गोलाकार ज्यामितीय आकृति। बुनियादी ज्यामितीय सूत्र

अध्याय 2 में, हम "ज्यामिति का निर्माण" जारी रखेंगे और सबसे महत्वपूर्ण स्थानिक आकृतियों की संरचना और गुणों के बारे में बात करेंगे - एक गेंद और एक गोला, सिलेंडर और शंकु, प्रिज्म और पिरामिड। मानव हाथों द्वारा बनाई गई अधिकांश वस्तुएं इमारतें हैं, कार, ​​​​फर्नीचर, बर्तन, आदि, आदि में इन आकृतियों के आकार वाले हिस्से होते हैं।

§ 4. क्षेत्र और गेंद

सीधी रेखाओं और समतलों के बाद, गोला और गेंद स्थानिक आकृतियों के विभिन्न गुणों में सबसे सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और समृद्ध हैं। एक गेंद और उसकी सतह - एक गोले के ज्यामितीय गुणों के बारे में पूरी किताबें लिखी गई हैं। इनमें से कुछ गुण प्राचीन यूनानी ज्यामिति के लिए पहले से ही ज्ञात थे, और कुछ काफी हाल ही में पाए गए थे पिछले साल का. ये गुण (प्राकृतिक विज्ञान के नियमों के साथ) समझाते हैं कि क्यों, उदाहरण के लिए, गेंद का आकार होता है खगोलीय पिंडऔर मछली के अंडे, स्नानागार को गेंद के आकार में क्यों बनाया जाता है और फुटबॉल की गेंदें, तकनीक में बॉल बेयरिंग इतने सामान्य क्यों हैं, आदि। हम केवल गेंद के सरलतम गुणों को ही सिद्ध कर सकते हैं। अन्य के प्रमाण, हालांकि बहुत महत्वपूर्ण, गुणों के लिए अक्सर बहुत कम की आवश्यकता होती है प्राथमिक तरीके, हालांकि इस तरह के गुणों का सूत्रीकरण बहुत सरल हो सकता है: उदाहरण के लिए, किसी दिए गए सतह क्षेत्र वाले सभी निकायों में, गेंद का आयतन सबसे अधिक होता है।

4.1. गोले और गोले की परिभाषा।

एक गोले और एक गेंद को अंतरिक्ष में ठीक उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे एक समतल पर एक वृत्त और एक वृत्त। एक गोला एक आकृति है जिसमें किसी दिए गए से दूर अंतरिक्ष में सभी बिंदु शामिल हैं

समान (सकारात्मक) दूरी की ओर इंगित करें।

इस बिंदु को गोले का केंद्र कहा जाता है, और दूरी को इसकी त्रिज्या कहा जाता है (चित्र 4.1)।

तो, केंद्र O और त्रिज्या R वाला एक गोला अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं X द्वारा बनाई गई एक आकृति है जिसके लिए

गेंद अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं द्वारा बनाई गई एक आकृति है जो किसी दिए गए बिंदु से दी गई (सकारात्मक) दूरी से अधिक दूरी पर नहीं होती है। इस बिंदु को गेंद का केंद्र कहा जाता है, और इस दूरी को इसकी त्रिज्या कहा जाता है।

तो, केंद्र O और त्रिज्या R वाली एक गेंद अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं X द्वारा बनाई गई एक आकृति है जिसके लिए

केंद्र O और त्रिज्या R वाली गेंद के वे बिंदु X जिसके लिए वे एक गोला बनाते हैं। ऐसा कहा जाता है कि यह गोला दिए गए गोले को बांधता है, या यह इसकी सतह है।

गोला उच्च समरूपता वाले पहले निकायों में से एक है, जिसके गुणों का अध्ययन स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में किया जाता है। यह लेख एक गोले के सूत्र, एक गेंद से उसके अंतर पर चर्चा करता है, और हमारे ग्रह के सतह क्षेत्र की गणना भी प्रदान करता है।

