2 चर के एक समारोह का सशर्त चरम। कई चर के एक समारोह का चरम कई चर के एक समारोह के चरम की अवधारणा

आइए पहले हम दो चरों वाले फलन की स्थिति पर विचार करें। फ़ंक्शन का सशर्त चरम $z=f(x,y)$ बिंदु पर $M_0(x_0;y_0)$ इस फ़ंक्शन का चरम है, इस शर्त के तहत पहुंचा कि चर $x$ और $y$ में इस बिंदु के आस-पास बाधा समीकरण $\ varphi(x,y)=0$ को संतुष्ट करता है।

"सशर्त" चरम नाम इस तथ्य के कारण है कि अतिरिक्त शर्त $\varphi(x,y)=0$ चरों पर लगाई गई है। यदि कनेक्शन समीकरण से एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना संभव है, तो सशर्त चरम को निर्धारित करने की समस्या एक चर के एक समारोह के सामान्य चरम की समस्या तक कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि $y=\psi(x)$ बाधा समीकरण से अनुसरण करता है, तो $y=\psi(x)$ को $z=f(x,y)$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक चर $ का एक फ़ंक्शन मिलता है z=f\बाएं (x,\psi(x)\right)$. पर सामान्य मामला, हालांकि, यह विधि बहुत कम उपयोग की है, इसलिए एक नए एल्गोरिथम की आवश्यकता है।

दो चरों के फलनों के लिए लैग्रेंज गुणक की विधि।

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि यह है कि सशर्त चरम को खोजने के लिए, लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना की जाती है: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (पैरामीटर $\lambda $ को लैग्रेंज गुणक कहा जाता है)। आवश्यक चरम स्थितियां समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दी जाती हैं जिससे स्थिर बिंदु निर्धारित किए जाते हैं:

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और \ frac (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक एक्स) = 0; \\ और \ फ्रैक (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक वाई) = 0; \\ और \ varphi (एक्स, वाई) = 0। \ अंत (गठबंधन) \ दाएं। $$

चिह्न $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$। यदि एक स्थिर बिंदु पर $d^2F > 0$, तो फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ इस बिंदु पर एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, то условный максимум.

चरम की प्रकृति को निर्धारित करने का एक और तरीका है। बाधा समीकरण से हमें मिलता है: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, इसलिए किसी भी स्थिर बिंदु पर हमारे पास है:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\दाएं)$$

दूसरा कारक (कोष्ठक में स्थित) इस रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है:

$\बाएं| . के तत्व \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (सरणी) \right|$ जो लैग्रेंज फ़ंक्शन का हेसियन है। यदि $H > 0$ तो $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, यानी हमारे पास $z=f(x,y)$ फ़ंक्शन का एक सशर्त न्यूनतम है।

$H$ सारणिक के रूप पर ध्यान दें। छिपा हुया दिखाओ

$$ एच=-\बाएं|\शुरू (सरणी) (सीसीसी) 0 और \varphi_(x)^(") और \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") और F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ अंत (सरणी) \ दाएँ | $$

इस स्थिति में, ऊपर दिया गया नियम निम्नानुसार बदलता है: यदि $H> 0$, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, और $H के लिए< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

एक सशर्त चरम के लिए दो चर के एक समारोह का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम

1. लैग्रेंज फ़ंक्शन $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ लिखें
2. सिस्टम $ \ बाएँ \ ( \ start (गठबंधन) और \ frac (\ आंशिक F) (\ आंशिक x) = 0; \\ और \ frac (\ आंशिक F) (\ आंशिक y) = 0; \\ और \ को हल करें varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. पिछले पैराग्राफ में पाए गए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का निर्धारण करें। ऐसा करने के लिए, निम्न विधियों में से किसी का उपयोग करें:
   • सारणिक $H$ की रचना करें और उसका चिह्न ज्ञात करें
   • बाधा समीकरण को ध्यान में रखते हुए, $d^2F$ . के चिह्न की गणना करें

n चरों के फलनों के लिए लैग्रेंज गुणक विधि

मान लीजिए कि हमारे पास $n$ चर $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ और $m$ बाधा समीकरण ($n > m$) का एक फ़ंक्शन है:

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

लैग्रेंज गुणक को $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ के रूप में निरूपित करते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

एक सशर्त चरम की उपस्थिति के लिए आवश्यक शर्तें समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दी जाती हैं जिससे स्थिर बिंदुओं के निर्देशांक और लैग्रेंज गुणक के मान पाए जाते हैं:

$$\बाएं\(\शुरू(गठबंधन) और \frac(\आंशिक एफ)(\आंशिक x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ और \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

