गॉस विधि एक सार्वभौमिक सूत्र है। गॉस विधि (अज्ञात का लगातार बहिष्करण)

मान लीजिए सिस्टम दिया गया है, ∆≠0। (एक)
गॉस विधिअज्ञात के लगातार उन्मूलन की एक विधि है।

गॉस विधि का सार (1) को त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाली प्रणाली में बदलना है, जिससे सभी अज्ञात के मान क्रमिक रूप से (विपरीत) प्राप्त होते हैं। आइए कम्प्यूटेशनल योजनाओं में से एक पर विचार करें। इस सर्किट को सिंगल डिवीजन सर्किट कहा जाता है। तो आइए इस आरेख पर एक नज़र डालते हैं। मान लीजिए a 11 ≠0 (प्रमुख तत्व) पहले समीकरण को a 11 से विभाजित करता है। प्राप्त
(2)
समीकरण (2) का उपयोग करते हुए, सिस्टम के शेष समीकरणों से अज्ञात x 1 को बाहर करना आसान है (इसके लिए, समीकरण (2) को प्रत्येक समीकरण से घटाना पर्याप्त है, जिसे x 1 पर संबंधित गुणांक से पहले गुणा किया जाता है), अर्थात , पहले चरण में हम प्राप्त करते हैं
.
दूसरे शब्दों में, चरण 1 पर, बाद की पंक्तियों का प्रत्येक तत्व, दूसरे से शुरू होकर, मूल तत्व और उसके "प्रक्षेपण" के पहले स्तंभ और पहली (रूपांतरित) पंक्ति के बीच के अंतर के बराबर है।
इसके बाद, पहले समीकरण को अकेला छोड़कर, हम पहले चरण में प्राप्त प्रणाली के शेष समीकरणों पर एक समान परिवर्तन करेंगे: हम उनमें से एक प्रमुख तत्व के साथ एक समीकरण का चयन करते हैं और इसका उपयोग शेष समीकरणों से x 2 को बाहर करने के लिए करते हैं। (चरण दो)।
n चरणों के बाद, (1) के बजाय हमें एक समतुल्य प्रणाली मिलती है
(3)
इस प्रकार, पहले चरण में, हम एक त्रिकोणीय प्रणाली (3) प्राप्त करेंगे। इस कदम को आगे कहा जाता है।
दूसरे चरण में (रिवर्स मूव) हम क्रमिक रूप से (3) मान x n , x n -1 , …, x 1 से पाते हैं।
आइए प्राप्त समाधान को x 0 के रूप में निरूपित करें। तब अंतर ε=b-A x 0 अवशिष्ट कहा जाता है.
यदि ε=0, तो प्राप्त हल x 0 सही है।

गॉस पद्धति द्वारा गणना दो चरणों में की जाती है:

1. पहले चरण को विधि का सीधा कोर्स कहा जाता है। पहले चरण में, मूल प्रणाली को त्रिकोणीय रूप में परिवर्तित किया जाता है।
2. दूसरे चरण को रिवर्स कहा जाता है। दूसरे चरण में, मूल के समतुल्य एक त्रिकोणीय प्रणाली को हल किया जाता है।

गुणांक a 11 , a 22 , ..., प्रमुख तत्व कहलाते हैं।
प्रत्येक चरण में, यह माना गया कि प्रमुख तत्व शून्य से भिन्न है। यदि ऐसा नहीं है, तो किसी अन्य तत्व को नेता के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, जैसे कि सिस्टम के समीकरणों को फिर से व्यवस्थित करना।

गॉस विधि का उद्देश्य

गॉस पद्धति को सिस्टम को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है रेखीय समीकरण. समाधान के प्रत्यक्ष तरीकों को संदर्भित करता है।

गॉस विधि के प्रकार

1. शास्त्रीय गॉस विधि;
2. गॉस पद्धति में संशोधन। गॉसियन पद्धति के संशोधनों में से एक मुख्य तत्व की पसंद वाला सर्किट है। मुख्य तत्व की पसंद के साथ गॉस पद्धति की एक विशेषता समीकरणों का ऐसा क्रमचय है ताकि k-वें चरण में अग्रणी तत्व k-वें कॉलम में सबसे बड़ा तत्व हो।
3. जॉर्डन-गॉस विधि;

जॉर्डन-गॉस पद्धति और शास्त्रीय एक के बीच का अंतर गॉस विधिआयत नियम को लागू करना शामिल है जब समाधान की खोज की दिशा मुख्य विकर्ण (पहचान मैट्रिक्स में परिवर्तन) के साथ होती है। गॉस पद्धति में, समाधान की खोज की दिशा स्तंभों के साथ होती है (त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ एक प्रणाली में परिवर्तन)।
अंतर स्पष्ट कीजिए जॉर्डन-गॉस विधिगॉस विधि से उदाहरणों पर।

गॉस समाधान उदाहरण
आइए सिस्टम को हल करें:

गणना की सुविधा के लिए, हम लाइनों को स्वैप करते हैं:

दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ें

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। पहली पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ें

पहली पंक्ति से हम x 3 व्यक्त करते हैं:
दूसरी पंक्ति से हम x 2 व्यक्त करते हैं:
तीसरी पंक्ति से हम x 1 व्यक्त करते हैं:

जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण
हम उसी SLAE को जॉर्डनो-गॉस पद्धति का उपयोग करके हल करेंगे।

हम क्रमिक रूप से आरई के समाधान तत्व का चयन करेंगे, जो मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर स्थित है।
सक्षम करने वाला तत्व (1) के बराबर है।



एनई \u003d एसई - (ए * बी) / आरई
आरई - सक्षम तत्व (1), ए और बी - मैट्रिक्स तत्व एसटीई और आरई के तत्वों के साथ एक आयत बनाते हैं।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:

एक्स 1	x2	एक्स 3	बी
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

सक्षम करने वाला तत्व (3) के बराबर है।
हल करने वाले तत्व के स्थान पर, हमें 1 मिलता है, और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, चार संख्याओं का चयन करें जो आयत के शीर्ष पर स्थित हैं और हमेशा आरई के सक्षम करने वाले तत्व को शामिल करें।

एक्स 1	x2	एक्स 3	बी
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

सक्षम करने वाला तत्व (-4) है।
हल करने वाले तत्व के स्थान पर, हमें 1 मिलता है, और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, चार संख्याओं का चयन करें जो आयत के शीर्ष पर स्थित हैं और हमेशा आरई के सक्षम करने वाले तत्व को शामिल करें।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:

एक्स 1	x2	एक्स 3	बी
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

उत्तर: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

गॉस पद्धति का कार्यान्वयन

गॉस विधि कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में कार्यान्वित की जाती है, विशेष रूप से: पास्कल, सी ++, पीएचपी, डेल्फी, और गॉस पद्धति का एक ऑनलाइन कार्यान्वयन भी है।

गॉस विधि का उपयोग करना

गेम थ्योरी में गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

गेम थ्योरी में, किसी खिलाड़ी की अधिकतम इष्टतम रणनीति खोजने पर, समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे गॉस विधि द्वारा हल किया जाता है।

अवकल समीकरणों को हल करने में गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

