गणितीय अपेक्षा एवं उसका मूल्यांकन। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का अनुमान

मान लीजिए कि कोई यादृच्छिक चर है एक्सगणितीय अपेक्षा के साथ एमऔर विचरण डी, जबकि ये दोनों पैरामीटर अज्ञात हैं। मूल्य से ऊपर एक्सउत्पादन एनस्वतंत्र प्रयोग, जिसके परिणामस्वरूप एक सेट एनसंख्यात्मक परिणाम एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन. आकलन के तौर पर गणितीय अपेक्षाप्रेक्षित मानों का अंकगणितीय माध्य प्रस्तावित करना स्वाभाविक है

यहाँ के रूप में एक्स मैंपरिणामस्वरूप प्राप्त विशिष्ट मानों (संख्याओं) पर विचार किया जाता है एनप्रयोग. यदि हम दूसरों को लें (पिछले वाले से स्वतंत्र) एनप्रयोग, तो जाहिर है हमें एक अलग मूल्य मिलेगा। यदि आप अधिक लेते हैं एनप्रयोग, तो हमें एक और नया मूल्य मिलेगा। आइए हम इसे निरूपित करें एक्स मैंयादृच्छिक चर के परिणामस्वरूप मैंवां प्रयोग, फिर कार्यान्वयन एक्स मैंइन प्रयोगों से प्राप्त संख्याएँ होंगी। जाहिर है, यादृच्छिक चर एक्स मैंमूल यादृच्छिक चर के समान संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन होगा एक्स. हम यह भी मानते हैं कि यादृच्छिक चर एक्स मैंऔर एक्सजेस्वतंत्र हैं जब मैं, सम नही जे(विभिन्न प्रयोग एक दूसरे से स्वतंत्र)। इसलिए, हम सूत्र (1) को एक अलग (सांख्यिकीय) रूप में फिर से लिखते हैं:

आइए हम दिखाएं कि अनुमान निष्पक्ष है:

इस प्रकार, नमूना माध्य की गणितीय अपेक्षा वास्तविक गणितीय अपेक्षा के बराबर है अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एम. यह काफी पूर्वानुमानित और समझने योग्य तथ्य है। नतीजतन, नमूना माध्य (2) को एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में लिया जा सकता है। अब सवाल उठता है: प्रयोगों की संख्या बढ़ने पर गणितीय अपेक्षा अनुमान के भिन्नता का क्या होता है? विश्लेषणात्मक गणनाएँ यह दर्शाती हैं

गणितीय अपेक्षा अनुमान (2) का विचरण कहां है, और डी- यादृच्छिक चर का सच्चा विचरण एक्स.

ऊपर से यह निष्कर्ष निकलता है कि बढ़ते-बढ़ते एन(प्रयोगों की संख्या) अनुमान का विचरण कम हो जाता है, अर्थात। जितना अधिक हम स्वतंत्र प्राप्तियों को जोड़ते हैं, हमें गणितीय अपेक्षा के उतना ही करीब एक अनुमान मिलता है।

गणितीय विचरण का अनुमान

पहली नजर में सबसे स्वाभाविक आकलन यही लगता है

जहां सूत्र (2) का उपयोग करके गणना की जाती है। आइए देखें कि अनुमान निष्पक्ष है या नहीं। सूत्र (3) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

आइए इस सूत्र में अभिव्यक्ति (2) को प्रतिस्थापित करें:

आइए विचरण अनुमान की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें:

चूँकि किसी यादृच्छिक चर का प्रसरण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा क्या है, आइए हम गणितीय अपेक्षा को 0 के बराबर लें, अर्थात। एम = 0.

गणितीय अपेक्षा और विचरण का अनुमान.

हम संभाव्यता सिद्धांत में वितरण मापदंडों की अवधारणा से परिचित हो गए। उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण कानून में, संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट

पैरामीटर के रूप में कार्य करें ए– गणितीय अपेक्षा और ए- मानक विचलन। पॉइसन वितरण में पैरामीटर संख्या है ए = पूर्व.

परिभाषा। सैद्धांतिक वितरण के अज्ञात पैरामीटर का सांख्यिकीय अनुमान नमूना डेटा के आधार पर इसका अनुमानित मूल्य है(एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3,..., एक्सके; एन 1, एन 2, एन 3,..., एन के), यानी इन मात्राओं का कुछ कार्य।

यहाँ एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3,..., एक्स क– विशेषता मान, एन 1, एन 2, एन 3,..., एन के- संगत आवृत्तियाँ। सांख्यिकीय अनुमान एक यादृच्छिक चर है.

आइए हम इसे निरूपित करें θ अनुमानित पैरामीटर है, और के माध्यम से θ * - उसका सांख्यिकीय मूल्यांकन. परिमाण | θ *–θ | बुलाया मूल्यांकन सटीकता.जितना कम | θ *–θ |, बेहतर, अज्ञात पैरामीटर को अधिक सटीक रूप से परिभाषित किया गया है।

स्कोर करने के लिए θ * था व्यवहारिक महत्व, इसमें व्यवस्थित त्रुटि नहीं होनी चाहिए और साथ ही यथासंभव कम फैलाव होना चाहिए। इसके अलावा, जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, मनमाने ढंग से छोटे विचलन की संभावना | θ *–θ | 1 के करीब होना चाहिए.

आइए हम निम्नलिखित परिभाषाएँ तैयार करें।

1. एक पैरामीटर अनुमान को निष्पक्ष कहा जाता है यदि इसकी गणितीय अपेक्षा एम है(θ *) अनुमानित पैरामीटर के बराबर θ, अर्थात।

एम(θ *) = θ, (1)

और विस्थापित यदि

एम(θ *) ≠ θ, (2)

2. एक अनुमान θ* को सुसंगत कहा जाता है यदि किसी δ > 0 के लिए

(3)

समानता (3) को इस प्रकार पढ़ा जाता है: अनुमान θ *संभावना में अभिसरण होता है θ .

