यादृच्छिक चर को वितरण फलन द्वारा a ज्ञात करने के लिए दिया जाता है। सतत यादृच्छिक चर, वितरण फलन और संभाव्यता घनत्व
संभाव्यता सिद्धांत में, किसी को यादृच्छिक चर से निपटना पड़ता है, जिनके सभी मूल्यों को हल नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर $X$ के सभी मूल्यों को लेना और "क्रमबद्ध करना" असंभव है - घड़ी का सेवा समय, क्योंकि समय को घंटे, मिनट, सेकंड, मिलीसेकंड आदि में मापा जा सकता है। आप केवल एक निश्चित अंतराल निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसके भीतर एक यादृच्छिक चर के मान स्थित हैं।
सतत यादृच्छिक चरएक यादृच्छिक चर है जिसका मान एक निश्चित अंतराल को पूरी तरह से भरता है।
एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन
चूंकि एक सतत यादृच्छिक चर के सभी मूल्यों को क्रमबद्ध करना संभव नहीं है, इसे वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।
वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ है, जो इस संभावना को निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेता है, अर्थात $F\left(x\ दाएं)$)=पी\बाएं(एक्स< x\right)$.
वितरण समारोह गुण:
1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2 . संभावना है कि यादृच्छिक चर $X$ अंतराल से मान लेता है $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ इस अंतराल के अंत में वितरण फ़ंक्शन के मानों के बीच अंतर के बराबर है : $P\बाएं(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.
3 . $F\बाएं(x\दाएं)$ - गैर-घटता।
4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \दाएं)=1\ )$।
उदाहरण 1
0,\ x\le 0\\
एक्स,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\ अंत (मैट्रिक्स) \ सही। $। संभावना है कि एक यादृच्छिक चर $X$ अंतराल $\left(0.3;0.7\right)$ में गिरता है, वितरण फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ के मानों के बीच अंतर के रूप में पाया जा सकता है इस अंतराल के अंत, अर्थात्:
$$पी\बाएं(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$
संभावित गहराई
फ़ंक्शन $f\left(x\right)=(F)"(x)$ को संभाव्यता वितरण घनत्व कहा जाता है, अर्थात, यह वितरण फ़ंक्शन $F\left(x\right) से लिया गया पहला ऑर्डर व्युत्पन्न है। $ ही।
फ़ंक्शन के गुण $f\बाएं(x\दाएं)$.
1 . $ एफ \ बाएं (एक्स \ दाएं) \ जीई 0 $।
2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$।
3 . संभावना है कि एक यादृच्छिक चर $X$ अंतराल से मान लेता है $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ $P\left(\alpha) है< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.
4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$।
उदाहरण 2
. एक सतत यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0\\
एक्स,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\ अंत (मैट्रिक्स) \ सही। $। फिर घनत्व फ़ंक्शन $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\x>1
\end(मैट्रिक्स)\दाएं।$
एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
एक सतत यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
$$M\बाएं(X\दाएं)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$
उदाहरण 3 . यादृच्छिक चर $X$ के लिए $M\left(X\right)$ खोजें, उदाहरण के लिए $2$।
$$M\बाएं(X\दाएं)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\over (2))\bigg|_0^1=((1)\over (2)).$$
एक सतत यादृच्छिक चर का फैलाव
एक सतत यादृच्छिक चर $X$ के प्रसरण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
$$D\बाएं(X\दाएं)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$
उदाहरण 4 . आइए यादृच्छिक चर $X$ के लिए $D\left(X\right)$ खोजें, उदाहरण के लिए $2$।
$$D\बाएं(X\दाएं)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\बाएं)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\over (2))\right))^2=((x^3)\over (3))\bigg|_0^1-( (1)\over(4))=((1)\over (3))-((1)\over (4))=((1)\over(12)).$$
अध्याय 6. सतत यादृच्छिक चर।
§ 1. एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व और वितरण कार्य।
एक सतत यादृच्छिक चर के मूल्यों का सेट बेशुमार है और आमतौर पर कुछ परिमित या अनंत अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है।
यादृच्छिक मूल्यप्रायिकता स्थान (डब्ल्यू, एस, पी) में परिभाषित x(w) को कहा जाता है निरंतर(बिल्कुल निरंतर) W यदि कोई गैर-ऋणात्मक कार्य मौजूद है, जैसे कि, किसी भी x के लिए, वितरण फ़ंक्शन Fx(x) को एक अभिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है
फ़ंक्शन को फ़ंक्शन कहा जाता है संभाव्यता वितरण घनत्व.
