , आर वी ′ ] | [ आर यू ′ , आर वी ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

सामान्य का चिह्न निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करता है।

किसी दिए गए बिंदु पर सामान्य सतह वाले समतल द्वारा सतह का एक खंड एक निश्चित वक्र बनाता है जिसे कहा जाता है सामान्य अनुभागसतहों. एक सामान्य खंड के लिए मुख्य सामान्य सतह के सामान्य (चिह्न तक) के साथ मेल खाता है।

यदि सतह पर वक्र एक सामान्य खंड नहीं है, तो इसका मुख्य सामान्य सतह के सामान्य के साथ एक निश्चित कोण बनाता है θ (\displaystyle \थीटा ). फिर वक्रता के (\डिस्प्लेस्टाइल के)वक्रता से संबंधित वक्र k n (\displaystyle k_(n))मेयुनियर के सूत्र द्वारा सामान्य खंड (समान स्पर्शरेखा के साथ):

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

किसी सतह को परिभाषित करने के विभिन्न तरीकों के लिए सामान्य इकाई वेक्टर के निर्देशांक तालिका में दिए गए हैं:

	किसी सतह बिंदु पर सामान्य निर्देशांक
अंतर्निहित असाइनमेंट	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\आंशिक F)(\आंशिक x));\,(\frac (\आंशिक F)(\आंशिक y));\,(\frac (\आंशिक F)(\आंशिक z))\दाएं) )(\sqrt (\left((\frac (\आंशिक F)(\आंशिक x))\right)^(2)+\left((\frac (\आंशिक F)(\आंशिक y))\right) ^(2)+\left((\frac (\आंशिक F)(\आंशिक z))\right)^(2)))))
स्पष्ट असाइनमेंट	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f) )(\आंशिक x));\,-(\frac (\आंशिक f)(\आंशिक y));\,1\दाएं))(\sqrt (\left((\frac (\आंशिक f)(\ आंशिक x))\right)^(2)+\left((\frac (\आंशिक f)(\आंशिक y))\right)^(2)+1))))
पैरामीट्रिक विशिष्टता	(डी (वाई, जेड) डी (यू, वी) ; डी (जेड, एक्स) डी (यू, वी) ; डी (एक्स, वाई) डी (यू, वी)) (डी (वाई, जेड) डी (यू) , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\right)^(2)))))

यहाँ डी (वाई , जेड) डी (यू , वी) = | y u ' y v ' z u ' z v ' | , डी (जेड , एक्स) डी (यू , वी) = | जेड यू 'जेड वी' एक्स यू 'एक्स वी' | , डी (एक्स, वाई) डी (यू, वी) = | एक्स यू 'एक्स वी' वाई यू 'वाई वी' | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

सभी डेरिवेटिव को बिंदु पर लिया जाता है (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

वक्रता

सतह पर किसी बिंदु पर अलग-अलग दिशाओं के लिए सामान्य खंड की अलग-अलग वक्रता प्राप्त होती है, जिसे कहा जाता है सामान्य वक्रता; यदि वक्र का मुख्य सामान्य सतह के सामान्य दिशा के समान दिशा में जाता है, तो इसे प्लस चिह्न दिया जाता है, या यदि सामान्य की दिशाएं विपरीत होती हैं तो ऋण चिह्न दिया जाता है।

सामान्यतया, सतह पर प्रत्येक बिंदु पर दो लंबवत दिशाएँ होती हैं ई 1 (\डिस्प्लेस्टाइल ई_(1))और ई 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ई_(2)), जिसमें सामान्य वक्रता न्यूनतम और अधिकतम मान लेती है; इन दिशाओं को कहा जाता है मुख्य. अपवाद तब होता है जब सभी दिशाओं में सामान्य वक्रता समान होती है (उदाहरण के लिए, एक गोले के पास या परिक्रमण के दीर्घवृत्त के अंत में), तो एक बिंदु पर सभी दिशाएँ प्रमुख होती हैं।