$d^2F$ चिह्न का उपयोग करके यह पता लगाना संभव है कि किसी फ़ंक्शन में पहले की तरह एक सशर्त न्यूनतम या एक सशर्त अधिकतम पाया गया बिंदु है। यदि पाया बिंदु $d^2F > 0$ पर है, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

मैट्रिक्स निर्धारक $\बाएं| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) और \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) और \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\आंशिक x_(3) \आंशिक x_(1)) और \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(3)\आंशिक x_(2)) और \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$L$ मैट्रिक्स में लाल रंग में हाइलाइट किया गया $ Lagrange फ़ंक्शन का हेसियन है। हम निम्नलिखित नियम का उपयोग करते हैं:

• यदि कोने के नाबालिगों के संकेत हैं $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ मैट्रिक्स $L$ चिह्न $(-1)^m$ के साथ मेल खाता है, तो अध्ययन के तहत स्थिर बिंदु $z फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम बिंदु है =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$।
• यदि कोने के नाबालिगों के संकेत हैं $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ वैकल्पिक, और नाबालिग का चिन्ह $H_(2m+1)$ संख्या के चिन्ह के साथ मेल खाता है $(-1)^(m+1 )$, फिर अध्ययन किया गया स्थिर बिंदु फ़ंक्शन का सशर्त अधिकतम बिंदु है $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$।

उदाहरण 1

पाना सशर्त चरमकार्य $z(x,y)=x+3y$ शर्त के तहत $x^2+y^2=10$।

इस समस्या की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है: सिलेंडर $x^2+y^2 के साथ इसके चौराहे के बिंदुओं के लिए विमान $z=x+3y$ के अनुप्रयोग के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य को खोजने की आवश्यकता है = 10$।

बाधा समीकरण से एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करना और इसे फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ में प्रतिस्थापित करना कुछ मुश्किल है, इसलिए हम लैग्रेंज विधि का उपयोग करेंगे।

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ को निरूपित करते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial) एफ)(\आंशिक एक्स)=1+2\लैम्ब्डा एक्स; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए आइए समीकरणों की प्रणाली को लिखें:

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (गठबंधन)\दाएं।$$

यदि हम मान लेते हैं $\lambda=0$, तो पहला समीकरण बन जाता है: $1=0$। परिणामी विरोधाभास कहता है कि $\lambda\neq 0$। शर्त के तहत $\lambda\neq 0$, पहले और दूसरे समीकरणों से हमारे पास है: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. प्राप्त मूल्यों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \बाएं(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \बाएं[ \शुरू (गठबंधन) और \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ और \lambda_2=\frac(1)(2). \end(गठबंधन) \दाएं।\\ \शुरू (गठबंधन) और \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ और \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

तो, सिस्टम के दो समाधान हैं: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ और $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. आइए हम प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं: $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु पर सारणिक $H$ की गणना करते हैं।

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

बिंदु $M_1(1;3)$ पर हमें मिलता है: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, तो बिंदु पर $M_1(1;3)$ फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=z(1;3)=10$।

इसी तरह, बिंदु $M_2(-1;-3)$ पर हम पाते हैं: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$। $H . के बाद से< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

मैं ध्यान देता हूं कि प्रत्येक बिंदु पर सारणिक $H$ के मूल्य की गणना करने के बजाय, इसे विस्तारित करना अधिक सुविधाजनक है सामान्य दृष्टि से. विवरण के साथ पाठ को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैं इस पद्धति को एक नोट के नीचे छिपाऊंगा।

सामान्य रूप में निर्धारक $H$ संकेतन। छिपा हुया दिखाओ

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\बाएं(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

सिद्धांत रूप में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि $H$ का कौन सा चिन्ह है। चूंकि $M_1$ या $M_2$ में से कोई भी बिंदु मूल बिंदु से मेल नहीं खाता है, तो $y^2+x^2>0$। इसलिए, $H$ का चिह्न $\lambda$ के चिह्न के विपरीत है। आप गणना भी पूरा कर सकते हैं:

$$ \ start (गठबंधन) और H (M_1) = -8 \ cdot \ बाएँ (- \ frac (1) (2) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \ दाएँ) = 40; \ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(गठबंधन) $$

स्थिर बिंदुओं $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$ पर चरम की प्रकृति के बारे में प्रश्न को निर्धारक $H$ का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है। प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $d^2F$ का चिह्न खोजें:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

मैं ध्यान देता हूं कि नोटेशन $dx^2$ का अर्थ है $dx$ को दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया गया है, अर्थात। $\बाएं(डीएक्स\दाएं)^2$. इसलिए हमारे पास है: $dx^2+dy^2>0$, इसलिए $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ के लिए हमें $d^2F मिलता है< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

