Соотношение золотого сечения. Использование «Золотого сечения» и «Правила трех» в веб-дизайне

В этой статье речь пойдет об очень важном секрете, о котором знают немногие бизнесмены, и незнание которого часто приводит к развалу бизнеса. Есть такие известные понятия, как "золотое сечение" и "числа Фибоначчи".
Ряд Фибоначчи – это когда сумма двух предыдущих чисел дает следующее число. Т.е. 0,1,1,2,3,5… и т.д. В природе все построено по этому принципу. Например, если подсчитать веточки дерева, можно убедиться, что с увеличением радиуса кроны их число увеличивается по закону золотого сечения.
Прямоугольник с отношением сторон 0.618 и 0.382 - золотой прямоугольник. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности.
Другой всем знакомый пример - пятиконечная звезда (она же магический символ, пентаграмма), в которой каждая из пяти линий делит другую в точке золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.
Скелет человека также построен по этому закону. Он выдержан в пропорции, близкой к золотому сечению. И чем ближе пропорции к формуле золотого сечения, тем более идеальным выглядит внешность человека. Если расстояние между ступней человека и точкой пупа = 1, то рост человека = 1.618 (разумеется, это в идеале). Число 1.618 и есть коэффициент золотого сечения.
Но какое отношение это имеет к бизнесу, деньгам, финансам?! Так вот, самое непосредственное! Закон Фибоначчи и есть та самая формула, по которой добывают богатство во все времена. И все, что вы будете предпринимать в соотношении с числами золотого сечения, будет обречено на успех. И наоборот, игнорирование этого правила приводит к краху. Это своего рода магия денег.
Рассмотрим применение закона золотого сечения в бизнесе на практике. Допустим, вы купили ящик апельсинов за 1 доллар (доллар в данном случае условная единица) и продали за 2 доллара. Получили прибыль 100%. Как действовать дальше? Купить на эти 2 доллара еще 2 ящика и продать?
НЕТ! Вот это и есть самая распространенная ошибка горе-бизнесменов! Правильно будет, в соответствии с законом золотого сечения, купить еще один ящик, продать с теми же 100% прибыли, и только потом купить 2 ящика. То есть действуем по указанному принципу:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,
6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,
514229,832040,1346269…
Как видим, всего за 32 цикла мы достигли прибыли свыше миллиона! И при этом у нас еще и всегда оставались "лишние" деньги! Кроме того, этот принцип - хорошая страховка от форс-мажорных обстоятельств. Ведь если в самом начале, получив прибыль в 1 доллар и имея 2 доллара на руках и вложив их все сразу, есть риск потерять все. А так у нас доллар в запасе остался, во всяком случае, не в минус уйдем.
Особенно важна эта схема при игре на бирже и прочих сравнительно рискованных финансовых операциях. Пример схематичный, его можно адаптировать к прибыли и в 20%, и к любой другой. Используйте в своих расчетах число 1,618 – коэффициент, по которому следует увеличивать финансы, и вам будет сопутствовать успех!
Любую деятельность разумно соотносить с принципом золотого сечения. Это самый надежный и безопасный путь. Главное, определиться с единицей измерения. Это может быть время, этапы в работе и т.д. и т.п. Обогащайтесь также поэтапно, согласуя свои шаги с законами природы.

Вырезав квадрат со стороной а из прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же свойством

Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, число Фидия) — деление непрерывной величины на части в таком отношении, при котором большая часть так относится к меньшей, как вся величина к большей. Например, деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. |АВ | / |ВС | = |АС | / |АВ |).

Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой ϕ (встречается также обозначение τ). Она равна:

Формула «золотых гармоний», дающая пары чисел удовлетворяющие вышеупомянутой пропорции:

В случае с числом параметр m = 1.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок . 300 до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

C ам термин «золотое сечение» (нем. goldener Schnitt ) был введён немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.

Математические свойства

Золотое сечение в пятиконечной звезде

— иррациональное алгебраическое число, положительное решение любого из следующих уравнений

представляется цепной дробью

для которой подходящими дробями являются отношения последовательных чисел Фибоначчи . Таким образом, .

В правильной пятиконечной звезде каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (то есть отношение синего отрезка к зелёному, также как красного к синему, также как зелёного к фиолетовому, равны ).

Построение золотого сечения

Вот ещё одно представление:

Геометрическое построение

Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливается перпендикуляр к AB , откладывают на нём отрезок BC , равный половине AB , на отрезке AC откладывают отрезок AD , равный AC − CB , и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE , равный AD . Тогда

Золотое сечение и гармония

Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. Архитектор Ле Корбюзье «нашёл», что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса , пропорции фигур соответствуют величинам золотого сечения. Зодчий Хесира , изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

"Золотое сечение" в искусстве

Золотое сечение и зрительные центры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения».