नकारात्मक (बाएं), शून्य (केंद्र) और सकारात्मक (दाएं) वक्रता वाली सतहें।

प्रमुख दिशाओं में सामान्य वक्रताएँ कहलाती हैं मुख्य वक्रताएँ; आइए उन्हें नामित करें κ 1 (\प्रदर्शन शैली \कप्पा _(1))और κ 2 (\प्रदर्शन शैली \कप्पा _(2)). आकार:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

इसे गॉसियन वक्रता, कुल वक्रता, या केवल सतही वक्रता कहा जाता है। शब्द भी है वक्रता अदिश, जो वक्रता टेंसर के घुमाव के परिणाम को दर्शाता है; इस मामले में, वक्रता अदिश गाऊसी वक्रता से दोगुनी बड़ी है।

गॉसियन वक्रता की गणना एक मीट्रिक के माध्यम से की जा सकती है, और इसलिए यह सतहों की आंतरिक ज्यामिति का एक उद्देश्य है (ध्यान दें कि प्रमुख वक्रताएं आंतरिक ज्यामिति से संबंधित नहीं हैं)। आप सतह बिंदुओं को वक्रता के चिह्न के आधार पर वर्गीकृत कर सकते हैं (चित्र देखें)। समतल की वक्रता शून्य है. R त्रिज्या वाले गोले की वक्रता सर्वत्र समान होती है 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). निरंतर नकारात्मक वक्रता की एक सतह भी है -

ज्यामिति में स्पर्शरेखा तल एक बड़ी भूमिका निभाते हैं। व्यावहारिक दृष्टि से स्पर्शरेखा तलों का निर्माण होता है महत्वपूर्ण, क्योंकि उनकी उपस्थिति हमें संपर्क के बिंदु पर सतह पर सामान्य की दिशा निर्धारित करने की अनुमति देती है। इंजीनियरिंग अभ्यास में इस समस्या का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। स्पर्शरेखा तलों का उपयोग रेखाचित्र बनाने के लिए भी किया जाता है। ज्यामितीय आकार, बंद सतहों द्वारा सीमित। में सैद्धांतिक रूप सेकिसी सतह के स्पर्शरेखा तलों का उपयोग विभेदक ज्यामिति में संपर्क बिंदु के क्षेत्र में किसी सतह के गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

सतह के स्पर्शरेखा तल को छेदक तल की सीमित स्थिति के रूप में माना जाना चाहिए (वक्र की स्पर्श रेखा के अनुरूप, जिसे छेदक की सीमित स्थिति के रूप में भी परिभाषित किया गया है)।

सतह पर किसी दिए गए बिंदु पर सतह की स्पर्शरेखा सभी सीधी रेखाओं का समूह है - किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से सतह पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ।

विभेदक ज्यामिति में यह सिद्ध है कि किसी सामान्य बिंदु पर खींची गई सतह की सभी स्पर्शरेखाएँ समतलीय (एक ही तल से संबंधित) होती हैं।

आइए जानें कि सतह पर स्पर्शरेखा सीधी रेखा कैसे खींची जाए। सतह पर निर्दिष्ट बिंदु M पर सतह β की स्पर्श रेखा t (चित्र 203) सतह को दो बिंदुओं (MM 1, MM 2, ..., MM n) पर प्रतिच्छेद करने वाले छेदक l j की सीमित स्थिति को दर्शाती है। प्रतिच्छेदन बिंदु संपाती हैं (M ≡ M n , l n ≡ l M)। जाहिर है (एम 1, एम 2, ..., एम एन) ∈ जी, चूंकि जी ⊂ β। उपरोक्त से, निम्नलिखित परिभाषा इस प्रकार है: किसी सतह की स्पर्श रेखा, सतह से संबंधित किसी भी वक्र की स्पर्श रेखा होती है.

