एक नियमित बहुभुज की भुजा क्या है। नियमित बहुभुजों के गुण
परिभाषा नियमित बहुभुज बहुभुज की परिभाषा पर निर्भर हो सकता है: यदि इसे फ्लैट बंद पॉलीलाइन के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो परिभाषा प्रकट होती है नियमित सितारा बहुभुजकैसे गैर उत्तलएक बहुभुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण बराबर होते हैं।
गुण
COORDINATES
होने देना एक्स सी (\displaystyle x_(C))और वाई सी (\displaystyle y_(C))केंद्र के निर्देशांक हैं, और आर (\displaystyle आर)- वृत्त की त्रिज्या, ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0))- पहले शीर्ष का कोणीय समन्वय, फिर एक नियमित एन-गॉन के कोने के कार्टेशियन निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
x i = x C + R cos (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle x_(i)=x_(C)+R\cos \left((\phi )_(0)+(\frac (2\) पाई i)(n))\right)) y i = y C + R sin (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle y_(i)=y_(C)+R\sin \left((\phi )_(0)+(\frac (2\) पाई i)(n))\right))कहाँ i = 0 … n - 1 (\displaystyle i=0\dots n-1)
DIMENSIONS
होने देना आर (\displaystyle आर)- एक नियमित बहुभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या, तो अंतर्वृत्त वृत्त की त्रिज्या के बराबर है
r = R cos π n (\displaystyle r=R\cos (\frac (\pi )(n))),और बहुभुज की भुजा की लंबाई है
a = 2 R sin π n = 2 r t g π n (\displaystyle a=2R\sin (\frac (\pi )(n))=2r\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\ नत्थी करना)))वर्ग
एन (\displaystyle n)और साइड की लंबाई ए (\displaystyle a)है:
S = n 4 a 2 ctg π n (\displaystyle S=(\frac (n)(4))\ a^(2)\mathop (\mathrm () ) \,\operatorname (ctg) (\frac ( \नत्थी करना))).भुजाओं की संख्या के साथ एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), त्रिज्या के एक चक्र में खुदा हुआ आर (\displaystyle आर), है:
S = n 2 R 2 sin 2 π n (\displaystyle S=(\frac (n)(2))R^(2)\sin (\frac (2\pi )(n))).भुजाओं की संख्या के साथ एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)त्रिज्या के एक वृत्त के चारों ओर परिचालित आर (\displaystyle r), है:
S = n r 2 t g π n (\displaystyle S=nr^(2)\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\pi )(n)))(एन-गोनल का आधार क्षेत्र सही प्रिज्म)भुजाओं की संख्या के साथ एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)के बराबर है
एस = एन आर ए 2 (\displaystyle S=(\frac (nra)(2))),कहाँ आर (\displaystyle r)- पक्ष के मध्य से केंद्र तक की दूरी, ए (\displaystyle a)- किनारे की लंबाई।
परिधि के संदर्भ में एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल ( पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी)) और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या ( आर (\displaystyle r)) है:
एस = 1 2 पी आर (\displaystyle S=(\frac (1)(2))Pr).परिमाप
यदि आपको सर्कल की परिधि को जानने के लिए एक सर्कल में अंकित एक नियमित एन-गॉन की साइड लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है एल (\डिस्प्लेस्टाइल एल)आप बहुभुज के एक तरफ की लंबाई की गणना कर सकते हैं:
एक n (\displaystyle a_(n))नियमित एन-गॉन के किनारे की लंबाई है। a n = sin 180 n ⋅ L π (\displaystyle a_(n)=\sin (\frac (180)(n))\cdot (\frac (L)(\pi )))परिमाप पी एन (\displaystyle P_(n))के बराबर होती है
P n = a n ⋅ n (\displaystyle P_(n)=a_(n)\cdot n)कहाँ एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)बहुभुज की भुजाओं की संख्या है।
आवेदन
परिभाषा के अनुसार नियमित बहुभुज नियमित पॉलीहेड्रा के फलक होते हैं।
प्राचीन यूनानी गणितज्ञ (एंटीफॉन, ब्रायसन ऑफ हेराक्लेस, आर्किमिडीज, आदि) एक संख्या की गणना करने के लिए नियमित बहुभुज का उपयोग करते थे। उन्होंने एक वृत्त में अंकित बहुभुजों के क्षेत्रों की गणना की और उसके चारों ओर वर्णित किया, धीरे-धीरे उनकी भुजाओं की संख्या में वृद्धि की और इस प्रकार एक वृत्त के क्षेत्रफल का अनुमान प्राप्त किया।
कहानी
के साथ एक नियमित बहुभुज का निर्माण एन 19वीं सदी में गणितज्ञों के लिए भुजाएँ एक समस्या बनी रहीं। ऐसा निर्माण चक्र के विभाजन के समान है एनसमान भागों, चूंकि वृत्त को भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं को जोड़कर, आप वांछित बहुभुज प्राप्त कर सकते हैं।
तब से, समस्या को पूरी तरह हल माना गया है।
सामग्री दोहराएं
नियमित बहुभुज समान भुजाओं और समान कोणों वाला उत्तल बहुभुज कहलाता है।a अष्टभुज की भुजा है,
आर - परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या,
r उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है।
नियमित एन-गॉन के आंतरिक कोणों का योग
180(एन-2).
एन-गॉन के आंतरिक कोण का डिग्री माप
180(एन-2) : एन.
