Jėgos ir įtempimai sijos skerspjūviuose. Didžiausias sukimo įtempis Problemų sprendimo pavyzdžiai
Išilginė jėga N, atsirandanti sijos skerspjūvyje, yra vidinių normaliųjų jėgų, paskirstytų skerspjūvio plote, rezultatas ir yra susietas su normaliaisiais įtempiais, atsirandančiais šioje pjūvyje pagal priklausomybę (4.1):
čia - normalus įtempis savavališkame skerspjūvio taške, priklausančiame elementariai sričiai - strypo skerspjūvio plotas.
Produktas yra elementari vidinė jėga, tenkanti plotui dF.
Išilginės jėgos N reikšmę kiekvienu konkrečiu atveju galima lengvai nustatyti naudojant pjūvio metodą, kaip parodyta ankstesnėje pastraipoje. Norint rasti įtempių a dydžius kiekviename sijos skerspjūvio taške, būtina žinoti jų pasiskirstymo šioje atkarpoje dėsnį.
Normaliųjų įtempių pasiskirstymo sijos skerspjūvyje dėsnis dažniausiai vaizduojamas diagrama, rodančia jų skerspjūvio aukščio arba pločio kitimą. Toks grafikas vadinamas normaliąja įtempių diagrama (diagrama a).
Išraiška (1.2) gali būti patenkinta be galo daugybe įtempių diagramų a tipų (pavyzdžiui, su diagramomis a, parodytomis 4.2 pav.). Todėl norint išsiaiškinti normaliųjų įtempių pasiskirstymo sijos skerspjūviuose dėsnį, būtina atlikti eksperimentą.
Sijos šoniniame paviršiuje prieš jį apkraunant nubrėžkime linijas, statmenas sijos ašiai (5.2 pav.). Kiekviena tokia linija gali būti laikoma sijos skerspjūvio plokštumos pėdsaku. Siją apkraunant ašine jėga P, šios linijos, kaip rodo patirtis, išlieka tiesios ir lygiagrečios viena kitai (jų padėtis apkrovus siją 5.2 pav. parodyta punktyrinėmis linijomis). Tai leidžia daryti prielaidą, kad sijos skerspjūviai, kurie prieš apkrovą yra plokšti, veikiant apkrovai, lieka plokšti. Toks eksperimentas patvirtina plokštumos pjūvių spėjimą (Bernoulli spėjimas), suformuluotą § 6.1 pabaigoje.
Įsivaizduokite pluoštą, sudarytą iš daugybės skaidulų, lygiagrečių jo ašiai.
Bet kurie du skerspjūviai, kai sija ištempta, lieka plokšti ir lygiagretūs vienas kitam, bet tam tikru atstumu vienas nuo kito nutolsta; kiekvienas pluoštas pailgėja tiek pat. O kadangi tie patys pailgėjimai atitinka tuos pačius įtempius, tai visų pluoštų skerspjūvių įtempiai (taigi ir visuose sijos skerspjūvio taškuose) yra lygūs vienas kitam.
Tai leidžia išraiškoje (1.2) paimti a reikšmę iš integralo ženklo. Šiuo būdu,
Taigi sijos skerspjūviuose centrinio įtempimo ar suspaudimo metu susidaro tolygiai paskirstyti normalūs įtempiai, lygūs išilginės jėgos ir skerspjūvio ploto santykiui.
Susilpnėjus kai kurioms sijos sekcijoms (pavyzdžiui, skylėms kniedėms), nustatant įtempius šiose sekcijose, reikia atsižvelgti į tikrąjį susilpnintos sekcijos plotą, lygų bendram plotui, sumažintam plotu. susilpnėjimo
Norint vizualiai pavaizduoti normaliųjų įtempių pokytį strypo skerspjūviuose (išilgai jo ilgio), brėžiamas normaliųjų įtempių grafikas. Šios diagramos ašis yra tiesios linijos atkarpa, lygi strypo ilgiui ir lygiagreti jo ašiai. Su pastovaus skerspjūvio strypu normalių įtempių diagrama turi tokią pačią formą kaip ir išilginių jėgų diagrama (nuo jos skiriasi tik priimta skale). Su kintamo skerspjūvio strypu šių dviejų schemų išvaizda skiriasi; visų pirma, strypo, turinčio laipsnišką skerspjūvių kitimo dėsnį, normaliųjų įtempių diagramoje yra šuolių ne tik pjūviuose, kuriuose veikia koncentruotos ašinės apkrovos (kur išilginių jėgų diagramoje yra šuolių), bet ir tose vietose, kur keičiasi skerspjūvių matmenys. Normaliųjų įtempių pasiskirstymo išilgai strypo schemos konstrukcija nagrinėjama 1.2 pavyzdyje.