वितरण घनत्व फ़ंक्शन के गुण परिभाषा से अनुसरण करते हैं:
1..gif"चौड़ाई="97"ऊंचाई="51">
3. निरंतरता के बिंदुओं पर, वितरण घनत्व वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होता है:।
4. वितरण घनत्व एक यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्धारित करता है, क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की संभावना को निर्धारित करता है:
5. एक सतत यादृच्छिक चर के एक विशिष्ट मान लेने की प्रायिकता शून्य है: । इसलिए, निम्नलिखित समानताएं सत्य हैं:
वितरण घनत्व फलन का प्लॉट कहलाता है वितरण वक्र, और वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र एक के बराबर है। फिर, ज्यामितीय रूप से, बिंदु x0 पर वितरण फलन Fx(x) का मान वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र है और बिंदु x0 के बाईं ओर स्थित है।
कार्य 1।एक सतत यादृच्छिक चर के घनत्व कार्य का रूप है:
स्थिरांक C ज्ञात कीजिए, वितरण फलन Fx(x) की रचना कीजिए और प्रायिकता की गणना कीजिए।
फेसला।निरंतर सी हमारे पास की स्थिति से पाया जाता है:
जहां से सी = 3/8।
वितरण फ़ंक्शन Fx(x) बनाने के लिए, ध्यान दें कि अंतराल x तर्क (संख्या अक्ष) की सीमा को तीन भागों में विभाजित करता है: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" चौड़ाई = "264 "ऊंचाई =" 49 ">
चूँकि अर्ध-अक्ष पर घनत्व x शून्य है। दूसरे मामले में
अंत में, अंतिम स्थिति में, जब x>2,
चूँकि अर्ध-अक्ष पर घनत्व लुप्त हो जाता है। तो, वितरण समारोह प्राप्त होता है
संभावना सूत्र द्वारा गणना। इस प्रकार,
2. संख्यात्मक विशेषताएंनिरंतर यादृच्छिक चर
अपेक्षित मूल्यलगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
यदि दायीं ओर का अभिन्न पूर्णतया अभिसरण करता है।
फैलाव x की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है 
, और साथ ही, असतत मामले में, सूत्र के अनुसार https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
असतत यादृच्छिक चर के लिए अध्याय 5 में दिए गए अपेक्षा और विचरण के सभी गुण निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी मान्य हैं।
टास्क 2. समस्या 1 से यादृच्छिक चर x के लिए, गणना करें अपेक्षित मूल्यऔर फैलाव .
फेसला।
और उसका अर्थ यह निकलता है
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
घनत्व ग्राफ वर्दी वितरणअंजीर देखें। .
चित्र 6.2। वितरण समारोह और वितरण घनत्व। समान कानून
एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फलन Fx(x) है
एफएक्स (एक्स) = 
गणितीय अपेक्षा और फैलाव; .
घातीय (घातीय) वितरण।एक सतत यादृच्छिक चर x, जो गैर-ऋणात्मक मान लेता है, का पैरामीटर l>0 के साथ एक घातीय वितरण होता है यदि यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण घनत्व बराबर है
पीएक्स (एक्स) = 
चावल। 6.3. घातीय कानून का वितरण कार्य और वितरण घनत्व।
घातीय वितरण के वितरण कार्य का रूप है
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> और, यदि इसका वितरण घनत्व के बराबर है
.
मापदंडों और मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित सभी यादृच्छिक चर के सेट को द्वारा निरूपित किया जाता है।
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण कार्य है
.
चावल। 6.4. सामान्य कानून का वितरण कार्य और वितरण घनत्व
सामान्य वितरण पैरामीटर गणितीय अपेक्षा हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
विशेष मामले में जब https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> सामान्य वितरण कहलाता है मानक, और ऐसे वितरणों का वर्ग निर्दिष्ट है https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
जबकि वितरण समारोह
इस तरह के एक अभिन्न की गणना विश्लेषणात्मक रूप से नहीं की जा सकती है (इसे "चतुर्भुज" में नहीं लिया जाता है), और इसलिए फ़ंक्शन के लिए तालिकाओं को संकलित किया जाता है। यह फ़ंक्शन अध्याय 4 . में पेश किए गए लैपलेस फ़ंक्शन से संबंधित है
,
निम्नलिखित संबंध 
. मापदंडों के मनमाना मूल्यों के मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> रैंडम वैरिएबल डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन संबंध का उपयोग करते हुए लैपलेस फंक्शन से संबंधित है:
.
