लैग्रेंज विधि (स्थिरांक के रूपांतर)। पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

व्याख्यान 44. दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि। के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण स्थिर गुणांक. (विशेष दाहिनी ओर)।

सामाजिक परिवर्तन। राज्य और चर्च।

बोल्शेविकों की सामाजिक नीति काफी हद तक उनके वर्गीय दृष्टिकोण से निर्धारित होती थी। 10 नवंबर, 1917 के एक डिक्री द्वारा, संपत्ति प्रणाली को समाप्त कर दिया गया था, पूर्व-क्रांतिकारी रैंकों, उपाधियों और पुरस्कारों को समाप्त कर दिया गया था। न्यायाधीशों का चुनाव स्थापित किया गया है; नागरिक राज्यों का धर्मनिरपेक्षीकरण किया गया। मुफ्त शिक्षा और चिकित्सा देखभाल की स्थापना (31 अक्टूबर, 1918 का फरमान)। पुरुषों के साथ अधिकारों में महिलाओं की बराबरी की गई (16 और 18 दिसंबर, 1917 के फरमान)। विवाह पर डिक्री ने नागरिक विवाह की संस्था की शुरुआत की।

20 जनवरी, 1918 को काउंसिल ऑफ पीपुल्स कमिसर्स के एक फरमान से, चर्च को राज्य और शिक्षा प्रणाली से अलग कर दिया गया था। चर्च की अधिकांश संपत्ति को जब्त कर लिया गया था। मॉस्को के कुलपति और ऑल रशिया तिखोन (5 नवंबर, 1917 को चुने गए) ने 19 जनवरी, 1918 को अनात्मीकरण किया। सोवियत सत्ताऔर बोल्शेविकों के खिलाफ लड़ाई का आह्वान किया।

एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण पर विचार करें

इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान की संरचना निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है:

प्रमेय 1.सामान्य समाधान नहीं है सजातीय समीकरण(1) को इस समीकरण के किसी विशेष हल के योग और संगत समांगी समीकरण के सामान्य हल के रूप में दर्शाया जाता है

(2)

सबूत. हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि योग

वहाँ है सामान्य निर्णयसमीकरण (1)। आइए पहले हम यह सिद्ध करें कि फलन (3) समीकरण (1) का एक हल है।

योग को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने के बजाय पर, होगा

चूँकि समीकरण (2) का एक हल है, पहले कोष्ठक में व्यंजक समान रूप से शून्य के बराबर है। चूँकि समीकरण (1) का एक हल है, दूसरे कोष्ठक में व्यंजक के बराबर है एफ (एक्स). इसलिए, समानता (4) एक पहचान है। इस प्रकार, प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।

आइए हम दूसरा अभिकथन सिद्ध करें: व्यंजक (3) is सामान्यसमीकरण का हल (1)। हमें यह साबित करना होगा कि इस अभिव्यक्ति में शामिल मनमानी स्थिरांक को चुना जा सकता है ताकि प्रारंभिक शर्तें संतुष्ट हों:

(5)

संख्या जो भी हो एक्स 0, वाई 0और (यदि केवल एक्स 0उस क्षेत्र से लिया गया था जहां समारोह एक 1, एक 2तथा एफ (एक्स)निरंतर)।

यह देखते हुए कि इसे फॉर्म में दर्शाया जा सकता है . फिर, शर्तों (5) के आधार पर, हमारे पास है

आइए इस प्रणाली को हल करें और खोजें 1 सेतथा 2 . से. आइए सिस्टम को फिर से लिखें:

(6)

ध्यान दें कि इस प्रणाली का निर्धारक कार्यों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है 1तथा दो परबिंदु पर एक्स = एक्स 0. चूँकि ये फलन धारणा से रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, Wronsky निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है; इसलिए प्रणाली (6) है निश्चित निर्णय 1 सेतथा 2 . से, अर्थात। ऐसे मूल्य हैं 1 सेतथा 2 . से, जिसके लिए सूत्र (3) समीकरण (1) का हल निर्धारित करता है जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है। क्यू.ई.डी.

