किसी फ़ंक्शन को पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट करते समय डेरिवेटिव ढूँढना। पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

फ़ंक्शन को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। यह उस नियम पर निर्भर करता है जिसका उपयोग इसे निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का स्पष्ट रूप y = f (x) है। कई बार इसका वर्णन असंभव या असुविधाजनक होता है। यदि कई जोड़े (x; y) हैं जिन्हें अंतराल (ए; बी) पर पैरामीटर टी के लिए गणना करने की आवश्यकता है। सिस्टम को हल करने के लिए x = 3 cos t y = 3 syn t 0 ≤ t के साथ< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन की परिभाषा

यहां से हमारे पास यह है कि x = φ (t), y = ψ (t) को एक मान t ∈ (a; b) के लिए परिभाषित किया गया है और x = φ (t) के लिए एक व्युत्क्रम फलन t = Θ (x) है, तो हम कार्य के बारे में बात कर रहे हैं पैरामीट्रिक समीकरणफॉर्म के फ़ंक्शन y = ψ (Θ (x)) .

ऐसे मामले होते हैं, जब किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए, x के संबंध में व्युत्पन्न की खोज करना आवश्यक होता है। आइए व्युत्पन्न सूत्र पर पैरामीट्रिक रूप से विचार करें दिया गया कार्यफॉर्म y x " = ψ " (t) φ " (t), आइए दूसरे और nवें क्रम के व्युत्पन्न के बारे में बात करते हैं।

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

हमारे पास वह x = φ (t), y = ψ (t), t ∈ a के लिए परिभाषित और अवकलनीय है; b, जहाँ x t " = φ " (t) ≠ 0 और x = φ (t), तो t = Θ (x) के रूप का एक व्युत्क्रम फलन होता है।

आरंभ करने के लिए, आपको एक पैरामीट्रिक कार्य से स्पष्ट कार्य की ओर बढ़ना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको फॉर्म y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) का एक जटिल फ़ंक्शन प्राप्त करने की आवश्यकता है, जहां एक तर्क x है।

व्युत्पन्न ज्ञात करने के नियम के आधार पर जटिल कार्य, हम पाते हैं कि y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

इससे पता चलता है कि t = Θ (x) और x = φ (t) व्युत्क्रम फलन सूत्र Θ " (x) = 1 φ " (t) से व्युत्क्रम फलन हैं, तो y " x = ψ " Θ (x) Θ " (एक्स) = ψ " (टी) φ " (टी) .

आइए विभेदीकरण नियम के अनुसार डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करके कई उदाहरणों को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन x = t 2 + 1 y = t के लिए व्युत्पन्न खोजें।

समाधान

शर्त के अनुसार हमारे पास यह है कि φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, यहां से हमें वह प्राप्त होता है φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. आपको व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करना चाहिए और उत्तर को इस रूप में लिखना चाहिए:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

उत्तर: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

किसी फ़ंक्शन h के व्युत्पन्न के साथ काम करते समय, पैरामीटर t समान पैरामीटर t के माध्यम से तर्क x की अभिव्यक्ति को निर्दिष्ट करता है, ताकि व्युत्पन्न के मानों और तर्क के साथ पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के बीच संबंध न खोएं। जिससे ये मूल्य मेल खाते हैं।

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए, आपको परिणामी फ़ंक्शन पर पहले-क्रम के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है, फिर हमें वह मिलता है

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (टी) = ψ "" (टी) · φ " (टी) - ψ " (टी) · φ "" (टी) φ " (टी) 3 .

उदाहरण 2

दिए गए फ़ंक्शन x = cos (2 t) y = t 2 के दूसरे और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न खोजें।

समाधान

शर्त के अनुसार हम पाते हैं कि φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2।

फिर परिवर्तन के बाद

φ " (टी) = कॉस (2 टी) " = - पाप (2 टी) 2 टी " = - 2 पाप (2 टी) ψ (टी) = टी 2 " = 2 टी

यह इस प्रकार है कि y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 पाप 2 t = - t पाप (2 t) ।

हम पाते हैं कि प्रथम कोटि अवकलज का रूप x = cos (2 t) y x " = - t syn (2 t) है।

हल करने के लिए, आपको दूसरे क्रम का व्युत्पन्न सूत्र लागू करना होगा। हमें स्वरूप की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है

y x "" = - t पाप (2 t) φ " t = - t " · पाप (2 t) - t · (पाप (2 t)) " पाप 2 (2 t) - 2 पाप (2 t) = = 1 पाप (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 पाप 3 (2 t) = पाप (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 पाप 3 (2 t)

