दो बिंदुओं के निर्देशांक से एक सीधी रेखा के समीकरण। एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, दो रेखाओं के बीच का कोण, रेखा का ढलान

यह लेख एक समतल पर स्थित आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की व्युत्पत्ति का खुलासा करता है। आइए हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करें। हम कवर की गई सामग्री से संबंधित कई उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाएंगे और हल करेंगे।

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दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण प्राप्त करने से पहले कुछ तथ्यों पर ध्यान देना आवश्यक है। एक सिद्धांत है जो कहता है कि एक समतल पर दो अलग-अलग बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना संभव है और केवल एक ही। दूसरे शब्दों में, एक समतल पर दिए गए दो बिंदु इन बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा द्वारा परिभाषित होते हैं।

यदि विमान को आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी द्वारा परिभाषित किया गया है, तो इसमें चित्रित कोई भी सीधी रेखा विमान पर एक सीधी रेखा के समीकरण के अनुरूप होगी। सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के साथ भी एक संबंध है यह डेटा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण को संकलित करने के लिए पर्याप्त है।

आइए इसी तरह की समस्या को हल करने का एक उदाहरण देखें। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में स्थित दो अपसारी बिंदुओं M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण बनाना आवश्यक है।

एक तल पर एक रेखा के विहित समीकरण में, जिसका रूप x - x 1 a x = y - y 1 a y है, एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y को एक रेखा के साथ निर्दिष्ट किया जाता है जो इसके साथ निर्देशांक M 1 (x) वाले एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। 1, y 1) एक गाइड वेक्टर के साथ a → = (a x , a y) ।

एक सीधी रेखा a का विहित समीकरण बनाना आवश्यक है, जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) वाले दो बिंदुओं से होकर गुजरेगी।

सीधे a में निर्देशांक (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के साथ एक दिशा वेक्टर M 1 M 2 → है, क्योंकि यह बिंदु M 1 और M 2 को काटता है। हमने दिशा वेक्टर M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के निर्देशांक और उन पर स्थित बिंदुओं M 1 के निर्देशांक के साथ विहित समीकरण को बदलने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त किया है। (x 1, y 1) और M 2 (x 2 , y 2) . हमें x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

गणनाओं के बाद, हम एक समतल पर एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) वाले दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। हमें x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ या x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है। y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

आइए कई उदाहरणों को हल करने पर करीब से नज़र डालें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 के साथ दिए गए 2 बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें।

समाधान

निर्देशांक x 1, y 1 और x 2, y 2 के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली एक रेखा के लिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 का रूप लेता है। समस्या की शर्तों के अनुसार, हमारे पास यह है कि x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. स्थानापन्न करना आवश्यक है संख्यात्मक मानसमीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 में। यहां से हमें पता चलता है कि विहित समीकरण x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 का रूप लेता है।

उत्तर: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

यदि आपको किसी भिन्न प्रकार के समीकरण के साथ किसी समस्या को हल करने की आवश्यकता है, तो पहले आप विहित समीकरण पर जा सकते हैं, क्योंकि इससे किसी अन्य समीकरण पर आना आसान है।

उदाहरण 2

लिखें सामान्य समीकरण O x y समन्वय प्रणाली में निर्देशांक M 1 (1, 1) और M 2 (4, 2) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा।

समाधान

सबसे पहले, आपको किसी दी गई रेखा का विहित समीकरण लिखना होगा जो दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। हमें x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 के रूप का एक समीकरण मिलता है।

आइए विहित समीकरण को वांछित रूप में लाएं, फिर हमें मिलता है:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

उत्तर:एक्स - 3 वाई + 2 = 0 .

ऐसे कार्यों के उदाहरणों पर चर्चा की गई स्कूल की पाठ्यपुस्तकेंबीजगणित पाठों में। स्कूल की समस्याएँ इस मायने में भिन्न थीं कि कोण गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात था, जिसका रूप y = k x + b था। यदि आपको ढलान k और संख्या b का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है जिसके लिए समीकरण y = k x + b O x y प्रणाली में एक रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदु M 1 (x 1, y 1) और M 2 ( x 2, y 2) , जहां x 1 ≠ x 2. जब x 1 = x 2 , तब ढलानअनंत का मान लेता है, और सीधी रेखा M 1 M 2 को x - x 1 = 0 के रूप के एक सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है .