सही n का किनारा
एक नियमित बहुभुज में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या
सही n का क्षेत्रफल
अभ्यास
1. क) एक षट्भुज के आंतरिक कोणों का योग होता है:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540 डिग्री।
बी) एक अष्टभुज के आंतरिक कोणों का योग है:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080 डिग्री।
समाधान:
a) सूत्र के अनुसार, षट्भुज के कोणों का योग है: 180(6-2)=180*4=720
°
.
उत्तर: 720
°
.
2. क) एक नियमित बहुभुज की भुजा 5 सेमी है, भीतर का कोना 144 के बराबर है°
a) एक नियमित बहुभुज की भुजा 7 सेमी है, आंतरिक कोण 150 है°
. बहुभुज की परिधि ज्ञात कीजिए।
समाधान:
a) 1) बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए:
144=180(एन - 2):एन;
144n=180n-360;
36एन = 360;
एन = 10।
2) दसभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए: P=5*10=50 सेमी।
उत्तर: 50 सेमी.
3. क) एक समपंचभुज का परिमाप 30 सेमी है।पंचभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।
ख) वृत्त का व्यास 10 सेमी है इसमें अंकित पंचभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
समाधान:
a) 1) पंचकोण की भुजा ज्ञात करें: 30:5=6 सेमी।
2) परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
ए = 2 आर * पाप (180
°
:एन);
6=2R*sin(180
°
:5);
आर = 3: पाप 36
°
\u003d 3: 0.588 \u003d 5.1 सेमी
उत्तर: 5.1 सेमी.
4. क) एक समबहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 2520 होता है°
b) एक नियमित बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 1800 होता है°
. बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
समाधान:
क) बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए:
2520
°
= 180
°
(एन -2);
2520
°
+360
°
=180
°
एन;
2880
°
=180
°
एन;
एन = 16।
उत्तर: 16 भुजाएँ।
5. क) एक सम द्वादशभुज के परिगत एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है।बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
ख) एक सम अष्टभुज के परिगत एक वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है।बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान:
क) डोडेकागन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
एस=0.5*
आर 2 *एन*सिन(360°
:n)=0.5*25*12*sin30°
= 75 सेमी 2
.
उत्तर : 75 सेमी 2
.
6. यदि छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात हो तो षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
a) 1) षट्भुज की भुजा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए। विचार करना त्रिकोण एबीसी- समद्विबाहु (AB=BC).
∠ABC=180 ° (6-2):6=120 ° .
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 0.5*AB*BC*sin120 है° और शर्त 48 के बराबर है।
3) षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
उत्तर : 288 सेमी 2 .
7. क) एक समबहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका शीर्ष बहिष्कोण 18 है°
.
ख) एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका शीर्ष बहिष्कोण 45 है°
.
समाधान:
a) एक नियमित बहुभुज के बाहरी कोणों का योग 360 होता है
°
.
भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए: 360
°
:18
°
=20.
उत्तर: 20 भुजाएँ।
8. रिंग के क्षेत्रफल की गणना करें यदि जीवा AB इसके बराबर है:
ए) 8 सेमी; बी) 10 सेमी।
ए)
1) OB बाहरी वृत्त की त्रिज्या है, OH आंतरिक वृत्त की त्रिज्या है। रिंग का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: रिंग का एस = बाहरी सर्कल का एस - आंतरिक सर्कल का एस।
एस = π*ओबी 2 -π*ओह 2 = π (ओबी 2 -ओह 2 ).
2) त्रिभुज ABO पर विचार करें - समद्विबाहु (OA \u003d OB त्रिज्या के रूप में)। OH त्रिभुज ABO में ऊँचाई और माध्यिका है, इसलिए, AN=HB=8:2= 4 सेमी।
3) त्रिभुज ONV - आयताकार: HB पर विचार करें 2 = ओबी 2 -वह 2 , इस तरह
ओवी 2 -वह 2 =16.
4) वलय का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
एस =π (ओबी 2 -ओह 2 )=16 π सेमी 2 .
उत्तर:16 π सेमी 2 .
9. क) एक नियमित षट्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि AC = 9 सेमी.
बी) एक नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि FA = 6 सेमी.
ए) 1) कोण एबीसी खोजें: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) त्रिभुज ABC पर विचार करें - समद्विबाहु (AB \u003d BC एक नियमित षट्भुज की भुजाओं के रूप में)।
∠ आप = ∠ वीसीए=(180° -120 ° ):2=30 ° .
साइन प्रमेय के अनुसार: एसी: पाप ∠ एबीसी = एबी: पाप∠ बीसीए;
AB=AC*sin30 ° : sin120;
पी=6*एबी;
10. सिद्ध कीजिए कि एक नियमित अष्टभुज में छायांकित भाग का क्षेत्रफल बराबर होता है:
ए) एक अष्टकोना के क्षेत्र का एक चौथाई; बी) अष्टकोना का आधा क्षेत्र:
ए)
1) आइए अष्टकोण के कोणों के द्विभाजक बनाएं, वे बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। अष्टकोण का क्षेत्रफल आठ परिणामी समान त्रिभुजों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है, अर्थात। एस(एबीसीडीईएफकेएम)=8*एस(ओईएफ)।
2) चतुर्भुज ABEF एक समांतर चतुर्भुज (AB//EF और AB=EF) है। समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं: AE=BF (एक अष्टकोण के चारों ओर परिचालित वृत्त के व्यास के रूप में), इसलिए, ABEF एक आयत है। एक आयत के विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
3) चतुर्भुज AFKM का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
एस (एबीईएफ) = 4 * एस (ओईएफ)।
2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF)।
एस(एएफकेएम)=2* एस(ओईएफ)।
4) छायांकित भाग के क्षेत्र में अष्टकोना के क्षेत्र का अनुपात ज्ञात करें:
एस (एबीसीडीईएफकेएम) : एस (एएफकेएम) = 8* एस (ओईएफ) : (2 * एस (ओईएफ)) = 4।
Q.E.D.