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм Броненосец Потёмкин по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Другим примером использования правила «Золотого сечения» в киноискусстве — расположение основных компонентов кадра в особых точках — «зрительных центрах». Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.

Следует заметить что в вышеописанных примерах фигурировало приблизительное значение "золотого сечения": легко убедиться что ни 3/2 ни 5/3 не равно значению золотого сечения.

Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение.

Критика золотого сечения

Есть мнения, что значимость золотого сечения в искусстве, архитектуре и в природе преувеличена и основывается на ошибочных расчётах.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2 : 3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми».

Число прочтений: 8671

Современный веб-дизайн включает в себя 2 особенности, которые должны быть четко соблюдены: эстетика и верная область применения. Если следовать данным понятиям, веб-дизайн можно считать успешным.

Что касается эстетики, здесь имеется ввиду, что рисуя тот или иной образ предмета, мы используем множество различных манипуляций: создание сетки, макета, используем типографические приемы для того чтобы получить хорошую структурность предмета. Немаловажно сохранять ощущение гармоничности, порядка и визуального равновесия при любой графической обработки. В этом нам помогут «Золотое сечение» и «Правило трех».

Наверняка, ранее вы слышали об этих понятиях. А, быть может, имеете представление, в каких конкретно проектах они могут использоваться. «Золотое сечение» и «Правило трех» применяется для того чтобы изменить изображение и представить его в лучшем виде, нежели оно есть на самом деле. Подобные технологии помогают усовершенствовать даже самую примитивную картинку.

Давайте подробнее остановимся на данных особенностях и узнаем, в каких областях веб-дизайна их можно применить.

Что такое «Золотое сечение» и как оно появилось?

Данный термин на первый взгляд может быть непонятен. Почему именно «Золотое»? Для чего применять эту технологию? На сегодняшний день до сих пор остается загадкой, кто придумал «Золотое сечение», откуда возникло это название. Однако известно, что технология используется уже на протяжении 2400 лет. Стоит также отметить, что золотое сечение применяется в различных отраслях науки: в астрономии, математике, архитектуре, музыке, живописи и многих других.

Золотое сечение образовано на примере простого математического уравнения, которое показывает отношение. В наиболее простой математической форме данное отношение выглядит следующим образом:

Как вы можете видеть, это является уникальным уравнением, которое разделяет отношения между двумя размерами и пропорциями линий. В десятичном исчислении b деленное на a ​​равно 1.618033 … в случае если а>b. В приведенном ниже примере допустим, что b равен 5. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

Возможно, ранее вы уже слышали о последовательности Фибоначчи. Как же на самом деле это работает? Например, имеется ряд чисел, в котором любое заданное число создается посредством сложения двух предыдущих. Начиная с 0, то последовательность такая 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… итд:

Письменное выражение представлено в виде формулы: xn = xn-1 + xn-2 .

Последовательность тесно связана с золотой пропорцией, потому что если вы берете какие-либо две последовательные цифры и делите на предыдущую, дробь окажется очень близкой к золотой пропорции. По мере увеличения значения числа, дробь становится еще ближе к золотой пропорции. Например, 8/5 1,6 , 34/21 это 1,619 и так далее.

«Золотая спираль». Прямоугольник

Итак, вы наверняка, встречали подобные уравнения. Но для чего дизайнеры используют геометрию в своих проектах? Зачем необходимо наложение фигур? Схема называется «Спираль Фибоначчи». Она на самом деле довольно проста и является наиболее оптимальной для многих геометрических фигур. Спираль создается при помощи четверти кругов, которые нарисованы внутри массива квадратов на основе последовательности Фибоначчи.

На диаграмме ниже представлен образец:

Получается что каждый последующий радиус больше предыдущего на число близкое к золотому сечению. Полученная спираль применяется во многих областях, чаще в рисовании и архитектуре, но ее можно также наблюдать и в природных явлениях.

«Правило трех»

Данное правило является одним из вариантов золотой спирали и часто используется при кадрировании фотографий, видео. Используется для обрезки кадров и придания им эстетического вида. Чтобы применить «Правило трех», необходимо разделить изображение на 9 равных частей. Провести 2 горизонтальных линии и 2 вертикальных. Немаловажно расположить их ровно. Смысл заключается в том, чтобы выровнять фокус с крайним левым вертикальным разделителем. Горизонт или «точка схода» должны быть на уровне с горизонтальным разделителем.