उत्तर: बिंदु पर $(-1;-3)$ फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम, $z_(\min)=-10$ है। बिंदु $(1;3)$ पर फ़ंक्शन में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=10$

उदाहरण #2

$x+y=0$ शर्त के तहत $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ फ़ंक्शन के सशर्त चरम का पता लगाएं।

पहला तरीका (लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि)

$\varphi(x,y)=x+y$ को निरूपित करते हुए हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$।

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ लैम्ब्डा=0;\\&x+y=0.\end(गठबंधन)\दाएं।$$

सिस्टम को हल करने पर, हमें मिलता है: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ और $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$। हमारे पास दो स्थिर बिंदु हैं: $M_1(0;0)$ और $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$। आइए हम सारणिक $H$ का उपयोग करके प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं।

$$ एच=\बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

बिंदु पर $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, इसलिए इस बिंदु पर फ़ंक्शन में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243)$।

हम $d^2F$ के संकेत के आधार पर, प्रत्येक बिंदु पर एक अलग विधि द्वारा चरम सीमा की प्रकृति की जांच करते हैं:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

बाधा समीकरण $x+y=0$ से हमारे पास है: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$।

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

चूंकि $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, तो $M_1(0;0)$ फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम बिंदु है $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$। इसी तरह, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

दूसरा रास्ता

बाधा समीकरण $x+y=0$ से हमें मिलता है: $y=-x$। $y=-x$ को फ़ंक्शन $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ में प्रतिस्थापित करने पर, हम $x$ चर के कुछ फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। आइए इस फ़ंक्शन को $u(x)$ के रूप में निरूपित करें:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

इस प्रकार, हमने दो चर के एक फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने की समस्या को एक चर के एक फ़ंक्शन के चरम को निर्धारित करने की समस्या में कम कर दिया।

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9)।$$

अंक $M_1(0;0)$ और $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ मिले। आगे के शोध को एक चर के कार्यों के विभेदक कलन के पाठ्यक्रम से जाना जाता है। प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $u_(xx)^("")$ के चिह्न की जांच करना या पाए गए बिंदुओं पर $u_(x)^(")$ के संकेत परिवर्तन की जांच करना, हमें वही निष्कर्ष मिलता है जैसे पहले हल करते समय विधि। उदाहरण के लिए, चेक साइन $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

चूंकि $u_(xx)^("")(M_1)>0$, तो $M_1$ फ़ंक्शन $u(x)$ का न्यूनतम बिंदु है, जबकि $u_(\min)=u(0)=0 $। चूंकि $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

दी गई कनेक्शन स्थिति के तहत फ़ंक्शन $u(x)$ के मान फ़ंक्शन $z(x,y)$ के मानों के साथ मेल खाते हैं, अर्थात। फ़ंक्शन $u(x)$ का पाया गया एक्स्ट्रेमा फ़ंक्शन $z(x,y)$ का वांछित सशर्त एक्स्ट्रेमा है।

उत्तर: बिंदु $(0;0)$ पर फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम, $z_(\min)=0$ है। बिंदु पर $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ फ़ंक्शन में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें, जिसमें हम $d^2F$ के संकेत को निर्धारित करके चरम सीमा की प्रकृति का पता लगाते हैं।

उदाहरण #3

फ़ंक्शन $z=5xy-4$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें यदि चर $x$ और $y$ सकारात्मक हैं और बाधा समीकरण $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$।

लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$। लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु खोजें:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(गठबंधन) \दाएं।$$

आगे के सभी परिवर्तन $x > 0 को ध्यान में रखते हुए किए जाते हैं; \; y > 0$ (यह समस्या की स्थिति में निर्धारित है)। दूसरे समीकरण से, हम $\lambda=-\frac(5x)(y)$ व्यक्त करते हैं और पाए गए मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$। $x=2y$ को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $वाई = 1$।

चूंकि $y=1$, फिर $x=2$, $\lambda=-10$। बिंदु $(2;1)$ पर चरम की प्रकृति $d^2F$ के संकेत से निर्धारित होती है।

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

चूंकि $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, तब:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\बाएं(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y)। $$

सिद्धांत रूप में, यहां आप तुरंत स्थिर बिंदु $x=2$, $y=1$ और पैरामीटर $\lambda=-10$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

हालांकि, सशर्त चरम के लिए अन्य समस्याओं में, कई स्थिर बिंदु हो सकते हैं। ऐसे मामलों में, सामान्य रूप में $d^2F$ का प्रतिनिधित्व करना बेहतर होता है, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति में प्रत्येक स्थिर बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करता है:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

चूंकि $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

उत्तर: बिंदु $(2;1)$ पर फ़ंक्शन की एक सशर्त अधिकतम, $z_(\max)=6$ है।

अगले भाग में, हम कार्यों के लिए लैग्रेंज पद्धति के अनुप्रयोग पर विचार करेंगे अधिकचर।

परिभाषा1: फ़ंक्शन को बिंदु पर कहा जाता है स्थानीय अधिकतम, यदि उस बिंदु का पड़ोस मौजूद है जिसके लिए किसी बिंदु के लिए एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता पूरी होती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि< 0.