चूँकि समतल को दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है, किसी दिए गए बिंदु पर सतह की स्पर्शरेखा को परिभाषित करने के लिए, इस बिंदु के माध्यम से सतह से संबंधित दो मनमानी रेखाएं (अधिमानतः सरल आकार में) खींचना और स्पर्शरेखा का निर्माण करना पर्याप्त है। उनमें से प्रत्येक इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर है। निर्मित स्पर्शरेखाएं विशिष्ट रूप से स्पर्शरेखा तल का निर्धारण करती हैं। किसी दिए गए बिंदु M पर सतह β के स्पर्शरेखा वाले समतल α को खींचने का एक दृश्य प्रतिनिधित्व चित्र में दिया गया है। 204. यह आंकड़ा सतह β का सामान्य n भी दर्शाता है।

किसी दिए गए बिंदु पर सतह का अभिलंब स्पर्शरेखा तल पर लंबवत और स्पर्शरेखा बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

अभिलंब से गुजरने वाले समतल के साथ सतह की प्रतिच्छेदन रेखा को सतह का सामान्य खंड कहा जाता है। सतह के प्रकार के आधार पर, स्पर्शरेखा तल में सतह के साथ एक या कई बिंदु (रेखा) हो सकते हैं। स्पर्शरेखा की रेखा एक ही समय में समतल के साथ सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा हो सकती है।

ऐसे मामले भी होते हैं जब सतह पर ऐसे बिंदु होते हैं जिन पर सतह पर स्पर्श रेखा खींचना असंभव होता है; ऐसे बिंदुओं को एकवचन कहा जाता है। एकवचन बिंदुओं के उदाहरण के रूप में, कोई धड़ की सतह के रिटर्न किनारे से संबंधित बिंदुओं, या अपनी धुरी के साथ क्रांति की सतह के मेरिडियन के चौराहे के बिंदु का हवाला दे सकता है, यदि मेरिडियन और अक्ष दाईं ओर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं कोण.

स्पर्श के प्रकार सतह की वक्रता की प्रकृति पर निर्भर करते हैं।

सतह की वक्रता

सतह की वक्रता के मुद्दों का अध्ययन फ्रांसीसी गणितज्ञ एफ. डुपिन (1784-1873) द्वारा किया गया था, जिन्होंने सतह के सामान्य वर्गों की वक्रता में परिवर्तन को चित्रित करने के लिए एक दृश्य तरीका प्रस्तावित किया था।

ऐसा करने के लिए, बिंदु एम (छवि 205, 206) पर विचाराधीन सतह के स्पर्शरेखा में, इन खंडों की वक्रता की संबंधित त्रिज्या के मूल्यों के वर्गमूल के बराबर खंड स्पर्शरेखा पर रखे जाते हैं इस बिंदु के दोनों ओर सामान्य खंड। बिंदुओं का एक समूह - खंडों के सिरे एक वक्र को परिभाषित करते हैं जिसे कहा जाता है डुपिन का संकेतक. डुपिन इंडिकाट्रिक्स (चित्र 205) के निर्माण के लिए एल्गोरिदम लिखा जा सकता है:

1. एम ∈ α, एम ∈ β ∧ α β;

2. = √(आर एल 1), = √(आर एल 2),..., = √(आर एल एन)

जहाँ R वक्रता त्रिज्या है।

(ए 1 ∪ ए 2 ∪ ... ∪ ए एन) डुपिन संकेतक है।

यदि किसी सतह का डुपिन इंडिकाट्रिक्स एक दीर्घवृत्त है, तो बिंदु M को अण्डाकार कहा जाता है, और सतह को अण्डाकार बिंदुओं वाली सतह कहा जाता है(चित्र 206)। इस मामले में, स्पर्शरेखा तल का सतह के साथ केवल एक ही संबंध होता है आम बात, और सतह से संबंधित और विचाराधीन बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली सभी रेखाएं स्पर्शरेखा तल के एक तरफ स्थित हैं। अण्डाकार बिंदुओं वाली सतहों के उदाहरण हैं: क्रांति का एक परवलयिक, क्रांति का एक दीर्घवृत्ताभ, एक गोला (इस मामले में, डुपिन संकेतक एक वृत्त है, आदि)।