चलिए आगे बढ़ते हैं सामान्य तरीकाएक अमानवीय समीकरण के लिए विशेष समाधान खोजना।

आइए हम समांगी समीकरण (2) का सामान्य हल लिखें

. (7)

हम अमानवीय समीकरण (1) के एक विशेष समाधान को फॉर्म (7) में देखेंगे, इस पर विचार करते हुए 1 सेतथा 2 . सेसे कुछ के रूप में अभी तक अज्ञात सुविधाओं के रूप में एक्स।

आइए हम समानता (7) में अंतर करें:

हम वांछित कार्यों का चयन करते हैं 1 सेतथा 2 . सेताकि समानता

. (8)

यदि इस अतिरिक्त शर्त को ध्यान में रखा जाता है, तो पहला व्युत्पन्न रूप लेता है

अब इस व्यंजक को अलग करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

पहले दो कोष्ठकों में व्यंजक गायब हो जाते हैं क्योंकि वाई 1तथा y2सजातीय समीकरण के समाधान हैं। इसलिए, अंतिम समानता रूप लेती है

. (9)

इस प्रकार, फलन (7) अमानवीय समीकरण (1) का हल होगा यदि फलन 1 सेतथा 2 . सेसमीकरणों (8) और (9) को संतुष्ट करें। आइए हम समीकरणों (8) और (9) से समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करें।

चूंकि इस प्रणाली का निर्धारक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है वाई 1तथा y2समीकरण (2), तो यह शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, सिस्टम को हल करने पर, हम दोनों के कुछ निश्चित कार्य पाएंगे एक्स.

एक मनमाना nवें क्रम के निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1) .
निरंतर भिन्नता की विधि, जिसे हमने पहले क्रम के समीकरण के लिए माना था, उच्च कोटि के समीकरणों पर भी लागू होती है।

समाधान दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, हम त्याग देते हैं दाईं ओरऔर सजातीय समीकरण को हल करें। नतीजतन, हम एक समाधान प्राप्त करते हैं जिसमें n मनमाना स्थिरांक होता है। दूसरे चरण में, हम स्थिरांक बदलते हैं। अर्थात्, हम मानते हैं कि ये स्थिरांक स्वतंत्र चर x के फलन हैं और इन फलनों का रूप ज्ञात करते हैं।

यद्यपि हम यहां स्थिर गुणांक वाले समीकरणों पर विचार कर रहे हैं, लेकिन लैग्रेंज की विधि किसी भी रैखिक को हल करने के लिए भी लागू होती है अमानवीय समीकरण . हालांकि, इसके लिए सजातीय समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली को जानना आवश्यक है।

चरण 1. समांगी समीकरण का हल

जैसा कि प्रथम-क्रम समीकरणों के मामले में, हम पहले समरूप समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश करते हैं, जो सही अमानवीय भाग को शून्य के बराबर करता है:
(2) .
इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:
(3) .
यहाँ मनमाना स्थिरांक हैं; - n सजातीय समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान, जो इस समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

चरण 2. स्थिरांक का परिवर्तन - स्थिरांक को कार्यों से बदलना

दूसरे चरण में, हम अचरों की भिन्नता पर विचार करेंगे। दूसरे शब्दों में, हम अचरों को स्वतंत्र चर x के फलनों से प्रतिस्थापित करेंगे:
.
अर्थात्, हम मूल समीकरण (1) का हल निम्नलिखित रूप में खोज रहे हैं:
(4) .

यदि हम (4) को (1) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें n फलनों के लिए एक अवकल समीकरण प्राप्त होता है। इस मामले में, हम इन कार्यों को अतिरिक्त समीकरणों से जोड़ सकते हैं। फिर आपको n समीकरण मिलते हैं, जिससे आप n फ़ंक्शन निर्धारित कर सकते हैं। अतिरिक्त समीकरण बनाए जा सकते हैं विभिन्न तरीके. लेकिन हम इसे इस तरह से करेंगे कि समाधान का सबसे सरल रूप हो। ऐसा करने के लिए, अंतर करते समय, आपको कार्यों के व्युत्पन्न वाले शून्य शब्दों के बराबर होना चाहिए। आइए इसे प्रदर्शित करते हैं।

प्रस्तावित समाधान (4) को मूल समीकरण (1) में बदलने के लिए, हमें फॉर्म (4) में लिखे गए फ़ंक्शन के पहले n ऑर्डर के डेरिवेटिव्स को खोजने की जरूरत है। अंतर (4) लागू करके योग विभेदन नियमऔर काम करता है:
.
आइए सदस्यों को समूहित करें। सबसे पहले, हम के डेरिवेटिव के साथ शर्तों को लिखते हैं, और फिर व्युत्पन्न के साथ शर्तों को लिखते हैं:

.
हम कार्यों पर पहली शर्त लगाते हैं:
(5.1) .
तब के संबंध में पहले व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति का एक सरल रूप होगा:
(6.1) .