परिभाषा 2: एक फ़ंक्शन को एक बिंदु पर स्थानीय न्यूनतम कहा जाता है यदि बिंदु के पड़ोस मौजूद हैं जैसे कि किसी भी बिंदु के लिए एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता पूरी होती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि> 0।

परिभाषा 3: स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु.

सशर्त चरम

कई चर के एक समारोह के चरम की खोज करते समय, तथाकथित से संबंधित समस्याएं अक्सर उत्पन्न होती हैं सशर्त चरम।इस अवधारणा को दो चरों के एक फलन के उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है।

मान लीजिए एक फलन और एक रेखा दी गई है लीसतह पर 0xy. कार्य लाइन करना है लीऐसा बिंदु खोजें पी (एक्स, वाई),जिसमें फंक्शन की वैल्यू लाइन के पॉइंट्स पर इस फंक्शन के वैल्यू की तुलना में सबसे बड़ी या सबसे छोटी होती है लीबिंदु के पास स्थित पी. ऐसे बिंदु पीबुलाया सशर्त चरम बिंदुलाइन फ़ंक्शन ली. सामान्य चरम बिंदु के विपरीत, सशर्त चरम बिंदु पर फ़ंक्शन मान की तुलना उसके कुछ पड़ोस के सभी बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों से नहीं की जाती है, बल्कि केवल उन पर होती है जो लाइन पर स्थित होते हैं ली.

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य चरम बिंदु (वे भी कहते हैं बिना शर्त चरम) इस बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा के लिए एक सशर्त चरम बिंदु भी है। बातचीत, ज़ाहिर है, सच नहीं है: एक सशर्त चरम बिंदु पारंपरिक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। इसे मैं एक सरल उदाहरण से समझाता हूँ। फलन का ग्राफ ऊपरी गोलार्द्ध है (परिशिष्ट 3 (चित्र 3))।

इस फ़ंक्शन के मूल में अधिकतम है; यह शीर्ष से मेल खाता है एमगोलार्द्ध। यदि रेखा लीबिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा है लेकिनतथा पर(उसका समीकरण एक्स+वाई-1=0), तो यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि इस रेखा के बिंदुओं के लिए उच्चतम मूल्यफ़ंक्शन बिंदुओं के बीच में स्थित एक बिंदु पर पहुंच जाता है लेकिनतथा पर।यह दी गई रेखा पर फ़ंक्शन के सशर्त चरम (अधिकतम) का बिंदु है; यह गोलार्द्ध पर बिंदु एम 1 से मेल खाता है, और यह इस आंकड़े से देखा जा सकता है कि यहां किसी भी सामान्य चरम का कोई सवाल नहीं हो सकता है।

ध्यान दें कि समस्या के अंतिम भाग में सबसे बड़ा और सबसे छोटा मानमें कार्य करता है बंद क्षेत्रहमें इस क्षेत्र की सीमा पर फलन के चरम मूल्यों का पता लगाना है, अर्थात्। कुछ लाइन पर, और इस तरह एक सशर्त चरम के लिए समस्या का समाधान।

आइए अब हम फलन Z= f(x, y) के सशर्त चरम के बिंदुओं की व्यावहारिक खोज की ओर बढ़ें, बशर्ते कि चर x और y समीकरण (x, y) = 0 से संबंधित हों। यह संबंध होगा बाधा समीकरण कहा जाता है। यदि कनेक्शन समीकरण से y को x: y \u003d (x) के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है, तो हमें एक चर Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) का एक फ़ंक्शन मिलता है।

x का मान प्राप्त करने के बाद, जिस पर यह फ़ंक्शन एक चरम सीमा तक पहुंचता है, और फिर कनेक्शन समीकरण से y के संबंधित मानों का निर्धारण करते हुए, हम सशर्त चरम के वांछित बिंदु प्राप्त करेंगे।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, संचार के समीकरण से x+y-1=0 हमारे पास y=1-x है। यहाँ से