फिर एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन का उपयोग करके दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को निर्दिष्ट करना

x = cos (2 t) y x "" = पाप (2 t) - 2 t क्योंकि (2 t) 2 पाप 3 (2 t)

एक समान समाधान किसी अन्य विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। तब

φ " t = (cos (2 t)) " = - पाप (2 t) 2 t " = - 2 पाप (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 पाप (2 t) " = - 2 पाप (2 टी) " = - 2 कॉस (2 टी) · (2 ​​टी) " = - 4 कॉस (2 टी) ψ " (टी) = (टी 2) " = 2 टी ⇒ ψ "" (टी) = ( 2 टी) " = 2

यहीं से हमें वह मिलता है

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 पाप (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 टी) - 2 पाप 2 टी 3 = = पाप (2 टी) - 2 टी कॉस (2 टी) 2 एस आई एन 3 (2 टी)

उत्तर:वाई "" एक्स = पाप (2 टी) - 2 टी क्योंकि (2 टी) 2 एस आई एन 3 (2 टी)

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित कार्यों के साथ उच्च क्रम डेरिवेटिव एक समान तरीके से पाए जाते हैं।

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आइए तनाव न लें, इस पैराग्राफ में सब कुछ काफी सरल है। आप पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का सामान्य सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन, इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं तुरंत लिखूंगा विशिष्ट उदाहरण. पैरामीट्रिक रूप में, फ़ंक्शन दो समीकरणों द्वारा दिया गया है:। अक्सर समीकरण घुंघराले कोष्ठक के नीचे नहीं, बल्कि क्रमिक रूप से लिखे जाते हैं: , .

वेरिएबल को एक पैरामीटर कहा जाता है और यह "माइनस इनफिनिटी" से "प्लस इनफिनिटी" तक मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, मान पर विचार करें और इसे दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करें: . या मानवीय शब्दों में: "यदि x चार के बराबर है, तो y एक के बराबर है।" आप समन्वय तल पर एक बिंदु चिह्नित कर सकते हैं, और यह बिंदु पैरामीटर के मान के अनुरूप होगा। इसी तरह, आप पैरामीटर "ते" के किसी भी मान के लिए एक बिंदु पा सकते हैं। जहां तक ​​"नियमित" फ़ंक्शन का सवाल है, पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के अमेरिकी भारतीयों के लिए, सभी अधिकारों का भी सम्मान किया जाता है: आप एक ग्राफ़ बना सकते हैं, डेरिवेटिव ढूंढ सकते हैं, आदि। वैसे, यदि आपको पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है, तो पृष्ठ पर मेरा ज्यामितीय प्रोग्राम डाउनलोड करें गणितीय सूत्रऔर टेबल.

सरलतम मामलों में, फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना संभव है। आइए हम पहले समीकरण से पैरामीटर व्यक्त करें: - और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: . परिणाम एक साधारण घन फलन है.

अधिक "गंभीर" मामलों में, यह तरकीब काम नहीं करती। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि पैरामीट्रिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने का एक सूत्र है:

हम "परिवर्तनीय टी के संबंध में खेल" का व्युत्पन्न पाते हैं:

सभी विभेदीकरण नियम और व्युत्पन्न की तालिका, स्वाभाविक रूप से, पत्र के लिए मान्य हैं, इस प्रकार, डेरिवेटिव खोजने की प्रक्रिया में कोई नवीनता नहीं है. बस मानसिक रूप से तालिका के सभी "X" को "Te" अक्षर से बदल दें।

हम चर te के संबंध में x का व्युत्पन्न पाते हैं:

अब जो कुछ बचा है वह हमारे सूत्र में पाए गए डेरिवेटिव को प्रतिस्थापित करना है:

तैयार। फ़ंक्शन की तरह ही व्युत्पन्न भी पैरामीटर पर निर्भर करता है।

जहां तक ​​संकेतन की बात है, इसे सूत्र में लिखने के बजाय, कोई इसे सबस्क्रिप्ट के बिना ही लिख सकता है, क्योंकि यह "एक्स के संबंध में" एक "नियमित" व्युत्पन्न है। लेकिन साहित्य में हमेशा एक विकल्प होता है, इसलिए मैं मानक से नहीं हटूंगा।

