स्वर्ण खंड का नियम। सात रोचक तथ्य जो आप शायद नहीं जानते

. त्रुटि द्वारा दिया गया नाम

सभी सुनहरे अनुपात के बारे में

संख्या दुनिया पर राज करती है।

पाइथागोरस

नंबर दुनिया पर राज नहीं करते

लेकिन वे दिखाते हैं कि दुनिया कैसे चलती है।

गेटे

पी ज्ञात से अज्ञात की ओर चलें, और मार्ग ठीक बीच से शुरू होगा। न केवल सरल, बल्कि सुनहरा।

गोल्डन अनुपात ("ईश्वरीय अनुपात", पुनर्जागरण के सिद्धांतकारों के अनुसार) शायद गणितीय घटनाओं में सबसे प्रसिद्ध है। लेकिन एक गणितज्ञ के साथ सुनहरे अनुपात के बारे में बात करें, और वह आपको एक सतत गति मशीन, यूएफओ शिकारी या बिगफुट के आविष्कारक के रूप में देखेंगे। खैर, जो अंदर है उसके साथ और कैसे व्यवहार किया जाए XXI सदी एक ऐसे पारस पत्थर की तलाश में है जो मुड़ जाए सादा धातुमें सोना?

सुनहरे अनुपात में एक गणितज्ञ के लिए कोई रहस्य नहीं है, कोई पहेली नहीं है: बस एक सरल समाधान द्विघात समीकरण

एक्स 2 -एक्स - 1 = 0

या यह सरल हो सकता है: सुनहरा अनुपात अंकगणितीय माध्य है√5 और 1।

√5 + 1

–––––= एफ= 1, 618…

हालाँकि, उसी समय

√5 – 11

–––––= –––– = 0,618…

2एफ

गोल्डन नंबर और इसका व्युत्क्रम एक से भिन्न होता है। तो, कड़ाई से बोलते हुए, दो मुख्य स्वर्ण संख्याएँ हैं: एफ मैं 1/ओहसे गुणा करना एफ, या 1/ से विभाजित करना एफ, आपको वही परिणाम मिलेगा।

लेकिन एक गणितज्ञ ने विज्ञान के ग्रेनाइट पर साधारण शिफ्टर्स के साथ खुद को खुश करने के लिए, या दार्शनिक के पत्थर पर अपने दांत तोड़ने के लिए नहीं, भले ही वह सद्भाव का पत्थर हो।

उसके लिए सुनहरा अनुपात - दो या डेढ़ नहीं.

और यह वास्तव में 1,618 0339887498948482045868...

गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत का पहला उल्लेख यूक्लिड के एलिमेंट्स में मिलता है।

लगभग 400 ई.पू इ। महान एलेक्जेंड्रियन जियोमीटर ने एक अद्भुत अवलोकन दर्ज किया:

खंड के औसत आनुपातिक विभाजन के साथ इसके किनारों के बारे में पूरा एक खंड उसके बड़े हिस्से के लिए है क्योंकि बड़ा उसके छोटे हिस्से के लिए है.

हम एक खंड को उसके केंद्र और किनारों के सापेक्ष विभाजित करने के बारे में बात कर रहे हैं। सशर्त रूसी में आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले अनुवाद में - मध्य और चरम अनुपात में एक खंड का विभाजन .

तो, स्वर्णिम अनुपात इसके भागों के साथ पूरे के संबंध में ज्यामितीय संतुलन का एक बिंदु है, और स्वयं भाग हैं। और, परिणामस्वरूप, एक वस्तु, प्रणाली या प्रक्रिया के विकास के लिए एक निश्चित स्थिर, आदर्श।

संदर्भ:

प्लेटो ने स्वर्ण मंडल (लगभग 360 ईसा पूर्व) का उल्लेख किया है। उनका संवाद "टाइमियस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों के प्रति समर्पित है। विशेष रूप से, यहाँ यह तर्क है:

"अपने आप में दो सदस्य तीसरे के बिना अच्छी तरह से जुड़े नहीं हो सकते, क्योंकि यह आवश्यक है कि एक और दूसरे के बीच किसी प्रकार का संबंध पैदा हो। कनेक्शनों में सबसे सुंदर वह है जो खुद को सबसे अधिक एकजुट करता है और जो जुड़ा हुआ है, और यह कार्य अनुपात द्वारा सबसे अच्छा किया जाता है, जब तीन संख्याओं में से - घन और वर्ग दोनों - किसी भी औसत संख्या के लिए, पहला औसत से संबंधित होता है उसी तरह जैसे औसत अंतिम से है, और, तदनुसार, अंतिम से मध्य तक, पहले से मध्य के रूप में, फिर मध्य संख्या को पहले और अंतिम स्थान पर ले जाने पर, और अंतिम और पहले पर इसके विपरीत, मध्य स्थानों के लिए, यह पता चला है कि अनुपात आवश्यक रूप से समान रहता है, और चूंकि ऐसा है, तो ये सभी संख्याएँ आपस में एक एकता बनाती हैं।

प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड (लगभग 300 ईसा पूर्व) के "शुरुआत" में सबसे पहले स्वर्ण मंडल का उल्लेख किया गया है, जहां इसका उपयोग नियमित पेंटागन बनाने के लिए किया जाता है। हालाँकि, शब्द "गोल्डन सेक्शन" ( गोल्डनर श्नीट) केवल 1835 में जर्मन गणितज्ञ और मार्टिन ओम (1792-1872) द्वारा पेश किया गया था। (वह था छोटा भाईप्रसिद्ध भौतिक विज्ञानी जॉर्ज ओम।) यह शब्द मार्टिन ओम की पाठ्यपुस्तक के दूसरे संस्करण में दिखाई दिया . 1854 में, मानव शरीर के अनुपात पर एक प्रमुख अध्ययन में, फिजियोलॉजिस्ट एडॉल्फ ज़िसिंग ने इसी शब्द का इस्तेमाल किया था। चिन्ह, प्रतीक φ (ग्रीक अक्षर "फ़ाई”) गोल्डन नंबर 1.618 का प्रतिनिधित्व करने के लिए…सबसे पहले शुरुआत में इस्तेमाल कियाएक्सएक्स सदी के अमेरिकी गणितज्ञ मार्क बर्र। यह स्मृति और सम्मान में किया गया था प्राचीन मूर्तिकार फिदियास, जिनके नेतृत्व में पार्थेनन का निर्माण किया गया था।

और हालांकि यह माना जाता है कि लियोनार्डो दा विंची ने लुका पैसिओली के ग्रंथ "द डिवाइन प्रॉपोर्शन" के लिए चित्र बनाए (यह सिर्फ सुनहरे अनुपात के बारे में है), उनके सुनहरे अनुपात के उपयोग का कोई उल्लेख नहीं है।

पर सुनहरा अनुपात दो सूत्र और दो संख्या - प्रमुख ( एफ) और पहले वाले के विपरीत मामूली है (एफ 1 ):

Ф \u003d (√5 + 1): 2 \u003d 1.618 ...

एफ 1 = 1: एफ = (√5 – 1) : 2 = 0,618...

और अगर एफ- समाधानद्विघात समीकरणएक्स 2 - एक्स - 1 \u003d 0,

फिर एफ 1 - समीकरण का समाधानएक्स 2 + एक्स - 1 \u003d 0।

प्रमुख सोने की संख्या से गुणा ( एफ), या माइनर गोल्ड से भाग देना (1: एफ), हमें वही परिणाम मिलता है। फलस्वरूप, एफ 1 उलटी संख्या है एफ. और इसी समय, ऐसी कोई अन्य संख्या नहीं है जो उनके व्युत्क्रम से ठीक एक से अधिक हो। और जैसे मुख्य सोना छोटे सोने से एक अधिक होता है, वैसे ही बड़े सोने का वर्ग अपने आप से एक अधिक होता है:

एफ 2 = (√5 + 3) : 2 = 2,618...

टाइप 1 प्रगति, एफ, एफ 2 ... एफ n केवल ज्यामितीय नहीं है, यह एक अंकगणितीय श्रृंखला भी है जिसमें इसका प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है:

एफ 2 = 1 + एफ

एफ 3 = एफ 2 + एफ

एफ 4 = एफ 3 + एफ 2

एफ 5 = एफ 4 + एफ 3

. . . . . . . . . . .

आजकल, स्वर्णिम अनुपात की परिघटना परावैज्ञानिक अटकलों के घने और लगभग अभेद्य बादल से घिरी हुई है, जो इस मिथक से शुरू होती है कि लियोनार्डो दा विंची ने इस अनुपात को सुनहरा कहा था, और "पिरामिड के आधार पर निर्मित पिरामिडों के पौराणिक उपचार गुणों के साथ समाप्त होता है" सोना"। (हालांकि, यह एक और बातचीत और एक अलग अध्ययन का विषय है।)

"स्वर्ण" गुणों का गणितीय और दार्शनिक अध्ययन लगभग पाँच सहस्राब्दियों से चल रहा है। सबसे पुराना "सुनहरा" प्राचीन मिस्र का स्मारक जो आज तक बचा हुआ है, सक्कारा (XXVIII या XXVII सदी ईसा पूर्व) में वास्तुकार खेसिर का मकबरा है, जिसे वास्तुशिल्प कैनन की अकादमी कहा जा सकता है, क्योंकि यहाँ, के निचे में गैलरी, ज्यामितीय चित्रण के साथ लकड़ी के पैनल थे जो हमारे लिए वास्तुकला पर इम्होटेप के ग्रंथ (अब वे मिस्र के संग्रहालय में रखे गए हैं) तक नहीं हैं, और, जाहिर है, खेसिरा (भगवान रा को समर्पित), यह पवित्र नाम है प्रसिद्ध वास्तुकार इम्होटेप, जोसर के पहले चरण के पिरामिड के निर्माता।

योजना के संदर्भ में, खेसिर मकबरे का एक सुनहरा अनुपात है (जो, हालांकि, अभी तक शोधकर्ताओं द्वारा ध्यान नहीं दिया गया है)।

हालाँकि, केवल पिछली आठ शताब्दियों में, कई मूलभूत खोजें की गई हैं, जिनके महत्व और परिणामों को, मुझे ऐसा लगता है, अभी तक ठीक से समझा नहीं गया है।

2003 में डैन ब्राउन के उपन्यास द दा विंची कोड के विमोचन के बाद, राष्ट्रव्यापी सोने की खुदाई की प्रतिष्ठा में उल्लेखनीय वृद्धि हुई है। यह इस तथ्य के बावजूद है कि उपन्यास का रूसी अनुवाद सचमुच निम्नलिखित पढ़ सकता है:

"सभी पौधों, जानवरों और यहां तक कि इंसानों को पीएचआई की संख्या के अनुपात के मूल के बराबर भौतिक अनुपात के साथ संपन्न किया जाता है।" (ठीक है, Phi नंबर को अंडरट्रांसलेट करके PHI कहा जाता है, लेकिन जब यह आता है तो रूट कहां से आता है? एफ, यानी लगभग 1.618...?)