3. एक अनुमान θ* को प्रभावी कहा जाता है यदि, किसी दिए गए n के लिए, इसका विचरण सबसे छोटा हो।

प्रमेय 1.नमूना माध्य X B गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष और सुसंगत अनुमान है।

सबूत। मान लीजिए कि नमूना प्रतिनिधिक है, अर्थात सभी तत्व जनसंख्यानमूने में शामिल होने का समान अवसर है। चारित्रिक मूल्य एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3,..., एक्स एनस्वतंत्र यादृच्छिक चर के रूप में लिया जा सकता है एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, ..., एक्स एनसमान वितरण के साथ और संख्यात्मक विशेषताएँ, जिसमें समान गणितीय अपेक्षाएं भी शामिल हैं ए,

प्रत्येक मात्रा के बाद से एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, ..., एक्स पीएक वितरण है जो जनसंख्या के वितरण से मेल खाता है एम(एक्स)= ए.इसीलिए

जहां से यह निष्कर्ष निकलता है कि यह एक सुसंगत अनुमान है एम(एक्स).

चरम के लिए अनुसंधान के नियम का उपयोग करके इसे सिद्ध करना संभव है प्रभावी मूल्यांकन एम(एक्स).

व्याख्यान का उद्देश्य: एक अज्ञात वितरण पैरामीटर का अनुमान लगाने की अवधारणा का परिचय देना और ऐसे अनुमानों का वर्गीकरण देना; गणितीय अपेक्षा और फैलाव के बिंदु और अंतराल अनुमान प्राप्त करें।

व्यवहार में, ज्यादातर मामलों में, यादृच्छिक चर का वितरण कानून अज्ञात है, और अवलोकनों के परिणामों के अनुसार
संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, गणितीय अपेक्षा, फैलाव या अन्य क्षण) या अज्ञात पैरामीटर का अनुमान लगाना आवश्यक है , जो वितरण कानून (वितरण घनत्व) निर्धारित करता है
यादृच्छिक चर का अध्ययन किया जा रहा है। इस प्रकार, एक घातीय वितरण या पॉइसन वितरण के लिए, एक पैरामीटर का अनुमान लगाना पर्याप्त है, लेकिन सामान्य वितरण के लिए, दो मापदंडों का अनुमान लगाया जाना चाहिए - गणितीय अपेक्षा और विचरण।

आकलन के प्रकार

यादृच्छिक मूल्य
संभाव्यता घनत्व है
, कहाँ – अज्ञात वितरण पैरामीटर. प्रयोग के परिणामस्वरूप, इस यादृच्छिक चर के मान प्राप्त हुए:
. मूल्यांकन करने का अनिवार्य रूप से मतलब है कि एक यादृच्छिक चर का नमूना मान एक निश्चित पैरामीटर मान के साथ जुड़ा होना चाहिए , यानी अवलोकन परिणामों का कुछ फ़ंक्शन बनाएं
, जिसका मूल्य अनुमान के रूप में लिया जाता है पैरामीटर . अनुक्रमणिका किए गए प्रयोगों की संख्या को इंगित करता है।

कोई भी फ़ंक्शन जो प्रेक्षणों के परिणामों पर निर्भर करता है, कहलाता है आंकड़े. चूँकि प्रेक्षणों के परिणाम यादृच्छिक चर होते हैं, आँकड़े भी यादृच्छिक चर होंगे। इसलिए, मूल्यांकन
अज्ञात पैरामीटर इसे एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जाना चाहिए, और इसके मूल्य की गणना मात्रा में प्रयोगात्मक डेटा से की जानी चाहिए , - में से एक संभावित मानयह यादृच्छिक चर.

वितरण मापदंडों के अनुमान (यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं) को बिंदु और अंतराल में विभाजित किया गया है। बिंदु लागतपैरामीटर एक संख्या द्वारा निर्धारित , और इसकी सटीकता अनुमान के भिन्नता द्वारा विशेषता है। अंतराल अनुमानवह स्कोर कहलाता है जो दो संख्याओं द्वारा निर्धारित होता है, और - अनुमानित पैरामीटर को कवर करने वाले अंतराल के अंत किसी निश्चित आत्मविश्वास संभावना के साथ।

बिंदु अनुमानों का वर्गीकरण

को बिंदु लागतअज्ञात पैरामीटर
सटीकता की दृष्टि से सर्वोत्तम, यह सुसंगत, निष्पक्ष और कुशल होना चाहिए।

धनवानमूल्यांकन कहा जाता है
पैरामीटर , यदि यह अनुमानित पैरामीटर में संभाव्यता में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात।

. (8.8)

चेबीशेव की असमानता के आधार पर यह दिखाया जा सकता है पर्याप्त स्थितिसंबंध की पूर्ति (8.8) समानता है

.

संगति अनुमान की एक स्पर्शोन्मुख विशेषता है
.

निष्पक्षमूल्यांकन कहा जाता है
(व्यवस्थित त्रुटि के बिना अनुमान), जिसकी गणितीय अपेक्षा अनुमानित पैरामीटर के बराबर है, अर्थात।

. (8.9)

यदि समानता (8.9) संतुष्ट न हो तो अनुमान पक्षपातपूर्ण कहा जाता है। अंतर
अनुमान में पूर्वाग्रह या व्यवस्थित त्रुटि कहा जाता है। यदि समानता (8.9) केवल के लिए संतुष्ट है
, तो संबंधित अनुमान को स्पर्शोन्मुख रूप से निष्पक्ष कहा जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि व्यवहार में उपयोग किए जाने वाले सभी अनुमानों के लिए स्थिरता लगभग अनिवार्य शर्त है (असंगत अनुमानों का उपयोग बहुत ही कम किया जाता है), तो निष्पक्षता की संपत्ति केवल वांछनीय है। अक्सर उपयोग किए जाने वाले कई अनुमानों में निष्पक्ष संपत्ति नहीं होती है।

सामान्य तौर पर, कुछ पैरामीटर का अनुमान लगाने की सटीकता , प्रायोगिक डेटा के आधार पर प्राप्त किया गया
, माध्य वर्ग त्रुटि द्वारा विशेषता

,

जिसे फॉर्म में छोटा किया जा सकता है

,

भिन्नता कहां है,
- वर्ग अनुमान पूर्वाग्रह.