धड़ की सतह पर एक स्पर्शरेखा तल खींचते समय, तल एक सीधे जेनरेटर के साथ इस सतह को स्पर्श करेगा। इस रेखा पर स्थित बिन्दु कहलाते हैं परवलयिक, और सतह परवलयिक बिंदुओं वाली एक सतह है. इस मामले में डुपिन का संकेतक दो समानांतर रेखाएं हैं (चित्र 207*)।

चित्र में. 208 बिंदुओं से युक्त एक सतह दिखाता है

* एक दूसरे क्रम का वक्र - एक परवलय - कुछ शर्तों के तहत दो वास्तविक समानांतर रेखाओं, दो काल्पनिक समानांतर रेखाओं, दो संपाती रेखाओं में विभाजित हो सकता है। चित्र में. 207 हम दो वास्तविक समानांतर रेखाओं से निपट रहे हैं।

कोई भी स्पर्शरेखा तल सतह को काटता है। ऐसी सतह कहलाती है अतिपरवलिक, और इससे संबंधित बिंदु हैं अतिशयोक्तिपूर्ण बिंदु. इस मामले में डुपिन का संकेतक अतिशयोक्तिपूर्ण है।

एक सतह, जिसके सभी बिंदु हाइपरबोलिक हैं, में एक काठी का आकार होता है (तिरछा तल, एकल-शीट हाइपरबोलॉइड, क्रांति की अवतल सतह, आदि)।

एक सतह पर बिंदु हो सकते हैं अलग - अलग प्रकारउदाहरण के लिए, धड़ की सतह के पास (चित्र 209) बिंदु M अण्डाकार है; बिंदु N परवलयिक है; बिंदु K अतिपरवलयिक है.

विभेदक ज्यामिति के दौरान यह सिद्ध होता है कि सामान्य खंड जिनमें वक्रता मान K j = 1/ R j (जहाँ R j विचाराधीन खंड की वक्रता की त्रिज्या है) में चरम मान दो में स्थित होते हैं परस्पर लंबवत विमान।

ऐसी वक्रताएँ K 1 = 1/R अधिकतम। K 2 = 1/R मिनट को मुख्य मान कहा जाता है, और मान H = (K 1 + K 2)/2 और K = K 1 K 2 क्रमशः सतह की औसत वक्रता और कुल ( गाऊसी) विचाराधीन बिंदु पर सतह की वक्रता। अण्डाकार बिंदुओं K > 0 के लिए, अतिपरवलयिक बिंदु K

मोंज आरेख पर किसी सतह पर स्पर्शरेखा तल को निर्दिष्ट करना

नीचे विशिष्ट उदाहरणहम अण्डाकार (उदाहरण 1), परवलयिक (उदाहरण 2) और अतिपरवलयिक (उदाहरण 3) बिंदुओं वाली सतह पर स्पर्शरेखा वाले समतल का निर्माण दिखाएंगे।

उदाहरण 1. अण्डाकार बिंदुओं के साथ क्रांति की सतह पर स्पर्शरेखा α का निर्माण करें। आइए इस समस्या को हल करने के लिए दो विकल्पों पर विचार करें: ए) बिंदु एम ∈ β और बी) बिंदु एम ∉ β

