कथन। प्रस्तावक बीजगणित

यहाँ: 1 - सत्य, 0 - असत्य।

• 1.एक्स: त्रिभुज एबीसी- तीव्र कोण वाला। X: यह सत्य नहीं है कि त्रिभुज ABC न्यून है। यह इस तरह है: एक्स: त्रिभुज एबीसी - दाएं या अधिक
• 2. ए: इवानोवा एम। गणित में परीक्षा में, उसने 4 प्राप्त किया। यह सच नहीं है कि इवानोवा एम ने गणित में 4 प्राप्त किया।

परिभाषा: एक कथन A और B का संयोजन एक कथन AB है जो सत्य है बशर्ते कि कथन A या B में से कम से कम एक सत्य हो।

इसे "ए या बी" पढ़ा जाता है।

AB . के लिए सत्य तालिका

उदाहरण: 1. इस बार प्रतिवादी पेश हुआ और मुकदमा चला। - सत्य

2. इन सही त्रिकोणकिन्हीं दो कोणों का योग तीसरे कोण से बड़ा या उसके बराबर होता है और कर्ण पैर से छोटा होता है। - असत्य

परिभाषा: कथन A और B का एक निहितार्थ एक कथन AB है जो केवल तभी गलत है जब A सत्य है और B गलत है।

यह पढ़ा जाता है: "यदि ए, तो बी।"

ट्रुथ टेबल

उदाहरण: 1. अगर मैं परीक्षा पास करता हूं, तो मैं सिनेमा जाऊंगा।

2. यदि त्रिभुज समद्विबाहु है, तो उसके आधार पर कोण बराबर होते हैं। परिभाषा: कथन A और B का एक समतुल्य एक कथन AB है जो सत्य है यदि और केवल यदि A और B में एक ही सत्य है (अर्थात या तो दोनों सत्य हैं या दोनों गलत हैं)।

वे पढ़ते हैं: "ए अगर और केवल अगर बी" या "ए बी के लिए आवश्यक और पर्याप्त है"

ट्रुथ टेबल

प्रस्तावित बीजगणित के माध्यम से हल किया गया दूसरा कार्य, किसी विशेष प्रस्ताव की सच्चाई को उसके सूत्र (औपचारिकीकरण प्रक्रिया) के संकलन और एक सत्य तालिका के संकलन के आधार पर निर्धारित करना है।

उदाहरण: यदि सेराटोव नेवा के तट पर स्थित है, तो ध्रुवीय भालू अफ्रीका में रहते हैं।

ए: सेराटोव नेवा नदी के तट पर स्थित है;

प्रश्न: ध्रुवीय भालू अफ्रीका में रहते हैं

परिभाषा: एक सूत्र जो सत्य है, इस बात की परवाह किए बिना कि उसके प्रस्तावक चर क्या मान लेते हैं, एक तनातनी या एक समान रूप से सत्य सूत्र कहलाता है।

परिभाषा: फॉर्मूला एफ 1 और एफ 2 को समकक्ष कहा जाता है यदि उनके समकक्ष एक टॉटोलॉजी है।

परिभाषा: यदि सूत्र एफ 1 और एफ 2 समतुल्य हैं, तो वाक्य 1 और Р 2 जो इन सूत्रों को आरंभ करते हैं, प्रस्तावक तर्क में समतुल्य कहलाते हैं।

बुनियादी, सबसे सामान्य तुल्यताओं को तर्क के नियम कहा जाता है। हम उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करते हैं:

• 1. एक्स एक्स - पहचान का कानून
• 2. एक्स एल - विरोधाभास का कानून
• 3. XI - तीसरे के बहिष्करण का कानून
• 4. X - दोहरे निषेध का नियम

• 5. क्रमपरिवर्तन के नियम
• 6. एक्स (वाई जेड) (एक्स वाई) जेड सहयोगीता कानून

एक्स (वाई जेड) (एक्स वाई) जेड वितरण कानून

7. डी मॉर्गन के नियम

8. एक स्थिरांक के साथ एक चर के अभिव्यक्ति के नियम

तर्क के नियमों का उपयोग करके, आप सूत्रों को बदल सकते हैं।

4. एक दूसरे के समतुल्य कई सूत्रों में से दो पर विचार करें। वे परफेक्ट कंजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म (CKNF) और परफेक्ट डिसजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म (PDNF) हैं। वे किसी दिए गए सूत्र के लिए उसकी सत्य तालिका के आधार पर बनाए गए हैं।

एसडीएनएफ का निर्माण:

• - दिए गए सूत्र के सत्य मान (1) के अनुरूप पंक्तियों का चयन किया जाता है;
• - प्रत्येक चयनित पंक्ति के लिए, हम चर या उनके निषेधों के संयोजन की रचना करते हैं ताकि पंक्ति में प्रस्तुत चर के मूल्यों के सेट के अनुरूप हो सच्चे मूल्यसंयोजन (इसके लिए आपको उन चरों को लेने की आवश्यकता है जो इस पंक्ति में एक नकारात्मक चिह्न के साथ गलत (0) मान लेते हैं, और वे चर जो सत्य के मान लेते हैं (1) बिना किसी निषेध के);
• - परिणामी संयोजनों का एक संयोजन बनाया जाता है।

यह एल्गोरिथम का अनुसरण करता है कि किसी भी सूत्र के लिए एसडीएनएफ की रचना करना संभव है, और, इसके अलावा, केवल एक, यदि सूत्र समान रूप से गलत नहीं है, अर्थात। केवल झूठे मूल्यों को स्वीकार करना।

SKNF का संकलन निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार किया जाता है:

• -- तालिका की उन पंक्तियों का चयन करें जिनमें सूत्र असत्य (0) का मूल्यांकन करता है;
• - ऐसी प्रत्येक पंक्ति में वेरिएबल्स से, एक डिसजंक्शन बनाएं, जो मान लेना चाहिए - असत्य (0)। ऐसा करने के लिए, सभी चरों को इसे गलत मान के साथ दर्ज करना होगा, इसलिए जो सत्य हैं (1) को उनके निषेध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए;
• - प्राप्त वियोजनों से एक संयोजन बनाएं।

जाहिर है, कोई भी फॉर्मूला जो टॉटोलॉजी नहीं है, उसमें SKNF होता है।

इस सूत्र से परिणाम प्राप्त करने के लिए SDNF और SKNF का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण: सूत्र के लिए SDNF और SKNF की सत्य तालिका बनाएं: .