यदि अनुमान निष्पक्ष है, तो

परिमित पर माध्य वर्ग त्रुटि के आधार पर अनुमान भिन्न हो सकते हैं . स्वाभाविक रूप से, यह त्रुटि जितनी छोटी होगी, अनुमानित पैरामीटर के आसपास मूल्यांकन मान उतने ही अधिक समूहीकृत होंगे। इसलिए, यह हमेशा वांछनीय है कि अनुमान त्रुटि यथासंभव छोटी हो, यानी शर्त पूरी हो

. (8.10)

मूल्यांकन , संतोषजनक स्थिति (8.10), को न्यूनतम वर्ग त्रुटि वाला अनुमान कहा जाता है।

असरदारमूल्यांकन कहा जाता है
, जिसके लिए माध्य चुकता त्रुटि किसी अन्य अनुमान की माध्य चुकता त्रुटि से अधिक नहीं है, अर्थात।

कहाँ - कोई अन्य पैरामीटर अनुमान .

यह ज्ञात है कि एक पैरामीटर के किसी भी निष्पक्ष अनुमान का विचरण क्रैमर-राव असमानता को संतुष्ट करता है

,

कहाँ
- पैरामीटर के वास्तविक मान पर यादृच्छिक चर के प्राप्त मूल्यों का सशर्त संभाव्यता घनत्व वितरण .

इस प्रकार, निष्पक्ष अनुमान
, जिसके लिए क्रैमर-राव असमानता समानता बन जाती है, प्रभावी होगी, यानी, ऐसे अनुमान में न्यूनतम भिन्नता होती है।

अपेक्षा और विचरण का बिंदु अनुमान

यदि एक यादृच्छिक चर पर विचार किया जाता है
, जिसकी गणितीय अपेक्षा है और विचरण , तो ये दोनों पैरामीटर अज्ञात माने जाते हैं। इसलिए, एक यादृच्छिक चर पर
उत्पादन स्वतंत्र प्रयोग जो परिणाम देते हैं:
. अज्ञात मापदंडों के सुसंगत और निष्पक्ष अनुमान लगाना आवश्यक है और .

जैसा अनुमान है और आमतौर पर सांख्यिकीय (नमूना) माध्य और सांख्यिकीय (नमूना) विचरण क्रमशः चुना जाता है:

; (8.11)

. (8.12)

गणितीय अपेक्षा अनुमान (8.11) कानून के अनुसार सुसंगत है बड़ी संख्या(चेबीशेव का प्रमेय):

.

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

.

इसलिए, अनुमान निष्पक्ष है.

गणितीय अपेक्षा अनुमान का फैलाव:

यदि यादृच्छिक चर
सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, फिर अनुमान प्रभावी भी है.

विचरण अनुमान की अपेक्षा

एक ही समय में

.

क्योंकि
, ए
, तो हमें मिलता है

. (8.13)

इस प्रकार,
- एक पक्षपातपूर्ण मूल्यांकन, हालांकि यह सुसंगत और प्रभावी है।

सूत्र (8.13) से यह निष्कर्ष निकलता है कि निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करना है
नमूना विचरण (8.12) को निम्नानुसार संशोधित किया जाना चाहिए:

जिसे अनुमान (8.12) की तुलना में "बेहतर" माना जाता है, हालाँकि बड़े पैमाने पर ये अनुमान लगभग एक दूसरे के बराबर हैं।

वितरण मापदंडों का अनुमान प्राप्त करने की विधियाँ

अक्सर व्यवहार में, यह उस भौतिक तंत्र के विश्लेषण पर आधारित होता है जो यादृच्छिक चर उत्पन्न करता है
, हम इस यादृच्छिक चर के वितरण कानून के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं। हालाँकि, इस वितरण के पैरामीटर अज्ञात हैं और प्रयोगात्मक परिणामों से अनुमान लगाया जाना चाहिए, आमतौर पर एक सीमित नमूने के रूप में प्रस्तुत किया जाता है
. इस समस्या को हल करने के लिए, दो विधियों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है: क्षणों की विधि और अधिकतम संभावना विधि।

क्षणों की विधि. इस विधि में सैद्धांतिक क्षणों को समान क्रम के संगत अनुभवजन्य क्षणों के साथ बराबर करना शामिल है।

अनुभवजन्य प्रारंभिक बिंदु -वां क्रम सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

,

और संबंधित सैद्धांतिक प्रारंभिक क्षण -वां क्रम - सूत्र:

असतत यादृच्छिक चर के लिए,

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए,

कहाँ - अनुमानित वितरण पैरामीटर।

दो अज्ञात मापदंडों वाले वितरण के मापदंडों का अनुमान प्राप्त करना और , दो समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की गई है

कहाँ और - दूसरे क्रम के सैद्धांतिक और अनुभवजन्य केंद्रीय क्षण।

समीकरणों की प्रणाली का समाधान अनुमान है और अज्ञात वितरण पैरामीटर और .

पहले क्रम के सैद्धांतिक और अनुभवजन्य प्रारंभिक क्षणों की बराबरी करते हुए, हम एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाकर इसे प्राप्त करते हैं
, एक मनमाना वितरण होने पर, नमूना माध्य होगा, अर्थात।
. फिर, दूसरे क्रम के सैद्धांतिक और अनुभवजन्य केंद्रीय क्षणों की बराबरी करते हुए, हम पाते हैं कि यादृच्छिक चर के विचरण का अनुमान
, जिसका मनमाना वितरण होता है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

इसी प्रकार, कोई भी किसी भी क्रम के सैद्धांतिक क्षणों का अनुमान पा सकता है।

क्षणों की विधि सरल है और इसकी आवश्यकता नहीं है जटिल गणनाएँ, लेकिन इस विधि से प्राप्त अनुमान अक्सर अप्रभावी होते हैं।

अधिकतम संभावना विधि. अज्ञात वितरण मापदंडों के बिंदु अनुमान की अधिकतम संभावना विधि एक या अधिक अनुमानित मापदंडों के अधिकतम कार्य को खोजने के लिए नीचे आती है।

होने देना
एक सतत यादृच्छिक चर है, जिसके परिणामस्वरूप परीक्षणों ने मान लिया
. किसी अज्ञात पैरामीटर का अनुमान प्राप्त करने के लिए ऐसा मान ज्ञात करना आवश्यक है , जिस पर परिणामी नमूने को लागू करने की संभावना अधिकतम होगी। क्योंकि
समान संभाव्यता घनत्व के साथ परस्पर स्वतंत्र मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं
, वह संभाव्यता समारोहतर्क फ़ंक्शन को कॉल करें :

पैरामीटर की अधिकतम संभावना अनुमान द्वारा इस मान को कहा जाता है , जिस पर संभाव्यता फलन अधिकतम तक पहुँच जाता है, अर्थात, समीकरण का एक समाधान है

,

जो स्पष्ट रूप से परीक्षण परिणामों पर निर्भर करता है
.