क्योंकि अंक एम 1और एम 2एक सीधी रेखा पर हैं, तो उनके निर्देशांक समीकरण y 1 = k x 1 + b और y 2 = k x 2 + b को संतुष्ट करते हैं। के और बी के लिए समीकरणों y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b की प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

ऐसा करने के लिए, हम पाते हैं कि k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = वाई 2 - वाई 2 - वाई 1 एक्स 2 - एक्स 1 एक्स 2।

K और b के इन मानों के साथ, दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण बनता है अगला दृश्य y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - वाई 1 एक्स 2 - एक्स 1 एक्स 2।

इतनी बड़ी संख्या में सूत्रों को एक साथ याद रखना असंभव है। ऐसा करने के लिए, समस्याओं को हल करने में दोहराव की संख्या बढ़ाना आवश्यक है।

उदाहरण 3

निर्देशांक M 2 (2, 1) और y = k x + b वाले बिंदुओं से गुजरने वाली कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, हम y = k x + b के रूप के कोणीय गुणांक वाले सूत्र का उपयोग करते हैं। गुणांक k और b को ऐसा मान लेना चाहिए दिया गया समीकरणनिर्देशांक M 1 (- 7, - 5) और M 2 (2, 1) वाले दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुरूप।

अंक एम 1और एम 2एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो उनके निर्देशांक को समीकरण y = k x + b को एक वास्तविक समानता बनाना चाहिए। इससे हमें पता चलता है कि - 5 = k · (- 7) + b और 1 = k · 2 + b. आइए समीकरण को सिस्टम में संयोजित करें - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b और हल करें।

प्रतिस्थापन पर हमें वह प्राप्त होता है

5 = के · - 7 + बी 1 = के · 2 + बी ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के + बी = 1 ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के - 5 + 7 के = 1 ⇔ ⇔ बी = - 5 + 7 केके = 2 3 ⇔ बी = - 5 + 7 2 3 के = 2 3 ⇔ बी = - 1 3 के = 2 3

अब मान k = 2 3 और b = - 1 3 को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित किया जाता है। हम पाते हैं कि दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाला आवश्यक समीकरण y = 2 3 x - 1 3 के रूप का समीकरण होगा।

समाधान की यह विधि खर्च को पूर्व निर्धारित करती है बड़ी मात्रासमय। एक ऐसा तरीका है जिसमें कार्य को वस्तुतः दो चरणों में हल किया जाता है।

आइए हम M 2 (2, 1) और M 1 (- 7, - 5) से गुजरने वाली रेखा का विहित समीकरण लिखें, जिसका रूप x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) है। ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6।

अब आइए ढलान समीकरण पर चलते हैं। हम पाते हैं कि: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

उत्तर: y = 2 3 x - 1 3 .

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z है जिसमें निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) के साथ दो गैर-संपाती बिंदु हैं, तो उनसे होकर गुजरने वाली सीधी रेखा M 1 M 2 से इस रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

हमारे पास x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z के रूप के विहित समीकरण और x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z के रूप के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। 1 + a z · λ समन्वय प्रणाली O x y z में एक रेखा को परिभाषित करने में सक्षम हैं, जो एक दिशा वेक्टर a → = (a x, a y, a z) के साथ निर्देशांक (x 1, y 1, z 1) वाले बिंदुओं से होकर गुजरती है।

सीधा एम 1 एम 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) के रूप का एक दिशा वेक्टर है, जहां सीधी रेखा बिंदु M 1 (x 1, y 1) से होकर गुजरती है। z 1) और M 2 (x 2 , y 2 , z 2), इसलिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 के रूप का हो सकता है z 2 - z 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, बदले में पैरामीट्रिक x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ या x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

एक चित्र पर विचार करें जो अंतरिक्ष में दिए गए 2 बिंदुओं और एक सीधी रेखा के समीकरण को दर्शाता है।

उदाहरण 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z में परिभाषित एक रेखा का समीकरण लिखें, जो निर्देशांक M 1 (2, - 3, 0) और M 2 (1, - 3, - 5) के साथ दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती है।

समाधान

विहित समीकरण ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के बारे में बात कर रहे हैं, इसका मतलब है कि जब एक रेखा दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरती है, तो वांछित विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z का रूप लेगा। - z 1 z 2 - z 1 .

शर्त के अनुसार हमारे पास है कि x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. इससे यह पता चलता है कि आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिखे जाएंगे:

एक्स - 2 1 - 2 = वाई - (- 3) - 3 - (- 3) = जेड - 0 - 5 - 0 ⇔ एक्स - 2 - 1 = वाई + 3 0 = जेड - 5

उत्तर: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरण वे समीकरण हैं जो वहां से गुजरने वाली रेखा को निर्धारित करते हैं पीछे इस बिंदुदिशा वेक्टर के संरेख।

मान लीजिए एक बिंदु और एक दिशा सदिश दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है एलकेवल यदि सदिश और संरेख हैं, यानी, उनके लिए शर्त संतुष्ट है:

.

उपरोक्त समीकरण सीधी रेखा के विहित समीकरण हैं।

नंबर एम , एनऔर पीदिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं समायोजन ध्रुव. चूँकि सदिश शून्येतर है, तो सभी संख्याएँ एम , एनऔर पीएक साथ शून्य के बराबर नहीं हो सकता. लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निम्नलिखित प्रविष्टि की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण ओएऔर आउंसशून्य के बराबर हैं. इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा परिभाषित वेक्टर और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएऔर आउंस, यानी विमान yOz .