इसलिए, एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है
.
एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर x को लॉग-सामान्य रूप से वितरित कहा जाता है यदि इसका लघुगणक h=lnx सामान्य कानून का पालन करता है। एक लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता Mx= और Dx= हैं।
कार्य 3.एक यादृच्छिक मान दें https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">।
फेसला।यहां और https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
लाप्लास वितरणफ़ंक्शन fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> द्वारा सेट किया गया है और कुर्टोसिस gx=3 है।
चित्र 6.5. लाप्लास वितरण घनत्व समारोह।
यादृच्छिक चर x को वितरित किया जाता है वीबुल कानून, यदि इसका वितरण घनत्व फ़ंक्शन https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> के बराबर है
वेइबुल वितरण कई लोगों के अपटाइम का पालन करता है तकनीकी उपकरण. इस प्रोफ़ाइल के कार्यों में महत्वपूर्ण विशेषताउम्र टी के अध्ययन किए गए तत्वों की विफलता दर (मृत्यु दर) एल (टी), अनुपात एल (टी) = द्वारा निर्धारित है। यदि a=1, तो Weibull वितरण एक घातांक वितरण में बदल जाता है, और यदि a=2 - तथाकथित वितरण में रेले।
वेइबुल वितरण की गणितीय अपेक्षा: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, जहां (а) यूलर है समारोह। ।
लागू आँकड़ों की विभिन्न समस्याओं में, तथाकथित "छंटनी" वितरण अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, कर अधिकारी उन व्यक्तियों की आय के वितरण में रुचि रखते हैं जिनकी वार्षिक आय एक निश्चित सीमा c0 से अधिक है, वैधानिककराधान के बारे में। ये वितरण लगभग पारेतो वितरण के समान हैं। पारेतो वितरणकार्यों द्वारा दिया गया
एफएक्स (एक्स) = पी (एक्स .)
यहां https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
कार्य 4.यादृच्छिक चर समान रूप से अंतराल पर वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर का घनत्व ज्ञात कीजिए।
फेसला।यह समस्या की स्थिति से निम्नानुसार है कि
अगला, फ़ंक्शन अंतराल पर एक मोनोटोनिक और अलग-अलग कार्य है और इसका उलटा कार्य है 
, जिसका व्युत्पन्न बराबर है इसलिए,
§ 5. सतत यादृच्छिक चरों की एक जोड़ी
मान लीजिए कि दो सतत यादृच्छिक चर x और h दिए गए हैं। तब युग्म (x, h) तल पर एक "यादृच्छिक" बिंदु निर्धारित करता है। एक जोड़ी (x, h) को कहा जाता है यादृच्छिक वेक्टरया द्वि-आयामी यादृच्छिक चर।
संयुक्त वितरण समारोहयादृच्छिक चर x और h और फ़ंक्शन को F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> कहा जाता है। संयुक्त घनत्वयादृच्छिक चर x और h का प्रायिकता वितरण एक ऐसा फलन है कि 
.