11. पैच किए गए आंकड़े के क्षेत्र में बीएसी सेक्टर के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करें, यदि बीए = एसी और बीएसी सेक्टर का क्षेत्रफल सर्कल के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है :
ए)
1) AB=AC=2R. बीएसी कोण सीधा है, क्योंकि बीएसी सेक्टर का क्षेत्रफल सर्कल के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है .
2) चतुर्भुज AO पर विचार करें 2 एमओ 1 . यह एक रोम्बस है, क्योंकि सभी भुजाएँ त्रिज्या के बराबर हैं, और चूँकि उनका एक कोण 90° है, तो AO है 2 एमओ 1 - वर्ग।
एस त्रिकोण = 0.5 आर 2 सेमी 2 .एस खंड = (0.25 π - 0.5) आर 2 सेमी 2।
एस छायांकित = 2* एस सेगमेंट = 2*(0.25 π - 0.5)आर 2 =(0,5 π-1)आर 2 एसएम 2।
4) अपने सेक्टर का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
एससेक्टर =*(2आर) 2 *90:360= π आर 2 साथएम 2।
5) बीएसी सेक्टर के क्षेत्रफल का छायांकित भाग के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए:
π आर 2 :(0,5 π-1) आर 2= 2 π : (π-2).
उत्तर: 2 π : (π-2).
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य
1. पंचभुज के बाह्य कोणों का योग कितना होता है?
2. यदि छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल 20 है तो अष्टभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
4. एक नियमित बहुभुज की भुजा AB 8 सेमी है। O बहुभुज का केंद्र है, कोण AOB 36 है° . बहुभुज की परिधि ज्ञात कीजिए।
5. एक सम अष्टभुज का परिमाप 80 सेमी है। इसका छोटा विकर्ण ज्ञात कीजिए।
6. एक नियमित त्रिभुज में एक वृत्त खुदा हुआ है और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया गया है। यदि त्रिभुज की भुजा 8 सेमी है तो वृत्तों द्वारा बने वलय का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
7. सम सप्तभुज के एक शीर्ष से निकलने वाले दो छोटे विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
8. वृत्त के चारों ओर एक नियमित त्रिभुज का वर्णन किया गया है, और एक नियमित षट्भुज भी इसमें खुदा हुआ है। त्रिभुज और षट्भुज के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
9. एक उत्तल बहुभुज की 48 भुजाएँ हैं। इसके विकर्णों की संख्या ज्ञात कीजिए।
10. ABCD एक वर्ग है। त्रिज्या AB के वृत्त शीर्ष B और C से खींचे गए हैं। पैच की गई आकृति के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए:
आपका उसका बहुभुज. उदाहरण के लिए, यदि आपको खोजने की आवश्यकता है कोनोंसही बहुभुज 15 भुजाओं के साथ, n=15 को समीकरण में रखें। आपको S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰ मिलेगा।
इसके बाद, आंतरिक कोणों के परिणामी योग को उनकी संख्या से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, एक बहुभुज में, कोनों की संख्या भुजाओं की संख्या है, जो कि 15 है। इस प्रकार, आप पाएंगे कि कोण 2340⁰/15=156⁰ है। अंदर का हर कोना बहुभुज 156⁰ के बराबर है।
यदि आप गणना करना पसंद करते हैं कोनों बहुभुजरेडियन में, निम्नानुसार आगे बढ़ें। संख्या 2 को पक्षों की संख्या से घटाएं और परिणामी अंतर को संख्या P (Pi) से गुणा करें। फिर उत्पाद को बहुभुज में कोनों की संख्या से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको गणना करने की आवश्यकता है कोनोंनियमित 15-गॉन, इस तरह कार्य करें: P * (15-2) / 15 \u003d 13 / 15P, या 0.87P, या 2.72 (लेकिन, जैसे, संख्या P अपरिवर्तित रहती है)। या बस कोण के आकार को डिग्री में 57.3 से विभाजित करें - एक रेडियन में कितना समाहित है।
आप गणना करने का भी प्रयास कर सकते हैं कोनोंसही बहुभुजशहरों में। ऐसा करने के लिए, संख्या 2 को पक्षों की संख्या से घटाएं, परिणामी संख्या को भुजाओं की संख्या से विभाजित करें और परिणाम को 200 से गुणा करें। इस कोण का लगभग कभी उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन यदि आप तय करते हैं कोनों grads में, यह न भूलें कि grads को मीट्रिक सेकंड और मिनट (100 सेकंड प्रत्येक) में विभाजित किया गया है।
आपको सही के बाहरी कोण की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है बहुभुज, इस मामले में ऐसा करें। आंतरिक कोण को 180⁰ से घटाएं - परिणामस्वरूप, आपको आसन्न, यानी बाहरी कोण का मान मिलेगा। यह -180⁰ से +180⁰ तक हो सकता है।
यदि आप एक नियमित बहुभुज के कोणों का पता लगाने में कामयाब रहे, तो आप इसे आसानी से बना सकते हैं। एक तरफ खींचो निश्चित लंबाईऔर इसमें से, एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके, वांछित कोण को अलग करें। ठीक उसी दूरी को मापें (एक नियमित बहुभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं) और वांछित कोण को फिर से अलग रखें। पक्षों के मिलने तक जारी रखें।
स्रोत:
- एक नियमित बहुभुज में कोण