Dabar apsvarstykite įtempius pasvirusiose sijos dalyse.
Pažymime kampą tarp pasvirosios pjūvio ir skerspjūvio (6.2 pav., a). Sutikime kampą a laikyti teigiamu, kai skerspjūvis turi būti pasuktas prieš laikrodžio rodyklę šiuo kampu, kad sutaptų su pasvirusiu pjūviu.
Kaip jau žinoma, visų pluoštų, lygiagrečių sijos ašiai, pailgėjimas, kai jis ištemptas arba suspaudžiamas, yra vienodas. Tai leidžia daryti prielaidą, kad įtempiai p visuose pasvirosios (taip pat ir skersinės) pjūvio taškuose yra vienodi.
Apsvarstykite apatinę sijos dalį, nupjautą pjūviu (6.2 pav., b). Iš jo pusiausvyros sąlygų matyti, kad įtempiai yra lygiagrečiai sijos ašiai ir nukreipti priešinga jėga P, o pjūvyje veikianti vidinė jėga lygi P. Čia plotas pasviręs pjūvis yra lygus (kur yra sijos skerspjūvio plotas).
Vadinasi,
kur - normalūs įtempiai sijos skerspjūviuose.
Išskaidykime įtempį į dvi įtempio dedamąsias: pjūvio plokštumai statmeną normalę ir šiai plokštumai lygiagrečią liestinę ta (6.2 pav., c).
Reikšmės ir ta gaunamos iš išraiškų
Įprastas įtempis paprastai laikomas teigiamu įtempimo ir neigiamo suspaudimo atveju. Šlyties įtempis yra teigiamas, jei jį vaizduojantis vektorius linkęs pasukti kūną apie bet kurį tašką C, esantį ant pjūvio vidinės normalės, pagal laikrodžio rodyklę. Ant pav. 6.2, c rodo teigiamą šlyties įtempį ta, o fig. 6.2, d – neigiamas.
Iš (6.2) formulės matyti, kad normaliųjų įtempių reikšmės yra nuo (prie nulio (es a). Taigi didžiausi (absoliučia verte) normalieji įtempiai atsiranda sijos skerspjūviuose. Todėl apskaičiuojant ištemptos arba suspaustos sijos stiprumas atliekamas pagal normalius įtempius jos skerspjūviuose.
9 SKYRIUS Šlytis ir sukimas
Spindulys, parodytas fig. 9.13, turi keturis skyrius. Jei atsižvelgsime į kairiosios ribinės dalies jėgų sistemų pusiausvyros sąlygas, galime parašyti:
1 sklypas |
a (9.13 pav., b). |
|||||||||||||||
Mx 0 : Mcr m x dx 0 ; Mcr |
dx. |
|||||||||||||||
2 sklypas |
kirvis2 |
a b (9.13 pav., c). |
||||||||||||||
Mx 0 : Mcr m x dx M1 0 ; Mcr m x dx M1 . |
||||||||||||||||
3 sklypas |
a b x2 |
a b c (9.13 pav., d). |
||||||||||||||
M0; |
x dx M . |
|||||||||||||||
4 sklypas |
a b c x2 a b c d . |
|||||||||||||||
Mx 0 : Mcr m x dx M1 M2 0 ; |
||||||||||||||||
M kr |
m x dx M1 M2 . |
|||||||||||||||
Taigi, sukimo momentas M cr sijos skerspjūvyje yra lygus visų išorinių jėgų, veikiančių vieną pjūvio pusę, momentų algebrinei sumai.