इसी तरह, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

.
हम कार्यों पर दूसरी शर्त लगाते हैं:
(5.2) .
फिर
(6.2) .
और इसी तरह। अतिरिक्त शर्तों के तहत, हम फ़ंक्शन के डेरिवेटिव वाले शब्दों को शून्य के बराबर करते हैं।

इस प्रकार, यदि हम कार्यों के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त समीकरण चुनते हैं:
(5.के) ,
तो पहले डेरिवेटिव के संबंध में सबसे सरल रूप होगा:
(6.के) .
यहां ।

हम n वां व्युत्पन्न पाते हैं:
(6.एन)
.

हम मूल समीकरण (1) में स्थानापन्न करते हैं:
(1) ;

.
हम ध्यान में रखते हैं कि सभी कार्य समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं:
.
फिर युक्त पदों का योग शून्य देता है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
(7) .

नतीजतन, हमें डेरिवेटिव के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

इस प्रणाली को हल करने पर, हम x के फलनों के रूप में अवकलजों के व्यंजक पाते हैं। एकीकरण, हम प्राप्त करते हैं:
.
यहाँ अचर हैं जो अब x पर निर्भर नहीं हैं। (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम मूल समीकरण का व्यापक हल प्राप्त करते हैं।

ध्यान दें कि हमने कभी भी इस तथ्य का उपयोग नहीं किया कि गुणांक a i डेरिवेटिव के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए स्थिर हैं। इसीलिए लैग्रेंज विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए लागू होती है, यदि सजातीय समीकरण (2) के समाधान की मूल प्रणाली ज्ञात है।

उदाहरण

अचरों की भिन्नता की विधि द्वारा समीकरणों को हल करें (लैग्रेंज)।

अब रेखीय अमानवीय समीकरण पर विचार करें
. (2)
मान लीजिए y 1 ,y 2 ,.., y n समाधान की मूलभूत प्रणाली है, और संगत समरूप समीकरण L(y)=0 का सामान्य समाधान है। इसी प्रकार प्रथम कोटि के समीकरणों के मामले में, हम समीकरण (2) का हल इस रूप में खोजेंगे
. (3)
आइए हम सत्यापित करें कि इस रूप में एक समाधान मौजूद है। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। इस फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए, हम इसके व्युत्पन्न पाते हैं। पहला व्युत्पन्न है
. (4)
दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, चार शब्द (4) के दाईं ओर दिखाई देते हैं, तीसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, आठ शब्द दिखाई देते हैं, और इसी तरह। इसलिए, आगे की गणना की सुविधा के लिए, (4) में पहला पद शून्य के बराबर माना जाता है। इसे ध्यान में रखते हुए, दूसरा व्युत्पन्न बराबर है
. (5)
पहले के समान कारणों से, (5) में हम पहले पद को भी शून्य के बराबर सेट करते हैं। अंत में, n वां व्युत्पन्न है
. (6)
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है
. (7)
(7) में दूसरा पद शून्य के बराबर है, क्योंकि फलन y j , j=1,2,..,n, संगत समांगी समीकरण L(y)=0 के हल हैं। पिछले एक के साथ संयोजन में, हमें सिस्टम मिलता है बीजीय समीकरणकार्यों को खोजने के लिए C" j (x)
(8)
इस प्रणाली का निर्धारक समाधान की मौलिक प्रणाली का Wronsky निर्धारक है y 1,y 2 ,..,y n संगत सजातीय समीकरण L(y)=0 और इसलिए शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, वहाँ है केवल निर्णयसिस्टम (8)। इसे प्राप्त करने के बाद, हम सी "जे (एक्स), जे = 1,2,…, एन, और, परिणामस्वरूप, सी जे (एक्स), जे = 1,2,…, एन इन मानों को प्रतिस्थापित करते हुए फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। (3), हम रैखिक अमानवीय समीकरण का हल प्राप्त करते हैं।
वर्णित विधि को एक मनमाना स्थिरांक या लैग्रेंज विधि की भिन्नता की विधि कहा जाता है।