एसडीएनएफ और एसकेएनएफ की सत्य तालिका

5. प्रस्तावक रूप पर विचार करें "नदी काला सागर में बहती है।" इसमें एक चर होता है और इसे "नदी x काला सागर में बहती है" के रूप में दर्शाया जा सकता है।

चर X के मानों के आधार पर वाक्य या तो सत्य है या असत्य, अर्थात्। दो-तत्वों के सेट पर नदियों के एक समूह का मानचित्रण निर्दिष्ट किया गया है। आइए इस मैपिंग को निरूपित करें, फिर:

इस प्रकार, हमारे पास एक फ़ंक्शन है, जिसके सभी मान सेट से संबंधित हैं।

परिभाषा: एक फ़ंक्शन जिसका मान सभी एक सेट से संबंधित है, एक विधेय कहलाता है।

विधेय का बोध कराने वाले अक्षर विधेय चिन्ह कहलाते हैं।

विधेय सेट किया जा सकता है:

ए) एक प्रस्ताव सूत्र,

बी) सूत्र, यानी। विधेय प्रतीक की व्याख्या को निर्दिष्ट करते हुए,

ग) एक टेबल।

1) पी - "काला सागर में बहना।"

इस सूत्र का अर्थ है कि "नदी काला सागर में बहती है।"

• 2) विधेय P को प्रस्तावित सूत्र द्वारा दिया गया है: "होना" अभाज्य संख्यापहले 15 प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर।
• 3) सारणीबद्ध रूप में, विधेय का रूप है:

विधेय का दायरा कोई भी सेट हो सकता है।

यदि विधेय इनपुट चर के किसी भी सेट के लिए अपना अर्थ खो देता है, तो आमतौर पर यह माना जाता है कि यह सेट ए के मान से मेल खाता है।

यदि विधेय में एक चर होता है, तो इसे एकात्मक, दो चर - दो-स्थान, n चर - n- स्थान विधेय कहा जाता है।

विधेय की भाषा में ग्रंथों का अनुवाद करने और उनकी सच्चाई का निर्धारण करने के लिए, प्रेडिकेटर्स और क्वांटिफायर पर तार्किक संचालन शुरू करना आवश्यक है।

विधेय पर उसी तरह से संचालन किया जाता है: निषेध, संयोजन, वियोग, निहितार्थ, तुल्यता।

परिभाषा: समुच्चय M का एक उपसमुच्चय जिस पर विधेय P दिया जाता है, जिसमें M के वे और केवल वे तत्व होते हैं जो मान और विधेय P के अनुरूप होते हैं, विधेय P का सत्य समुच्चय कहलाता है।

सत्य सेट निरूपित है।

परिभाषा: एक विधेय P का निषेध एक विधेय है जो चर मानों के उन सेटों के लिए गलत है जो P को सत्य बनाते हैं, और चर मानों के उन सेटों के लिए सही हैं जो P को गलत बनाते हैं।

नकारात्मक बताया गया है।

एबीसी के छात्र बनें।

एबीसी के छात्र मत बनो।

यदि, तो समुच्चय, जहाँ M वह समुच्चय है जिस पर विधेय P और Q दिए गए हैं।

परिभाषा: विधेय का एक संयोजन उन लोगों के लिए एक सच्चा विधेय है और इसमें शामिल चर के केवल वे मान हैं जो दोनों विधेय को सत्य में बदल देते हैं।

एक फुटबॉलर बनो

छात्र होना

: एक फुटबॉलर बनें और एक छात्र बनें।

परिभाषा: विधेय का एक संयोजन एक विधेय है जो चर के उन सेटों के लिए गलत है जो दोनों विधेय को गलत बनाते हैं

सम हो प्राकृतिक संख्या

विषम प्राकृत संख्या हो

: एक प्राकृत संख्या हो।

परिभाषा: विधेय का एक निहितार्थ एक विधेय है जो उन लोगों के लिए गलत है और इसमें शामिल चर के केवल वे सेट हैं जो एक सच्चे विधेय में बदल जाते हैं, और - एक झूठे में।

मनोनीत:

सेट N . पर एक अभाज्य संख्या बनें

विषम संख्या हो

अन्य प्राकृत संख्याओं के लिए असत्य और सत्य।

परिभाषा: एक विधेय तुल्यता एक विधेय है जो सत्य हो जाता है यदि दोनों विधेय सत्य हैं या दोनों झूठे हैं।

मनोनीत:

- "जीत", यानी। एक्स जीतता है

शतरंज के इतिहास को जानना बेहतर है, x, y से बेहतर जानता है

इसका मतलब है कि x शतरंज में y को हरा देता है अगर और केवल अगर वह सिद्धांत को बेहतर जानता है।

परिभाषा: विधेय विधेय से अनुसरण करता है यदि इसमें शामिल चर के किसी भी मान के लिए निहितार्थ सत्य है।

निम्नलिखित नामित हैं: .

छात्र होना

महाविद्यालय जाओ

विधेय को कथन में बदलने के 2 तरीके हैं:

1) एक चर को एक विशिष्ट मान देना

; एक्स - छात्र

इवानोव एक छात्र है।

2) हैंगिंग क्वांटिफायर - कोई भी, कोई भी, प्रत्येक

वहाँ है, वहाँ है।

संकेतन जहां संपत्ति पी है इसका मतलब है कि प्रत्येक वस्तु एक्स में संपत्ति पी है। या दूसरे शब्दों में, "सभी एक्स में संपत्ति पी है।"

संकेतन का अर्थ है कि एक वस्तु x है जिसमें गुण P है।

गणितीय तर्क की मूल (अपरिभाषित) अवधारणा "सरल कथन" की अवधारणा है।

एक कथन को आमतौर पर किसी भी मतलब के रूप में समझा जाता है घोषणात्मक वाक्य, किसी चीज के बारे में कुछ कहना, और साथ ही हम यह भी कह सकते हैं कि यह सही है या गलत, स्थान और समय की दी गई परिस्थितियों में। कथनों के तार्किक मूल्य "सत्य" और "झूठे" हैं।

यहाँ कथनों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

1) नोवगोरोड वोल्खोव पर खड़ा है।

2) पेरिस इंग्लैंड की राजधानी है।

3) कार्प मछली नहीं है।

4) संख्या 6 2 और 3 से विभाज्य है।

5) यदि युवक ने स्नातक किया है उच्च विद्यालय, तो उसे मैट्रिकुलेशन प्रमाणपत्र प्राप्त होता है।

कथन 1), 4, 5) सत्य हैं, और 2) और 3) असत्य हैं।

जाहिर है, वाक्य "हमारे एथलीट लंबे समय तक जीवित रहें!" एक बयान नहीं है।

एक कथन, जो एक एकल कथन है, आमतौर पर सरल या प्राथमिक कहा जाता है। प्राथमिक प्रस्तावों के उदाहरण प्रस्ताव 1) और 2) हैं।

व्याकरण संबंधी संयोजकों "नहीं", "और", "या", "अगर ..., फिर ...", "तब और केवल तब" की मदद से प्राथमिक से प्राप्त किए गए कथनों को आमतौर पर जटिल या यौगिक कहा जाता है। . इस प्रकार, कथन 3) एक साधारण कथन से प्राप्त होता है "क्रूसियन एक मछली है" "नहीं", कथन 4) के निषेध की मदद से प्राथमिक कथन "संख्या 6 को 2 से विभाजित किया जाता है", "संख्या 6" से बनता है को 3 से विभाजित किया जाता है, जो संघ से जुड़ा होता है "और"। कथन 5) सरल कथनों से प्राप्त होता है "युवा व्यक्ति ने हाई स्कूल से स्नातक किया", "युवा व्यक्ति को मैट्रिक का प्रमाण पत्र प्राप्त होता है" व्याकरणिक संयोजी का उपयोग करते हुए "अगर ...,
फिर …"। इसी तरह, व्याकरण संबंधी संयोजकों "या", "यदि और केवल तब" का उपयोग करके सरल कथनों से जटिल कथन प्राप्त किए जा सकते हैं।

तर्क के बीजगणित में, सभी कथनों को उनके तार्किक अर्थ की दृष्टि से ही माना जाता है, और उनकी सांसारिक सामग्री को सारगर्भित किया जाता है। यह माना जाता है कि प्रत्येक कथन सत्य या असत्य है, और कोई भी कथन सत्य और असत्य दोनों नहीं हो सकता है।

निम्नलिखित में, प्रारंभिक कथनों को लैटिन वर्णमाला के अक्षरों द्वारा दर्शाया जाएगा: ए, बी, सी,…, एक्स, वाई, जेड,…;सही मान अक्षर और या संख्या 1 है, और गलत मान अक्षर L या संख्या 0 है।

यदि कथन एकसच है, हम लिखेंगे ए = 1, अगर असत्य है, तो ए = 0.

