x के घनमूल का व्युत्पन्न। एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदन कहते हैं।

तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम दिखाई दिए . आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज (1646-1716) ने डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति थे।

इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना तर्क की वृद्धि के लिए करना आवश्यक नहीं है, लेकिन केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है डेरिवेटिव और भेदभाव के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको स्ट्रोक साइन के तहत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को तोड़ोऔर निर्धारित करें कि क्या कार्रवाई (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं। आगे डेरिवेटिव प्राथमिक कार्यहम डेरिवेटिव की तालिका में पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के डेरिवेटिव के लिए सूत्र - भेदभाव के नियमों में। पहले दो उदाहरणों के बाद व्युत्पन्न और विभेदन नियमों की तालिका दी गई है।

उदाहरण 1किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। विभेदन के नियमों से हम पाते हैं कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्न का योग है, अर्थात।

डेरिवेटिव की तालिका से, हम पाते हैं कि "एक्स" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न पाते हैं:

उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करें, जिसमें एक स्थिर कारक के साथ दूसरा पद, इसे व्युत्पन्न के संकेत से निकाला जा सकता है:

यदि अभी भी प्रश्न हैं कि कुछ कहाँ से आता है, तो वे, एक नियम के रूप में, डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों को पढ़ने के बाद स्पष्ट हो जाते हैं। हम अभी उनके पास जा रहे हैं।

सरल कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

1. एक स्थिरांक (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फलन व्यंजक में है। हमेशा शून्य। यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है
2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। सबसे अधिक बार "एक्स"। हमेशा एक के बराबर। यह भी याद रखना जरूरी है
3. डिग्री का व्युत्पन्न। समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को एक शक्ति में बदलने की आवश्यकता होती है।
4. -1 . की घात के लिए एक चर का व्युत्पन्न
5. व्युत्पन्न वर्गमूल
6. साइन व्युत्पन्न
7. कोसाइन व्युत्पन्न
8. स्पर्शरेखा व्युत्पन्न
9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
10. आर्क्सिन का व्युत्पन्न
11. चाप कोज्या का व्युत्पन्न
12. चाप स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
13. व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
15. एक लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न
16. घातांक का व्युत्पन्न
17. व्युत्पन्न घातांक प्रकार्य

विभेदन नियम

1. योग या अंतर का व्युत्पन्न
2. उत्पाद का व्युत्पन्न
2ए. एक स्थिर कारक से गुणा किए गए व्यंजक का व्युत्पन्न
3. भागफल का व्युत्पन्न
4. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न

नियम 1यदि कार्य

किसी बिंदु पर अलग-अलग होते हैं, फिर उसी बिंदु पर कार्य

तथा

वे। फलनों के बीजीय योग का अवकलज इन फलनों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

परिणाम। यदि दो अवकलनीय फलन एक अचर से भिन्न हैं, तो उनके अवकलज हैं, अर्थात।

नियम 2यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय होते हैं, तो उनका गुणनफल भी उसी बिंदु पर अवकलनीय होता है

तथा

वे। दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है।

परिणाम 1. लगातार गुणकव्युत्पन्न के संकेत से निकाला जा सकता है:

परिणाम 2. कई अलग-अलग कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर है।

उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:

नियम 3यदि कार्य

किसी बिंदु पर अलग-अलग तथा , तो इस बिंदु पर उनका भागफल भी अवकलनीय है।यू/वी, और

वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर पूर्व अंश का वर्ग होता है .

अन्य पृष्ठों पर कहां देखें

वास्तविक समस्याओं में उत्पाद के व्युत्पन्न और भागफल को खोजने पर, एक साथ कई विभेदन नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए इन डेरिवेटिव पर अधिक उदाहरण लेख में हैं।"एक उत्पाद और एक भागफल का व्युत्पन्न".

टिप्पणी।आपको एक स्थिरांक (अर्थात एक संख्या) को योग में एक पद के रूप में और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! एक पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे डेरिवेटिव के संकेत से निकाल दिया जाता है। यह सामान्य गलती, जो पर होता है आरंभिक चरणव्युत्पन्न सीखना, लेकिन जैसे ही वे कई एक-दो-घटक उदाहरणों को हल करते हैं, औसत छात्र अब यह गलती नहीं करता है।

और यदि, किसी उत्पाद या भागफल में अंतर करते समय, आपके पास एक पद है तुम"वी, जिसमें तुम- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिर, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, पूरा पद शून्य के बराबर होगा (ऐसे मामले का विश्लेषण उदाहरण 10 में किया गया है) .