एक बहुभुज में कई खंड होते हैं जो एक दूसरे से जुड़े होते हैं और एक बंद रेखा बनाते हैं। इस वर्ग के सभी आंकड़े सरल और जटिल में विभाजित हैं। सरल त्रिभुज और चतुर्भुज हैं, और जटिल वाले बहुभुज हैं बड़ी राशि दलों, साथ ही स्टार बहुभुज।
अनुदेश
अक्सर समस्याओं में एक नियमित त्रिभुज होता है दलोंओह ए। चूंकि बहुभुज नियमित है, तो यह तीनों दलोंएस बराबर हैं। इसलिए, त्रिभुज की माध्यिका और ऊँचाई को जानकर, आप इसके सभी ज्ञात कर सकते हैं दलोंएस। ऐसा करने के लिए, खोजने की विधि का उपयोग करें दलों s : a=x/cosα चूंकि दलोंसी ई। a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, जहां x ऊंचाई, माध्यिका, या समद्विभाजक है। इसी तरह, तीनों अज्ञात खोजें दलोंएक समद्विबाहु त्रिभुज में, लेकिन एक शर्त के तहत - एक दी गई ऊँचाई। इसे त्रिभुज के आधार पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए। आधार x की ऊँचाई ज्ञात करने पर ज्ञात कीजिए दलों a:a=x/cosα चूंकि a=b, चूंकि त्रिकोण समद्विबाहु है, इसे खोजें दलों s इस प्रकार है: a=b=x/cosα. आपके द्वारा पक्ष ढूंढ लेने के बाद दलोंएस त्रिकोण, आधा आधार खोजने के लिए पायथागॉरियन प्रमेय को लागू करके त्रिभुज के आधार की लंबाई की गणना करें: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos ^2α)/ cos^2α =xtgα। यहां से आधार खोजें: c=2xtgα।
वर्ग दर्शाता है दलोंजिनकी गणना कई प्रकार से की जाती है। उनमें से प्रत्येक पर नीचे चर्चा की गई है। पहली विधि खोजने का सुझाव देती है दलोंएस वर्ग। चूँकि वर्ग के सभी कोण समकोण हैं, इसलिए उन्हें इस तरह से समद्विभाजित किया कि 45 डिग्री के कोण के साथ दो समकोण त्रिभुज बन जाएँ। क्रमश, दलोंऔर वर्ग है: a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, जहां डी वर्ग है। यदि वर्ग एक सर्कल में अंकित है, तो इस सर्कल के त्रिज्या को जानना, इसे ढूंढें दलों y:a4=R√2, जहां R वृत्त की त्रिज्या है।
नियमित बहुभुज
ए.वी. पोगोरेलोव (18) की पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 7-11" में, "नियमित बहुभुज" विषय का अध्ययन § 13 "बहुभुज" पृष्ठ 115 में किया गया है।
पैराग्राफ की शुरुआत में "नियमित बहुभुज" की परिभाषा पर विचार किया जाता है: "एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों।" फिर "अंकित" और "परिक्रमित" बहुभुजों की परिभाषाएँ दी गई हैं और प्रमेय पर विचार किया गया है: "एक नियमित उत्तल बहुभुज एक वृत्त में खुदा हुआ है और एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है।"
एलएस अतानास्यान (4) द्वारा पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 7-9" में, विषय "नियमित बहुभुज" अध्याय 12 के अनुच्छेद 105 § 1 "नियमित बहुभुज" में माना जाता है।
पैराग्राफ की शुरुआत में "नियमित बहुभुज" की परिभाषा दी गई है:
"एक नियमित बहुभुज एक उत्तल बहुभुज होता है जिसमें सभी कोण समान होते हैं और सभी भुजाएँ समान होती हैं।" फिर नियमित एन-गॉन के कोण बी एन की गणना के लिए एक सूत्र निकाला जाता है:
आईएम स्मिर्नोवा, वीए स्मिरनोव द्वारा पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 7-9" में, "नियमित बहुभुज" का अध्ययन पैरा 6 "बहुभुज और बहुभुज" में किया गया है।
पैराग्राफ की शुरुआत में, "टूटी हुई रेखा" की परिभाषा पेश की गई है: "खंडों द्वारा गठित एक आंकड़ा ताकि पहले का अंत दूसरे की शुरुआत हो, दूसरे का अंत तीसरे की शुरुआत हो," आदि को टूटी हुई रेखा या केवल एक टूटी हुई रेखा कहा जाता है।
फिर एक सरल, बंद और बहुभुज की परिभाषाएँ दी गई हैं: "बहुभुज रेखा को सरल कहा जाता है यदि इसमें स्व-प्रतिच्छेदन का कोई बिंदु नहीं है।" "यदि पॉलीलाइन के पहले खंड की शुरुआत पिछले एक के अंत के साथ मेल खाती है, तो पॉलीलाइन को बंद कहा जाता है।" "एक साधारण बंद टूटी हुई रेखा और उसके द्वारा घिरे हुए समतल के एक भाग द्वारा बनाई गई आकृति को बहुभुज कहा जाता है।"
उसके बाद, "नियमित बहुभुज" की परिभाषा पर विचार किया जाता है: "बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण समान हों।"
ए.वी. पोगोरेलोव की ज्यामिति पाठ्यपुस्तक के उदाहरण का उपयोग करके "नियमित बहुभुज" विषय का अध्ययन करने की पद्धति पर विचार करें।
पैराग्राफ की शुरुआत में, "नियमित बहुभुज" की परिभाषा पेश की जाती है: "एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों", तो "खुदा" और "परिक्रमित" बहुभुज की परिभाषाएँ पेश किए गए हैं: "एक बहुभुज को एक वृत्त में खुदा हुआ कहा जाता है यदि इसके सभी कोने किसी वृत्त पर स्थित हों"; "एक बहुभुज को एक वृत्त के चारों ओर खुदा हुआ कहा जाता है यदि इसके सभी पक्ष किसी वृत्त की स्पर्शरेखा हैं।"
प्रमेय 13.3 का अध्ययन करने से पहले, कक्षा को उपपत्ति के लिए तैयार करने के लिए, आप विद्यार्थियों से पुनरावृत्ति के लिए प्रश्न पूछ सकते हैं:
किस रेखा को वृत्त की स्पर्श रेखा कहते हैं?