तार्किक कथन आमतौर पर दो प्रकारों में विभाजित होते हैं: प्राथमिक तार्किक कथन और यौगिक तार्किक कथन।

यौगिक तार्किक कथनतार्किक संयोजकों की सहायता से अन्य कथनों से बना एक कथन है।

तार्किक कड़ीकिसी कथन पर कोई तार्किक संक्रिया है। उदाहरण के लिए, सामान्य भाषण में प्रयुक्त शब्द और वाक्यांश "नहीं", "और", "या", "अगर ... तब", "तब और केवल तब"तार्किक लिंक हैं।

प्राथमिक तार्किक कथनये गैर-यौगिक कथन हैं।

उदाहरण: "इवानोव एक फुटबॉल खिलाड़ी है" - प्राथमिक तार्किक कथन। "इवानोव एक फुटबॉल खिलाड़ी और एक शतरंज खिलाड़ी है" एक मिश्रित तार्किक कथन है, जिसमें "और" के एक समूह के माध्यम से एक दूसरे से जुड़े दो प्राथमिक कथन शामिल हैं।

46. ​​तर्क के बीजगणित के तत्व

तर्क का बीजगणित गणितीय तर्क का एक खंड है, जिसके सभी तत्वों (कार्यों और तर्कों) के मूल्यों को दो-तत्व सेट: 0 और 1 में परिभाषित किया गया है। तर्क का बीजगणित तार्किक कथनों से संचालित होता है।

कथन -यह कोई भी वाक्य है जिसके संबंध में उसके सत्य या असत्य के बारे में कथन समझ में आता है। साथ ही, यह माना जाता है कि कथन बहिष्कृत मध्य के कानून को संतुष्ट करता है, यानी प्रत्येक कथन या तो सत्य या गलत है और एक ही समय में सत्य और गलत दोनों नहीं हो सकता है।

कहावतें:

- "अभी बर्फबारी हो रही है" - यह कथन सही या गलत हो सकता है;

- "वाशिंगटन संयुक्त राज्य अमेरिका की राजधानी है" एक सही कथन है;

– “10 को 2 से भाग देने वाला भागफल 3 है” – झूठा बयान।

तर्क के बीजगणित में, सभी कथनों को अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है ए, बी, सीयह। ई. बयानों की सामग्री को केवल उनका परिचय देते समय ध्यान में रखा जाता है। पत्र, और भविष्य में, इस बीजगणित द्वारा प्रदान की गई कोई भी क्रिया उन पर की जा सकती है। इसके अलावा, यदि तर्क बीजगणित में अनुमत कुछ संचालन बीजगणित के प्रारंभिक तत्वों पर किए जाते हैं, तो संचालन के परिणाम भी इस बीजगणित के तत्व होंगे।

तर्क के बीजगणित में सबसे सरल ऑपरेशन ऑपरेशन हैं तार्किक जोड़(अन्यथा: ऑपरेशन या(या) विच्छेदन प्रचालन)तथा तार्किक गुणन(अन्यथा: ऑपरेशन और और),संयोजन संचालन)।प्रतीकों + या वी का उपयोग तार्किक जोड़ के संचालन को दर्शाने के लिए किया जाता है, और प्रतीकों या प्रतीकों का उपयोग तार्किक गुणन के लिए किया जाता है। तर्क के बीजगणित में संचालन करने के नियम कई स्वयंसिद्धों, प्रमेयों और उपपत्तियों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। विशेष रूप से, तर्क के बीजगणित के लिए, निम्नलिखित कानून लागू होते हैं:

1. संयुक्त:

47. (एक + बी) + सी = ए +(बी + सी),

48. (एक बी) के साथ= एक(बी साथ).

2. स्थानांतरित करने योग्य:

49. (ए + बी) = (बी +एक)

50. (एक बी)= (बी ० ए)।

3. वितरण:

51. ए (बी + सी) = ए बी + (ए .)साथ),

52. (ए + बी) सी = ए सी + बी सी।

अनुपात मान्य हैं, विशेष रूप से:

53. ए + ए = एए + बी = बी,यदि ए बी,

54. ए ए = एए बी= एक, यदि एक ≤ बी,

ए + ए बी = एए बी = बी,यदि एक≥ बी,

ए + बी = ए,यदि एक≥ बी।

तर्क के बीजगणित का सबसे छोटा तत्व 0 है, सबसे बड़ा तत्व 1 है। तर्क के बीजगणित में एक और संक्रिया भी प्रस्तुत की जाती है - इनकार(संचालन नहीं नहीं), उलटा),तत्व के ऊपर एक बार द्वारा निरूपित।

परिभाषा से

तर्क के बीजगणित में एक फलन तर्क के बीजगणित के तत्वों से युक्त एक व्यंजक है ए, बी, सीऔर इस बीजगणित में परिभाषित संचालन से जुड़े अन्य। तार्किक कार्यों के उदाहरण:

आदि। इन संबंधों का उपयोग तर्क कार्यों और कम्प्यूटेशनल सर्किट को संश्लेषित करने के लिए किया जाता है।

अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) द्वारा एक विज्ञान के रूप में बनाया गया तर्क, धर्मशास्त्र, दर्शन और गणित सहित ज्ञान के कई क्षेत्रों को विकसित करने के लिए सदियों से उपयोग किया जाता रहा है।

यह वह नींव है जिस पर गणित की पूरी इमारत बनी है। संक्षेप में, तर्क तर्क का विज्ञान है, जो आपको स्वयंसिद्ध नामक प्राथमिक मान्यताओं के एक सेट के आधार पर गणितीय कथन की सच्चाई या असत्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है। कंप्यूटर प्रोग्राम बनाने और उनकी शुद्धता साबित करने के लिए कंप्यूटर विज्ञान में तर्क का भी उपयोग किया जाता है। तर्क की अवधारणाएं, तरीके और साधन आधुनिक हैं सूचना प्रौद्योगिकी. इस काम का एक मुख्य लक्ष्य गणितीय तर्क की नींव रखना है, यह दिखाना है कि कंप्यूटर विज्ञान में इसका उपयोग कैसे किया जाता है, और गणितीय कथनों के विश्लेषण और सिद्ध करने के तरीकों का विकास करना है।

तार्किक विचार -एक समुच्चय के रूप में अध्ययन प्रणाली, प्रक्रिया, घटना का विवरण जटिल वाक्यों,से बना सरल (प्राथमिक) कथनतथा तार्किक संयोजकउनके बीच। तार्किक अभ्यावेदन और उनके घटकों को कुछ गुणों और उन पर स्वीकार्य परिवर्तनों का एक सेट (संचालन, अनुमान नियम, आदि) की विशेषता है जो औपचारिक (गणितीय) में विकसित लोगों को लागू करते हैं। तर्क सही तरीकेतर्क - तर्क के नियम।