उदाहरण 1।किसी समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए समीकरण लिखें और अक्ष के साथ इस तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजर रहा है आउंस .

समाधान। आइए अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें आउंस. चूँकि अक्ष पर स्थित कोई भी बिन्दु आउंस, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए, निर्देशांक हैं एक्स = वाई = 0, हमें 4 मिलता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2 . इसलिए, अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक (0; 0; 2) हैं। चूँकि वांछित रेखा समतल के लंबवत है, यह इसके सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर सामान्य वेक्टर हो सकता है दिया गया विमान.

आइए अब एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण लिखें ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में:

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर स्थित दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है और इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा निर्धारित करते हैं।

उदाहरण 2.अंतरिक्ष में बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान। आइए सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण लिखें:

.

चूँकि, तब वांछित सीधी रेखा अक्ष पर लंबवत होती है ओए .

समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समान सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी, दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में

सिस्टम के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3.सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक रेखा के विहित समीकरण बनाएं

समाधान। किसी रेखा के विहित समीकरण या, जो समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखने के लिए, आपको रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। उदाहरण के लिए, वे किन्हीं दो समन्वय तलों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं yOzऔर xOz .

एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु yOzफरसीसा है एक्स= 0 . इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0, हमें दो चर वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका निर्णय य = 2 , जेड= साथ में 6 एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित पंक्ति। फिर समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें य= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में य= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

आइए अब बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखें ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

,

या हरों को -2 से विभाजित करने के बाद:

,

यह लेख एक समतल पर एक रेखा के समीकरण के विषय को जारी रखता है: हम इस प्रकार के समीकरण को एक रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में मानेंगे। आइए हम प्रमेय को परिभाषित करें और उसका प्रमाण दें; आइए जानें कि एक रेखा का अपूर्ण सामान्य समीकरण क्या है और एक सामान्य समीकरण से एक रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में परिवर्तन कैसे करें। हम पूरे सिद्धांत को उदाहरणों और व्यावहारिक समस्याओं के समाधान के साथ सुदृढ़ करेंगे।

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मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y निर्दिष्ट की गई है।

प्रमेय 1

पहली डिग्री का कोई भी समीकरण, जिसका रूप A x + B y + C = 0 है, जहां A, B, C कुछ वास्तविक संख्याएं हैं (A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं), एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है एक समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली। बदले में, एक समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली में कोई भी सीधी रेखा एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें ए, बी, सी मानों के एक निश्चित सेट के लिए ए एक्स + बी वाई + सी = 0 होता है।

सबूत

इस प्रमेय में दो बिंदु हैं, हम उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करेंगे।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण A x + B y + C = 0 समतल पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

मान लीजिए कि कोई बिंदु M 0 (x 0 , y 0) है जिसके निर्देशांक समीकरण A x + B y + C = 0 के अनुरूप हैं। इस प्रकार: A x 0 + B y 0 + C = 0. समीकरण A x + B y + C = 0 के बाएँ और दाएँ पक्षों से समीकरण A x 0 + B y 0 + C = 0 के बाएँ और दाएँ पक्षों को घटाएँ, हमें एक नया समीकरण प्राप्त होता है जो A (x) जैसा दिखता है - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0। यह A x + B y + C = 0 के बराबर है।

परिणामी समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 आवश्यक है तथा पर्याप्त स्थितिसदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) की लंबवतता। इस प्रकार, बिंदुओं का सेट एम (एक्स, वाई) वेक्टर एन → = (ए, बी) की दिशा के लंबवत एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। हम मान सकते हैं कि ऐसा नहीं है, लेकिन तब सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) लंबवत नहीं होंगे, और समानता A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 सत्य नहीं होगा।

नतीजतन, समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक निश्चित रेखा को परिभाषित करता है, और इसलिए समतुल्य समीकरण A x + B y + C = 0 परिभाषित करता है एक ही पंक्ति. इस प्रकार हमने प्रमेय का पहला भाग सिद्ध किया।

1. आइए हम एक प्रमाण प्रदान करें कि एक समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली में किसी भी सीधी रेखा को पहली डिग्री A x + B y + C = 0 के समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आइए हम एक समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा a को परिभाषित करें; बिंदु M 0 (x 0 , y 0) जिससे यह रेखा गुजरती है, साथ ही इस रेखा का सामान्य वेक्टर n → = (A, B) है।

मान लीजिए कि कोई बिंदु M (x, y) भी है - एक रेखा पर एक तैरता हुआ बिंदु। इस स्थिति में, सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) एक दूसरे के लंबवत हैं, और उनके अदिश उत्पादवहाँ एक शून्य है:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

आइए समीकरण A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 को फिर से लिखें, C को परिभाषित करें: C = - A x 0 - B y 0 और अंतिम परिणाम के रूप में हमें समीकरण A x + B y + C = मिलता है। 0.

