सदिशों ab के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए। वैक्टर का डॉट उत्पाद

आपके निवेदन पर!

1. हर में अतार्किकता को दूर करें:

3. घातीय समीकरण को हल करें:

4. असमानता का समाधान करें:

अंकगणित वर्गमूलकेवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से अस्तित्व में है और इसे हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता हैइसलिए, यह असमानता सभी के लिए सत्य होगी एक्स, शर्त को संतुष्ट करते हुए: 2-х≥0। यहां से हमें मिलता है: x≤2. हम उत्तर को संख्यात्मक अंतराल के रूप में लिखते हैं: (-∞; 2]।

5. असमानता को हल करें: 7 x > -1.

ए-प्राथमिकता: y = a x के रूप का एक फलन घातांकीय कहलाता है, जहाँ a >0, a≠1, x कोई संख्या है। मूल्यों की श्रृंखला घातांक प्रकार्यसभी धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है, क्योंकि सकारात्मक संख्याकिसी भी हद तक सकारात्मक होगा. इसीलिए किसी भी x के लिए 7 x >0, और इससे भी अधिक 7 x > -1, यानी। असमानता सभी x ∈ (-∞; +∞) के लिए सत्य है।

6. उत्पाद में कनवर्ट करें:

आइए ज्याओं के योग के लिए सूत्र लागू करें: दो कोणों की ज्याओं का योग बराबर होता है उत्पाद से दोगुनाइन कोणों के आधे योग की ज्या को उनके आधे अंतर की कोज्या से।

8. यह ज्ञात है कि f(x) = -15x+3. x के किन मानों के लिए f(x)=0 होता है?

f(x) के स्थान पर संख्या 0 रखें और समीकरण हल करें:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . पहली और दूसरी मिश्र धातु में तांबा और जस्ता 5:2 और 3:4 के अनुपात में हैं। तांबे और जस्ता की समान सामग्री के साथ 28 किलोग्राम नई मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए प्रत्येक मिश्र धातु की कितनी मात्रा ली जानी चाहिए।

हम समझते हैं कि नए मिश्र धातु में 14 किलोग्राम तांबा और 14 किलोग्राम जस्ता होगा। सभी समान समस्याओं को एक ही तरीके से हल किया जाता है: वे एक समीकरण बनाते हैं, बाईं ओर और सही भागजिसमें समान मात्रा में पदार्थ (आइए तांबा लें), अलग-अलग तरीकों से लिखा जाए (समस्या की विशिष्ट स्थितियों के आधार पर)। नई मिश्रधातु में हमारा 14 किलोग्राम तांबा इन दोनों मिश्रधातुओं के तांबे से बना होगा। मान लीजिए पहले मिश्र धातु का द्रव्यमान है एक्सकिग्रा, तो दूसरे मिश्र धातु का द्रव्यमान है ( 28 का)किलोग्राम। पहले मिश्र धातु में 5 भाग तांबा और 2 भाग जस्ता होता है, इसलिए तांबा x किग्रा से (5/7) होगा। किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए, आपको भिन्न को दी गई संख्या से गुणा करना होगा। दूसरे मिश्र धातु में 3 भाग तांबा और 4 भाग जस्ता होता है, अर्थात। तांबे में (3/7) से (28) किग्रा होता है। इसलिए:

12. समीकरण हल करें: लॉग 2 8 x = -1.

लघुगणक की परिभाषा के अनुसार:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. फलन f(x) = -ln cosx 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।

20. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

किसी संख्या का मापांक केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।यदि मापांक चिह्न के नीचे कोई ऋणात्मक अभिव्यक्ति हो तो मॉड्यूलर कोष्ठक खोलते समय सभी पद विपरीत चिह्नों के साथ लिखे जाते हैं।

22. असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

सबसे पहले, हम प्रत्येक असमानता को अलग से हल करते हैं।

ध्यान दें कि इन कार्यों के लिए सबसे छोटी सामान्य अवधि होगी 2π,इसलिए, बाएँ और दाएँ दोनों को जिम्मेदार ठहराया गया 2πn. उत्तर C).

23. फ़ंक्शन y=3-|x-3| के ग्राफ़ से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें और सीधी रेखा y=0.

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक बिंदु से निकलने वाली दो अर्ध-रेखाएँ शामिल होंगी। आइए रेखाओं के समीकरण लिखें। x≥3 के लिए हम मॉड्यूलर ब्रैकेट खोलते हैं और प्राप्त करते हैं: y=3-x+3 ⇒ y=6-x.एक्स पर<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और ऑक्स अक्ष के एक खंड से घिरा त्रिभुज एक आकृति है जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है। निःसंदेह, हम यहां अभिन्नों के बिना भी काम चला सकते हैं। आइए हम एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार और इस आधार पर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के आधे के रूप में ज्ञात करें। हमारा आधार 6 इकाई खंडों के बराबर है, और इस आधार पर खींची गई ऊंचाई 3 इकाई खंडों के बराबर है। क्षेत्रफल 9 वर्ग मीटर होगा। इकाइयां

24. बिंदु A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2) पर शीर्ष वाले त्रिभुज के कोण A की कोज्या ज्ञात कीजिए।

किसी वेक्टर के सिरों के निर्देशांक द्वारा दिए गए निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, आपको शुरुआत के निर्देशांक को अंत के निर्देशांक से घटाना होगा।

कोण A सदिशों द्वारा बनता है:

25. एक डिब्बे में 23 गेंदें हैं: लाल, सफेद और काली। लाल गेंदों की तुलना में 11 गुना अधिक सफेद गेंदें होती हैं। कितनी काली गेंदें?

इसे डिब्बे में पड़ा रहने दो एक्सलाल गेंदें. फिर सफ़ेद 11xगेंदें.

लाल और सफ़ेद x+11x= 12xगेंदें. इसलिए, काली गेंदें 23-12x.चूँकि यह गेंदों की पूर्णांक संख्या है, एकमात्र संभावित मान है एक्स=1. यह निकला: 1 लाल गेंद, 11 सफेद गेंदें और 11 काली गेंदें.

निर्देश

मान लीजिए कि समतल पर दो गैर-शून्य सदिश दिए गए हैं, जो एक बिंदु से आलेखित किए गए हैं: निर्देशांक (x1, y1) के साथ सदिश A, निर्देशांक (x2, y2) के साथ B। कोनाउनके बीच को θ के रूप में नामित किया गया है। कोण θ की डिग्री माप खोजने के लिए, आपको अदिश उत्पाद की परिभाषा का उपयोग करने की आवश्यकता है।

दो गैर-शून्य सदिशों का अदिश गुणनफल इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर एक संख्या है, अर्थात (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). अब आपको कोण की कोज्या को इससे व्यक्त करने की आवश्यकता है: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

अदिश उत्पाद को सूत्र (A,B)=x1*x2+y1*y2 का उपयोग करके भी पाया जा सकता है, क्योंकि दो गैर-शून्य वैक्टर का उत्पाद उनके संबंधित वैक्टर के उत्पादों के योग के बराबर है। यदि गैर-शून्य सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है, तो सदिश लंबवत होते हैं (उनके बीच का कोण 90 डिग्री होता है) और आगे की गणना छोड़ी जा सकती है। यदि दो सदिशों का अदिश गुणनफल धनात्मक हो तो इनके बीच का कोण बनता है वैक्टरन्यूनकोण, और यदि ऋणात्मक है, तो कोण अधिककोण है।