कार्यों के बाद से
और
समान मूल्यों पर अधिकतम तक पहुँचें
, फिर गणनाओं को सरल बनाने के लिए वे अक्सर लॉगरिदमिक संभावना फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं और संबंधित समीकरण की जड़ की तलाश करते हैं

,

जिसे कहा जाता है संभाव्यता समीकरण.

यदि आपको कई मापदंडों का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है
वितरण
, तो संभावना फ़ंक्शन इन मापदंडों पर निर्भर करेगा। अनुमान खोजने के लिए
सिस्टम को हल करने के लिए वितरण पैरामीटर आवश्यक है संभाव्यता समीकरण

.

अधिकतम संभावना विधि सुसंगत और असममित रूप से कुशल अनुमान प्रदान करती है। हालाँकि, अधिकतम संभावना विधि द्वारा प्राप्त अनुमान पक्षपाती होते हैं, और, इसके अलावा, अनुमान खोजने के लिए, समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना अक्सर आवश्यक होता है।

अंतराल पैरामीटर अनुमान

बिंदु अनुमानों की सटीकता उनके फैलाव की विशेषता है। हालाँकि, इस बारे में कोई जानकारी नहीं है कि प्राप्त अनुमान मापदंडों के वास्तविक मूल्यों के कितने करीब हैं। कई कार्यों में, आपको न केवल पैरामीटर खोजने की आवश्यकता है उपयुक्त संख्यात्मक मान, बल्कि इसकी सटीकता और विश्वसनीयता का मूल्यांकन भी करना। आपको यह पता लगाना होगा कि किसी पैरामीटर को बदलने से कौन सी त्रुटियाँ हो सकती हैं इसका बिंदु अनुमान और हमें किस हद तक विश्वास के साथ यह उम्मीद करनी चाहिए कि ये त्रुटियाँ ज्ञात सीमाओं से अधिक नहीं होंगी।

ऐसे कार्य विशेष रूप से प्रासंगिक होते हैं जब प्रयोगों की संख्या कम होती है। , जब बिंदु अनुमान काफी हद तक यादृच्छिक और अनुमानित प्रतिस्थापन पर महत्वपूर्ण त्रुटियाँ हो सकती हैं।

अधिक पूर्ण और विश्वसनीय तरीकावितरण के मापदंडों का अनुमान लगाने में एक बिंदु मान निर्धारित करना शामिल नहीं है, बल्कि एक अंतराल है, जो किसी दिए गए संभावना के साथ, अनुमानित पैरामीटर के सही मूल्य को कवर करता है।

नतीजों के मुताबिक चलो प्रयोगों से एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त हुआ
पैरामीटर . संभावित त्रुटि का मूल्यांकन करना आवश्यक है. कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी संभावना का चयन किया गया है
(उदाहरण के लिए), जैसे कि इस संभावना वाली एक घटना को व्यावहारिक रूप से एक निश्चित घटना माना जा सकता है, और ऐसा मान पाया जाता है , जिसके लिए

. (8.15)

इस मामले में, प्रतिस्थापन के दौरान होने वाली त्रुटि के व्यावहारिक रूप से संभावित मूल्यों की सीमा पर , इच्छा
, और त्रुटियां जो निरपेक्ष मूल्य में बड़ी हैं, केवल कम संभावना के साथ दिखाई देंगी .

अभिव्यक्ति (8.15) का अर्थ है कि संभाव्यता के साथ
अज्ञात पैरामीटर मान अंतराल में पड़ता है

. (8.16)

संभावना
बुलाया आत्मविश्वास की संभावना, और अंतराल , संभाव्यता के साथ कवर करना पैरामीटर का सही मान कहा जाता है विश्वास अंतराल. ध्यान दें कि यह कहना गलत है कि पैरामीटर मान संभाव्यता के साथ विश्वास अंतराल के भीतर है . प्रयुक्त सूत्रीकरण (कवर) का अर्थ है कि यद्यपि अनुमानित पैरामीटर अज्ञात है, इसका एक स्थिर मूल्य है और इसलिए इसका कोई प्रसार नहीं है क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर नहीं है।

बिंदु अनुमान के मूल गुण

मूल्यांकन के लिए व्यावहारिक मूल्य, इसमें निम्नलिखित गुण होने चाहिए।

1. एक पैरामीटर अनुमान को निष्पक्ष कहा जाता है यदि इसकी गणितीय अपेक्षा अनुमानित पैरामीटर के बराबर है, यानी।

यदि समानता (22.1) संतुष्ट नहीं है, तो अनुमान या तो मूल्य (एम>) को अधिक अनुमानित कर सकता है या इसे कम कर सकता है (एम)<) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. किसी पैरामीटर के अनुमान को सुसंगत कहा जाता है यदि यह बड़ी संख्या के नियम का पालन करता है, अर्थात। प्रयोगों (टिप्पणियों) की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ अनुमानित पैरामीटर की संभावना में अभिसरण होता है और इसलिए, निम्नलिखित समानता होती है:

जहाँ > 0 एक मनमाने ढंग से छोटी संख्या है।

(22.2) को संतुष्ट करने के लिए, यह पर्याप्त है कि अनुमान का विचरण शून्य हो जाता है, अर्थात।

और इसके अलावा, अनुमान निष्पक्ष होना चाहिए। यदि हम चेबीशेव की असमानता का उपयोग करते हैं तो सूत्र (22.3) से (22.2) तक जाना आसान है।

