नियमित बहुभुज सूत्र. नियमित बहुभुजों के गुण

प्रमेय 1. किसी भी नियमित बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

माना कि ABCDEF (चित्र 419) एक नियमित बहुभुज है; यह सिद्ध करना आवश्यक है कि इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

हम जानते हैं कि तीन बिंदुओं के माध्यम से एक वृत्त खींचना हमेशा संभव होता है जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं; इसका मतलब यह है कि एक वृत्त खींचना हमेशा संभव है जो एक नियमित बहुभुज के किन्हीं तीन शीर्षों से होकर गुजरेगा, उदाहरण के लिए शीर्ष E, D और C से। मान लीजिए कि बिंदु O इस वृत्त का केंद्र है।

आइए हम सिद्ध करें कि यह वृत्त बहुभुज के चौथे शीर्ष से भी होकर गुजरेगा, उदाहरण के लिए शीर्ष B से।

खंड OE, OD और OS एक दूसरे के बराबर हैं, और प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। आइए एक और खंड OB को आगे बढ़ाएं; इस खंड के बारे में तुरंत यह नहीं कहा जा सकता कि यह वृत्त की त्रिज्या के बराबर भी है, इसे सिद्ध किया जाना चाहिए; त्रिभुज OED और ODC पर विचार करें, वे समद्विबाहु और बराबर हैं, इसलिए, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

यदि किसी दिए गए बहुभुज का आंतरिक कोण α के बराबर है, तो ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; लेकिन यदि ∠4= α/2, तो ∠5 = α/2, यानी। ∠4 = ∠5.

यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि (डेल्टा)OSD = (डेल्टा)OSV और, इसलिए, OB = OS, यानी खंड OB खींचे गए वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वृत्त नियमित बहुभुज के शीर्ष B से भी होकर गुजरेगा।

उसी तकनीक का उपयोग करके, हम साबित करेंगे कि निर्मित वृत्त बहुभुज के अन्य सभी शीर्षों से होकर गुजरेगा। इसका मतलब यह है कि यह वृत्त इस नियमित बहुभुज के चारों ओर परिचालित होगा। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 2. किसी भी नियमित बहुभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

माना कि ABCDEF एक नियमित बहुभुज है (चित्र 420), हमें यह सिद्ध करना होगा कि इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

पिछले प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि एक नियमित बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। माना बिंदु O इस वृत्त का केंद्र है।

आइए बिंदु Oc को बहुभुज के शीर्षों से जोड़ें। परिणामी त्रिभुज OED, ODC, आदि एक दूसरे के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु O से खींची गई उनकी ऊँचाई भी बराबर है, अर्थात OK = OL = OM = ON = OP = OQ।

इसलिए, खंड ओके के बराबर त्रिज्या वाले केंद्र से बिंदु ओ से वर्णित एक वृत्त बिंदु के, एल, एम, एन, पी और क्यू से होकर गुजरेगा, और त्रिकोणों की ऊंचाई सर्कल की त्रिज्या होगी। बहुभुज की भुजाएँ इन बिंदुओं पर त्रिज्याओं के लंबवत हैं, इसलिए वे इस वृत्त की स्पर्शरेखा हैं। इसका मतलब यह है कि निर्मित वृत्त इस नियमित बहुभुज में अंकित है।

किसी भी नियमित बहुभुज के लिए समान निर्माण किया जा सकता है, इसलिए किसी भी नियमित बहुभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है;

परिणाम। एक नियमित बहुभुज के चारों ओर परिचालित और उसमें अंकित वृत्तों का एक सामान्य केंद्र होता है।

परिभाषाएं.

1. एक नियमित बहुभुज का केंद्र इस बहुभुज के चारों ओर परिचालित और उसमें अंकित वृत्तों का सामान्य केंद्र होता है।

2. किसी नियमित बहुभुज के केंद्र से उसकी भुजा पर खींचा गया लंब नियमित बहुभुज का एपोथेम कहलाता है।

नियमित बहुभुजों की भुजाओं को परित्रिज्या के पदों में व्यक्त करना

का उपयोग करके त्रिकोणमितीय कार्यआप किसी भी नियमित बहुभुज की भुजा को उसके चारों ओर बने वृत्त की त्रिज्या के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

मान लीजिए AB दाहिनी ओर है एन-गोन त्रिज्या OA = R के एक वृत्त में अंकित है (चित्र)।

आइए हम एक नियमित बहुभुज का एपोथेम OD बनाएं और समकोण त्रिभुज AOD पर विचार करें। इस त्रिकोण में

∠AOD = 1/2 ∠AOB = 1/2 360° / एन= 180°/ एन

एडी = एओ पाप ∠एओडी = आर पाप 180° / एन ;

लेकिन AB = 2AD और इसलिए AB = 2R पाप 180° / एन .