उच्चारण की अवधारणा

बयानएक कथन या घोषणात्मक वाक्य है जिसे सही या गलत कहा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, किसी प्रस्ताव की सच्चाई या असत्य के बारे में एक बयान का अर्थ होना चाहिए। किसी कथन के लिए जिम्मेदार सत्य या असत्य को उसका कहा जाता है सत्य मूल्य, या सत्य मूल्य।

उदाहरण के लिए, कथन दो बटा दो चार होता हैतथा चेल्याबिंस्क रूस के एशियाई भाग में स्थित हैसच है, और बयान तीन बटा पांचतथा डॉन नदी वर्तमान में कैस्पियन सागर में बहती हैझूठे क्योंकि वे सच नहीं हैं। सत्य कथन आमतौर पर निरूपित होते हैं टी (सच) या और (सच), और असत्य, क्रमशः, एफ (असत्य) या ली (असत्य) कंप्यूटर विज्ञान में, सत्य को आमतौर पर 1 (बाइनरी वन) द्वारा दर्शाया जाता है, और असत्य को 0 (बाइनरी शून्य) द्वारा दर्शाया जाता है।

यहां ऐसे वाक्यों के उदाहरण दिए गए हैं जो कथन नहीं हैं:

आप कौन हैं?(प्रश्न),

अगले पाठ से पहले इस अध्याय को पढ़ें(आदेश या विस्मयादिबोधक)

यह कथन गलत है(आंतरिक रूप से विरोधाभासी बयान),

खंड का क्षेत्रफल घन की लंबाई से कम है(यह कहना असंभव है कि यह वाक्य सही है या गलत, क्योंकि इसका कोई मतलब नहीं है)।

हम कथनों को लैटिन वर्णमाला के अक्षरों द्वारा निरूपित करेंगे आर, क्यू, आर, उदाहरण के लिए, आरएक बयान हो सकता है कल बरसात होगी, एक क्यू- बयान किसी पूर्णांक का वर्ग एक धनात्मक संख्या होती है.

तार्किक संयोजक

साधारण भाषण में, सरल वाक्यों से एक जटिल वाक्य बनाने के लिए, संयोजकों का उपयोग किया जाता है - भाषण के विशेष भाग जो अलग-अलग वाक्यों को जोड़ते हैं। सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला लिंक तथा, या, नहीं, यदि ... फिर, केवल, तथा तब और केवल तब. सामान्य भाषण के विपरीत, तर्क में ऐसे संयोजकों का अर्थ स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाना चाहिए। एक यौगिक कथन की सच्चाई विशिष्ट रूप से उसके घटक भागों की सच्चाई या असत्य से निर्धारित होती है। एक कथन जिसमें संयोजक नहीं होते हैं, कहलाते हैं सरल. लिंक वाले वाक्य को कहते हैं कठिन. तार्किक संयोजकों को प्रस्तावों पर तार्किक संचालन भी कहा जाता है।

होने देना आरतथा क्यूबयानों को निरूपित करें

आर: जेन एक कार चलाता है,

प्रश्न: बॉब के गोरे बाल हैं।

यौगिक कथन

जेन कार चलाता है और बॉब के गोरे बाल हैं।एक गुच्छा द्वारा जुड़े दो भाग होते हैं तथा. इस कथन को प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहां प्रतीक शब्द के लिए खड़ा है तथाप्रतीकात्मक अभिव्यक्तियों की भाषा में। व्यंजक को प्रस्तावों का संयोजन कहा जाता है आरतथा क्यू.

वे भी हैं निम्नलिखित विकल्पसंयोजन रिकॉर्ड:

बिल्कुल वही बयान

जेन कार चलाता है या बॉब के गोरे बाल हैं।

प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त किया गया

शब्द कहाँ है याप्रतीकात्मक भाषा में अनुवादित। व्यंजक को प्रपोजल डिसजंक्शन कहा जाता है आरतथा क्यू.

किसी कथन का खंडन या खंडन पीद्वारा चिह्नित

इस प्रकार, यदि आरएक कहावत है जेन चला रहा है, तो यह कथन है जेन ड्राइव नहीं करता.

यदि एक आरएक कहावत है जो को कंप्यूटर साइंस पसंद है, फिर जेन गाड़ी नहीं चलाता है और बॉब के गोरे बाल हैं या जो को कंप्यूटर विज्ञान पसंद हैप्रतीकात्मक रूप से लिखा गया है

.

इसके विपरीत, अभिव्यक्ति

यह एक बयान लिखने का एक प्रतीकात्मक रूप है जेन कार चलाता है, बॉब के बाल गोरे नहीं हैं और जो को कंप्यूटर साइंस पसंद है।.

आइए अभिव्यक्ति पर विचार करें। अगर कोई कहता है: " जेन कार चलाता है और बॉब के गोरे बाल हैं", तो हम स्वाभाविक रूप से कल्पना करते हैं कि जेन एक कार चला रहा है और निष्पक्ष बालों वाला बॉब है। किसी अन्य स्थिति में (उदाहरण के लिए, यदि बॉब गोरा नहीं है या जेन गाड़ी नहीं चलाता है), तो हम कहेंगे कि स्पीकर गलत है।

ऐसे चार मामले हैं जिन पर हमें विचार करने की आवश्यकता है। बयान आरसच हो सकता है ( टी) या झूठी ( एफ) और कोई फर्क नहीं पड़ता कि सच्चाई क्या है आर, बयान क्यूसच भी हो सकता है ( टी) या झूठी ( एफ). ट्रुथ टेबलसत्य और असत्य यौगिक कथनों के सभी संभावित संयोजनों को सूचीबद्ध करता है।

तो एक संयोजन सत्य है यदि और केवल यदि दोनों कथन सत्य हैं। पीतथा क्यू, यानी मामले 1 में।

इसी तरह, कथन पर विचार करें जेन कार चलाता है या बॉब के गोरे बाल हैंजिसे प्रतीकात्मक रूप में व्यक्त किया जाता है। अगर कोई कहता है "जेन कार चलाता है या बॉब के गोरे बाल हैं", तो वह गलत तभी होगा जब जेन कार नहीं चला सकती और बॉब के गोरे बाल नहीं हैं। एक संपूर्ण प्रस्ताव के सत्य होने के लिए, यह पर्याप्त है कि इसके दो घटकों में से एक सत्य हो। तो इसमें एक सत्य तालिका है

डिसजंक्शन केवल केस 4 में गलत है, जब दोनों आरतथा क्यूअसत्य।

नकार के लिए सत्य तालिका है

सत्य मान हमेशा p के सत्य मान के विपरीत होता है। सत्य तालिकाओं में, निषेध का मूल्यांकन हमेशा पहले किया जाता है, जब तक कि निषेध चिह्न के बाद कोष्ठक में दिए गए कथन का पालन नहीं किया जाता है। इसलिए के रूप में व्याख्या की जाती है, इसलिए निषेध केवल पर लागू होता है आर. यदि हम पूरे कथन को नकारना चाहते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है।

प्रतीक और नाम बायनरीस्नायुबंधन, क्योंकि वे दो वाक्यों को जोड़ते हैं। प्रतीक ~ is एकलकोपुला, क्योंकि यह केवल एक कथन पर लागू होता है।