यह क्या हो सकता है आपसी व्यवस्थासीधी रेखा और वृत्त? कक्षा में एक चर्चा होती है, जिसमें दो भाग होते हैं: पहला
हम एक बहुभुज के बारे में वर्णित एक वृत्त के बारे में बात कर रहे हैं, और फिर एक बहुभुज में खुदे हुए एक वृत्त के बारे में।
छात्रों के उत्तर रेखाचित्रों की एक श्रृंखला के क्रमिक प्रदर्शन के साथ हैं।
किस त्रिभुज को वृत्त में अंतर्वृत्त कहा जाता है या किस वृत्त को त्रिभुज के पास परिबद्ध कहा जाता है (चित्र 1)?
क्या एक मनमाना त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त बनाना संभव है?
एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र कैसे ज्ञात करें? (चित्र 2) त्रिज्या क्या है? (चित्र 3)
क्या बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना हमेशा संभव है? (नहीं। उदाहरण: समचतुर्भुज यदि यह एक वर्ग नहीं है। चित्र 4)
क्या एक नियमित बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना संभव है? (चित्र 5)
प्रमेय 13.3 का पहला भाग तैयार किया गया है। यह माना जाता है कि एक वृत्त को एक नियमित बहुभुज के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह तथ्य बाद में सिद्ध होगा।
बहुभुज में एक वृत्त को अंकित करने की संभावना पर भी इसी तरह का काम किया जा रहा है। कक्षा में बहुभुज में अंकित वृत्त के बारे में समान 5 प्रश्न हैं। साथ ही, वार्तालाप के पहले भाग के अनुरूप, पिछले वाले के समान चित्रों की एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है।
शिक्षक छात्रों का ध्यान एक नियमित बहुभुज में एक वृत्त को अंकित करने की संभावना की ओर आकर्षित करता है। प्रमेय 13.3 तैयार और सिद्ध किया गया है: "एक नियमित उत्तल बहुभुज एक वृत्त में खुदा हुआ है और एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है।"
प्रमेय का प्रमाण पाठ्यपुस्तक के अनुसार किया जाता है। इस बात पर जोर देना उपयोगी है कि एक नियमित बहुभुज में अंकित और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं और दिया बिंदुबहुभुज का केंद्र कहा जाता है।
प्रमेय को सिद्ध करने के बाद, निम्नलिखित कार्य प्रस्तावित हैं:
1. एक वृत्त में खुदे हुए एक नियमित त्रिभुज की भुजा बराबर होती है। इस वृत्त में अंकित वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए।
दिया गया: वृत्त (0; आर),
डीएवीएस - सही, खुदा हुआ,
सीएमआरई - उत्कीर्ण वर्ग।
डीएवीएस - सही, खुदा हुआ: आर = केएमपीई - एक सर्कल में खुदा हुआ वर्ग (0; आर)।
माना x \u003d KM - तब वर्ग की भुजा
उत्तर: किमी = .
2. 4 डीएम की त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक नियमित त्रिभुज अंकित है, जिसके किनारे पर एक वर्ग बना है। वर्ग के परिगत वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
दिया गया: वृत्त (0; आर),
डीएवीएस - सही, खुदा हुआ,
ठीक है। 1 (ओ; आर 1),
ABDE - Okr में खुदा हुआ वर्ग। 1
ढूँढ़ें: आर 1।
1. डीएवीएस - सही, खुदा हुआ:
ABDE - Okr में खुदा हुआ वर्ग। 1:
उत्तर: डीएम।
3. एक समबहुभुज की भुजा a है और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या R है। अंतर्वृत्त वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। दिया गया: पर्यावरण (0; आर),
ए 1 ए 2 ...ए एन - सही, खुदा हुआ,
ए 1 ए 2 = ए , त्रिज्या = आर,
OS खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है।
ओएस 2 = ओबी 2 - बीसी 2
उत्तर: ओएस =.