अब सूत्रों का उपयोग करके वैक्टर ए और बी की लंबाई की गणना करें: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²)। एक वेक्टर की लंबाई की गणना उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में की जाती है।

चरण 2 में प्राप्त कोण के सूत्र में अदिश उत्पाद और वेक्टर लंबाई के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें, अर्थात, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). अब, का मान जानने के लिए, बीच के कोण की डिग्री माप ज्ञात करें वैक्टरआपको ब्रैडिस तालिका का उपयोग करने या इससे लेने की आवश्यकता है: θ=arccos(cos(θ))।

यदि सदिश A और B त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिए गए हैं और उनके निर्देशांक क्रमशः (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) हैं, तो कोण की कोज्या ज्ञात करते समय, एक और निर्देशांक जोड़ा जाता है। इस मामले में, कोज्या: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

मददगार सलाह

यदि दो सदिशों को एक ही बिंदु से आलेखित नहीं किया जाता है, तो समानांतर अनुवाद द्वारा उनके बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, आपको इन सदिशों की उत्पत्ति को संयोजित करने की आवश्यकता है।
दो सदिशों के बीच का कोण 180 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता।

स्रोत:

• सदिशों के बीच के कोण की गणना कैसे करें
• एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण

भौतिकी और रैखिक बीजगणित में लागू और सैद्धांतिक दोनों तरह की कई समस्याओं को हल करने के लिए, वैक्टर के बीच के कोण की गणना करना आवश्यक है। यह प्रतीत होने वाला सरल कार्य कई कठिनाइयों का कारण बन सकता है यदि आप अदिश उत्पाद के सार को स्पष्ट रूप से नहीं समझते हैं और इस उत्पाद के परिणामस्वरूप क्या मूल्य दिखाई देता है।

निर्देश

एक सदिश रैखिक स्थान में सदिशों के बीच का कोण वह न्यूनतम कोण होता है जिस पर सदिशों की सह-दिशा प्राप्त की जाती है। इसके आरंभिक बिंदु के चारों ओर एक वेक्टर खींचता है। परिभाषा से यह स्पष्ट हो जाता है कि कोण का मान 180 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता (चरण देखें)।

इस मामले में, यह बिल्कुल सही माना जाता है कि रैखिक अंतरिक्ष में, वैक्टर के समानांतर स्थानांतरण करते समय, उनके बीच का कोण नहीं बदलता है। इसलिए, कोण की विश्लेषणात्मक गणना के लिए, सदिशों का स्थानिक अभिविन्यास कोई मायने नहीं रखता।

डॉट उत्पाद का परिणाम एक संख्या है, अन्यथा एक अदिश राशि है। आगे की गणना में गलतियों से बचने के लिए याद रखें (यह जानना महत्वपूर्ण है)। समतल पर या सदिशों के स्थान में स्थित अदिश गुणनफल के सूत्र का रूप होता है (चरण के लिए चित्र देखें)।

यदि सदिश अंतरिक्ष में स्थित हैं, तो गणना इसी प्रकार करें। लाभांश में किसी शब्द की एकमात्र उपस्थिति आवेदक के लिए शब्द होगी, अर्थात। वेक्टर का तीसरा घटक. तदनुसार, वैक्टर के मापांक की गणना करते समय, z घटक को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए, फिर अंतरिक्ष में स्थित वैक्टर के लिए, अंतिम अभिव्यक्ति निम्नानुसार रूपांतरित होती है (चरण के लिए चित्र 6 देखें)।

एक वेक्टर एक निश्चित दिशा वाला एक खंड है। सदिशों के बीच के कोण का एक भौतिक अर्थ होता है, उदाहरण के लिए, अक्ष पर सदिश के प्रक्षेपण की लंबाई ज्ञात करते समय।

निर्देश

डॉट उत्पाद की गणना करके दो गैर-शून्य वैक्टर के बीच का कोण। परिभाषा के अनुसार, उत्पाद लंबाई और उनके बीच के कोण के उत्पाद के बराबर है। दूसरी ओर, निर्देशांक (x1; y1) के साथ दो वैक्टर a और निर्देशांक (x2; y2) के साथ b के लिए अदिश उत्पाद की गणना की जाती है: ab = x1x2 + y1y2। इन दो तरीकों में से, डॉट उत्पाद आसानी से वैक्टर के बीच का कोण है।

सदिशों की लंबाई या परिमाण ज्ञात कीजिए। हमारे वैक्टर ए और बी के लिए: |ए| = (x1² + y1²)^1/2, |बी| = (x2² + y2²)^1/2.

सदिशों के निर्देशांकों को युग्मों में गुणा करके उनका अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए: ab = x1x2 + y1y2। अदिश गुणनफल की परिभाषा से ab = |a|*|b|*cos α, जहां α सदिशों के बीच का कोण है। तब हमें वह मिलता है x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. फिर cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करके कोण α ज्ञात करें।

विषय पर वीडियो

टिप्पणी

अदिश गुणनफल सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की एक अदिश विशेषता है।

समतल ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। एक समतल एक सतह है जिसके लिए निम्नलिखित कथन सत्य है: इसके दो बिंदुओं को जोड़ने वाली कोई भी सीधी रेखा पूरी तरह से इस सतह से संबंधित होती है। समतलों को आमतौर पर ग्रीक अक्षरों α, β, γ आदि से दर्शाया जाता है। दो तल हमेशा एक सीधी रेखा पर प्रतिच्छेद करते हैं जो दोनों तलों से संबंधित होती है।

निर्देश

आइए हम के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित अर्ध-तल α और β पर विचार करें। एक सीधी रेखा a और दो अर्ध-तल α और β द्वारा एक डायहेड्रल कोण द्वारा बनाया गया कोण। इस मामले में, आधे तल अपने चेहरों के साथ एक डायहेड्रल कोण बनाते हैं, सीधी रेखा ए जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं उसे डायहेड्रल कोण का किनारा कहा जाता है।

डायहेड्रल कोण, समतल कोण की तरह, डिग्री में होता है। एक डायहेड्रल कोण बनाने के लिए, आपको इसके चेहरे पर एक मनमाना बिंदु O का चयन करना होगा, दोनों में, बिंदु O के माध्यम से दो किरणें खींची जाती हैं। बनने वाले कोण AOB को रैखिक डायहेड्रल कोण a कहा जाता है।

तो, मान लीजिए कि वेक्टर V = (a, b, c) और समतल A x + B y + C z = 0 दिया गया है, जहां A, B और C सामान्य N के निर्देशांक हैं। फिर कोण की कोज्या वैक्टर V और N के बीच α बराबर है: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))।

डिग्री या रेडियन में कोण की गणना करने के लिए, आपको परिणामी अभिव्यक्ति से कोसाइन फ़ंक्शन के व्युत्क्रम की गणना करने की आवश्यकता है, अर्थात। आर्ककोसाइन:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)))।

उदाहरण: खोजें कोनाबीच में वेक्टर(5, -3, 8) और विमान, सामान्य समीकरण 2 x - 5 y + 3 z = 0 द्वारा दिया गया है। समाधान: समतल N = (2, -5, 3) के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक लिखें। दिए गए सूत्र में सभी ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°।