एक अन्य बाइनरी कनेक्टिव एक्सक्लूसिव या है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है। एक कथन सत्य है जब यह सत्य है पीया क्यूलेकिन दोनों एक ही समय में नहीं। इस संयोजक में एक सत्य तालिका है

शब्द का प्रयोग करना या, हम मतलब कर सकते हैं एकमात्र. उदाहरण के लिए, जब हम कहते हैं कि आरया तो सत्य है या असत्य, तो निश्चित रूप से, हम यह मान लेते हैं कि यह एक ही समय में सत्य नहीं है। तर्क में एकमात्रशायद ही कभी उपयोग किया जाता है, और भविष्य में, एक नियम के रूप में, हम इसके बिना करेंगे।

कथन पर विचार करें

,

जहां कोष्ठक का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि कौन से वाक्य प्रत्येक संयोजक के घटक हैं।

सत्य तालिका उन स्थितियों को स्पष्ट रूप से इंगित करना संभव बनाती है जब कथन सच हैं; ऐसा करने में, हमें यह सुनिश्चित करना चाहिए कि सभी मामलों को ध्यान में रखा जाए। चूँकि एक यौगिक कथन में तीन मुख्य कथन होते हैं आर, क्यूतथा आर, तो आठ मामले हैं

हो रहा	पी	क्यू	आर
	टी	टी	टी	एफ	एफ	टी
	टी	टी	एफ	एफ	एफ	टी
	टी	एफ	टी	टी	टी	टी
	टी	एफ	एफ	टी	एफ	टी
	एफ	टी	टी	एफ	एफ	एफ
	एफ	टी	एफ	एफ	एफ	एफ
	एफ	एफ	टी	टी	टी	टी
	एफ	एफ	एफ	टी	एफ	एफ

किसी स्तंभ के लिए सत्य मान ज्ञात करते समय, हम और . के लिए स्तंभों का उपयोग करते हैं आर, साथ ही के लिए सत्य तालिका। सत्य तालिका से पता चलता है कि एक कथन सत्य है, यदि दोनों कथन सत्य हैं और आर. यह केवल 3 और 7 मामलों में होता है।

ध्यान दें कि कॉलम के लिए सत्य मान निर्धारित करते समय केवल बयानों की सच्चाई मायने रखती है पीतथा । के लिए सत्य तालिका से पता चलता है कि एकमात्र मामला जब एक संयोजक की मदद से प्रस्ताव बनता है या, असत्य, वह स्थिति है जब कथन के दोनों भाग असत्य हैं। यह स्थिति केवल 5, 6 और 8 स्थितियों में होती है।

एक सत्य तालिका के निर्माण का एक और समान तरीका है, संयोजक के नीचे अभिव्यक्ति के सत्य मूल्यों को लिखना। अभिव्यक्ति पर फिर से विचार करें . पहले हम वेरिएबल के अंतर्गत सत्य मान लिखते हैं आर, क्यूतथा आर. ट्रुथ कॉलम के नीचे 1s इंगित करता है कि इन कॉलमों को पहले सत्य मान दिया गया है। पर सामान्य मामलाकॉलम के नीचे की संख्या उस चरण संख्या को इंगित करेगी जिस पर संबंधित सत्य मानों की गणना की जाती है। फिर हम प्रतीक के तहत लिखते हैं ~ प्रस्ताव के सत्य मूल्य। अगला, हम प्रतीक के तहत सत्य मान लिखते हैं। अंत में, हम कथन का अर्थ लिखते हैं प्रतीक के तहत।

हो रहा	पी	क्यू	आर	पी		((~	क्यू)		आर
	टी	टी	टी	टी	टी	एफ	टी	एफ	टी
	टी	टी	एफ	टी	टी	एफ	टी	एफ	एफ
	टी	एफ	टी	टी	टी	टी	एफ	टी	टी
	टी	एफ	एफ	टी	टी	एफ	एफ	एफ	एफ
	एफ	टी	टी	एफ	एफ	एफ	टी	एफ	टी
	एफ	टी	एफ	एफ	एफ	एफ	टी	एफ	एफ
	एफ	एफ	टी	एफ	टी	टी	एफ	टी	टी
	एफ	एफ	एफ	एफ	एफ	एफ	एफ	एफ	एफ

1.1.3. सशर्त,

मान लीजिए कोई यह दावा करता है कि एक घटना होगी तो दूसरी घटेगी। मान लीजिए एक पिता अपने बेटे से कहता है: यदि आप इस सेमेस्टर में अपनी सभी परीक्षाएं उत्कृष्ट अंकों के साथ उत्तीर्ण करते हैं, तो मैं आपके लिए एक कार खरीदूंगा।". ध्यान दें कि कथन है: अगर पी तो क्यू, कहाँ पे आर- बयान आप इस सेमेस्टर की सभी परीक्षाओं को उत्कृष्ट अंकों के साथ उत्तीर्ण करेंगे।, एक क्यू- बयान मैं तुम्हारे लिए एक कार खरीदूंगा. हम प्रतीकात्मक रूप से एक जटिल कथन को निरूपित करते हैं। सवाल यह है कि पिता किन परिस्थितियों में सच बोलता है? मान लीजिए बयान आरतथा क्यूसच। इस मामले में, एक खुश छात्र सभी विषयों में उत्कृष्ट अंक प्राप्त करता है, और एक सुखद आश्चर्यचकित पिता उसे एक कार खरीदता है। स्वाभाविक रूप से, किसी को भी इस बात पर संदेह नहीं है कि पिता का कथन सत्य था। हालांकि, तीन अन्य मामले हैं जिन पर विचार करने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि एक छात्र ने वास्तव में उत्कृष्ट परिणाम प्राप्त किए, लेकिन उसके पिता ने उसे कार नहीं खरीदी।

इस मामले में पिता के बारे में जो हल्की-फुल्की बात कही जा सकती है, वह यह कि उसने झूठ बोला। इसलिए, यदि आरसच, और क्यूझूठा, फिर झूठा। आइए अब मान लें कि छात्र को सकारात्मक ग्रेड नहीं मिला, लेकिन उसके पिता ने फिर भी उसे एक कार खरीदी। इस मामले में पिता बहुत उदार प्रतीत होते हैं, लेकिन उन्हें झूठा नहीं कहा जा सकता। इसलिए, यदि आरझूठा और क्यूसच है, तो बयान अगर पी तो क्यू(अर्थात्) सत्य है। अंत में, मान लीजिए कि छात्र ने उत्कृष्ट परिणाम प्राप्त नहीं किए और उसके पिता ने उसे कार नहीं खरीदी।

चूंकि छात्र ने समझौते के अपने हिस्से को पूरा नहीं किया है, इसलिए पिता भी दायित्व से मुक्त है। इस प्रकार, यदि आरतथा क्यूअसत्य, सत्य माना जाता है। इसलिए पिता ने केवल तभी झूठ बोला जब उसने वादा किया था और उसे पूरा नहीं किया।

इस प्रकार, कथन के लिए सत्य तालिका का रूप है

प्रतीक कहा जाता है निहितार्थ, या सशर्त लिंक.