संयुक्त वितरण घनत्व की इस परिभाषा का अर्थ इस प्रकार है। संभावना है कि एक "यादृच्छिक बिंदु" (एक्स, एच) एक विमान पर एक क्षेत्र में गिर जाएगा, एक त्रि-आयामी आकृति की मात्रा के रूप में गणना की जाती है - सतह से घिरा एक "घुमावदार" सिलेंडर https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" चौड़ाई="211" ऊंचाई="39 src=">
दो यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण का सबसे सरल उदाहरण द्वि-आयामी है सेट पर समान वितरणए. मान लीजिए क्षेत्रफल के साथ एक परिबद्ध समुच्चय M दिया गया है। इसे निम्नलिखित संयुक्त घनत्व द्वारा दिए गए युग्म (x, h) के वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:
कार्य 5.एक द्वि-आयामी यादृच्छिक वेक्टर (x, h) को त्रिभुज के अंदर समान रूप से वितरित होने दें। असमानता की संभावना की गणना करें x>h।
फेसला।संकेतित त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर है (अंजीर देखें। नहीं।?)। द्वि-आयामी समान वितरण की परिभाषा के आधार पर, यादृच्छिक चर x, h का संयुक्त घनत्व बराबर है
घटना सेट से मेल खाती है 
समतल पर, अर्थात् अर्ध-तल पर। तब प्रायिकता
हाफ-प्लेन बी पर, संयुक्त घनत्व सेट के बाहर शून्य के बराबर है https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">। इस प्रकार , हाफ-प्लेन B को दो सेटों में विभाजित किया गया है और https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> और दूसरा इंटीग्रल है शून्य, क्योंकि वहां संयुक्त घनत्व शून्य है। इसलिए
यदि युग्म (x, h) के लिए संयुक्त वितरण घनत्व दिया जाता है, तो घनत्व और घटक x और h कहलाते हैं निजी घनत्वऔर सूत्रों द्वारा गणना की जाती है:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
घनत्व px(x), ph(y) के साथ लगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए, स्वतंत्रता का अर्थ है कि
कार्य 6.पिछली समस्या की शर्तों के तहत, निर्धारित करें कि यादृच्छिक वेक्टर x और h के घटक स्वतंत्र हैं या नहीं?
फेसला. आइए हम आंशिक घनत्व की गणना करें और . हमारे पास है:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
जाहिर है, हमारे मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> x और h का संयुक्त घनत्व है, और j(x, y) दो तर्कों का एक कार्य है, तो
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
टास्क 7.पिछली समस्या की स्थितियों में, गणना करें।
फेसला।उपरोक्त सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:
.
त्रिभुज को के रूप में निरूपित करना
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
5. दो सतत यादृच्छिक चरों के योग का घनत्व
मान लीजिए x और h घनत्व के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">। यादृच्छिक चर का घनत्व x + एच की गणना सूत्र से की जाती है संकल्प
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. योग घनत्व की गणना करें।
फेसला।चूंकि एक्स और एच पैरामीटर के साथ घातीय कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं, उनकी घनत्व बराबर होती है
इसलिये,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
यदि x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">नकारात्मक है, और इसलिए . इसलिए, यदि https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
इस प्रकार, हमें उत्तर मिला:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> सामान्य रूप से 0 और 1 पैरामीटर के साथ वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर X1 और x2 स्वतंत्र हैं और सामान्य हैं क्रमशः पैरामीटर a1 और a2 के साथ वितरण साबित करें कि x1 + x2 का सामान्य वितरण है यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn वितरित और स्वतंत्र हैं और समान वितरण घनत्व फ़ंक्शन हैं
.
मात्राओं का वितरण फलन और वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए:
ए) एच 1 = मिनट (एक्स 1, एक्स 2, ... एक्सएन); बी) एच (2) = अधिकतम (एक्स 1, एक्स 2, ... एक्सएन)
यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn स्वतंत्र हैं और अंतराल [а, b] पर समान रूप से वितरित हैं। मात्राओं के वितरण फलन और वितरण घनत्व फलन ज्ञात कीजिए
x(1) = न्यूनतम(x1,x2, ... xn) और x(2)= अधिकतम(x1, x2, ...xn)।
साबित करें कि एम https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">।
यादृच्छिक चर कॉची कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। खोजें: ए) गुणांक ए; बी) वितरण समारोह; ग) अंतराल से टकराने की प्रायिकता (-1, 1)। दिखाएँ कि x की अपेक्षा मौजूद नहीं है। यादृच्छिक चर लाप्लास के नियम का पालन करता है, पैरामीटर l (l>0) के साथ: गुणांक ज्ञात करें; वितरण घनत्व और वितरण समारोह के रेखांकन का निर्माण; एमएक्स और डीएक्स खोजें; घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
वितरण घनत्व का सूत्र लिखिए, Mx और Dx ज्ञात कीजिए।
कंप्यूटिंग कार्य।
एक यादृच्छिक बिंदु A का त्रिज्या R के एक वृत्त में एक समान वितरण होता है। वृत्त के केंद्र से किसी बिंदु की दूरी r की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए। दिखाएँ कि मात्रा r2 खंड पर समान रूप से वितरित है। 
एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है: 
स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और प्रायिकता की गणना करें 
एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है: 
स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और प्रायिकता की गणना करें 
एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है: 
स्थिरांक C की गणना करें, वितरण फलन F(x), प्रसरण और प्रायिकता यादृच्छिक चर का वितरण फलन होता है 
एक यादृच्छिक चर के घनत्व की गणना करें, गणितीय अपेक्षा, विचरण और प्रायिकता जाँचें कि फलन = 
यादृच्छिक चर का वितरण फलन हो सकता है। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए: Mx और Dx। यादृच्छिक चर समान रूप से खंड पर वितरित किया जाता है। वितरण घनत्व लिखिए। वितरण समारोह का पता लगाएं। खंड और खंड पर एक यादृच्छिक चर के टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। वितरण घनत्व x है
.