तो, मूल्यांकन की स्थिरता का मतलब है कि पर्याप्त के साथ बड़ी मात्राप्रयोगों और यथासंभव आत्मविश्वास के साथ, पैरामीटर के वास्तविक मान से अनुमान का विचलन किसी से भी कमएक पूर्व निर्धारित मूल्य. यह नमूना आकार बढ़ाने को उचित ठहराता है।

चूंकि यह एक यादृच्छिक चर है जिसका मूल्य नमूने से नमूने में भिन्न होता है, गणितीय अपेक्षा के आसपास इसके फैलाव का माप भिन्नता डी द्वारा विशेषता होगी। पैरामीटर के दो निष्पक्ष अनुमान होने दें, यानी। एम = और एम =, क्रमशः डी और डी और, यदि डी< D , то в качестве оценки принимают.

3. एक निष्पक्ष अनुमानक जिसमें समान आकार के नमूनों से गणना किए गए पैरामीटर के सभी संभावित निष्पक्ष अनुमानों के बीच सबसे छोटा भिन्नता होती है, उसे प्रभावी अनुमानक कहा जाता है।

व्यवहार में, मापदंडों का आकलन करते समय, आवश्यकताओं 1, 2, 3 को एक साथ पूरा करना हमेशा संभव नहीं होता है। हालांकि, मूल्यांकन का चुनाव हमेशा सभी दृष्टिकोणों से इसके महत्वपूर्ण विचार से पहले होना चाहिए। प्रयोगात्मक डेटा को संसाधित करने के लिए व्यावहारिक तरीकों का चयन करते समय, अनुमानों के तैयार गुणों द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है।

नमूने द्वारा गणितीय अपेक्षा और विचरण का अनुमान

अधिकांश महत्वपूर्ण विशेषताएँयादृच्छिक चर गणितीय अपेक्षा और विचरण हैं। आइए इस प्रश्न पर विचार करें कि कौन सी नमूना विशेषताएँ निष्पक्षता, दक्षता और स्थिरता के संदर्भ में अपेक्षित मूल्य और भिन्नता का सबसे अच्छा अनुमान लगाती हैं।

प्रमेय 23.1. अंकगणितीय माध्य, एक यादृच्छिक चर के n स्वतंत्र अवलोकनों से गणना की जाती है जिसकी गणितीय अपेक्षा M = है, इस पैरामीटर का एक निष्पक्ष अनुमान है।

सबूत।

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर का n स्वतंत्र अवलोकन है। शर्त के अनुसार एम = , और तब से तो, ये यादृच्छिक चर हैं और इनका वितरण नियम भी समान है। परिभाषा के अनुसार, अंकगणित माध्य

आइए अंकगणित माध्य की गणितीय अपेक्षा पर विचार करें। गणितीय अपेक्षा की संपत्ति का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

वे। . (22.1) के आधार पर, यह एक निष्पक्ष अनुमान है। ?

प्रमेय 23.2 . अंकगणितीय माध्य, एक यादृच्छिक चर के n स्वतंत्र अवलोकनों से गणना की जाती है जिसमें एम = यू है, इस पैरामीटर का एक सुसंगत अनुमान है।

सबूत।

मान लीजिए कि किसी यादृच्छिक चर का n स्वतंत्र अवलोकन है। फिर, प्रमेय 23.1 के अनुसार, हमारे पास M = है।

अंकगणितीय माध्य के लिए हम चेबीशेव की असमानता लिखते हैं:

फैलाव 4.5 और (23.1) के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

क्योंकि प्रमेय की शर्तों के अनुसार.

इस तरह,

तो, अंकगणितीय माध्य का फैलाव यादृच्छिक चर के फैलाव से n गुना कम है। तब

और इसका मतलब यह है कि यह एक सतत मूल्यांकन है।

टिप्पणी : 1 . आइए हम बिना प्रमाण के उस परिणाम को स्वीकार कर लें जो अभ्यास के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। यदि एन (ए,), तो गणितीय अपेक्षा का निष्पक्ष अनुमान एके बराबर न्यूनतम विचरण है, और इसलिए पैरामीटर ए का एक प्रभावी अनुमान है। ?

आइए भिन्नता के अनुमान पर आगे बढ़ें और इसकी स्थिरता और निष्पक्षता की जांच करें।

प्रमेय 23.3 . यदि एक यादृच्छिक नमूने में यादृच्छिक चर के n स्वतंत्र अवलोकन शामिल हैं

एम = और डी =, फिर नमूना विचरण

डी का निष्पक्ष अनुमान नहीं है - सामान्य विचरण।

सबूत।

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर का n स्वतंत्र अवलोकन है। शर्तों के मुताबिक और सबके लिए. आइए हम नमूना विचरण के सूत्र (23.3) को रूपांतरित करें:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

(23.1) को ध्यान में रखते हुए, कहाँ से

वितरण पैरामीटर और आँकड़े

यादृच्छिक चर के वितरण का कोई भी पैरामीटर, उदाहरण के लिए, जैसे गणितीय अपेक्षा या भिन्नता, सैद्धांतिक मात्राएं हैं जिन्हें सीधे मापा नहीं जा सकता है, हालांकि उनका अनुमान लगाया जा सकता है। वे एक मात्रात्मक विशेषता का प्रतिनिधित्व करते हैं जनसंख्या और स्वयं को केवल प्रक्रिया के दौरान ही निर्धारित किया जा सकता है सैद्धांतिक मॉडलिंगकाल्पनिक मूल्यों के रूप में, क्योंकि वे सामान्य जनसंख्या में यादृच्छिक चर के वितरण की विशेषताओं का वर्णन करते हैं। व्यवहार में उन्हें निर्धारित करने के लिए, प्रयोग करने वाला शोधकर्ता उनका चयनात्मक मूल्यांकन करता है। इस मूल्यांकन में सांख्यिकीय गणना शामिल है।