पार्श्व की सही लंबाई एन-एक वृत्त में अंकित गॉन को आमतौर पर निरूपित किया जाता है एक, इसलिए परिणामी सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक= 2आर पाप 180° / एन .

नतीजे:

1. त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित एक नियमित षट्भुज की भुजा की लंबाईआर , सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है ए 6 = आर, क्योंकि

ए 6 = 2आर पाप 180° / 6 = 2आर पाप 30° = 2आर 1 / 2 = आर।

2. त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित एक नियमित चतुर्भुज (वर्ग) की भुजा की लंबाईआर , सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है ए 4 = आर√2 , क्योंकि

ए 4 = 2R पाप 180° / 4 = 2R पाप 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित एक नियमित त्रिभुज की भुजा की लंबाईआर , सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है ए 3 = आर√3 , क्योंकि।

ए 3 = 2R पाप 180° / 3 = 2R पाप 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल

जो सही है वही दिया जाए एन-गॉन (अंजीर)। इसका क्षेत्रफल निर्धारित करना आवश्यक है। आइए हम बहुभुज की भुजा को इससे निरूपित करें एऔर O के माध्यम से केंद्र। हम केंद्र को खंडों के साथ बहुभुज के किसी भी पक्ष के सिरों से जोड़ते हैं, हमें एक त्रिकोण मिलता है जिसमें हम बहुभुज का एपोथेम बनाते हैं।

इस त्रिभुज का क्षेत्रफल है एएच / 2. संपूर्ण बहुभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, आपको एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को त्रिभुजों की संख्या से गुणा करना होगा, अर्थात। एन. हमें मिलता है: एस = एएच / 2 एन = आह / 2 लेकिन एकबहुभुज की परिधि के बराबर है. आइए इसे R से निरूपित करें।

अंततः हमें प्राप्त होता है: S = P एच / 2. जहाँ S एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल है, P इसका परिमाप है, एच- एपोटेम।

एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल उसके परिमाप और एपोथेम के आधे गुणनफल के बराबर होता है।

त्रिभुज, वर्ग, षट्भुज - ये आकृतियाँ लगभग सभी को ज्ञात हैं। लेकिन हर कोई नहीं जानता कि नियमित बहुभुज क्या है। लेकिन ये सभी समान हैं। एक नियमित बहुभुज वह है जिसके कोण और भुजाएँ समान हों। ऐसी बहुत सारी आकृतियाँ हैं, लेकिन उन सभी के गुण समान हैं, और उन पर समान सूत्र लागू होते हैं।

नियमित बहुभुजों के गुण

कोई भी नियमित बहुभुज, चाहे वह वर्ग हो या अष्टकोण, एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है। इस मूल गुण का उपयोग अक्सर किसी आकृति का निर्माण करते समय किया जाता है। इसके अलावा, बहुभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। इस मामले में, संपर्क के बिंदुओं की संख्या उसके पक्षों की संख्या के बराबर होगी। यह महत्वपूर्ण है कि एक नियमित बहुभुज में अंकित वृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ केंद्र होगा। इन ज्यामितीय आंकड़ेसमान प्रमेयों के अधीन हैं। नियमित एन-गॉन का कोई भी पक्ष इसके आसपास के वृत्त आर की त्रिज्या से संबंधित है, इसलिए, इसकी गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: ए = 2आर ∙ पाप180°। इसके माध्यम से आप न केवल भुजाएँ, बल्कि बहुभुज का परिमाप भी ज्ञात कर सकते हैं।

एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या कैसे ज्ञात करें

किसी भी एक में एक दूसरे के बराबर निश्चित संख्या में खंड होते हैं, जो जुड़े होने पर एक बंद रेखा बनाते हैं। इस स्थिति में, परिणामी आकृति के सभी कोणों का मान समान होता है। बहुभुजों को सरल और जटिल में विभाजित किया गया है। पहले समूह में एक त्रिभुज और एक वर्ग शामिल है। जटिल बहुभुज हैं बड़ी संख्यादोनों पक्ष इनमें तारे के आकार की आकृतियाँ भी शामिल हैं। जटिल नियमित बहुभुजों के लिए, भुजाओं को एक वृत्त में अंकित करके पाया जाता है। चलिए सबूत देते हैं. n भुजाओं की मनमानी संख्या वाला एक नियमित बहुभुज बनाएं। इसके चारों ओर एक वृत्त बनाएं. त्रिज्या R सेट करें। अब कल्पना करें कि आपको कुछ n-गॉन दिया गया है। यदि इसके कोणों के बिंदु वृत्त पर स्थित हैं और एक दूसरे के बराबर हैं, तो भुजाएँ सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती हैं: a = 2R ∙ synα: 2.