ऐसा लग सकता है कि यह एक कारण संबंध की प्रकृति में है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है। निहितार्थ में कारण और प्रभाव की अनुपस्थिति को देखने के लिए, आइए हम उस उदाहरण पर लौटते हैं जिसमें आरएक कहावत है जेन चला रहा है, एक क्यू- बयान बॉब के सुनहरे बाल हैं. फिर बयान अगर जेन गाड़ी चला रही है, तो बॉब के गोरे बाल हैं।के रूप में लिखा जाएगा

यदि पी, फिर क्यूया कैसे ।

तथ्य यह है कि जेन कार चलाता है, इस तथ्य से कोई लेना-देना नहीं है कि बॉब के गोरे बाल हैं। हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि बाइनरी कंपाउंड स्टेटमेंट की सच्चाई या असत्यता केवल इसके घटक भागों की सच्चाई पर निर्भर करती है और उनके बीच किसी भी संबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति पर निर्भर नहीं करती है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। व्यंजक के लिए सत्य तालिका ज्ञात करना आवश्यक है

.

ऊपर दी गई सत्य तालिका का उपयोग करते हुए, हम पहले और के लिए सत्य सारणी का निर्माण करते हैं, यह देखते हुए कि निहितार्थ केवल तब होता है जब ।

अब हम कथन प्राप्त करने के लिए तालिका का उपयोग करते हैं

ट्रुथ टेबल

हो रहा	पी	क्यू	आर	(पी		क्यू)		(क्यू		आर)
	टी	टी	टी	टी	टी	टी	टी	टी	टी	टी
	टी	टी	एफ	टी	टी	टी	एफ	टी	एफ	एफ
	टी	एफ	टी	टी	एफ	एफ	एफ	एफ	टी	टी
	टी	एफ	एफ	टी	एफ	एफ	एफ	एफ	टी	एफ
	एफ	टी	टी	एफ	टी	टी	टी	टी	टी	टी
	एफ	टी	एफ	एफ	टी	टी	एफ	टी	टी	एफ
	एफ	एफ	टी	एफ	टी	एफ	टी	एफ	एफ	टी
	एफ	एफ	एफ	एफ	टी	एफ	टी	एफ	टी	एफ
							*

फॉर्म की अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया गया है। प्रतीक कहा जाता है बराबर. तुल्यता को कभी-कभी इस रूप में भी निरूपित किया जाता है (यूनरी नेगेशन ऑपरेशन के साथ भ्रमित नहीं होना)।

कथन - यह एक घोषणात्मक वाक्य (कथन) है जिसे सही या गलत कहा जा सकता है।

बयानों को बड़े या छोटे लैटिन अक्षरों से दर्शाया जाता है।

उदाहरण 1: A: "मास्को रूस की राजधानी है" एक सत्य कथन है।बी= "वोल्गा काला सागर में बहती है" एक गलत कथन है।

कथनों के सत्य मूल्यों को अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है और- "सच्चाई" और ली- "झूठी" या संख्या 1 - "सच्चाई" और 0 - "असत्य"। वे।, लेकिन= 1 (मैं), बी= 0 (एल)।

हर वाक्य एक कथन नहीं है। इसलिए, प्रश्नवाचक और विस्मयादिबोधक वाक्य कथनों से संबंधित नहीं हैं, क्योंकि उनके सत्य या असत्य के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है। ऐसे वाक्य कथन नहीं हैं: "दलिया एक स्वादिष्ट व्यंजन है", "गणित है" दिलचस्प विषय". ये वाक्य सही हैं या गलत, इस पर कोई आम सहमति नहीं हो सकती है। वाक्य "विदेशी सभ्यताएँ हैं" को एक कथन माना जाना चाहिए, क्योंकि वस्तुनिष्ठ रूप से यह या तो सत्य है या असत्य, हालाँकि अभी तक कोई नहीं जानता कि कौन सा है।

एक वाक्य जिसमें कम से कम एक चर होता है और एक बयान बन जाता है जब सभी चर को उनके मूल्यों के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है, प्रस्तावक रूप कहलाता है।

वाक्यों पर विचार करें: "वह लाल बालों वाला है" और "संख्या 7 से विभाज्य है।" इन वाक्यों में स्पष्ट चर शामिल नहीं हैं, लेकिन, फिर भी, प्रस्तावक रूप हैं: उनमें से पहला पुरुष लोगों के एक निश्चित समूह से किसी विशेष व्यक्ति के नाम के साथ सर्वनाम "वह" को बदलने के बाद ही एक प्रस्ताव (सच्चा या गलत) बन जाता है। ; दूसरा एक प्रस्ताव बन जाता है यदि "संख्या" शब्द के लिए पूर्णांकों को प्रतिस्थापित किया जाता है। अन्यथा, इन वाक्यों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: "मन एक्सरेडहेड", "नंबर पर 7 से विभाज्य है।

कथन विशेष शब्दों की सहायता से प्रस्तावक रूपों से भी प्राप्त किए जा सकते हैं, तथाकथित परिमाणकों. उनमें से दो हैं: 1) सार्वभौमिक परिमाणक - (कोई भी, हर कोई, हर कोई); 2) अस्तित्व का परिमाणक - (वहाँ मौजूद है, वहाँ है, वहाँ है, कुछ, कम से कम एक)। उदाहरण के लिए, प्रस्तावक रूप से "एक कमरे का क्षेत्रफल 20 मीटर 2 है" आप बयान प्राप्त करने के लिए क्वांटिफायर का उपयोग कर सकते हैं: "किसी भी कमरे का क्षेत्रफल 20 मीटर 2 है" - झूठा, " एक कमरा है जिसका क्षेत्रफल 20 मी 2" - सत्य है। सार्वत्रिक परिमाणक से बने वाक्य कहलाते हैं आम तौर पर सकारात्मक ; अस्तित्वगत परिमाणक से बने वाक्य कहलाते हैं निजी सकारात्मक .

इन दो वाक्यों से, "और", "या", "या", "अगर ..., फिर ...", "... तब और केवल जब ..." और यूनियनों का उपयोग करके नए वाक्य बनाए जा सकते हैं। अन्य। कण "नहीं" और वाक्यांश "यह सच नहीं है कि ..." की मदद से आप एक वाक्य से एक नया प्राप्त कर सकते हैं। सबसे आम संयोजन "और", "या", "अगर ... तो ..." और "... अगर और केवल अगर" हैं। शेष यूनियनों को सूचीबद्ध यूनियनों में से एक के अर्थ में करीब माना जाता है।

संघों "और", "या", "यदि, तब", "यदि और केवल अगर", साथ ही कण "नहीं" (वाक्यांश "यह सच नहीं है") को तार्किक संयोजक कहा जाता है।

अन्य वाक्यों से तार्किक संयोजकों का प्रयोग करके बनने वाले वाक्य कहलाते हैं घटक या जटिल . जिन वाक्यों में तार्किक संबंध नहीं होते, वे वाक्य कहलाते हैं प्राथमिक या सरल .