आंकड़े नमूना मूल्यों के अध्ययन के आधार पर प्राप्त यादृच्छिक चर के वितरण की विशेषता वाले अध्ययन किए गए मापदंडों की एक मात्रात्मक विशेषता है। सांख्यिकी का उपयोग या तो स्वयं नमूने का वर्णन करने के लिए किया जाता है, या, जो मौलिक प्रयोगात्मक अनुसंधान में सबसे महत्वपूर्ण है, अध्ययन के तहत आबादी में एक यादृच्छिक चर के वितरण के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।

अवधारणाओं का पृथक्करण "पैरामीटर" और "आंकड़े" बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह आपको प्रयोग में प्राप्त आंकड़ों की गलत व्याख्या से जुड़ी कई त्रुटियों से बचने की अनुमति देता है। तथ्य यह है कि जब हम सांख्यिकीय डेटा का उपयोग करके वितरण मापदंडों का अनुमान लगाते हैं, तो हमें ऐसे मान प्राप्त होते हैं जो केवल कुछ हद तक अनुमानित मापदंडों के करीब होते हैं। मापदंडों और आँकड़ों के बीच लगभग हमेशा कुछ अंतर होता है, और हम आमतौर पर यह नहीं कह सकते कि यह अंतर कितना बड़ा है। सैद्धांतिक रूप से, नमूना जितना बड़ा होगा, अनुमानित पैरामीटर उनकी नमूना विशेषताओं के उतने ही करीब होंगे। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि नमूना आकार बढ़ाने से, हम अनिवार्य रूप से अनुमानित पैरामीटर के करीब आ जाएंगे और इसके और गणना किए गए आंकड़ों के बीच अंतर को कम कर देंगे। व्यवहार में, सब कुछ बहुत अधिक जटिल हो सकता है।

यदि, सिद्धांत रूप में, आँकड़ों का अपेक्षित मूल्य अनुमानित पैरामीटर के साथ मेल खाता है, तो ऐसे अनुमान को कहा जाता है विस्थापित ऐसा अनुमान जिसमें अनुमानित पैरामीटर का अपेक्षित मान पैरामीटर से एक निश्चित मात्रा से भिन्न होता है, कहलाता है विस्थापित.

वितरण मापदंडों के बिंदु और अंतराल अनुमानों के बीच अंतर करना भी आवश्यक है। स्थान एक संख्या का उपयोग करके मूल्यांकन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम कहते हैं कि दी गई परिस्थितियों में और त्वचा के किसी दिए गए क्षेत्र पर किसी दिए गए विषय के लिए स्पर्श संवेदनशीलता की स्थानिक सीमा का मान 21.8 मिमी है, तो ऐसा अनुमान बिंदु होगा। उसी तरह, एक बिंदु अनुमान तब होता है जब मौसम रिपोर्ट हमें बताती है कि खिड़की के बाहर तापमान 25°C है। अंतराल अनुमान मूल्यांकन में संख्याओं के एक सेट या श्रेणी का उपयोग शामिल होता है। स्पर्श संवेदनशीलता की स्थानिक सीमा का आकलन करते हुए, हम कह सकते हैं कि यह 20 से 25 मिमी की सीमा में थी। इसी तरह, मौसम पूर्वानुमानकर्ता रिपोर्ट कर सकते हैं कि उनके पूर्वानुमान के अनुसार, अगले 24 घंटों में हवा का तापमान 22-24 डिग्री सेल्सियस तक पहुंच जाएगा। एक यादृच्छिक चर का अंतराल अनुमान हमें न केवल इस मात्रा का वांछित मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है, बल्कि ऐसे अनुमान के लिए संभावित सटीकता भी निर्धारित करता है।

गणितीय अपेक्षा एवं उसका मूल्यांकन

आइए अपने सिक्का उछालने के प्रयोग पर वापस लौटें।

आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: यदि हम एक सिक्के को दस बार उछालें तो "चित" कितनी बार आना चाहिए? उत्तर स्पष्ट प्रतीत होता है. यदि दो परिणामों में से प्रत्येक की संभावनाएँ समान हैं, तो परिणाम स्वयं समान रूप से वितरित होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, जब एक साधारण सिक्के को दस बार उछाला जाता है, तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि उसका एक पहलू, उदाहरण के लिए, "सिर", ठीक पाँच बार नीचे आएगा। इसी तरह, जब एक सिक्के को 100 बार उछाला जाता है, तो "हेड्स" ठीक 50 बार आना चाहिए, और यदि सिक्का 4236 बार उछाला जाता है, तो हमारे लिए रुचि का पक्ष 2118 बार आना चाहिए, न इससे अधिक और न कम।

तो सैद्धांतिक मूल्य यादृच्छिक घटनाआमतौर पर कहा जाता है गणितीय अपेक्षा. अपेक्षित मूल्य यादृच्छिक चर की सैद्धांतिक संभावना को परीक्षणों की संख्या से गुणा करके पाया जा सकता है। हालाँकि, अधिक औपचारिक रूप से, इसे प्रथम-क्रम केंद्रीय क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का मान है जिस पर सैद्धांतिक रूप से बार-बार परीक्षण के दौरान इसका झुकाव होता है, जिसके आसपास यह बदलता रहता है।

यह स्पष्ट है कि वितरण पैरामीटर के रूप में गणितीय अपेक्षा का सैद्धांतिक मूल्य हमेशा आंकड़ों में व्यक्त हमारे हित के यादृच्छिक चर के अनुभवजन्य मूल्य के बराबर नहीं होता है। यदि हम एक सिक्का उछालने का प्रयोग करते हैं, तो इसकी पूरी संभावना है कि दस परिणामों में से, "चित" केवल चार या तीन बार ही आएगा, या हो सकता है, इसके विपरीत, यह आठ बार आए, या हो सकता है कि यह कभी भी सामने नहीं आएगा. यह स्पष्ट है कि इनमें से कुछ परिणामों की संभावना अधिक होती है, कुछ की कम संभावना होती है। यदि हम सामान्य वितरण के नियम का उपयोग करते हैं, तो हम इस निष्कर्ष पर पहुंच सकते हैं कि गणितीय अपेक्षा के मूल्य द्वारा निर्दिष्ट सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित परिणाम से जितना अधिक विचलन होगा, व्यवहार में इसकी संभावना उतनी ही कम होगी।