एक उत्कीर्ण नियमित त्रिभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात करना

एक समबाहु त्रिभुज एक नियमित बहुभुज है। इस पर वर्ग और एन-गॉन के समान ही सूत्र लागू होते हैं। एक त्रिभुज को नियमित माना जाएगा यदि उसकी भुजाओं की लंबाई बराबर हो। इस स्थिति में, कोण 60⁰ हैं। आइए दी गई भुजा की लंबाई a के साथ एक त्रिभुज बनाएं। इसकी माध्यिका और ऊँचाई जानकर आप इसकी भुजाओं का मान ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र a = x: cosα के माध्यम से खोजने की विधि का उपयोग करेंगे, जहां x माध्यिका या ऊंचाई है। चूँकि त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हैं, हमें a = b = c मिलता है। तब निम्नलिखित कथन सत्य होगा: a = b = c = x: cosα। इसी प्रकार, आप एक समद्विबाहु त्रिभुज में भुजाओं का मान ज्ञात कर सकते हैं, लेकिन x दी गई ऊंचाई होगी। इस मामले में, इसे आकृति के आधार पर सख्ती से प्रक्षेपित किया जाना चाहिए। तो, ऊँचाई x जानने पर, हम भुजा a ज्ञात करते हैं समद्विबाहु त्रिकोणसूत्र a = b = x: cosα के अनुसार। A का मान ज्ञात करने के बाद, आप आधार c की लंबाई की गणना कर सकते हैं। आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें। हम आधार c के आधे मान की तलाश करेंगे: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα। तब c = 2xtanα. इस कदर सरल तरीके सेआप किसी भी उत्कीर्ण बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

एक वृत्त में अंकित एक वर्ग की भुजाओं की गणना करना

किसी भी अन्य उत्कीर्ण नियमित बहुभुज की तरह, एक वर्ग की भुजाएँ और कोण समान होते हैं। इस पर त्रिभुज के समान ही सूत्र लागू होते हैं। आप विकर्ण मान का उपयोग करके किसी वर्ग की भुजाओं की गणना कर सकते हैं। आइए इस विधि पर अधिक विस्तार से विचार करें। यह ज्ञात है कि एक विकर्ण एक कोण को आधे में विभाजित करता है। प्रारंभ में इसका मान 90 डिग्री था। इस प्रकार, विभाजन के बाद, आधार पर दो कोण बनते हैं, जो 45 डिग्री के बराबर होंगे। तदनुसार, वर्ग की प्रत्येक भुजा बराबर होगी, अर्थात: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, जहां e वर्ग का विकर्ण है, या इसके बाद बने समकोण त्रिभुज का आधार है विभाजन। क्या नहीं है एक ही रास्ताएक वर्ग की भुजाएँ ज्ञात करना। आइए इस आकृति को एक वृत्त में अंकित करें। इस वृत्त R की त्रिज्या जानकर हम वर्ग की भुजा ज्ञात करते हैं। हम इसकी गणना इस प्रकार करेंगे: a4 = R√2. नियमित बहुभुजों की त्रिज्या की गणना सूत्र R = a: 2tg (360 o: 2n) का उपयोग करके की जाती है, जहां a भुजा की लंबाई है।

एन-गॉन की परिधि की गणना कैसे करें

किसी एन-गॉन का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है। इसकी गणना करना आसान है. ऐसा करने के लिए, आपको सभी पक्षों के अर्थ जानने होंगे। कुछ प्रकार के बहुभुजों के लिए विशेष सूत्र होते हैं। वे आपको बहुत तेजी से परिधि खोजने की अनुमति देते हैं। यह ज्ञात है कि किसी भी नियमित बहुभुज की भुजाएँ समान होती हैं। इसलिए, इसकी परिधि की गणना करने के लिए, उनमें से कम से कम एक को जानना पर्याप्त है। सूत्र आकृति की भुजाओं की संख्या पर निर्भर करेगा। सामान्य तौर पर, यह इस तरह दिखता है: P = an, जहां a पार्श्व मान है और n कोणों की संख्या है। उदाहरण के लिए, 3 सेमी भुजा वाले एक नियमित अष्टभुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए, आपको इसे 8 से गुणा करना होगा, अर्थात, 5 सेमी भुजा वाले षट्भुज के लिए, P = 3 ∙ 8 = 24 सेमी, हम गणना करते हैं इस प्रकार: P = 5 ∙ 6 = 30 सेमी और इसी प्रकार प्रत्येक बहुभुज के लिए।

