आसन्न कोण क्या है? आसन्न कोण

आसन्न कोण क्या है

कोना- यह ज्यामितीय आकृति(चित्र 1), एक बिंदु O (कोण के शीर्ष) से ​​निकलने वाली दो किरणों OA और OB (कोण की भुजाएँ) से बनती है।

निकटवर्ती कोने- दो कोण जिनका योग 180° है। इनमें से प्रत्येक कोण दूसरे को पूर्ण कोण का पूरक बनाता है।

आसन्न कोण - (एग्लेस एडजेसेट्स) जिनका शीर्ष एक समान और पार्श्व उभयनिष्ठ होता है। अधिकतर यह नाम उन कोणों को संदर्भित करता है जिनमें से शेष दो भुजाएँ खींची गई एक सीधी रेखा के विपरीत दिशाओं में स्थित होती हैं।

दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।

चावल। 2

चित्र 2 में, कोण a1b और a2b आसन्न हैं। उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा b है, और भुजाएँ a1, a2 अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं।

चावल। 3

चित्र 3 सीधी रेखा AB दिखाता है, बिंदु C बिंदु A और B के बीच स्थित है। बिंदु D एक बिंदु है जो सीधी AB पर नहीं है। इससे पता चलता है कि कोण BCD और ACD आसन्न हैं। उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा CD है, और भुजाएँ CA और CB सीधी रेखा AB की अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं, क्योंकि बिंदु A, B प्रारंभिक बिंदु C से अलग होते हैं।

आसन्न कोण प्रमेय

प्रमेय:आसन्न कोणों का योग 180° होता है

सबूत:
कोण a1b और a2b आसन्न हैं (चित्र 2 देखें) किरण b खुले हुए कोण की भुजाओं a1 और a2 के बीच से गुजरती है। इसलिए, कोण a1b और a2b का योग विकसित कोण के बराबर है, अर्थात 180°। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

90° के बराबर कोण समकोण कहलाता है। आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि समकोण से सटा हुआ कोण भी समकोण होता है। 90° से कम का कोण न्यून कोण कहलाता है और 90° से अधिक का कोण अधिक कोण कहलाता है। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° होता है, तो न्यून कोण से आसन्न कोण अधिक कोण होता है। अधिक कोण के निकट का कोण न्यून कोण होता है।

आसन्न कोण- एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले दो कोण, जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ है, और शेष भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं (संपाती नहीं)। आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

परिभाषा 1.कोण एक समतल का वह भाग है जो एक समान मूल वाली दो किरणों से घिरा होता है।

परिभाषा 1.1.कोण एक आकृति है जिसमें एक बिंदु होता है - कोण का शीर्ष - और इस बिंदु से निकलने वाली दो अलग-अलग अर्ध-रेखाएँ - कोण की भुजाएँ।
उदाहरण के लिए, चित्र 1 में कोण BOC आइए पहले दो प्रतिच्छेदी रेखाओं पर विचार करें। जब सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं तो वे कोण बनाती हैं। विशेष मामले हैं:

परिभाषा 2.यदि किसी कोण की भुजाएँ एक सीधी रेखा की अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हों, तो कोण विकसित कहलाता है।

परिभाषा 3.समकोण 90 डिग्री मापने वाला कोण है।

परिभाषा 4. 90 डिग्री से कम कोण को न्यूनकोण कहते हैं।

परिभाषा 5. 90 डिग्री से बड़ा और 180 डिग्री से कम कोण को अधिक कोण कहा जाता है।
प्रतिच्छेदी रेखाएँ.

परिभाषा 6.दो कोण, जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और दूसरी भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर हों, आसन्न कहलाते हैं।

परिभाषा 7.वे कोण जिनकी भुजाएँ एक दूसरे से आगे बढ़ती हैं, ऊर्ध्वाधर कोण कहलाते हैं।
चित्र 1 में:
आसन्न: 1 और 2; 2 और 3; 3 और 4; 4 और 1
लंबवत: 1 और 3; 2 और 4
प्रमेय 1.आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
प्रमाण के लिए चित्र पर विचार करें। 4 आसन्न कोण AOB और BOC। इनका योग विकसित कोण AOC है। अतः, इन आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है।

चावल। 4

गणित और संगीत के बीच संबंध

"कला और विज्ञान के बारे में, उनके पारस्परिक संबंधों और अंतर्विरोधों के बारे में सोचते हुए, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि गणित और संगीत मानव आत्मा के चरम ध्रुवों पर हैं, मनुष्य की सभी रचनात्मक आध्यात्मिक गतिविधियाँ इन दो एंटीपोड्स द्वारा सीमित और निर्धारित होती हैं और वह सब कुछ उनके बीच है। मानवता ने विज्ञान और कला के क्षेत्र में क्या बनाया है।"
जी न्यूहौस
ऐसा प्रतीत होता है कि कला गणित से एक बहुत ही अमूर्त क्षेत्र है। हालाँकि, गणित और संगीत के बीच संबंध ऐतिहासिक और आंतरिक रूप से निर्धारित होता है, इस तथ्य के बावजूद कि गणित विज्ञान का सबसे अमूर्त रूप है, और संगीत कला का सबसे अमूर्त रूप है।
संगति एक तार की सुखद ध्वनि को निर्धारित करती है
यह संगीत प्रणाली दो कानूनों पर आधारित थी जो दो महान वैज्ञानिकों - पाइथागोरस और आर्किटास के नाम पर आधारित थी। ये हैं कानून:
1. दो बजने वाले तार संगति निर्धारित करते हैं यदि उनकी लंबाई त्रिकोणीय संख्या 10=1+2+3+4 बनाने वाले पूर्णांक के रूप में संबंधित होती है, यानी। जैसे 1:2, 2:3, 3:4. इसके अलावा, से कम संख्या n के संबंध में n:(n+1) (n=1,2,3), परिणामी अंतराल जितना अधिक व्यंजन होगा।
2. बजने वाले तार की कंपन आवृत्ति w उसकी लंबाई l के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
डब्ल्यू = ए:एल,
जहाँ a एक गुणक गुणांक है भौतिक गुणतार.

मैं आपको दो गणितज्ञों के बीच बहस के बारे में एक मज़ेदार पैरोडी भी पेश करूंगा =)

हमारे चारों ओर ज्यामिति

हमारे जीवन में ज्यामिति का कोई छोटा महत्व नहीं है। इस तथ्य के कारण कि जब आप चारों ओर देखते हैं, तो यह नोटिस करना मुश्किल नहीं होगा कि हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों से घिरे हुए हैं। हम उनका सामना हर जगह करते हैं: सड़क पर, कक्षा में, घर पर, पार्क में, जिम में, स्कूल कैफेटेरिया में, मूल रूप से हम जहां भी हों। लेकिन आज के पाठ का विषय निकटवर्ती कोयला है। तो आइए चारों ओर देखें और इस वातावरण में कोण खोजने का प्रयास करें। यदि आप खिड़की को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि कुछ पेड़ की शाखाएँ आसन्न कोनों का निर्माण करती हैं, और गेट पर विभाजन में आप कई ऊर्ध्वाधर कोण देख सकते हैं। अपने परिवेश में देखे गए आसन्न कोणों के अपने उदाहरण दीजिए।

अभ्यास 1।

1. टेबल पर बुक स्टैंड पर एक किताब है। यह कौन सा कोण बनाता है?
2. लेकिन छात्र लैपटॉप पर काम कर रहा है. आप यहाँ कौन सा कोण देखते हैं?
3. फोटो फ्रेम स्टैंड पर किस कोण पर बनता है?
4. क्या आपको लगता है कि दो आसन्न कोणों का बराबर होना संभव है?

कार्य 2.

आपके सामने एक ज्यामितीय आकृति है। यह कैसी आकृति है, नाम बताएं? अब उन सभी आसन्न कोणों के नाम बताइए जिन्हें आप इस ज्यामितीय आकृति पर देख सकते हैं।

कार्य 3.

यहां एक ड्राइंग और पेंटिंग की छवि है. इन्हें ध्यान से देखिए और बताइए कि तस्वीर में आपको किस तरह की मछलियाँ दिख रही हैं और तस्वीर किस कोण से दिख रही है।

समस्या को सुलझाना

1) दो कोण दिए गए हैं जो एक दूसरे से 1:2 के रूप में संबंधित हैं, और उनके आसन्न - 7:5 के रूप में। आपको इन कोणों को खोजने की आवश्यकता है।
2) यह ज्ञात है कि आसन्न कोणों में से एक दूसरे से 4 गुना बड़ा है। आसन्न कोण किसके बराबर होते हैं?
3) आसन्न कोण ज्ञात करना आवश्यक है, बशर्ते कि उनमें से एक दूसरे से 10 डिग्री बड़ा हो।

पहले सीखी गई सामग्री की समीक्षा करने के लिए गणितीय श्रुतलेख

1) ड्राइंग को पूरा करें: सीधी रेखाएं ए आई बी बिंदु ए पर प्रतिच्छेद करती हैं। गठित कोणों में से छोटे को संख्या 1 के साथ चिह्नित करें, और शेष कोणों को - क्रमिक रूप से संख्या 2,3,4 के साथ चिह्नित करें; रेखा a की पूरक किरणें a1 और a2 से होकर जाती हैं, और रेखा b, b1 और b2 से होकर गुजरती हैं।
2) पूर्ण ड्राइंग का उपयोग करते हुए, पाठ के अंतराल में आवश्यक अर्थ और स्पष्टीकरण दर्ज करें:
ए) कोण 1 और कोण.... निकटवर्ती क्योंकि...
बी) कोण 1 और कोण... लंबवत क्योंकि...
ग) यदि कोण 1 = 60° है, तो कोण 2 = ..., क्योंकि...
घ) यदि कोण 1 = 60° है, तो कोण 3 = ..., क्योंकि...

समस्याओं का समाधान:

1. क्या दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बने तीन कोणों का योग 100° के बराबर हो सकता है? 370°?
2. चित्र में आसन्न कोणों के सभी युग्म ज्ञात कीजिए। और अब ऊर्ध्वाधर कोण. इन कोणों के नाम बताइये।

3. आपको एक ऐसा कोण ढूंढना होगा जब वह अपने आसन्न कोण से तीन गुना बड़ा हो।
4. दो सीधी रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं। इस प्रतिच्छेदन के फलस्वरूप चार कोनों का निर्माण हुआ। उनमें से किसी का मूल्य निर्धारित करें, बशर्ते कि:

a) चार में से 2 कोणों का योग 84° है;
बी) दो कोणों के बीच का अंतर 45° है;
ग) एक कोण दूसरे से 4 गुना छोटा है;
d) इनमें से तीन कोणों का योग 290° है।

पाठ सारांश

1. उन कोणों के नाम बताइए जो दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेद करने पर बनते हैं?
2. आकृति में कोणों के सभी संभावित युग्मों के नाम बताइए और उनका प्रकार निर्धारित कीजिए।

गृहकार्य:

1. आसन्न कोणों की डिग्री माप का अनुपात ज्ञात करें जब उनमें से एक दूसरे से 54° अधिक हो।
2. वे कोण ज्ञात कीजिए जो 2 सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेद करने पर बनते हैं, बशर्ते कि उनमें से एक कोण उसके निकटवर्ती 2 अन्य कोणों के योग के बराबर हो।
3. आसन्न कोण ज्ञात करना तब आवश्यक होता है जब उनमें से एक का समद्विभाजक दूसरे कोण की भुजा के साथ एक ऐसा कोण बनाता है जो दूसरे कोण से 60° बड़ा होता है।
4. 2 आसन्न कोणों के बीच का अंतर इन दोनों कोणों के योग के एक तिहाई के बराबर है। 2 आसन्न कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
5. 2 आसन्न कोणों का अंतर और योग क्रमशः 1:5 के अनुपात में है। आसन्न कोण ज्ञात कीजिए।
6. दो आसन्न व्यक्तियों के बीच का अंतर उनके योग का 25% है। 2 आसन्न कोणों के मान कैसे संबंधित हैं? 2 आसन्न कोणों का मान ज्ञात कीजिए।

प्रशन:

1. कोण क्या है?
2. कोण कितने प्रकार के होते हैं?
3. आसन्न कोणों का गुण क्या है?

विषय > गणित > गणित 7वीं कक्षा कोनाखुले हुए को, यानी 180° के बराबर, इसलिए उन्हें खोजने के लिए, इसमें से मुख्य कोण का ज्ञात मान α₁ = α₂ = 180°-α घटाएं।

इससे हैं. यदि दो कोण आसन्न और बराबर हों तो वे समकोण होते हैं। यदि आसन्न कोणों में से एक समकोण अर्थात 90 डिग्री है तो दूसरा कोण भी समकोण होता है। यदि आसन्न कोणों में से एक न्यून कोण है, तो दूसरा अधिक कोण होगा। इसी प्रकार, यदि एक कोण अधिक कोण है, तो दूसरा, तदनुसार, न्यून कोण होगा।

न्यून कोण वह होता है जिसका डिग्री माप 90 डिग्री से कम, लेकिन 0 से अधिक होता है। अधिक कोण का डिग्री माप 90 डिग्री से अधिक, लेकिन 180 से कम होता है।

आसन्न कोणों का एक अन्य गुण इस प्रकार तैयार किया गया है: यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि दो कोण हैं जिनके लिए डिग्री माप समान है (उदाहरण के लिए, यह 50 डिग्री है) और साथ ही उनमें से एक में आसन्न कोण है, तो इन आसन्न कोणों के मान भी मेल खाते हैं ( उदाहरण में, उनकी डिग्री माप 130 डिग्री के बराबर होगी)।

स्रोत:

• बड़ा विश्वकोश शब्दकोश-आसन्न कोने
• कोण 180 डिग्री

शब्द "" है अलग-अलग व्याख्याएँ. ज्यामिति में, कोण एक समतल का वह भाग होता है जो एक बिंदु - शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों से घिरा होता है। जब हम सीधे, न्यून और खुले कोणों के बारे में बात करते हैं तो हमारा मतलब ज्यामितीय कोणों से होता है।

ज्यामिति में किसी भी आकृति की तरह, कोणों की तुलना की जा सकती है। कोणों की समानता गति का उपयोग करके निर्धारित की जाती है। कोण को दो बराबर भागों में बाँटना आसान है। तीन भागों में विभाजित करना थोड़ा अधिक कठिन है, लेकिन फिर भी रूलर और कम्पास का उपयोग करके इसे किया जा सकता है। वैसे ये काम काफी मुश्किल लग रहा था. यह वर्णन करना कि एक कोण दूसरे से बड़ा या छोटा है, ज्यामितीय रूप से सरल है।

कोणों के माप की इकाई 1/180 है

एक ही सीधी रेखा पर स्थित और एक ही शीर्ष वाले दो कोण आसन्न कहलाते हैं।

अन्यथा, यदि एक सीधी रेखा पर दो कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर है और उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ है, तो ये आसन्न कोण हैं।

1 आसन्न कोण + 1 आसन्न कोण = 180 डिग्री.

आसन्न कोण दो कोण होते हैं जिनमें एक पक्ष उभयनिष्ठ होता है, और अन्य दो पक्ष आम तौर पर एक सीधी रेखा बनाते हैं।

दो आसन्न कोणों का योग सदैव 180 डिग्री होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक कोण 60 डिग्री का है, तो दूसरा आवश्यक रूप से 120 डिग्री (180-60) के बराबर होगा।

कोण AOC और BOC आसन्न कोण हैं क्योंकि आसन्न कोणों की विशेषताओं के लिए सभी शर्तें पूरी होती हैं:

1.ओएस - दो कोनों का सामान्य पक्ष

2.AO - कोने का किनारा AOS, OB - कोने का किनारा BOS। ये भुजाएँ मिलकर एक सीधी रेखा AOB बनाती हैं।

3. दो कोण हैं और उनका योग 180 डिग्री है।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम को याद करते हुए, हम आसन्न कोणों के बारे में निम्नलिखित कह सकते हैं:

आसन्न कोणों की एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, और अन्य दो भुजाएँ एक ही सीधी रेखा की होती हैं, अर्थात वे एक ही सीधी रेखा पर होती हैं। यदि चित्र के अनुसार, तो कोण SOV और BOA आसन्न कोण हैं, जिनका योग हमेशा 180 के बराबर होता है, क्योंकि वे एक सीधे कोण को विभाजित करते हैं, और एक सीधा कोण हमेशा 180 के बराबर होता है।



ज्यामिति में आसन्न कोण एक आसान अवधारणा है। आसन्न कोण, एक कोण और एक कोण, का योग 180 डिग्री होता है।

दो आसन्न कोण एक खुला हुआ कोण होगा।

और भी कई संपत्तियां हैं. आसन्न कोणों के साथ, समस्याओं को हल करना आसान होता है और प्रमेयों को सिद्ध करना आसान होता है।

एक सीधी रेखा पर एक मनमाने बिंदु से किरण खींचने से आसन्न कोण बनते हैं। तब यह मनमाना बिंदु कोण का शीर्ष बन जाता है, किरण आसन्न कोणों की उभयनिष्ठ भुजा होती है, और जिस सीधी रेखा से किरण खींची जाती है वह आसन्न कोणों की दो शेष भुजाएँ होती है। लंबवत के मामले में आसन्न कोण समान हो सकते हैं, या झुके हुए बीम के मामले में भिन्न हो सकते हैं। यह समझना आसान है कि आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री या बस एक सीधी रेखा के बराबर होता है। इस कोण को समझाने का दूसरा तरीका है सरल उदाहरण- पहले तो आप एक दिशा में सीधी रेखा में चले, फिर आपने अपना मन बदल लिया, वापस जाने का फैसला किया और 180 डिग्री मुड़कर उसी सीधी रेखा के साथ विपरीत दिशा में चल दिए।



तो आसन्न कोण क्या है? परिभाषा:

एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा वाले दो कोण आसन्न कहलाते हैं, और इन कोणों की अन्य दो भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर स्थित होती हैं।



और लघु वीडियोएक पाठ जहां इसे आसन्न कोणों, ऊर्ध्वाधर कोणों के साथ-साथ लंबवत रेखाओं के बारे में समझदारी से दिखाया गया है, जो आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोणों का एक विशेष मामला है

आसन्न कोण वे कोण होते हैं जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और दूसरी एक रेखा होती है।

आसन्न कोण वे कोण होते हैं जो एक दूसरे पर निर्भर होते हैं। अर्थात यदि उभयनिष्ठ भुजा को थोड़ा घुमाया जाए तो एक कोण कई डिग्री कम हो जाएगा और दूसरा कोण स्वतः ही उतनी ही डिग्री बढ़ जाएगा। आसन्न कोणों की यह संपत्ति व्यक्ति को ज्यामिति में विभिन्न समस्याओं को हल करने और विभिन्न प्रमेयों का प्रमाण देने की अनुमति देती है।

आसन्न कोणों का कुल योग सदैव 180 डिग्री होता है।



ज्यामिति पाठ्यक्रम से, (जहाँ तक मुझे छठी कक्षा में याद है), दो कोणों को आसन्न कहा जाता है, जिसमें एक पक्ष उभयनिष्ठ होता है, और अन्य पक्ष अतिरिक्त किरणें होते हैं, आसन्न कोणों का योग 180 होता है। दोनों में से प्रत्येक आसन्न कोण दूसरे को विस्तारित कोण का पूरक बनाते हैं। आसन्न कोणों का उदाहरण:



आसन्न कोण एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले दो कोण होते हैं, जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, और शेष भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर होती हैं (संपाती नहीं)। आसन्न कोणों का योग एक सौ अस्सी डिग्री होता है। सामान्य तौर पर, यह सब Google या ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में खोजना बहुत आसान है।

ज्यामिति एक अत्यंत बहुआयामी विज्ञान है। इससे तर्क, कल्पना और बुद्धि का विकास होता है। बेशक, इसकी जटिलता और प्रमेयों और स्वयंसिद्धों की बड़ी संख्या के कारण, स्कूली बच्चे इसे हमेशा पसंद नहीं करते हैं। इसके अलावा, अपने निष्कर्षों को लगातार प्रयोग करके सिद्ध करने की आवश्यकता है आम तौर पर स्वीकृत मानकऔर नियम.

आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोण ज्यामिति का अभिन्न अंग हैं। निश्चित रूप से कई स्कूली बच्चे उन्हें केवल इसलिए पसंद करते हैं क्योंकि उनके गुण स्पष्ट और साबित करने में आसान होते हैं।

कोनों का निर्माण

कोई भी कोण दो सीधी रेखाओं को काटने या एक बिंदु से दो किरणें खींचने से बनता है। उन्हें या तो एक अक्षर या तीन कहा जा सकता है, जो क्रमिक रूप से उन बिंदुओं को निर्दिष्ट करते हैं जिन पर कोण का निर्माण होता है।

कोणों को डिग्री में मापा जाता है और (उनके मूल्य के आधार पर) अलग-अलग कहा जा सकता है। तो, एक समकोण, न्यूनकोण, अधिककोण और खुला हुआ है। प्रत्येक नाम एक निश्चित डिग्री माप या उसके अंतराल से मेल खाता है।

न्यून कोण वह कोण होता है जिसका माप 90 डिग्री से अधिक नहीं होता है।

अधिक कोण 90 डिग्री से बड़ा कोण होता है।

कोई कोण तब समकोण कहलाता है जब उसका अंश माप 90 हो।

उस स्थिति में जब यह एक सतत सीधी रेखा से बना हो और इसकी डिग्री माप 180 हो, इसे विस्तारित कहा जाता है।

वे कोण जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, जिनकी दूसरी भुजा एक-दूसरे को जारी रखती है, आसन्न कहलाते हैं। वे या तो तेज़ या कुंद हो सकते हैं। रेखा का प्रतिच्छेदन आसन्न कोण बनाता है। उनकी संपत्तियाँ इस प्रकार हैं:

1. ऐसे कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होगा (एक प्रमेय है जो इसे साबित करता है)। इसलिए, यदि दूसरा ज्ञात हो तो कोई आसानी से उनमें से एक की गणना कर सकता है।
2. पहले बिंदु से यह निष्कर्ष निकलता है कि आसन्न कोण दो अधिक कोणों या दो न्यून कोणों से नहीं बन सकते।

इन गुणों के लिए धन्यवाद, किसी अन्य कोण के मान या कम से कम उनके बीच के अनुपात को देखते हुए किसी कोण की डिग्री माप की गणना करना हमेशा संभव होता है।

लंब कोण

वे कोण जिनकी भुजाएँ एक-दूसरे की निरंतरता होती हैं, ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं। उनकी कोई भी किस्म ऐसी जोड़ी के रूप में कार्य कर सकती है। ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं।

इनका निर्माण तब होता है जब सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। इनके साथ-साथ आसन्न कोण भी सदैव मौजूद रहते हैं। एक कोण एक के लिए एक साथ आसन्न और दूसरे के लिए लंबवत हो सकता है।

किसी मनमानी रेखा को पार करते समय कई अन्य प्रकार के कोणों पर भी विचार किया जाता है। ऐसी रेखा को छेदक कहा जाता है; यह संगत, एकपक्षीय और आड़े-तिरछे कोण बनाती है। वे एक दूसरे के बराबर हैं. उन्हें ऊर्ध्वाधर और आसन्न कोणों के गुणों के प्रकाश में देखा जा सकता है।

इस प्रकार कोणों का विषय काफी सरल एवं समझने योग्य लगता है। उनके सभी गुणों को याद रखना और साबित करना आसान है। जब तक कोण संगत हों तब तक समस्याओं को हल करना कठिन नहीं लगता अंकीय मान. बाद में, जब पाप और कॉस का अध्ययन शुरू होगा, तो आपको कई जटिल सूत्र, उनके निष्कर्ष और परिणाम याद करने होंगे। तब तक, आप केवल आसान पहेलियों का आनंद ले सकते हैं जहां आपको आसन्न कोण खोजने की आवश्यकता है।

प्रश्न 1।किन कोणों को आसन्न कहा जाता है?
उत्तर।दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।
चित्र 31 में, कोण (ए 1 बी) और (ए 2 बी) आसन्न हैं। उनमें भुजा b समान है, और भुजा a 1 और a 2 अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं।

प्रश्न 2।सिद्ध कीजिए कि आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
उत्तर। प्रमेय 2.1.आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
सबूत।मान लीजिए कि कोण (a 1 b) और कोण (a 2 b) को आसन्न कोण दिए गए हैं (चित्र 31 देखें)। किरण b एक सीधे कोण की भुजाओं a 1 और a 2 के बीच से गुजरती है। इसलिए, कोणों (ए 1 बी) और (ए 2 बी) का योग खुले कोण के बराबर है, अर्थात 180°। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 3।सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।
उत्तर।

प्रमेय से 2.1 इसका तात्पर्य यह है कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।
मान लीजिए कि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं। हमें यह सिद्ध करना होगा कि कोण (a 2 b) और (c 2 d) भी बराबर हैं।
आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a 1 b + a 2 b = 180° और c 1 d + c 2 d = 180°। इसलिए, a 2 b = 180° - a 1 b और c 2 d = 180° - c 1 d। चूँकि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं, हम पाते हैं कि a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d। समान चिन्ह की परिवर्तनशीलता के गुण से यह निष्कर्ष निकलता है कि a 2 b = c 2 d। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 4.किस कोण को समकोण (न्यून, अधिक) कहा जाता है?
उत्तर। 90° के बराबर कोण समकोण कहलाता है।
90° से कम कोण को न्यूनकोण कहते हैं।
90° से बड़ा और 180° से कम कोण को अधिक कोण कहा जाता है।

प्रश्न 5.सिद्ध कीजिए कि समकोण के निकट का कोण समकोण होता है।
उत्तर।आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि समकोण से सटे कोण एक समकोण है: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°।

प्रश्न 6.कौन से कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं?
उत्तर।दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।

प्रश्न 7.सिद्ध कीजिए कि ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।
उत्तर। प्रमेय 2.2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं.
सबूत।मान लीजिए (a 1 b 1) और (a 2 b 2) दिए गए ऊर्ध्वाधर कोण हैं (चित्र 34)। कोण (a 1 b 2) कोण (a 1 b 1) और कोण (a 2 b 2) के निकट है। यहां से, आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रत्येक कोण (a 1 b 1) और (a 2 b 2) कोण (a 1 b 2) को 180° तक पूरक करता है, अर्थात। कोण (a 1 b 1) और (a 2 b 2) बराबर हैं। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 8.सिद्ध कीजिए कि यदि, जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनमें से एक कोण समकोण होता है, तो अन्य तीन कोण भी समकोण होते हैं।
उत्तर।मान लीजिए रेखाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए कोण AOD 90° है। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° है, हम पाते हैं कि AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°। कोण COB, कोण AOD के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। अर्थात कोण COB = 90°. कोण COA, कोण BOD के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। अर्थात कोण BOD = 90°. इस प्रकार, सभी कोण 90° के बराबर हैं, अर्थात वे सभी समकोण हैं। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 9.कौन सी रेखाएँ लम्बवत कहलाती हैं? रेखाओं की लम्बवतता दर्शाने के लिए किस चिन्ह का प्रयोग किया जाता है?
उत्तर।दो रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं यदि वे समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखाओं की लंबवतता को \(\perp\) चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। प्रविष्टि \(a\perp b\) में लिखा है: "रेखा a, रेखा b पर लंबवत है।"

प्रश्न 10.साबित करें कि किसी रेखा पर किसी भी बिंदु से होकर आप उस पर लंबवत रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
उत्तर। प्रमेय 2.3.प्रत्येक रेखा के माध्यम से आप उस पर लंबवत एक रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
सबूत।मान लीजिए a दी गई रेखा है और A है दिया गया बिंदुउस पर। आइए हम प्रारंभिक बिंदु A (चित्र 38) के साथ सीधी रेखा a की आधी रेखाओं में से एक को 1 से निरूपित करें। आइए अर्ध-रेखा a 1 से 90° के बराबर एक कोण (a 1 b 1) घटाएं। तब किरण b 1 वाली सीधी रेखा सीधी रेखा a पर लंबवत होगी।

आइए मान लें कि एक और रेखा है, जो बिंदु A से होकर गुजरती है और रेखा a पर लंबवत है। आइए हम किरण बी 1 के साथ एक ही आधे तल में स्थित इस रेखा की आधी रेखा को सी 1 से निरूपित करें।
कोण (a 1 b 1) और (a 1 c 1), प्रत्येक 90° के बराबर, अर्ध-रेखा a 1 से एक अर्ध-तल में रखे गए हैं। लेकिन अर्ध-रेखा 1 से 90° के बराबर केवल एक कोण किसी दिए गए अर्ध-तल में डाला जा सकता है। इसलिए, बिंदु A से गुजरने वाली और रेखा a पर लंबवत कोई अन्य रेखा नहीं हो सकती है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रश्न 11.एक रेखा पर लम्ब क्या है?
उत्तर।किसी दी गई रेखा पर लंब किसी दी गई रेखा पर लंबवत रेखा का एक खंड होता है, जिसका एक सिरा उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है। खंड के इस सिरे को कहा जाता है आधारलंबवत.

प्रश्न 12.स्पष्ट करें कि विरोधाभास द्वारा कौन सा प्रमाण शामिल है।
उत्तर।प्रमेय 2.3 में हमने जिस प्रमाण विधि का उपयोग किया है उसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहा जाता है। प्रमाण की यह विधि यह है कि हम पहले प्रमेय में जो कहा गया है उसके विपरीत एक धारणा बनाते हैं। फिर, तर्क करके, स्वयंसिद्धों और सिद्ध प्रमेयों पर भरोसा करते हुए, हम एक निष्कर्ष पर पहुंचते हैं जो या तो प्रमेय की शर्तों, या स्वयंसिद्धों में से एक, या पहले से सिद्ध प्रमेय का खंडन करता है। इस आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारी धारणा गलत थी, और इसलिए प्रमेय का कथन सत्य है।

प्रश्न 13.किसी कोण का समद्विभाजक क्या होता है?
उत्तर।किसी कोण का समद्विभाजक वह किरण होती है जो कोण के शीर्ष से निकलती है, उसकी भुजाओं के बीच से गुजरती है और कोण को आधे में विभाजित करती है।