अन्य सामान्य गलती- एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का यांत्रिक समाधान। इसीलिए एक जटिल कार्य का व्युत्पन्नएक अलग लेख के लिए समर्पित। लेकिन पहले हम सरल फलनों के अवकलज ज्ञात करना सीखेंगे।

साथ ही, आप भावों के परिवर्तन के बिना नहीं कर सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नए विंडोज़ मैनुअल में खोलने की आवश्यकता हो सकती है शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियातथा भिन्न के साथ क्रिया .

यदि आप शक्तियों और जड़ों के साथ डेरिवेटिव के समाधान की तलाश में हैं, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है , फिर पाठ का पालन करें " शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न"।

यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे , तो आप "सरल त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न" पाठ में हैं।

चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें

उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के कुछ हिस्सों को निर्धारित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग होते हैं, जिनमें से दूसरे शब्दों में से एक में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद भेदभाव नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है:

इसके बाद, हम योग के विभेदन के नियम को लागू करते हैं: कार्यों के बीजीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के बीजीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में, दूसरा पद एक ऋण चिह्न के साथ। प्रत्येक योग में, हम दोनों एक स्वतंत्र चर देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर होता है, और एक स्थिरांक (संख्या), जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। तो, "x" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 - शून्य में। दूसरे व्यंजक में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम "x" के अवकलज के समान इकाई से दो गुणा करते हैं। हमें डेरिवेटिव के निम्नलिखित मूल्य मिलते हैं:

हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना है। हम एक भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और भाजक पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:

हम पहले ही उदाहरण 2 में अंश में कारकों का व्युत्पन्न पा चुके हैं। आइए यह भी न भूलें कि उत्पाद, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा कारक है, को ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:

यदि आप ऐसी समस्याओं के समाधान की तलाश में हैं जिसमें आपको किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और डिग्री का निरंतर ढेर होता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, फिर कक्षा में स्वागत है "शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न" .

यदि आपको ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है त्रिकोणमितीय फलन, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है , तो आपके पास एक सबक है "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव" .

उदाहरण 5किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में, हम एक उत्पाद देखते हैं, जिनमें से एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न के साथ हमने खुद को डेरिवेटिव की तालिका में परिचित किया है। उत्पाद विभेदन नियम और वर्गमूल के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मान के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 6किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फलन में हम भागफल देखते हैं, जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल होता है। भागफल के विभेदन के नियम के अनुसार, जिसे हमने उदाहरण 4 में दोहराया और लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:

अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को से गुणा करें।

एक शक्ति समारोह के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति (x की शक्ति के लिए a)। x से जड़ों के व्युत्पन्न माने जाते हैं। एक शक्ति समारोह के व्युत्पन्न के लिए सूत्र उच्च आदेश. डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण।

x से a की घात का व्युत्पन्न माइनस वन की घात का x गुना है:
(1) .

x के nवें मूल से mth घात का अवकलज है:
(2) .

एक शक्ति समारोह के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

केस x > 0

घातांक a के साथ चर x के घात फलन पर विचार करें:
(3) .
यहाँ a एक मनमाना वास्तविक संख्या है। आइए पहले मामले पर विचार करें।

फ़ंक्शन (3) के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, हम पावर फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करते हैं और इसे निम्न रूप में बदलते हैं:
.

अब हम लागू करके व्युत्पन्न पाते हैं:
;
.
यहां ।

सूत्र (1) सिद्ध होता है।

x की डिग्री n से डिग्री m . के मूल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

अब एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो निम्न रूप का मूल है:
(4) .

व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम रूट को पावर फ़ंक्शन में परिवर्तित करते हैं:
.
सूत्र (3) की तुलना में, हम देखते हैं कि
.
फिर
.

सूत्र (1) द्वारा हम व्युत्पन्न पाते हैं:
(1) ;
;
(2) .

व्यवहार में, सूत्र (2) को याद करने की कोई आवश्यकता नहीं है। पहले रूट्स को पावर फंक्शन में बदलना और फिर फॉर्मूला (1) (पृष्ठ के अंत में उदाहरण देखें) का उपयोग करके उनके डेरिवेटिव्स को खोजना अधिक सुविधाजनक है।

केस x = 0

तो अगर ऊर्जा समीकरणचर x = . के मान के लिए भी परिभाषित किया गया है 0 . आइए x = . के लिए फलन (3) का अवकलज ज्ञात करें 0 . ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
.