उदाहरण 1। समीकरण y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x का सामान्य हल खोजें। संगत समरूप समीकरण y "" + 4y" + 3y = 0 पर विचार करें। इसकी जड़ें विशेषता समीकरण r 2 + 4r + 3 = 0 -1 और -3 हैं। इसलिए, एक सजातीय समीकरण के समाधान की मूल प्रणाली में कार्य y 1 = e - x और y 2 = e -3 x होते हैं। हम y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x के रूप में एक अमानवीय समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं। व्युत्पन्न C " 1 , C" 2 खोजने के लिए हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं (8)

जिसे हल करना, हम पाते हैं, प्राप्त कार्यों को एकीकृत करना, हमारे पास है

अंत में हमें मिलता है

उदाहरण # 2। रैखिक हल करें विभेदक समीकरणमनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा निरंतर गुणांक के साथ दूसरा क्रम:

y(0) =1 + 3ln3
वाई'(0) = 10ln3

समाधान:
यह अंतर समीकरण स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों से संबंधित है।
हम y = e rx के रूप में समीकरण का हल खोजेंगे। ऐसा करने के लिए, हम निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के विशेषता समीकरण की रचना करते हैं:
आर 2 -6 आर + 8 = 0
डी = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

विशेषता समीकरण की जड़ें: r 1 = 4, r 2 = 2
इसलिए, समाधान की मूलभूत प्रणाली कार्य है:
वाई 1 \u003d ई 4x, वाई 2 \u003d ई 2x
सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा किसी विशेष समाधान की खोज करें।
C "i का अवकलज ज्ञात करने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

सी" 1 (4e 4x) + सी" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
पहले समीकरण से C" 1 व्यक्त करें:
सी" 1 \u003d -सी 2 ई -2x
और दूसरे में स्थानापन्न करें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
सी" 1 \u003d 2 / (ई 2x + 2e 4x)
सी" 2 \u003d -2e 2x / (ई 2x + 2e 4x)
हम प्राप्त कार्यों को एकीकृत करते हैं C" i:
सी 1 = 2ln(ई -2x +2) - ई -2x + सी * 1
सी 2 = एलएन (2e 2x +1) - 2x+ सी * 2

क्यों कि , फिर हम परिणामी व्यंजकों को रूप में लिखते हैं:
सी 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
सी 2 = (एलएन(2ई 2x +1) - 2x+ सी * 2)ई 2x = ई 2x एलएन(2ई 2x +1) - 2x ई 2x + सी * 2 ई 2x
इस प्रकार, अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
या
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

हम शर्त के तहत एक विशेष समाधान पाते हैं:
y(0) =1 + 3ln3
वाई'(0) = 10ln3

पाए गए समीकरण में x = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
वाई (0) = 2 एलएन (3) - 1 + एलएन (3) + सी * 1 + सी * 2 = 3 एलएन (3) - 1 + सी * 1 + सी * 2 = 1 + 3ln3
हम प्राप्त सामान्य समाधान का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3

हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
3 एलएन(3) - 1 + सी * 1 + सी * 2 = 1 + 3ln3
4सी 1 + 2सी 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
या
सी * 1 + सी * 2 = 2
4सी1 + 2सी2 = 4
या
सी * 1 + सी * 2 = 2
2सी1 + सी2 = 2
कहाँ पे:
सी1=0, सी*2=2
एक विशेष समाधान के रूप में लिखा जाएगा:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

आइए हम फॉर्म के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों पर विचार करें

कहाँ पे - वांछित तर्क समारोह , और कार्य

दिए गए हैं और कुछ अंतराल पर निरंतर हैं
.

आइए हम एक रैखिक सजातीय समीकरण पर विचार करें, बाईं तरफजो अमानवीय समीकरण (2.31) के बाईं ओर से मेल खाता है,

फॉर्म (2.32) के समीकरण को कहा जाता है अमानवीय समीकरण के अनुरूप सजातीय समीकरण (2.31).

