На основе имеющихся данных рассчитать дисперсию. Пример нахождения дисперсии
Дисперсия в статистике находится как индивидуальных значений признака в квадрате от . В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:
1. (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:
2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):
где n — частота (повторяемость фактора Х)
Пример нахождения дисперсии
На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение
Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию
Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:
где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:
Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6
Составим интервальную группировку
Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:
X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)
Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:
Определим дисперсию по формуле:
Формулу дисперсии можно преобразовать так:
Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.
Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:
где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка
(если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:
Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:
Виды дисперсии
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.
характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.
Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:
где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.
Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).
Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную , т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:
Характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:
Правило сложения дисперсии в статистике
Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:
Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.
Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.
Свойства дисперсии
1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.
Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .
Свойства математического ожидания случайной величины
- Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
- M=C M[X]
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.
Свойства дисперсии
- Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
- Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.- Поочередно умножаем пары: x i на p i .
- Складываем произведение каждой пары x i p i .
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример №1 .
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
| Х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| р | а | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1
Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Шаги
Вычисление дисперсии выборки
-
Запишите значения выборки. В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.
- Например, проанализируем количество булочек, проданных в кафе за 6 дней, взятых в случайном порядке. Выборка имеет следующий вид: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Это выборка, а не совокупность, потому что у нас нет данных о проданных булочках за каждый день работы кафе.
- Если вам дана совокупность, а не выборка значений, перейдите к следующему разделу.
-
Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки. Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:
- s 2 {\displaystyle s^{2}} = ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ] / (n - 1)
- s 2 {\displaystyle s^{2}} – это дисперсия. Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
- x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке.
- x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть x̅, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
- x̅ – выборочное среднее (среднее значение выборки).
- n – количество значений в выборке.
-
Вычислите среднее значение выборки. Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.
- В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
Выборочное среднее x̅ = 14. - Выборочное среднее – это центральное значение, вокруг которого распределены значения в выборке. Если значения в выборке группируются вокруг выборочного среднего, то дисперсия мала; в противном случае дисперсия велика.
- В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
-
Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке. Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅, где x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.
- В нашем примере:
x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3
x 2 {\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1
x 3 {\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9
x 4 {\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7
x 5 {\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5
x 6 {\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1 - Правильность полученных результатов легко проверить, так как их сумма должна равняться нулю. Это связано с определением среднего значения, так как отрицательные значения (расстояния от среднего значения до меньших значений) полностью компенсируются положительными значениями (расстояниями от среднего значения до больших значений).
- В нашем примере:
-
Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}} - x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.
- В нашем примере:
( x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅) 2 = 3 2 = 9 {\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}
(x 2 {\displaystyle (x_{2}} - x̅) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}
9 2 = 81
(-7) 2 = 49
(-5) 2 = 25
(-1) 2 = 1 - Вы нашли квадрат разности - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения в выборке.
- В нашем примере:
-
Вычислите сумму квадратов разностей. То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.
- В нашем примере: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .
-
Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке. Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.
- В нашем примере выборка включает 6 значений, то есть n = 6.
Дисперсия выборки = s 2 = 166 6 − 1 = {\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33,2
- В нашем примере выборка включает 6 значений, то есть n = 6.
-
Отличие дисперсии от стандартного отклонения. Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}} , а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s} .
- В нашем примере стандартное отклонение выборки: s = √33,2 = 5,76.
Вычисление дисперсии совокупности
-
Проанализируйте некоторую совокупность значений. Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:
- В некоторой комнате находятся 6 аквариумов. В каждом аквариуме обитает следующее количество рыб:
x 1 = 5 {\displaystyle x_{1}=5}
x 2 = 5 {\displaystyle x_{2}=5}
x 3 = 8 {\displaystyle x_{3}=8}
x 4 = 12 {\displaystyle x_{4}=12}
x 5 = 15 {\displaystyle x_{5}=15}
x 6 = 18 {\displaystyle x_{6}=18}
- В некоторой комнате находятся 6 аквариумов. В каждом аквариуме обитает следующее количество рыб:
-
Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности. Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:
- σ 2 {\displaystyle ^{2}} = (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
- σ 2 {\displaystyle ^{2}} – дисперсия совокупности (читается как «сигма в квадрате»). Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
- x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в совокупности.