स्थानापन्न x = 0 :
.
इस मामले में, व्युत्पन्न से हमारा तात्पर्य दाहिने हाथ की सीमा से है जिसके लिए .

तो हमने पाया:
.
इससे यह देखा जा सकता है कि पर.
पर , ।
पर , ।
यह परिणाम सूत्र (1) द्वारा भी प्राप्त किया जाता है:
(1) .
इसलिए, x = . के लिए सूत्र (1) भी मान्य है 0 .

केस x< 0

फ़ंक्शन (3) पर फिर से विचार करें:
(3) .
स्थिरांक a के कुछ मानों के लिए, इसे के लिए भी परिभाषित किया गया है नकारात्मक मानपरिवर्तनीय एक्स। अर्थात्, एक परिमेय संख्या होने दें। तब इसे एक इरेड्यूसबल अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है:
,
जहाँ m और n ऐसे पूर्णांक हैं जिनका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

यदि n विषम है, तो चर x के ऋणात्मक मानों के लिए घातांकीय फलन को भी परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, n = के लिए 3 और एम = 1 अपने पास घनमूलएक्स से:
.
इसे x के ऋणात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है।

आइए हम स्थिरांक a के परिमेय मानों के लिए और उसके लिए घात फलन (3) का व्युत्पन्न ज्ञात करें, जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में x का प्रतिनिधित्व करते हैं:
.
फिर ,
.
हम अवकलज के चिह्न से अचर को निकालकर और एक जटिल फलन के विभेदन के नियम को लागू करके अवकलज पाते हैं:

.
यहां । परंतु
.
तब से
.
फिर
.
अर्थात्, सूत्र (1) इसके लिए भी मान्य है:
(1) .

उच्च आदेशों के डेरिवेटिव

अब हम घात फलन के उच्च कोटि के अवकलज पाते हैं
(3) .
हमने पहले ही ऑर्डर व्युत्पन्न पाया है:
.

अवकलज के चिह्न से अचर को निकालते हुए, हम द्वितीय कोटि का अवकलज पाते हैं:
.
इसी तरह, हम तीसरे और चौथे क्रम के व्युत्पन्न पाते हैं:
;

.

यहाँ से यह स्पष्ट है कि एक मनमाना nवें क्रम का व्युत्पन्ननिम्नलिखित रूप है:
.

नोटिस जो अगर एक है प्राकृतिक संख्या , , तो n वां व्युत्पन्न स्थिर है:
.
फिर सभी बाद के डेरिवेटिव शून्य के बराबर हैं:
,
पर ।

व्युत्पन्न उदाहरण

उदाहरण

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.

समाधान

आइए जड़ों को शक्तियों में बदलें:
;
.
तब मूल कार्य रूप लेता है:
.

हम डिग्री के व्युत्पन्न पाते हैं:
;
.
एक स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है:
.

जिस पर हमने सरलतम अवकलजों का विश्लेषण किया और विभेदीकरण के नियमों तथा अवकलजों को खोजने की कुछ तकनीकों से भी परिचित हुए। इस प्रकार, यदि आप कार्यों के व्युत्पन्न के साथ बहुत अच्छे नहीं हैं या इस लेख के कुछ बिंदु पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, तो पहले उपरोक्त पाठ को पढ़ें। कृपया एक गंभीर मूड में ट्यून करें - सामग्री आसान नहीं है, लेकिन मैं फिर भी इसे सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा।

व्यवहार में, आपको एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से बहुत बार निपटना पड़ता है, मैं लगभग हमेशा कहूंगा, जब आपको डेरिवेटिव खोजने के लिए कार्य दिए जाते हैं।

हम तालिका में एक जटिल फलन में अंतर करने के लिए नियम (संख्या 5) को देखते हैं:

हम समझते हैं। सबसे पहले, आइए नोटेशन पर एक नज़र डालें। यहां हमारे पास दो कार्य हैं - और, और फ़ंक्शन, आलंकारिक रूप से बोलना, फ़ंक्शन में नेस्टेड है। इस तरह के एक फंक्शन (जब एक फंक्शन दूसरे के भीतर नेस्ट किया जाता है) को कॉम्प्लेक्स फंक्शन कहा जाता है।

मैं समारोह को बुलाऊंगा बाहरी कार्य, और समारोह - आंतरिक (या नेस्टेड) ​​फ़ंक्शन.