अमानवीय रैखिक समीकरण (2.31) के सामान्य समाधान की संरचना पर निम्नलिखित प्रमेय धारण करता है।

प्रमेय 2.6.डोमेन में रैखिक अमानवीय समीकरण (2.31) का सामान्य समाधान

इसके किसी विशेष समाधान का योग है और डोमेन (2.33) में संबंधित समरूप समीकरण (2.32) के सामान्य समाधान का योग है, अर्थात।

कहाँ पे - समीकरण का एक विशेष हल (2.31),
सजातीय समीकरण (2.32) के समाधान की मूलभूत प्रणाली है, और
मनमानी स्थिरांक हैं।

इस प्रमेय का प्रमाण में पाया जा सकता है।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम एक ऐसी विधि प्रस्तुत करते हैं जिसके द्वारा एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त किया जा सकता है। इस विधि को कहा जाता है मनमानी स्थिरांक की लैग्रेंज विधि विविधताएं.

तो, मान लीजिए कि एक अमानवीय रैखिक समीकरण दिया गया है

(2.35)

जहां गुणांक
और दाहिनी ओर
कुछ अंतराल में निरंतर
.

द्वारा निरूपित करें
तथा
सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली

(2.36)

तब इसके सामान्य समाधान का रूप होता है

(2.37)

कहाँ पे तथा मनमानी स्थिरांक हैं।

हम उसी रूप में समीकरण (2.35) के हल की तलाश करेंगे , साथ ही संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान, मनमाने स्थिरांक को कुछ अलग-अलग कार्यों द्वारा प्रतिस्थापित करना (हम मनमाना स्थिरांक बदलते हैं),वे।

कहाँ पे
तथा
से कुछ भिन्न कार्य हैं , जो अभी भी अज्ञात हैं और जिन्हें हम निर्धारित करने का प्रयास करेंगे ताकि फ़ंक्शन (2.38) अमानवीय समीकरण (2.35) का समाधान हो। समानता के दोनों पक्षों (2.38) को अलग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

ताकि गणना करते समय कोई दूसरा क्रम डेरिवेटिव नहीं
तथा
, हम चाहते हैं कि हर जगह
स्थिति

फिर के लिए होगा

दूसरे व्युत्पन्न की गणना करें

व्यंजकों को प्रतिस्थापित करना ,,(2.38), (2.40), (2.41) से समीकरण (2.35) में, हम प्राप्त करते हैं

वर्ग कोष्ठक में व्यंजक में हर जगह शून्य के बराबर होते हैं
, इसलिये तथा - समीकरण के विशेष समाधान (2.36)। इस स्थिति में, (2.42) रूप लेता है।
तथा

(2.43)

उत्तरार्द्ध प्रणाली के संबंध में दो बीजीय रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली है
तथा
. इस प्रणाली का निर्धारक समाधान की मौलिक प्रणाली के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है ,और इसलिए में हर जगह शून्य से अलग है
. इसका मतलब है कि सिस्टम (2.43) का एक अनूठा समाधान है। इसे किसी भी तरह से हल करने के बारे में
,
पाना

कहाँ पे
तथा
प्रसिद्ध कार्य हैं।

एकीकरण करना और इस बात को ध्यान में रखते हुए कि
,
हमें किसी भी एक जोड़ी फ़ंक्शन को लेना चाहिए, हम एकीकरण के स्थिरांक को शून्य के बराबर सेट करते हैं। प्राप्त

व्यंजकों (2.44) को संबंधों (2.38) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम अमानवीय समीकरण (2.35) का वांछित हल इस रूप में लिख सकते हैं

रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने के लिए इस विधि को सामान्यीकृत किया जा सकता है -वें क्रम।

उदाहरण 2.6. प्रश्न हल करें
पर
अगर कार्य

संगत सजातीय समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

आइए जानते हैं एक खास उपाय दिया गया समीकरण. ऐसा करने के लिए, लैग्रेंज विधि के अनुसार, किसी को पहले सिस्टम (2.43) को हल करना चाहिए, जिसका हमारे मामले में रूप है
प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को कम करके हम पाते हैं

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण पद को पद से घटाकर, हम पाते हैं
और फिर पहले समीकरण से यह निम्नानुसार है
एकीकरण करना और एकीकरण स्थिरांक को शून्य के बराबर सेट करना, हमारे पास है