समांतर चतुर्भुज, वर्ग और समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करना

एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ हैं, इसके आधार पर उसके परिमाप की गणना की जाती है। इससे काम काफी आसान हो जाता है. दरअसल, अन्य आंकड़ों के विपरीत, इस मामले में आपको इसके सभी पक्षों को देखने की ज़रूरत नहीं है, एक ही पर्याप्त है। उसी सिद्धांत का उपयोग करके, हम चतुर्भुजों, अर्थात् एक वर्ग और एक समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि ये अलग-अलग आंकड़े हैं, उनके लिए सूत्र एक ही है: पी = 4ए, जहां ए पक्ष है। चलिए एक उदाहरण देते हैं. यदि एक समचतुर्भुज या वर्ग की भुजा 6 सेमी है, तो हम परिधि इस प्रकार ज्ञात करते हैं: केवल एक समांतर चतुर्भुज के लिए P = 4 ∙ 6 = 24 सेमी विपरीत दिशाएं. अतः इसका परिमाप भिन्न विधि से ज्ञात किया जाता है। इसलिए, हमें आकृति की लंबाई a और चौड़ाई b जानने की आवश्यकता है। फिर हम सूत्र P = (a + b) ∙ 2 लागू करते हैं। एक समांतर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ और उनके बीच के कोण बराबर हों, समचतुर्भुज कहलाता है।

एक समबाहु और समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करना

सही परिधि का परिमाप सूत्र P = 3a का उपयोग करके पाया जा सकता है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। यदि यह अज्ञात है, तो इसे माध्यिका के माध्यम से पाया जा सकता है। में सही त्रिकोणकेवल दो पक्ष समान महत्व के हैं। इसका आधार पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से पाया जा सकता है। एक बार तीनों भुजाओं का मान ज्ञात हो जाने पर, हम परिमाप की गणना करते हैं। इसे सूत्र P = a + b + c का उपयोग करके पाया जा सकता है, जहां a और b बराबर भुजाएं हैं और c आधार है। याद रखें कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में a = b = a, जिसका अर्थ है a + b = 2a, तो P = 2a + c। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा 4 सेमी है, आइए इसका आधार और परिमाप ज्ञात करें। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण के मान की गणना करते हैं = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 सेमी। अब परिधि P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 सेमी की गणना करें।

एक नियमित बहुभुज के कोण कैसे ज्ञात करें

नियमित बहुभुजहमारे जीवन में प्रतिदिन घटित होता है, उदाहरण के लिए, एक साधारण वर्ग, त्रिभुज, अष्टकोण। ऐसा प्रतीत होता है कि इस आकृति को स्वयं बनाने से आसान कुछ भी नहीं है। लेकिन यह केवल पहली नज़र में ही सरल है। किसी भी एन-गॉन का निर्माण करने के लिए, आपको उसके कोणों का मान जानना होगा। लेकिन उन्हें कैसे खोजा जाए? यहां तक ​​कि प्राचीन वैज्ञानिकों ने भी नियमित बहुभुज बनाने का प्रयास किया था। उन्होंने यह पता लगा लिया कि उन्हें मंडलियों में कैसे फिट किया जाए। और फिर उस पर आवश्यक बिंदुओं को अंकित करके सीधी रेखाओं से जोड़ दिया गया। के लिए सरल आंकड़ेनिर्माण की समस्या हल हो गई। सूत्र एवं प्रमेय प्राप्त हुए। उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने अपने प्रसिद्ध कार्य "इंसेप्शन" में 3-, 4-, 5-, 6- और 15-गॉन की समस्याओं को हल करने का वर्णन किया है। उन्होंने उन्हें बनाने और कोण खोजने के तरीके खोजे। आइए देखें कि 15-गॉन के लिए यह कैसे करें। सबसे पहले आपको राशि की गणना करने की आवश्यकता है आंतरिक कोने. सूत्र S = 180⁰(n-2) का उपयोग करना आवश्यक है। तो, हमें 15-गोन दिया गया है, जिसका अर्थ है कि संख्या n 15 है। हम ज्ञात डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ प्राप्त करते हैं। हमने 15-गॉन के सभी आंतरिक कोणों का योग पाया। अब आपको उनमें से प्रत्येक का मूल्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। कुल 15 कोण हैं हम गणना 2340⁰: 15 = 156⁰ करते हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक आंतरिक कोण 156⁰ के बराबर है, अब एक रूलर और कम्पास का उपयोग करके आप एक नियमित 15-गॉन का निर्माण कर सकते हैं। लेकिन अधिक जटिल एन-गोन्स के बारे में क्या? कई सदियों से वैज्ञानिक इस समस्या को हल करने के लिए संघर्ष कर रहे हैं। इसकी खोज 18वीं शताब्दी में कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने की थी। वह 65537-गॉन का निर्माण करने में सक्षम था। तब से, समस्या को आधिकारिक तौर पर पूरी तरह से हल माना गया है।