! ये परिभाषाएं सैद्धांतिक नहीं हैं और इन्हें सत्रीय कार्यों के अंतिम डिजाइन में नहीं दिखना चाहिए। मैं अनौपचारिक अभिव्यक्तियों "बाहरी कार्य", "आंतरिक" फ़ंक्शन का उपयोग केवल आपके लिए सामग्री को समझना आसान बनाने के लिए करता हूं।

स्थिति को स्पष्ट करने के लिए, विचार करें:

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

साइन के तहत, हमारे पास केवल "x" अक्षर नहीं है, बल्कि संपूर्ण अभिव्यक्ति है, इसलिए तालिका से तुरंत व्युत्पन्न खोजने से काम नहीं चलेगा। हम यह भी देखते हैं कि यहां पहले चार नियमों को लागू करना असंभव है, एक अंतर प्रतीत होता है, लेकिन तथ्य यह है कि साइन को "फाड़ना" असंभव है:

पर यह उदाहरणपहले से ही मेरे स्पष्टीकरण से यह सहज रूप से स्पष्ट है कि एक फ़ंक्शन एक जटिल कार्य है, और बहुपद एक आंतरिक कार्य (एम्बेडिंग), और एक बाहरी कार्य है।

पहला कदम, जो एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाना चाहिए, समझें कि कौन सा कार्य आंतरिक है और कौन सा बाहरी है.

कब सरल उदाहरणयह स्पष्ट प्रतीत होता है कि एक बहुपद ज्या के नीचे स्थित है। लेकिन क्या होगा अगर यह स्पष्ट नहीं है? कैसे निर्धारित करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है? ऐसा करने के लिए, मैं निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करने का प्रस्ताव करता हूं, जिसे मानसिक रूप से या मसौदे पर किया जा सकता है।

आइए कल्पना करें कि हमें कैलकुलेटर के साथ अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है (एक के बजाय, कोई भी संख्या हो सकती है)।

हम पहले क्या गणना करते हैं? सबसे पहलेआपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता होगी: , इसलिए बहुपद एक आंतरिक कार्य होगा:

दूसरेआपको खोजने की आवश्यकता होगी, इसलिए साइन - एक बाहरी कार्य होगा:

हमारे बाद समझनाआंतरिक और बाहरी कार्यों के साथ, यह यौगिक कार्य विभेदन नियम लागू करने का समय है .

हम तय करना शुरू करते हैं। पाठ से व्युत्पन्न कैसे खोजें?हमें याद है कि किसी भी व्युत्पन्न के समाधान का डिज़ाइन हमेशा इस तरह से शुरू होता है - हम अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करते हैं और ऊपर दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाते हैं:

प्रथमहम बाह्य फलन (साइन) का अवकलज पाते हैं, प्राथमिक फलनों के अवकलजों की तालिका को देखते हैं और देखते हैं कि . सभी सारणीबद्ध सूत्र लागू होते हैं, भले ही "x" को एक जटिल व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, इस मामले में:

ध्यान दें कि आंतरिक कार्य नहीं बदला है, हम इसे छूते नहीं हैं.

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि

सूत्र लागू करने का परिणाम साफ इस तरह दिखता है:

स्थिरांक कारक आमतौर पर अभिव्यक्ति की शुरुआत में रखा जाता है:

यदि कोई गलतफहमी है, तो निर्णय को कागज पर लिख लें और स्पष्टीकरण दोबारा पढ़ें।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

हमेशा की तरह, हम लिखते हैं:

हम यह पता लगाते हैं कि हमारा बाहरी कार्य कहाँ है, और आंतरिक कहाँ है। ऐसा करने के लिए, हम के लिए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए (मानसिक रूप से या मसौदे पर) प्रयास करते हैं। पहले क्या करने की जरूरत है? सबसे पहले, आपको गणना करने की आवश्यकता है कि आधार किसके बराबर है:, जिसका अर्थ है कि बहुपद आंतरिक कार्य है:

और, उसके बाद ही घातांक किया जाता है, इसलिए, शक्ति कार्य एक बाहरी कार्य है:

सूत्र के अनुसार , पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, इस मामले में, डिग्री। हम तालिका में वांछित सूत्र की तलाश कर रहे हैं:। हम फिर दोहराते हैं: कोई भी सारणीबद्ध सूत्र न केवल "x" के लिए, बल्कि एक जटिल व्यंजक के लिए भी मान्य है. इस प्रकार, एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम को लागू करने का परिणाम अगला:

मैं फिर से जोर देता हूं कि जब हम बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेते हैं, तो आंतरिक कार्य नहीं बदलता है:

अब यह आंतरिक फ़ंक्शन का एक बहुत ही सरल व्युत्पन्न खोजने के लिए बनी हुई है और परिणाम को थोड़ा "कंघी" करती है:

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय(पाठ के अंत में उत्तर दें)।

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समझ को मजबूत करने के लिए, मैं टिप्पणियों के बिना एक उदाहरण दूंगा, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें, कारण, बाहरी कहां है और आंतरिक कार्य कहां है, कार्यों को इस तरह क्यों हल किया जाता है?