तो, हमने प्रमेय का दूसरा भाग सिद्ध कर लिया है, और हमने संपूर्ण प्रमेय सिद्ध कर दिया है।

परिभाषा 1

प्रपत्र का एक समीकरणए एक्स + बी वाई + सी = 0 - यह एक रेखा का सामान्य समीकरणएक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल परऑक्सी.

सिद्ध प्रमेय के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर परिभाषित एक सीधी रेखा और उसके सामान्य समीकरण का अटूट संबंध है। दूसरे शब्दों में, मूल रेखा इसके सामान्य समीकरण से मेल खाती है; किसी रेखा का सामान्य समीकरण किसी दी गई रेखा से मेल खाता है।

प्रमेय के प्रमाण से यह भी पता चलता है कि चर x और y के लिए गुणांक A और B रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो रेखा A x + B y + C = के सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया है 0.

चलो गौर करते हैं विशिष्ट उदाहरणएक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

मान लीजिए कि समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 दिया गया है, जो किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा से मेल खाता है। इस रेखा का सामान्य सदिश सदिश है n → = (2 , 3) ​​​ . आइए ड्राइंग में दी गई सीधी रेखा खींचें।

हम निम्नलिखित भी बता सकते हैं: रेखाचित्र में जो सीधी रेखा हम देखते हैं वह सामान्य समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 द्वारा निर्धारित होती है, क्योंकि किसी दी गई सीधी रेखा पर सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण के अनुरूप होते हैं।

हम रेखा के सामान्य समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य के बराबर न होने वाली संख्या λ से गुणा करके समीकरण λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 प्राप्त कर सकते हैं। परिणामी समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, इसलिए, यह समतल पर उसी सीधी रेखा का वर्णन करेगा।

परिभाषा 2

एक रेखा का सामान्य समीकरण पूर्ण करें- सीधी रेखा A x + B y + C = 0 का ऐसा सामान्य समीकरण, जिसमें संख्या A, B, C शून्य से भिन्न हों। अन्यथा समीकरण है अधूरा.

आइए हम एक रेखा के अपूर्ण सामान्य समीकरण के सभी रूपों का विश्लेषण करें।

1. जब A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, सामान्य समीकरण B y + C = 0 का रूप लेता है। ऐसा अधूरा सामान्य समीकरण एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो O x अक्ष के समानांतर है, क्योंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए चर y मान लेगा - सी बी . दूसरे शब्दों में, रेखा A x + B y + C = 0 का सामान्य समीकरण, जब A = 0, B ≠ 0, बिंदुओं (x, y) का स्थान निर्दिष्ट करता है, जिनके निर्देशांक समान संख्या के बराबर होते हैं - सी बी .
2. यदि A = 0, B ≠ 0, C = 0, तो सामान्य समीकरण y = 0 का रूप लेता है। यह अधूरा समीकरण x-अक्ष O x को परिभाषित करता है।
3. जब A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, तो हमें एक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 प्राप्त होता है, जो कोटि के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
4. मान लीजिए A ≠ 0, B = 0, C = 0, तो अधूरा सामान्य समीकरण x = 0 का रूप लेगा, और यह निर्देशांक रेखा O y का समीकरण है।
5. अंततः, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 के लिए, अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + B y = 0 का रूप लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है। वास्तव में, संख्याओं का युग्म (0, 0) समानता A x + B y = 0 से मेल खाता है, क्योंकि A · 0 + B · 0 = 0.

आइए हम एक सीधी रेखा के उपरोक्त सभी प्रकार के अपूर्ण सामान्य समीकरणों को ग्राफिक रूप से चित्रित करें।

उदाहरण 1

यह ज्ञात है कि दी गई सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है और बिंदु 2 7, - 11 से होकर गुजरती है। दी गई रेखा का सामान्य समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

कोटि अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा A x + C = 0 के रूप के समीकरण द्वारा दी गई है, जिसमें A ≠ 0 है। शर्त उस बिंदु के निर्देशांक भी निर्दिष्ट करती है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस बिंदु के निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 की शर्तों को पूरा करते हैं, अर्थात। समानता सत्य है:

ए 2 7 + सी = 0

इससे सी का निर्धारण करना संभव है यदि हम ए को कुछ गैर-शून्य मान देते हैं, उदाहरण के लिए, ए = 7। इस मामले में, हमें मिलता है: 7 · 2 7 + सी = 0 ⇔ सी = - 2. हम दोनों गुणांक A और C जानते हैं, उन्हें समीकरण A x + C = 0 में प्रतिस्थापित करें और आवश्यक सीधी रेखा समीकरण प्राप्त करें: 7 x - 2 = 0