रेडियन में एन-गॉन के कोणों की गणना

बेशक, बहुभुजों के कोण ज्ञात करने के कई तरीके हैं। अधिकतर उनकी गणना डिग्रियों में की जाती है। लेकिन इन्हें रेडियन में भी व्यक्त किया जा सकता है। इसे कैसे करना है? आपको निम्नानुसार आगे बढ़ना होगा. सबसे पहले, हम एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात करते हैं, फिर उसमें से 2 घटाते हैं, इसका मतलब है कि हमें मान मिलता है: n - 2. पाए गए अंतर को संख्या n से गुणा करें ("pi" = 3.14)। अब जो कुछ बचा है वह परिणामी उत्पाद को एन-गॉन में कोणों की संख्या से विभाजित करना है। आइए एक उदाहरण के रूप में उसी दशमांश का उपयोग करके इन गणनाओं पर विचार करें। तो, संख्या n 15 है। आइए हम सूत्र S = n(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72 लागू करें। निस्संदेह, रेडियन में कोण की गणना करने का यह एकमात्र तरीका नहीं है। आप कोण को आसानी से 57.3 से डिग्री में विभाजित कर सकते हैं। आख़िरकार, एक रेडियन के बराबर कितनी डिग्रियाँ होती हैं।

डिग्री में कोणों की गणना

डिग्री और रेडियन के अलावा, आप एक नियमित बहुभुज के कोणों को डिग्री में खोजने का प्रयास कर सकते हैं। यह अग्रानुसार होगा। से कुल गणनाकोण, 2 घटाएं, परिणामी अंतर को एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या से विभाजित करें। हम पाए गए परिणाम को 200 से गुणा करते हैं। वैसे, डिग्री जैसी कोणों की माप की इकाई का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।

एन-गोन्स के बाहरी कोणों की गणना

किसी भी नियमित बहुभुज के लिए, आंतरिक के अलावा, आप बाहरी कोण की भी गणना कर सकते हैं। इसका मान अन्य आकृतियों की तरह ही पाया जाता है। इसलिए, एक नियमित बहुभुज का बाहरी कोण ज्ञात करने के लिए, आपको आंतरिक कोण का मान जानना होगा। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इन दोनों कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री के बराबर होता है। इसलिए, हम गणना इस प्रकार करते हैं: 180⁰ घटा आंतरिक कोण का मान। हम अंतर पाते हैं. यह उसके निकटवर्ती कोण के मान के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, एक वर्ग का आंतरिक कोण 90 डिग्री है, जिसका अर्थ है कि बाहरी कोण 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ होगा। जैसा कि हम देख सकते हैं, इसे ढूंढना मुश्किल नहीं है। बाह्य कोण क्रमशः +180⁰ से -180⁰ तक मान ले सकता है।

नियमित बहुभुज

ए.वी. पोगोरेलोव (18) की पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 7-11" में, "नियमित बहुभुज" विषय का अध्ययन §13 "बहुभुज", पैराग्राफ 115 में किया गया है।

पैराग्राफ की शुरुआत में "नियमित बहुभुज" की परिभाषा पर चर्चा की गई है: "एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों।" फिर एक "अंकित" और "परिवृत्त" बहुभुज की परिभाषा दी गई है और प्रमेय पर चर्चा की गई है: "एक नियमित उत्तल बहुभुज एक वृत्त में अंकित है और एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है।"

एल.एस. अतानास्यान (4) की पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 7-9" में, अध्याय 12 के पैराग्राफ 105 §1 "नियमित बहुभुज" विषय पर चर्चा की गई है।

"नियमित बहुभुज" की परिभाषा पैराग्राफ की शुरुआत में दी गई है:

"नियमित बहुभुज एक उत्तल बहुभुज होता है जिसके सभी कोण बराबर होते हैं और सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।" फिर नियमित एन-गॉन के कोण बी एन की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें:

आई.एम. स्मिरनोवा, वी.ए. स्मिरनोवा द्वारा पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 7-9" में, "नियमित बहुभुज" का अध्ययन पैराग्राफ 6 "टूटी हुई रेखाएं और बहुभुज" में किया गया है।