- Σ – знак суммы. То есть из каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть μ, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
- μ – среднее значение совокупности.
- n – количество значений в генеральной совокупности.
-
Вычислите среднее значение совокупности. При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.
- Имейте в виду, что средние величины не всегда вычисляются как среднее арифметическое.
- В нашем примере среднее значение совокупности: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 {\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10,5
-
Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности. Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.
- В нашем примере:
x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
x 3 {\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10,5 = -2,5
x 4 {\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10,5 = 1,5
x 5 {\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10,5 = 4,5
x 6 {\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10,5 = 7,5
- В нашем примере:
-
Возведите в квадрат каждый полученный результат. Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.
- В нашем примере:
( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения совокупности (от i = 1 до i = 6):
(-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} = 30,25
(-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} , где x n {\displaystyle x_{n}} – последнее значение в генеральной совокупности. - Для вычисления среднего значения полученных результатов нужно найти их сумму и разделить ее на n:(( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ... + ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
- Теперь запишем приведенное объяснение с использованием переменных: (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n и получим формулу для вычисления дисперсии совокупности.
- В нашем примере:
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу
так как М(Х)
, 2 и
–
постоянные величины. Таким образом,
4.2.2. Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, по определению
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением его в квадрат.
Доказательство
Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:
Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:
Свойство 3. Если случайные величины Х иY независимы, то
Доказательство
. Обозначим
.
Тогдаи.
Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин
Пример 4.5.
Еслиa
иb
– постоянные,
тоD(a
Х+
b
)=
D
(a
Х)+
D
(b
)=
.
4.2.3. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия, как
характеристика разброса случайной
величины, имеет один недостаток. Если,
например, Х
– ошибка измерения имеет размерность
ММ
,
то дисперсия имеет размерность
.
Поэтому часто предпочитают пользоваться
другой характеристикой разброса –средним
квадратическим отклонением
,
которое равно корню квадратному из
дисперсии
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
Пример 4.6. Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний
Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равнар . Выразим, как и прежде, число появления событияХ через число появления события в отдельных опытах:
Так как опыты независимы, то и связанные
с опытами случайные величины
независимы. А в силу независимости
имеем
Но каждая из случайных величин имеет закон распределения (пример 3.2)
|
| ||
и
(пример 4.4). Поэтому, по определению
дисперсии:
где q =1- p .
В итоге имеем
,
Среднее квадратическое отклонение
числа появлений события в n
независимых опытах равно
.
4.3. Моменты случайных величин
Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.
Начальным
моментом
k
Х
(
)
называется математическое ожиданиеk
-й
степени этой случайной величины.
Центральным моментом k -го порядка случайной величиныХ называется математическое ожиданиеk -ой степени соответствующей центрированной величины.
Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, так как .
Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.
4.4. Примеры нахождения законов распределения
Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.
Пример 4.7.
Составить закон распределения числа
попаданий в цель при трех выстрелах по
мишени, если вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную
функцию F
(х)
для
полученного распределения дискретной
случайной величиныХ
и начертить
ее график. Найти математическое ожиданиеM
(X
)
,
дисперсиюD
(X
)
и среднее квадратическое отклонение
(Х
)
случайной величиныX
.
Решение
1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения:0, 1, 2, 3 . Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при:n =3,p =0,4,q =1- p =0,6 иm =0, 1, 2, 3:
Получим вероятности возможных значений Х :;
Составим искомый закон распределения случайной величины Х :
Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х . Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).
2) Если х
0,
то F
(х)
=0.
Действительно, значений, меньших нуля,
величина Х
не принимает. Следовательно, при всех
х
0
, пользуясь определениемF
(х)
,
получим F
(х)
=P
(X
<
x
)
=0
(как вероятность невозможного события).