स्थिरांक c, वितरण घनत्व h = और प्रायिकता ज्ञात कीजिए
पी (0.25 कंप्यूटर अपटाइम को पैरामीटर l = 0.05 (प्रति घंटे विफलताओं) के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, यानी इसका घनत्व कार्य होता है पी (एक्स) = एक निश्चित समस्या के समाधान के लिए मशीन के 15 मिनट के लिए परेशानी मुक्त संचालन की आवश्यकता होती है। यदि समस्या के समाधान के दौरान विफलता होती है, तो समाधान के अंत में ही त्रुटि का पता लगाया जाता है, और समस्या फिर से हल हो जाती है। खोजें: क) समस्या के समाधान के दौरान कोई विफलता नहीं होने की प्रायिकता; बी) औसत समय जिसके लिए समस्या हल हो जाएगी। 24 सेमी लंबाई की एक छड़ दो भागों में टूट जाती है; हम मान लेंगे कि ब्रेक प्वाइंट रॉड की पूरी लंबाई के साथ समान रूप से वितरित किया जाता है। अधिकांश छड़ की औसत लंबाई क्या है? 12 सेमी लंबाई के एक टुकड़े को यादृच्छया दो भागों में काटा जाता है। कट बिंदु समान रूप से खंड की पूरी लंबाई के साथ वितरित किया जाता है। खंड के एक छोटे से हिस्से की औसत लंबाई क्या है? यादृच्छिक चर समान रूप से अंतराल पर वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए a) h1 = 2x + 1; बी) एच 2 = -एलएन (1-एक्स); सी) एच 3 =। दिखाएँ कि यदि x का एक सतत वितरण फलन है एफ(एक्स) = पी(एक्स दो स्वतंत्र मात्राओं x और h के योग का घनत्व फलन और वितरण फलन क्रमशः अंतरालों पर समान वितरण नियमों के साथ ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक चर x और h क्रमशः स्वतंत्र और समान रूप से अंतरालों पर वितरित किए जाते हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h क्रमशः स्वतंत्र और समान रूप से अंतरालों पर वितरित किए जाते हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h क्रमशः स्वतंत्र और समान रूप से अंतरालों पर वितरित किए जाते हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं और घनत्व के साथ एक घातीय वितरण है "यादृच्छिक चर" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण।
काम 1
. लॉटरी में 100 टिकट जारी किए गए हैं। 50 USD की एक जीत खेली गई। और प्रत्येक $ 10 की दस जीत। मूल्य X के वितरण के नियम का पता लगाएं - एक संभावित लाभ की लागत। फेसला। X के संभावित मान: x 1
= 0; एक्स 2
= 10 और x 3
= 50. चूँकि 89 “खाली” टिकट हैं, तो p 1
= 0.89, जीतने की संभावना 10 घन मीटर है। (10 टिकट) - पी 2
= 0.10 और 50 c.u की जीत के लिए। -पी 3
= 0.01. इस प्रकार: 0,89
0,10
0,01
नियंत्रित करने में आसान:। काम 2.
इस बात की प्रायिकता कि खरीदार ने उत्पाद के विज्ञापन से खुद को पहले ही परिचित कर लिया है, 0.6 (p = 0.6) है। विज्ञापन का चयनात्मक गुणवत्ता नियंत्रण मतदान खरीदारों द्वारा पहले विज्ञापन का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति द्वारा किया जाता है। साक्षात्कार किए गए खरीदारों की संख्या के वितरण की एक श्रृंखला बनाएं। फेसला। समस्या की स्थिति के अनुसार p = 0.6। से: क्यू = 1 -पी = 0.4। इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:और एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें: अनुकरणीय 0,24
काम 3.