उदाहरण 2: "सूर्य पूर्व में उगता है" और "सूर्य पश्चिम में अस्त होता है" वाक्यों से आप निम्नलिखित यौगिक कथन प्राप्त कर सकते हैं: "सूर्य पूर्व में उगता है" तथापश्चिम में सेट"; "सूरज पूरब में उगता है यापश्चिम में सेट"; " यदि एकसूरज पूरब में उगता है फिरयह पश्चिम में अस्त होता है"; "सूरज पूरब में उगता है अगर और केवल अगरयह पश्चिम में अस्त होता है"; "रवि नहींपूर्व में उगता है" या " यह सच नहीं है किसूर्य पश्चिम में अस्त होता है।"

व्याकरण सरल और जटिल वाक्यों में अंतर करता है। एक वाक्य जो अपनी व्याकरणिक संरचना में सरल है, तर्क के संदर्भ में मिश्रित हो सकता है। उदाहरण के लिए, व्याकरण की दृष्टि से सरल वाक्य "इट्स कोल्ड एंड डंप आउट आउट" को तर्क में जटिल माना जाता है, क्योंकि यह दो प्राथमिक वाक्यों "इट्स कोल्ड आउट आउट" और "इट्स डंप आउट आउट" से लॉजिकल कनेक्टिव "और" का उपयोग करके बनाया गया है। सरल वाक्य "कल कोई वर्षा नहीं होगी" इसकी तार्किक संरचना में प्राथमिक नहीं है, क्योंकि इसमें तार्किक संयोजी "नहीं" है।

गणितीय तर्क में, तार्किक संयोजकों का अर्थ इस तरह से निर्दिष्ट किया जाता है कि कथनों से बने यौगिक वाक्यों की सत्यता या असत्यता का प्रश्न सभी मामलों में स्पष्ट रूप से हल हो जाता है। हम नीचे इस स्पष्टीकरण से निपटेंगे।

लॉजिकल कनेक्टिव्स का उपयोग करके यौगिक स्टेटमेंट प्राप्त करने की प्रक्रिया को लॉजिकल ऑपरेशन कहा जाता है।

तार्किक संयोजकों की संख्या के अनुसार, पाँच तार्किक संचालन प्रतिष्ठित हैं।

1. निषेध (नकार) एकमात्र ऑपरेशन है जिसे किसी एक कथन पर लागू किया जा सकता है।

एक प्रस्ताव की अस्वीकृति एक नया प्रस्ताव है जो सच है अगर और केवल अगर प्रस्ताव स्वयं झूठा और झूठा है जब प्रस्ताव स्वयं सत्य है।

नकारात्मकता का संकेत दिया जाता है , या बी, पढ़ें: "नहीं ए" या "यह सच नहीं है कि ए"।

उदाहरण के लिए, कथन लेकिन= "चंद्रमा मंगल का उपग्रह है" गलत है, और कथन = "यह सच नहीं है कि चंद्रमा मंगल का उपग्रह है" - सच।

एक मनमाना बयान के लिए लेकिनतथाकथित का उपयोग करके परिभाषा लिखना सुविधाजनक है सत्य सारणी:

उदाहरण 3:बयानों की अस्वीकृति तैयार करें: लेकिन= "कुरगन - बड़ा शहर»; पर= "पनीर दूध से बनता है"; से= "32 4 से विभाज्य नहीं है"; डी= "सभी कुत्ते स्वर्ग जाते हैं।"

समाधान. = « यह सच नहीं है किकुरगन एक बड़ा शहर है”; = "पनीर बनता है नहींदूध से"; = "32, 4 से विभाज्य है"; = « नहींसभी कुत्ते स्वर्ग जाते हैं" = " कुछकुत्ते नहींस्वर्ग में जाओ।"

"यह सच नहीं है कि ..." वाक्यांश का उपयोग करके जटिल बयानों की अस्वीकृति सबसे अधिक बार तैयार की जाती है। उदाहरण के लिए: कथन E = "23 मार्च, 1917 को मास्को में, सुबह ठंढी और धूप थी"; निषेध: = « यह सच नहीं है कि 23 मार्च, 1917 को मास्को में सुबह ठंढी और धूप थी।

2. संयोजक (तार्किक गुणन) - लैटिन से संयोजन- कनेक्शन।

दो प्रस्तावों का संयोजन एक नया प्रस्ताव है जो सत्य है और केवल तभी जब दोनों प्रस्ताव सत्य हैं।

संयोजन निरूपित है
या लेकिन&बी; पढ़ता है: " लेकिनतथा पर».

संयोजन के लिए सत्य तालिका इस तरह दिखती है:

उदाहरण 4:"पेरिस सीन पर स्थित है और 2 + 3 = 5" कथनों का सत्य मान निर्धारित करें; "1 एक अभाज्य संख्या है और 2 एक अभाज्य संख्या है"; "नंबर 3 सम है और भालू अफ्रीका में रहते हैं।"

समाधान।पहला वाक्य दो वाक्यों का योग है ए ="पेरिस सीन पर स्थित है" और परलेकिनपर= 1. इसलिए,
= 1.

दूसरा प्रस्ताव प्रस्तावों का एक संयोजन है लेकिन= "1 एक अभाज्य संख्या है" ( लेकिन= 0) और पर= "2 एक अभाज्य संख्या है" ( पर= 1)। फलस्वरूप,
= 0.

तीसरा प्रस्ताव दो झूठे प्रस्तावों का संयोजन है, इसलिए
=0.

3. वियोजन (तार्किक जोड़) - लैटिन से अलगाव- विभाजन.

दो प्रस्तावों का विच्छेदन एक नया प्रस्ताव है जो गलत है और केवल अगर दोनों प्रस्ताव झूठे हैं।

वियोजन दर्शाया गया है
और पढ़ता है " लेकिनया पर».

विच्छेदन के लिए सत्य तालिका इस तरह दिखती है:

उदाहरण 5:"पेरिस सीन पर स्थित है या 2 + 3 = 5" कथनों का सत्य मान निर्धारित करें; "1 एक अभाज्य संख्या है या 2 एक अभाज्य संख्या है"; "नंबर 3 सम है या भालू अफ्रीका में रहते हैं।"

समाधान।पहला वाक्य दो वाक्यों का संयोजन है ए ="पेरिस सीन पर स्थित है" और पर= "2 + 3 = 5"। कथन का सत्य मूल्य लेकिन= 1 और कथन का सत्य मान पर= 1. इसलिए,
= 1.

दूसरा प्रस्ताव प्रस्तावों का एक संयोजन है लेकिन= "1 एक अभाज्य संख्या है" ( लेकिन= 0) और पर= "2 एक अभाज्य संख्या है" ( पर= 1)। फलस्वरूप,
= 1.

तीसरा प्रस्ताव दो झूठे प्रस्तावों का संयोजन है, इसलिए
=0.

4. निहितार्थ (तार्किक परिणाम)।

दो प्रस्तावों का निहितार्थ एक नया प्रस्ताव है जो गलत है और केवल अगर पहला प्रस्ताव सत्य है और दूसरा गलत है।

निहितार्थ निरूपित है
या
, पढ़ता है "अगर लेकिन, फिर पर" ("कब लेकिन, फिर पर», « लेकिन, फलस्वरूप पर»).

निहितार्थ सत्य तालिका इस तरह दिखती है:

एक निहितार्थ के घटकों के अपने "नाम" होते हैं: वाक्य लेकिनबुलाया पार्सल या पूर्वपद , वाक्य पर – निष्कर्ष या अहम .