अवकल समीकरण के किसी विशेष समाधान की खोज करने के लिए, पहले लिखित विशेष समाधान (y=f(A,B,C,D)) के लिए संबंधित डिग्री के डेरिवेटिव खोजें, जिन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है। खोजने के लिए आगे चर ए, बी, सी, डीसमीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे गॉस विधि द्वारा हल किया जाता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में जॉर्डनो-गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

पर रैखिक प्रोग्रामिंग, विशेष रूप से, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर एक सिंप्लेक्स तालिका को बदलने के लिए सिंप्लेक्स विधि में, आयत नियम का उपयोग किया जाता है, जो जॉर्डन-गॉस विधि का उपयोग करता है।

आज हम रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस पद्धति से निपटते हैं बीजगणितीय समीकरण. आप क्रैमर विधि द्वारा समान SLAE को हल करने के लिए समर्पित पिछले लेख में पढ़ सकते हैं कि ये प्रणालियाँ क्या हैं। गॉस पद्धति के लिए किसी विशिष्ट ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, केवल देखभाल और निरंतरता की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बावजूद कि गणित के दृष्टिकोण से, यह इसके आवेदन के लिए पर्याप्त होगा स्कूल की तैयारीछात्रों को अक्सर इस पद्धति में महारत हासिल करने में कठिनाई होती है। इस लेख में, हम उन्हें शून्य करने की कोशिश करेंगे!

गॉस विधि

एम गॉस विधि- अधिकांश सार्वभौमिक तरीका SLAE समाधान (के अपवाद के साथ, ठीक है, बहुत बड़े सिस्टम). पहले के विचार के विपरीत, यह न केवल सिस्टम के लिए उपयुक्त है केवल निर्णय, लेकिन उन प्रणालियों के लिए भी जिनके समाधान अनंत सेट. यहां तीन विकल्प हैं।

1. सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है);
2. सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं;
3. कोई समाधान नहीं है, सिस्टम असंगत है।

तो, हमारे पास एक प्रणाली है (इसे एक समाधान होने दें), और हम इसे गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करने जा रहे हैं। यह काम किस प्रकार करता है?

गाऊसी पद्धति में दो चरण होते हैं - प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

प्रत्यक्ष गॉस विधि

सबसे पहले, हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मुख्य मैट्रिक्स में मुक्त सदस्यों का एक स्तंभ जोड़ते हैं।

गॉसियन पद्धति का संपूर्ण सार प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से इस मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध (या, जैसा कि वे कहते हैं, त्रिकोणीय) रूप में कम करना है। इस रूप में, मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के नीचे (या ऊपर) केवल शून्य होना चाहिए।

क्या किया जा सकता है:

1. आप मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं;
2. यदि मैट्रिक्स में समान (या आनुपातिक) पंक्तियाँ हैं, तो आप उनमें से एक को छोड़कर सभी को हटा सकते हैं;
3. आप किसी स्ट्रिंग को किसी भी संख्या से गुणा या विभाजित कर सकते हैं (शून्य को छोड़कर);
4. शून्य रेखाएँ हटा दी जाती हैं;
5. आप एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करके एक स्ट्रिंग में जोड़ सकते हैं।

रिवर्स गॉस विधि

सिस्टम को इस तरह से बदलने के बाद, एक अज्ञात एक्सएन ज्ञात हो जाता है, और पहले से ज्ञात x को सिस्टम के समीकरणों में पहले तक प्रतिस्थापित करते हुए, शेष सभी अज्ञात को विपरीत क्रम में खोजना संभव है।

जब इंटरनेट हमेशा हाथ में हो, तो आप गॉस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं ऑनलाइन ।आपको बस इतना करना है कि ऑनलाइन कैलकुलेटर में ऑड्स दर्ज करें। लेकिन आपको स्वीकार करना चाहिए, यह महसूस करना अधिक सुखद है कि उदाहरण को कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा नहीं, बल्कि आपके स्वयं के मस्तिष्क द्वारा हल किया गया था।

गॉस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

और अब - एक उदाहरण ताकि सब कुछ स्पष्ट और समझ में आ जाए। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है, और इसे गॉस विधि द्वारा हल करना आवश्यक है:

सबसे पहले, आइए संवर्धित मैट्रिक्स लिखें:

अब आइए परिवर्तनों पर एक नज़र डालते हैं। याद रखें कि हमें मैट्रिक्स का त्रिकोणीय रूप प्राप्त करने की आवश्यकता है। पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ें और प्राप्त करें:

फिर तीसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी से जोड़ें:

पहली पंक्ति को (6) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (13) से गुणा करें। आइए पहली पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ें:

वोइला - सिस्टम को उपयुक्त रूप में लाया गया है। यह अज्ञात को खोजने के लिए बनी हुई है:

सिस्टम में यह उदाहरणएक अनूठा समाधान है। हम एक अलग लेख में समाधान के अनंत सेट के साथ सिस्टम के समाधान पर विचार करेंगे। शायद सबसे पहले आपको यह नहीं पता होगा कि मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्मेशन कहां से शुरू करें, लेकिन उचित अभ्यास के बाद आप इस पर अपना हाथ जमा लेंगे और गॉसियन एसएलईई को नट्स की तरह क्लिक करेंगे। और यदि आप अचानक एक एसएलएयू देखते हैं, जो क्रैक करने के लिए बहुत कठिन हो जाता है, तो हमारे लेखकों से संपर्क करें! आप पत्राचार में एक आवेदन छोड़ कर कर सकते हैं। हम सब मिलकर किसी भी समस्या का समाधान करेंगे!

गॉस विधि, जिसे अज्ञातों के क्रमिक विलोपन की विधि भी कहा जाता है, में निम्नलिखित शामिल हैं। प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को इस रूप में लाया जाता है कि इसके गुणांक का मैट्रिक्स निकला ट्रैपोज़ाइडल (त्रिकोणीय या चरणबद्ध के समान) या ट्रेपेज़ॉइडल के करीब (गॉस विधि का सीधा कोर्स, फिर - बस एक सीधा कदम)। ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण और इसका समाधान ऊपर की आकृति में दिखाया गया है।

ऐसी प्रणाली में, अंतिम समीकरण में केवल एक चर होता है और इसका मान विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है। तब इस चर का मान पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है ( गाऊसी उलटा , फिर - बस एक रिवर्स मूव), जिससे पिछला वेरिएबल मिलता है, और इसी तरह।

एक समलंब (त्रिकोणीय) प्रणाली में, जैसा कि हम देखते हैं, तीसरे समीकरण में अब चर शामिल नहीं हैं वाईतथा एक्स, और दूसरा समीकरण - चर एक्स .

सिस्टम के मैट्रिक्स के ट्रैपेज़ॉइडल आकार लेने के बाद, सिस्टम की संगतता के प्रश्न को सुलझाना, समाधानों की संख्या निर्धारित करना और स्वयं समाधान खोजना मुश्किल नहीं है।

विधि के लाभ:

1. तीन से अधिक समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि क्रैमर विधि की तरह बोझिल नहीं होती है, क्योंकि गॉस पद्धति को हल करते समय कम गणनाओं की आवश्यकता होती है;
2. गॉस पद्धति का उपयोग करके, आप रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणालियों को हल कर सकते हैं, अर्थात सामान्य निर्णय(और हम इस पाठ में उनका विश्लेषण करेंगे), और क्रैमर की विधि का उपयोग करके, हम केवल यह कह सकते हैं कि सिस्टम अनिश्चित है;
3. आप रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल कर सकते हैं जिनमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं है (हम इस पाठ में उनका विश्लेषण भी करेंगे);
4. विधि प्राथमिक (स्कूल) विधियों पर आधारित है - अज्ञात के प्रतिस्थापन की विधि और समीकरणों को जोड़ने की विधि, जिसे हमने संबंधित लेख में छुआ है।

सभी को सरलता से प्रभावित करने के लिए जिसके साथ रैखिक समीकरणों के ट्रैपोज़ाइडल (त्रिकोणीय, चरण) सिस्टम हल किए जाते हैं, हम रिवर्स स्ट्रोक का उपयोग करके ऐसी प्रणाली का समाधान प्रस्तुत करते हैं। इस प्रणाली का एक त्वरित समाधान चित्र में पाठ की शुरुआत में दिखाया गया था।

उदाहरण 1रिवर्स चाल का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। इस ट्रैपोज़ाइडल सिस्टम में, चर जेडतीसरे समीकरण से विशिष्ट रूप से पाया जाता है। हम इसके मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं वाई:

अब हम दो चरों के मान जानते हैं - जेडतथा वाई. हम उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं एक्स:

पिछले चरणों से, हम समीकरणों की प्रणाली का समाधान लिखते हैं:

रेखीय समीकरणों की ऐसी समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त करने के लिए, जिसे हमने बहुत सरलता से हल किया है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तनों से जुड़ी एक सीधी चाल को लागू करना आवश्यक है। यह बहुत कठिन भी नहीं है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ की स्कूल पद्धति को दोहराते हुए, हमने पाया कि सिस्टम के एक और समीकरण को सिस्टम के समीकरणों में से एक में जोड़ा जा सकता है, और प्रत्येक समीकरण को कुछ संख्याओं से गुणा किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें दिए गए के समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है। इसमें, एक समीकरण में पहले से ही केवल एक चर होता है, जिसके मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक समाधान पर आते हैं। ऐसा जोड़ सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तन के प्रकारों में से एक है। गॉस पद्धति का उपयोग करते समय, हम कई प्रकार के रूपांतरणों का उपयोग कर सकते हैं।

उपरोक्त एनीमेशन दिखाता है कि कैसे समीकरणों की प्रणाली धीरे-धीरे एक ट्रैपेज़ॉयडल में बदल जाती है। यही है, वह जिसे आपने पहले एनीमेशन में देखा था और यह सुनिश्चित किया था कि इससे सभी अज्ञात के मूल्यों को खोजना आसान हो। इस तरह के परिवर्तन कैसे करें और निश्चित रूप से, उदाहरणों पर आगे चर्चा की जाएगी।

समीकरणों की प्रणाली में और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में किसी भी संख्या में समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय कर सकते हैं:

1. स्वैप लाइनें (इस लेख की शुरुआत में इसका उल्लेख किया गया था);
2. यदि अन्य परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समान या आनुपातिक रेखाएँ दिखाई देती हैं, तो उन्हें एक को छोड़कर हटाया जा सकता है;
3. "शून्य" पंक्तियों को हटाएं, जहां सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
4. किसी भी स्ट्रिंग को किसी संख्या से गुणा या विभाजित करें;
5. किसी भी पंक्ति में किसी संख्या से गुणा की गई दूसरी पंक्ति जोड़ें।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हम दिए गए एक के बराबर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं।

एल्गोरिथम और गॉस विधि द्वारा हल करने के उदाहरण प्रणाली के एक वर्ग मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है

पहले रैखिक समीकरणों के निकाय के समाधान पर विचार करें जिसमें अज्ञातों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है। ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्गाकार होता है, अर्थात इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

स्कूल के तरीकों का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते हुए, हमने समीकरणों में से एक शब्द को एक निश्चित संख्या से गुणा किया, ताकि दो समीकरणों में पहले चर के गुणांक विपरीत संख्याएँ हों। समीकरण जोड़ते समय, यह चर समाप्त हो जाता है। गॉस विधि इसी तरह काम करती है।

सरल करने के लिए दिखावटसमाधान सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स की रचना करें:

इस मैट्रिक्स में, अज्ञात के गुणांक ऊर्ध्वाधर बार से पहले बाईं ओर स्थित होते हैं, और मुक्त सदस्य ऊर्ध्वाधर बार के दाईं ओर स्थित होते हैं।

चरों के गुणांकों को विभाजित करने की सुविधा के लिए (एक से विभाजन प्राप्त करने के लिए) सिस्टम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें. हम दिए गए के समतुल्य एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, क्योंकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

नए पहले समीकरण के साथ चर को समाप्त करें एक्सदूसरे और बाद के सभी समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति को मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में (हमारे मामले में द्वारा) से गुणा करें, और पहली पंक्ति को (हमारे मामले में) से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ें।

ऐसा इसलिए संभव है

अगर हमारे समीकरणों की प्रणाली थी तीन से अधिक, फिर पहली पंक्ति, संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके, एक ऋण चिह्न के साथ, बाद के सभी समीकरणों में भी जोड़ा जाना चाहिए।

नतीजतन, हम दिए गए सिस्टम के बराबर मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं नई प्रणालीसमीकरण, जिसमें दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरण एक चर शामिल नहीं है एक्स :

परिणामी प्रणाली की दूसरी पंक्ति को सरल बनाने के लिए, हम इसे गुणा करते हैं और फिर से इस प्रणाली के समतुल्य समीकरणों की प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

अब, परिणामी निकाय के प्रथम समीकरण को अपरिवर्तित रखते हुए, दूसरे समीकरण का उपयोग करके, हम चर को समाप्त करते हैं वाई बाद के सभी समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, सिस्टम मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति को (हमारे मामले में, द्वारा) गुणा करके जोड़ें।

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो दूसरी पंक्ति को बाद के सभी समीकरणों में जोड़ा जाना चाहिए, जो संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके एक ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है।

नतीजतन, हम फिर से रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली के बराबर प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

हमने दिए गए एक के बराबर रैखिक समीकरणों की एक समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त की है:

यदि हमारे उदाहरण की तुलना में समीकरणों और चरों की संख्या अधिक है, तो चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि सिस्टम मैट्रिक्स समलम्बाकार नहीं हो जाता, जैसा कि हमारे डेमो उदाहरण में है।

हम "अंत से" समाधान ढूंढेंगे - उल्टा. इसके लिए पिछले समीकरण से हम निर्धारित करते हैं जेड:
.
इस मान को पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, पाना वाई:

पहले समीकरण से पाना एक्स:

उत्तर: समीकरणों के इस निकाय का हल - .

: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। यदि सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं, तो उत्तर भी होगा, और यह इस पाठ के पांचवें भाग का विषय है।

गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

हमारे सामने फिर से रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत और निश्चित प्रणाली का एक उदाहरण है, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है। एल्गोरिथम से हमारे डेमो उदाहरण से अंतर यह है कि पहले से ही चार समीकरण और चार अज्ञात हैं।

उदाहरण 4गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। खर्च करते हैं प्रारंभिक कार्य. गुणांक के अनुपात के साथ इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, आपको दूसरी पंक्ति के दूसरे कॉलम में एक इकाई प्राप्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएं, और परिणामी दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें।

आइए अब हम तीसरे और चौथे समीकरणों से चर का वास्तविक विलोपन करते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, गुणा करके, तीसरी पंक्ति में और दूसरी, गुणा करके, चौथी पंक्ति में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को हटाते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरे को गुणा करके जोड़ें। हमें ट्रेपेज़ॉइडल आकार का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है।

हमने समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है, जो इसके बराबर है यह प्रणाली:

इसलिए, परिणामी और दी गई प्रणालियाँ सुसंगत और निश्चित हैं। अंतिम निर्णय"अंत से" खोजें। चौथे समीकरण से, हम चर "x चौथा" के मान को सीधे व्यक्त कर सकते हैं:

हम इस मान को सिस्टम के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

,

,

अंत में, मूल्य प्रतिस्थापन

पहले समीकरण में देता है

,

जहाँ हम "x पहले" पाते हैं:

उत्तर: समीकरणों के इस निकाय का एक अद्वितीय हल है। .

आप क्रैमर की विधि द्वारा हल करने वाले कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की भी जांच कर सकते हैं: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम का एक अनूठा समाधान है।

मिश्र धातुओं के लिए एक समस्या के उदाहरण पर लागू समस्याओं की गॉस विधि द्वारा समाधान

भौतिक दुनिया की वास्तविक वस्तुओं को मॉडल करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग किया जाता है। आइए इन समस्याओं में से एक को हल करें - मिश्र धातुओं के लिए। समान कार्य - मिश्रण, लागत या पर कार्य विशिष्ट गुरुत्वमाल के समूह में अलग-अलग सामान और इसी तरह।

उदाहरण 5मिश्रधातु के तीन टुकड़े हैं कुल वजन 150 किग्रा। पहले मिश्र धातु में 60% तांबा, दूसरा - 30%, तीसरा - 10% होता है। वहीं, दूसरी और तीसरी मिश्रधातु को मिलाकर, पहली मिश्रधातु की तुलना में तांबा 28.4 किलोग्राम कम है, और तीसरी मिश्र धातु में, दूसरी मिश्र धातु की तुलना में तांबा 6.2 किलोग्राम कम है। मिश्र धातु के प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

दूसरे और तीसरे समीकरणों को 10 से गुणा करने पर, हमें रैखिक समीकरणों की समतुल्य प्रणाली प्राप्त होती है:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

ध्यान, सीधी चाल। एक पंक्ति को जोड़कर (हमारे मामले में, घटाकर) एक संख्या से गुणा करके (हम इसे दो बार लागू करते हैं), सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं:

सीधी दौड़ समाप्त हो गई है। हमें ट्रेपेज़ॉइडल आकार का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिला।

आइए रिवर्स का उपयोग करें। हम अंत से एक समाधान पाते हैं। हम देखते है कि ।

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं

तीसरे समीकरण से -

आप क्रैमर की विधि द्वारा हल करने वाले कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की भी जांच कर सकते हैं: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम का एक अनूठा समाधान है।

गॉस पद्धति की सरलता का प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इसका आविष्कार करने में केवल 15 मिनट का समय लिया। गॉस के काम से उनके नाम की पद्धति के अलावा, "हमें जो अविश्वसनीय और अप्राकृतिक लगता है उसे बिल्कुल असंभव के साथ नहीं मिलाना चाहिए" एक तरह का है संक्षिप्त निर्देशखोज करने के लिए।

कई लागू समस्याओं में, तीसरा प्रतिबंध नहीं हो सकता है, अर्थात, तीसरा समीकरण, फिर गॉस पद्धति का उपयोग करके तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, या, इसके विपरीत, समीकरणों की तुलना में कम अज्ञात हैं। अब हम ऐसे समीकरणों के निकाय को हल करना शुरू करते हैं।

गॉस विधि का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई प्रणाली सुसंगत या असंगत है या नहीं एनके साथ रैखिक समीकरण एनचर।

गॉस विधि और अनंत समाधानों के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली

अगला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत लेकिन अनिश्चित प्रणाली है, अर्थात इसके अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद (पंक्तियों को क्रमबद्ध करना, एक निश्चित संख्या से पंक्तियों को गुणा करना और विभाजित करना, एक पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ना), प्रपत्र की पंक्तियाँ

यदि सभी समीकरणों में रूप है

मुक्त सदस्य शून्य के बराबर हैं, इसका मतलब है कि सिस्टम अनिश्चित है, अर्थात, इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं, और इस प्रकार के समीकरण "अनावश्यक" हैं और सिस्टम से बाहर रखा गया है।

उदाहरण 6

समाधान। आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करें। फिर, पहले समीकरण का उपयोग करके, हम चर को बाद के समीकरणों से हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में, पहले को क्रमशः से गुणा करके जोड़ें:

अब दूसरी पंक्ति को तीसरी और चौथी से जोड़ते हैं।

नतीजतन, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं

अंतिम दो समीकरण समीकरण के रूप बन गए हैं। ये समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट हैं और इन्हें त्याग दिया जा सकता है।

दूसरे समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, हम और के लिए मनमाना मान चुन सकते हैं, फिर के लिए मान स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा: . पहले समीकरण से, के लिए मान भी विशिष्ट रूप से पाया जाता है: .

दी गई और अंतिम दोनों प्रणालियाँ संगत लेकिन अनिश्चित हैं, और सूत्र हैं

मनमानी के लिए और दिए गए सिस्टम के सभी समाधान हमें दें।

गॉस विधि और रेखीय समीकरणों की प्रणाली जिनका कोई समाधान नहीं है

निम्नलिखित उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक असंगत प्रणाली है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। ऐसी समस्याओं का उत्तर निम्नानुसार तैयार किया गया है: प्रणाली के पास कोई समाधान नहीं है।

जैसा कि पहले उदाहरण के संबंध में पहले ही उल्लेख किया गया है, सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद, फॉर्म की लाइनें

प्रपत्र के एक समीकरण के अनुरूप

यदि उनमें से कम से कम एक गैर-शून्य मुक्त पद (अर्थात) के साथ एक समीकरण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है, और यह इसके समाधान को पूरा करता है।

उदाहरण 7गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं। पहले समीकरण का उपयोग करके, हम चर को बाद के समीकरणों से बाहर कर देते हैं। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से गुणा करें, पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से गुणा करें, और पहली पंक्ति को चौथी पंक्ति से गुणा करें।

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। गुणांकों के पूर्णांक अनुपात प्राप्त करने के लिए, हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं।

तीसरे और चौथे समीकरण से बाहर करने के लिए, दूसरे को, से गुणा करके, तीसरी पंक्ति में, और दूसरे को, से गुणा करके, चौथे में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को हटाते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरे को गुणा करके जोड़ें।

दी गई प्रणाली इस प्रकार निम्नलिखित के बराबर है:

परिणामी प्रणाली असंगत है, क्योंकि इसका अंतिम समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य से संतुष्ट नहीं हो सकता है। इसलिए, इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।मान लीजिए कि हमें सिस्टम से समाधान खोजने की आवश्यकता है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात चर
मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

गॉस पद्धति का सारअज्ञात चरों के क्रमिक बहिष्करण में शामिल हैं: पहला, the एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके, तब x2सभी समीकरणों का, तीसरे से शुरू करते हुए, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर ही रहता है एक्स एन. अज्ञात चरों के क्रमिक उन्मूलन के लिए प्रणाली के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. गॉस पद्धति के आगे बढ़ने के पूरा होने के बाद, पिछले समीकरण से हम पाते हैं एक्स एन, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके गणना की जाती है एक्सएन-1, और इसी तरह, पहले समीकरण से पाया जाता है एक्स 1. सिस्टम के अंतिम समीकरण से पहले तक जाने पर अज्ञात चर की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

अज्ञात चरों को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथम का संक्षेप में वर्णन करें।

हम मान लेंगे कि , क्योंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में पहले समीकरण को गुणा करके जोड़ें, पहले गुणा को तीसरे समीकरण में जोड़ें, और इसी तरह, एन-वेंसे गुणा करके पहला समीकरण जोड़ें। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली रूप ले लेगी

जहाँ एक .

यदि हम व्यक्त करते हैं तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे एक्स 1सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया। तो चर एक्स 1दूसरे से शुरू करते हुए, सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

इसके बाद, हम इसी तरह कार्य करते हैं, लेकिन परिणामी प्रणाली के केवल एक हिस्से के साथ, जो आंकड़े में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में दूसरे से गुणा करके जोड़ें, दूसरे से गुणा करके चौथे समीकरण में जोड़ें, और इसी तरह, एन-वेंसे गुणा करके दूसरा समीकरण जोड़ें। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली रूप ले लेगी

जहाँ एक . तो चर x2तीसरे से शुरू करते हुए, सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं एक्स 3, जबकि हम आकृति में अंकित प्रणाली के भाग के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉस पद्धति का सीधा कोर्स तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम फॉर्म नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस पद्धति का उल्टा कोर्स शुरू करते हैं: हम गणना करते हैं एक्स एनप्राप्त मूल्य का उपयोग करके अंतिम समीकरण से एक्स एनपाना एक्सएन-1अंतिम समीकरण से, और इसी तरह, हम पाते हैं एक्स 1पहले समीकरण से।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गॉसियन विधि।

इस लेख में, इस पद्धति को रैखिक समीकरणों के सिस्टम (SLAE) को हल करने के तरीके के रूप में माना गया है। विधि विश्लेषणात्मक है, अर्थात यह आपको एक समाधान एल्गोरिथम लिखने की अनुमति देती है सामान्य दृष्टि से, और फिर वहाँ विशिष्ट उदाहरणों से मूल्यों को स्थानापन्न करें। मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों के विपरीत, गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, आप उन लोगों के साथ भी काम कर सकते हैं जिनके असीम रूप से कई समाधान हैं। या उनके पास यह बिल्कुल नहीं है।

गॉस क्या मतलब है

सबसे पहले आपको समीकरणों की हमारी प्रणाली को लिखने की जरूरत है यह इस तरह दिखता है। सिस्टम लिया जाता है:

गुणांक एक तालिका के रूप में और दाईं ओर एक अलग कॉलम में लिखे गए हैं - मुक्त सदस्य। मुक्त सदस्यों वाले कॉलम को सुविधा के लिए अलग किया जाता है। इस कॉलम को शामिल करने वाले मैट्रिक्स को विस्तारित कहा जाता है।

इसके अलावा, गुणांक वाले मुख्य मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय आकार में कम किया जाना चाहिए। गॉस विधि द्वारा प्रणाली को हल करने का यह मुख्य बिंदु है। सीधे शब्दों में कहें, कुछ जोड़तोड़ के बाद, मैट्रिक्स को इस तरह दिखना चाहिए, ताकि इसके निचले बाएं हिस्से में केवल शून्य हो:

फिर, अगर हम लिखते हैं नया मैट्रिक्सफिर से समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में, आप देख सकते हैं कि अंतिम पंक्ति में पहले से ही जड़ों में से एक का मान है, जिसे बाद में उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, एक और जड़ मिलती है, और इसी तरह।

गॉस विधि द्वारा विलयन का यह विवरण सर्वाधिक है सामान्य शब्दों में. और क्या होगा अगर अचानक सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है? या उनकी अनंत संख्या है? इन और कई अन्य प्रश्नों का उत्तर देने के लिए गॉस विधि द्वारा समाधान में प्रयुक्त सभी तत्वों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

मैट्रिसेस, उनके गुण

मैट्रिक्स में कोई छिपा हुआ अर्थ नहीं है। यह आसान है सुविधाजनक तरीकाउनके साथ बाद के संचालन के लिए डेटा रिकॉर्ड करना। स्कूली बच्चों को भी इनसे नहीं डरना चाहिए।

मैट्रिक्स हमेशा आयताकार होता है, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक होता है। यहां तक ​​​​कि गॉस पद्धति में, जहां सब कुछ एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्माण के लिए उबलता है, प्रविष्टि में एक आयत दिखाई देती है, केवल शून्य के साथ उस स्थान पर जहां कोई संख्या नहीं है। शून्य को छोड़ा जा सकता है, लेकिन वे निहित हैं।

मैट्रिक्स का आकार होता है। इसकी "चौड़ाई" पंक्तियों की संख्या (एम) है, इसकी "लंबाई" स्तंभों की संख्या (एन) है। तब मैट्रिक्स A का आकार (आमतौर पर उनके पदनाम के लिए बड़े लैटिन अक्षरों का उपयोग किया जाता है) को A m×n के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि m=n, तो यह मैट्रिक्स वर्गाकार है, और m=n इसकी कोटि है। तदनुसार, मैट्रिक्स A के किसी भी तत्व को उसकी पंक्ति और स्तंभ की संख्या से निरूपित किया जा सकता है: a xy ; x - पंक्ति संख्या, परिवर्तन, y - स्तंभ संख्या, परिवर्तन।

बी समाधान का मुख्य बिंदु नहीं है। सिद्धांत रूप में, सभी संचालन सीधे समीकरणों के साथ किए जा सकते हैं, लेकिन अंकन अधिक बोझिल हो जाएगा, और इसमें भ्रमित होना बहुत आसान होगा।

सिद्ध

मैट्रिक्स में एक निर्धारक भी होता है। यह बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता. अब इसका अर्थ पता लगाना इसके लायक नहीं है, आप बस यह दिखा सकते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है, और फिर बताएं कि यह मैट्रिक्स के किन गुणों को निर्धारित करता है। निर्धारक को खोजने का सबसे आसान तरीका विकर्णों के माध्यम से होता है। मैट्रिक्स में काल्पनिक विकर्ण खींचे जाते हैं; उनमें से प्रत्येक पर स्थित तत्वों को गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है: दाईं ओर ढलान वाले विकर्ण - "प्लस" चिह्न के साथ, बाईं ओर ढलान के साथ - "ऋण" चिह्न के साथ।

यह ध्यान रखना अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निर्धारक की गणना केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है। एक आयताकार मैट्रिक्स के लिए, आप निम्न कार्य कर सकते हैं: पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या में से सबसे छोटी संख्या चुनें (इसे k होने दें), और फिर मैट्रिक्स में यादृच्छिक रूप से k कॉलम और k पंक्तियों को चिह्नित करें। चयनित स्तंभों और पंक्तियों के चौराहे पर स्थित तत्व एक नया वर्ग मैट्रिक्स बनाएंगे। यदि ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो इसे मूल आयताकार मैट्रिक्स का आधार लघु कहा जाता है।

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, निर्धारक की गणना करने में कोई दिक्कत नहीं होती है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि मैट्रिक्स में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं, या कोई भी नहीं है। ऐसे दुखद मामले में, आपको आगे जाकर मैट्रिक्स की रैंक के बारे में पता लगाने की आवश्यकता है।

सिस्टम वर्गीकरण

मैट्रिक्स की रैंक जैसी कोई चीज होती है। यह इसके गैर-शून्य निर्धारक का अधिकतम क्रम है (आधार नाबालिग को याद करते हुए, हम कह सकते हैं कि मैट्रिक्स का रैंक आधार नाबालिग का क्रम है)।

रैंक के साथ चीजें कैसी हैं, इसके अनुसार SLAE को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

• संयुक्त। परसंयुक्त प्रणालियों का, मुख्य मैट्रिक्स का रैंक (केवल गुणांक से मिलकर) विस्तारित एक के रैंक के साथ मेल खाता है (मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ)। इस तरह की प्रणालियों का एक समाधान है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक हो, इसलिए संयुक्त प्रणालियों को अतिरिक्त रूप से विभाजित किया गया है:
• - निश्चित- एक अनूठा समाधान होना। कुछ प्रणालियों में, मैट्रिक्स की रैंक और अज्ञात की संख्या (या स्तंभों की संख्या, जो एक ही चीज़ है) बराबर होती है;
• - अनिश्चितकालीन -अनंत समाधानों के साथ। ऐसी प्रणालियों के लिए मैट्रिसेस का रैंक अज्ञात की संख्या से कम है।
• असंगत। परऐसी प्रणालियाँ, मुख्य और विस्तारित मैट्रिसेस की रैंक मेल नहीं खाती हैं। असंगत प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

गॉस विधि इस मायने में अच्छी है कि यह या तो प्रणाली की असंगति का एक स्पष्ट प्रमाण प्राप्त करने की अनुमति देती है (बिना बड़े आव्यूहों के निर्धारकों की गणना के) या समाधान के दौरान अनंत संख्या में समाधान वाली प्रणाली के लिए एक सामान्य समाधान।

प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समाधान के लिए सीधे आगे बढ़ने से पहले, इसे कम बोझिल और गणना के लिए अधिक सुविधाजनक बनाना संभव है। यह प्रारंभिक परिवर्तनों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है - जैसे कि उनके कार्यान्वयन से अंतिम उत्तर किसी भी तरह से नहीं बदलता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त कुछ प्राथमिक परिवर्तन केवल मेट्रिसेस के लिए मान्य हैं, जिसका स्रोत ठीक SLAE था। यहाँ इन परिवर्तनों की एक सूची है:

1. स्ट्रिंग क्रमपरिवर्तन। यह स्पष्ट है कि यदि हम सिस्टम रिकॉर्ड में समीकरणों के क्रम को बदलते हैं, तो यह किसी भी तरह से समाधान को प्रभावित नहीं करेगा। नतीजतन, इस प्रणाली के मैट्रिक्स में पंक्तियों को बदलना भी संभव है, निश्चित रूप से, मुक्त सदस्यों के कॉलम के बारे में नहीं भूलना।
2. स्ट्रिंग के सभी तत्वों को किसी गुणक से गुणा करना। बहुत उपयोगी! इसे छोटा करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है बड़ी संख्यामैट्रिक्स में या शून्य हटा दें। समाधानों का सेट, हमेशा की तरह नहीं बदलेगा, और आगे के संचालन करना अधिक सुविधाजनक हो जाएगा। मुख्य बात यह है कि गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।
3. आनुपातिक गुणांक वाली पंक्तियों को हटाएं। यह आंशिक रूप से पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। यदि मैट्रिक्स में दो या दो से अधिक पंक्तियों में आनुपातिक गुणांक हैं, तो आनुपातिकता गुणांक द्वारा पंक्तियों में से एक को गुणा / विभाजित करते समय, दो (या, फिर से, अधिक) बिल्कुल समान पंक्तियाँ प्राप्त होती हैं, और आप अतिरिक्त को हटा सकते हैं, केवल छोड़कर एक।
4. शून्य रेखा को हटाना। यदि परिवर्तनों के दौरान कहीं एक स्ट्रिंग प्राप्त की जाती है जिसमें मुक्त सदस्य सहित सभी तत्व शून्य हैं, तो ऐसे स्ट्रिंग को शून्य कहा जा सकता है और मैट्रिक्स से बाहर फेंक दिया जा सकता है।
5. एक पंक्ति के तत्वों को दूसरे (संबंधित कॉलम में) के तत्वों को जोड़कर, एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जाता है। सभी का सबसे अस्पष्ट और सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन। इस पर अधिक विस्तार से रहने लायक है।

एक कारक से गुणा एक स्ट्रिंग जोड़ना

समझने में आसानी के लिए, इस प्रक्रिया को चरण दर चरण अलग करना उचित है। मैट्रिक्स से दो पंक्तियाँ ली गई हैं:

एक 11 एक 12 ... एक 1n | बी 1

एक 21 एक 22 ... एक 2n | बी 2

मान लीजिए कि आपको गुणांक "-2" से गुणा करके पहले को दूसरे में जोड़ने की आवश्यकता है।

ए" 21 \u003d ए 21 + -2 × ए 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

फिर मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति को एक नए से बदल दिया जाता है, और पहली अपरिवर्तित रहती है।

एक 11 एक 12 ... एक 1n | बी 1

ए" 21 ए" 22 ... ए" 2एन | बी 2

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणन कारक को इस तरह से चुना जा सकता है कि, दो तारों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, तत्वों में से एक नई पंक्तिशून्य के बराबर था। इसलिए, सिस्टम में एक समीकरण प्राप्त करना संभव है, जहां एक कम अज्ञात होगा। और अगर आपको ऐसे दो समीकरण मिलते हैं, तो ऑपरेशन फिर से किया जा सकता है और एक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है जिसमें पहले से ही दो कम अज्ञात होंगे। और अगर हर बार हम सभी पंक्तियों के लिए शून्य एक गुणांक की ओर मुड़ते हैं जो मूल एक से कम हैं, तो हम कदमों की तरह, मैट्रिक्स के बहुत नीचे तक जा सकते हैं और एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसे गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना कहा जाता है।

सामान्य रूप में

एक व्यवस्था हो जाए। इसके m समीकरण और n अज्ञात मूल हैं। आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

मुख्य मैट्रिक्स सिस्टम के गुणांक से संकलित है। मुक्त सदस्यों का एक स्तंभ विस्तारित मैट्रिक्स में जोड़ा जाता है और सुविधा के लिए एक बार द्वारा अलग किया जाता है।

• मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को गुणांक k = (-a 21 / a 11) से गुणा किया जाता है;
• पहली संशोधित पंक्ति और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति जोड़ी जाती है;
• दूसरी पंक्ति के बजाय, पिछले पैराग्राफ से जोड़ का परिणाम मैट्रिक्स में डाला जाता है;
• अब नई दूसरी पंक्ति में पहला गुणांक 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 है।

अब परिवर्तनों की एक ही श्रृंखला की जाती है, केवल पहली और तीसरी पंक्तियाँ शामिल होती हैं। तदनुसार, एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में, तत्व a 21 को 31 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फिर सब कुछ 41 , ... a m1 के लिए दोहराया जाता है। नतीजा एक मैट्रिक्स है जहां पंक्तियों में पहला तत्व शून्य के बराबर है। अब हमें लाइन नंबर एक के बारे में भूलने और दूसरी लाइन से शुरू होने वाले समान एल्गोरिदम को निष्पादित करने की आवश्यकता है:

• गुणांक k \u003d (-a 32 / a 22);
• दूसरी संशोधित लाइन को "करंट" लाइन में जोड़ा जाता है;
• जोड़ के परिणाम को तीसरे, चौथे और इसी तरह की पंक्तियों में प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि पहला और दूसरा अपरिवर्तित रहता है;
• मैट्रिक्स की पंक्तियों में, पहले दो तत्व पहले से ही शून्य के बराबर हैं।

एल्गोरिथ्म तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि गुणांक k = (-a m,m-1 /a mm) प्रकट न हो जाए। इसका मतलब यह है कि एल्गोरिथम पिछली बार केवल निचले समीकरण के लिए चलाया गया था। अब मैट्रिक्स एक त्रिकोण जैसा दिखता है, या एक चरणबद्ध आकार है। निचली पंक्ति में समानता a mn × x n = b m है। गुणांक और मुक्त पद ज्ञात हैं, और जड़ उनके माध्यम से व्यक्त की जाती है: x n = b m /a mn। x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 खोजने के लिए परिणामी रूट को शीर्ष पंक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है। और इसी तरह सादृश्य द्वारा: प्रत्येक अगली पंक्ति में शामिल है नई जड़, और, सिस्टम के "शीर्ष" पर पहुंचने के बाद, कई समाधान मिल सकते हैं। यह अकेला होगा।

जब कोई उपाय नहीं है

यदि किसी एक मैट्रिक्स पंक्ति में मुक्त पद को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो इस पंक्ति से संबंधित समीकरण 0 = b जैसा दिखता है। इसका कोई समाधान नहीं है। और चूंकि इस तरह के समीकरण को सिस्टम में शामिल किया गया है, तो पूरे सिस्टम के समाधानों का सेट खाली है, यानी यह पतित है।

जब अनंत संख्या में समाधान होते हैं

यह पता चल सकता है कि कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स में एक तत्व के साथ पंक्तियाँ नहीं हैं - समीकरण का गुणांक, और एक - एक मुक्त सदस्य। केवल स्ट्रिंग्स हैं, जिन्हें फिर से लिखने पर, दो या दो से अधिक वेरिएबल्स के साथ एक समीकरण की तरह दिखाई देगा। इसका मतलब है कि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं। इस मामले में, उत्तर एक सामान्य समाधान के रूप में दिया जा सकता है। यह कैसे करना है?

मैट्रिक्स में सभी चर बुनियादी और मुक्त में विभाजित हैं। मूल - ये वे हैं जो चरणबद्ध मैट्रिक्स में पंक्तियों के "किनारे पर" खड़े होते हैं। बाकी स्वतंत्र हैं। सामान्य समाधान में, मूल चर मुक्त चर के रूप में लिखे जाते हैं।

सुविधा के लिए, मैट्रिक्स को पहले समीकरणों की प्रणाली में फिर से लिखा जाता है। फिर उनमें से आखिरी में, जहां वास्तव में केवल एक मूल चर रह गया है, वह एक तरफ रहता है, और बाकी सब कुछ दूसरे में स्थानांतरित हो जाता है। यह प्रत्येक समीकरण के लिए एक मूल चर के साथ किया जाता है। फिर, शेष समीकरणों में, जहाँ संभव हो, मूल चर के स्थान पर उसके लिए प्राप्त व्यंजक को प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि, परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति फिर से प्रकट होती है जिसमें केवल एक मूल चर होता है, तो इसे फिर से वहाँ से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि प्रत्येक मूल चर को मुक्त चर के साथ अभिव्यक्ति के रूप में नहीं लिखा जाता। यह SLAE का सामान्य समाधान है।

आप सिस्टम का मूल समाधान भी पा सकते हैं - मुक्त चर को कोई मान दें, और फिर इस विशेष मामले के लिए मूल चर के मूल्यों की गणना करें। अपरिमित रूप से अनेक विशेष समाधान हैं।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ समाधान

यहाँ समीकरणों की प्रणाली है।

सुविधा के लिए, इसका मैट्रिक्स तुरंत बनाना बेहतर है

यह ज्ञात है कि गॉस विधि द्वारा हल करते समय, पहली पंक्ति के अनुरूप समीकरण परिवर्तनों के अंत में अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह अधिक लाभदायक होगा यदि मैट्रिक्स का ऊपरी बाएँ तत्व सबसे छोटा है - तो संचालन के बाद शेष पंक्तियों के पहले तत्व शून्य हो जाएंगे। इसका मतलब यह है कि संकलित मैट्रिक्स में पहली पंक्ति के स्थान पर दूसरा रखना फायदेमंद होगा।

दूसरी पंक्ति: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

ए" 21 \u003d ए 21 + के × ए 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

ए" 22 \u003d ए 22 + के × ए 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

ए" 23 = ए 23 + के × ए 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

बी "2 \u003d बी 2 + के × बी 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

तीसरी पंक्ति: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

ए "3 1 = ए 3 1 + के × ए 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

ए" 3 2 = ए 3 2 + के×ए 12 = 1 + (-5)×2 = -9

ए" 3 3 = ए 33 + के × ए 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

अब, भ्रमित न होने के लिए, परिवर्तनों के मध्यवर्ती परिणामों के साथ मैट्रिक्स को लिखना आवश्यक है।

जाहिर है कि इस तरह के मैट्रिक्स को कुछ ऑपरेशनों की मदद से धारणा के लिए और अधिक सुविधाजनक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रत्येक तत्व को "-1" से गुणा करके दूसरी पंक्ति से सभी "शून्य" हटा सकते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि तीसरी पंक्ति में सभी तत्व तीन के गुणक हैं। फिर आप इस संख्या से स्ट्रिंग को छोटा कर सकते हैं, प्रत्येक तत्व को "-1/3" से गुणा कर सकते हैं (शून्य - एक ही समय में, हटाने के लिए नकारात्मक मूल्य).

ज्यादा अच्छा लग रहा है। अब हमें केवल पहली पंक्ति को छोड़कर दूसरी और तीसरी के साथ काम करने की आवश्यकता है। कार्य दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ना है, इस तरह के कारक से गुणा करना कि तत्व 32 शून्य के बराबर हो जाता है।

के = (-ए 32/ए 22) = (-3/7) = -3/7 सामान्य अंश, और उसके बाद ही, जब उत्तर प्राप्त होते हैं, तय करें कि राउंड अप करना है और रिकॉर्ड के दूसरे रूप में अनुवाद करना है)

ए" 32 = ए 32 + के × ए 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

मैट्रिक्स को फिर से नए मूल्यों के साथ लिखा गया है।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी मैट्रिक्स में पहले से ही एक चरणबद्ध रूप है। इसलिए, गॉस विधि द्वारा प्रणाली के और परिवर्तनों की आवश्यकता नहीं है। यहां क्या किया जा सकता है तीसरी पंक्ति से समग्र गुणांक "-1/7" को हटाना है।

अब सब कुछ सुन्दर है। बिंदु छोटा है - मैट्रिक्स को फिर से समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखें और जड़ों की गणना करें

एक्स + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

एल्गोरिथम जिसके द्वारा जड़ें अब पाई जाएंगी, गॉस विधि में रिवर्स मूव कहलाती हैं। समीकरण (3) में z का मान है:

वाई = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

और पहला समीकरण आपको एक्स खोजने की अनुमति देता है:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

हमारे पास इस तरह की प्रणाली को संयुक्त कहने का अधिकार है, और यहां तक ​​​​कि निश्चित भी है, जिसका एक अनूठा समाधान है। प्रतिक्रिया निम्नलिखित रूप में लिखी गई है:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9।

एक अनिश्चित प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा एक निश्चित प्रणाली को हल करने के संस्करण का विश्लेषण किया गया है, अब इस मामले पर विचार करना आवश्यक है कि क्या प्रणाली अनिश्चित है, अर्थात इसके लिए असीम रूप से कई समाधान खोजे जा सकते हैं।

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

सिस्टम का रूप पहले से ही खतरनाक है, क्योंकि अज्ञात की संख्या n = 5 है, और सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक पहले से ही इस संख्या से बिल्कुल कम है, क्योंकि पंक्तियों की संख्या m = 4 है, अर्थात वर्ग निर्धारक का सबसे बड़ा क्रम 4 है। इसका मतलब है कि अनंत संख्या में समाधान हैं, और इसके सामान्य रूप को देखना आवश्यक है। रैखिक समीकरणों के लिए गॉस विधि ऐसा करना संभव बनाती है।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, संवर्धित मैट्रिक्स संकलित किया जाता है।

दूसरी पंक्ति: गुणांक k = (-a 21 / a 11) = -3। तीसरी पंक्ति में, पहला तत्व परिवर्तनों से पहले है, इसलिए आपको कुछ भी छूने की आवश्यकता नहीं है, आपको इसे वैसे ही रहने देना है। चौथी पंक्ति: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

पहली पंक्ति के तत्वों को उनके प्रत्येक गुणांक द्वारा बारी-बारी से गुणा करना और उन्हें वांछित पंक्तियों में जोड़ना, हमें मैट्रिक्स मिलता है निम्न प्रकार:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में ऐसे तत्व होते हैं जो एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। दूसरा और चौथा आम तौर पर समान होते हैं, इसलिए उनमें से एक को तुरंत हटाया जा सकता है, और बाकी को गुणांक "-1" से गुणा किया जाता है और पंक्ति संख्या 3 प्राप्त होती है। और फिर से, दो समान रेखाओं में से एक को छोड़ दें।

यह ऐसा मैट्रिक्स निकला। सिस्टम को अभी तक नहीं लिखा गया है, यहां बुनियादी चर निर्धारित करना आवश्यक है - गुणांक 11 \u003d 1 और 22 \u003d 1, और मुक्त - बाकी सभी।

दूसरे समीकरण का केवल एक मूल चर - x 2 है। इसलिए, इसे वहाँ से चर x 3 , x 4 , x 5 के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, जो मुक्त हैं।

हम परिणामी अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

यह एक समीकरण निकला जिसमें एकमात्र मूल चर x 1 है। आइए इसके साथ वैसा ही करें जैसा कि x 2 के साथ करते हैं।

सभी बुनियादी चर, जिनमें से दो हैं, तीन मुक्त चर के रूप में व्यक्त किए गए हैं, अब आप सामान्य रूप में उत्तर लिख सकते हैं।

आप सिस्टम के विशेष समाधानों में से एक को भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए, एक नियम के रूप में, शून्य को मुक्त चर के मान के रूप में चुना जाता है। तब उत्तर होगा:

16, 23, 0, 0, 0.

एक असंगत प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की असंगत प्रणालियों का समाधान सबसे तेज़ है। जैसे ही किसी एक चरण में एक समीकरण प्राप्त होता है जिसका कोई हल नहीं है, यह समाप्त हो जाता है। अर्थात्, जड़ों की गणना वाला चरण, जो काफी लंबा और सुनसान है, गायब हो जाता है। निम्नलिखित प्रणाली पर विचार किया जाता है:

एक्स + वाई - जेड = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

हमेशा की तरह, मैट्रिक्स संकलित है:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

और इसे एक चरणबद्ध रूप में घटाया गया है:

के 1 \u003d -2 के 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

पहले रूपांतरण के बाद, तीसरी पंक्ति में फॉर्म का एक समीकरण होता है

कोई समाधान नहीं होना। इसलिए, सिस्टम असंगत है, और उत्तर खाली सेट है।

विधि के फायदे और नुकसान

यदि आप पेन से पेपर पर SLAE को हल करने के लिए कौन सी विधि चुनते हैं, तो इस लेख में जिस विधि पर विचार किया गया था वह सबसे आकर्षक लगती है। प्राथमिक परिवर्तनों में, यदि आपको मैन्युअल रूप से निर्धारक या कुछ पेचीदा व्युत्क्रम मैट्रिक्स की तलाश करनी है, तो ऐसा होने से भ्रमित होना अधिक कठिन होता है। हालाँकि, यदि आप इस प्रकार के डेटा के साथ काम करने के लिए कार्यक्रमों का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, स्प्रेडशीट, तो यह पता चलता है कि ऐसे कार्यक्रमों में पहले से ही मेट्रिसेस के मुख्य मापदंडों की गणना के लिए एल्गोरिदम होते हैं - निर्धारक, नाबालिग, व्युत्क्रम, और इसी तरह। और अगर आपको यकीन है कि मशीन इन मूल्यों की गणना खुद करेगी और गलती नहीं करेगी, तो इसका उपयोग करना अधिक समीचीन है मैट्रिक्स विधिया क्रैमर के सूत्र, क्योंकि उनका आवेदन निर्धारकों की गणना के साथ शुरू और समाप्त होता है और उलटा मैट्रिसेस.

आवेदन पत्र

चूंकि गॉसियन समाधान एक एल्गोरिथ्म है, और मैट्रिक्स वास्तव में एक द्वि-आयामी सरणी है, इसका उपयोग प्रोग्रामिंग में किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लेख खुद को "डमीज़" के लिए एक गाइड के रूप में रखता है, इसलिए यह कहा जाना चाहिए कि विधि को डालने का सबसे आसान स्थान स्प्रेडशीट है, उदाहरण के लिए, एक्सेल। दोबारा, मैट्रिक्स के रूप में तालिका में दर्ज किए गए किसी भी SLAE को एक्सेल द्वारा द्वि-आयामी सरणी के रूप में माना जाएगा। और उनके साथ संचालन के लिए, कई अच्छे आदेश हैं: जोड़ (आप केवल एक ही आकार के मेट्रिसेस जोड़ सकते हैं!), एक संख्या से गुणा, मैट्रिक्स गुणन (कुछ प्रतिबंधों के साथ), व्युत्क्रम और ट्रांसपोज़्ड मैट्रिसेस ढूंढना और, सबसे महत्वपूर्ण , निर्धारक की गणना। यदि इस समय लेने वाले कार्य को एकल कमांड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना बहुत तेज़ होता है और इसलिए, इसकी अनुकूलता या असंगति स्थापित करने के लिए।