9.2.2. Apvalaus skerspjūvio tiesiojo strypo sukimo įtempiai ir deformacijos
Kaip jau minėta, bendruosius šlyties įtempius būtų galima nustatyti pagal priklausomybę (9.14), jei būtų žinomas jų pasiskirstymo sijos ruože dėsnis. Neįmanoma analitinės šio dėsnio apibrėžimo verčia mus pereiti prie eksperimentinio sijos deformacijų tyrimo.
V. A. Žilkinas
Apsvarstykite siją, kurios kairysis galas yra standžiai prispaustas, o dešiniajame gale taikomas sukimo momentas M cr. Prieš apkraunant siją momentu, ant jo paviršiaus buvo uždėtas statmenas tinklelis, kurio ląstelės dydis a × b (9.14 pav., a). Pritaikius sukimo momentą M kr, dešinysis sijos galas kairiojo sijos galo atžvilgiu pasisuks kampu, o atstumai tarp susuktos sijos sekcijų nepasikeis, o spinduliai nubrėžti galinėje atkarpoje. liks tiesios, t.y., galima daryti prielaidą, kad plokščių ruožų hipotezė išsipildo (9.14 pav., b). Atkarpos, kurios yra plokščios iki sijos deformacijos, po deformacijos lieka plokščios, sukasi kaip kietieji diskai, vienas kito atžvilgiu tam tikru kampu. Kadangi atstumas tarp sijos sekcijų nesikeičia, išilginė santykinė deformacija x 0 lygi nuliui. Išilginės tinklelio linijos įgauna sraigtinę formą, tačiau atstumas tarp jų išlieka pastovus (taigi, y 0 ), stačiakampės tinklelio ląstelės virsta lygiagrečiais, kurių matmenys nekinta, t.y. pasirinktas bet kurio sijos sluoksnio elementarus tūris yra grynos šlyties sąlygomis.
Išpjaukime dviejuose skerspjūviuose sijos elementą, kurio ilgis dx (9.15 pav.). Apkrovus siją, dešinė elemento dalis kairiosios atžvilgiu pasisuks kampu d. Tokiu atveju cilindro generatorius pasisuks kampu
9 SKYRIUS Šlytis ir sukimas
pamaina. Visi vidinio spindulio cilindrų generatoriai suksis tuo pačiu kampu.
Pagal pav. 9,15 lanko
ab dx d .
kur d dx vadinamas santykiniu posūkio kampu. Jei tiesios strypo skerspjūvių matmenys ir juose veikiantys sukimo momentai tam tikrame ruože yra pastovūs, tai reikšmė taip pat yra pastovi ir lygi viso posūkio kampo šioje atkarpoje ir jo ilgio L santykiui, t.y. L.
Pereinant pagal Huko dėsnį ties šlyties ( G ) įtempiais, gauname
Taigi sijos skerspjūviuose sukimosi metu atsiranda šlyties įtempiai, kurių kryptis kiekviename taške yra statmena spinduliui, jungiančiam šį tašką su pjūvio centru, o vertė yra tiesiogiai proporcinga
V. A. Žilkinas
taško atstumas nuo centro. Centre (esant 0 ) šlyties įtempiai lygūs nuliui; taškuose, esančiuose prie pat išorinio sijos paviršiaus, jie yra didžiausi.
Rastą įtempių pasiskirstymo dėsnį (9.18) pakeisdami lygybe (9.14), gauname
Mcr G dF G 2 dF G J , |
||||||||||||||||
kur J d 4 yra apskrito skersinio inercijos polinis momentas |
||||||||||||||||
sijos kojos dalis. |
||||||||||||||||
Meno kūrinys G.J. |
vadinamas skersinio standumu |
|||||||||||||||
sijos atkarpa sukimo metu. |
||||||||||||||||
Standumo matavimo vienetai yra |
||||||||||||||||
yra N m2, kN m2 ir kt. |
||||||||||||||||
Iš (9.19) randame santykinį pluošto posūkio kampą |
||||||||||||||||
M kr |
||||||||||||||||
ir tada, atmetus iš lygybės (9.18), gauname formulę |
||||||||||||||||
apvalios sijos sukimo įtempiams |
||||||||||||||||
M kr |
||||||||||||||||
Didžiausia įtampos vertė pasiekiama |
||||||||||||||||
d 2 skirsnio taškai: |
||||||||||||||||
M kr |
M kr |
M kr |
||||||||||||||
vadinamas apskrito skerspjūvio veleno pasipriešinimo sukimui momentu.
Atsparumo sukimui momento matmuo - cm3, m3 ir kt.
kuri leidžia nustatyti viso pluošto posūkio kampą
GJ kr. |
Jei sija turi keletą sekcijų su skirtingomis M cr analitinėmis išraiškomis arba skirtingomis skerspjūvių GJ standumo vertėmis, tada
Mcr dx |
|||||
Strypo, kurio ilgis L yra pastovios sekcijos, galuose apkrautas koncentruotomis jėgų poromis, kurių momentas M cr,
Mcr L |
|||||||||||||||||||
| D ir vidinis d . Tik šiuo atveju J ir W cr reikia | |||||||||||||||||||
1 c 4; W kr |
1 c 4; c |
|||||
Tangentinių įtempių diagrama tuščiavidurio strypo pjūvyje parodyta fig. 9.17.
Kietųjų ir tuščiavidurių sijų šlyties įtempių diagramų palyginimas rodo tuščiavidurių velenų pranašumus, nes tokiuose velenuose medžiaga naudojama racionaliau (medžiaga pašalinama mažų įtempių srityje). Dėl to įtempių pasiskirstymas skerspjūvyje tampa tolygesnis, o pati sija tampa lengvesnė,
nei jam vienodo stiprumo sija yra ištisinė – pav. 9.17 skyrius, nepaisant kai kurių
spiečiaus išorinio skersmens padidėjimas.
Bet projektuojant torsionines sijas reikia turėti omenyje, kad žiedinės dalies atveju jų gamyba yra sunkesnė, taigi ir brangesnė.
Apvalaus skerspjūvio sijos tvirtumo ir sukimo standumo skaičiavimas
Apvalaus skerspjūvio sijos tvirtumo ir sukimo standumo skaičiavimas
Stiprumo ir sukimo standumo skaičiavimų tikslas yra nustatyti tokius sijos skerspjūvio matmenis, kuriems esant įtempiai ir poslinkiai neviršytų nurodytų verčių, kurias leidžia eksploatavimo sąlygos. Leidžiamų šlyties įtempių stiprumo sąlyga paprastai rašoma kaip Ši sąlyga reiškia, kad didžiausi šlyties įtempiai, atsirandantys susuktoje sijoje, neturi viršyti atitinkamų leistinų medžiagos įtempių. Leistinas sukimo įtempis priklauso nuo 0 ─ įtempio, atitinkančio pavojingą medžiagos būklę, ir priimto saugos koeficiento n: ─ takumo riba, nt plastikinės medžiagos saugos koeficientas; ─ atsparumas tempimui, nв - trapios medžiagos saugos koeficientas. Dėl to, kad sukimo eksperimentuose sunkiau gauti vertes nei tempimo (suspaudimo) metu, dažniausiai leistini sukimo įtempiai imami priklausomai nuo tos pačios medžiagos leistinų tempimo įtempių. Taigi plienui [ketui. Skaičiuojant susuktų sijų stiprumą, galimi trys užduočių tipai, besiskiriantys stiprumo sąlygų panaudojimo forma: 1) įtempių tikrinimas (bandomasis skaičiavimas); 2) atkarpos parinkimas (projektinis skaičiavimas); 3) leistinos apkrovos nustatymas. 1. Tikrinant įtempius tam tikroms apkrovoms ir sijos matmenims, nustatomi didžiausi joje atsirandantys šlyties įtempiai ir lyginami su nurodytais pagal (2.16) formulę. Jei stiprumo sąlyga netenkinama, tuomet reikia arba padidinti skerspjūvio matmenis, arba sumažinti siją veikiančią apkrovą, arba naudoti didesnio stiprumo medžiagą. 