उत्तर: 7 एक्स - 2 = 0

उदाहरण 2

चित्र एक सीधी रेखा दिखाता है; आपको उसका समीकरण लिखना होगा।

समाधान

दी गई ड्राइंग हमें समस्या को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा आसानी से लेने की अनुमति देती है। चित्र में हम देखते हैं कि दी गई सीधी रेखा O x अक्ष के समानांतर है और बिंदु (0, 3) से होकर गुजरती है।

सीधी रेखा, जो भुज के समानांतर है, अपूर्ण सामान्य समीकरण B y + C = 0 द्वारा निर्धारित होती है। आइए B और C का मान ज्ञात करें। बिंदु (0, 3) के निर्देशांक, चूंकि दी गई रेखा इसके माध्यम से गुजरती है, रेखा B y + C = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी, तो समानता मान्य है: B · 3 + C = 0. आइए B को शून्य के अलावा किसी अन्य मान पर सेट करें। मान लीजिए कि बी = 1, इस स्थिति में समानता बी · 3 ​​+ सी = 0 से हम सी: सी = - 3 पा सकते हैं। हम उपयोग करते हैं ज्ञात मूल्यबी और सी, हमें सीधी रेखा का आवश्यक समीकरण प्राप्त होता है: y - 3 = 0.

उत्तर:आप - 3 = 0 .

किसी समतल में दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का सामान्य समीकरण

मान लीजिए कि दी गई रेखा बिंदु M 0 (x 0 , y 0) से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप हैं, अर्थात। समानता सत्य है: A x 0 + B y 0 + C = 0. आइए हम इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को सामान्य के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ पूरा समीकरणसीधा। हमें मिलता है: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, यह समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, बिंदु M 0 (x 0, y 0) से होकर गुजरता है और इसका एक सामान्य समीकरण है वेक्टर एन → = (ए, बी) .

हमने जो परिणाम प्राप्त किया है, वह रेखा के सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और इस रेखा के एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक के साथ एक रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना संभव बनाता है।

उदाहरण 3

एक बिंदु M 0 (- 3, 4) दिया गया है जिससे होकर एक रेखा गुजरती है, और इस रेखा का सामान्य वेक्टर एन → = (1 , - 2) . दी गई रेखा का समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक स्थितियाँ हमें समीकरण बनाने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: ए = 1, बी = - 2, एक्स 0 = - 3, वाई 0 = 4। तब:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण A x + B y + C = 0 है। दिया गया सामान्य वेक्टर हमें गुणांक ए और बी के मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

आइए अब समस्या की स्थिति द्वारा निर्दिष्ट बिंदु M 0 (- 3, 4) का उपयोग करके C का मान ज्ञात करें, जिससे होकर सीधी रेखा गुजरती है। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण x - 2 · y + C = 0 के अनुरूप हैं, अर्थात। - 3 - 2 4 + सी = 0. अत: C = 11. आवश्यक सीधी रेखा समीकरण इस प्रकार है: x - 2 · y + 11 = 0.

उत्तर:एक्स - 2 वाई + 11 = 0 .

उदाहरण 4

एक रेखा 2 3 x - y - 1 2 = 0 और इस रेखा पर स्थित एक बिंदु M 0 दिया गया है। इस बिंदु का केवल भुज ही ज्ञात है, और यह -3 के बराबर है। किसी दिए गए बिंदु की कोटि निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए हम बिंदु M 0 के निर्देशांक को x 0 और y 0 के रूप में निर्दिष्ट करें। स्रोत डेटा इंगित करता है कि x 0 = - 3. चूँकि बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक इस रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप हैं। तब समानता सत्य होगी:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

परिभाषित करें y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

उत्तर: - 5 2

किसी रेखा के सामान्य समीकरण से रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण और इसके विपरीत

जैसा कि हम जानते हैं, एक समतल पर एक ही सीधी रेखा के लिए कई प्रकार के समीकरण होते हैं। समीकरण के प्रकार का चुनाव समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है; इसे हल करने के लिए जो अधिक सुविधाजनक हो उसे चुनना संभव है। एक प्रकार के समीकरण को दूसरे प्रकार के समीकरण में बदलने का कौशल यहाँ बहुत उपयोगी है।

सबसे पहले, आइए प्रपत्र A x + B y + C = 0 के सामान्य समीकरण से विहित समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y में संक्रमण पर विचार करें।

यदि A ≠ 0 है, तो हम पद B y को स्थानांतरित करते हैं दाहिनी ओरसामान्य समीकरण. बाईं ओर हम कोष्ठक से A निकालते हैं। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: ए एक्स + सी ए = - बी वाई।

इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: x + C A - B = y A.