उदाहरण 5

ए) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

बी) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यहां हमारे पास एक जड़ है, और जड़ को अलग करने के लिए, इसे एक डिग्री के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। इस प्रकार, हम पहले फ़ंक्शन को विभेदन के लिए उचित रूप में लाते हैं:

फलन का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि तीन पदों का योग एक आंतरिक फलन है, और घातांक एक बाहरी फलन है। हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण का नियम लागू करते हैं :

डिग्री को फिर से एक कट्टरपंथी (रूट) के रूप में दर्शाया जाता है, और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए, हम योग को अलग करने के लिए एक सरल नियम लागू करते हैं:

तैयार। आप व्यंजक को कोष्ठकों में भी रख सकते हैं आम विभाजकऔर सभी को भिन्न के रूप में लिखिए। यह सुंदर है, निश्चित रूप से, लेकिन जब आपको बोझिल लंबे डेरिवेटिव मिलते हैं, तो इसे न करना बेहतर होता है (भ्रमित होना, स्वीकार करना आसान है) अनावश्यक गलती, और शिक्षक के लिए जाँच करना असुविधाजनक होगा)।

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कभी-कभी, एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के नियम के बजाय, कोई व्यक्ति भागफल को अलग करने के लिए नियम का उपयोग कर सकता है , लेकिन ऐसा समाधान एक असामान्य विकृति की तरह दिखेगा। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण है:

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यहां आप भागफल के विभेदीकरण के नियम का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम के माध्यम से व्युत्पन्न खोजना अधिक लाभदायक है:

हम विभेदन के लिए फ़ंक्शन तैयार करते हैं - हम व्युत्पन्न का ऋण चिह्न निकालते हैं, और कोसाइन को अंश तक बढ़ाते हैं:

कोसाइन एक आंतरिक कार्य है, घातांक एक बाहरी कार्य है।
आइए हमारे नियम का उपयोग करें :

हम आंतरिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं, कोसाइन को वापस नीचे रीसेट करें:

तैयार। विचार किए गए उदाहरण में, यह महत्वपूर्ण है कि संकेतों में भ्रमित न हों। वैसे, इसे नियम से हल करने का प्रयास करें , उत्तरों का मिलान होना चाहिए।

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

अब तक, हमने उन मामलों पर विचार किया है जहां एक जटिल कार्य में हमारे पास केवल एक घोंसला था। व्यावहारिक कार्यों में, आप अक्सर व्युत्पन्न पा सकते हैं, जहां, घोंसले के शिकार गुड़िया की तरह, एक दूसरे के अंदर, 3 या 4-5 फ़ंक्शन एक ही बार में नेस्टेड होते हैं।

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

हम इस फ़ंक्शन के अनुलग्नकों को समझते हैं। हम प्रयोगात्मक मान का उपयोग करके व्यंजक का मूल्यांकन करने का प्रयास करते हैं। हम कैलकुलेटर पर कैसे भरोसा करेंगे?

पहले आपको खोजने की जरूरत है, जिसका अर्थ है कि आर्क्सिन सबसे गहरा घोंसला है:

एकता के इस चाप को तब चुकता किया जाना चाहिए:

और अंत में, हम सात को सत्ता में लाते हैं:

यही है, इस उदाहरण में हमारे पास तीन अलग-अलग कार्य और दो घोंसले हैं, जबकि अंतरतम कार्य आर्क्सिन है, और सबसे बाहरी कार्य घातीय कार्य है।

हम तय करना शुरू करते हैं

नियम के अनुसार सबसे पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना होगा। हम डेरिवेटिव की तालिका को देखते हैं और घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं: केवल अंतर यह है कि "x" के बजाय हमारे पास है जटिल अभिव्यक्ति, जो इस सूत्र की वैधता को अमान्य नहीं करता है। तो, एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम को लागू करने का परिणाम अगला।