2. Iš stiprumo sąlygos (2.16) parenkant pjūvį tam tikrai apkrovai ir duotai leistino įtempių vertei, nustatoma sijos skerspjūvio poliarinio pasipriešinimo momento reikšmė Kietojo apskritimo skersmenys arba žiedinės sijos pjūvis nustatomi pagal poliarinio pasipriešinimo momento dydį. 3. Nustatant leistiną apkrovą tam tikrai leistinai įtampai ir poliniam pasipriešinimo momentui WP, pirmiausia nustatomas leistinas sukimo momentas MK remiantis (3.16), o po to, naudojant sukimo momento diagramą, nustatomas ryšys tarp K M ir išorinio sukimo momento. akimirkos. Sijos stiprumo apskaičiavimas neatmeta deformacijų, kurios jos veikimo metu yra nepriimtinos. Dideli sijos sukimo kampai yra labai pavojingi, nes jie gali pažeisti detalių apdirbimo tikslumą, jei ši sija yra apdirbimo mašinos konstrukcinis elementas, arba gali atsirasti sukimo virpesių, jei sija perduoda laike kintančius sukimo momentus. , todėl sijos standumas taip pat turi būti skaičiuojamas. Standumo sąlyga rašoma tokia forma: kur ─ didžiausias santykinis pluošto posūkio kampas, nustatytas pagal (2.10) arba (2.11) išraišką. Tada veleno standumo sąlyga įgis tokią formą. Leidžiamo santykinio posūkio kampo vertė nustatoma pagal normas ir įvairiems konstrukciniams elementams bei skirtingų tipų apkrovoms svyruoja nuo 0,15 ° iki 2 ° 1 m sijos ilgio. Tiek stiprumo, tiek standumo sąlygoje, nustatant max arba max , naudosime geometrines charakteristikas: WP ─ polinis pasipriešinimo momentas ir IP ─ polinis inercijos momentas. Akivaizdu, kad šios charakteristikos skirsis apvaliems kietiems ir žiediniams skerspjūviams, kurių šių sekcijų plotas yra toks pat. Atlikus konkrečius skaičiavimus, galima pastebėti, kad žiedinės pjūvio poliniai inercijos ir pasipriešinimo momentai yra daug didesni nei apvalios apskritos pjūvio, nes žiedinė pjūvis neturi arti centro esančių sričių. Todėl sukimo žiedinės sekcijos strypas yra ekonomiškesnis nei vientisos apvalios dalies strypas, t.y. sunaudojama mažiau medžiagų. Tačiau tokio strypo gamyba yra sudėtingesnė, taigi ir brangesnė, ir į šią aplinkybę taip pat reikia atsižvelgti projektuojant strypus, veikiančius sukimo būdu. Sijos stiprumo ir sukimo standumo skaičiavimo metodiką bei efektyvumo samprotavimus iliustruosime pavyzdžiu. 2.2 pavyzdys Palyginkite dviejų velenų svorius, kurių skersiniai matmenys parinkti tam pačiam sukimo momentui MK 600 Nm, esant vienodiems leistiniems įtempiams per pluoštus (mažiausiai 10 cm ilgio) [cm] 90 2,5 Rcm 90 3 Skilimas išilgai pluoštų lenkiant [u] 2 Rck 2,4 Skilimas išilgai pluoštų pjaunant 1 Rck 1,2 - 2,4 pluoštai
Tempiant (suspaudžiant) medieną savo skerspjūviai tik kilti normalus stresas. Atitinkamų elementariųjų jėgų rezultatas o, dA – išilginė jėga N- galima rasti naudojant sekcijos metodą. Kad būtų galima nustatyti normalius įtempius žinomai išilginės jėgos vertei, būtina nustatyti pasiskirstymo per sijos skerspjūvį dėsnį.
Ši problema išspręsta remiantis plokščios dalies protezai(J. Bernoulli hipotezės), kuriame rašoma:
sijos sekcijos, kurios iki deformacijos yra plokščios ir normalios jos ašiai, net ir deformuojant išlieka plokščios ir normalios ašiai.