यदि B ≠ 0 है, तो हम सामान्य समीकरण के बाईं ओर केवल पद A x छोड़ते हैं, अन्य को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है: A x = - B y - C. हम कोष्ठक से - B निकालते हैं, फिर: A x = - B y + C B ।

आइए समानता को अनुपात के रूप में फिर से लिखें: x - B = y + C B A.

निस्संदेह, परिणामी सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। सामान्य समीकरण से विहित समीकरण की ओर बढ़ते समय क्रियाओं के एल्गोरिदम को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 5

रेखा 3 y - 4 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इसे विहित समीकरण में बदलना आवश्यक है।

समाधान

आइए मूल समीकरण को 3 y - 4 = 0 के रूप में लिखें। आगे हम एल्गोरिथम के अनुसार आगे बढ़ते हैं: पद 0 x बाईं ओर रहता है; और दाहिनी ओर हम कोष्ठक में से - 3 डालते हैं; हमें मिलता है: 0 x = - 3 y - 4 3।

आइए परिणामी समानता को अनुपात के रूप में लिखें: x - 3 = y - 4 3 0। इस प्रकार, हमें विहित रूप का एक समीकरण प्राप्त हुआ है।

उत्तर: x - 3 = y - 4 3 0.

किसी रेखा के सामान्य समीकरण को पैरामीट्रिक समीकरण में बदलने के लिए, पहले विहित रूप में परिवर्तन करें, और फिर से परिवर्तन करें विहित समीकरणपैरामीट्रिक समीकरणों के लिए सीधी रेखा।

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण 2 x - 5 y - 1 = 0 द्वारा दी गई है। इस पंक्ति के लिए पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए।

समाधान

आइए हम सामान्य समीकरण से विहित समीकरण में परिवर्तन करें:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

अब हम परिणामी विहित समीकरण के दोनों पक्षों को λ के बराबर लेते हैं, फिर:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

उत्तर:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

सामान्य समीकरण को ढलान y = k · x + b के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब B ≠ 0 हो। संक्रमण के लिए, हम शब्द B y को बाईं ओर छोड़ देते हैं, बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर देते हैं। हमें मिलता है: बी वाई = - ए एक्स - सी। आइए परिणामी समानता के दोनों पक्षों को शून्य से भिन्न, B से विभाजित करें: y = - A B x - C B.

उदाहरण 7

रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 2 x + 7 y = 0. आपको उस समीकरण को ढलान समीकरण में बदलना होगा।

समाधान

आइए एल्गोरिथम के अनुसार आवश्यक क्रियाएं करें:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

उत्तर: y = - 2 7 x .

एक रेखा के सामान्य समीकरण से, x a + y b = 1 के रूप के खंडों में एक समीकरण प्राप्त करना पर्याप्त है। ऐसा परिवर्तन करने के लिए, हम संख्या C को समानता के दाईं ओर ले जाते हैं, परिणामी समानता के दोनों पक्षों को - C से विभाजित करते हैं और अंत में, चर x और y के गुणांकों को हर में स्थानांतरित करते हैं:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

उदाहरण 8

रेखा x - 7 y + 1 2 = 0 के सामान्य समीकरण को खंडों वाली रेखा के समीकरण में बदलना आवश्यक है।

समाधान

आइए 1 2 को दाहिनी ओर ले जाएँ: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2।

आइए समानता के दोनों पक्षों को -1/2 से विभाजित करें: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1।

उत्तर:एक्स - 1 2 + वाई 1 14 = 1।

सामान्य तौर पर, विपरीत संक्रमण भी आसान होता है: अन्य प्रकार के समीकरणों से सामान्य समीकरणों तक।

खंडों में एक रेखा के समीकरण और कोणीय गुणांक वाले समीकरण को समानता के बाईं ओर के सभी पदों को एकत्रित करके आसानी से एक सामान्य समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

निम्नलिखित योजना के अनुसार विहित समीकरण को सामान्य समीकरण में परिवर्तित किया जाता है:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

पैरामीट्रिक से आगे बढ़ने के लिए, पहले विहित की ओर जाएं, और फिर सामान्य की ओर:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

उदाहरण 9

रेखा x = - 1 + 2 · λ y = 4 के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं। इस रेखा का सामान्य समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

आइए से परिवर्तन करें पैरामीट्रिक समीकरणविहित करने के लिए:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

आइए विहित से सामान्य की ओर चलें:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

उत्तर: y - 4 = 0

उदाहरण 10

खंड x 3 + y 1 2 = 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया है। में परिवर्तन करना आवश्यक है सामान्य उपस्थितिसमीकरण

समाधान:

हम बस समीकरण को आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

उत्तर: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

एक रेखा का सामान्य समीकरण बनाना

हमने ऊपर कहा कि सामान्य समीकरण को सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जहां से रेखा गुजरती है। ऐसी सीधी रेखा समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 द्वारा परिभाषित की जाती है। वहां हमने संबंधित उदाहरण का भी विश्लेषण किया।