क्षेत्र: ज्यामिति में एक अवधारणा

सतह सूत्र को बेहतर ढंग से समझने के लिए, जो नीचे दिया जाएगा, एक गोले की अवधारणा से परिचित होना आवश्यक है। ज्यामिति में, यह एक त्रि-आयामी निकाय है जिसमें एक निश्चित मात्रा में स्थान होता है। एक गोले की गणितीय परिभाषा इस प्रकार है: यह उन बिंदुओं का एक संग्रह है जो एक निश्चित बिंदु से एक निश्चित समान दूरी पर स्थित होते हैं, जिसे केंद्र कहा जाता है। चिह्नित दूरी गोले की त्रिज्या है, जिसे r या R दर्शाया जाता है और इसे मीटर (किलोमीटर, सेंटीमीटर और लंबाई की अन्य इकाइयों) में मापा जाता है।

नीचे दिया गया चित्र वर्णित आकृति को दर्शाता है। रेखाएँ इसकी सतह की आकृति दिखाती हैं। काली बिंदी गोले का केंद्र है।

आप यह आंकड़ा प्राप्त कर सकते हैं यदि आप एक वृत्त लेते हैं और इसे व्यास से गुजरने वाली किसी भी कुल्हाड़ी के चारों ओर घुमाना शुरू करते हैं।

गोला और गेंद: क्या अंतर है और क्या समानताएं हैं?

अक्सर स्कूली बच्चे इन दो आंकड़ों को भ्रमित करते हैं, जो बाहरी रूप से एक दूसरे के समान होते हैं, लेकिन पूरी तरह से अलग विशेषताएं होती हैं। भौतिक गुण. एक गोला और एक गेंद मुख्य रूप से अपने द्रव्यमान में भिन्न होती है: एक गोला एक अनंत है पतली परत, गेंद परिमित घनत्व का एक आयतन पिंड है, जो एक गोलाकार सतह से घिरे अपने सभी बिंदुओं पर समान होता है। यानी गेंद का एक परिमित द्रव्यमान होता है और यह एक बहुत ही वास्तविक वस्तु होती है। गोला एक आदर्श आकृति है, जिसका कोई द्रव्यमान नहीं है, जो वास्तव में मौजूद नहीं है, लेकिन इसके गुणों का अध्ययन करते समय यह ज्यामिति में एक सफल आदर्शीकरण है।

वास्तविक वस्तुओं के उदाहरण, जिनका आकार व्यावहारिक रूप से एक गोले से मेल खाता है, क्रिसमस ट्री को सजाने के लिए गेंद के रूप में नए साल का खिलौना है या साबुन का बुलबुला.

विचाराधीन आंकड़ों के बीच समानता के संबंध में, हम निम्नलिखित विशेषताओं को नाम दे सकते हैं:

• उन दोनों में समान समरूपता है;
• दोनों के लिए, सतह क्षेत्र सूत्र समान है, इसके अलावा, उनके पास है समान क्षेत्रसतहें यदि उनकी त्रिज्याएँ समान हों;
• समान त्रिज्या वाले दोनों आंकड़े अंतरिक्ष में समान आयतन पर कब्जा करते हैं, केवल गेंद इसे पूरी तरह से भरती है, और गोला केवल इसकी सतह तक सीमित करता है।

नीचे दिए गए चित्र में समान त्रिज्या का एक गोला और एक गेंद दिखाई गई है।

ध्यान दें कि गेंद, गोले की तरह, क्रांति का पिंड है, इसलिए इसे व्यास के चारों ओर एक वृत्त घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है (एक वृत्त नहीं!)।

गोलाकार तत्व

यह ज्यामितीय मात्राओं का नाम है, जिसका ज्ञान आपको संपूर्ण आकृति या उसके व्यक्तिगत भागों का वर्णन करने की अनुमति देता है। इसके मुख्य तत्व निम्नलिखित हैं:

• त्रिज्या r, जिसका पहले ही उल्लेख किया जा चुका है। यह आकृति के केंद्र से गोलाकार सतह तक की दूरी है। वास्तव में, यह एकमात्र मात्रा है जो गोले के सभी गुणों का वर्णन करती है।
• व्यास डी, या डी। यह एक खंड है जिसका सिरा गोलाकार सतह पर होता है, और मध्य आकृति के केंद्रीय बिंदु से होकर गुजरता है। एक गोले का व्यास अनंत तरीकों से खींचा जा सकता है, लेकिन सभी परिणामी खंडों की लंबाई समान होगी, जो त्रिज्या के दोगुने के बराबर है, अर्थात D = 2*R।
• सतह क्षेत्र एस एक द्वि-आयामी विशेषता है, जिसके लिए सूत्र नीचे दिया जाएगा।
• गोले से जुड़े 3डी कोणों को स्टेरेडियन में मापा जाता है। एक स्टेरेडियन एक कोण होता है जिसका शीर्ष गोले के केंद्र में स्थित होता है और जो गोलाकार सतह के एक हिस्से पर होता है जिसका क्षेत्रफल R 2 होता है।