आइए आगे यह मान लें कि हमने एक समान प्रक्रिया कई बार की है और सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित मूल्य कभी नहीं देखा है। तब हमें सिक्के की प्रामाणिकता पर संदेह हो सकता है। हम मान सकते हैं कि हमारे सिक्के के लिए चित आने की संभावना वास्तव में 50% नहीं है। इस मामले में, इस घटना की संभावना और तदनुसार, गणितीय अपेक्षा के मूल्य का अनुमान लगाना आवश्यक हो सकता है। यह आवश्यकता तब उत्पन्न होती है जब किसी प्रयोग में हम किसी पूर्व ज्ञान के बिना किसी सतत यादृच्छिक चर, जैसे प्रतिक्रिया समय, के वितरण का अध्ययन करते हैं सैद्धांतिक मॉडल. एक नियम के रूप में, प्रयोगात्मक परिणामों के मात्रात्मक प्रसंस्करण में यह पहला अनिवार्य कदम है।

गणितीय अपेक्षा का अनुमान तीन तरीकों से लगाया जा सकता है, जो व्यवहार में थोड़ा अलग परिणाम दे सकता है, लेकिन सिद्धांत रूप में उन्हें निश्चित रूप से हमें गणितीय अपेक्षा के मूल्य तक ले जाना चाहिए।

इस तरह के मूल्यांकन का तर्क चित्र में दिखाया गया है। 1.2. यादृच्छिक चर के वितरण में अपेक्षित मूल्य को केंद्रीय प्रवृत्ति माना जा सकता है एक्स, इसके सबसे संभावित और इसलिए सबसे अधिक बार होने वाले मूल्य के रूप में और वितरण को दो समान भागों में विभाजित करने वाले बिंदु के रूप में।

चावल। 1.2.

आइए एक सिक्के के साथ अपने काल्पनिक प्रयोगों को जारी रखें और इसे दस बार उछालकर तीन प्रयोग करें। आइए मान लें कि पहले प्रयोग में "सिर" चार बार आए, दूसरे प्रयोग में भी यही हुआ, तीसरे प्रयोग में "सिर" डेढ़ गुना से अधिक बार - सात बार आए। यह मानना ​​तर्कसंगत है कि जिस घटना में हम रुचि रखते हैं उसकी गणितीय अपेक्षा वास्तव में इन मूल्यों के बीच कहीं है।

पहला, सरल मूल्यांकन पद्धति गणितीय अपेक्षा को खोजना होगा अंकगणित औसत। तब उपरोक्त तीन मापों के आधार पर अपेक्षित मूल्य का अनुमान (4 + 4 + 7)/3 = 5 होगा। इसी प्रकार, प्रतिक्रिया समय प्रयोगों में, सभी प्राप्त मूल्यों का अंकगणितीय माध्य लेकर अपेक्षित मूल्य का अनुमान लगाया जा सकता है। एक्स। तो, अगर हमने खर्च किया पी प्रतिक्रिया समय माप एक्स, तो हम निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जो हमें अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए दिखाता है एक्स सभी अनुभवजन्य रूप से प्राप्त मूल्यों को जोड़ना और उन्हें टिप्पणियों की संख्या से विभाजित करना आवश्यक है:

सूत्र (1.2) में, गणितीय अपेक्षा के माप को आमतौर पर ̅ के रूप में दर्शाया जाता है एक्स ("बार के साथ एक्स" के रूप में पढ़ें), हालांकि कभी-कभी इसे इस तरह भी लिखा जा सकता है एम (अंग्रेज़ी से अर्थ - औसत)।

अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला अनुमान है। ऐसे मामलों में, यह माना जाता है कि यादृच्छिक चर को मापा जाता है मीट्रिक पैमाना। यह स्पष्ट है कि प्राप्त परिणाम मेल खा भी सकता है और नहीं भी सही मतलबगणितीय अपेक्षा जिसे हम कभी नहीं जान पाते। हालाँकि, यह महत्वपूर्ण है कि यह विधि है निष्पक्ष गणितीय अपेक्षा का अनुमान. इसका मतलब यह है कि अनुमानित मूल्य का अपेक्षित मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के बराबर है:।

दूसरी मूल्यांकन विधि गणितीय अपेक्षा यह है कि हम जिस चर में रुचि रखते हैं, उसके सबसे अधिक बार होने वाले मूल्य को अपने मूल्य के रूप में लें। इस मान को कहा जाता है वितरण मोड. उदाहरण के लिए, किसी सिक्के को उछालने के मामले में, "चार" को गणितीय अपेक्षा के मूल्य के रूप में लिया जा सकता है, क्योंकि आयोजित तीन परीक्षणों में यह मान दो बार दिखाई दिया; इसीलिए इस मामले में वितरण मोड चार के बराबर निकला। मोड अनुमान का उपयोग मुख्य रूप से तब किया जाता है जब प्रयोगकर्ता उन चरों से निपट रहा होता है जो निर्दिष्ट असतत मान लेते हैं गैर मीट्रिक पैमाना।

उदाहरण के लिए, किसी परीक्षा में छात्रों के ग्रेड के वितरण का वर्णन करके, कोई छात्रों द्वारा प्राप्त ग्रेड का आवृत्ति वितरण बना सकता है। इस आवृत्ति वितरण को कहा जाता है हिस्टोग्राम. इस मामले में, सबसे सामान्य अनुमान को केंद्रीय प्रवृत्ति (गणितीय अपेक्षा) के मूल्य के रूप में लिया जा सकता है। निरंतर मूल्यों की विशेषता वाले चर का अध्ययन करते समय, इस माप का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है या शायद ही कभी उपयोग किया जाता है। यदि प्राप्त परिणामों का आवृत्ति वितरण फिर भी निर्मित होता है, तो, एक नियम के रूप में, यह अध्ययन की जा रही विशेषता के प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त मूल्यों से संबंधित नहीं है, बल्कि इसकी अभिव्यक्ति के कुछ अंतरालों से संबंधित है। उदाहरण के लिए, लोगों की ऊंचाई का अध्ययन करके, आप देख सकते हैं कि कितने लोग 150 सेमी तक की ऊंचाई सीमा में आते हैं, कितने लोग 150 से 155 सेमी तक की सीमा में आते हैं, आदि। इस मामले में, मोड अध्ययन की जा रही विशेषता के अंतराल मूल्यों से संबंधित होगा, इस मामले में, ऊंचाई।