अब आइए और अधिक देखें जटिल उदाहरण, जिसमें सबसे पहले आपको सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण 11

रेखा 2 x - 3 y + 3 3 = 0 के समानांतर एक रेखा दी गई है। वह बिंदु M 0 (4, 1) भी ज्ञात है जिससे होकर दी गई रेखा गुजरती है। दी गई रेखा का समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक स्थितियाँ हमें बताती हैं कि रेखाएँ समानांतर हैं, फिर, रेखा के सामान्य वेक्टर के रूप में, जिसका समीकरण लिखने की आवश्यकता है, हम रेखा का दिशा वेक्टर लेते हैं n → = (2, - 3): 2 x - 3 य + 3 3 = 0. अब हम रेखा का सामान्य समीकरण बनाने के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:

ए (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

उत्तर: 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0।

उदाहरण 12

दी गई रेखा मूल बिंदु से होकर रेखा x - 2 3 = y + 4 5 के लंबवत गुजरती है। किसी दी गई रेखा के लिए एक सामान्य समीकरण बनाना आवश्यक है।

समाधान

किसी दी गई रेखा का सामान्य वेक्टर रेखा x - 2 3 = y + 4 5 का दिशा वेक्टर होगा।

फिर n → = (3, 5) . सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, अर्थात। बिंदु O (0, 0) से होकर। आइए किसी दी गई रेखा के लिए एक सामान्य समीकरण बनाएं:

ए (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

उत्तर: 3 एक्स + 5 वाई = 0।

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यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

किसी भी बिंदु से होकर अनंत संख्या में सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

किन्हीं दो असंयोजक बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

एक समतल में दो अपसारी रेखाएँ या तो एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं या होती हैं

समानांतर (पिछले वाले से अनुसरण करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में तीन विकल्प हैं तुलनात्मक स्थितिदो सीधी रेखाएँ:

• रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

• रेखाएँ समानांतर हैं;

• सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा रेखा— प्रथम क्रम का बीजगणितीय वक्र: कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा

समतल पर प्रथम डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा दिया गया है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

परिभाषा. समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एक्स + वू + सी = 0,

और स्थिर ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं. इस प्रथम कोटि समीकरण को कहा जाता है सामान्य

एक सीधी रेखा का समीकरण.स्थिरांक के मूल्यों पर निर्भर करता है ए, बीऔर साथनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए ≠0, बी ≠ 0- एक सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (बाय + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए ≠0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए ≠0- सीधी रेखा अक्ष से संपाती होती है कहां

. ए = सी = 0, बी ≠0- सीधी रेखा अक्ष से संपाती होती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को इसमें दर्शाया जा सकता है विभिन्न रूपों मेंकिसी दिए गए पर निर्भर करता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक सामान्य वेक्टर का समीकरण।

परिभाषा. कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) के साथ एक वेक्टर

समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लंबवत

एक्स + वू + सी = 0.

उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए(1,2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

समाधान. A = 3 और B = -1 के साथ, आइए सीधी रेखा का समीकरण बनाएं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए

आइए दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें, इसलिए हमें मिलता है: 3 - 2 + C = 0

सी = -1. कुल: आवश्यक समीकरण: 3x - y - 1 = 0.

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण.

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1)और एम2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2),तब एक रेखा का समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरना:

यदि कोई भी हर शून्य है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

अगर x 1 ≠ x 2और एक्स = एक्स 1, अगर एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = कबुलाया ढलान सीधा.

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. ऊपर लिखे सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:

एक बिंदु और ढलान का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि रेखा का सामान्य समीकरण एक्स + वू + सी = 0नेतृत्व करने के लिए:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहा जाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक दिशा वेक्टर का समीकरण।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का एक निर्देशन सदिश।

परिभाषा. प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1 , α 2), जिसके घटक शर्त को पूरा करते हैं

एα 1 + बीα 2 = 0बुलाया एक सीधी रेखा का निर्देशन सदिश।

एक्स + वू + सी = 0.

उदाहरण. दिशा सदिश (1, -1) वाली और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम वांछित रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0.परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

1 * ए + (-1) * बी = 0, अर्थात। ए = बी.

तब सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0.

पर एक्स = 1, वाई = 2हम पाते हैं सी/ए = -3, अर्थात। आवश्यक समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ах + Ву + С = 0 С≠0 है, तो, -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:

या जहां

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

अक्ष के साथ सीधा ओह,ए बी- अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओयू.

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0.इस रेखा का समीकरण खंडों में ज्ञात कीजिए।

सी = 1, , ए = -1, बी = 1.