विषय पर वीडियो

एक समानता बनाएं और उसमें से कोसाइन को अलग करें। एक सूत्र के अनुसार, सदिशों का अदिश गुणनफल उनकी लंबाई को एक दूसरे से और कोज्या से गुणा करने के बराबर होता है कोण, और दूसरे पर - प्रत्येक अक्ष के साथ निर्देशांक के उत्पादों का योग। दोनों सूत्रों को बराबर करने पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोज्या कोणनिर्देशांकों के गुणनफल के योग और सदिशों की लंबाई के गुणनफल के अनुपात के बराबर होना चाहिए।

परिणामी समानता लिखिए। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों वैक्टर को नामित करने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि वे त्रि-आयामी कार्टेशियन प्रणाली में दिए गए हैं और उनके शुरुआती बिंदु एक समन्वय ग्रिड में हैं। पहले वेक्टर की दिशा और परिमाण बिंदु (X₁,Y₁,Z₁) द्वारा दिया जाएगा, दूसरे - (X₂,Y₂,Z₂) द्वारा, और कोण को अक्षर γ द्वारा निर्दिष्ट किया जाएगा। फिर प्रत्येक वैक्टर की लंबाई, उदाहरण के लिए, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, प्रत्येक समन्वय अक्ष पर उनके प्रक्षेपणों द्वारा बनाई जा सकती है: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) और √(X₂² + Y₂² + Z₂²)। पिछले चरण में तैयार किए गए सूत्र में इन अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करें और आपको समानता मिलेगी: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

इस तथ्य का उपयोग करें कि चुकता का योग ज्याऔर सह ज्यासे कोणसमान मात्रा का सदैव एक देता है। इसका मतलब यह है कि पिछले चरण में जो प्राप्त हुआ था उसे बढ़ाकर ज्याएक से चुकता करना और घटाना, और फिर

दो सदिशों के बीच का कोण :

यदि दो सदिशों के बीच का कोण न्यूनकोण है, तो उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होता है; यदि सदिशों के बीच का कोण अधिक है, तो इन सदिशों का अदिश गुणनफल ऋणात्मक होता है। दो अशून्य सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि ये सदिश ऑर्थोगोनल हों।

व्यायाम।सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधान।वांछित कोण की कोज्या

16. सीधी रेखाओं, सीधी रेखा और समतल के बीच के कोण की गणना

एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण, इस रेखा को प्रतिच्छेद करता है और इसके लंबवत नहीं, रेखा और इस तल पर इसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है।

एक रेखा और एक समतल के बीच के कोण को निर्धारित करने से हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है कि एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण है: सीधी रेखा और समतल पर उसका प्रक्षेपण। इसलिए, एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण एक न्यून कोण होता है।

एक लंबवत सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण बराबर माना जाता है, और एक समानांतर सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण या तो बिल्कुल निर्धारित नहीं किया जाता है या बराबर माना जाता है।

§ 69. सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की समस्या को उसी तरह हल किया जाता है जैसे किसी समतल (§ 32) पर। आइए हम रेखाओं के बीच के कोण के परिमाण को φ से निरूपित करें एल 1 और एल 2, और ψ के माध्यम से - दिशा वैक्टर के बीच कोण का परिमाण ए और बी ये सीधी रेखाएँ.

तो अगर

ψ 90° (चित्र 206.6), तो φ = 180° - ψ। जाहिर है, दोनों ही मामलों में समानता cos φ = |cos ψ| सत्य है। सूत्र (1) §20 के अनुसार हमारे पास है

इस तरह,

मान लीजिए कि रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं

फिर रेखाओं के बीच का कोण φ सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है

यदि रेखाओं में से एक (या दोनों) गैर-विहित समीकरणों द्वारा दी गई है, तो कोण की गणना करने के लिए आपको इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक खोजने होंगे, और फिर सूत्र (1) का उपयोग करना होगा।

17. समानांतर रेखाएँ, समानांतर रेखाओं पर प्रमेय

परिभाषा।एक समतल में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतर, यदि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं को कहा जाता है समानांतर, यदि वे एक ही तल में हों और उनमें उभयनिष्ठ बिंदु न हों।

दो सदिशों के बीच का कोण.

डॉट उत्पाद की परिभाषा से:

.

दो सदिशों की रूढ़िवादिता के लिए शर्त:

दो सदिशों की संरेखता के लिए शर्त:

.

परिभाषा 5 से अनुसरण करता है - . दरअसल, एक वेक्टर और एक संख्या के उत्पाद की परिभाषा से, यह निम्नानुसार है। अतः सदिशों की समानता के नियम के आधार पर हम लिखते हैं , , , जिसका तात्पर्य है . लेकिन वेक्टर को संख्या से गुणा करने पर प्राप्त वेक्टर वेक्टर के संरेख होता है।

वेक्टर का वेक्टर पर प्रक्षेपण:

.

उदाहरण 4. दिए गए अंक , , , .

डॉट उत्पाद ढूंढें.

समाधान. हम उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट सदिशों के अदिश गुणनफल के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए पाते हैं। क्योंकि

, ,

उदाहरण 5.दिए गए अंक , , , .

प्रक्षेपण खोजें.

समाधान. क्योंकि

, ,

प्रक्षेपण सूत्र के आधार पर, हमारे पास है

.

उदाहरण 6.दिए गए अंक , , , .

सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान. ध्यान दें कि वेक्टर

, ,

संरेख नहीं हैं क्योंकि उनके निर्देशांक आनुपातिक नहीं हैं:

.

ये सदिश भी लंबवत नहीं हैं, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है।

पता लगाते हैं

कोना हम सूत्र से पाते हैं:

.

उदाहरण 7.निर्धारित करें कि कौन से वैक्टर और संरेख.

समाधान. संरेखता के मामले में, सदिशों के संगत निर्देशांक और आनुपातिक होना चाहिए, अर्थात:

.

इसलिए और.

उदाहरण 8. वेक्टर के किस मान पर निर्धारित करें और लंबवत.

समाधान. वेक्टर और लंबवत हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य है। इस स्थिति से हमें प्राप्त होता है: . वह है, ।

उदाहरण 9. खोजो , अगर , , ।

समाधान. अदिश उत्पाद के गुणों के कारण, हमारे पास है:

उदाहरण 10. सदिशों और, कहां और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए - इकाई सदिश और सदिशों के बीच का कोण 120° के बराबर है।

समाधान. हमारे पास है: , ,

अंततः हमारे पास है: .

5 बी. वेक्टर कलाकृति.

परिभाषा 21.वेक्टर कलाकृतिवेक्टर द्वारा वेक्टर को वेक्टर कहा जाता है, या, निम्नलिखित तीन स्थितियों द्वारा परिभाषित किया गया है:

1) सदिश का मापांक बराबर होता है, सदिशों और के बीच का कोण कहां होता है, यानी। .

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश उत्पाद का मापांक संख्यात्मक रूप से सदिशों और दोनों पक्षों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

2) वेक्टर प्रत्येक वेक्टर के लंबवत है और ( ; ), यानी। सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के तल के लंबवत तथा।

3) वेक्टर को इस तरह से निर्देशित किया जाता है कि यदि इसके अंत से देखा जाए, तो वेक्टर से वेक्टर तक की सबसे छोटी मोड़ वामावर्त होगी (वेक्टर, दाएं हाथ के ट्रिपल का निर्माण करते हैं)।

सदिशों के बीच के कोणों की गणना कैसे करें?