4. एक नियमित बहुभुज की भुजा a के बराबर है, और खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या r है। परिगत वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
दिया गया: परिधि (0; आर),
ए 1 ए 2 ... ए एन - सही, वर्णित,
ए 1 ए 2 \u003d ए, त्रिज्या \u003d आर,
वृत्त (0; आर)।
समाधान। OB परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।
DOSV - आयताकार (ZC = 90°)
ओबी 2 \u003d ओएस 2 + एसडब्ल्यू 2
उत्तर: आर =।
तब छात्रों को कार्यों की एक प्रणाली दी जा सकती है:
1. एक नियमित षट्भुज A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 में, भुजा 8 है। खंड BC भुजाओं A 3 A 4 और A 5 A b के मध्यबिंदुओं को जोड़ता है। भुजा A 1 A 2 के मध्य बिंदु को खंड BC के मध्य बिंदु से जोड़ने वाले खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।
2. नियमित षट्भुज ABCDEF की भुजा 32 के बराबर है। त्रिभुज MRK में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें यदि M, P और K भुजाओं AB, CD के मध्य बिंदु हैं। ईएफ क्रमशः।
वृत्त की त्रिज्या R के संदर्भ में एक नियमित रूप से परिचालित बहुभुज की भुजा b को व्यक्त करें और समान भुजाओं वाले एक नियमित रूप से खुदे हुए बहुभुज की भुजा a के रूप में व्यक्त करें।
दो नियमित एन-गॉन्स के परिधि a:b के रूप में संबंधित हैं। उनके खुदे हुए और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ किस प्रकार संबंधित हैं?
एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक आंतरिक कोण बराबर है: 1) 135; 2) 150?
त्रिभुज, वर्ग, षट्भुज - ये आकृतियाँ लगभग सभी को ज्ञात हैं। लेकिन हर कोई नहीं जानता कि एक नियमित बहुभुज क्या होता है। लेकिन यह सब समान है नियमित बहुभुज वह कहलाता है जिसके कोण और भुजाएँ समान हों। ऐसे बहुत सारे आंकड़े हैं, लेकिन उन सभी के गुण समान हैं, और उन पर समान सूत्र लागू होते हैं।
नियमित बहुभुजों के गुण
कोई भी नियमित बहुभुज, चाहे वह वर्ग हो या अष्टभुज, एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है। एक आकृति का निर्माण करते समय इस मूल संपत्ति का अक्सर उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, एक बहुभुज में एक वृत्त भी अंकित किया जा सकता है। इस मामले में, संपर्क के बिंदुओं की संख्या उसके पक्षों की संख्या के बराबर होगी। यह महत्वपूर्ण है कि एक नियमित बहुभुज में अंकित वृत्त का इसके साथ एक उभयनिष्ठ केंद्र होगा। इन ज्यामितीय आंकड़ेसमान प्रमेयों के अधीन। एक नियमित एन-गॉन का कोई भी पक्ष इसके चारों ओर परिबद्ध चक्र के त्रिज्या आर के साथ जुड़ा हुआ है। इसलिए, इसकी गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: a = 2R ∙ sin180°। आप के माध्यम से न केवल भुजाएँ, बल्कि बहुभुज की परिधि भी ज्ञात कर सकते हैं।
एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या कैसे ज्ञात करें
किसी में एक निश्चित संख्या में एक दूसरे के बराबर खंड होते हैं, जो जुड़े होने पर एक बंद रेखा बनाते हैं। इस स्थिति में, बनी हुई आकृति के सभी कोनों का मान समान होता है। बहुभुज सरल और जटिल में विभाजित हैं। पहले समूह में एक त्रिभुज और एक वर्ग शामिल है। जटिल बहुभुज हैं अधिकपक्ष। इनमें तारे के आकार की आकृतियाँ भी शामिल हैं। जटिल नियमित बहुभुजों के लिए, भुजाओं को एक वृत्त में अंकित करके पाया जाता है। आइए एक प्रमाण दें। भुजाओं की मनमानी संख्या n के साथ एक नियमित बहुभुज बनाएँ। इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कीजिए। त्रिज्या आर निर्दिष्ट करें। अब कल्पना करें कि कुछ एन-गॉन दिया गया है। यदि इसके कोणों के बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं और एक दूसरे के बराबर हैं, तो भुजाएँ सूत्र द्वारा पाई जा सकती हैं: a = 2R ∙ sinα: 2।
एक उत्कीर्ण समकोण त्रिभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात करना
एक समबाहु त्रिभुज एक नियमित बहुभुज है। इस पर वही सूत्र लागू होते हैं जो वर्ग और n-गॉन पर लागू होते हैं। एक त्रिभुज को सही माना जाएगा यदि उसकी भुजाओं की लंबाई समान हो। इस मामले में, कोण 60⁰ हैं। दी गई भुजा लंबाई a के साथ एक त्रिभुज की रचना करें। इसकी माध्यिका और ऊँचाई को जानकर आप इसकी भुजाओं का मान ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र a \u003d x: cosα के माध्यम से खोजने की विधि का उपयोग करेंगे, जहाँ x माध्यिका या ऊँचाई है। चूँकि त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए हमें a = b = c मिलता है। तब निम्नलिखित कथन सत्य है: a = b = c = x: cosα. इसी प्रकार, आप एक समद्विबाहु त्रिभुज में भुजाओं का मान ज्ञात कर सकते हैं, लेकिन x दी गई ऊँचाई होगी। उसी समय, इसे आंकड़े के आधार पर सख्ती से पेश किया जाना चाहिए। इसलिए, ऊँचाई x जानने पर, हम भुजा a पाते हैं समद्विबाहु त्रिकोणसूत्र के अनुसार a \u003d b \u003d x: cosα। a का मान ज्ञात करने के बाद, आप आधार c की लंबाई की गणना कर सकते हैं। आइए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करें। हम आधे आधार c का मान देखेंगे: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α): cos^2α = x ∙ tgα। फिर सी = 2xtanα। इस कदर एक आसान तरीका सेकिसी भी खुदे हुए बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