पैराग्राफ की शुरुआत में, "टूटी हुई रेखा" की परिभाषा प्रस्तुत की गई है: "खंडों द्वारा बनाई गई एक आकृति इस प्रकार व्यवस्थित की गई है कि पहले का अंत दूसरे की शुरुआत है, दूसरे का अंत तीसरे की शुरुआत है, इत्यादि को टूटी हुई रेखा या केवल टूटी हुई रेखा कहा जाता है।”

फिर सरल, बंद और बहुभुज की परिभाषाएँ दी गई हैं: "एक बहुभुज रेखा सरल कहलाती है यदि उसमें स्व-प्रतिच्छेदन बिंदु न हों।" "यदि किसी टूटी हुई रेखा के पहले खंड की शुरुआत आखिरी के अंत के साथ मेल खाती है, तो टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है।" "एक सरल बंद टूटी हुई रेखा और उससे घिरे एक तल से बनी आकृति बहुभुज कहलाती है।"

जिसके बाद "नियमित बहुभुज" की परिभाषा पर विचार किया जाता है: "एक बहुभुज नियमित कहलाता है यदि उसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण समान हों।"

आइए ए.वी. पोगोरेलोव की ज्यामिति पाठ्यपुस्तक के उदाहरण का उपयोग करके "नियमित बहुभुज" विषय का अध्ययन करने की पद्धति पर विचार करें।

पैराग्राफ की शुरुआत में, "नियमित बहुभुज" की परिभाषा प्रस्तुत की गई है: "एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों," फिर "अंकित" और "परिवृत्त" बहुभुज की परिभाषाएँ दी गई हैं। परिचय दिया गया है: "एक बहुभुज को एक वृत्त में अंकित कहा जाता है यदि उसके सभी शीर्ष एक निश्चित वृत्त पर स्थित हों"; "एक बहुभुज को एक वृत्त के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ एक निश्चित वृत्त को छूती हैं।"

प्रमेय 13.3 का अध्ययन करने से पहले, कक्षा को प्रमाण के लिए तैयार करने के लिए, आप छात्रों से समीक्षा प्रश्न पूछ सकते हैं:

कौन सी रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा कहलाती है?

यह कैसा हो सकता है आपसी व्यवस्थारेखा और वृत्त? कक्षा में बातचीत होती है, जिसके दो भाग होते हैं: पहला

हम एक बहुभुज के चारों ओर बने एक वृत्त के बारे में बात कर रहे हैं, और फिर एक बहुभुज में खुदे हुए एक वृत्त के बारे में।

छात्रों के उत्तर चित्रों की एक श्रृंखला के क्रमिक प्रदर्शन के साथ होते हैं।

किस त्रिभुज को वृत्त में घिरा हुआ कहा जाता है या किस वृत्त को त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है (चित्र 1)?

क्या एक मनमाने त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना संभव है?

किसी त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र कैसे ज्ञात करें? (चित्र.2) त्रिज्या क्या है? (चित्र.3)

क्या बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना हमेशा संभव है? (नहीं। उदाहरण: समचतुर्भुज, यदि यह एक वर्ग नहीं है। चित्र 4)

क्या एक नियमित बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना संभव है? (चित्र.5)

प्रमेय 13.3 का पहला भाग तैयार किया गया है। यह धारणा बनाई गई है कि एक नियमित बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। गौरतलब है कि ये बात बाद में साबित होगी.

बहुभुज में एक वृत्त अंकित करने की संभावना के संबंध में भी इसी तरह का कार्य किया जाता है। कक्षा में बहुभुज में अंकित वृत्त के संबंध में वही 5 प्रश्न हैं। इस मामले में, बातचीत के पहले भाग के अनुरूप, पिछले वाले के समान चित्रों की एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है।

शिक्षक छात्रों का ध्यान एक नियमित बहुभुज में एक वृत्त अंकित करने की संभावना की ओर आकर्षित करता है। प्रमेय 13.3 तैयार और सिद्ध है: "एक नियमित उत्तल बहुभुज एक वृत्त में अंकित है और वृत्त के चारों ओर परिचालित है।"

प्रमेय का प्रमाण पाठ्यपुस्तक के अनुसार किया जाता है। इस बात पर ज़ोर देना उपयोगी है कि एक नियमित बहुभुज में अंकित और परिचालित वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं और दिया गया बिंदुबहुभुज का केंद्र कहलाता है.