ज्यामिति का अध्ययन करते समय सदिशों के विषय पर कई प्रश्न उठते हैं। जब सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करना आवश्यक होता है तो विद्यार्थी को विशेष कठिनाइयों का अनुभव होता है।

मूल शर्तें

सदिशों के बीच के कोणों को देखने से पहले, सदिश की परिभाषा और सदिशों के बीच के कोण की अवधारणा से परिचित होना आवश्यक है।

वेक्टर एक खंड है जिसकी एक दिशा होती है, अर्थात, एक खंड जिसके लिए इसकी शुरुआत और अंत परिभाषित होते हैं।

एक समतल पर दो सदिशों के बीच का कोण, जिनकी उत्पत्ति समान होती है, उन कोणों में से उस मात्रा से छोटा होता है, जब तक कि उनकी दिशाएँ मेल न खाएँ, उनमें से एक सदिश को उभयनिष्ठ बिंदु के चारों ओर ले जाने की आवश्यकता होती है।

समाधान का सूत्र

एक बार जब आप समझ जाते हैं कि वेक्टर क्या है और इसका कोण कैसे निर्धारित होता है, तो आप वेक्टरों के बीच के कोण की गणना कर सकते हैं। इसके लिए समाधान सूत्र काफी सरल है, और इसके अनुप्रयोग का परिणाम कोण की कोज्या का मान होगा। परिभाषा के अनुसार, यह सदिशों के अदिश गुणनफल के भागफल और उनकी लंबाई के गुणनफल के बराबर है।

सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कारक सदिशों के संगत निर्देशांकों को एक दूसरे से गुणा करने के योग के रूप में की जाती है। एक वेक्टर की लंबाई, या उसके मापांक की गणना उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में की जाती है।

कोण की कोज्या का मान प्राप्त करने के बाद, आप कैलकुलेटर का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करके कोण के मान की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण

एक बार जब आप यह समझ लें कि सदिशों के बीच के कोण की गणना कैसे करें, तो संबंधित समस्या को हल करना सरल और स्पष्ट हो जाएगा। उदाहरण के तौर पर, किसी कोण का मान ज्ञात करने की सरल समस्या पर विचार करना उचित है।

सबसे पहले, समाधान के लिए आवश्यक वेक्टर लंबाई और उनके अदिश उत्पाद के मूल्यों की गणना करना अधिक सुविधाजनक होगा। ऊपर प्रस्तुत विवरण का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:

प्राप्त मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित कोण की कोज्या के मान की गणना करते हैं:

यह संख्या पांच सामान्य कोज्या मानों में से एक नहीं है, इसलिए कोण प्राप्त करने के लिए, आपको कैलकुलेटर या ब्रैडिस त्रिकोणमिति तालिका का उपयोग करना होगा। लेकिन सदिशों के बीच का कोण प्राप्त करने से पहले, अतिरिक्त नकारात्मक चिह्न से छुटकारा पाने के लिए सूत्र को सरल बनाया जा सकता है:

सटीकता बनाए रखने के लिए, अंतिम उत्तर को वैसे ही छोड़ा जा सकता है, या आप कोण के मान की गणना डिग्री में कर सकते हैं। ब्रैडिस तालिका के अनुसार, इसका मान लगभग 116 डिग्री और 70 मिनट होगा, और कैलकुलेटर 116.57 डिग्री का मान दिखाएगा।

एन-आयामी अंतरिक्ष में एक कोण की गणना

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो वैक्टरों पर विचार करते समय, यह समझना बहुत मुश्किल है कि हम किस कोण के बारे में बात कर रहे हैं यदि वे एक ही विमान में नहीं हैं। धारणा को सरल बनाने के लिए, आप दो प्रतिच्छेदी खंड बना सकते हैं जो उनके बीच सबसे छोटा कोण बनाते हैं, यह वांछित होगा। भले ही वेक्टर में तीसरा निर्देशांक है, फिर भी वेक्टर के बीच के कोणों की गणना करने की प्रक्रिया नहीं बदलेगी। सदिशों के अदिश गुणनफल और मापांक की गणना करें; उनके भागफल की चाप कोज्या इस समस्या का उत्तर होगी।

ज्यामिति में, अक्सर उन स्थानों के साथ समस्याएँ होती हैं जिनमें तीन से अधिक आयाम होते हैं। लेकिन उनके लिए, उत्तर खोजने का एल्गोरिदम समान दिखता है।

0 और 180 डिग्री के बीच अंतर

सदिशों के बीच के कोण की गणना करने के लिए डिज़ाइन की गई समस्या का उत्तर लिखते समय सामान्य गलतियों में से एक यह लिखने का निर्णय है कि सदिश समानांतर हैं, अर्थात वांछित कोण 0 या 180 डिग्री के बराबर है। यह उत्तर ग़लत है.

समाधान के परिणामस्वरूप 0 डिग्री का कोण मान प्राप्त करने के बाद, सही उत्तर वैक्टर को सह-दिशात्मक के रूप में नामित करना होगा, अर्थात, वैक्टर की दिशा समान होगी। यदि 180 डिग्री प्राप्त की जाती है, तो सदिश विपरीत दिशा में निर्देशित होंगे।

विशिष्ट सदिश

सदिशों के बीच के कोणों को खोजने के बाद, आप ऊपर वर्णित सह-दिशात्मक और विपरीत-दिशात्मक कोणों के अलावा, विशेष प्रकारों में से एक पा सकते हैं।

• एक तल के समानांतर कई सदिश समतलीय कहलाते हैं।
• वे सदिश जो लंबाई और दिशा में समान होते हैं, समान कहलाते हैं।
• वे सदिश जो दिशा की परवाह किए बिना एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, संरेख कहलाते हैं।
• यदि किसी सदिश की लंबाई शून्य है, अर्थात उसका आरंभ और अंत संपाती है, तो उसे शून्य कहते हैं, और यदि एक है, तो इकाई।

सदिशों के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?

कृपया मेरी मदद करो! मैं सूत्र जानता हूं, लेकिन मैं इसकी गणना नहीं कर सकता ((
वेक्टर ए (8; 10; 4) वेक्टर बी (5; -20; -10)

अलेक्जेंडर टिटोव

उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट वैक्टरों के बीच का कोण एक मानक एल्गोरिदम का उपयोग करके पाया जाता है। सबसे पहले आपको सदिश a और b का अदिश गुणनफल ज्ञात करना होगा: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2। हम यहां इन वैक्टरों के निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:
(ए,बी) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200।
इसके बाद, हम प्रत्येक वेक्टर की लंबाई निर्धारित करते हैं। किसी सदिश की लंबाई या मापांक उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है:
|ए| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) का मूल = (8^2 + 10^2 + 4^2) का मूल = (64 + 100 + 16) का मूल = 180 का मूल = 6 मूल 5
|बी| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) का मूल = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) का मूल = (25 + 400 + 100) का मूल = मूल 525 में से = 21 में से 5 मूल।
हम इन लंबाईयों को गुणा करते हैं। हमें 105 में से 30 जड़ें मिलती हैं।
और अंत में, हम सदिशों के अदिश गुणनफल को इन सदिशों की लंबाई के गुणनफल से विभाजित करते हैं। हमें -200/(105 के 30 मूल) या मिलते हैं
- (105 के 4 मूल) / 63। यह सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है। और कोण स्वयं इस संख्या की चाप कोज्या के बराबर है
एफ = आर्ककोस (-105 की 4 जड़ें) / 63।
अगर मैंने सब कुछ सही ढंग से गिना।