Если 0
,
тоF
(X
)
=0,216.
Действительно, в этом случаеF
(х)
=P
(X
<
x
)
=
=P
(-
<
X
0)+
P
(0<
X
<
x
)
=0,216+0=0,216.
Если взять, например, х =0,2, тоF (0,2)=P (X <0,2) . Но вероятность событияХ <0,2 равна 0,216, так как случайная величинаХ лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно0 с вероятностью 0,216.
Если 1
,
то
Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.
Если 2
,
то рассуждая аналогично, получимF
(х)
=0,216+0,432 +
+ 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,х
=3. ТогдаF
(3)=P
(X
<3)
выражает вероятность событияX
<3 –
стрелок сделает меньше трех попаданий,
т.е. ноль, один или два. Применяя теорему
сложения вероятностей, получим указанное
значение функцииF
(х)
.
Если x
>3, тоF
(х)
=0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Действительно, событиеX
является
достоверным и вероятность его равна
единице, аX
>3 –
невозможным. Учитывая, что
F
(х)
=P
(X
<
x
)
=P
(X
3)
+
P
(3<
X
<
x
)
,
получим указанный результат.
Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:
F
(x
)
=
график которой изображен на рис. 4.2.
3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:
М(Х) =0=1,2.
То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.
Дисперсию можно вычислить, исходя из
определения дисперсии D
(X
)=
M
(X
-
M
(X
))
или воспользоваться формулойD
(X
)=
M
(X
,
которая ведет к цели быстрее.
Напишем закон распределения случайной
величины Х
:
Найдем математическое ожидание для Х
:
М(Х
)
= 04
= 2,16.
Вычислим искомую дисперсию:
D
(X
)
=
M
(X
)
– (M
(X
))
= 2,16 – (1,2)
= 0,72.
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле
(X
)
=
= 0,848.
Интервал (M
-
;
M
+
)
= (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал
наиболее вероятных значений случайной
величиныХ
, в него попадают значения
1 и 2.
Пример 4.8.
Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х :
f
(x
)
=
1) Определить постоянный параметр a .
2) Найти интегральную функцию F (x ) .
3) Построить графики функций f (x ) иF (x ) .
4) Найти двумя способами вероятности
Р(0,5<
X
1,5)
иP
(1,5<
X
<3,5)
.
5). Найти математическое ожидание М(Х)
,
дисперсиюD
(Х)
и
среднее квадратическое отклонение
случайной величиныХ
.
Решение
1) Дифференциальная функция по свойству
f
(x
)
должна удовлетворять условию
.
Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f (x ) :
Подставляя этот результат в левую часть
равенства, получим, что а
=1. В условии
дляf
(x
)
заменим параметра
на 1:
2) Для нахождения F (x ) воспользуемся формулой
.
Если х
,
то
,
следовательно,
Если 1
то
Если x>2, то
Итак, искомая интегральная функция F (x ) имеет вид:
3) Построим графики функций f (x ) иF (x ) (рис. 4.3 и 4.4).
4) Вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал (а,
b
)
вычисляется по формуле
,
если известнафункция
f
(x
),
и по формуле P
(a
<
X
<
b
)
=
F
(b
)
–
F
(a
),
если известна
функция
F
(x
).
Найдем
по двум формулам и сравним результаты.
По условиюа=0,5;
b
=1,5;
функцияf
(X
)
задана в пункте 1). Следовательно,
искомая вероятность по формуле равна:
Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функцииF (x ) на этом интервале:
Так какF (0,5)=0.
Аналогично находим
так как F (3,5)=1.
5) Для нахождения математического
ожидания М(Х)
воспользуемся формулой
Функцияf
(x
)
задана в решении пункта 1), она равна
нулю вне интервала (1,2]:
Дисперсия
непрерывной случайной величиныD
(Х)
определяется равенством
,
или равносильным равенством
.