प्रमेय को सिद्ध करने के बाद, निम्नलिखित समस्याएं प्रस्तावित हैं:

1. एक वृत्त में अंकित एक नियमित त्रिभुज की भुजा बराबर होती है। इस वृत्त में अंकित वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए।

दिया गया: वृत्त (0;R),

डीएवीएस - सही, अंकित,

केएमआरई - खुदा हुआ वर्ग।

डीएवीएस - नियमित, अंकित: आर = केएमपीई - एक वृत्त में अंकित वर्ग (0;आर)।

मान लीजिए x = KM वर्ग की भुजा है

उत्तर: किमी = .

2. 4 डीएम त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक नियमित त्रिभुज अंकित है, जिसके किनारे पर एक वर्ग बना हुआ है। वर्ग द्वारा परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

दिया गया: वृत्त (0;R),

डीएवीएस - सही, अंकित,

ठीक है. 1 (ओ;आर 1),

ABDE - Okr में अंकित वर्ग। 1

खोजें: आर 1.

1. डीएवीएस - सही, दर्ज:

ABDE - Okr में अंकित वर्ग। 1:

उत्तर: डीएम.

3. एक नियमित बहुभुज की भुजा a है, और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या R है। अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। दिया गया: Env.(0;R),

ए 1 ए 2 ...ए एन - सही, अंकित,

ए 1 ए 2 =ए , त्रिज्या=R,

OS अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

ओएस 2 = ओबी 2 - बीसी 2

उत्तर: ओएस=.

4. एक नियमित बहुभुज की भुजा a है, और अंकित वृत्त की त्रिज्या r है।

दिया गया है: परिधि(0;g),

ए 1 ए 2 ...ए एन - सही।, वर्णित,

ए 1 ए 2 = ए, त्रिज्या = आर,

वृत्त (0;R).

समाधान। OB परिचालित वृत्त की त्रिज्या है।

DOSV - आयताकार (ZC = 90°)

ओबी 2 = ओएस 2 + एसवी 2

उत्तर: आर = .

फिर छात्रों को कार्यों की एक प्रणाली की पेशकश की जा सकती है:

1. एक नियमित षट्भुज ए 1 ए 2 ए 3 ए 4 ए 5 ए 6 में, भुजा 8 के बराबर है। खंड बीसी भुजाओं ए 3 ए 4 और ए 5 ए बी के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है। भुजा A 1 A 2 के मध्यबिंदु को खंड BC के मध्यबिंदु से जोड़ने वाले खंड की लंबाई ज्ञात करें।

2. एक नियमित षट्भुज ABCDEF की भुजा 32 के बराबर है। त्रिभुज MRC में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि M, P और K भुजाओं AB, CD के मध्यबिंदु हैं। तदनुसार ईएफ.

एक नियमित परिबद्ध बहुभुज की भुजा b को वृत्त की त्रिज्या R के पदों में और समान संख्या में भुजाओं वाले एक नियमित उत्कीर्ण बहुभुज की भुजा a को व्यक्त करें।

दो नियमित n-गोन्स की परिधि a:b के अनुपात में है। उनके अंकित और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याओं के बीच क्या संबंध है?

एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक आंतरिक कोण बराबर होता है: 1) 135; 2) 150?

सामग्री की समीक्षा करें

a अष्टभुज की भुजा है,

आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या,

r अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

एक नियमित एन-गॉन के आंतरिक कोणों का योग

180(एन-2).

एन-गॉन के आंतरिक कोण का डिग्री माप

180(एन-2) : एन.

दाहिनी ओर n-ka

एक नियमित बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

सही n का क्षेत्रफल

अभ्यास

1. a) एक षट्भुज के आंतरिक कोणों का योग बराबर होता है:
1)360°; 2)180°; 3) 720°; 4) 540°.
ख) एक अष्टभुज के आंतरिक कोणों का योग बराबर होता है:
1)360°; 2)180°; 3) 720°; 4) 1080°.
समाधान:
a) सूत्र के अनुसार, एक षट्भुज के कोणों का योग है: 180(6-2)=180*4=720 ° .
उत्तर: 720 ° .


2. a) एक नियमित बहुभुज की भुजा 5 सेमी है, आंतरिक कोण 144 सेमी है°
a) एक नियमित बहुभुज की भुजा 7 सेमी है, आंतरिक कोण 150 है° . बहुभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
समाधान:
a) 1) बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात करें:
144=180(एन - 2):एन;
144एन=180एन-360;
36एन=360;
एन=10.
2) दशमांश का परिमाप ज्ञात करें: P=5*10=50 सेमी.
उत्तर: 50 सेमी.


3. a) एक नियमित पंचभुज का परिमाप 30 सेमी है। पंचभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।
b) वृत्त का व्यास 10 सेमी है। इसमें अंकित पंचभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
समाधान:
a) 1) पंचभुज की भुजा ज्ञात करें: 30:5 = 6 सेमी।
2) परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
a=2R*sin(180 ° :एन);
6=2आर*सिन (180 ° :5);
र=3:पाप 36 ° =3:0.588=5.1 सेमी
उत्तर: 5.1 सेमी.