सदिशों के निर्देशांकों का उपयोग करके सदिशों के बीच के कोण की ज्या की गणना कैसे करें

मिखाइल तकाचेव

आइए इन सदिशों को गुणा करें। उनका अदिश गुणनफल इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है।
कोण हमारे लिए अज्ञात है, लेकिन निर्देशांक ज्ञात हैं।
आइए इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखें।
मान लीजिए सदिश a(x1;y1) और b(x2;y2) दिए गए हैं
तब

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

चलो बात करते हैं।
सदिशों का a*b-अदिश गुणनफल इन सदिशों के निर्देशांकों के संगत निर्देशांकों के गुणनफल के योग के बराबर होता है, अर्थात x1*x2+y1*y2 के बराबर

|a|*|b|-वेक्टर लंबाई का उत्पाद √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) के बराबर है।

इसका अर्थ है कि सदिशों के बीच के कोण की कोज्या इसके बराबर है:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

किसी कोण की कोज्या जानकर हम उसकी ज्या की गणना कर सकते हैं। आइए चर्चा करें कि यह कैसे करें:

यदि किसी कोण की कोज्या धनात्मक है, तो यह कोण 1 या 4 चतुर्थांशों में स्थित होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी ज्या या तो धनात्मक या ऋणात्मक है। लेकिन चूंकि सदिशों के बीच का कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर है, तो इसकी ज्या धनात्मक है। यदि कोज्या ऋणात्मक है तो हम इसी तरह तर्क करते हैं।

SynA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

बस इतना ही)))) इसका पता लगाने के लिए शुभकामनाएँ)))

दिमित्री लेविश्चेव

यह तथ्य कि सीधे साइन करना असंभव है, सत्य नहीं है।
सूत्र के अतिरिक्त:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
वहाँ यह भी है:
||=|ए|*|बी|*पाप ए
अर्थात् अदिश गुणनफल के स्थान पर आप सदिश गुणनफल का मापांक ले सकते हैं।

वैक्टर का डॉट उत्पाद

हम वैक्टर से निपटना जारी रखते हैं। पहले पाठ में डमी के लिए वेक्टरहमने वेक्टर की अवधारणा, वेक्टर के साथ क्रियाएं, वेक्टर निर्देशांक और वेक्टर के साथ सबसे सरल समस्याओं को देखा। यदि आप किसी खोज इंजन से पहली बार इस पृष्ठ पर आए हैं, तो मैं दृढ़ता से उपरोक्त परिचयात्मक लेख को पढ़ने की सलाह देता हूं, क्योंकि सामग्री में महारत हासिल करने के लिए आपको मेरे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों और नोटेशन से परिचित होना होगा, वैक्टर के बारे में बुनियादी ज्ञान होना चाहिए और बुनियादी समस्याओं का समाधान कर सकेंगे. यह पाठ विषय की तार्किक निरंतरता है, और इसमें मैं उन विशिष्ट कार्यों का विस्तार से विश्लेषण करूंगा जो वैक्टर के अदिश उत्पाद का उपयोग करते हैं। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण गतिविधि है.. उदाहरणों को न छोड़ने का प्रयास करें; वे एक उपयोगी बोनस के साथ आते हैं - अभ्यास आपको आपके द्वारा कवर की गई सामग्री को समेकित करने और विश्लेषणात्मक ज्यामिति में सामान्य समस्याओं को हल करने में बेहतर बनाने में मदद करेगा।

सदिशों का योग, किसी सदिश का किसी संख्या से गुणा.... यह सोचना मूर्खतापूर्ण होगा कि गणितज्ञ कुछ और लेकर नहीं आए हैं। पहले से चर्चा की गई कार्रवाइयों के अलावा, वैक्टर के साथ कई अन्य ऑपरेशन भी हैं, अर्थात्: वैक्टर का डॉट उत्पाद, सदिशों का सदिश गुणनफलऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद. सदिशों का अदिश गुणनफल हमें स्कूल से ही ज्ञात है; अन्य दो गुणनफल परंपरागत रूप से उच्च गणित के पाठ्यक्रम से संबंधित हैं। विषय सरल हैं, कई समस्याओं को हल करने का एल्गोरिदम सीधा और समझने योग्य है। एकमात्र वस्तु। इसमें पर्याप्त मात्रा में जानकारी है, इसलिए हर चीज में एक बार में महारत हासिल करने और उसे हल करने का प्रयास करना अवांछनीय है। यह डमी लोगों के लिए विशेष रूप से सच है; मेरा विश्वास करें, लेखक बिल्कुल भी गणित से चिकोटिलो जैसा महसूस नहीं करना चाहता। ठीक है, निश्चित रूप से, गणित से भी नहीं =) अधिक तैयार छात्र सामग्री का चयनात्मक रूप से उपयोग कर सकते हैं, एक निश्चित अर्थ में, मैं आपके लिए लापता ज्ञान को "प्राप्त" करूंगा, मैं एक हानिरहित काउंट ड्रैकुला बनूंगा =)

आइए अंततः दरवाज़ा खोलें और उत्साह से देखें कि क्या होता है जब दो वेक्टर एक-दूसरे से मिलते हैं...

सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा।
अदिश उत्पाद के गुण. विशिष्ट कार्य

डॉट उत्पाद की अवधारणा

पहले के बारे में सदिशों के बीच का कोण. मुझे लगता है कि हर कोई सहज रूप से समझता है कि वैक्टर के बीच का कोण क्या है, लेकिन बस मामले में, थोड़ा और विवरण। आइए मुक्त अशून्य सदिशों और पर विचार करें। यदि आप इन वैक्टरों को एक मनमाने बिंदु से प्लॉट करते हैं, तो आपको एक ऐसी तस्वीर मिलेगी जिसकी कल्पना कई लोग पहले ही मानसिक रूप से कर चुके हैं:

मैं मानता हूं, यहां मैंने स्थिति का वर्णन केवल समझ के स्तर पर किया है। यदि आपको सदिशों के बीच के कोण की सख्त परिभाषा की आवश्यकता है, तो कृपया व्यावहारिक समस्याओं के लिए पाठ्यपुस्तक देखें, सिद्धांत रूप में, यह हमारे लिए किसी काम की नहीं है। इसके अलावा यहां और यहां मैं स्थानों में शून्य वैक्टरों को उनके कम व्यावहारिक महत्व के कारण नजरअंदाज कर दूंगा। मैंने विशेष रूप से उन्नत साइट आगंतुकों के लिए आरक्षण किया है जो बाद के कुछ बयानों की सैद्धांतिक अपूर्णता के लिए मुझे फटकार लगा सकते हैं।

0 से 180 डिग्री (0 से रेडियन) तक मान ले सकते हैं। विश्लेषणात्मक दृष्टि से यह तथ्य दोहरी असमानता के रूप में लिखा गया है: या (रेडियन में).

साहित्य में, कोण चिह्न को अक्सर छोड़ दिया जाता है और बस लिख दिया जाता है।

परिभाषा:दो सदिशों का अदिश गुणनफल इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर एक संख्या है:

अब यह काफी सख्त परिभाषा है.