यह स्पष्ट है कि मोड, अंकगणितीय माध्य की तरह, गणितीय अपेक्षा के वास्तविक मूल्य से मेल खा भी सकता है और नहीं भी। लेकिन अंकगणित माध्य की तरह, मोड गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है।

आइए हम जोड़ते हैं कि यदि नमूने में दो मान समान रूप से बार-बार आते हैं, तो ऐसे वितरण को कहा जाता है bimodal. यदि तीन और अधिक मूल्यकिसी नमूने में समान रूप से बार-बार होता है, तो ऐसे नमूने को कोई मोड नहीं कहा जाता है। ऐसे मामले, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में अवलोकनों के साथ, एक नियम के रूप में, संकेत मिलता है कि डेटा सामान्य आबादी से निकाला जाता है, जिसके वितरण की प्रकृति सामान्य से भिन्न होती है।

अंत में, तीसरी मूल्यांकन विधि गणितीय अपेक्षा यह है कि विषयों के नमूने को हमारी रुचि के पैरामीटर के अनुसार ठीक आधे में विभाजित किया जाए। इस सीमा को दर्शाने वाली मात्रा कहलाती है MEDIAN वितरण.

मान लीजिए कि हम एक स्कीइंग प्रतियोगिता में उपस्थित हैं और इसके समाप्त होने के बाद हम यह मूल्यांकन करना चाहते हैं कि किस एथलीट ने औसत से ऊपर परिणाम दिखाए और किसने नीचे। यदि प्रतिभागियों की संरचना कमोबेश सम है, तो औसत परिणाम का आकलन करते समय अंकगणितीय माध्य की गणना करना तर्कसंगत है। हालाँकि, आइए मान लें कि पेशेवर प्रतिभागियों में कई शौकिया भी हैं। उनमें से कुछ हैं, लेकिन वे ऐसे परिणाम दिखाते हैं जो दूसरों की तुलना में काफी कमतर होते हैं। इस मामले में, यह पता चल सकता है कि प्रतियोगिता में भाग लेने वाले 100 प्रतिभागियों में से, उदाहरण के लिए, 87 ने औसत से ऊपर परिणाम दिखाए। यह स्पष्ट है कि औसत प्रवृत्ति का ऐसा आकलन हमेशा हमें संतुष्ट नहीं कर सकता है। इस मामले में, यह मान लेना तर्कसंगत है कि औसत परिणाम उन प्रतिभागियों द्वारा दिखाया गया था जो 50वें या 51वें स्थान पर थे। यह वितरण का माध्यिका होगा. 50वें फाइनलिस्ट से पहले, 49 प्रतिभागियों ने समापन किया, 51वें के बाद भी - 49। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि उनमें से किसके परिणाम को औसत के रूप में लिया जाना चाहिए। निःसंदेह, ऐसा हो सकता है कि उन्होंने इसे समाप्त कर दिया उसी समय. फिर कोई समस्या नहीं है. जब प्रेक्षणों की संख्या विषम हो तो समस्या उत्पन्न नहीं होती। हालाँकि, अन्य मामलों में, आप दो प्रतिभागियों के परिणामों के औसत का उपयोग कर सकते हैं।

माध्यिका प्रतिनिधित्व करती है विशेष मामलावितरण की मात्राएँ. क्वांटाइल वितरण का हिस्सा है. औपचारिक रूप से, इसे एक चर के दो मूल्यों के बीच वितरण के अभिन्न मूल्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एक्स। इस प्रकार, मूल्य एक्स यदि वितरण का अभिन्न मान (संभावना घनत्व) -∞ से है तो वितरण का माध्यिका होगा एक्स से वितरण के अभिन्न मूल्य के बराबर एक्स से +∞. इसी प्रकार, वितरण को चार, दस या 100 भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसे परिमाणों को तदनुसार कहा जाता है चतुर्थक, दशमांश और शतमक. मात्राएँ अन्य प्रकार की होती हैं।

गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने की पिछली दो विधियों की तरह, माध्यिका गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है।

सैद्धांतिक रूप से, यह माना जाता है कि यदि हम वास्तव में एक यादृच्छिक चर के सामान्य वितरण से निपट रहे हैं, तो गणितीय अपेक्षा के सभी तीन अनुमानों को एक ही परिणाम देना चाहिए, क्योंकि वे सभी एक प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं निष्पक्ष अनुमानित यादृच्छिक चर के समान वितरण पैरामीटर का अनुमान (चित्र 1.2 देखें)। हालाँकि, व्यवहार में ऐसा कम ही होता है। यह विशेष रूप से इस तथ्य के कारण हो सकता है कि विश्लेषण किया गया वितरण सामान्य से भिन्न है। लेकिन ऐसी विसंगतियों का मुख्य कारण, एक नियम के रूप में, यह है कि गणितीय अपेक्षा के मूल्य का अनुमान लगाकर, कोई ऐसा मूल्य प्राप्त कर सकता है जो उसके वास्तविक मूल्य से काफी भिन्न होता है। हालाँकि, जैसा कि ऊपर बताया गया है, में गणितीय सांख्यिकीयह सिद्ध हो चुका है कि विचाराधीन चर के जितने अधिक स्वतंत्र परीक्षण किए जाएंगे, अनुमानित मूल्य उतना ही सत्य के करीब होना चाहिए।

इस प्रकार, व्यवहार में, गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने की विधि का चुनाव इस पैरामीटर का अधिक सटीक और विश्वसनीय अनुमान प्राप्त करने की इच्छा से नहीं, बल्कि केवल सुविधा के विचार से निर्धारित होता है। इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए एक विधि चुनने में एक निश्चित भूमिका माप पैमाने द्वारा निभाई जाती है, जो अनुमान लगाए जा रहे यादृच्छिक चर की टिप्पणियों को दर्शाता है।