विकल्प ए (चित्र 210)।

स्पर्शरेखा तल को सतह β के समानांतर और मेरिडियन पर बिंदु M पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं t 1 और t 2 द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सतह β के समानांतर h की स्पर्शरेखा t 1 का प्रक्षेपण t" 1 ⊥ (S"M") और t" 1 || होगा। एक्स अक्ष बिंदु M से गुजरने वाली सतह β के मध्याह्न रेखा d पर स्पर्शरेखा t" 2 का क्षैतिज प्रक्षेपण, मध्याह्न रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ मेल खाएगा। स्पर्शरेखा t" 2 के ललाट प्रक्षेपण को खोजने के लिए, मध्याह्न तल γ(γ) ∋ M) को समतल π 2 के समानांतर, सतह β 1 के अक्ष के चारों ओर घुमाकर स्थिति γ में स्थानांतरित किया जाता है। इस स्थिति में, बिंदु M → M 1 (M" 1, M" 1). स्पर्शरेखा t" 2 rarr; t" 2 1 का प्रक्षेपण (M" 1 S") द्वारा निर्धारित होता है। यदि हम अब विमान γ 1 को उसकी मूल स्थिति में लौटाते हैं, तो बिंदु S" स्थान पर रहेगा (घूर्णन की धुरी से संबंधित), और M" 1 → M" और स्पर्शरेखा t" 2 का ललाट प्रक्षेपण होगा निर्धारित किया जाए (एम" एस")

एक बिंदु M ∈ β पर प्रतिच्छेद करने वाली दो स्पर्शरेखाएँ t 1 और t 2 सतह β की स्पर्श रेखा α को परिभाषित करती हैं।

विकल्प बी (चित्र 211)

किसी ऐसे बिंदु से गुजरने वाली सतह की स्पर्शरेखा का निर्माण करने के लिए जो सतह से संबंधित नहीं है, किसी को निम्नलिखित विचारों से आगे बढ़ना चाहिए: सतह के बाहर एक बिंदु के माध्यम से जिसमें अण्डाकार बिंदु होते हैं, सतह के स्पर्शरेखा वाले कई विमान खींचे जा सकते हैं। इन सतहों का आवरण कुछ शंक्वाकार सतह होगा। इसलिए, यदि कोई अतिरिक्त निर्देश नहीं हैं, तो समस्या के कई समाधान हैं और इस मामले में एक शंक्वाकार सतह γ को किसी दी गई सतह β की स्पर्शरेखा खींचने तक सीमित कर दिया जाता है।

चित्र में. 211 गोले β की स्पर्शरेखा γ शंक्वाकार सतह के निर्माण को दर्शाता है। शंक्वाकार सतह γ की स्पर्शरेखा वाला कोई भी समतल α, सतह β की स्पर्शरेखा होगा।

बिंदु M" और M" से सतह γ के प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए हम वृत्त h" और f" पर स्पर्शरेखाएँ खींचते हैं - गोले के प्रक्षेपण। स्पर्श बिंदु 1 (1" और 1"), 2 (2" और 2"), 3 (3" और 3") और 4 (4" और 4") को चिह्नित करें। एक वृत्त का क्षैतिज प्रक्षेपण - शंक्वाकार सतह और गोले की स्पर्श रेखा को [1"2"] में प्रक्षेपित किया जाता है। दीर्घवृत्त के उन बिंदुओं को खोजने के लिए जिनमें इस वृत्त को प्रक्षेपण के ललाट तल पर प्रक्षेपित किया जाएगा, हम इसका उपयोग करेंगे गोले के समानांतर.

चित्र में. 211 इस प्रकार बिंदु ई और एफ (ई" और एफ") के ललाट प्रक्षेपण निर्धारित किए जाते हैं। शंक्वाकार सतह γ होने पर, हम इसके लिए एक स्पर्शरेखा तल α बनाते हैं। ग्राफ़िक की प्रकृति और अनुक्रम

इसके लिए जो निर्माण करने होंगे वह निम्नलिखित उदाहरण में दिए गए हैं।

उदाहरण 2 परवलयिक बिंदुओं के साथ सतह β के स्पर्शरेखा वाले एक समतल α का निर्माण करें

जैसा कि उदाहरण 1 में है, हम दो समाधानों पर विचार करते हैं: ए) बिंदु एन ∈ β; बी) बिंदु एन ∉ β