हम आवश्यक जानकारी पर ध्यान केंद्रित करते हैं:

पद का नाम:अदिश गुणनफल को या द्वारा निरूपित किया जाता है।

ऑपरेशन का परिणाम एक संख्या है: वेक्टर को वेक्टर से गुणा किया जाता है, और परिणाम एक संख्या होती है। वास्तव में, यदि सदिशों की लंबाई संख्याएँ हैं, किसी कोण की कोज्या एक संख्या है, तो उनका गुणनफल भी एक संख्या होगी.

बस कुछ वार्म-अप उदाहरण:

उदाहरण 1

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं . इस मामले में:

उत्तर:

कोसाइन मान पाए जा सकते हैं त्रिकोणमितीय तालिका. मैं इसे प्रिंट करने की अनुशंसा करता हूं - टावर के लगभग सभी अनुभागों में इसकी आवश्यकता होगी और कई बार इसकी आवश्यकता होगी।

विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, अदिश उत्पाद आयामहीन है, अर्थात, इस मामले में परिणाम, केवल एक संख्या है और बस इतना ही। भौतिकी समस्याओं के दृष्टिकोण से, एक अदिश उत्पाद का हमेशा एक निश्चित भौतिक अर्थ होता है, अर्थात परिणाम के बाद एक या किसी अन्य भौतिक इकाई को इंगित किया जाना चाहिए। किसी बल के कार्य की गणना का एक विहित उदाहरण किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है (सूत्र बिल्कुल एक अदिश गुणनफल है)। बल का कार्य जूल में मापा जाता है, इसलिए, उत्तर काफी विशिष्ट रूप से लिखा जाएगा, उदाहरण के लिए,।

उदाहरण 2

यदि खोजें , और सदिशों के बीच का कोण बराबर है।

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है, इसका उत्तर पाठ के अंत में है।

वैक्टर और डॉट उत्पाद मान के बीच का कोण

उदाहरण 1 में अदिश गुणनफल सकारात्मक निकला, और उदाहरण 2 में यह नकारात्मक निकला। आइए जानें कि अदिश गुणनफल का चिह्न किस पर निर्भर करता है। आइए हमारे सूत्र पर नजर डालें: . गैर-शून्य सदिशों की लंबाई हमेशा धनात्मक होती है:, इसलिए चिह्न केवल कोज्या के मान पर निर्भर हो सकता है।

टिप्पणी: नीचे दी गई जानकारी को बेहतर ढंग से समझने के लिए, मैनुअल में कोसाइन ग्राफ का अध्ययन करना बेहतर है फ़ंक्शन ग्राफ़ और गुण. देखें कि कोसाइन खंड पर कैसे व्यवहार करता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सदिशों के बीच का कोण भिन्न-भिन्न हो सकता है , और निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1) यदि कोनावैक्टर के बीच मसालेदार: (0 से 90 डिग्री तक), फिर , और डॉट उत्पाद सकारात्मक होगा सह-निर्देशन किया, तो उनके बीच का कोण शून्य माना जाता है, और अदिश गुणनफल भी धनात्मक होगा। चूंकि, सूत्र सरल करता है:।

2) यदि कोनावैक्टर के बीच कुंद: (90 से 180 डिग्री तक), फिर , और तदनुसार, डॉट उत्पाद नकारात्मक है: . विशेष मामला: यदि सदिश विपरीत दिशाओं मे, तो उनके बीच का कोण माना जाता है विस्तार: (180 डिग्री). चूँकि अदिश गुणनफल भी ऋणात्मक है

विपरीत कथन भी सत्य हैं:

1) यदि , तो इन सदिशों के बीच का कोण न्यूनकोण है। वैकल्पिक रूप से, सदिश सह-दिशात्मक होते हैं।

2) यदि, तो इन सदिशों के बीच का कोण अधिक कोण है। वैकल्पिक रूप से, वेक्टर विपरीत दिशाओं में हैं।

लेकिन तीसरा मामला विशेष रुचि का है:

3) यदि कोनावैक्टर के बीच सीधा: (90 डिग्री), फिर अदिश गुणनफल शून्य है: . इसका विपरीत भी सत्य है: यदि , तो . कथन को इस प्रकार संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है: दो सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि सदिश लंबकोणीय हों. लघु गणित संकेतन:

! टिप्पणी : चलिए दोहराते हैं गणितीय तर्क की मूल बातें: एक दोतरफा तार्किक परिणाम आइकन को आमतौर पर "यदि और केवल यदि", "यदि और केवल यदि" पढ़ा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीर दोनों दिशाओं में निर्देशित हैं - "इससे यह अनुसरण करता है, और इसके विपरीत - इससे यह अनुसरण करता है।" वैसे, वन-वे फॉलो आइकन से क्या अंतर है? आइकन बताता है उतना ही, कि "इससे इसका अनुसरण होता है," और यह तथ्य नहीं है कि विपरीत सत्य है। उदाहरण के लिए: , लेकिन हर जानवर तेंदुआ नहीं है, इसलिए इस मामले में आप आइकन का उपयोग नहीं कर सकते। उसी समय, आइकन के बजाय कर सकनाएकतरफ़ा आइकन का उपयोग करें. उदाहरण के लिए, समस्या को हल करते समय, हमें पता चला कि हमने निष्कर्ष निकाला है कि वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं: - ऐसी प्रविष्टि सही होगी, और उससे भी अधिक उपयुक्त होगी .

तीसरे मामले का बड़ा व्यावहारिक महत्व है, क्योंकि यह आपको यह जांचने की अनुमति देता है कि वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं या नहीं। हम इस समस्या को पाठ के दूसरे भाग में हल करेंगे।

डॉट उत्पाद के गुण

आइए उस स्थिति पर लौटते हैं जब दो वैक्टर सह-निर्देशन किया. इस स्थिति में, उनके बीच का कोण शून्य है, और अदिश उत्पाद सूत्र रूप लेता है:।

यदि किसी सदिश को स्वयं से गुणा किया जाए तो क्या होगा? यह स्पष्ट है कि वेक्टर स्वयं के साथ संरेखित है, इसलिए हम उपरोक्त सरलीकृत सूत्र का उपयोग करते हैं:

नंबर पर कॉल किया जाता है अदिश वर्गवेक्टर, और के रूप में दर्शाया गया है।

इस प्रकार, एक वेक्टर का अदिश वर्ग दिए गए वेक्टर की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है:

इस समानता से हम वेक्टर की लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

अभी तक यह अस्पष्ट लगता है, लेकिन पाठ के उद्देश्य सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे। समस्याओं का समाधान भी हमें चाहिए डॉट उत्पाद के गुण.

मनमाना वैक्टर और किसी भी संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1)- क्रमविनिमेय या विनिमेयअदिश उत्पाद कानून.

2) – वितरण या विभाजित करनेवालाअदिश उत्पाद कानून. बस, आप कोष्ठक खोल सकते हैं.