एक रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि समीकरण के दोनों पक्ष एक्स + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें जिसे कहा जाता है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -एक रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± इसलिए चुना जाना चाहिए μ*सी< 0.

आर- मूल बिंदु से सीधी रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई,

ए φ - इस लम्ब द्वारा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण ओह।

उदाहरण. रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है 12x - 5y - 65 = 0. लिखना आवश्यक है विभिन्न प्रकार केसमीकरण

यह सीधी रेखा.

खंडों में इस रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से भाग दें)

एक रेखा का समीकरण:

क्योंकि φ = 12/13; पाप φ= -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

अक्षों के समानांतर या मूल बिंदु से होकर गुज़रना।

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा. यदि दो पंक्तियाँ दी गई हैं y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, फिर इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समान्तर हैं यदि क 1 = क 2. दो रेखाएँ लंबवत हैं

अगर क 1 = -1/ क 2 .

प्रमेय.

प्रत्यक्ष एक्स + वू + सी = 0और ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0समानांतर जब गुणांक आनुपातिक हों

ए 1 = λए, बी 1 = λबी. यदि भी С 1 = λС, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए रेखा के लंबवत किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण।

परिभाषा. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी.

प्रमेय. यदि एक बिंदु दिया गया है एम(एक्स 0, वाई 0),फिर सीधी रेखा की दूरी एक्स + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित:

सबूत. बात बताइये एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- एक बिंदु से गिराए गए लंब का आधार एमकिसी प्रदत्त के लिए

प्रत्यक्ष। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमऔर एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1और 1 परसमीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से लंबवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

सीधी रेखा दी गई है. यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:

ए(एक्स - एक्स 0) + बी(वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

बिंदु K(x 0 ; y 0) से गुजरने वाली रेखा y = kx + a के समानांतर सूत्र द्वारा पाई जाती है:

वाई - वाई 0 = के(एक्स - एक्स 0) (1)

जहाँ k रेखा का ढलान है।

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) से गुजरने वाली और रेखा Ax+By+C=0 के समानांतर एक रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

बिंदु K से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें( ;) सीधी रेखा y = के समानांतर एक्स+ .

उदाहरण क्रमांक 1. बिंदु M 0 (-2,1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें और साथ ही:
a) सीधी रेखा 2x+3y -7 = 0 के समानांतर;
बी) सीधी रेखा 2x+3y -7 = 0 के लंबवत।
समाधान . आइए ढलान के साथ समीकरण को y = kx + a के रूप में प्रस्तुत करें। ऐसा करने के लिए, y को छोड़कर सभी मानों को दाईं ओर ले जाएँ: 3y = -2x + 7। फिर दाईं ओर को 3 के गुणक से विभाजित करें। हमें मिलता है: y = -2/3x + 7/3
आइए बिंदु K(-2;1) से गुजरने वाली सीधी रेखा y = -2 / 3 x + 7 / 3 के समानांतर समीकरण NK खोजें
x 0 = -2, k = -2/3, y 0 = 1 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
या
y = -2 / 3 x - 1 / 3 या 3y + 2x +1 = 0

उदाहरण क्रमांक 2. रेखा 2x + 5y = 0 के समानांतर एक रेखा का समीकरण लिखें और निर्देशांक अक्षों के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाएं जिसका क्षेत्रफल 5 है।
समाधान . चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं, वांछित रेखा का समीकरण 2x + 5y + C = 0. क्षेत्रफल है सही त्रिकोण, जहां a और b इसके पैर हैं। आइए निर्देशांक अक्षों के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:
;
.
तो, ए(-सी/2,0), बी(0,-सी/5)। आइए इसे क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करें: . हमें दो समाधान मिलते हैं: 2x + 5y + 10 = 0 और 2x + 5y – 10 = 0.

उदाहरण संख्या 3. बिंदु (-2; 5) से गुजरने वाली और रेखा 5x-7y-4=0 के समानांतर एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
समाधान। इस सीधी रेखा को समीकरण y = 5/7 x - 4/7 (यहाँ a = 5/7) द्वारा दर्शाया जा सकता है। वांछित रेखा का समीकरण y - 5 = 5/7 (x - (-2)) है, अर्थात। 7(y-5)=5(x+2) या 5x-7y+45=0 .

उदाहरण संख्या 4. सूत्र (2) का उपयोग करके उदाहरण 3 (A=5, B=-7) को हल करने पर, हम 5(x+2)-7(y-5)=0 पाते हैं।

उदाहरण क्रमांक 5. बिंदु (-2;5) से गुजरने वाली और रेखा 7x+10=0 के समानांतर एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
समाधान। यहां A=7, B=0. सूत्र (2) 7(x+2)=0 देता है, अर्थात। x+2=0. फॉर्मूला (1) लागू नहीं है, क्योंकि इस समीकरण को y के संबंध में हल नहीं किया जा सकता है (यह सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है)।