विकल्प ए (चित्र 212)।

एक शंक्वाकार सतह परवलयिक बिंदुओं वाली सतहों को संदर्भित करती है (चित्र 207 देखें।) एक शंक्वाकार सतह की स्पर्शरेखा इसे एक सीधी रेखा के साथ छूती है, इसे बनाने के लिए, यह आवश्यक है:

1) किसी दिए गए बिंदु N के माध्यम से एक जनरेटर SN (S"N" और S"N") खींचें;

2) गाइड डी के साथ जेनरेटर (एसएन) के चौराहे के बिंदु को चिह्नित करें: (एसएन) ∩ डी = ए;

3) बिंदु A पर स्पर्शरेखा t से d तक भी झटका लगेगा।

जेनरेट्रिक्स (SA) और इसे प्रतिच्छेद करने वाली स्पर्शरेखा t किसी दिए गए बिंदु N* पर शंक्वाकार सतह β की स्पर्शरेखा α को परिभाषित करती है।

शंक्वाकार सतह β की स्पर्शरेखा और बिंदु N से गुजरने वाला एक समतल α खींचने के लिए, इसका संबंध नहीं है

* चूँकि सतह β में परवलयिक बिंदु होते हैं (शीर्ष S को छोड़कर), इसके स्पर्शरेखा तल α में एक बिंदु N नहीं, बल्कि एक सीधी रेखा (SN) उभयनिष्ठ होगी।

किसी दी गई सतह को दबाना, यह आवश्यक है:

1) किसी दिए गए बिंदु N और शंक्वाकार सतह β के शीर्ष S से होकर एक सीधी रेखा a (a" और a") खींचिए;

2) इस सीधी रेखा एच ए का क्षैतिज निशान निर्धारित करें;

3) H से होकर वक्र h 0β की स्पर्श रेखाएँ t" 1 और t" 2 खींचिए - शंक्वाकार सतह का क्षैतिज निशान;

4) स्पर्शरेखा बिंदुओं A (A" और A") और B (B" और B") को शंक्वाकार सतह S (S" और S") के शीर्ष से जोड़ें।

प्रतिच्छेदी रेखाएँ t 1, (AS) और t 2, (BS) वांछित स्पर्शरेखा समतल α 1 और α 2 निर्धारित करती हैं

उदाहरण 3. अतिशयोक्तिपूर्ण बिंदुओं के साथ सतह β पर स्पर्शरेखा वाले एक समतल α का निर्माण करें।

बिंदु K (चित्र 214) ग्लोबॉइड की सतह पर स्थित है ( भीतरी सतहछल्ले)।

स्पर्शरेखा तल α की स्थिति निर्धारित करने के लिए यह आवश्यक है:

1) बिंदु K से होकर सतह β h(h", h") के समानांतर एक रेखा खींचिए;

2) बिंदु K" से होकर एक स्पर्शरेखा t" 1 (t" 1 ≡ h") खींचिए;

3) मेरिडियनल खंड के स्पर्शरेखा के प्रक्षेपणों की दिशा निर्धारित करने के लिए, बिंदु K और सतह की धुरी के माध्यम से विमान γ खींचना आवश्यक है, क्षैतिज प्रक्षेपण t" 2 h 0γ के साथ मेल खाएगा; निर्माण करने के लिए स्पर्शरेखा t" 2 का ललाट प्रक्षेपण, हम पहले विमान γ को घूर्णन की सतह के अक्ष के चारों ओर स्थिति γ 1 || तक घुमाकर अनुवाद करते हैं। π 2. इस मामले में, विमान γ द्वारा मेरिडियनल खंड ललाट प्रक्षेपण के बाएं रूपरेखा चाप - अर्धवृत्त जी" के साथ संरेखित होगा।