3) – साहचर्य या जोड़नेवालाअदिश उत्पाद कानून. स्थिरांक को अदिश गुणनफल से प्राप्त किया जा सकता है।

अक्सर, सभी प्रकार के गुणों (जिन्हें सिद्ध करने की भी आवश्यकता होती है!) को छात्रों द्वारा अनावश्यक बकवास के रूप में माना जाता है, जिन्हें केवल याद रखने और परीक्षा के तुरंत बाद सुरक्षित रूप से भूल जाने की आवश्यकता होती है। ऐसा प्रतीत होता है कि यहां जो महत्वपूर्ण है, हर कोई पहली कक्षा से पहले से ही जानता है कि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से उत्पाद नहीं बदलता है:। मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए कि उच्च गणित में इस तरह के दृष्टिकोण से चीजों को गड़बड़ाना आसान है। इसलिए, उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय गुण सत्य नहीं है बीजगणितीय आव्यूह. यह भी सच नहीं है सदिशों का सदिश गुणनफल. इसलिए, यह समझने के लिए कि आप क्या कर सकते हैं और क्या नहीं कर सकते हैं, कम से कम, उच्च गणित पाठ्यक्रम में आपके सामने आने वाले किसी भी गुण में गहराई से जाना बेहतर है।

उदाहरण 3

.

समाधान:सबसे पहले, आइए वेक्टर के साथ स्थिति स्पष्ट करें। आख़िर ये क्या है? सदिशों का योग एक सुपरिभाषित सदिश है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है। वैक्टर के साथ क्रियाओं की ज्यामितीय व्याख्या लेख में पाई जा सकती है डमी के लिए वेक्टर. सदिश के साथ वही अजमोद सदिशों और का योग है।

अतः शर्त के अनुसार अदिश गुणनफल ज्ञात करना आवश्यक है। सिद्धांत रूप में, आपको कार्य सूत्र लागू करने की आवश्यकता है , लेकिन परेशानी यह है कि हम सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण को नहीं जानते हैं। लेकिन शर्त वैक्टर के लिए समान पैरामीटर देती है, इसलिए हम एक अलग रास्ता अपनाएंगे:

(1) सदिशों के भावों को प्रतिस्थापित करें।

(2) हम बहुपदों को गुणा करने के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं, एक अश्लील जीभ ट्विस्टर लेख में पाया जा सकता है जटिल आंकड़ेया भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन को एकीकृत करना. मैं खुद को नहीं दोहराऊंगा =) वैसे, अदिश उत्पाद की वितरणात्मक संपत्ति हमें कोष्ठक खोलने की अनुमति देती है। हमारा अधिकार है.

(3) पहले और अंतिम पदों में हम सदिशों के अदिश वर्गों को संक्षिप्त रूप से लिखते हैं: . दूसरे पद में हम अदिश उत्पाद की क्रमपरिवर्तनशीलता का उपयोग करते हैं:।

(4) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:।

(5) पहले पद में हम अदिश वर्ग सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसका उल्लेख बहुत पहले नहीं किया गया था। अंतिम कार्यकाल में, तदनुसार, वही काम करता है:। हम मानक सूत्र के अनुसार दूसरे पद का विस्तार करते हैं .

(6) इन शर्तों को प्रतिस्थापित करें , और अंतिम गणना सावधानीपूर्वक करें।

उत्तर:

अदिश गुणनफल का ऋणात्मक मान इस तथ्य को बताता है कि सदिशों के बीच का कोण अधिक है।

समस्या विशिष्ट है, इसे स्वयं हल करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 4

सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए और यदि यह ज्ञात हो .

अब एक और सामान्य कार्य, वेक्टर की लंबाई के लिए नए सूत्र के लिए। यहां नोटेशन थोड़ा ओवरलैपिंग होगा, इसलिए स्पष्टता के लिए मैं इसे एक अलग अक्षर के साथ फिर से लिखूंगा:

उदाहरण 5

यदि वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें .

समाधानइस प्रकार होगा:

(1) हम वेक्टर के लिए अभिव्यक्ति प्रदान करते हैं।

(2) हम लंबाई सूत्र का उपयोग करते हैं:, जबकि संपूर्ण अभिव्यक्ति ve वेक्टर "ve" के रूप में कार्य करती है।

(3) हम योग के वर्ग के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि यह यहां कैसे उत्सुकतापूर्वक काम करता है: - यह वास्तव में अंतर का वर्ग है, और, वास्तव में, यह इसी तरह है। जो लोग चाहते हैं वे सदिशों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: - यही बात तब होती है, जब तक कि पदों को पुनर्व्यवस्थित नहीं किया जाता।

(4) निम्नलिखित दो पिछली समस्याओं से पहले से ही परिचित है।

उत्तर:

चूँकि हम लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, आयाम - "इकाइयों" को इंगित करना न भूलें।

उदाहरण 6

यदि वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें .

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

हम डॉट उत्पाद से उपयोगी चीजें निकालना जारी रखते हैं। आइए अपने सूत्र पर फिर से नजर डालें . अनुपात के नियम का उपयोग करते हुए, हम सदिशों की लंबाई को बाईं ओर के हर पर रीसेट करते हैं:

आइए भागों की अदला-बदली करें:

इस सूत्र का अर्थ क्या है? यदि दो सदिशों की लंबाई और उनका अदिश गुणनफल ज्ञात हो, तो हम इन सदिशों के बीच के कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं, और, परिणामस्वरूप, कोण की गणना कर सकते हैं।

क्या डॉट उत्पाद एक संख्या है? संख्या। क्या सदिश लंबाई संख्याएँ हैं? संख्याएँ। इसका मतलब यह है कि भिन्न भी एक संख्या है. और यदि कोण की कोज्या ज्ञात हो: , तो व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके कोण को स्वयं खोजना आसान है: .

उदाहरण 7

सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए और यदि यह ज्ञात हो।

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

गणना के अंतिम चरण में, एक तकनीकी तकनीक का उपयोग किया गया - हर में अतार्किकता को समाप्त करना। अतार्किकता को खत्म करने के लिए, मैंने अंश और हर को से गुणा किया।

तो यदि , वह:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात किया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. हालाँकि ऐसा कम ही होता है. विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, अक्सर कुछ अनाड़ी भालू जैसे होते हैं, और कोण का मान लगभग कैलकुलेटर का उपयोग करके ज्ञात करना पड़ता है। दरअसल, ऐसी तस्वीर हम एक से ज्यादा बार देखेंगे।

उत्तर:

फिर, आयाम - रेडियन और डिग्री इंगित करना न भूलें। व्यक्तिगत रूप से, स्पष्ट रूप से "सभी प्रश्नों को हल करने" के लिए, मैं दोनों को इंगित करना पसंद करता हूं (जब तक कि शर्त के लिए, निश्चित रूप से, उत्तर को केवल रेडियंस में या केवल डिग्री में प्रस्तुत करने की आवश्यकता न हो)।

अब आप स्वतंत्र रूप से अधिक जटिल कार्य का सामना कर सकते हैं:

उदाहरण 7*

सदिशों की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है। सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यह कार्य इतना कठिन नहीं है क्योंकि यह बहु-चरणीय है।
आइए समाधान एल्गोरिदम देखें:

1) शर्त के अनुसार, आपको सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात करना होगा, इसलिए आपको सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है .

2) अदिश गुणनफल ज्ञात करें (उदाहरण संख्या 3, 4 देखें)।

3) सदिश की लंबाई और सदिश की लंबाई ज्ञात करें (उदाहरण संख्या 5, 6 देखें)।

4) समाधान का अंत उदाहरण संख्या 7 से मेल खाता है - हम संख्या जानते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण को स्वयं खोजना आसान है:

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

पाठ का दूसरा भाग उसी अदिश गुणनफल को समर्पित है। निर्देशांक. यह पहले भाग से भी आसान होगा.