उदाहरण 6

हम सूत्र का उपयोग करते हैं

इस मामले में:

इस प्रकार:

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की एक विशेष विशेषता यह तथ्य है प्रत्येक चरण में परिणाम को यथासंभव सरल बनाना लाभदायक होता है. इसलिए, विचार किए गए उदाहरण में, जब मुझे यह मिला, तो मैंने मूल के नीचे कोष्ठक खोल दिए (हालाँकि मैंने ऐसा नहीं किया होगा)। इस बात की अच्छी संभावना है कि सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर कई चीजें अच्छी तरह से कम हो जाएंगी। हालाँकि, निश्चित रूप से, अनाड़ी उत्तरों वाले उदाहरण भी हैं।

उदाहरण 7

पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

लेख में प्रोटोजोआ विशिष्ट कार्यव्युत्पन्न के साथ हमने ऐसे उदाहरण देखे जिनमें हमें किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता थी। पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के लिए, आप दूसरा व्युत्पन्न भी पा सकते हैं, और इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि दूसरा व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको पहले पहला व्युत्पन्न खोजना होगा।

उदाहरण 8

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न खोजें

सबसे पहले, आइए पहला व्युत्पन्न खोजें।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं

इस मामले में:

पाए गए व्युत्पन्नों को सूत्र में प्रतिस्थापित करता है। सरलीकरण उद्देश्यों के लिए, हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं:

मैंने देखा कि पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की समस्या में, सरलीकरण के उद्देश्य के लिए अक्सर इसका उपयोग करना आवश्यक होता है त्रिकोणमितीय सूत्र . उन्हें याद रखें या उन्हें संभाल कर रखें, और प्रत्येक मध्यवर्ती परिणाम और उत्तर को सरल बनाने का अवसर न चूकें। किस लिए? अब हमें का व्युत्पन्न लेना होगा, और यह स्पष्ट रूप से का व्युत्पन्न खोजने से बेहतर है।

आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं: .

आइए हमारे सूत्र पर नजर डालें। हर पिछले चरण में पहले ही पाया जा चुका है। यह अंश को खोजने के लिए बना हुआ है - चर "ते" के संबंध में पहले व्युत्पन्न का व्युत्पन्न:

यह सूत्र का उपयोग करना बाकी है:

सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, मैं आपके लिए स्वयं हल करने के लिए कुछ और उदाहरण प्रस्तुत करता हूँ।

उदाहरण 9

उदाहरण 10

पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन के लिए खोजें

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

मुझे आशा है कि यह पाठ उपयोगी था, और अब आप आसानी से अंतर्निहित और निर्दिष्ट कार्यों के डेरिवेटिव पा सकते हैं पैरामीट्रिक कार्य

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 3: समाधान:






इस प्रकार:

मान लीजिए कि फ़ंक्शन को पैरामीट्रिक तरीके से निर्दिष्ट किया गया है:
(1)
जहां कुछ वेरिएबल को पैरामीटर कहा जाता है। और फ़ंक्शंस में चर के एक निश्चित मान पर डेरिवेटिव होने दें। इसके अलावा, फ़ंक्शन का बिंदु के एक निश्चित पड़ोस में एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन भी होता है। फिर फ़ंक्शन (1) में बिंदु पर एक व्युत्पन्न होता है, जो पैरामीट्रिक रूप में, सूत्रों द्वारा निर्धारित होता है:
(2)

यहां फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और चर (पैरामीटर) के संबंध में हैं। इन्हें अक्सर इस प्रकार लिखा जाता है:
;
.

तब सिस्टम (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

सबूत

शर्त के अनुसार, फलन का व्युत्क्रम फलन होता है। आइए इसे इस रूप में निरूपित करें
.
तब मूल फ़ंक्शन को एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:
.
आइए जटिल और व्युत्क्रम कार्यों को अलग करने के नियमों का उपयोग करके इसका व्युत्पन्न खोजें:
.

नियम सिद्ध हो चुका है.

दूसरे प्रकार से प्रमाण करें

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर दूसरे तरीके से व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए हम संकेतन का परिचय दें:
.
फिर पिछला सूत्र रूप लेता है:
.

आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि बिंदु के पड़ोस में फ़ंक्शन का व्युत्क्रम फ़ंक्शन होता है।
आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
; ;
; .
भिन्न के अंश और हर को इससे विभाजित करें:
.
पर , । तब
.

नियम सिद्ध हो चुका है.

उच्च क्रम डेरिवेटिव

उच्च क्रम के डेरिवेटिव खोजने के लिए, कई बार विभेदन करना आवश्यक है। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित रूप में पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है:
(1)

सूत्र (2) का उपयोग करके हम पहला व्युत्पन्न पाते हैं, जिसे पैरामीट्रिक रूप से भी निर्धारित किया जाता है:
(2)

आइए हम पहले अवकलज को चर द्वारा निरूपित करें:
.
फिर, चर के संबंध में किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको चर के संबंध में फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है। एक चर पर एक चर की निर्भरता को पैरामीट्रिक तरीके से भी निर्दिष्ट किया जाता है:
(3)
(3) की तुलना सूत्र (1) और (2) से करने पर, हम पाते हैं:

आइए अब परिणाम को फ़ंक्शंस और के माध्यम से व्यक्त करें। ऐसा करने के लिए, आइए प्रतिस्थापित करें और लागू करें अंश व्युत्पन्न सूत्र :
.
तब
.

यहां से हम चर के संबंध में फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

इसे पैरामीट्रिक रूप में भी दिया गया है। ध्यान दें कि पहली पंक्ति इस प्रकार भी लिखी जा सकती है:
.

प्रक्रिया को जारी रखते हुए, आप तीसरे और उच्चतर क्रम के चर से फ़ंक्शन के डेरिवेटिव प्राप्त कर सकते हैं।

ध्यान दें कि हमें व्युत्पन्न के लिए कोई अंकन प्रस्तुत करने की आवश्यकता नहीं है। आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:
;
.

उदाहरण 1

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान

हम के संबंध में व्युत्पन्न पाते हैं।
से व्युत्पन्न तालिकाएँहम देखतें है:
;
.
हम आवेदन करते हैं:

.
यहाँ ।

.
यहाँ ।

आवश्यक व्युत्पन्न:
.

उत्तर

उदाहरण 2

पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान

आइए सूत्रों का उपयोग करके कोष्ठक खोलें शक्ति कार्य और जड़ें :
.

व्युत्पन्न ढूँढना:

.

व्युत्पन्न ढूँढना. ऐसा करने के लिए, हम एक वेरिएबल पेश करते हैं और लागू करते हैं एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र.

.

हम वांछित व्युत्पन्न पाते हैं:
.

उत्तर

उदाहरण 3

उदाहरण 1 में पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के दूसरे और तीसरे क्रम के व्युत्पन्न खोजें:

समाधान

उदाहरण 1 में हमने प्रथम क्रम व्युत्पन्न पाया:

आइए पदनाम का परिचय दें। फिर फ़ंक्शन के संबंध में व्युत्पन्न है। इसे पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट किया गया है:

के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न खोजने के लिए, हमें के संबंध में पहला व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है।

आइए अंतर करें।
.
हमने उदाहरण 1 में इसका व्युत्पन्न पाया:
.
निम्नलिखित के संबंध में दूसरे क्रम का व्युत्पन्न पहले क्रम के व्युत्पन्न के बराबर है:
.

इसलिए, हमने पैरामीट्रिक रूप के संबंध में दूसरे क्रम का व्युत्पन्न पाया:

अब हम तीसरा क्रम व्युत्पन्न पाते हैं। आइए पदनाम का परिचय दें। फिर हमें फ़ंक्शन का प्रथम-क्रम व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, जो पैरामीट्रिक तरीके से निर्दिष्ट है:

के संबंध में व्युत्पन्न खोजें। ऐसा करने के लिए, हम इसे समकक्ष रूप में फिर से लिखते हैं:
.
से
.

निम्नलिखित के संबंध में तीसरे क्रम का व्युत्पन्न पहले क्रम के व्युत्पन्न के बराबर है:
.

टिप्पणी

आपको वेरिएबल और दर्ज करने की ज़रूरत नहीं है, जो क्रमशः और के व्युत्पन्न हैं। फिर आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

उत्तर

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व में, दूसरे क्रम का व्युत्पन्न होता है अगला दृश्य:

तृतीय क्रम व्युत्पन्न.