एक गोले के ज्यामितीय गुण

इस आंकड़े के उपरोक्त विवरण से, आप स्वतंत्र रूप से इन गुणों के बारे में अनुमान लगा सकते हैं। वे निम्नलिखित हैं:

• कोई भी रेखा जो गोले को काटती है और उसके केंद्र से होकर गुजरती है, आकृति की सममिति की धुरी है। इस अक्ष के चारों ओर गोले को किसी भी कोण से घुमाने से यह अपने आप में बदल जाता है।
• वह तल जो विचाराधीन आकृति को उसके केंद्र से काटता है, गोले को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, अर्थात यह परावर्तन का तल है।

चित्रा सतह क्षेत्र

यह मान लैटिन अक्षर S द्वारा निरूपित किया जाता है। एक गोले के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र है अगला दृश्य:

एस \u003d 4 * पीआई * आर 2, जहां पीआई ≈ 3.1416।

सूत्र दर्शाता है कि यदि आकृति की त्रिज्या ज्ञात हो तो क्षेत्रफल S की गणना की जा सकती है। यदि इसका व्यास D ज्ञात हो, तो गोले का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:

अपरिमेय संख्या पीआई, जिसके लिए चार दशमलव स्थान दिए गए हैं, का उपयोग कई गणितीय गणनाओं में सौवें की सटीकता के साथ किया जा सकता है, अर्थात 3.14।

इस सवाल पर विचार करना भी दिलचस्प है कि विचाराधीन आकृति की पूरी सतह कितने स्टेरेडियन से मेल खाती है। इस मात्रा की परिभाषा के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं:

Ω \u003d एस / आर 2 \u003d 4 * पीआई * आर 2 / आर 2 \u003d 4 * पाई स्टेरेडियन।

किसी भी आयतन कोण की गणना करने के लिए, क्षेत्र S के संगत मान को उपरोक्त व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

ग्रह पृथ्वी की सतह

हम कहाँ रहते हैं यह निर्धारित करने के लिए गोलाकार सूत्र लागू किया जा सकता है। गणना के साथ आगे बढ़ने से पहले, कुछ आरक्षण किए जाने चाहिए:

• सबसे पहले, पृथ्वी के पास एक पूर्ण गोलाकार सतह नहीं है। इसकी भूमध्यरेखीय और ध्रुवीय त्रिज्याएँ क्रमशः 6378 किमी और 6357 किमी हैं। इन आंकड़ों के बीच का अंतर 0.3% से अधिक नहीं है, इसलिए गणना के लिए हम औसत त्रिज्या 6371 किमी ले सकते हैं।
• दूसरे, राहत त्रि-आयामी है, यानी इसमें अवसाद और पहाड़ हैं। इन विशेषताएँग्रह अपने सतह क्षेत्र में वृद्धि का कारण बनते हैं, हालांकि, हम गणना में उन्हें ध्यान में नहीं रखेंगे, क्योंकि सबसे बड़ा पर्वत, एवरेस्ट, पृथ्वी की त्रिज्या का 0.1% (8.848/6371) है।

गोले के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एस \u003d 4 * पीआई * आर 2 \u003d 4 * 3.1416 * 6371 2 510.066 मिलियन किमी 2.