- "सूरजमुखी के बीजों को सर्पिल में, वामावर्त में व्यवस्थित किया जाता है", और "प्रत्येक सर्पिल के व्यास का अनुपात अगले के व्यास के लिए PHI है।" (यह है कि एक सर्पिल के बीजों को आसन्न सर्पिल के बीजों की एक पंक्ति से अलग किया जाना चाहिए? वास्तव में, हमें सर्पिलों की संख्या के अनुपात के बारे में बात करनी चाहिए जो दक्षिणावर्त और वामावर्त प्रकट होते हैं)।

"अपने सिर के ऊपर से फर्श तक की दूरी को मापें। फिर अपनी ऊंचाई से विभाजित करें ... "और प्राप्त करें, वे कहते हैं, फी। (हां, फी नहीं, बल्कि एक, क्योंकि ऊंचाई ताज से फर्श तक की दूरी है।)

यह ब्राउन की गलती नहीं है (इसलिए आदिम बकवास है अंग्रेजी पाठनहीं), लेकिन उसका रूसी अनुवादक। लेकिन यह बयान कि लियोनार्डो दा विंची का "विट्रुवियन मैन" (लियोनार्डो का प्रसिद्ध चित्र, जहां एक आदमी को एक वर्ग और एक वृत्त में अंकित किया गया है) का उद्देश्य मानव शरीर के फी-अनुपातों को चित्रित करना है, स्पष्ट रूप से मूल लेखक के विवेक पर है , क्योंकि इस आकृति में कोई फी-अनुपात नहीं हैं, हालांकि यह भ्रम भी एक सुनहरे ओपस से दूसरे (और उसी नकली नमूने का) भटकता है।

मुझे समझाएं: वास्तुकला के प्राचीन सिद्धांतकार विट्रुवियस ने अपनी पुस्तक के तीसरे की शुरुआत में लिखा है कि धार्मिक इमारतों में मानवीय अनुपात होना चाहिए। और वह कहते हैं कि मानव शरीर अनुपात का एक मॉडल है, क्योंकि यदि कोई व्यक्ति अपनी बाहों और पैरों को फैलाता है, तो आकृति सही ज्यामितीय आकृतियों में फिट होती है: एक वर्ग और एक वृत्त।

काश, यह फिट नहीं होता। ऐसा करने के लिए, ऊरु गर्दन (वास्तव में कूल्हे के जोड़ से) से पैरों की लंबाई को पैर तक मापने के लिए (वास्तुकार इगोर शिमलेव के बाद) पर्याप्त है। और यह पता चला है कि फैले हुए पैरों की लंबाईविट्रुवियन पुरुष अपने पैरों की पहली जोड़ी से लगभग 1/10 कम।

यानी अगर मानव शरीर एक घेरे में फिट हो जाए तो आप बहुत जोर से छलांग लगाकर ही इस घेरे के शीर्ष पर पहुंच सकते हैं।

विटरुवियस के लिए लियोनार्डो के दृष्टांत में, कोई सुनहरा अनुपात नहीं है, इसलिए नहीं कि नाभि ऊंचाई से 1.64 (और 1.62 नहीं) की ऊंचाई पर है, बल्कि इसलिए कि विट्रुवियस के अनुसार शरीर के निर्माण का पूरा तर्क सुनहरे अनुपात को बाहर कर देता है। आकृति में नाभि केवल वृत्त का केंद्र है, और चित्र एक वर्ग पर आधारित है, और केवल यह। यह सीधे क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर स्ट्रोक से स्पष्ट होता है जिसके साथ लियोनार्डो ने एक व्यक्ति के हाथ, पैर और शरीर को अलग कर दिया: पैर आधी ऊंचाई के होते हैं, पैरों की आधी लंबाई उनके घुटने के मोड़ की होती है। बाहें भी आधी लंबाई में मुड़ी हुई हैं (और हाथ की लंबाई ऊंचाई का 1/10 है)।

हालाँकि, शरीर को तीन भागों में विभाजित किया गया है (गर्दन के साथ सिर कंधे के जोड़ के स्तर तक; कंधे के जोड़ से पसलियों के नीचे तक; पसलियों के नीचे से पबिस के नीचे तक)।

लियोनार्डो ने बांह की लंबाई को कंधे के जोड़ के बिंदु से जोड़कर वृत्त का ऊपरी बिंदु प्राप्त किया। और फिर उसने मध्य को खोज निकाला और उसे नाभि बना दिया।

विट्रुवियन पुरुष। लियोनार्डो दा विंची द्वारा ड्राइंग।

सर्कल का केंद्र नाभि है, वर्ग का केंद्र पबियों के नीचे है।

शरीर एक आयत में खुदा हुआ है,

जिसका छोटा भाग एक बड़े वर्ग के ¼ के बराबर है।

लंबवत रूप से, एक ¼ बड़ा वर्ग निम्नलिखित अंक देता है:

निचली छाती, पबिस, पैरों का झुकना।

नाभि सुनहरे अनुपात (H: 1.62) की ऊंचाई पर नहीं है,

और वर्ग के विभाजन के तर्क से प्राप्त ऊँचाई पर (H: 1.64)।

लियोनार्डो विटरुवियन नहीं थे। वह शब्दों के साथ अपने ग्राफिक तर्क से पहले: "विट्रुवियस, वास्तुकार, विश्वास करता है ..." और पुनर्जागरण के इस प्रतिभा द्वारा स्वर्ण खंड के सचेत उपयोग का कोई सबूत नहीं है, और यहां तक कि स्वर्ण खंड में उनकी रुचि भी नहीं है।

संदर्भ:

पुनर्जागरण (14वीं सदी के अंत से 16वीं सदी के मध्य तक) के दौरान, कलाकारों और वैज्ञानिकों ने सुंदरता को और अधिक वैज्ञानिक शब्दों में समझाने और वर्णन करने की कोशिश की। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने आदर्श महिला आकृति के निर्माण के लिए गणितीय सिद्धांतों को लागू करने की कोशिश की। परिणाम एक अनुपातहीन था और बिल्कुल सुंदर आकृति नहीं थी। तब ड्यूरर ने सुंदरता का वर्णन करने के अपने प्रयासों में प्रकृति की ओर रुख किया और मानव शरीर के अनुपात पर चार पुस्तकें लिखीं। अंत में, ड्यूरर इस नतीजे पर पहुंचे कि जब रूपों की बात आती है, तो पृथ्वी पर कोई भी ऐसा नहीं है जो यह आंक सके कि सबसे सुंदर क्या है।

और अधिक सहायता:

अल्ब्रेक्ट ड्यूरर। कला सिद्धांतकार। कार्यों के लेखक: "कम्पास और शासक के साथ मापने के लिए गाइड" (नूर्नबर्ग, 1525); "मानव अनुपात पर चार पुस्तकें" (नूर्नबर्ग, 1528 ).

जर्मन पुनर्जागरण के क्लासिक, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471-1528), उत्कीर्णन "नेमेसिस या ग्रेट फॉर्च्यून" (सी। 1501) पर काम करते हुए, विट्रुवियस आनुपातिकता के सिद्धांतों को लागू किया। इरविन पैनोफ़्स्की (1892-1968) के अध्ययन के अनुसार, यूरोपीय कला इतिहास के एक मान्यता प्राप्त प्रकाशमान, चित्रित आकृति में, यहां तक कि आकार भी अँगूठाविटरुवियस से सहमत हैं। लेकिन परिणाम शास्त्रीय आदर्श से बहुत दूर निकला और खुद ड्यूरर सहित वांछित प्रभाव नहीं डाला। अपने आगे के काम में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने विटरुवियस की सेवाओं से इनकार कर दिया, लेकिन उन्होंने खुद विटरुवियस के काम के लिए एक वैकल्पिक ग्रंथ लिखा, जिसका पूरा शीर्षक है: "यहां मानव शरीर के अनुपात पर चार पुस्तकें हैं जो अल्ब्रेक्ट द्वारा पाई और वर्णित हैं। नूर्नबर्ग से ड्यूरर उन सभी के लाभ के लिए जो इस तरह के विज्ञान से प्यार करते हैं "। ग्रंथ की शुरुआत में, ड्यूरर, जिन्होंने विट्रूवियस की विरासत को गंभीर रूप से समझा, घोषणा की: "... केवल एक बहुत ही कमजोर दिमाग यह नहीं मानता कि वह कुछ नया पा सकता है, लेकिन हमेशा पुराने रास्ते पर चलता है, दूसरों का अनुसरण करता है और कभी हिम्मत नहीं करता अपने दम पर सोचने के लिए। ” ड्यूरर की गुस्ताखी विनय के साथ संयुक्त है, जिसे वह लोगों को याद दिलाता है जब वह कहता है: "पृथ्वी पर ऐसा कोई भी व्यक्ति नहीं है जो अंत में कह सके कि सबसे सुंदर मानव आकृति क्या होनी चाहिए। यह केवल भगवान को छोड़कर कोई नहीं जानता।"

ड्यूरर हार गया: गणित की मदद से मानव आकृति को फिर से बनाने का प्रयास विफल रहा।

अधिकांश सोने के मिथकों को क्या कहा जाता है से जुड़ा हुआ है पिरामिडोमैनिया(यह रोग, काहिरा संग्रहालय के निदेशक और मिस्र के सभी पुरावशेषों के मुख्य क्यूरेटर, डॉ. ज़ाही हवास के अनुसार, आमतौर पर प्रभावित करता है pyramidiotes).

इंटरनेट पर आप कई कथन पा सकते हैं जैसे "सुनहरे अनुपात के अनुपात वाला पिरामिड जीवन का जनक है और हमारे आवास के सामंजस्य का साधन है।" तो रूसी "गोल्डन पिरामिड" (वित्तीय नहीं, बल्कि काफी सामग्री - कंक्रीट और एल्यूमीनियम से बने) के बिल्डरों ने घोषणा की कि उनके दिमाग की उपज के पास ओजोन छेद को कड़ा किया जा रहा है और अपराधों का स्तर कम हो रहा है, और वस्तुओं का वजन दो बार बदल रहा है .

डायोनिसस ने फ़्रीजियन राजा मिडास को एक घातक उपहार के साथ पुरस्कृत किया: राजा ने जो कुछ भी छुआ, सब कुछ सोने में बदल गया। (किंवदंती के एक अन्य संस्करण के अनुसार, अपोलो ने मिडास को गधे के कान दिए।) मिडास के वंशज विभिन्न गणितीय परिवर्तनों की मदद से जो कुछ भी छूते हैं, वह आनुपातिक सोने में बदल जाता है। और आज की सोने की भीड़ पहले से ही अलेक्सी टॉल्स्टॉय द्वारा "इंजीनियर गेरिन के हाइपरबोलॉइड" में वर्णित एक की याद दिलाती है: यदि मिट्टी से अधिक सोना है, तो यह स्वयं कीचड़ में बदल जाता है।

क्यों, फिर, और आज, सभी गणितज्ञ इस सोने को गंदगी नहीं मानते हैं?