एक वृत्त में खुदे हुए वर्ग की भुजाओं की गणना करना
किसी भी अन्य खुदे हुए नियमित बहुभुज की तरह, एक वर्ग में समान भुजाएँ और कोण होते हैं। इसमें वही सूत्र लागू होते हैं जो त्रिभुज पर लागू होते हैं। आप विकर्ण के मान का उपयोग करके एक वर्ग की भुजाओं की गणना कर सकते हैं। आइए इस विधि पर अधिक विस्तार से विचार करें। यह ज्ञात है कि विकर्ण कोण को समद्विभाजित करता है। प्रारंभ में, इसका मान 90 डिग्री था। इस प्रकार, विभाजन के बाद, दो बनते हैं।आधार पर उनके कोण 45 डिग्री के बराबर होंगे। तदनुसार, वर्ग का प्रत्येक पक्ष बराबर होगा, अर्थात: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, जहां e वर्ग का विकर्ण है, या इसका आधार है विभाजन के बाद बना समकोण त्रिभुज। क्या नहीं है एक ही रास्तावर्ग की भुजाएँ ज्ञात करना। आइए इस आकृति को एक वृत्त में अंकित करें। इस वृत्त R की त्रिज्या जानने पर, हम वर्ग की भुजा ज्ञात करते हैं। हम इसकी गणना इस प्रकार करेंगे a4 = R√2। नियमित बहुभुजों की त्रिज्या की गणना सूत्र R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) द्वारा की जाती है, जहाँ a पक्ष की लंबाई है।
एन-गॉन की परिधि की गणना कैसे करें
एन-गॉन का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है। इसकी गणना करना आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको सभी पक्षों के मूल्यों को जानना होगा। कुछ प्रकार के बहुभुजों के लिए विशेष सूत्र होते हैं। वे आपको बहुत तेजी से परिधि खोजने की अनुमति देते हैं। यह ज्ञात है कि किसी भी नियमित बहुभुज में समान भुजाएँ होती हैं। इसलिए, इसकी परिधि की गणना करने के लिए, उनमें से कम से कम एक को जानना पर्याप्त है। सूत्र आकृति के पक्षों की संख्या पर निर्भर करेगा। सामान्य तौर पर, यह इस तरह दिखता है: P \u003d a, जहाँ a पक्ष का मान है, और n कोणों की संख्या है। उदाहरण के लिए, 3 सेमी भुजा वाले एक नियमित अष्टकोण की परिधि ज्ञात करने के लिए, आपको इसे 8 से गुणा करना होगा, अर्थात, P = 3 ∙ 8 = 24 सेमी। 5 सेमी भुजा वाले षट्भुज के लिए, हम गणना करते हैं इस प्रकार है: P = 5 ∙ 6 = 30 सेमी। और इसलिए प्रत्येक बहुभुज के लिए।
समांतर चतुर्भुज, वर्ग और समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करना
एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ हैं, इसके आधार पर इसकी परिधि की गणना की जाती है। इससे कार्य बहुत आसान हो जाता है। दरअसल, अन्य आंकड़ों के विपरीत, इस मामले में इसके सभी पक्षों को देखने की जरूरत नहीं है, बस एक ही काफी है। इसी सिद्धांत से, हम चतुष्कोणों की परिधि, यानी एक वर्ग और एक समचतुर्भुज का पता लगाते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि ये अलग-अलग आंकड़े हैं, उनके लिए सूत्र समान P = 4a है, जहां एक पक्ष है। आइए एक उदाहरण लेते हैं। यदि किसी रोम्बस या वर्ग की भुजा 6 सेमी है, तो हम परिधि को निम्नानुसार पाते हैं: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 सेमी। एक समांतर चतुर्भुज में केवल विपरीत दिशाएं. इसलिए, इसकी परिधि एक अलग विधि का उपयोग करके पाई जाती है। इसलिए, हमें आकृति की लंबाई a और चौड़ाई b जानने की आवश्यकता है। फिर हम सूत्र P \u003d (a + c) ∙ 2 लागू करते हैं। एक समांतर चतुर्भुज, जिसमें सभी भुजाएँ और उनके बीच के कोण समान होते हैं, एक रोम्बस कहलाता है।
एक समभुज और समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करना
सही की परिधि सूत्र P \u003d 3a द्वारा पाई जा सकती है, जहाँ a पक्ष की लंबाई है। यदि यह अज्ञात है, तो इसे माध्यिका के माध्यम से पाया जा सकता है। में सही त्रिकोणकेवल दो भुजाएँ समान हैं। पायथागॉरियन प्रमेय के माध्यम से आधार पाया जा सकता है। तीनों पक्षों के मान ज्ञात होने के बाद, हम परिमाप की गणना करते हैं। यह सूत्र P \u003d a + b + c, जहाँ a और b समान भुजाएँ हैं, और c आधार है, को लागू करके पाया जा सकता है। स्मरण करो कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में a \u003d b \u003d a, इसलिए, a + b \u003d 2a, फिर P \u003d 2a + c। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा 4 सेमी है, इसका आधार और परिमाप ज्ञात कीजिए। हम पायथागॉरियन प्रमेय c \u003d √a 2 + 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 सेमी के अनुसार कर्ण के मान की गणना करते हैं। अब हम परिधि P \u003d 2 ∙ 4 + 5.65 की गणना करते हैं। यू003डी 13.65 सेमी.