यह जाँचना आसान है कि z अपने अधिकतम x = 0.5 पर पहुँचता है; लेकिन फिर कनेक्शन समीकरण y = 0.5 से, और हमें बिल्कुल बिंदु P मिलता है, जो ज्यामितीय विचारों से पाया जाता है।

एक सशर्त चरम के लिए समस्या बहुत आसानी से हल हो जाती है, भले ही बाधा समीकरण का प्रतिनिधित्व किया जा सके पैरामीट्रिक समीकरणएक्स = एक्स (टी), वाई = वाई (टी)। इस फलन में x और y के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम फिर से एक चर वाले फलन का चरम ज्ञात करने की समस्या पर आते हैं।

यदि बाधा समीकरण का से अधिक है जटिल दृश्यऔर हम एक चर को दूसरे के रूप में स्पष्ट रूप से व्यक्त करने में विफल होते हैं, और न ही इसे पैरामीट्रिक समीकरणों के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, तो एक सशर्त चरम को खोजने की समस्या अधिक कठिन हो जाती है। हम यह मानते रहेंगे कि फलन z= f(x, y) के व्यंजक में चर (x, y) = 0. फलन का कुल अवकलज z= f(x, y) इसके बराबर है:

व्युत्पन्न y कहाँ है, विभेदन के नियम द्वारा पाया जाता है निहित कार्य. सशर्त चरम के बिंदुओं पर, पाया गया कुल व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए; यह x और y से संबंधित एक समीकरण देता है। चूंकि उन्हें बाधा समीकरण को भी संतुष्ट करना चाहिए, हमें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है

आइए पहले समीकरण को अनुपात के रूप में लिखकर और एक नया सहायक अज्ञात पेश करके इस प्रणाली को और अधिक सुविधाजनक में बदल दें:

(सुविधा के लिए एक ऋण चिह्न सामने रखा गया है)। इन समानताओं से निम्नलिखित प्रणाली में जाना आसान है:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

जो, बाधा समीकरण (x, y) = 0 के साथ, अज्ञात x, y, और के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली बनाता है।

इन समीकरणों (*) को निम्नलिखित नियम का उपयोग करके सबसे आसानी से याद किया जाता है: उन बिंदुओं को खोजने के लिए जो फ़ंक्शन के सशर्त चरम के बिंदु हो सकते हैं

Z= f(x, y) बाधा समीकरण (x, y) = 0 के साथ, आपको एक सहायक फ़ंक्शन बनाने की आवश्यकता है

एफ (एक्स, वाई) = एफ (एक्स, वाई) + (एक्स, वाई)

जहां कुछ स्थिर है, और इस फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने के लिए समीकरण बनाएं।

समीकरणों की यह प्रणाली, एक नियम के रूप में, केवल प्रदान करती है आवश्यक शर्तें, अर्थात। इस प्रणाली को संतुष्ट करने वाले x और y मानों की प्रत्येक जोड़ी अनिवार्य रूप से एक सशर्त चरम बिंदु नहीं है। मैं सशर्त चरम बिंदुओं के लिए पर्याप्त शर्तें नहीं दूंगा; अक्सर समस्या की विशिष्ट सामग्री ही बताती है कि पाया गया बिंदु क्या है। सशर्त चरम के लिए समस्याओं को हल करने के लिए वर्णित तकनीक को लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि कहा जाता है।

कई चर के कार्यों का चरम। एक चरम के लिए एक आवश्यक शर्त। एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति। सशर्त चरम। लैग्रेंज गुणकों की विधि। सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ढूँढना।

व्याख्यान 5

परिभाषा 5.1.दूरसंचार विभाग एम 0 (एक्स 0, वाई 0)बुलाया अधिकतम बिंदुकार्यों जेड = एफ (एक्स, वाई),यदि एफ (एक्स ओ, वाई ओ) > एफ (एक्स, वाई)सभी बिंदुओं के लिए (एक्स, वाई) एम 0.

परिभाषा 5.2.दूरसंचार विभाग एम 0 (एक्स 0, वाई 0)बुलाया न्यूनतम बिंदुकार्यों जेड = एफ (एक्स, वाई),यदि एफ (एक्स ओ, वाई ओ) < एफ (एक्स, वाई)सभी बिंदुओं के लिए (एक्स, वाई)बिंदु के किसी पड़ोस से एम 0.