जो भी संशयवादी दावा करते हैं (नोवोसिबिर्स्क आर्किटेक्ट्स की वेबसाइट पर ए.वी. रेडज़ुकेविच, ई.जी. नाज़िमको, वी.एस. बेलीनिन के लेख देखें), हम दिखा सकते हैं कि सुनहरे अनुपात का अध्ययन और जागरूक उपयोग कई सहस्राब्दियों से चल रहा है, और इससे निकाला गया√5में सीधी रेखाओं का सामंजस्य XXVIII सदी ई.पू इ। पहले बड़े मिस्र के पिरामिड के निर्माता, वास्तुकार खेसिरा ने इसका अध्ययन किया।हालाँकि, मिस्र के पिरामिड, पार्थेनन और प्राचीन रूसी मंदिरों के बारे में बातचीत हमारे आगे है (इस पुस्तक के अध्याय 2-4 देखें), और इसलिए हम एक सरसरी रीटेलिंग के साथ कथानक को नहीं तोड़ेंगे।

पुरातनता में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में बोलते हुए, पहली बात जो वे आमतौर पर संदर्भित करते हैं वह यह है कि एपिडॉरस में पॉलीकेटटॉम द यंगर द्वारा निर्मित एम्फीथिएटर 15 हजार लोगों को समायोजित कर सकता है। पहली श्रेणी में 34 पंक्तियाँ थीं, दूसरी 21 पंक्तियों में (34: 21 = 1.62)। और नाटकीय स्थान (एम्फीथिएटर के आधार की परिधि) को 222.5 ° से 137.5 ° (1.618 ...) के संबंध में विभाजित किया गया है। एक आधुनिक शोधकर्ता का दावा है कि कोणों का यह अनुपात अधिकांश प्राचीन थिएटरों में लागू किया गया है। लेकिन यह कथन विश्वास करने लायक नहीं है: वास्तविक माप और विशिष्ट चित्र आवश्यक हैं, और, अफसोस, वे हमेशा किसी विशेषज्ञ के लिए भी उपलब्ध नहीं होते हैं।

आज स्वर्णिम अनुपात विभिन्न प्रकार के प्राकृतिक रूपों में पाया जाता है। , वास्तुकला, चित्रकला और संगीत में , साहित्य के कार्यों में . उनके बारे में हजारों रचनाएँ (विभिन्न गुणों के बावजूद) लिखी गई हैं। यह और भी अजीब है कि सुनहरा अनुपात अभी भी एक रहस्य बना हुआ है - एक मूर्ख के हाथों में फायरबर्ड की पूंछ से पंख की तरह।

यह गैर-समोवर आग से जलता है, इंद्रधनुष के सभी रंगों से झिलमिलाता है ...

लेकिन स्वयं पक्षी कहाँ है?

यह ज्ञात है कि आप शासक और कम्पास का उपयोग करके स्वर्ण खंड के अनुपात का निर्माण कर सकते हैं। वर्ग को क्षैतिज रूप से आधे में विभाजित करें। आइए एक अर्ध-वर्ग का एक विकर्ण बनाएं और इसे एक त्रिज्या के रूप में लेते हुए, इसे एक ऊर्ध्वाधर में स्थानांतरित करें। परिणामी आयत एक सुनहरा अनुपात आयत होगा।

1 और 2 भुजाओं वाले आयत में (जिसे अर्ध-वर्ग या दोहरा वर्ग कहा जाता है), विकर्ण √5 है। यदि हम इस मूल्य में एक जोड़ते हैं और परिणामी खंड को आधे में विभाजित करते हैं, तो हमें बड़ा सोना मिलता है। यदि एक निकाल लिया जाए और शेष को दो से विभाजित कर दिया जाए तो सोना गौण होगा।

ऐसा करने में, यह याद रखना चाहिए कि:

पूरे को √5 से विभाजित करके प्राप्त किए जाने पर भागों को दो बार मामूली सोने से जोड़ा जाता है।

पुनर्जागरण के दौरान, सुनहरे अनुपात को "ईश्वरीय अनुपात" कहा जाता था ( खंड दिव्य). यह एक स्थापित तथ्य के रूप में स्वीकार किया जाता है कि स्वर्णिम अनुपात (धाराओरिया) यह अनुपात" लियोनार्डो दा विंची नाम।इसी समय, वे 1509 में वेनिस में प्रकाशित लुका पसिओली के ग्रंथ का उल्लेख करते हैं, जो विमान और स्थानिक आकृतियों के गुणों के लिए समर्पित है। लेकिन संस्थापक का यह काम वर्णनात्मक रेखागणित"डी डिविना प्रॉपोरियोन" ("ऑन द डिवाइन प्रॉपोर्शन") कहा जाता है, और यह किसी "सोने" की बात नहीं करता है। विंची। लेकिन हम इस विषय पर लियोनार्डो के स्वयं के बयानों को नहीं जानते हैं, इस विषय पर आधुनिक बेलारूसी दार्शनिक एडुआर्ड सोरोको ने जो भी घोषणा की है।

यह सिद्ध माना जाता है कि लियोनार्डो दा विंची ने अपने कई कार्यों में सुनहरे खंड के अनुपात का उपयोग किया था (विशेष रूप से, वे द लास्ट सपर, मोना लिसा में भी पाए जाते हैं)। लेकिन यहाँ सुनहरे तबके के समर्थक स्वयं का खंडन करते हैं: यदि यह वास्तव में एक सार्वभौमिक कानून है, तो मानव प्रतिभा के कुछ निर्माण में इसकी उपस्थिति इसके सचेत उपयोग का संकेत नहीं देती है।

"गोल्डन सेक्शन" शब्द केवल 1835 में दिखाई दिया। सबसे अधिक संभावना है, यह मार्टिन ओम की याद में सिर्फ एक गलती है, जोहान्स केप्लर (1571-1630) के फूलों के फार्मूले का गलत उद्धरण, जिन्होंने लिखा: "ज्यामिति में दो खजाने हैं: एक पायथागॉरियन प्रमेय है, दूसरा विभाजन है औसत आनुपातिक अनुपात में एक खंड का। और अगर इन दो खजानों में से पहले की तुलना सोने के माप से की जा सकती है, तो दूसरे की तुलना एक कीमती पत्थर से की जा सकती है।

केपलर के अनुसार स्वर्णिम अनुपात को पन्ना या नीलम कहना चाहिए। लेकिन चूंकि पत्थरों की सबसे कीमती, ज़ाहिर है, दार्शनिक है, शब्द " रत्न” और "सोने का माप" पर्याप्त निकला ताकि तीन शताब्दियों के बाद केप्लर द्वारा पूरी तरह से रासायनिक रूप से महिमामंडित खंड सोने में बदल गया।

लुका पैसिओली ने तर्क दिया: "... हमारे अनुपात को न तो हमारे लिए सुलभ संख्या से, न ही किसी तर्कसंगत मूल्य से व्यक्त किया जा सकता है, और छिपा हुआ और गुप्त रहता है और इसलिए गणितज्ञों द्वारा तर्कहीन कहा जाता है।"

इससे वे यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इतालवी गणितज्ञ ने सुनहरे अनुपात के लिए केवल एक निश्चित सन्निकटन पाया।

लेकिन यह एक गलती है।

मार्जिन नोट्स

पैसिओली ने निम्नलिखित सूत्र प्रस्तावित किए:

√125 – 5

–––––––

15 – √125

√180 – 6

––––––––

18 – √180

लेकिन रेडिकल्स के तहत दो अंकों की संख्या के विकल्प के साथ विकल्प प्राप्त करना संभव होगा:

√20 – 2

–––––––

6 – √20

आखिरकार, यह सब लिखने के लिए उबलता है:

√5 – 1

–––––

3 – √5

और, अंश और हर को ( से गुणा करना) √5 + 1) : (√5 – 1) , हमें स्वर्ण खंड का शास्त्रीय रिकॉर्ड मिलता है:

√5 + 1

––––– = 1,618...

लुका पैसिओली, जाहिरा तौर पर, यह समझने में मदद नहीं कर सके कि उन्होंने जिन समानताओं का प्रस्ताव दिया था, वे किस बात की ओर इशारा करती हैं। फिर, उसने मूल सूत्र को क्यों छिपाया और वंशजों को अपने ही व्यक्ति के प्रति अहंकारी रवैये की कला से परिचित कराया? हमें शायद ही इसके अलावा कोई और स्पष्टीकरण मिल सकेडी डिविना प्रोपोरियोनइतालवी गणितज्ञ के लिए, वास्तव में, यह दिव्य था, और इसलिए, किसी को यह सोचना चाहिए, व्यर्थ में भगवान के नाम का उल्लेख नहीं करने का नियम अपने सूत्र तक बढ़ा। पैसिओली ने लिखा: "... जिस तरह ईश्वर को एक शब्द द्वारा परिभाषित या समझाया नहीं जा सकता है, उसी तरह हमारे अनुपात को या तो हमारे लिए सुलभ संख्या या किसी तर्कसंगत मूल्य द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और यह छिपा हुआ और एक रहस्य बना रहता है, और इसलिए इसे गणितज्ञों द्वारा तर्कहीन कहा जाता है।».

पैसिओली का मानना था कि दैवीय अनुपात ट्रिनिटी का प्रतीक है (ईश्वर पिता संपूर्ण खंड है, पुत्र बड़ा है, आत्मा छोटी है)। और उन्होंने विनम्रतापूर्वक उन लोगों को छोड़ दिया जिन्होंने उनका अनुसरण किया, स्वतंत्र रूप से ऐसा प्रतीत होने वाला आसान और स्वाभाविक कदम उठाने का अधिकार दिया और खुद उस रहस्य की खोज में आए जिसने उनके पूरे अस्तित्व को झकझोर कर रख दिया था और जिससे उन्होंने अपने पाठक को लगभग करीब ला दिया था।

18वीं शताब्दी के अंत में विशेष रूप से स्वर्ण खंड को समर्पित पहला काम प्रकाशित किया गया था। और 19वीं शताब्दी के मध्य में, एक जर्मन प्रोफेसर ने एडॉल्फ ज़ीज़िंग की राजधानी "मानव शरीर के अनुपात का एक नया सिद्धांत प्रकाशित किया, जो अभी भी अज्ञात रूपात्मक नींव से है जो सभी प्रकृति और कला में व्याप्त है।" 1855 में, ज़ीज़िंग के काम को शीर्षक के तहत पुनर्प्रकाशित किया गया था "सौंदर्यशास्त्र अनुसंधान"।

ज़ीज़िंग का मानना था कि दुनिया में हर चीज को सुनहरे अनुपात से समझाया जा सकता है और इसे प्रकृति और कला का मुख्य रूपात्मक नियम माना जाता है। उन्होंने खुद हजारों माप किए और दिखाया कि यह कानून मानव शरीर के अनुपात और "सुंदर जानवरों" के शरीर दोनों में काम करता है। एच जर्मन फिजियोलॉजिस्ट गुस्तावफेचनर ने ज़ीज़िंग के निष्कर्षों को प्रमाणित करने की कोशिश की और मानव धारणा की मनोविज्ञान विशेषताओं और चीजों के "सुनहरे" रूपों के बीच संबंध की खोज की। काम से उद्धरण एवगेनी स्काईलारेवस्की: "फेचनर हजारों खिड़कियों, चित्र फ़्रेमों के पहलू अनुपात को मापा, ताश का खेल, किताबें और अन्य आयताकार वस्तुएं, कब्रिस्तानों में कब्र क्रॉस के अनुप्रस्थ क्रॉसबार किस संबंध में जाँच की जाती हैं, ऊर्ध्वाधर आधारों को विभाजित करती हैं, और पाया कि ज्यादातर मामलों में उन्हें जो संख्याएँ मिलीं, वे सुनहरे अनुपात से बहुत कम थीं। फेचनर ने कई सरल परीक्षण विकसित किए, जिसमें विषय को अलग-अलग पहलू अनुपात वाले आयतों के एक बड़े सेट से "अपने दिल के लिए प्रिय" आयत चुनने के लिए कहा गया, सबसे "सुखद" बहुभुज बनाएं, क्रॉसबार का स्थान चुनें, और जल्द ही। बार-बार किए गए प्रयोगों से पता चला है कि विषय एफ के करीब के रिश्तों को पसंद करते हैं।