4. a) एक नियमित बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 2520 है°
ख) एक नियमित बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 1800 है° . बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
समाधान:
a) बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात करें:
2520 ° = 180 ° (एन-2);
2520 ° +360 ° =180 ° एन;
2880 ° =180 ° एन;
एन=16.
उत्तर: 16 भुजाएँ।


5. a) एक सम द्विदिशभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
b) एक नियमित अष्टभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है। बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान:
a) डोडेकागन का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
एस=0.5* आर 2 *एन*सिन(360° :n)=0.5*25*12*sin30° =75 सेमी 2 .
उत्तर: 75 सेमी 2 .


6. यदि छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात हो तो षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 0.5*AB*BC*sin120 है° और शर्त के अनुसार 48 के बराबर है।

7. ए) एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात करें यदि इसके शीर्ष पर बाहरी कोण 18 है° .
ख) एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि उसके शीर्ष पर बाह्य कोण 45 है° .
समाधान:
ए) राशि बाहरी कोनेनियमित बहुभुज 360 है ° .
आइए भुजाओं की संख्या ज्ञात करें: 360 ° :18 ° =20.
उत्तर: 20 भुजाएँ।


8. यदि जीवा AB बराबर है तो वलय के क्षेत्रफल की गणना करें:
क) 8 सेमी; बी) 10 सेमी.

1) OV - बाहरी वृत्त की त्रिज्या, OH - आंतरिक वृत्त की त्रिज्या। रिंग का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: एस रिंग = एस बाहरी सर्कल - एस आंतरिक सर्कल।

एस= π *ओबी 2 - π *ओह 2 = π(ओबी 2 -ओह 2 ).

2) त्रिभुज ABO - समद्विबाहु (OA = OB त्रिज्या के रूप में) पर विचार करें। त्रिभुज ABO में OH ऊंचाई और माध्यिका है, इसलिए AN=HB=8:2= 4 सेमी.

3) त्रिभुज ONB - आयताकार: HB पर विचार करें 2 =ओबी 2 -वह 2 , इस तरह

ओबी 2 -वह 2 =16.

4) वलय का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

एस=π(ओबी 2 -ओह 2 )=16 π सेमी 2 .

उत्तर:16 π सेमी 2 .

पी=6*एबी;

10. सिद्ध करें कि एक नियमित अष्टकोण में छायांकित भाग का क्षेत्रफल बराबर होता है:
क) अष्टकोण के क्षेत्रफल का एक चौथाई; बी) अष्टभुज का आधा क्षेत्रफल:

1) आइए हम अष्टभुज के कोनों के समद्विभाजक बनाएं, वे बिंदु O पर प्रतिच्छेद करेंगे। अष्टभुज का क्षेत्रफल परिणामी आठ समान त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, अर्थात। एस (एबीसीडीईएफकेएम) =8* एस (ओईएफ)।

2) चतुर्भुज ABEF एक समांतर चतुर्भुज (AB//EF और AB=EF) है। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं: AE=BF (एक अष्टभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के व्यास के रूप में), इसलिए, ABEF एक आयत है। एक आयत के विकर्ण उसे चार बराबर त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

3) चतुर्भुज AFKM का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

एस (एबीईएफ)= 4* एस (ओईएफ)।

2*एस (एएफकेएम)=एस (एबीसीडीईएफकेएम) - एस (एबीईएफ) =8* एस (ओईएफ)-4* एस (ओईएफ)=4* एस (ओईएफ)।

एस (एएफकेएम)=2* एस (ओईएफ)।

4) अष्टभुज के क्षेत्रफल और छायांकित भाग के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए:

एस (एबीसीडीईएफकेएम) : एस (एएफकेएम) = 8* एस (ओईएफ) : (2* एस (ओईएफ))=4.

क्यू.ई.डी.

1) एबी=एसी=2आर। कोण BAC सीधा है, क्योंकि बीएसी सेक्टर का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है .

2) चतुर्भुज AO पर विचार करें 2 एमओ 1 . यह एक समचतुर्भुज है, क्योंकि सभी भुजाएँ त्रिज्या के बराबर हैं, और तब से उनका एक कोण 90° है, तो AO 2 एमओ 1 - वर्ग।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. एक पंचभुज के बाह्य कोणों का योग कितना होता है?

2. यदि छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल 20 है तो अष्टभुज का क्षेत्रफल क्या है?