वैक्टर का डॉट उत्पाद,
लम्बवत आधार पर निर्देशांक द्वारा दिया गया

उत्तर:

कहने की जरूरत नहीं है, निर्देशांक से निपटना अधिक सुखद है।

उदाहरण 14

सदिशों और यदि का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। यहां आप ऑपरेशन की सहयोगीता का उपयोग कर सकते हैं, यानी, गिनती न करें, लेकिन तुरंत स्केलर उत्पाद के बाहर ट्रिपल लें और इसे अंतिम से गुणा करें। समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

पैराग्राफ के अंत में, वेक्टर की लंबाई की गणना पर एक उत्तेजक उदाहरण:

उदाहरण 15

सदिशों की लंबाई ज्ञात कीजिए , अगर

समाधान:पिछले अनुभाग की विधि स्वयं को फिर से सुझाती है: लेकिन एक और तरीका है:

आइए वेक्टर खोजें:

और इसकी लंबाई तुच्छ सूत्र के अनुसार:

अदिश गुणनफल यहाँ बिल्कुल भी प्रासंगिक नहीं है!

वेक्टर की लंबाई की गणना करते समय यह भी उपयोगी नहीं है:
रुकना। क्या हमें वेक्टर लंबाई की स्पष्ट संपत्ति का लाभ नहीं उठाना चाहिए? आप वेक्टर की लंबाई के बारे में क्या कह सकते हैं? यह वेक्टर वेक्टर से 5 गुना लंबा है. दिशा विपरीत है, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम लंबाई की बात कर रहे हैं। जाहिर है, वेक्टर की लंबाई उत्पाद के बराबर है मापांकप्रति वेक्टर लंबाई संख्याएँ:
- मापांक चिह्न संख्या के संभावित ऋण को "खाता" है।

इस प्रकार:

उत्तर:

सदिशों के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र जो निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है

अब हमारे पास सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के लिए पहले से प्राप्त सूत्र का उपयोग करने की पूरी जानकारी है वेक्टर निर्देशांक के माध्यम से व्यक्त करें:

समतल सदिशों के बीच के कोण की कोज्याऔर, एक असामान्य आधार पर निर्दिष्ट, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:
.

अंतरिक्ष सदिशों के बीच के कोण की कोज्या, ऑर्थोनॉर्मल आधार पर निर्दिष्ट, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:

उदाहरण 16

एक त्रिभुज के तीन शीर्ष दिए गए हैं। (शीर्ष कोण) खोजें।

समाधान:शर्तों के अनुसार, ड्राइंग की आवश्यकता नहीं है, लेकिन फिर भी:

आवश्यक कोण को हरे चाप से चिह्नित किया गया है। आइए तुरंत एक कोण के स्कूल पदनाम को याद करें: - पर विशेष ध्यान दें औसतपत्र - यह उस कोण का शीर्ष है जिसकी हमें आवश्यकता है। संक्षिप्तता के लिए, आप सरलता से भी लिख सकते हैं।

चित्र से यह बिल्कुल स्पष्ट है कि त्रिभुज का कोण सदिशों के बीच के कोण से मेल खाता है और, दूसरे शब्दों में: .

मानसिक रूप से विश्लेषण करना सीखना उचित है।

आइए वेक्टर खोजें:

आइए अदिश गुणनफल की गणना करें:

और सदिशों की लंबाई:

कोण की कोज्या:

यह बिल्कुल उस कार्य को पूरा करने का क्रम है जिसे मैं नौसिखियों के लिए सुझाता हूँ। अधिक उन्नत पाठक गणनाएँ "एक पंक्ति में" लिख सकते हैं:

यहां "खराब" कोसाइन मान का एक उदाहरण दिया गया है। परिणामी मूल्य अंतिम नहीं है, इसलिए हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने का कोई मतलब नहीं है।

आइए स्वयं कोण ज्ञात करें:

यदि आप ड्राइंग को देखें, तो परिणाम काफी प्रशंसनीय है। जांचने के लिए कोण को चांदे से भी मापा जा सकता है। मॉनिटर कवर को नुकसान न पहुँचाएँ =)

उत्तर:

उत्तर में हम यह नहीं भूलते त्रिभुज के कोण के बारे में पूछा(और सदिशों के बीच के कोण के बारे में नहीं), सटीक उत्तर और कोण का अनुमानित मान बताना न भूलें: , एक कैलकुलेटर का उपयोग करके पाया गया।

जिन लोगों ने इस प्रक्रिया का आनंद लिया है वे कोणों की गणना कर सकते हैं और विहित समानता की वैधता को सत्यापित कर सकते हैं

उदाहरण 17

अंतरिक्ष में एक त्रिभुज को उसके शीर्षों के निर्देशांक द्वारा परिभाषित किया जाता है। और भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर

एक संक्षिप्त अंतिम खंड अनुमानों के लिए समर्पित होगा, जिसमें एक अदिश उत्पाद भी शामिल है:

एक वेक्टर का एक वेक्टर पर प्रक्षेपण. निर्देशांक अक्षों पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण।
एक वेक्टर की दिशा कोसाइन

वैक्टर पर विचार करें और:

आइए वेक्टर को वेक्टर पर प्रक्षेपित करें, ऐसा करने के लिए, जिस वेक्टर को हम छोड़ते हैं उसकी शुरुआत और अंत से लंबवतवेक्टर के लिए (हरी बिंदीदार रेखाएँ)। कल्पना करें कि प्रकाश की किरणें वेक्टर पर लंबवत पड़ती हैं। तब खंड (लाल रेखा) वेक्टर की "छाया" होगी। इस मामले में, वेक्टर पर वेक्टर का प्रक्षेपण खंड की लंबाई है। अर्थात् प्रक्षेपण एक संख्या है।

इस संख्या को इस प्रकार दर्शाया गया है:, "बड़ा वेक्टर" वेक्टर को दर्शाता है कौनप्रोजेक्ट, "छोटा सबस्क्रिप्ट वेक्टर" वेक्टर को दर्शाता है परजो प्रक्षेपित है.

प्रविष्टि स्वयं इस प्रकार है: "वेक्टर "ए" का वेक्टर "बी" पर प्रक्षेपण।"

यदि वेक्टर "be" "बहुत छोटा" है तो क्या होगा? हम वेक्टर "be" युक्त एक सीधी रेखा खींचते हैं। और वेक्टर "ए" पहले से ही प्रक्षेपित किया जाएगा वेक्टर "be" की दिशा में, बस - वेक्टर "बी" वाली सीधी रेखा तक। यदि वेक्टर "ए" को तीसवें साम्राज्य में स्थगित कर दिया जाए तो भी यही बात होगी - यह अभी भी वेक्टर "बी" वाली सीधी रेखा पर आसानी से प्रक्षेपित किया जाएगा।

यदि कोणवैक्टर के बीच मसालेदार(जैसा कि चित्र में है), फिर

यदि सदिश ओर्थोगोनल, तो (प्रक्षेपण एक बिंदु है जिसका आयाम शून्य माना जाता है)।

यदि कोणवैक्टर के बीच कुंद(आकृति में, मानसिक रूप से वेक्टर तीर को पुनर्व्यवस्थित करें), फिर (समान लंबाई, लेकिन ऋण चिह्न के साथ लिया गया)।

आइए हम इन सदिशों को एक बिंदु से आलेखित करें:

जाहिर है, जब कोई वेक्टर चलता है, तो उसका प्रक्षेपण नहीं बदलता है