Для
нахожденияD
(X
)
воспользуемся последней формулой и
учтем, что все возможные значенияf
(x
)
принадлежат интервалу (1,2]:
Среднее квадратическое отклонение
=
=0,276.
Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х равен
(М-
,М+
)
= (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).
Часто в статистике при анализе какого-либо явления или процесса необходимо учитывать не только информацию о средних уровнях исследуемых показателей, но и разброс или вариацию значений отдельных единиц , которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.
В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды времени и в разных местах.
Основными показателями, характеризующими вариацию , являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Размах вариации представляет собой разность максимального и минимального значений признака: R = Xmax – Xmin . Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.
Дисперсия лишена этого недостатка. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:
Упрощенный способ расчета дисперсии осуществляется с помощью следующих формул (простой и взвешенной):
Примеры применения данных формул представлены в задачах 1 и 2.
Широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение :
Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак.
Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении - относительно среднего уровня, что во многих случаях является предпочтительнее.
Формула для расчета коэффициента вариации.
Примеры решения задач по теме «Показатели вариации в статистике»
Задача 1 . При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:
Определить:
1) для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;
2) средний размер вклада за месяц для двух банков вместе;
3) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;
4) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;
5) Общую дисперсию используя правило сложения;
6) Коэффициент детерминации;
7) Корреляционное отношение.
Решение
1) Составим расчетную таблицу для банка с рекламой . Для определения среднего размера вклада за месяц найдем середины интервалов. При этом величина открытого интервала (первого) условно приравнивается к величине интервала, примыкающего к нему (второго).
Средний размер вклада найдем по формуле средней арифметической взвешенной:
29 000/50 = 580 руб.
Дисперсию вклада найдем по формуле:
23 400/50 = 468
Аналогичные действия произведем для банка без рекламы :
2) Найдем средний размер вклада для двух банков вместе. Хср =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 руб.
3) Дисперсию вклада, для двух банков, зависящую от рекламы найдем по формуле: σ 2 =pq (формула дисперсии альтернативного признака). Здесь р=0,5 – доля факторов, зависящих от рекламы; q=1-0,5, тогда σ 2 =0,5*0,5=0,25.
4) Поскольку доля остальных факторов равна 0,5, то дисперсия вклада для двух банков, зависящая от всех факторов кроме рекламы тоже 0,25.
5) Определим общую дисперсию, используя правило сложения.
= (468*50+636,16*50)/100=552,08
= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96
σ 2 = σ 2 факт + σ 2 ост = 552,08+345,96 = 898,04
6) Коэффициент детерминации η 2 = σ 2 факт / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - размер вклада на 39% зависит от рекламы.
7) Эмпирическое корреляционное отношение η = √η 2 = √0,39 = 0,62 – связь достаточно тесная.
Задача 2 . Имеется группировка предприятий по величине товарной продукции:
Определить: 1) дисперсию величины товарной продукции; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) коэффициент вариации.
Решение
1) По условию представлен интервальный ряд распределения. Его необходимо выразить дискретно, то есть найти середину интервала (х"). В группах закрытых интервалов середину найдем по простой средней арифметической. В группах с верхней границей - как разность между этой верхней границей и половиной размера следующего за ним интервала (200-(400-200):2=100).
В группах с нижней границей – суммой этой нижней границы и половины размера предыдущего интервала (800+(800-600):2=900).
Расчет средней величины товарной продукции делаем по формуле:
Хср = k×((Σ((х"-a):k)×f):Σf)+a. Здесь а=500 - размер варианта при наибольшей частоте, k=600-400=200 - размер интервала при наибольшей частоте. Результат поместим в таблицу:
Итак, средняя величина товарной продукции за изучаемый период в целом равна Хср = (-5:37)×200+500=472,97 тыс. руб.
2) Дисперсию найдем по следующей формуле:
σ 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05
3) среднее квадратическое отклонение: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 тыс. руб.
4) коэффициент вариации: V = (σ /Хср)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = 39,52%