1958 में, इंग्लैंड में, फेचनर की पद्धति के अनुसार, एक प्रयोग स्थापित किया गया था: आयतों के एक सेट से, विषयों को उन लोगों को चुनने के लिए कहा गया था जिन्हें वे सबसे सुंदर मानते थे। और बहुमत (35%) ने सुनहरे आयत की ओर इशारा किया, जिसकी भुजाएँ 34:21 थीं। (यह दिलचस्प है कि एक ही अनुभव ने बच्चों के दर्शकों में पूरी तरह से अलग परिणाम दिए, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बच्चे के पास सुंदर और सामंजस्यपूर्ण का एक बिल्कुल अलग विचार है।)

अभिव्यक्ति " बीच का रास्ता” मध्य के बारे में नहीं है, बल्कि सुनहरे अनुपात के बारे में है।

लेकिन अमेरिकन मार्क बर्र, एक सदी पहले, उन्होंने 1.618 संख्या को नामित करने का प्रस्ताव रखा ... ग्रीक अक्षर फी के साथ, बैल की आंख को मारा। (पर XXI सदी हम फिदियास कहते हैं - हमारा मतलब फिबोनाची है।)पहले हाफ मेंएक्सएक्स सदी, फाइबोनैचि संख्याओं का अध्ययन करते हुए, डच गणितज्ञ अब्राहम विटथॉफ़ अप्रत्याशित खोजों के लिए आते हैं, लेखक 1905 में पहली बार "विटथॉफ के खेल" का सिद्धांत, उनके द्वारा वर्णित,और बेल्जियम के गणितज्ञ एडुआर्ड ज़ेकेनडॉर्फ। 1939 में, ज़ेकेनडॉर्फ ने एक लेख प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने एक प्रमेय को सिद्ध किया कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक का फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है, जिसमें दो आसन्न फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग नहीं किया जाता है (उदाहरण: 30 = 21 + 8 + 1)।

1957 में, एक बारह वर्षीय (इसलिए! - ए च।) गणित पत्रिका में अमेरिकी गणितज्ञ जॉर्ज बर्गमैन ने एक लेख "तर्कहीन आधार के साथ संख्या प्रणाली" प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने संख्या प्रणाली के आधार के रूप में स्वर्ण संख्या 1.618 का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया .... चूंकि, एक शक्ति के लिए उठाया गया एन, सुनहरे अनुपात को पिछली दो शक्तियों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, फिर बर्गमैन सिस्टम आपको एनालॉग-टू-डिजिटल कन्वर्टर्स में त्रुटियों को ठीक करने की अनुमति देता है और संचार चैनल पर सिग्नल ट्रांसमिशन के दौरान कोड अनुक्रमों के स्व-सिंक्रनाइज़ेशन की ओर जाता है। (अब कल का बच्चा कौतुक कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय में गणित का एक आदरणीय प्रोफेसर है, दो गणितीय पुस्तकों के लेखक, हालांकि, सह-लेखक के रूप में लिखे गए हैं।)

1963 में, अमेरिकी गणितज्ञ वर्नर होगट और विद्वान भिक्षु अल्फ्रेड ब्रुसाउ की पहल पर, संयुक्त राज्य अमेरिका में फिबोनाची एसोसिएशन ("द फिबोनाची क्वार्टरली") की स्थापना की गई थी, जो गणितीय पत्रिका द फिबोनाची क्वार्टरली को त्रैमासिक रूप से प्रकाशित करती है। 1969 में, ह्यूटन मिफ्लिन ने वर्नर होगट की एक पुस्तक "फाइबोनैचि और लुकास नंबर" (फाइबोनैचि और लुकास नंबर) प्रकाशित की। और ब्रूसो न केवल एक भिक्षु थे, बल्कि एक कट्टर फोटोग्राफर भी थे: उन्होंने बीस हजार की मानवता की तस्वीरें छोड़ीं जंगली पौधेकैलिफोर्निया।

1969 में, ज़ेकेनडॉर्फ प्रमेय पर भरोसा करते हुए, काम अमेरिकी गणितज्ञ जूलिया रॉबिन्सनएक और 1942 में सोवियत गणितज्ञ निकोलाई वोरोब्योव द्वारा सिद्ध की गई एक प्रमेय,लेनिनग्राद विश्वविद्यालय में गणित के बाईस वर्षीय छात्र यूरी मटियासेविच ने हिल्बर्ट की 10 वीं समस्या (डायफैंटियन समीकरणों को हल करने की समस्या) का हल खोजा, जो गणितज्ञों के बीच प्रसिद्ध है।

20वीं सदी के अंतिम तीसरे में बर्गमैन और ब्रुसेंटसोव के विचारों का विकास किसके प्रमुख द्वारा किया गया था? सूचना विज्ञान विभाग, विन्नित्सा राज्य कृषि विश्वविद्यालयए.पी. स्टाखोव (2004 से कनाडा में रह रहे हैं)।

1990 में, आईबीएम के एक कर्मचारी, फ्रांसीसी शोधकर्ता जीन-क्लाउड पेरेज़ ने आधारों के स्व-संगठन को नियंत्रित करने वाले एक गणितीय कानून की खोज की। टी, सी, ए, जीडीएनए के अंदर। उन्होंने पाया कि डीएनए न्यूक्लियोटाइड्स के क्रमिक सेट एक अनुपात का प्रतिनिधित्व करते हैं जो फाइबोनैचि संख्याओं के अनुसार डीएनए के विभाजन को सुनिश्चित करता है।

शोधकर्ता ने इसे "डीएनए सुप्रा कोड" कहा . ए.पी. स्टाखोव इस बारे में लिखते हैं:

"आनुवांशिक कोड के किसी भी खंड पर विचार करें, जिसमें प्रकार के आधार शामिल हैं टी, सी, ए, जी, और इस खंड की लंबाई फाइबोनैचि संख्या के बराबर होने दें, उदाहरण के लिए, 144। यदि प्रकार के आधारों की संख्या टीविचाराधीन डीएनए खंड में 55 (फाइबोनैचि संख्या) और प्रकार के आधारों की कुल संख्या है एसीतथा जी 89 (फाइबोनैचि संख्या) के बराबर है, तो आनुवंशिक कोड का माना खंड बनता है गूंज, वह है, गूंजतीन पड़ोसी फाइबोनैचि संख्याओं (55-89-144) के बीच एक अनुपात है। खोज यह है कि प्रत्येक डीएनए एक सेट बनाता है अनुनादोंएक प्रकार माना जाता है, जो कि, एक नियम के रूप में, आनुवंशिक कोड के खंड होते हैं जिनकी लंबाई फाइबोनैचि संख्या के बराबर होती है एफ एन, प्रकार के आधारों के एक सेट में सुनहरे अनुपात से विभाजित होते हैं टी(आनुवंशिक कोड के माने गए खंड में इसकी संख्या के बराबर है एफएन- 2) और अन्य आधारों का कुल सेट (जिसकी संख्या के बराबर है एफएन-एक)। यदि हम आनुवंशिक कोड के सभी संभावित "फाइबोनैचि" खंडों का व्यवस्थित अध्ययन करते हैं, तो हमें एक निश्चित सेट मिलता है अनुनादोंबुलाया सुप्रा डीएनए कोड. 1990 के बाद से, इस पैटर्न का कई प्रमुख जीवविज्ञानियों द्वारा बार-बार परीक्षण और पुष्टि की गई है, विशेष रूप से प्रोफेसर मॉन्टैग्नियर और चेरमैन, जिन्होंने एड्स वायरस के डीएनए का अध्ययन किया था।

आइए एक और उद्धरण लें:

"वर्तमान में, व्यवसायियों और अर्थशास्त्रियों द्वारा फाइबोनैचि संख्याओं का गहन अध्ययन किया जा रहा है। यह देखा गया है कि लहरें उद्धरणों के उतार-चढ़ाव का वर्णन करती हैं मूल्यवान कागजात, छोटी तरंगों के लिफाफे हैं, जो बदले में और भी छोटे होते हैं, और बड़ी अवधि में छोटे उतार-चढ़ाव की संख्या फाइबोनैचि श्रृंखला से मेल खाती है। यह पहली बार इंजीनियर राल्फ हेलसन इलियट द्वारा प्रस्तावित किया गया था। 1930 के दशक की शुरुआत में एक गंभीर बीमारी के बाद, उन्होंने स्टॉक की कीमतों, विशेष रूप से डॉव जोन्स इंडेक्स का विश्लेषण किया। अत्यधिक सफल भविष्यवाणियों की एक श्रृंखला के बाद, इलियट ने 1939 में फाइनेंशियल वर्ल्ड मैगज़ीन में लेखों की एक श्रृंखला प्रकाशित की। उनमें, पहली बार, उनका दृष्टिकोण प्रस्तुत किया गया था कि डॉव जोन्स इंडेक्स की चालें कुछ लय के अधीन हैं। इलियट के अनुसार, ये सभी आंदोलन ज्वार के समान कानून का पालन करते हैं - ज्वार के बाद भाटा होता है, क्रिया (क्रिया) के बाद प्रतिक्रिया (प्रतिक्रिया) होती है। यह योजना समय पर निर्भर नहीं करती है, क्योंकि समग्र रूप से बाजार की संरचना अपरिवर्तित रहती है। उन्होंने लिखा: "कोई भी मानव गतिविधितीन विशिष्ट सुविधाएं: रूप, समय और संबंध, जो सभी फाइबोनैचि योग अनुक्रम का पालन करते हैं। यदि आप फाइबोनैचि संख्या और इलियट तरंगों को समझते हैं, तो आप शेयर बाजार में खेलकर अमीर बन सकते हैं।

इलियट के अनुसार, लहर कानून विकास और गिरावट का एक मॉडल है, और लहरों के बीच संबंध फिबोनैचि श्रृंखला से प्राप्त संख्याओं पर आधारित होते हैं और विशेष रूप से सुनहरे अनुपात पर।

1946 में प्रकाशित "द लॉ ऑफ़ नेचर - द सीक्रेट ऑफ़ द यूनिवर्स" पुस्तक में,राल्फ नेल्सन इलियट उनका दावा है कि उनका सिद्धांत न केवल स्टॉक सूचकांकों के व्यवहार को कवर करता है, बल्कि अन्य को भी शामिल करता है सामान्य कानूनप्रकृति जो मानव समाज की गतिविधियों को नियंत्रित करती है।

इलियट समाज के विकास को एक दर्जन प्रकार के आंदोलन पैटर्न ("तरंगों") में कम कर देता है जो कि रूप में दोहराए जाते हैं लेकिन समय या आयाम में नहीं। इलियट के सिद्धांत के अनुसार, आंदोलन "अच्छे पुराने सिद्धांत" के अनुसार तीन कदम आगे दो कदम पीछे होता है और तरंगों को आवेग (आगे) और सुधारात्मक (पीछे) में विभाजित किया जाता है। मूल पांच-लहर मॉडल है, बाकी सभी इससे निकाले जा सकते हैं।

लेकिन फिर, इलियट वेव्स अर्थशास्त्र की सीमांत परिधि पर कहीं स्थित क्यों हैं? यह ज्ञात है कि "दस में से नौ व्यापारी उपयोग करने से इनकार करते हैं इलियट लहरें, यह दावा करना कभी काम नहीं करता है।" यह अनुमान लगाया गया है कि इलियट वेव विश्लेषण के लगभग 65% नियमों में इतने भ्रमित करने वाले नियम शामिल हैं कि दस विश्लेषक दस अलग-अलग भविष्यवाणियां करेंगे। तो अर्थशास्त्री कॉन्स्टेंटिन त्सारिखिन के एक इंटरनेट लेख का शीर्षक आश्चर्यजनक रूप से परिचित लगता है: " अपने पूरे प्रदर्शन के साथ वेव मैजिक का एक सत्र».

ज़ारखिन लिखते हैं:

"इस लेख के लेखक सच्चाई के खिलाफ पाप नहीं करेंगे यदि वह कहते हैं कि कोई भी विश्लेषक जिसने कम या ज्यादा लंबे समय तक बाजार में काम किया है, वह "ऑर्डर करने के लिए" लगभग किसी भी तरंग पैटर्न के साथ बड़ी संख्या में चार्ट चुन सकता है। अभ्यास, इसलिए, अपना निर्णय देता है, जो, शायद, इलियट के सिद्धांत के विशेष रूप से उत्साही अनुयायियों को परेशान करेगा। वह फैसला इस प्रकार है: विशेष मामला. मेंढक, एक बैल के आकार का सूजा हुआ, अफसोस, फट गया। भविष्य की भविष्यवाणी करने के लिए, यह आवश्यक है ... यह कहना मुश्किल है कि इसके लिए क्या किया जाना चाहिए, लेकिन हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि चार्ट को तरंगों में तोड़ना आवश्यक नहीं है। वैसे ही, यह शोधकर्ता को पक्ष में ले जाएगा।

जैसा कि अल्फ़ा-बैंक के विश्लेषक व्लादिमीर क्रावचुक ने कहा: "...अतीत में अच्छी तरह से काम करने वाले अनुकूलित तकनीकी उपकरण खराब काम कर सकते हैं या भविष्य में बिल्कुल भी काम नहीं करेंगे।"

ज्यामिति एक सटीक और बल्कि जटिल विज्ञान है, जो इन सबके साथ एक तरह की कला है। रेखाएं, विमान, अनुपात - यह सब वास्तव में बहुत सुंदर चीजें बनाने में मदद करता है। और अजीब तरह से पर्याप्त है, यह अपने सबसे विविध रूपों में ज्यामिति पर आधारित है। इस लेख में, हम एक बहुत देखेंगे असामान्य बातजिसका सीधा संबंध इससे है। सुनहरा अनुपात ठीक वही ज्यामितीय दृष्टिकोण है जिस पर चर्चा की जाएगी।

वस्तु का आकार और उसकी धारणा

लाखों लोगों के बीच इसे पहचानने के लिए लोग अक्सर किसी वस्तु के आकार पर ध्यान केंद्रित करते हैं। यह रूप से है कि हम यह निर्धारित करते हैं कि किस प्रकार की चीज हमारे सामने है या दूर खड़ी है। हम सबसे पहले लोगों को उनके शरीर और चेहरे के आकार से पहचानते हैं। इसलिए, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि रूप ही, उसका आकार और रूप मानव धारणा में सबसे महत्वपूर्ण चीजों में से एक है।

लोगों के लिए, किसी भी चीज़ का रूप दो मुख्य कारणों से रुचि रखता है: या तो यह महत्वपूर्ण आवश्यकता से तय होता है, या यह सुंदरता से सौंदर्य आनंद के कारण होता है। सबसे अच्छा दृश्य धारणा और सद्भाव और सुंदरता की भावना सबसे अधिक बार आती है जब कोई व्यक्ति समरूपता और एक विशेष अनुपात के निर्माण में एक रूप का निरीक्षण करता है, जिसे सुनहरा अनुपात कहा जाता है।

सुनहरे अनुपात की अवधारणा

तो, स्वर्णिम अनुपात स्वर्णिम अनुपात है, जो एक हार्मोनिक विभाजन भी है। इसे और अधिक स्पष्ट रूप से समझाने के लिए, प्रपत्र की कुछ विशेषताओं पर विचार करें। अर्थात्: रूप कुछ संपूर्ण है, लेकिन संपूर्ण, बदले में, हमेशा कुछ भागों से बना होता है। इन भागों की सबसे अधिक संभावना है विभिन्न विशेषताएं, कम से कम विभिन्न आकार. खैर, इस तरह के आयाम हमेशा आपस में और पूरे के संबंध में एक निश्चित अनुपात में होते हैं।

तो, दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि स्वर्ण अनुपात दो मात्राओं का अनुपात है, जिसका अपना सूत्र है। एक रूप बनाते समय इस अनुपात का उपयोग मानव आंखों के लिए जितना संभव हो उतना सुंदर और सामंजस्यपूर्ण बनाने में मदद करता है।

सुनहरे अनुपात के प्राचीन इतिहास से

अभी जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में गोल्डन रेशियो का अक्सर उपयोग किया जाता है। लेकिन इस अवधारणा का इतिहास प्राचीन काल से चला आ रहा है, जब गणित और दर्शनशास्त्र जैसे विज्ञान उभर ही रहे थे। एक वैज्ञानिक अवधारणा के रूप में, गोल्डन अनुपात पाइथागोरस के समय अर्थात् छठी शताब्दी ईसा पूर्व में प्रयोग में आया। लेकिन इससे पहले भी, व्यवहार में इस तरह के अनुपात के ज्ञान का उपयोग किया जाता था प्राचीन मिस्रऔर बाबुल। इसका एक महत्वपूर्ण प्रमाण पिरामिड हैं, जिसके निर्माण के लिए उन्होंने इस तरह के सुनहरे अनुपात का उपयोग किया था।

नई अवधि

हार्मोनिक विभाजन के लिए पुनर्जागरण एक नई सांस थी, विशेष रूप से लियोनार्डो दा विंची के लिए धन्यवाद। ज्यामिति और कला दोनों में इस अनुपात का तेजी से उपयोग किया गया है। वैज्ञानिकों और कलाकारों ने सुनहरे अनुपात का अधिक गहराई से अध्ययन करना शुरू किया और इस मुद्दे से निपटने वाली किताबें बनाईं।

सुनहरे अनुपात से संबंधित सबसे महत्वपूर्ण ऐतिहासिक कार्यों में से एक लुका पैंसियोली की पुस्तक द डिवाइन प्रॉपोर्शन है। इतिहासकारों को संदेह है कि इस पुस्तक के चित्र स्वयं लियोनार्डो प्री-विंची द्वारा बनाए गए थे।

सुनहरे अनुपात की गणितीय अभिव्यक्ति

गणित अनुपात की बहुत स्पष्ट परिभाषा देता है, जो कहता है कि यह दो अनुपातों की समानता है। गणितीय रूप से, इसे निम्नलिखित समानता द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: a: b \u003d c: d, जहाँ a, b, c, d कुछ विशिष्ट मान हैं।

यदि हम दो भागों में विभाजित खंड के अनुपात पर विचार करें, तो हम केवल कुछ स्थितियों को पूरा कर सकते हैं:

खंड को दो बिल्कुल समान भागों में विभाजित किया गया है, जिसका अर्थ है कि AB: AC \u003d AB: BC, यदि AB खंड की सटीक शुरुआत और अंत है, और C वह बिंदु है जो खंड को दो समान भागों में विभाजित करता है।
खंड को दो असमान भागों में बांटा गया है, जो एक दूसरे के बहुत भिन्न अनुपात में हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि यहां वे बिल्कुल अनुपातहीन हैं।
खंड को इस प्रकार विभाजित किया गया है कि AB:AC = AC:BC।

सुनहरे खंड के लिए, यह असमान भागों में खंड का ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जब पूरा खंड बड़े हिस्से को संदर्भित करता है, जैसे बड़ा हिस्सा खुद छोटे को संदर्भित करता है। एक और सूत्रीकरण है: छोटा खंड बड़े खंड से संबंधित है, साथ ही बड़ा खंड पूरे खंड से संबंधित है। गणितीय शब्दों में, यह ऐसा दिखता है: a:b = b:c या c:b = b:a। यह स्वर्ण खंड सूत्र का रूप है।

प्रकृति में सुनहरा अनुपात

सुनहरा अनुपात, जिसके उदाहरण अब हम विचार करेंगे, प्रकृति में अविश्वसनीय घटनाओं को संदर्भित करता है। यह बहुत ही सुंदर उदाहरणवह गणित केवल संख्याएँ और सूत्र नहीं है, बल्कि एक ऐसा विज्ञान है जो प्रकृति और सामान्य रूप से हमारे जीवन में वास्तविक प्रतिबिंब से अधिक है।

जीवित जीवों के लिए, मुख्य जीवन कार्यों में से एक विकास है। अंतरिक्ष में अपनी जगह लेने की यह इच्छा, वास्तव में, कई रूपों में होती है - ऊपर की ओर विकास, जमीन पर लगभग क्षैतिज फैलाव, या किसी प्रकार के समर्थन पर सर्पिलिंग। और यह जितना अविश्वसनीय है, कई पौधे सुनहरे अनुपात के अनुसार बढ़ते हैं।

एक और लगभग अविश्वसनीय तथ्य- ये छिपकली के शरीर में अनुपात हैं। उनका शरीर मानव आंखों के लिए काफी सुखद दिखता है, और यह उसी सुनहरे अनुपात के लिए संभव है। अधिक सटीक होने के लिए, उनकी पूंछ की लंबाई पूरे शरीर की लंबाई से 62:38 के रूप में संबंधित है।

स्वर्ण खंड के नियमों के बारे में रोचक तथ्य

सुनहरा अनुपात वास्तव में एक अविश्वसनीय अवधारणा है, जिसका अर्थ है कि पूरे इतिहास में हम वास्तव में बहुत कुछ पा सकते हैं रोचक तथ्यइस अनुपात के बारे में। हम आपको उनमें से कुछ प्रस्तुत करते हैं:

मानव शरीर में सुनहरा अनुपात

इस खंड में, एक बहुत ही महत्वपूर्ण व्यक्ति का उल्लेख करना आवश्यक है, अर्थात्, एस। ज़ीज़िंग। यह एक जर्मन शोधकर्ता है जिसने सुनहरे अनुपात के अध्ययन के क्षेत्र में बहुत अच्छा काम किया है। उन्होंने एस्थेटिक रिसर्च नामक एक काम प्रकाशित किया। उन्होंने अपने कार्य में स्वर्णिम अनुपात को इस प्रकार प्रस्तुत किया पूर्ण अवधारणा, जो प्रकृति और कला दोनों में सभी घटनाओं के लिए सार्वभौमिक है। यहां हम मानव शरीर के सामंजस्यपूर्ण अनुपात के साथ-साथ पिरामिड के सुनहरे खंड को याद कर सकते हैं, और इसी तरह।

यह ज़ीज़िंग था जो यह साबित करने में सक्षम था कि स्वर्णिम अनुपात वास्तव में मानव शरीर के लिए औसत सांख्यिकीय कानून है। यह व्यवहार में दिखाया गया था, क्योंकि अपने काम के दौरान उन्हें बहुत सारे मानव शरीरों को मापना पड़ा था। इतिहासकारों का मानना है कि इस अनुभव में दो हजार से अधिक लोगों ने हिस्सा लिया। ज़ीज़िंग के शोध के अनुसार, मुख्य संकेतकस्वर्णिम अनुपात नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन है। इस प्रकार, 13:8 के औसत अनुपात वाला पुरुष शरीर महिला शरीर की तुलना में सुनहरे अनुपात के थोड़ा करीब है, जहां सुनहरा अनुपात 8:5 है। इसके अलावा, शरीर के अन्य हिस्सों में सुनहरा अनुपात देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, हाथ।

स्वर्ण खंड के निर्माण पर

वास्तव में, स्वर्ण खंड का निर्माण एक साधारण मामला है। जैसा कि हम देख सकते हैं, यहां तक कि प्राचीन लोगों ने भी इसका आसानी से सामना किया। हम मानव जाति के आधुनिक ज्ञान और प्रौद्योगिकियों के बारे में क्या कह सकते हैं। इस लेख में, हम यह नहीं दिखाएंगे कि यह कैसे केवल कागज के एक टुकड़े पर और हाथ में एक पेंसिल के साथ किया जा सकता है, लेकिन हम विश्वास के साथ कहेंगे कि यह वास्तव में संभव है। इसके अलावा, यह एक से अधिक तरीकों से किया जा सकता है।

चूंकि यह काफी सरल ज्यामिति है, इसलिए स्कूल में भी गोल्डन रेशियो बनाना काफी सरल है। इसलिए, विशेष पुस्तकों में इसके बारे में जानकारी आसानी से पाई जा सकती है। सुनहरे अनुपात का अध्ययन करके, ग्रेड 6 इसके निर्माण के सिद्धांतों को पूरी तरह से समझने में सक्षम है, जिसका अर्थ है कि बच्चे भी इस तरह के कार्य में महारत हासिल करने के लिए काफी स्मार्ट हैं।

गणित में स्वर्ण अनुपात

व्यवहार में स्वर्ण अनुपात के साथ पहला परिचय शुरू होता है सरल विभाजनरेखा खंड सभी समान अनुपात में। अक्सर यह एक शासक, एक कंपास और, ज़ाहिर है, एक पेंसिल के साथ किया जाता है।

सुनहरे अनुपात के खंडों को अनंत अपरिमेय अंश AE \u003d 0.618 ... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, BE \u003d 0.382 ... इन गणनाओं को अधिक व्यावहारिक बनाने के लिए, बहुत बार वे सटीक नहीं उपयोग करते हैं , लेकिन अनुमानित मान, अर्थात् - 0 .62 और 0.38। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो इसका बड़ा भाग क्रमशः 62 और छोटा भाग - 38 भागों के बराबर होगा।

सुनहरे अनुपात की मुख्य संपत्ति को समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: x 2 -x-1=0। हल करते समय, हमें निम्नलिखित जड़ें मिलती हैं: x 1.2 =। हालाँकि गणित एक सटीक और कठोर विज्ञान है, साथ ही इसका खंड - ज्यामिति भी है, लेकिन यह ठीक ऐसे गुण हैं जो सुनहरे खंड के नियम हैं जो इस विषय में रहस्य लाते हैं।

सुनहरे अनुपात के माध्यम से कला में सामंजस्य

सारांशित करने के लिए, आइए संक्षेप में विचार करें जो पहले ही कहा जा चुका है।

मूल रूप से, कला के कई टुकड़े सुनहरे अनुपात के नियम के अंतर्गत आते हैं, जहाँ अनुपात 3/8 और 5/8 के करीब होता है। यह गोल्डन रेशियो का मोटा फॉर्मूला है। लेख में पहले से ही अनुभाग का उपयोग करने के उदाहरणों के बारे में बहुत कुछ बताया गया है, लेकिन हम इसे फिर से प्राचीन के चश्मे से देखेंगे और समकालीन कला. तो, प्राचीन काल से सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण:

अनुपात के पहले से ही सचेत उपयोग के लिए, लियोनार्डो दा विंची के समय से, यह जीवन के लगभग सभी क्षेत्रों में - विज्ञान से कला तक उपयोग में आ गया है। यहां तक कि जीव विज्ञान और चिकित्सा ने भी साबित कर दिया है कि जीवित प्रणालियों और जीवों में भी सुनहरा अनुपात काम करता है।

सुनहरा अनुपात- यह एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें छोटा खंड बड़े खंड से उतना ही संबंधित है जितना बड़ा हर चीज से।

ए: बी = बी: सीया सी: बी = बी: ए।

यह अनुपात है:

उदाहरण के लिए, एक नियमित पांच-नुकीले तारे में, प्रत्येक खंड को एक खंड द्वारा विभाजित किया जाता है जो इसे सुनहरे अनुपात में काटता है (यानी, नीले खंड का हरा, लाल से नीला, हरा से बैंगनी, का अनुपात है) 1.618

यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि पाइथागोरस ने वैज्ञानिक प्रयोग में सुनहरे अनुपात की अवधारणा को पेश किया। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने अपना ज्ञान मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था।

1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ाइज़िंग ने अपना प्रकाशित किया काम "सौंदर्यशास्त्र अनुसंधान".
ज़ाइज़िंग ने लगभग दो हज़ार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है।

मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सुनहरे अनुपात

नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन - सबसे महत्वपूर्ण संकेतकसुनहरा अनुपात। पुरुष शरीर के अनुपात में 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात में उतार-चढ़ाव होता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ हद तक करीब होता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य अनुपात 8 में व्यक्त किया जाता है: 5 = 1.6।

एक नवजात शिशु में अनुपात 1:1, 13 वर्ष की आयु तक 1.6 तथा 21 वर्ष की आयु तक पुरुष के बराबर होता है।
सुनहरे खंड के अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होते हैं - कंधे की लंबाई, प्रकोष्ठ और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।
ज़ाइज़िंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपातों को सबसे विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर शोध के अधीन थे।

ज़ीज़िंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि यह रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि उनकी राशि है फाइबोनैचि श्रृंखला.

संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, आदि, और श्रृंखला के आसन्न संख्याओं का अनुपात सुनहरे विभाजन के अनुपात में आता है।

इसलिए, 21: 34 = 0.617, और 34: 55 = 0,618. (या 1.618 यदि विभाजित करना अधिककमतर के लिए)।

फाइबोनैचि श्रृंखलाकेवल एक गणितीय घटना रह सकती थी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं था कि पौधे और जानवरों की दुनिया में सुनहरे विभाजन के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करने के लिए, हमेशा इस श्रृंखला में सुनहरे खंड के कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आए।

कला में सुनहरा अनुपात

1925 में वापस, कला समीक्षक एल.एल. सबनीव ने 1770 का विश्लेषण किया संगीतमय कार्य 42 लेखकों ने दिखाया कि उत्कृष्ट कार्यों के विशाल बहुमत को आसानी से या तो थीम, या इंटोनेशन सिस्टम, या मोडल सिस्टम द्वारा भागों में विभाजित किया जा सकता है, जो सुनहरे खंड के संबंध में हैं।

इसके अलावा, संगीतकार जितना अधिक प्रतिभाशाली होगा, उतना ही अधिक होगा अधिकउनके कार्यों में सुनहरे खंड पाए गए। अर्न्स्की, बीथोवेन, बोरोडिन, हेडन, मोजार्ट, स्क्रिपबिन, चोपिन और शुबर्ट में, सभी कार्यों के 90% में सुनहरे खंड पाए गए। सबनीव के अनुसार, सुनहरा अनुपात एक संगीत रचना के एक विशेष सामंजस्य की छाप देता है।

सिनेमा में, एस ईसेनस्टीन ने "गोल्डन सेक्शन" के नियमों के अनुसार कृत्रिम रूप से फिल्म बैटलशिप पोटेमकिन का निर्माण किया। उसने टेप को पांच भागों में तोड़ दिया। पहले तीन में, जहाज पर कार्रवाई होती है। पिछले दो में - ओडेसा में, जहां विद्रोह सामने आ रहा है। शहर में यह परिवर्तन बिल्कुल सुनहरे अनुपात के बिंदु पर होता है। हाँ, और प्रत्येक भाग में एक मोड़ है, जो सुनहरे खंड के नियम के अनुसार होता है।

वास्तुकला, मूर्तिकला, चित्रकला में स्वर्ण खंड

पार्थेनन (वी शताब्दी ईसा पूर्व) प्राचीन ग्रीक वास्तुकला के सबसे सुंदर कार्यों में से एक है।

आंकड़े सुनहरे अनुपात से जुड़े कई पैटर्न दिखाते हैं। इमारत के अनुपात को संख्या Ф = 0.618 की विभिन्न डिग्री के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है ...

पार्थेनन के फर्श की योजना पर, आप "सुनहरी आयतें" भी देख सकते हैं:

हम नोट्रे डेम कैथेड्रल (नोट्रे डेम डे पेरिस) की इमारत में और चेप्स के पिरामिड में सुनहरा अनुपात देख सकते हैं:

न केवल मिस्र के पिरामिड सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे; मैक्सिकन पिरामिड में भी यही घटना पाई जाती है।

कई प्राचीन मूर्तिकारों द्वारा सुनहरे अनुपात का उपयोग किया गया था। अपोलो बेल्वेडियर की प्रतिमा का सुनहरा अनुपात ज्ञात है: चित्रित व्यक्ति की ऊंचाई गर्भनाल रेखा द्वारा स्वर्ण खंड में विभाजित है।

पेंटिंग में "गोल्डन सेक्शन" के उदाहरणों की ओर मुड़ते हुए, कोई लियोनार्डो दा विंची के काम पर ध्यान नहीं दे सकता है। आइए पेंटिंग "ला जिओकोंडा" को करीब से देखें। चित्र की रचना "सुनहरे त्रिकोण" पर आधारित है।

फोंट और घरेलू सामानों में सुनहरा अनुपात

प्रकृति में सुनहरा अनुपात

जैविक अध्ययनों से पता चला है कि, वायरस और पौधों से लेकर मानव शरीर तक, हर जगह सुनहरे अनुपात का पता चलता है, जो उनकी संरचना की आनुपातिकता और सामंजस्य को दर्शाता है। गोल्डन रेशियो को जीवित प्रणालियों के सार्वभौमिक नियम के रूप में मान्यता प्राप्त है।

यह पाया गया कि फाइबोनैचि संख्याओं की संख्यात्मक श्रृंखला की विशेषता है संरचनात्मक संगठनकई जीवित प्रणालियाँ। उदाहरण के लिए, एक शाखा पर एक पेचदार पत्ती व्यवस्था एक अंश है (एक चक्र में पत्तियों की संख्या/तने पर घुमावों की संख्या, उदाहरण के लिए 2/5; 3/8; 5/13) फिबोनाची श्रृंखला के अनुरूप है।

सेब, नाशपाती और कई अन्य पौधों के पांच पंखुड़ी वाले फूलों का "सुनहरा" अनुपात सर्वविदित है। आनुवंशिक कोड के वाहक - डीएनए और आरएनए अणु - में एक डबल हेलिक्स संरचना होती है; इसके आयाम लगभग पूरी तरह से फाइबोनैचि श्रृंखला की संख्या के अनुरूप हैं।

गोएथे ने प्रकृति की सर्पिल प्रवृत्ति पर जोर दिया।

मकड़ी अपने जाल को सर्पिल पैटर्न में घुमाती है। एक तूफान सर्पिल हो रहा है। हिरन का डरा हुआ झुंड सर्पिल में बिखरा हुआ है।

गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा। सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, पाइन कोन, अनानास, कैक्टि, आदि में सर्पिल देखा गया था।

सूरजमुखी के फूल और बीज, कैमोमाइल, अनानास फलों में शल्क, शंकुधारी शंकुलॉगरिदमिक ("सुनहरा") सर्पिल में "पैक्ड", एक दूसरे की ओर मुड़ते हुए, और "दाएं" और "बाएं" सर्पिल की संख्या हमेशा एक दूसरे को पड़ोसी फाइबोनैचि संख्या के रूप में संदर्भित करती है।

चिकोरी शूट पर विचार करें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है। प्रक्रिया अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन बनाती है, रुकती है, एक पत्ता छोड़ती है, लेकिन पहले वाले से पहले से छोटा है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन बनाती है, लेकिन कम बल से, एक छोटे आकार और इजेक्शन के एक पत्ते को फिर से छोड़ती है।

यदि पहले बहिर्वाह को 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर होता है, तीसरा 38, चौथा 24 और इसी तरह आगे। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। सुनहरे अनुपात के अनुपात में इसके विकास के आवेगों में धीरे-धीरे कमी आई।

कई तितलियों में, शरीर के वक्ष और उदर भागों के आकार का अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। अपने पंखों को मोड़कर, रात की तितली सही बनाती है समभुज त्रिकोण. लेकिन यह पंख फैलाने लायक है, और आप शरीर को 2,3,5,8 में विभाजित करने का एक ही सिद्धांत देखेंगे। ड्रैगनफली भी सुनहरे अनुपात के नियमों के अनुसार बनाई गई है: पूंछ और शरीर की लंबाई का अनुपात पूंछ की लंबाई की कुल लंबाई के अनुपात के बराबर है।

एक छिपकली में, उसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 के रूप में संबंधित होती है। यदि आप एक पक्षी के अंडे को करीब से देखते हैं तो आप सुनहरे अनुपात को देख सकते हैं।

"सुनहरे अनुपात" के बारे में रोचक तथ्य

सुनहरा अनुपात संरचनात्मक सद्भाव की एक सार्वभौमिक अभिव्यक्ति है। यह प्रकृति, विज्ञान, कला - हर उस चीज़ में पाया जाता है जिसके साथ एक व्यक्ति संपर्क में आ सकता है। एक बार सुनहरे नियम से परिचित होने के बाद, मानवता अब इसे धोखा नहीं देती।

परिभाषा

सुनहरे अनुपात की सबसे व्यापक परिभाषा कहती है कि छोटा हिस्सा बड़े से संबंधित है, क्योंकि बड़ा हिस्सा पूरे से है। इसका अनुमानित मान 1.6180339887 है। एक गोल प्रतिशत में, पूरे के हिस्सों का अनुपात 62% से 38% के रूप में सहसंबद्ध होगा। यह अनुपात स्थान और समय के रूपों में कार्य करता है।
पूर्वजों ने सुनहरे खंड को ब्रह्मांडीय व्यवस्था के प्रतिबिंब के रूप में देखा और जोहान्स केपलर ने इसे ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। आधुनिक विज्ञान सुनहरे अनुपात को "असममित समरूपता" मानता है, इसे व्यापक अर्थों में कहता है सार्वभौमिक नियमहमारे विश्व व्यवस्था की संरचना और व्यवस्था को दर्शाता है।

कहानी

प्राचीन मिस्रवासियों को सुनहरे अनुपात का विचार था, वे रूस में भी उनके बारे में जानते थे, लेकिन भिक्षु लुका पैसिओली ने पहली बार द डिवाइन प्रॉपोर्शन (1509) पुस्तक में वैज्ञानिक रूप से सुनहरे अनुपात की व्याख्या की थी, जिसे माना जाता है कि उनके द्वारा चित्रित किया गया था। लियोनार्डो दा विंसी। पैसिओली ने दिव्य त्रिमूर्ति को सुनहरे खंड में देखा: छोटे खंड ने पुत्र को, बड़े ने - पिता को, और पूरे ने - पवित्र आत्मा को।

इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फाइबोनैचि का नाम सीधे स्वर्ण खंड नियम से जुड़ा है। समस्याओं में से एक को हल करने के परिणामस्वरूप, वैज्ञानिक संख्याओं के एक क्रम के साथ आए, जिसे अब फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। केप्लर ने इस अनुक्रम के सुनहरे अनुपात के संबंध पर ध्यान आकर्षित किया: "यह इस तरह से व्यवस्थित किया गया है कि इस अनंत अनुपात के दो निचले पद तीसरे पद तक जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगली अवधि, और वही अनुपात अनिश्चित काल तक बना रहता है। "। अब फाइबोनैचि श्रृंखला अपने सभी अभिव्यक्तियों में सुनहरे खंड के अनुपात की गणना के लिए अंकगणितीय आधार है।

लियोनार्डो दा विंची ने भी सुनहरे अनुपात की विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए बहुत समय समर्पित किया, सबसे अधिक संभावना है कि यह शब्द उन्हीं का है। नियमित पेंटागनों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक बॉडी के उनके चित्र यह साबित करते हैं कि अनुभाग द्वारा प्राप्त प्रत्येक आयत सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात देता है।

समय के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम एक शैक्षणिक दिनचर्या में बदल गया, और केवल 1855 में दार्शनिक एडॉल्फ ज़ीज़िंग ने इसे दूसरे जीवन में वापस लाया। उन्होंने स्वर्ण खंड के अनुपात को पूर्ण रूप से लाया, जिससे उन्हें आसपास की दुनिया की सभी घटनाओं के लिए सार्वभौमिक बना दिया गया। हालाँकि, उनके "गणितीय सौंदर्यवाद" ने बहुत आलोचना की।

प्रकृति

यहां तक कि गणना में जाने के बिना भी प्रकृति में सुनहरा अनुपात आसानी से पाया जा सकता है। तो, छिपकली की पूंछ और शरीर का अनुपात, उसके नीचे गिरने वाली शाखा पर पत्तियों के बीच की दूरी, एक सुनहरा खंड होता है और एक अंडे के आकार में होता है, अगर इसके सबसे चौड़े हिस्से के माध्यम से एक सशर्त रेखा खींची जाती है।

यहां तक कि आर्किमिडीज़ ने भी, सर्पिल पर ध्यान देते हुए, इसके आकार के आधार पर एक समीकरण निकाला, जो अभी भी प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है। बाद में, गोएथे ने सर्पिल रूपों के लिए प्रकृति के आकर्षण का उल्लेख किया, सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा। आधुनिक वैज्ञानिकों ने पाया है कि प्रकृति में सर्पिल रूपों की ऐसी अभिव्यक्तियाँ, जैसे कि घोंघा खोल, सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, वेब पैटर्न, तूफान की गति, डीएनए की संरचना और यहाँ तक कि आकाशगंगाओं की संरचना में भी फिबोनाची श्रृंखला शामिल है। .

मानवीय

फैशन डिजाइनर और कपड़ों के डिजाइनर सभी गणना सुनहरे खंड के अनुपात के आधार पर करते हैं। आदमी है सार्वभौमिक रूपसुनहरे खंड के कानूनों का परीक्षण करने के लिए। बेशक, स्वभाव से, सभी लोगों के पास आदर्श अनुपात नहीं होता है, जो कपड़ों के चयन में कुछ कठिनाइयाँ पैदा करता है।

लियोनार्डो दा विंची की डायरी में एक नग्न व्यक्ति का एक चित्र है जो एक घेरे में खुदा हुआ है, दो स्थितियों में एक दूसरे पर आरोपित है। रोमन वास्तुकार विटरुवियस के अध्ययन के आधार पर, लियोनार्डो ने इसी तरह मानव शरीर के अनुपात को स्थापित करने की कोशिश की। बाद में, फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने लियोनार्डो के विट्रुवियन मैन का उपयोग करते हुए, "हार्मोनिक अनुपात" का अपना पैमाना बनाया, जिसने 20 वीं शताब्दी की वास्तुकला के सौंदर्यशास्त्र को प्रभावित किया।
एडॉल्फ ज़ाइज़िंग ने मनुष्य की आनुपातिकता की खोज करते हुए एक जबरदस्त काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीर, साथ ही साथ कई प्राचीन मूर्तियों को मापा और निष्कर्ष निकाला कि सुनहरा अनुपात औसत कानून को व्यक्त करता है। एक व्यक्ति में, शरीर के लगभग सभी अंग उसके अधीन होते हैं, लेकिन सुनहरे खंड का मुख्य संकेतक नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन होता है।

माप के परिणामस्वरूप, शोधकर्ता ने पाया कि पुरुष शरीर का अनुपात 13:8 महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के करीब है - 8:5।

स्थानिक रूपों की कला

कलाकार वासिली सुरिकोव ने कहा कि "रचना में एक अपरिवर्तनीय नियम है, जब कुछ भी हटाया नहीं जा सकता है या चित्र में जोड़ा नहीं जा सकता है, यहां तक कि एक अतिरिक्त बिंदु भी नहीं डाला जा सकता है, यह वास्तविक गणित है।" लंबे समय तक, कलाकारों ने इस कानून का सहज रूप से पालन किया, लेकिन लियोनार्डो दा विंची के बाद, ज्यामितीय समस्याओं को हल किए बिना पेंटिंग बनाने की प्रक्रिया अब पूरी नहीं हुई है। उदाहरण के लिए, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने सुनहरे खंड के बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए उनके द्वारा आविष्कृत आनुपातिक कम्पास का उपयोग किया।

कला समीक्षक एफ.वी. कोवालेव ने निकोलाई जीई की पेंटिंग "अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन इन द विलेज ऑफ मिखाइलोव्स्की" का विस्तार से अध्ययन किया है, ध्यान दें कि कैनवास का हर विवरण, चाहे वह चिमनी हो, किताबों की अलमारी हो, कुर्सी हो या खुद कवि हों, सुनहरे अनुपात में कड़ाई से अंकित है।
सुनहरे अनुपात के शोधकर्ता वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियों का अथक रूप से अध्ययन और माप करते हैं, उनका दावा है कि वे ऐसे बन गए हैं क्योंकि वे सुनहरे कैनन के अनुसार बनाए गए थे: उनकी सूची में गीज़ा के महान पिरामिड, नोट्रे डेम कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, पार्थेनन शामिल हैं। .

और आज, स्थानिक रूपों की किसी भी कला में, वे सुनहरे खंड के अनुपात का पालन करने की कोशिश करते हैं, क्योंकि कला इतिहासकारों के अनुसार, वे काम की धारणा को सुविधाजनक बनाते हैं और दर्शक में एक सौंदर्य संवेदना बनाते हैं।

शब्द, ध्वनि और फिल्म

लौकिक कला के रूप अपने तरीके से हमें स्वर्ण विभाजन के सिद्धांत को प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, साहित्यिक आलोचकों ने देखा कि पुश्किन के काम की देर की अवधि की कविताओं में सबसे लोकप्रिय पंक्तियों की संख्या फाइबोनैचि श्रृंखला - 5, 8, 13, 21, 34 से मेल खाती है।

सुनहरे खंड का नियम रूसी क्लासिक के व्यक्तिगत कार्यों में भी लागू होता है। तो चरमोत्कर्ष' हुकुम की रानी” हरमन और काउंटेस का एक नाटकीय दृश्य है, जो बाद की मृत्यु के साथ समाप्त होता है। कहानी में 853 पंक्तियाँ हैं, और चरमोत्कर्ष 535 रेखा पर पड़ता है (853:535=1.6) - यह सुनहरे खंड का बिंदु है।

फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन ने जानबूझकर अपनी फिल्म "बैटलशिप पोटेमकिन" की पटकथा को सुनहरे खंड के नियम के साथ समन्वित किया, टेप को पांच भागों में विभाजित किया। पहले तीन खंडों में, जहाज पर कार्रवाई होती है, और अंतिम दो में - ओडेसा में। शहर में दृश्यों का संक्रमण फिल्म का सुनहरा मतलब है।

तारास रेपिन

परिभाषा
सुनहरे अनुपात की सबसे व्यापक परिभाषा कहती है कि छोटा हिस्सा बड़े से संबंधित है, क्योंकि बड़ा हिस्सा पूरे से है। इसका अनुमानित मान 1.6180339887 है। एक गोल प्रतिशत में, पूरे के हिस्सों का अनुपात 62% से 38% के रूप में सहसंबद्ध होगा। यह अनुपात स्थान और समय के रूपों में कार्य करता है।

पूर्वजों ने सुनहरे खंड को ब्रह्मांडीय व्यवस्था के प्रतिबिंब के रूप में देखा और जोहान्स केपलर ने इसे ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। आधुनिक विज्ञान सुनहरे अनुपात को "असममित समरूपता" मानता है, इसे व्यापक अर्थ में एक सार्वभौमिक नियम कहता है जो हमारे विश्व व्यवस्था की संरचना और व्यवस्था को दर्शाता है।

कहानी
प्राचीन मिस्रवासियों को सुनहरे अनुपात का विचार था, वे रूस में भी उनके बारे में जानते थे, लेकिन भिक्षु लुका पैसिओली ने पहली बार द डिवाइन प्रॉपोर्शन (1509) पुस्तक में वैज्ञानिक रूप से सुनहरे अनुपात की व्याख्या की थी, जिसे माना जाता है कि उनके द्वारा चित्रित किया गया था। लियोनार्डो दा विंसी। पैसिओली ने दिव्य त्रिमूर्ति को सुनहरे खंड में देखा: छोटे खंड ने पुत्र को, बड़े ने - पिता को, और पूरे ने - पवित्र आत्मा को।

इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फाइबोनैचि का नाम सीधे स्वर्ण खंड नियम से जुड़ा है। समस्याओं में से एक को हल करने के परिणामस्वरूप, वैज्ञानिक संख्याओं के एक क्रम के साथ आए, जिसे अब फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है: 0, 1, 1, 2, 3 ... आदि। केप्लर ने इस अनुक्रम के सुनहरे अनुपात के संबंध पर ध्यान आकर्षित किया: "यह इस तरह से व्यवस्थित किया गया है कि इस अनंत अनुपात के दो निचले पद तीसरे पद तक जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगली अवधि, और वही अनुपात अनिश्चित काल तक बना रहता है। "। अब फाइबोनैचि श्रृंखला अपने सभी अभिव्यक्तियों में सुनहरे खंड के अनुपात की गणना के लिए अंकगणितीय आधार है।

प्रकृति
यहां तक कि गणना में जाने के बिना भी प्रकृति में सुनहरा अनुपात आसानी से पाया जा सकता है। तो, छिपकली की पूंछ और शरीर का अनुपात, उसके नीचे गिरने वाली शाखा पर पत्तियों के बीच की दूरी, एक सुनहरा खंड होता है और एक अंडे के आकार में होता है, अगर इसके सबसे चौड़े हिस्से के माध्यम से एक सशर्त रेखा खींची जाती है।

बेलारूसी वैज्ञानिक एडुआर्ड सोरोको, जिन्होंने प्रकृति में सुनहरे विभाजनों के रूपों का अध्ययन किया, ने नोट किया कि जो कुछ भी बढ़ रहा है और अंतरिक्ष में अपनी जगह लेने का प्रयास कर रहा है, वह सुनहरे खंड के अनुपात से संपन्न है। उनकी राय में, सबसे दिलचस्प रूपों में से एक सर्पिलिंग है।
यहां तक कि आर्किमिडीज़ ने भी, सर्पिल पर ध्यान देते हुए, इसके आकार के आधार पर एक समीकरण निकाला, जो अभी भी प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है। बाद में, गोएथे ने सर्पिल रूपों के लिए प्रकृति के आकर्षण का उल्लेख किया, सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा। आधुनिक वैज्ञानिकों ने पाया है कि प्रकृति में सर्पिल रूपों की ऐसी अभिव्यक्तियाँ, जैसे कि घोंघा खोल, सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, वेब पैटर्न, तूफान की गति, डीएनए की संरचना और यहाँ तक कि आकाशगंगाओं की संरचना में भी फिबोनाची श्रृंखला शामिल है। .

मानवीय
फैशन डिजाइनर और कपड़ों के डिजाइनर सभी गणना सुनहरे खंड के अनुपात के आधार पर करते हैं। स्वर्ण खंड के नियमों के परीक्षण के लिए मनुष्य एक सार्वभौमिक रूप है। बेशक, स्वभाव से, सभी लोगों के पास आदर्श अनुपात नहीं होता है, जो कपड़ों के चयन में कुछ कठिनाइयाँ पैदा करता है।

एडॉल्फ ज़ाइज़िंग ने मनुष्य की आनुपातिकता की खोज करते हुए एक जबरदस्त काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीर, साथ ही साथ कई प्राचीन मूर्तियों को मापा और निष्कर्ष निकाला कि सुनहरा अनुपात औसत कानून को व्यक्त करता है। एक व्यक्ति में, शरीर के लगभग सभी अंग उसके अधीन होते हैं, लेकिन सुनहरे खंड का मुख्य संकेतक नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन होता है।
माप के परिणामस्वरूप, शोधकर्ता ने पाया कि पुरुष शरीर का अनुपात 13:8 महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के करीब है - 8:5।

स्थानिक रूपों की कला
कलाकार वासिली सुरिकोव ने कहा कि "रचना में एक अपरिवर्तनीय नियम है, जब कुछ भी हटाया नहीं जा सकता है या चित्र में जोड़ा नहीं जा सकता है, यहां तक कि एक अतिरिक्त बिंदु भी नहीं डाला जा सकता है, यह वास्तविक गणित है।" लंबे समय तक, कलाकारों ने इस कानून का सहज रूप से पालन किया, लेकिन लियोनार्डो दा विंची के बाद, ज्यामितीय समस्याओं को हल किए बिना पेंटिंग बनाने की प्रक्रिया अब पूरी नहीं हुई है। उदाहरण के लिए, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने सुनहरे खंड के बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए उनके द्वारा आविष्कृत आनुपातिक कम्पास का उपयोग किया।

सुनहरे अनुपात के शोधकर्ता वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियों का अथक रूप से अध्ययन और माप करते हैं, उनका दावा है कि वे ऐसे बन गए हैं क्योंकि वे सुनहरे कैनन के अनुसार बनाए गए थे: उनकी सूची में गीज़ा के महान पिरामिड, नोट्रे डेम कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, पार्थेनन शामिल हैं। .
और आज, स्थानिक रूपों की किसी भी कला में, वे सुनहरे खंड के अनुपात का पालन करने की कोशिश करते हैं, क्योंकि कला इतिहासकारों के अनुसार, वे काम की धारणा को सुविधाजनक बनाते हैं और दर्शक में एक सौंदर्य संवेदना बनाते हैं।

शब्द, ध्वनि और फिल्म
लौकिक कला के रूप अपने तरीके से हमें स्वर्ण विभाजन के सिद्धांत को प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, साहित्यिक आलोचकों ने देखा कि पुश्किन के काम की देर की अवधि की कविताओं में सबसे लोकप्रिय पंक्तियों की संख्या फाइबोनैचि श्रृंखला - 5, 8, 13, 21, 34 से मेल खाती है।

सुनहरे खंड का नियम रूसी क्लासिक के व्यक्तिगत कार्यों में भी लागू होता है। तो हुकुम की रानी का चरमोत्कर्ष हरमन और काउंटेस का नाटकीय दृश्य है, जो बाद की मृत्यु के साथ समाप्त होता है। कहानी में 853 पंक्तियाँ हैं, और चरमोत्कर्ष 535 (853:535=1.6) रेखा पर पड़ता है - यह सुनहरे खंड का बिंदु है।

सोवियत संगीतज्ञ ई. के. रोज़ेनोव ने जोहान सेबेस्टियन बाख के कार्यों के सख्त और मुक्त रूपों में सुनहरे खंड अनुपात की अद्भुत सटीकता को नोट किया, जो मास्टर की विचारशील, केंद्रित, तकनीकी रूप से सत्यापित शैली से मेल खाती है। यह अन्य संगीतकारों के उत्कृष्ट कार्यों के बारे में भी सच है, जहां स्वर्णिम अनुपात बिंदु आमतौर पर सबसे हड़ताली या अप्रत्याशित संगीत समाधान के लिए होता है।
फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन ने जानबूझकर अपनी फिल्म "बैटलशिप पोटेमकिन" की पटकथा को सुनहरे खंड के नियम के साथ समन्वित किया, टेप को पांच भागों में विभाजित किया। पहले तीन खंडों में, जहाज पर कार्रवाई होती है, और अंतिम दो में - ओडेसा में। शहर में दृश्यों का संक्रमण फिल्म का सुनहरा मतलब है।