उदाहरण 6:एक निहितार्थ के सत्य मूल्य को खोजने के लिए नियम को याद रखने के लिए, निम्नलिखित कथनों का उपयोग करना सुविधाजनक है: "बारिश हो रही है", "डामर गीला है", "बारिश नहीं हो रही है", "डामर सूखा है"।

1)
= "अगर बारिश हो रही है, तो डामर गीला है" = 1;

2)
= "अगर बारिश हो रही है, तो डामर सूखा है" = 0;

3)
= "अगर बारिश नहीं हो रही है, तो डामर गीला है" = 1 (पास .) पानी देने की मशीनया पिघली हुई बर्फ)

4)
= "अगर बारिश नहीं होती है, तो डामर सूखा है" = 1।

निहितार्थ की स्वीकृत परिभाषा न केवल गणित में, बल्कि सामान्य, रोजमर्रा के भाषण में भी "अगर ... तो ..." संघ के उपयोग से मेल खाती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक दोस्त की अपील "अगर मौसम अच्छा है, तो मैं आपसे मिलने आऊंगा" आप झूठ के रूप में समझेंगे यदि और केवल अगर मौसम अच्छा है और दोस्त आपसे मिलने नहीं आता है।

साथ ही, निहितार्थ की परिभाषा हमें "यदि 2 × 2 = 4, तो मास्को रूस की राजधानी है" या "यदि 2 × 2 = 5 है, तो चुड़ैलों जैसे वाक्यों को सही कथनों पर विचार करने के लिए मजबूर करती है। " ये सुझाव शायद अर्थहीन लगते हैं। तथ्य यह है कि हम उन वाक्यों को जोड़ने के आदी हैं जो संघ के साथ अर्थ से संबंधित हैं "अगर ... तब ..." (साथ ही अन्य यूनियनों के साथ)। लेकिन तार्किक संचालन की परिभाषा घटक बयानों के अर्थ को ध्यान में नहीं रखती है; उन्हें वस्तुओं के रूप में माना जाता है जिनके पास सत्य या असत्य होने का एकमात्र गुण होता है। इसलिए कुछ मिश्रित कथनों की "अर्थहीनता" से किसी को शर्मिंदा नहीं होना चाहिए, उनका अर्थ हमारे विचार के विषय में शामिल नहीं है।

5. तुल्यता (तार्किक समानता)।

दो प्रस्तावों के बराबर एक नया प्रस्ताव है जो सच है अगर और केवल अगर दोनों प्रस्ताव सही या गलत दोनों हैं।

समतुल्य निरूपित है
या
, पढ़ता है " लेकिनअगर और केवल अगर पर».

तुल्यता के लिए सत्य तालिका इस तरह दिखती है:

एक तुल्यता के रूप में, एक नियम के रूप में, परिभाषाएँ तैयार की जाती हैं (उदाहरण के लिए, तार्किक संचालन की परिभाषाएँ)।

उदाहरण 7:आगे बढ़ने देना लेकिनकथन "9 3 से विभाज्य है" इंगित किया गया है, और के माध्यम से पर- कथन "10 3 से विभाज्य है"। ऐसे वाक्य बनाएं जिनकी तार्किक संरचना हो: a)
; बी)
; में)
; जी)
; इ)
; इ)
और उनके सत्य मूल्यों का निर्धारण करते हैं।

समाधान।एक)
= "यदि 9, 3 से विभाज्य है, तो 10, 3 से विभाज्य है" = 0, क्योंकि लेकिन= 1, और पर= 0. ख)
= "यदि 10, 3 से विभाज्य है, तो 9, 3 से विभाज्य है" = 1. ग)
= "9, 3 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 10, 3 से विभाज्य है" = 0. डी)
= "10, 3 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 9, 3 से विभाज्य है" = 0. ई)
= "यदि 9, 3 से विभाज्य नहीं है, तो 10, 3 से विभाज्य है" = 1 (क्योंकि लेकिन= 1, तो = 0 और पर= 0, इसलिए,
= 1)। इ)
= "9, 3 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 10, 3 से विभाज्य नहीं है" = 1 ( लेकिन= 1 और = 1, तो
= 1).

बयानों के प्रकार

तार्किक कथन आमतौर पर दो प्रकारों में विभाजित होते हैं: प्राथमिक तार्किक कथन और यौगिक तार्किक कथन।

यौगिक तार्किक कथनतार्किक संयोजकों की सहायता से अन्य कथनों से बना एक कथन है।

तार्किक कड़ीकिसी कथन पर कोई तार्किक संक्रिया है। उदाहरण के लिए, सामान्य भाषण में प्रयुक्त शब्द और वाक्यांश "नहीं", "और", "या", "अगर ... तब", "तब और केवल तब"तार्किक लिंक हैं।

प्राथमिक तार्किक कथनये गैर-यौगिक कथन हैं।

उदाहरण: "पेट्रोव एक डॉक्टर है", "पेट्रोव एक शतरंज खिलाड़ी है" - प्राथमिक तार्किक कथन। "पेट्रोव एक डॉक्टर और एक शतरंज खिलाड़ी है" एक मिश्रित तार्किक कथन है, जिसमें "और" के एक समूह के माध्यम से एक दूसरे से जुड़े दो प्राथमिक कथन शामिल हैं।

गणितीय तर्क के साथ संबंध

साधारण तर्क दो-मूल्यवान है, अर्थात यह केवल दो को निर्दिष्ट करता है संभावित मान: सही या गलत ।

एक बयान होने दो। अगर सच है तो लिखो अगर असत्य है तो लिखो।

तार्किक बयानों पर बुनियादी संचालन

नकारतार्किक कथन - एक तार्किक कथन जो मूल कथन के गलत होने पर "सत्य" मान लेता है, और इसके विपरीत।

संयोजकदो तार्किक प्रस्ताव - एक तार्किक प्रस्ताव जो तभी सत्य होता है जब वे दोनों एक ही समय में सत्य हों।

अलगावदो तार्किक कथन - एक तार्किक कथन जो तभी सत्य होता है जब उनमें से कम से कम एक सत्य हो।

निहितार्थदो तार्किक कथन A और B - एक तार्किक कथन जो केवल असत्य है यदि B गलत है और A सत्य है।

समानक(समतुल्यता) दो तार्किक कथनों की - एक तार्किक कथन जो केवल तभी सत्य है जब वे दोनों सत्य या असत्य हों।

परिमाणक सार्वभौमिकता() एक तार्किक प्रस्ताव है जो केवल तभी सत्य है जब प्रत्येक वस्तु के लिए x से दी गई आबादीकथन A(x) सत्य है।

परिमाणकक्वांटिफायर के साथ तार्किक बयान अस्तित्व() एक तार्किक प्रस्ताव है जो केवल तभी सत्य है जब दिए गए संग्रह में कोई वस्तु x है जैसे कि प्रस्ताव ए (एक्स) सत्य है।

यह सभी देखें

• कथन

टिप्पणियाँ

साहित्य

• कारपेंको, ए.एस. आधुनिक शोधदार्शनिक तर्क में // तार्किक अनुसंधान। मुद्दा। 10. - एम.: नौका, 2003. आईएसबीएन 5-02-006257-एक्स - एस 61-93।
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देखें कि "प्रस्ताव (तर्क)" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

प्रस्ताव: एक प्रस्ताव (तर्क) एक वाक्य है जो सत्य या गलत हो सकता है। एक उच्चारण (भाषाविज्ञान) एक विशिष्ट भाषण स्थिति में एक वाक्य है। यह भी देखें जजमेंट ... विकिपीडिया

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