मेरिडियनल सेक्शन वक्र से संबंधित बिंदु K (K", K"), स्थिति K 1 (K" 1, K" 1) पर चला जाएगा। K" 1 के माध्यम से हम समतल γ 1 || के साथ संयुक्त स्पर्शरेखा t" 2 1 का एक ललाट प्रक्षेपण खींचते हैं। π 2 स्थिति और घूर्णन अक्ष S" 1 के ललाट प्रक्षेपण के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें। हम विमान γ 1 को उसकी मूल स्थिति, बिंदु K" 1 → K" (बिंदु S" 1 ≡ S") पर लौटाते हैं। स्पर्शरेखा t" 2 का ललाट प्रक्षेपण बिंदु K" और S" द्वारा निर्धारित होता है।

स्पर्शरेखाएँ t 1 और t 2 वांछित स्पर्शरेखा समतल α को परिभाषित करती हैं, जो सतह β को वक्र l के अनुदिश काटती है।

उदाहरण 4. बिंदु K पर सतह β के स्पर्शरेखा वाले एक समतल α की रचना कीजिए। बिंदु K परिक्रमण की एक-शीट हाइपरबोलाइड की सतह पर स्थित है (चित्र 215)।

इस समस्या को पिछले उदाहरण में उपयोग किए गए एल्गोरिदम का पालन करके हल किया जा सकता है, लेकिन यह ध्यान में रखते हुए कि क्रांति की एक-शीट हाइपरबोलॉइड की सतह एक शासित सतह है जिसमें रेक्टिलिनियर जेनरेटर के दो परिवार होते हैं, और प्रत्येक जेनरेटर एक के होते हैं परिवार दूसरे परिवार के सभी जनरेटरों को प्रतिच्छेद करता है (देखें § 32, चित्र. 138)। इस सतह के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से, दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं - जनरेटर, जो एक साथ क्रांति के एक-शीट हाइपरबोलॉइड की सतह पर स्पर्शरेखा होंगी।

ये स्पर्शरेखाएँ स्पर्शरेखा तल को परिभाषित करती हैं, अर्थात, क्रांति के एक-शीट हाइपरबोलाइड की सतह पर स्पर्शरेखा वाला तल इस सतह को दो सीधी रेखाओं जी 1 और जी 2 के साथ काटता है। इन रेखाओं के प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए, बिंदु K के क्षैतिज प्रक्षेपण और स्पर्शरेखा t" 1 और t" 2 को क्षैतिज तक ले जाना पर्याप्त है

सर्कल डी" 2 का ताल प्रक्षेपण - क्रांति के एकल-शीट हाइपरबोलॉइड की सतह का गला; बिंदु 1" और 2 निर्धारित करें जिस पर टी" 1 और टी" 2 एक और निर्देशित सतहों डी 1 को काटते हैं। 1" और 2" से हमें 1" और 2" मिलते हैं, जो K" के साथ मिलकर आवश्यक रेखाओं के ललाट प्रक्षेपण को निर्धारित करते हैं।

ज़मीनी स्तर पर एसबिंदु पर एम, एक विमान एक बिंदु से गुजर रहा है एमऔर इस गुण की विशेषता है कि इस तल से चर बिंदु तक की दूरी एम"सतह एसप्रयास करते हुए एम"को एमदूरी की तुलना में अतिसूक्ष्म है एमएम". यदि सतह एससमीकरण द्वारा दिया गया जेड = एफ(एक्स,पर), फिर बिंदु पर K.p का समीकरण ( x 0 , y 0 , z 0), कहाँ जेड 0 = एफ(एक्स 0 , य 0), का रूप है:

जेड - जेड 0 = ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0)

यदि और केवल यदि फ़ंक्शन एफ (एक्स, वाई)बिंदु पर है ( एक्स 0 , य 0) पूर्ण अंतर. इस मामले में एऔर मेंआंशिक व्युत्पन्न x 0 के मानों का सार, य 0) (डिफरेंशियल कैलकुलस देखें)।

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