आधिकारिक आंकड़ों के अनुसार, रूस 17.125 मिलियन किमी 2 के क्षेत्र पर कब्जा करता है, जो कि ग्रह की सतह का 3.36% है। यदि हम ध्यान दें कि केवल 150.387 मिलियन किमी 2 भूमि का है, तो हमारे देश का क्षेत्रफल पूरे क्षेत्र का 11.4% होगा जो पानी से आच्छादित नहीं है।

क्षेत्र समीकरण

M(x;y;z) गोले से संबंधित एक मनमाना बिंदु है, उपफल।

यदि m. M गोले पर नहीं है, तो MCR, अर्थात्। बिंदु एम निर्देशांक

समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। इसलिए, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, केंद्र C(x0;y0;z0;) के साथ त्रिज्या R के एक गोले के समीकरण का रूप है:

मुख्य ज्यामितीय सूत्र

क्षेत्र क्षेत्र

एक गोले से घिरे गोले का आयतन

क्षेत्र खंड क्षेत्र

जहां एच खंड की ऊंचाई है, और जेनिथ कोण है

गोले और समतल की पारस्परिक व्यवस्था

डी - गोले के केंद्र से विमान की दूरी, ट्रेस। C(0;0;d), इसलिए गोले का समीकरण है

विमान ऑक्सी के साथ मेल खाता है, और इसलिए इसके समीकरण का रूप है z=0

यदि m. M (x; y; z) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, तो यह समतल और गोले दोनों में स्थित है, अर्थात। समतल और गोले का एक उभयनिष्ठ बिंदु है।

संकरा रास्ता। 3 सिस्टम समाधान संभव हैं:

1) डी 0

समीकरण में बी.एम. समाधान, गोले और समतल का प्रतिच्छेदन - वृत्त C(0;0;0) और r^2=R^2 - d^2

• 2) d=R, x^2 + y^2 =0, x=y=0 अगला। गोला विमान को बिंदु O(0;0;0) पर काटता है
• 3) डी>आर, डी^2>आर^2 आर^2 - डी^2

x^2 + y^2 >=0, x^2+y^2=R^2 - d^2 का कोई समाधान नहीं है

गोले के स्पर्शरेखा विमान

एक विमान जिसमें केवल एक है आम बात, को गोले का स्पर्शरेखा तल कहा जाता है, और उनके उभयनिष्ठ बिंदु को तल और गोले का स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है।

प्रमेय:

गोले और तल के बीच संपर्क बिंदु पर खींचे गए गोले की त्रिज्या स्पर्शरेखा तल के लंबवत होती है।

सबूत:

मान लें कि OA समतल पर लंबवत नहीं है, ट्रेस करें। ओए-विमान के लिए इच्छुक, ट्रेस। OA > R, लेकिन t.A गोले के अंतर्गत आता है, तो हमें एक विरोधाभास, ट्रेस मिलता है। OA समतल के लंबवत है।

प्रमेय:

यदि किसी गोले की त्रिज्या गोले पर पड़े उसके सिरे से गुजरने वाले तल के लंबवत है, तो यह तल गोले की स्पर्श रेखा है।

सबूत:

प्रमेय की शर्त से यह पता चलता है कि दी गई त्रिज्या गोले के केंद्र से दिए गए तल पर खींचा गया लंबवत है। इसलिए, गोले के केंद्र से तल तक की दूरी गोले की त्रिज्या के बराबर होती है, और इसलिए, गोले और तल में केवल एक ही उभयनिष्ठ बिंदु होता है। इसका अर्थ है कि दिया गया तल गोले की स्पर्श रेखा है।

क्षेत्र क्षेत्र:

गोले के क्षेत्रफल का निर्धारण करने के लिए, हम परिबद्ध बहुफलक की अवधारणा का उपयोग करते हैं। एक पॉलीहेड्रॉन को एक गोले (गेंद) के पास परिचालित कहा जाता है यदि गोला उसके सभी चेहरों को छूता है। गोले को पॉलीहेड्रॉन में खुदा हुआ कहा जाता है।

मान लीजिए कि एक गोले के पास परिचालित एक बहुफलक के n-फलक हैं। हम अनिश्चित काल तक n बढ़ाएंगे ताकि प्रत्येक चेहरे का सबसे बड़ा आकार शून्य हो जाए। गोले के क्षेत्रफल के लिए, हम गोले के चारों ओर परिबद्ध पॉलीहेड्रा की सतहों के क्षेत्रों के अनुक्रम की सीमा लेते हैं क्योंकि वे शून्य की ओर जाते हैं सबसे बड़ा आकारप्रत्येक किनारे। आप यह साबित कर सकते हैं कि यह सीमा मौजूद है और त्रिज्या R: S=4PR:2 के एक गोले के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें