पहली उल्लेखनीय सीमा को कैसे हल करें. दूसरी उल्लेखनीय सीमा: खोज, समस्याओं और विस्तृत समाधानों के उदाहरण

पहली उल्लेखनीय सीमा निम्नलिखित समानता है:

\begin(समीकरण)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

चूँकि $\alpha\to(0)$ के लिए हमारे पास $\sin\alpha\to(0)$ है, वे कहते हैं कि पहली उल्लेखनीय सीमा $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता को प्रकट करती है। सामान्यतया, सूत्र (1) में, चर $\alpha$ के बजाय, किसी भी अभिव्यक्ति को साइन चिह्न के नीचे और हर में रखा जा सकता है, जब तक कि दो शर्तें पूरी होती हैं:

1. साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव एक साथ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, अर्थात। $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है।
2. साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव समान हैं।

पहली उल्लेखनीय सीमा से प्राप्त परिणामों का भी अक्सर उपयोग किया जाता है:

\begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

इस पृष्ठ पर ग्यारह उदाहरण हल किए गए हैं। उदाहरण संख्या 1 सूत्र (2)-(4) के प्रमाण के लिए समर्पित है। उदाहरण संख्या 2, संख्या 3, संख्या 4 और संख्या 5 में विस्तृत टिप्पणियों के साथ समाधान शामिल हैं। उदाहरण संख्या 6-10 में वस्तुतः कोई टिप्पणी नहीं के साथ समाधान शामिल हैं, क्योंकि पिछले उदाहरणों में विस्तृत स्पष्टीकरण दिए गए थे। समाधान कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करता है जिन्हें पाया जा सकता है।

मैं ध्यान देता हूं कि उपस्थिति त्रिकोणमितीय कार्यअनिश्चितता $\frac (0) (0)$ के साथ मिलकर अभी तक पहली उल्लेखनीय सीमा के अनिवार्य आवेदन का मतलब नहीं है। कभी-कभी सरल त्रिकोणमितीय परिवर्तन पर्याप्त होते हैं - उदाहरण के लिए, देखें।

उदाहरण क्रमांक 1

साबित करो कि $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) चूँकि $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, तो:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

चूँकि $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ और $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , वह:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

बी) आइए परिवर्तन करें $\alpha=\sin(y)$. चूँकि $\sin(0)=0$, तो स्थिति $\alpha\to(0)$ से हमारे पास $y\to(0)$ है। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जिसमें $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, इसलिए:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ सिद्ध हो चुकी है।

ग) चलिए प्रतिस्थापन $\alpha=\tg(y)$ करते हैं। चूँकि $\tg(0)=0$, तो स्थितियाँ $\alpha\to(0)$ और $y\to(0)$ समतुल्य हैं। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जिसमें $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, इसलिए, बिंदु a के परिणामों के आधार पर, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ सिद्ध हो चुकी है।

समानताएं ए), बी), सी) अक्सर पहली उल्लेखनीय सीमा के साथ उपयोग की जाती हैं।

उदाहरण संख्या 2

सीमा की गणना करें $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

चूँकि $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ और $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, यानी। और भिन्न के अंश और हर दोनों एक साथ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, तो यहां हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं, यानी। हो गया। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि साइन साइन के तहत और हर में भाव मेल खाते हैं (यानी, और संतुष्ट हैं):

तो, पृष्ठ की शुरुआत में सूचीबद्ध दोनों शर्तें पूरी हो गई हैं। इससे यह पता चलता है कि सूत्र लागू है, अर्थात। $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

उत्तर: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

उदाहरण संख्या 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ और $\lim_(x\to(0))x=0$, तो हम फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac (0 )(0)$, अर्थात्। हो गया। हालाँकि, साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव मेल नहीं खाते हैं। यहां आपको हर में व्यंजक को वांछित रूप में समायोजित करने की आवश्यकता है। हमें अभिव्यक्ति $9x$ को हर में रखने की आवश्यकता है, तभी यह सत्य हो जाएगा। अनिवार्य रूप से, हम हर में $9$ का एक कारक खो रहे हैं, जिसे दर्ज करना इतना कठिन नहीं है - बस हर में अभिव्यक्ति को $9$ से गुणा करें। स्वाभाविक रूप से, $9$ से गुणा की भरपाई के लिए, आपको तुरंत $9$ से विभाजित करना होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

अब हर में और साइन चिह्न के नीचे के भाव मेल खाते हैं। सीमा $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ के लिए दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। इसलिए, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. और इसका मतलब यह है कि:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

उदाहरण संख्या 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ और $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, यहां हम फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac(0)(0)$. हालाँकि, पहली उल्लेखनीय सीमा के स्वरूप का उल्लंघन किया गया है। $\sin(5x)$ वाले अंश में $5x$ के हर की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, सबसे आसान तरीका अंश को $5x$ से विभाजित करना और तुरंत $5x$ से गुणा करना है। इसके अलावा, हम हर के साथ एक समान ऑपरेशन करेंगे, $\tg(8x)$ को $8x$ से गुणा और विभाजित करेंगे:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ को कम करने और स्थिरांक $\frac(5)(8)$ को सीमा चिह्न से बाहर ले जाने पर, हमें मिलता है:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

ध्यान दें कि $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यकताओं को पूरी तरह से संतुष्ट करता है। $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू है:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

उदाहरण क्रमांक 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (याद रखें कि $\cos(0)=1$) और $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, तो हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। हालाँकि, पहली उल्लेखनीय सीमा को लागू करने के लिए, आपको अंश में कोसाइन से छुटकारा पाना चाहिए, साइन पर आगे बढ़ना चाहिए (फिर सूत्र को लागू करने के लिए) या स्पर्शरेखा (फिर सूत्र को लागू करने के लिए)। यह निम्नलिखित परिवर्तन के साथ किया जा सकता है:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

आइए सीमा पर वापस जाएं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ पहले से ही पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यक फॉर्म के करीब है। आइए अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ के साथ थोड़ा काम करें, इसे पहली उल्लेखनीय सीमा तक समायोजित करें (ध्यान दें कि अंश और साइन के नीचे के भाव मेल खाने चाहिए):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

आइए प्रश्न की सीमा पर वापस जाएँ:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2)=25. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

उदाहरण संख्या 6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ और $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, तो हम अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ से निपट रहे हैं। आइए इसे पहली उल्लेखनीय सीमा की सहायता से प्रकट करें। ऐसा करने के लिए, आइए कोसाइन से साइन की ओर बढ़ें। चूँकि $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, तो:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

दी गई सीमा में ज्याओं को पार करने पर, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

उदाहरण संख्या 7

$\alpha\neq के अधीन सीमा $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ की गणना करें \ बीटा$.

विस्तृत स्पष्टीकरण पहले दिए गए थे, लेकिन यहां हम केवल यह ध्यान देते हैं कि फिर से अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ है। आइए सूत्र का उपयोग करके कोसाइन से साइन की ओर बढ़ें

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

इस सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\दाएं| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ पाप\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ अल्फ़ा^2)(2)$.

उदाहरण संख्या 8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin(0)=\tg(0)=0$) और $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, तो यहां हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे इस प्रकार तोड़ें:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

उदाहरण संख्या 9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ और $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, तो $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, वेरिएबल में इस तरह से बदलाव करना सुविधाजनक होता है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाता है (ध्यान दें कि सूत्रों में वेरिएबल $\alpha \to 0$)। सबसे आसान तरीका वेरिएबल $t=x-3$ का परिचय देना है। हालाँकि, आगे के परिवर्तनों की सुविधा के लिए (यह लाभ नीचे दिए गए समाधान के दौरान देखा जा सकता है), निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना उचित है: $t=\frac(x-3)(2)$. मैं ध्यान देता हूं कि इस मामले में दोनों प्रतिस्थापन लागू हैं, बात बस इतनी है कि दूसरा प्रतिस्थापन आपको भिन्नों के साथ कम काम करने की अनुमति देगा। चूँकि $x\to(3)$, तो $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\दाएं| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

उदाहरण क्रमांक 10

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

एक बार फिर हम अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ से निपट रहे हैं। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, वेरिएबल में इस तरह से बदलाव करना सुविधाजनक है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में वेरिएबल $\alpha\to(0)$ है)। सबसे आसान तरीका वेरिएबल $t=\frac(\pi)(2)-x$ का परिचय देना है। चूँकि $x\to\frac(\pi)(2)$, तो $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

उदाहरण संख्या 11

सीमाएँ ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

इस मामले में हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। कृपया ध्यान दें कि पहली और दूसरी दोनों सीमाओं में केवल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और संख्याएँ शामिल हैं। अक्सर इस प्रकार के उदाहरणों में सीमा चिह्न के नीचे स्थित अभिव्यक्ति को सरल बनाना संभव होता है। इसके अलावा, उपरोक्त सरलीकरण और कुछ कारकों में कमी के बाद, अनिश्चितता गायब हो जाती है। मैंने यह उदाहरण केवल एक ही उद्देश्य के लिए दिया: यह दिखाने के लिए कि सीमा चिह्न के नीचे त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग नहीं है।

चूँकि $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) और $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (मैं आपको याद दिला दूं कि $\cos\frac(\pi)(2)=0$), तो हमारे पास है $\frac(0)(0)$ फॉर्म की अनिश्चितता से निपटना। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, यह ध्यान में रखना पर्याप्त है कि $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

डेमिडोविच की समाधान पुस्तिका (नंबर 475) में एक समान समाधान है। दूसरी सीमा के लिए, इस अनुभाग में पिछले उदाहरणों की तरह, हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। यह क्यों उत्पन्न होता है? यह इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ और $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. हम इन मानों का उपयोग अंश और हर में भावों को बदलने के लिए करते हैं। हमारे कार्यों का लक्ष्य अंश और हर में योग को गुणनफल के रूप में लिखना है। वैसे, अक्सर एक समान प्रकार के भीतर एक वेरिएबल को बदलना सुविधाजनक होता है, जिसे इस तरह से बनाया जाता है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाता है (उदाहरण के लिए, इस पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 9 या नंबर 10 देखें)। हालाँकि, में इस उदाहरण मेंइसे बदलने का कोई मतलब नहीं है, हालांकि अगर चाहें तो वेरिएबल $t=x-\frac(2\pi)(3)$ को बदलना लागू करना मुश्किल नहीं है।

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ पाप\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहली अद्भुत सीमा लागू करने की आवश्यकता नहीं थी। बेशक, यदि आप चाहें तो ऐसा कर सकते हैं (नीचे नोट देखें), लेकिन यह आवश्यक नहीं है।

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करके समाधान क्या है? छिपा हुया दिखाओ

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हुए हमें यह मिलता है:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ दाएं))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

उत्तर: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

अद्भुत सीमाएँ खोजेंयह न केवल प्रथम और द्वितीय वर्ष के कई छात्रों के लिए कठिन है जो सीमा के सिद्धांत का अध्ययन करते हैं, बल्कि कुछ शिक्षकों के लिए भी कठिन है।

पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए सूत्र

पहली उल्लेखनीय सीमा के परिणाम आइए इसे सूत्रों में लिखें
1. 2. 3. 4. लेकिन उल्लेखनीय सीमाओं के सामान्य सूत्र स्वयं किसी परीक्षा या परीक्षण में किसी की मदद नहीं करते हैं। मुद्दा यह है कि वास्तविक कार्यों का निर्माण इस प्रकार किया जाता है कि आपको अभी भी ऊपर लिखे सूत्रों तक पहुंचने की आवश्यकता है। और अधिकांश छात्र जो कक्षाएं नहीं लेते हैं, अनुपस्थिति में इस पाठ्यक्रम का अध्ययन करते हैं या ऐसे शिक्षक हैं जो स्वयं हमेशा यह नहीं समझते हैं कि वे क्या समझा रहे हैं, वे सबसे अधिक गणना नहीं कर सकते हैं प्रारंभिक उदाहरणउल्लेखनीय सीमा तक. पहली उल्लेखनीय सीमा के सूत्रों से हम देखते हैं कि उनकी मदद से त्रिकोणमितीय कार्यों वाले अभिव्यक्तियों के लिए शून्य से विभाजित प्रकार की अनिश्चितताओं का अध्ययन करना संभव है। आइए पहले हम पहली उल्लेखनीय सीमा के कई उदाहरणों पर विचार करें, और फिर दूसरी उल्लेखनीय सीमा का अध्ययन करें।

उदाहरण 1. फ़ंक्शन पाप(7*x)/(5*x) की सीमा ज्ञात करें
समाधान: जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा के अंतर्गत फ़ंक्शन पहली उल्लेखनीय सीमा के करीब है, लेकिन फ़ंक्शन की सीमा निश्चित रूप से एक के बराबर नहीं है। सीमा पर इस प्रकार के कार्यों में, किसी को हर में उसी गुणांक वाले एक चर का चयन करना चाहिए जो साइन के तहत चर में निहित है। इस स्थिति में, 7 से भाग दें और गुणा करें

कुछ के लिए, ऐसा विवरण अनावश्यक लगेगा, लेकिन अधिकांश छात्रों के लिए जिन्हें सीमाएं समझने में कठिनाई होती है, इससे उन्हें नियमों को बेहतर ढंग से समझने और सीखने में मदद मिलेगी सैद्धांतिक सामग्री.
इसके अलावा, अगर वहाँ है उलटा दृश्यकार्य भी पहली उल्लेखनीय सीमा है। और सब इसलिए क्योंकि अद्भुत सीमा एक के बराबर है

यही नियम पहली उल्लेखनीय सीमा के परिणामों पर भी लागू होता है। इसलिए, यदि आपसे पूछा जाए, "पहली उल्लेखनीय सीमा क्या है?" आपको बिना किसी हिचकिचाहट के उत्तर देना चाहिए कि यह एक इकाई है।

उदाहरण 2. फ़ंक्शन पाप(6x)/tan(11x) की सीमा ज्ञात करें
समाधान: अंतिम परिणाम को समझने के लिए, आइए फ़ंक्शन को फॉर्म में लिखें

उल्लेखनीय सीमा के नियमों को लागू करने के लिए गुणनखंडों से गुणा और भाग करें

इसके बाद, हम सीमाओं के उत्पाद के माध्यम से कार्यों के उत्पाद की सीमा लिखते हैं

जटिल सूत्रों के बिना, हमने त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमा पाई। आत्मसात करने के लिए सरल सूत्रअद्भुत सीमा के परिणाम 1 के सूत्र, 2 और 4 पर सीमा खोजने का प्रयास करें। हम और अधिक जटिल समस्याओं पर गौर करेंगे।

उदाहरण 3: सीमा (1-cos(x))/x^2 की गणना करें
समाधान: प्रतिस्थापन द्वारा जाँच करने पर, हमें 0/0 की अनिश्चितता मिलती है। बहुत से लोग यह नहीं जानते कि ऐसे उदाहरण को एक उल्लेखनीय सीमा तक कैसे कम किया जाए। यहां आपको उपयोग करना चाहिए त्रिकोणमितीय सूत्र

इस स्थिति में सीमा स्पष्ट रूप में परिवर्तित हो जायेगी

हम फ़ंक्शन को एक उल्लेखनीय सीमा के वर्ग तक कम करने में कामयाब रहे।

उदाहरण 4: सीमा ज्ञात कीजिए
समाधान: प्रतिस्थापित करने पर, हमें परिचित विशेषता 0/0 प्राप्त होती है। हालाँकि, चर शून्य के बजाय पाई की ओर प्रवृत्त होता है। इसलिए, पहली उल्लेखनीय सीमा लागू करने के लिए, हम वेरिएबल x में ऐसा परिवर्तन करेंगे ताकि नया वेरिएबल शून्य हो जाए। ऐसा करने के लिए, हम हर को एक नए चर Pi-x=y के रूप में निरूपित करते हैं

इस प्रकार, पिछले कार्य में दिए गए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके, उदाहरण को 1 उल्लेखनीय सीमा तक घटा दिया गया है।

उदाहरण 5: सीमा की गणना करें
समाधान: पहले तो यह स्पष्ट नहीं है कि सीमाओं को कैसे सरल बनाया जाए। लेकिन जब उदाहरण है तो जवाब भी तो होगा ही. तथ्य यह है कि चर एकता में जाता है, प्रतिस्थापित करते समय, प्रपत्र शून्य को अनंत से गुणा करने की एक विशेषता देता है, इसलिए स्पर्शरेखा को सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए

इसके बाद हमें आवश्यक अनिश्चितता 0/0 प्राप्त होती है। इसके बाद, हम सीमा में चरों का परिवर्तन करते हैं और कोटैंजेंट की आवधिकता का उपयोग करते हैं

अंतिम प्रतिस्थापन हमें उल्लेखनीय सीमा के उपफल 1 का उपयोग करने की अनुमति देते हैं।

दूसरी उल्लेखनीय सीमा घातांक के बराबर है

यह एक क्लासिक है जिसे वास्तविक सीमा की समस्याओं तक पहुंचाना हमेशा आसान नहीं होता है।
गणना में आपको आवश्यकता होगी सीमाएँ दूसरी उल्लेखनीय सीमा के परिणाम हैं:
1. 2. 3. 4.
दूसरी उल्लेखनीय सीमा और उसके परिणामों के लिए धन्यवाद, अनिश्चितताओं का पता लगाना संभव है जैसे शून्य को शून्य से विभाजित करना, एक को अनंत की शक्ति से विभाजित करना, और अनंत को अनंत से विभाजित करना, और यहां तक ​​कि एक ही डिग्री तक

आइए सरल उदाहरणों से शुरुआत करें।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
समाधान: दूसरी उल्लेखनीय सीमा को सीधे लागू करने से काम नहीं चलेगा। सबसे पहले, आपको घातांक को इस प्रकार बदलना चाहिए कि वह कोष्ठक में दिए गए पद के व्युत्क्रम जैसा दिखे

यह दूसरी उल्लेखनीय सीमा को कम करने और, संक्षेप में, सीमा के परिणाम के लिए दूसरा सूत्र निकालने की तकनीक है।

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
समाधान: हमारे पास अद्भुत सीमा के उपफल 2 के सूत्र 3 के लिए कार्य हैं। शून्य को प्रतिस्थापित करने से 0/0 के रूप की एक विलक्षणता प्राप्त होती है। किसी नियम की सीमा बढ़ाने के लिए, हम हर को घुमाते हैं ताकि चर का गुणांक लघुगणक के समान हो

इसे समझना और परीक्षा में प्रदर्शन करना भी आसान है। सीमा की गणना करने में छात्रों की कठिनाइयाँ शुरू होती हैं अगले कार्य.

उदाहरण 8. किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करें[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
समाधान: हमारे पास अनंत की घात के लिए प्रकार 1 विलक्षणता है। यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो आप हर जगह "X" के स्थान पर अनंत को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और इसे सुनिश्चित कर सकते हैं। एक नियम बनाने के लिए, हम अंश को कोष्ठक में हर से विभाजित करते हैं; ऐसा करने के लिए, हम पहले जोड़-तोड़ करते हैं

आइए अभिव्यक्ति को सीमा में प्रतिस्थापित करें और इसे 2 अद्भुत सीमा में बदल दें

सीमा 10 की घातांकीय घात के बराबर है। वे स्थिरांक जो कोष्ठक और डिग्री दोनों में एक चर के साथ पद हैं, किसी भी "मौसम" का परिचय नहीं देते हैं - इसे याद रखना चाहिए। और यदि आपके शिक्षक आपसे पूछते हैं, "आप संकेतक को परिवर्तित क्यों नहीं करते?" (इस उदाहरण के लिए x-3 में), फिर कहें कि "जब कोई चर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, तब भी उसमें 100 जोड़ दें या 1000 घटा दें, और सीमा वैसी ही रहेगी जैसी थी!"
इस प्रकार की सीमाओं की गणना करने का एक दूसरा तरीका है। हम इसके बारे में अगले कार्य में बात करेंगे।

उदाहरण 9. सीमा ज्ञात करें
समाधान: अब अंश और हर में से वेरिएबल को हटा दें और एक विशेषता को दूसरे में बदल दें। पाने के लिए अंतिम मूल्यहम उल्लेखनीय सीमा के उपफल 2 के सूत्र का उपयोग करते हैं

उदाहरण 10. किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
समाधान: हर कोई दी गई सीमा का पता नहीं लगा सकता। सीमा को 2 तक बढ़ाने के लिए, कल्पना करें कि पाप (3x) एक चर है, और आपको घातांक को घुमाने की आवश्यकता है

इसके बाद, हम संकेतक को एक शक्ति से एक शक्ति के रूप में लिखते हैं


मध्यवर्ती तर्कों का वर्णन कोष्ठकों में किया गया है। पहली और दूसरी उल्लेखनीय सीमाओं का उपयोग करने के परिणामस्वरूप, हमने घन में घातांक प्राप्त किया।

उदाहरण 11. किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करेंपाप(2*x)/ln(3*x+1)
समाधान: हमारे पास 0/0 के रूप की अनिश्चितता है। इसके अलावा, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन को दोनों अद्भुत सीमाओं का उपयोग करने के लिए परिवर्तित किया जाना चाहिए। आइए पिछले गणितीय परिवर्तन करें

इसके अलावा, बिना किसी कठिनाई के, सीमा मूल्य ले लेगी

यदि आप कार्यों को जल्दी से लिखना और उन्हें पहली या दूसरी अद्भुत सीमा तक कम करना सीख जाते हैं, तो आप असाइनमेंट, परीक्षण, मॉड्यूल पर इस तरह से स्वतंत्र महसूस करेंगे। यदि आपके लिए सीमाएं खोजने के लिए दिए गए तरीकों को याद रखना मुश्किल है, तो आप हमेशा ऑर्डर कर सकते हैं परीक्षाहमारी सीमा तक.
ऐसा करने के लिए, फ़ॉर्म भरें, डेटा प्रदान करें और उदाहरणों के साथ एक फ़ाइल संलग्न करें। हमने कई छात्रों की मदद की है - हम आपकी भी मदद कर सकते हैं!

अब, शांत मन से, विचार करने के लिए आगे बढ़ें अद्भुत सीमाएँ.
की तरह लगता है ।

वेरिएबल x के बजाय, विभिन्न फ़ंक्शन मौजूद हो सकते हैं, मुख्य बात यह है कि वे 0 की ओर प्रवृत्त होते हैं।

सीमा की गणना करना आवश्यक है

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सीमा पहली अद्भुत सीमा के समान है, लेकिन यह पूरी तरह सच नहीं है। सामान्य तौर पर, यदि आप सीमा में पाप देखते हैं, तो आपको तुरंत सोचना चाहिए कि क्या पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करना संभव है।

हमारे नियम संख्या 1 के अनुसार, हम x के स्थान पर शून्य प्रतिस्थापित करते हैं:

हमें अनिश्चितता मिलती है.

आइए अब पहली अद्भुत सीमा को स्वयं व्यवस्थित करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, आइए एक सरल संयोजन करें:

इसलिए हम 7x को हाइलाइट करने के लिए अंश और हर को व्यवस्थित करते हैं। अब परिचित अद्भुत सीमा पहले ही प्रकट हो चुकी है। निर्णय लेते समय इसे उजागर करने की सलाह दी जाती है:

आइए पहले वाले समाधान को प्रतिस्थापित करें अद्भुत उदाहरणऔर हमें मिलता है:

भिन्न को सरल बनाना:

उत्तर: 7/3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है।

की तरह लगता है , जहाँ e = 2.718281828... एक अपरिमेय संख्या है।

वेरिएबल x के स्थान पर विभिन्न फ़ंक्शन मौजूद हो सकते हैं, मुख्य बात यह है कि वे .

सीमा की गणना करना आवश्यक है

यहां हम एक सीमा के चिह्न के नीचे एक डिग्री की उपस्थिति देखते हैं, जिसका अर्थ है कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करना संभव है।

हमेशा की तरह, हम इसके बजाय नियम संख्या 1 - स्थानापन्न x का उपयोग करेंगे:

यह देखा जा सकता है कि x पर घात का आधार है, और घातांक 4x > है, अर्थात। हमें प्रपत्र की अनिश्चितता प्राप्त होती है:

आइए अपनी अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए दूसरी अद्भुत सीमा का उपयोग करें, लेकिन पहले हमें इसे व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें संकेतक में उपस्थिति प्राप्त करने की आवश्यकता है, जिसके लिए हम आधार को 3x की शक्ति तक बढ़ाते हैं, और साथ ही 1/3x की शक्ति तक बढ़ाते हैं, ताकि अभिव्यक्ति में बदलाव न हो:

हमारी अद्भुत सीमा को उजागर करना न भूलें:

वे वास्तव में यही हैं अद्भुत सीमाएँ!
यदि आपके पास अभी भी कोई प्रश्न है पहली और दूसरी अद्भुत सीमाएँ, तो बेझिझक उनसे टिप्पणियों में पूछें।
हम यथासंभव सभी को उत्तर देंगे।

आप इस विषय पर किसी शिक्षक के साथ भी काम कर सकते हैं।
हमें आपके शहर में एक योग्य ट्यूटर के चयन की सेवाएं प्रदान करते हुए खुशी हो रही है। हमारे साझेदार शीघ्र ही अनुकूल शर्तों पर आपके लिए एक अच्छे शिक्षक का चयन करेंगे।

ज्यादा जानकारी नहीं है? - तुम कर सकते हो !

आप नोटपैड में गणित की गणनाएँ लिख सकते हैं। लोगो (http://www.blocnot.ru) के साथ नोटबुक में व्यक्तिगत रूप से लिखना अधिक सुखद है।

उपरोक्त लेख से आप पता लगा सकते हैं कि इसकी सीमा क्या है और इसे किसके साथ खाया जाता है - यह बहुत महत्वपूर्ण है। क्यों? हो सकता है कि आप यह न समझें कि निर्धारक क्या हैं और उन्हें सफलतापूर्वक हल कर लें; हो सकता है कि आप यह बिल्कुल न समझें कि व्युत्पन्न क्या है और उन्हें "ए" के साथ खोजें; लेकिन अगर आप यह नहीं समझेंगे कि सीमा क्या है, तो व्यावहारिक कार्यों को हल करना मुश्किल होगा। नमूना समाधानों और मेरी डिज़ाइन अनुशंसाओं से स्वयं को परिचित करना भी एक अच्छा विचार होगा। सभी जानकारी सरल और सुलभ रूप में प्रस्तुत की गई है।

और प्रयोजनों के लिए यह सबकहमें निम्नलिखित शिक्षण सामग्री की आवश्यकता होगी: अद्भुत सीमाएँ और त्रिकोणमितीय सूत्र. वे पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं. मैनुअल का प्रिंट आउट लेना सबसे अच्छा है - यह अधिक सुविधाजनक है, और इसके अलावा, आपको अक्सर उन्हें ऑफ़लाइन देखना होगा।

उल्लेखनीय सीमाओं के बारे में ऐसा क्या खास है? इन सीमाओं के बारे में उल्लेखनीय बात यह है कि इन्हें प्रसिद्ध गणितज्ञों के महान दिमागों द्वारा सिद्ध किया गया था, और आभारी वंशजों को त्रिकोणमितीय कार्यों, लघुगणक, शक्तियों के ढेर के साथ भयानक सीमाओं से पीड़ित नहीं होना पड़ता है। अर्थात्, सीमाएँ ज्ञात करते समय, हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे जो सैद्धांतिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं।

कई अद्भुत सीमाएँ हैं, लेकिन व्यवहार में, 95% मामलों में, अंशकालिक छात्रों के पास दो अद्भुत सीमाएँ हैं: पहली अद्भुत सीमा, दूसरी अद्भुत सीमा. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये ऐतिहासिक रूप से स्थापित नाम हैं, और जब, उदाहरण के लिए, वे "पहली उल्लेखनीय सीमा" के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब एक बहुत ही विशिष्ट चीज़ से होता है, न कि छत से ली गई कुछ यादृच्छिक सीमा से।

पहली अद्भुत सीमा

निम्नलिखित सीमा पर विचार करें: (मूल अक्षर "वह" के बजाय मैं ग्रीक अक्षर "अल्फा" का उपयोग करूंगा, यह सामग्री प्रस्तुत करने के दृष्टिकोण से अधिक सुविधाजनक है)।

सीमाएं खोजने के हमारे नियम के अनुसार (लेख देखें)। सीमाएँ. समाधान के उदाहरण) हम फ़ंक्शन में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं: अंश में हमें शून्य मिलता है (शून्य की ज्या शून्य है), और हर में, जाहिर है, शून्य भी है। इस प्रकार, हमें फॉर्म की अनिश्चितता का सामना करना पड़ता है, जिसे सौभाग्य से प्रकट करने की आवश्यकता नहीं है। गणितीय विश्लेषण के क्रम में यह सिद्ध होता है कि:

इस गणितीय तथ्य को कहा जाता है पहली अद्भुत सीमा. मैं सीमा का विश्लेषणात्मक प्रमाण नहीं दूंगा, लेकिन हम इसके बारे में पाठ में इसके ज्यामितीय अर्थ को देखेंगे अतिसूक्ष्म कार्य.

अक्सर व्यावहारिक कार्यों में कार्यों को अलग ढंग से व्यवस्थित किया जा सकता है, इससे कुछ भी नहीं बदलता है:

- वही पहली अद्भुत सीमा।

लेकिन आप अंश और हर को स्वयं पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकते! यदि प्रपत्र में कोई सीमा दी गई है तो उसे बिना कुछ पुनर्व्यवस्थित किए उसी रूप में हल करना होगा।

व्यवहार में, न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक पैरामीटर के रूप में भी कार्य कर सकता है प्राथमिक कार्य, जटिल कार्य. एकमात्र महत्वपूर्ण बात यह है कि यह शून्य हो जाता है.

उदाहरण:
, , ,

यहाँ , , , , और सब कुछ अच्छा है - पहली अद्भुत सीमा लागू है।

लेकिन निम्नलिखित प्रविष्टि विधर्म है:

क्यों? चूँकि बहुपद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता, यह पाँच की ओर प्रवृत्त होता है।

वैसे, एक त्वरित प्रश्न: क्यों? समान सीमा ? उत्तर पाठ के अंत में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, सब कुछ इतना सहज नहीं है; लगभग कभी भी किसी छात्र को निःशुल्क सीमा हल करने और आसान पास प्राप्त करने की पेशकश नहीं की जाती है। हम्म्म... मैं ये पंक्तियाँ लिख रहा हूँ, और एक बहुत ही महत्वपूर्ण विचार मन में आया - आखिरकार, "मुक्त" गणितीय परिभाषाओं और सूत्रों को दिल से याद रखना बेहतर है, इससे परीक्षा में अमूल्य मदद मिल सकती है, जब प्रश्न आएगा "दो" और "तीन" के बीच निर्णय लिया जाता है, और शिक्षक छात्र से कुछ सरल प्रश्न पूछने या हल करने की पेशकश करने का निर्णय लेता है सबसे सरल उदाहरण("शायद वह अभी भी जानता है क्या?")।

आइए विचार करने के लिए आगे बढ़ें व्यावहारिक उदाहरण:

उदाहरण 1

सीमा ज्ञात करें

यदि हम सीमा में कोई साइन देखते हैं, तो इससे हमें तुरंत पहली उल्लेखनीय सीमा लागू करने की संभावना के बारे में सोचना चाहिए।

सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति में 0 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (हम इसे मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में करते हैं):

इसलिए हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता है इंगित करना सुनिश्चित करेंनिर्णय लेने में. सीमा चिन्ह के नीचे की अभिव्यक्ति पहली अद्भुत सीमा के समान है, लेकिन यह वास्तव में नहीं है, यह साइन के नीचे है, लेकिन हर में है।

में इसी तरह के मामलेहमें कृत्रिम तकनीक का उपयोग करके पहली उल्लेखनीय सीमा को स्वयं व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। तर्क की पंक्ति इस प्रकार हो सकती है: "हमारे पास साइन के तहत, जिसका अर्थ है कि हमें हर में भी आने की आवश्यकता है।"
और यह बहुत सरलता से किया जाता है:

अर्थात्, इस मामले में हर को कृत्रिम रूप से 7 से गुणा किया जाता है और उसी सात से विभाजित किया जाता है। अब हमारी रिकॉर्डिंग ने एक परिचित आकार ले लिया है.
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो पहली उल्लेखनीय सीमा को एक साधारण पेंसिल से चिह्नित करने की सलाह दी जाती है:

क्या हुआ? वास्तव में, हमारी गोलाकार अभिव्यक्ति एक इकाई में बदल गई और कार्य में गायब हो गई:

अब जो कुछ बचा है वह तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाना है:

जो लोग बहु-स्तरीय भिन्नों के सरलीकरण को भूल गए हैं, कृपया संदर्भ पुस्तक में सामग्री को ताज़ा करें स्कूली गणित पाठ्यक्रम के लिए हॉट सूत्र .

तैयार। अंतिम उत्तर:

यदि आप पेंसिल के निशान का उपयोग नहीं करना चाहते हैं तो समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

“

आइए पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करें

“

उदाहरण 2

सीमा ज्ञात करें

पुनः हम सीमा में एक भिन्न और एक ज्या देखते हैं। आइए अंश और हर में शून्य प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

वास्तव में, हमारे पास अनिश्चितता है और इसलिए, हमें पहली अद्भुत सीमा को व्यवस्थित करने का प्रयास करने की आवश्यकता है। सबक पर सीमाएँ. समाधान के उदाहरणहमने इस नियम पर विचार किया कि जब हमारे पास अनिश्चितता होती है, तो हमें अंश और हर को गुणनखंडित करने की आवश्यकता होती है। यहाँ भी वही बात है, हम डिग्रियों को एक उत्पाद (गुणक) के रूप में प्रस्तुत करेंगे:

पिछले उदाहरण के समान, हम उल्लेखनीय सीमाओं (यहाँ उनमें से दो हैं) के चारों ओर एक पेंसिल खींचते हैं, और इंगित करते हैं कि वे एकता की ओर प्रवृत्त हैं:

दरअसल, उत्तर तैयार है:

निम्नलिखित उदाहरणों में, मैं पेंट में कला नहीं करूंगा, मैं सोचता हूं कि नोटबुक में समाधान को सही ढंग से कैसे तैयार किया जाए - आप पहले से ही समझते हैं।

उदाहरण 3

सीमा ज्ञात करें

हम सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में शून्य प्रतिस्थापित करते हैं:

एक अनिश्चितता प्राप्त हुई है जिसका खुलासा करना आवश्यक है। यदि सीमा में कोई स्पर्शरेखा है, तो इसे लगभग हमेशा प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके साइन और कोसाइन में परिवर्तित किया जाता है (वैसे, वे कोटैंजेंट के साथ लगभग यही काम करते हैं, चित्र देखें)। कार्यप्रणाली सामग्री गरम त्रिकोणमितीय सूत्रपेज पर गणितीय सूत्र, तालिकाएँ और संदर्भ सामग्री).

इस मामले में:

शून्य की कोज्या एक के बराबर होती है, और इससे छुटकारा पाना आसान है (यह चिह्नित करना न भूलें कि यह एक की ओर प्रवृत्त होती है):

इस प्रकार, यदि सीमा में कोसाइन एक गुणक है, तो, मोटे तौर पर बोलते हुए, इसे एक इकाई में बदलना होगा, जो उत्पाद में गायब हो जाता है।

यहां सब कुछ बिना किसी गुणा-भाग के सरल हो गया। पहली उल्लेखनीय सीमा भी एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

परिणामस्वरूप अनंत की प्राप्ति होती है और ऐसा होता है।

उदाहरण 4

सीमा ज्ञात करें

आइए अंश और हर में शून्य प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

अनिश्चितता प्राप्त होती है (शून्य की कोज्या, जैसा कि हमें याद है, एक के बराबर है)

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं। नोट करें! किसी कारण से, इस सूत्र का उपयोग करने वाली सीमाएँ बहुत सामान्य हैं।

लगातार गुणकआइए इसे सीमा आइकन से आगे ले जाएं:

आइए पहली अद्भुत सीमा व्यवस्थित करें:

यहां हमारे पास केवल एक उल्लेखनीय सीमा है, जो एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

आइए तीन मंजिला संरचना से छुटकारा पाएं:

सीमा वास्तव में हल हो गई है, हम इंगित करते हैं कि शेष ज्या शून्य की ओर प्रवृत्त होती है:

उदाहरण 5

सीमा ज्ञात करें

यह उदाहरण अधिक जटिल है, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें:

एक वेरिएबल को बदलकर कुछ सीमाओं को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है, आप इसके बारे में लेख में थोड़ी देर बाद पढ़ सकते हैं सीमाएँ हल करने की विधियाँ.

दूसरी अद्भुत सीमा

गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में यह सिद्ध हो चुका है कि:

इस तथ्यकहा जाता है दूसरी अद्भुत सीमा.

संदर्भ: एक अपरिमेय संख्या है.

पैरामीटर न केवल एक चर हो सकता है, बल्कि एक जटिल फ़ंक्शन भी हो सकता है। एकमात्र महत्वपूर्ण बात यह है कि यह अनंत के लिए प्रयास करता है.

उदाहरण 6

सीमा ज्ञात करें

जब सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति एक डिग्री में होती है, तो यह पहला संकेत है कि आपको दूसरी अद्भुत सीमा लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है।

लेकिन पहले, हमेशा की तरह, हम अभिव्यक्ति में एक अनंत बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, जिस सिद्धांत से यह किया जाता है उस पर पाठ में चर्चा की गई है सीमाएँ. समाधान के उदाहरण.

यह नोटिस करना आसान है कि कब डिग्री का आधार है, और प्रतिपादक है , यानी, फॉर्म की अनिश्चितता है:

यह अनिश्चितता दूसरी उल्लेखनीय सीमा की सहायता से सटीक रूप से प्रकट होती है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, दूसरी अद्भुत सीमा चांदी की थाली में नहीं होती, और इसे कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करने की आवश्यकता होती है। आप इस प्रकार तर्क कर सकते हैं: इस उदाहरण में पैरामीटर है, जिसका अर्थ है कि हमें संकेतक में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम आधार को घात तक बढ़ाते हैं, और ताकि अभिव्यक्ति न बदले, हम इसे घात तक बढ़ाते हैं:

जब कार्य हाथ से पूरा हो जाता है, तो हम एक पेंसिल से निशान लगाते हैं:

लगभग सब कुछ तैयार है, भयानक डिग्री एक अच्छे पत्र में बदल गई है:

इस मामले में, हम लिमिट आइकन को ही संकेतक पर ले जाते हैं:

उदाहरण 7

सीमा ज्ञात करें

ध्यान! इस प्रकार की सीमा बहुत बार होती है, कृपया इस उदाहरण का बहुत ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

आइए सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में एक अनंत बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

परिणाम अनिश्चितता है. लेकिन दूसरी उल्लेखनीय सीमा फॉर्म की अनिश्चितता पर लागू होती है। क्या करें? हमें डिग्री का आधार बदलना होगा. हम इस प्रकार तर्क करते हैं: हर में हमारे पास है, जिसका अर्थ है कि अंश में भी हमें व्यवस्थित करने की आवश्यकता है।