टिप्पणी 1. अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदुकई चर के कार्य।

टिप्पणी 2. किसी भी संख्या में चरों के एक फलन के लिए चरम बिंदु को इसी तरह परिभाषित किया गया है।

प्रमेय 5.1(आवश्यक चरम स्थितियां)। यदि एक एम 0 (एक्स 0, वाई 0)समारोह का चरम बिंदु है जेड = एफ (एक्स, वाई),तो इस बिंदु पर इस फ़ंक्शन के प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।

सबूत।

आइए वेरिएबल का मान ठीक करें परगिनती वाई = वाई 0. फिर समारोह एफ (एक्स, वाई 0)एक चर का एक कार्य होगा एक्स, जिसके लिए एक्स = एक्स 0चरम बिंदु है। इसलिए, Fermat के प्रमेय द्वारा या मौजूद नहीं है। के लिए भी यही दावा सिद्ध होता है।

परिभाषा 5.3.कई चरों वाले फलन के प्रांत से संबंधित बिंदु, जिन पर फलन के आंशिक अवकलज शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं, कहलाते हैं स्थिर बिंदुयह समारोह।

टिप्पणी। इस प्रकार, एक चरम पर केवल स्थिर बिंदुओं पर ही पहुंचा जा सकता है, लेकिन यह जरूरी नहीं कि उनमें से प्रत्येक पर देखा जाए।

प्रमेय 5.2(एक चरम के लिए पर्याप्त शर्तें)। चलो बिंदु के कुछ पड़ोस में एम 0 (एक्स 0, वाई 0), जो फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु है जेड = एफ (एक्स, वाई),इस फ़ंक्शन में तीसरे क्रम तक निरंतर आंशिक डेरिवेटिव शामिल हैं। तब निरूपित करें:

1) एफ (एक्स, वाई)बिंदु पर है एम 0अधिकतम अगर एसी-बी² > 0, ए < 0;

2) एफ (एक्स, वाई)बिंदु पर है एम 0न्यूनतम अगर एसी-बी² > 0, ए > 0;

3) महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है यदि एसी-बी² < 0;

4) अगर एसी-बी= 0, अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

सबूत।

आइए फ़ंक्शन के लिए दूसरे क्रम का टेलर सूत्र लिखें एफ (एक्स, वाई),यह ध्यान में रखते हुए कि एक स्थिर बिंदु पर, पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं:

कहाँ पे यदि खंड के बीच का कोण एम 0 एम, कहाँ पे एम (एक्स 0 +Δ एक्स, वाई 0 +Δ पर), और ओ अक्ष एक्सको निरूपित करें, फिर एक्स =Δ ρ क्योंकि φ, Δ वाई =एसिन। इस मामले में, टेलर सूत्र रूप लेगा: . आइए फिर हम कोष्ठक में व्यंजक को इस प्रकार से विभाजित और गुणा कर सकते हैं लेकिन. हम पाते हैं:

अब चार संभावित मामलों पर विचार करें:

1) एसी-बी² > 0, ए < 0. Тогда , и पर्याप्त रूप से छोटे के लिए। इसलिए, किसी पड़ोस में एम 0 एफ (एक्स 0 + Δ एक्स, वाई 0 +Δ वाई)< च(x0, y0), वह है एम 0अधिकतम बिंदु है।

2) चलो एसी-बी² > 0, ए> 0।फिर , तथा एम 0न्यूनतम बिंदु है।

3) चलो एसी-बी² < 0, ए> 0. किरण = 0 के अनुदिश तर्कों की वृद्धि पर विचार करें। तब (5.1) से यह अनुसरण करता है कि अर्थात् इस किरण के अनुदिश गति करने पर फलन बढ़ जाता है। यदि हम किसी किरण के अनुदिश इस प्रकार गति करें कि tg 0 \u003d -ए / बी,फिर अत: इस किरण के अनुदिश गति करने पर फलन कम हो जाता है। तो बिंदु एम 0चरम बिंदु नहीं है।

3`) कब एसी-बी² < 0, ए < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

पिछले एक के समान।

3``) यदि एसी-बी² < 0, ए= 0, फिर। वहीं। फिर, पर्याप्त रूप से छोटे के लिए, व्यंजक 2 बीकॉस + सीपापφ करीब 2 पर, अर्थात्, यह एक स्थिर चिन्ह रखता है, और पाप बिंदु के आसपास के क्षेत्र में संकेत बदलता है एम 0।इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन की वृद्धि स्थिर बिंदु के आसपास के क्षेत्र में संकेत बदलती है, जो इसलिए चरम बिंदु नहीं है।

4) अगर एसी-बी= 0, और , , अर्थात्, वेतन वृद्धि का चिन्ह 2α 0 के चिह्न से निर्धारित होता है। साथ ही, एक चरम सीमा के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए और शोध की आवश्यकता है।

उदाहरण। आइए फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें जेड = एक्स- 2 xy + 2आप+ 2 एक्स।स्थिर बिंदुओं की खोज के लिए, हम सिस्टम को हल करते हैं . तो, स्थिर बिंदु (-2,-1) है। जिसमें ए = 2, पर = -2, से= 4. तब एसी-बी² = 4> 0, इसलिए, स्थिर बिंदु पर एक चरम पर पहुंच जाता है, अर्थात् न्यूनतम (चूंकि .) ए > 0).