Применение «Золотой спирали»

Как было уже отмечено, последовательность Фибоначчи тесно связана с золотой пропорцией. Применение золотого сечения выполняется при помощи прорисованной спирали. На изображении представлен пример использования данного метода. Итак, мы видим прямоугольник, основа которого простирается от правого запястья женщины к ее левому локтю.

Прямоугольник расширяется вертикально, пока не достигнет макушки. Если мы нарисуем квадраты внутри золотого прямоугольника, все важные части женщины находятся на краях внутренних квадратов: ее подбородок, глаза и губы. Леонардо Да Винчи множество раз использовал золотое сечение в своих работах. Ниже примеры золотой спирали в природе и космосе.

Применение в веб-дизайне

Многие дизайнеры допускают ошибку, полагая что посредством обычного деления или умножения на 1,61… можно получить гармоничную пропорцию. Это далеко неправда, это всего лишь основа процесса. Невозможно просто использовать тот или иной номер и получить магическую пропорцию. Однако существуют определенные способы, которые помогают получить золотое сечение. Некоторые художники склонны думать, что теория о золотом сечении является мифом. Приведем еще один пример, как работает золотое сечение. Возьмем прототип сайта и рассмотрим применение золотого сечения на нем.

Выглядит довольно просто, не так ли? Да, на самом деле так и есть. Дизайн основан на 960-пиксельной сетке. Оформление представлено с помощью золотой пропорции. Если использовать 1 золотую спираль которая охватывает 960px видно как располагался заголовок, логотип итд.

Двигаем нашу спираль ниже и опираемся на ее размеры

Получается некий каскад спиралей в котором основные элементы дизайна вписаны в прямоугольники с золотой пропорцией

Сетка основанная на золотом сечении имеет ряд пропорциональных отношений внутри него, которые выполнены четко пропорционально внутри прямоугольника. В нижней части этой статьи, я прикрепил PSD файл, который содержит мой пример, вы можете попробовать использовать его в своем проекте для экспериментирования с золотым сечением.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определённом отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:

a : b = c : d .

Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – AB : AC = AB : BC ;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда AB : AC = AC : BC .

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

a : b = b : c
или
c : b = b : a .

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. BC = 1/2 AB ; CD = BC

Из точки B восставляется перпендикуляр, равный половине AB . Полученная точка C соединяется линией с точкой A . На полученной линии откладывается отрезок BC , заканчивающийся точкой D . Отрезок AD переносится на прямую AB . Полученная при этом точка E делит отрезок AB в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если AB принять за единицу, BE = 0,382... Для практических целей часто используют приближённые значения 0,62 и 0,38. Если отрезок AB принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x 2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и даёт другое отношение 44: 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлинённого горизонтального формата.

Рис. 3.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок AB делится в пропорции золотого сечения. Из точки C восставляется перпендикуляр CD . Радиусом AB находится точка D , которая соединяется линией с точкой A . Прямой угол ACD делится пополам. Из точки C проводится линия до пересечения с линией AD . Точка E делит отрезок AD в отношении 56: 44.

Рис. 4.

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой .

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и E – середина отрезка OA . Перпендикуляр к радиусу OA , восставленный в точке O , пересекается с окружностью в точке D . Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED . Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC . Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения.

Рис. 6. Построение золотого треугольника

Проводим прямую AB . От точки A откладываем на ней три раза отрезок O произвольной величины, через полученную точку P проводим перпендикуляр к линии AB , на перпендикуляре вправо и влево от точки P откладываем отрезки O . Полученные точки d и d 1 соединяем прямыми с точкой A . Отрезок dd 1 откладываем на линию Ad 1 , получая точку C . Она разделила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad 1 и dd 1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор , древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса , храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Рис. 7. Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящён математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Рис. 8.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида . Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди учёных и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи , художник и учёный, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески , написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и её «божественную суть» как выражение Божественного Триединства – Бог Отец , Бог Сын и Бог Дух Святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение Бога Сына, больший отрезок – Бога Отца, а весь отрезок – Бога Духа Святого).

Электронные книги:

• Марио Ливио.

Реферат выполнила ученица 8 класса МОУ гимназия №9 Вьюшина Вероника

Екатеринбург

1. Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ.

"Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении"

Иоганн Кеплер

Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея "Альмагест".

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия - в планировке крепостей.

Средневековые способы построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем "Руководстве к измерению" (о построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотя доказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задача неразрешима.

Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнем отношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.

Записанное в виде равенства отношений золотое сечение имеет вид

АВ/ВЕ= АВ/АЕ

Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение

То есть Ф удовлетворяет уравнению

Это уравнение имеет один положительный корень

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1)/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ - прописная и строчная формы греческой буквы "фи".

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ .

2.История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.