Дифференциальные уравнения второго порядка характеристическое уравнение. Виды дифференциальных уравнений, методы решения

В этом параграфе будет рассмотрен частный случай линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты уравнения постоянны, т. е. являются числами. Такие уравнения называются уравнениями с постоянными коэффициентами. Этот вид уравнений находит особенно широкое применение.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

в котором коэффициенты постоянны. Полагая, что деля все члены уравнения на и обозначая

запишем данное уравнение в виде

Как известно, для нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка достаточно знать его фундаментальную систему частных решений. Покажем, как находится фундаментальная система частных решений для однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Будем искать частное решение этого уравнения в виде

Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для в уравнение (59), получим

Так как , то, сокращая на получим уравнение

Из этого уравнения определяются те значения k, при которых функция будет решением уравнения (59).

Алгебраическое уравнение (61) для определения коэффициента к называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (59).

Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и имеет, следовательно, два корня. Эти корни могут быть либо действительными различными, либо действительными и равными, либо комплексными сопряженными.

Рассмотрим, какой вид имеет фундаментальная система частных решений в каждом из этих случаев.

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: . В этом случае по формуле (60) находим два частных решения:

Эти два частных решения образуют фундаментальную систему решений на всей числовой оси, так как определитель Вронского нигде не обращается в нуль:

Следовательно, общее решение уравнения согласно формуле (48) имеет вид

2. Корни характеристического уравнения равные: . В этом случае оба корня будут действительными. По формуле (60) получаем только одно частное решение

Покажем, что второе частное решение образующее вместе с первым фундаментальную систему, имеет вид

Прежде всего проверим, что функция является решением уравнения (59). Действительно,

Но , так как есть корень характеристического уравнения (61). Кроме того, по теореме Виета Поэтому . Следовательно, , т. е. функция действительно является решением уравнения (59).

Покажем теперь, что найденные частные решения образуют фундаментальную систему решений. Действительно,

Таким образом, в этом случае общее решение однородного линейного уравнения имеет вид

3. Корни характеристического уравнения комплексные. Как известно, комплексные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются сопряженными комплексными числами, т. е. имеют вид: . В этом случае частные решения уравнения (59), согласно формуле (60), будут иметь вид:

Применяя формулы Эйлера (см. гл. XI, § 5 п. 3), выражения для можно записать в виде:

Эти решения являются комплексными. Чтобы получить действительные решения, рассмотрим новые функции

Они являются линейными комбинациями решений и, следовательно, сами являются решениями уравнения (59) (см. § 3, п. 2, теорему 1).

Легко показать, что определитель Вронского для этих решений отличен от нуля и, следовательно, решения образуют фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид

Приведем в заключение таблицу формул общего решения уравнения (59) в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y "" + p (x )y " + q (x )y = f (x ) ,

где y - функция, которую требуется найти, а p (x ) , q (x ) и f (x ) - непрерывные функции на некотором интервале (a, b ) .

Если правая часть уравнения равна нулю (f (x ) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением . Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю (f (x ) ≠ 0 ), то уравнение называется .

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y "" :

y "" = −p (x )y " − q (x )y + f (x ) .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши .

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y "" + p (x )y " + q (x )y = 0 .

Если y 1 (x ) и y 2 (x ) - частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y 1 (x ) + y 2 (x ) - также является решением этого уравнения;

2) Cy 1 (x ) , где C - произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x ) и y 2 (x ) .

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема . Функция C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x ) и y 2 (x ) линейно независимы.

Определение . Функции y 1 (x ) и y 2 (x ) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

y 1 (x )/y 2 (x ) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W (x ) :

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения - линейно независимые . Если определитель Вронского равен нулю, то решения - линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде

.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y "" + py " + qy = 0 ,

где p и q - постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность - нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами , нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

k ² + pq + q = 0 ,

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением .

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.

Корни характеристического уравнения - действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и - вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.

Корни характеристического уравения - вещественные и равные

То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение
, гдеилинейно-независимые частные решения этого уравнения.

Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
, зависит от корней характеристического уравнения
.

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
Корни идействительные и различные
Корни == действительные и одинаковые
Корни комплексные ,

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

Решение:
.

Решив его, найдем корни
,
действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид:
.

2)

Решение: Составим характеристическое уравнение:
.

Решив его, найдем корни

действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид:
.

3)

Решение: Составим характеристическое уравнение:
.

Решив его, найдем корни
комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид:.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Где
. (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
, где
– частное решение этого уравнения,– общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения.

Вид частного решения
неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части
:

Правая часть	Частное решение
–многочлен степени	, где – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
	, где = является корнем характеристического уравнения.
	Где – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с .
	где – число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1.
, где– многочлен степени. Тогда частное решение
можно искать в виде
, где

, а– число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение
.

Решение:

.

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения
не равен нулю (
), то частное решение ищем в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства
,
, находим
,
. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид
, а его общее решение.

2. Пусть правая часть имеет вид
, где– многочлен степени. Тогда частное решение
можно искать в виде
, где
– многочлен той же степени, что и
, а– число, показывающее, сколько разявляется корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение
.

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
. Для этого запишем характеристическое уравнение
. Найдем корни последнего уравнения
. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
.

характеристического уравнения

, где– неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим. Откуда
, то есть
или
.

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид
, а его общее решение
.

3. Пусть правая часть имеет вид , где
и– данные числа. Тогда частное решение
можно искать в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты, а– число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с
. Если в выражение функции
входит хотя бы одна из функций
или
, то в
надо всегда вводитьобе функции.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
. Для этого запишем характеристическое уравнение
. Найдем корни последнего уравнения
. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
.

Б) Так как правая часть уравнения есть функция
, то контрольное число данного уравнения, оно не совпадает с корнями
характеристического уравнения
. Тогда частное решение ищем в виде

Где и– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды, получими. Подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим

.

Приводя подобные слагаемые, получим

.

Приравниваем коэффициенты при
и
в правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему
. Решая ее, находим
,
.

Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y "" + p · y " + q · y = f (x) , где произвольными числами являются p и q , а имеющаяся функция f (х) непрерывная на интервале интегрирования x .

Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Теорема общего решения ЛДНУ

Теорема 1

Общим решением, находящимся на интервале х, неоднородного дифференциального уравнения вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрерывной функцией f (x) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y ~ , где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y ~ .

Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y ~ . Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y ~ .

Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f (x) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.

Когда f (x) считается за многочлен n -ой степени f (x) = P n (x) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y ~ = Q n (x) · x γ , где Q n (x) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y ~ является частным решением y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n (x) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 1

Вычислить по теореме Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Решение

Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y "" - 2 y " = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y ~ , то есть y = y 0 + y ~ .

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .

Найдем y ~ . Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y ~ будет

y ~ = Q 2 (x) · x γ = (A x 2 + B x + C) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А, В, С принимают неопределенные коэффициенты.

Найдем их из равенства вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Тогда получим, что:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = - 1 6 , B = - 1 4 , C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Получаем, что:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Применив теорему Коши, имеем, что

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когда функция f (x) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f (x) = P n (x) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y ~ = e a x · Q n (x) · x γ , где Q n (x) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .

Коэффициенты, принадлежащие Q n (x) находятся по равенству y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Решение

Уравнение общего вида y = y 0 + y ~ . Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y "" - 2 y " = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.

Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y ~ = e a x · Q n (x) · x γ , где Q n (x) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

А, В, С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Получили, что

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 · x 2 + 0 · x + 1

Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А, В, С:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Ответ: видно, что y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.

Когда функция записывается как f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 3

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Решение

Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

y 0 = e 0 · (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Отсюда видно, что поиск y ~ будет производиться из y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) · x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Преобразуем:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) · x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Тогда видно, что

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Следует, что y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) · x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x .

Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x

Когда f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , тогда y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n (x) , Q k (x) , L m (x) и N m (x) являются многочленами степени n , k , т, m , где m = m a x (n , k) . Нахождение коэффициентов L m (x) и N m (x) производится, исходя из равенства y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 4

Найти общее решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Решение

По условию видно, что

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тогда m = m a x (n , k) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y ~ вида

y ~ = e α x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) · x 0 = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Известно, что А, В, С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Нахождение производной и подобных слагаемых дает

E 3 x · ((15 A + 23 C) · x · sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) · sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) + + 8 · x · cos (5 x) - 5 · cos (5 x))

После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Из всего следует, что

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Алгоритм решения ЛДНУ

Определение 1

Любой другой вид функции f (x) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

• нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
• принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• определение производных функции через систему вида C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , а нахождение функций C 1 (x) и C 2 (x) посредствам интегрирования.

Пример 5

Найти общее решение для y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Решение

Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y "" + 36 y = 0 . Запишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 (x) и C 2 (x) по системе с уравнениями:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Необходимо произвести решение относительно C 1 " (x) и C 2 " (x) при помощи любого способа. Тогда запишем:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Каждое из уравнений следует проинтегрировать. Тогда запишем получившиеся уравнения:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 · cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 · sin (6 x) = = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)

Ответ: y = y 0 + y ~ = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Запишем несколько примеров таких ДУ .

Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .

Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0 . Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем


Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:


Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является .

Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.