परिभाषा 5.4.यदि फ़ंक्शन तर्क एफ (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन)प्रपत्र में अतिरिक्त शर्तों द्वारा बाध्य एमसमीकरण ( एम< n) :

1 ( एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) = 0, 2 ( एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) = 0, ..., मीटर ( एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) = 0, (5.2)

जहाँ फलन में निरंतर आंशिक अवकलज होते हैं, तब समीकरण (5.2) कहलाते हैं कनेक्शन समीकरण.

परिभाषा 5.5.फंक्शन एक्सट्रीमम एफ (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन)शर्तों के तहत (5.2) कहा जाता है सशर्त चरम.

टिप्पणी। हम दो चर के एक फ़ंक्शन के सशर्त चरम की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या का प्रस्ताव कर सकते हैं: फ़ंक्शन के तर्क दें एफ (एक्स, वाई)समीकरण . द्वारा संबंधित हैं (एक्स, वाई)= 0, समतल O . में किसी वक्र को परिभाषित करते हुए हू. इस वक्र के प्रत्येक बिंदु से विमान O . पर लंबवत बहाल होने के बाद हूसतह पार करने से पहले जेड = एफ (एक्स, वाई),हम वक्र . के ऊपर की सतह पर स्थित एक स्थानिक वक्र प्राप्त करते हैं (एक्स, वाई)= 0. समस्या परिणामी वक्र के चरम बिंदुओं को खोजने के लिए है, जो निश्चित रूप से, सामान्य मामले में फ़ंक्शन के बिना शर्त चरम बिंदुओं से मेल नहीं खाती है एफ (एक्स, वाई)।

आइए हम निम्नलिखित परिभाषा को पहले से पेश करके दो चर के एक समारोह के लिए आवश्यक सशर्त चरम स्थितियों को परिभाषित करें:

परिभाषा 5.6.समारोह एल (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) = एफ (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) + λ 1 φ 1 (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) +

+ λ 2 φ 2 (x 1, x 2,…, x n) +…+λ m φ m (x 1, x 2,…, x n), (5.3)

कहाँ पे मैं -कुछ स्थिरांक, जिन्हें कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन, और संख्या मैं– अनिश्चितकालीन लैग्रेंज गुणक.

प्रमेय 5.3(आवश्यक सशर्त चरम स्थितियां)। समारोह की सशर्त चरम सीमा जेड = एफ (एक्स, वाई)बाधा समीकरण की उपस्थिति में ( एक्स, वाई)= 0 केवल लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं पर ही पहुंचा जा सकता है एल (एक्स, वाई) = एफ (एक्स, वाई) + λφ (एक्स, वाई)।

सबूत। बाधा समीकरण एक निहित निर्भरता को परिभाषित करता है परसे एक्स, तो हम मान लेंगे कि परसे एक समारोह है एक्स: वाई = वाई (एक्स)।फिर जेडवहाँ है जटिल कार्यसे एक्स, और इसके महत्वपूर्ण बिंदु इस स्थिति से निर्धारित होते हैं: . (5.4) यह बाधा समीकरण से निम्नानुसार है कि . (5.5)

हम समानता (5.5) को किसी संख्या से गुणा करते हैं और इसे (5.4) में जोड़ते हैं। हम पाते हैं:

, या ।

अंतिम समानता स्थिर बिंदुओं पर होनी चाहिए, जिससे यह निम्नानुसार है:

(5.6)

तीन अज्ञात के लिए तीन समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है: एक्स, वाईऔर λ, पहले दो समीकरण लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु के लिए शर्तें हैं। सिस्टम (5.6) से सहायक अज्ञात को हटाकर, हम उन बिंदुओं के निर्देशांक पाते हैं जिन पर मूल फ़ंक्शन में एक सशर्त चरम हो सकता है।

टिप्पणी 1. पाया बिंदु पर एक सशर्त चरम की उपस्थिति को प्रमेय 5.2 के अनुरूप लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव का अध्ययन करके जांचा जा सकता है।

टिप्पणी 2. ऐसे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन के सशर्त चरम तक पहुंचा जा सकता है एफ (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन)शर्तों (5.2) के तहत, सिस्टम के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (5.7)