एक नियमित बहुभुज के कोण कैसे ज्ञात करें
हमारे जीवन में हर दिन एक नियमित बहुभुज होता है, उदाहरण के लिए, एक साधारण वर्ग, त्रिकोण, अष्टकोना। ऐसा लगता है कि इस आंकड़े को खुद बनाने से आसान कुछ नहीं है। लेकिन यह सिर्फ पहली नजर में है। किसी भी n-गॉन के निर्माण के लिए, आपको इसके कोणों का मान जानना होगा। लेकिन आप उन्हें कैसे ढूंढते हैं? पुरातनता के वैज्ञानिकों ने भी नियमित बहुभुज बनाने की कोशिश की। उन्होंने उन्हें हलकों में फिट करने का अनुमान लगाया। और फिर उस पर आवश्यक बिंदुओं को चिह्नित किया गया, जो सीधी रेखाओं से जुड़े थे। के लिए साधारण आंकड़ेनिर्माण समस्या हल हो गई है। सूत्र और प्रमेय प्राप्त किए गए हैं। उदाहरण के लिए, यूक्लिड अपने प्रसिद्ध कार्य "द बिगिनिंग" में 3-, 4-, 5-, 6- और 15-गोंन्स की समस्याओं को हल करने में लगा हुआ था। उन्होंने उन्हें बनाने और कोण खोजने के तरीके खोजे। आइए देखें कि 15-गॉन के लिए यह कैसे करें। पहले आपको इसके आंतरिक कोणों के योग की गणना करने की आवश्यकता है। सूत्र S = 180⁰(n-2) का उपयोग करना आवश्यक है। इसलिए, हमें एक 15-गॉन दिया गया है, जिसका अर्थ है कि संख्या n 15 है। हम सूत्र में ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं और S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ प्राप्त करते हैं। हमने 15-गॉन के सभी आंतरिक कोणों का योग पाया है। अब हमें उनमें से प्रत्येक का मूल्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। कुल 15 कोण हैं। हम 2340⁰: 15 = 156⁰ की गणना करते हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक आंतरिक कोण 156⁰ है, अब रूलर और कम्पास का उपयोग करके, आप एक नियमित 15-गॉन बना सकते हैं। लेकिन अधिक जटिल एन-गोंन्स के बारे में क्या? सदियों से, वैज्ञानिक इस समस्या को हल करने के लिए संघर्ष कर रहे हैं। यह केवल 18वीं शताब्दी में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा खोजा गया था। वह 65537-गॉन बनाने में सक्षम था। तब से, समस्या को आधिकारिक तौर पर पूरी तरह से हल माना गया है।
रेडियंस में एन-गॉन्स के कोणों की गणना
बेशक, बहुभुज के कोने खोजने के कई तरीके हैं। बहुधा उनकी गणना डिग्री में की जाती है। लेकिन आप उन्हें रेडियन में भी व्यक्त कर सकते हैं। इसे कैसे करना है? निम्नानुसार आगे बढ़ना आवश्यक है। सबसे पहले, हम एक नियमित बहुभुज के पक्षों की संख्या का पता लगाते हैं, फिर उसमें से 2 घटाते हैं। इसलिए, हमें मान मिलता है: n - 2. संख्या n ("pi" \u003d 3.14) से पाया गया अंतर गुणा करें। अब यह परिणामी उत्पाद को एन-गॉन में कोणों की संख्या से विभाजित करने के लिए बनी हुई है। उसी पंद्रह-पक्षीय के उदाहरण का उपयोग करके इन गणनाओं पर विचार करें। तो, संख्या n 15 है। चलिए सूत्र S = p(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72 लागू करते हैं। रेडियंस में कोण की गणना करने का यह एकमात्र तरीका नहीं है। आप केवल कोण के आकार को 57.3 की संख्या से डिग्री में विभाजित कर सकते हैं। आखिर इतनी डिग्रियां एक रेडियन के बराबर होती हैं।
डिग्री में कोणों के मान की गणना
डिग्री और रेडियन के अलावा, आप ग्रेड में एक नियमित बहुभुज के कोणों का मान ज्ञात करने का प्रयास कर सकते हैं। यह निम्न प्रकार से किया जाता है। से कुल 2 कोनों को घटाएं, परिणामी अंतर को एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या से विभाजित करें। हम परिणाम को 200 से गुणा करते हैं। वैसे, कोणों के माप की ऐसी इकाई को डिग्री के रूप में व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।
एन-गोंन्स के बाहरी कोनों की गणना
किसी भी नियमित बहुभुज के लिए, आंतरिक के अतिरिक्त, आप बाहरी कोण की भी गणना कर सकते हैं। इसका मान अन्य अंकों की तरह ही पाया जाता है। तो, एक नियमित बहुभुज के बाहरी कोने को खोजने के लिए, आपको आंतरिक के मूल्य को जानने की आवश्यकता है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इन दोनों कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। इसलिए, हम गणना निम्नानुसार करते हैं: 180⁰ घटा आंतरिक कोण का मान। हम अंतर पाते हैं। यह अपने निकटवर्ती कोण के मान के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, एक वर्ग का आंतरिक कोना 90 डिग्री है, इसलिए बाहरी कोण 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ होगा। जैसा कि हम देख सकते हैं, इसे ढूंढना मुश्किल नहीं है। बाहर का कोनाक्रमशः +180⁰ से -180⁰ तक मान ले सकता है।