Kai sija ištempiama (pagaminta, pvz. dėl didesnis gumos matomumas), paviršiuje kam pritaikyta išilginių ir skersinių įbrėžimų sistema (2.7 pav., a), galite įsitikinti, kad rizikos išlieka tiesios ir viena kitai statmenos, keisti tik
kur A yra sijos skerspjūvio plotas. Praleidę indeksą z, galiausiai gauname
Normalioms įtempimams taikoma ta pati ženklo taisyklė kaip ir išilginėms jėgoms, t.y. ištempus, įtempiai laikomi teigiamais.
Tiesą sakant, įtempių pasiskirstymas sijos sekcijose, esančiose greta išorinių jėgų taikymo vietos, priklauso nuo apkrovos taikymo būdo ir gali būti netolygus. Eksperimentiniai ir teoriniai tyrimai rodo, kad šis įtempių pasiskirstymo tolygumo pažeidimas yra vietinis charakteris. Sijos ruožuose, nutolusiuose nuo apkrovos vietos atstumu, maždaug lygiu didžiausiam iš skersinių sijos matmenų, įtempių pasiskirstymą galima laikyti beveik vienodu (2.9 pav.).
Nagrinėjama situacija yra ypatingas atvejis Šventojo Venanto principas, kurį galima suformuluoti taip:
įtempių pasiskirstymas iš esmės priklauso nuo išorinių jėgų taikymo būdo tik šalia pakrovimo vietos.
Pakankamai nutolusiose nuo jėgų taikymo vietos dalyse įtempių pasiskirstymas praktiškai priklauso tik nuo šių jėgų statinio ekvivalento, o ne nuo jų taikymo būdo.
Taigi, taikant Šventojo Venanto principas ir nukrypdami nuo vietinių įtempių klausimo, turime galimybę (tiek šiame, tiek tolesniuose kurso skyriuose) nesidomėti konkrečiais išorinių jėgų taikymo būdais.
Vietose, kur smarkiai pasikeičia sijos skerspjūvio forma ir matmenys, taip pat atsiranda vietinių įtempių. Šis reiškinys vadinamas streso koncentracija, kurių šiame skyriuje nenagrinėsime.
Tais atvejais, kai normalūs įtempiai skirtinguose sijos skerspjūviuose yra nevienodi, jų kitimo išilgai sijos ilgio dėsnį patartina parodyti grafiko pavidalu - normalių įtempių diagramos.
PAVYZDYS 2.3. Sijai, kurios skerspjūvis pakopinis (2.10 pav., a), nubrėžkite išilgines jėgas ir normalus stresas.
Sprendimas. Mes suskaidome spindulį į dalis, pradedant nuo laisvojo pasiuntinio. Pjūvių ribos yra vietos, kur veikia išorinės jėgos ir kinta skerspjūvio matmenys, t.y. sija turi penkias dalis. Braižant tik diagramas N siją tektų padalyti tik į tris dalis.
Pjūvių metodu nustatome išilgines jėgas sijos skerspjūviuose ir sudarome atitinkamą schemą (2.10.6 pav.). Diagramos And konstrukcija iš esmės nesiskiria nuo nagrinėtos 2.1 pavyzdyje, todėl šios konstrukcijos detales praleidžiame.
Įprastus įtempius apskaičiuojame naudodami formulę (2.1), pakeisdami jėgų reikšmes niutonais, o plotus - kvadratiniais metrais.
Kiekvienoje atkarpoje įtempimai yra pastovūs, t.y. e. sklypas šioje srityje yra tiesi linija, lygiagreti abscisių ašiai (2.10 pav., c). Atliekant stiprumo skaičiavimus, pirmiausia domina tie ruožai, kuriuose susidaro didžiausi įtempimai. Svarbu tai, kad nagrinėjamu atveju jos nesutampa su tais atkarpomis, kuriose išilginės jėgos yra didžiausios.
Tais atvejais, kai sijos skerspjūvis per visą ilgį yra pastovus, diagrama a panašus į siužetą N ir skiriasi nuo jo tik masteliu, todėl, žinoma, prasminga sudaryti tik vieną iš nurodytų diagramų.