उदाहरण। फ़ंक्शन के सशर्त चरम का पता लगाएं जेड = xyइस शर्त पर एक्स + वाई= 1. लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें एल (एक्स, वाई) = xy + (एक्स + वाई -एक)। सिस्टम (5.6) तब इस तरह दिखता है:

जहां से -2λ=1, =-0.5, एक्स = वाई = -λ = 0.5. जिसमें एल (एक्स, वाई)के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है एल(एक्स, वाई) = - 0,5 (एक्स-y)² + 0.5 ≤ 0.5, इसलिए, पाए गए स्थिर बिंदु पर एल (एक्स, वाई)अधिकतम है और जेड = एक्सवाई -सशर्त अधिकतम।

सशर्त चरम

न्यूनतम या अधिकतम मूल्य, किसी दिए गए फ़ंक्शन (या कार्यात्मक) द्वारा इस शर्त के तहत हासिल किया जाता है कि कुछ अन्य फ़ंक्शन (कार्यात्मक) दिए गए स्वीकार्य सेट से मान लेते हैं। यदि ऐसी कोई स्थिति नहीं है जो संकेतित अर्थों में स्वतंत्र चर (कार्यों) में परिवर्तन को सीमित करती है, तो कोई बिना शर्त चरम की बात करता है।
क्लासिक डब्ल्यू ई के लिए कार्य कई चर के एक समारोह के न्यूनतम निर्धारित करने की समस्या है

बशर्ते कि कुछ अन्य कार्य दिए गए मान लेते हैं:

इस समस्या में G, जिससे सदिश के मान कार्य करते हैं जी =(जी 1 , ..., जी एम), अतिरिक्त शर्तों में शामिल (2) एक निश्चित बिंदु है सी =(सी 1, ..., टी के साथ) एम-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में
यदि में (2) समान चिह्न के साथ, असमानता के संकेतों की अनुमति है

यह समस्या की ओर जाता है गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग(13)। समस्या (1), (3) में, वेक्टर फ़ंक्शन जी के स्वीकार्य मानों का सेट जी एक निश्चित वक्रता है, जो (एन-एम 1) से संबंधित है - एम 1 द्वारा परिभाषित हाइपरसर्फेस , एम 1 समानता-प्रकार की स्थिति (3)। निर्दिष्ट घुमावदार पॉलीहेड्रॉन की सीमाओं को ध्यान में रखकर बनाया गया है पी-एम(3) में शामिल 1 असमानताएँ।
समस्या का एक विशेष मामला (1), (3) एक यूवी पर। कार्य है रैखिक प्रोग्रामिंग,जिसमें सभी कार्यों को f और . माना जाता है गी x l . में रैखिक हैं , ..., एक्स पी।एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में, वेक्टर फ़ंक्शन के संभावित मानों का सेट G जी,चर की सीमा को सीमित करने वाली शर्तों में शामिल x 1 , .....एक्स एन,है, जो (n-t 1)-आयामी हाइपरप्लेन से संबंधित है, जिसे m 1 समानता-प्रकार की स्थितियों (3) में परिभाषित किया गया है।
इसी तरह, व्यावहारिक प्रतिनिधित्व करने वाले कार्यात्मकताओं के लिए अधिकांश अनुकूलन समस्याएं ब्याज, यू.ई. पर कार्यों के लिए कम कर दिया गया है। (सेमी। आइसोपेरिमेट्रिक समस्या, रिंग समस्या, लैग्रेंज समस्या, तरीके की समस्या). ठीक वैसे ही जैसे गणित में। प्रोग्रामिंग, भिन्नताओं की गणना की मुख्य समस्याएं और इष्टतम नियंत्रण के सिद्धांत उत्तल ई पर समस्याएं हैं।
यू.ई. में समस्याओं को हल करते समय, खासकर सैद्धांतिक पर विचार करते समय। सी पर समस्याओं से संबंधित प्रश्न, अनिश्चितकालीन उपयोग करना बहुत उपयोगी साबित होता है लग्रांगियन गुणक,समस्या को कम करने की अनुमति यू.ई. बिना शर्त समस्या के लिए और आवश्यक इष्टतमता शर्तों को सरल बनाएं। लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग अधिकांश शास्त्रीय का आधार है यू.ई. में समस्याओं को हल करने के तरीके

लिट: हेडली जे।, नॉनलाइनियर और, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम।, 1967; ब्लिस जीए, लेक्चर्स ऑन द कैलकुलस ऑफ वेरिएशन, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम।, 1950; पोंट्रीगिन एल.एस. [एट अल।], गणितीय इष्टतम प्रक्रियाएं, दूसरा संस्करण।, एम।, 1969।
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