एक कंप्यूटर में तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं: एक सिस्टम यूनिट, एक मॉनिटर और एक कीबोर्ड। वोल्टेज में एक तेज वृद्धि के साथ, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। बर्नौली वितरण के आधार पर, नेटवर्क में बिजली उछाल के दौरान विफल तत्वों की संख्या के लिए वितरण कानून तैयार करें। फेसला। विचार करना बर्नौली वितरण(या द्विपद): प्रायिकता कि inएन परीक्षण, घटना ए बिल्कुल दिखाई देगाक एक बार: क्यू एन पी एन पर आइए कार्य पर वापस जाएं। X के संभावित मान (विफलताओं की संख्या): x 0 =0 - कोई भी तत्व विफल नहीं हुआ; x 1 = 1 - एक तत्व की विफलता; x 2 =2 - दो तत्वों की विफलता; x 3 =3 - सभी तत्वों की विफलता। चूँकि, शर्त के अनुसार, p = 0.1, तो q = 1 - p = 0.9। बर्नौली सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं , ,
, .
नियंत्रण: । इसलिए, वांछित वितरण कानून: 0,729
0,243
0,027
0,001
टास्क 4. 5000 राउंड का उत्पादन किया। एक कारतूस के खराब होने की प्रायिकता फेसला। उपयुक्त पॉसों वितरण: इस वितरण का उपयोग इस संभावना को निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि, बहुत बड़ा दिया गया है परीक्षणों की संख्या (बड़े पैमाने पर परीक्षण), जिनमें से प्रत्येक में घटना ए की संभावना बहुत कम है, घटना ए k बार घटित होगी: यहाँ n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. हम पाते हैं , फिर वांछित संभावना: टास्क 5. पहली हिट से पहले फायरिंग करते समय p . मारने की संभावना के साथ
एक शॉट के लिए = 0.6, आपको तीसरे शॉट पर हिट होने की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी। फेसला। आइए हम ज्यामितीय वितरण लागू करें: स्वतंत्र परीक्षण किए जाने दें, जिनमें से प्रत्येक घटना ए में घटना पी (और गैर-घटना q = 1 - पी) होने की संभावना है। घटना A के घटित होते ही परीक्षण समाप्त हो जाते हैं। ऐसी स्थितियों में, kth परीक्षण पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: . यहां पी = 0.6; क्यू \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; के \u003d 3. इसलिए, . टास्क 6. मान लीजिए एक यादृच्छिक चर X के वितरण का नियम दिया गया है: गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं। फेसला। . ध्यान दें कि गणितीय अपेक्षा का संभाव्य अर्थ यादृच्छिक चर का औसत मान है। टास्क 7. निम्नलिखित वितरण नियम के साथ एक यादृच्छिक चर X का प्रसरण ज्ञात कीजिए: फेसला। यहां
.
X . के वर्ग के वितरण का नियम 2
:
एक्स 2
आवश्यक विचरण: . फैलाव एक यादृच्छिक चर के विचलन (बिखरने) की डिग्री को उसकी गणितीय अपेक्षा से दर्शाता है। टास्क 8. मान लीजिए कि यादृच्छिक चर वितरण द्वारा दिया गया है: 10मी इसकी संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं। हल: एम, एम 2
,
एम 2
, एम। एक यादृच्छिक चर X के बारे में, कोई भी कह सकता है - इसकी गणितीय अपेक्षा 6.4 m है जिसमें 13.04 m . का विचरण है 2
, या - इसकी गणितीय अपेक्षा m के विचलन के साथ 6.4 m है। दूसरा सूत्रीकरण स्पष्ट रूप से स्पष्ट है। काम 9.
यादृच्छिक मूल्यएक्स वितरण समारोह द्वारा दिया गया: इस संभावना का पता लगाएं कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, मान X अंतराल में निहित मान पर ले जाएगा फेसला। किसी दिए गए अंतराल से X के मान लेने की प्रायिकता इस अंतराल में समाकलन फलन की वृद्धि के बराबर है, अर्थात। . हमारे मामले में और इसलिए काम 10.
असतत यादृच्छिक चरएक्स वितरण कानून द्वारा दिया गया: वितरण समारोह खोजेंएफ (एक्स ) और इसका ग्राफ बनाएं। फेसला। वितरण समारोह के बाद से पर ; पर ; पर ; पर ; प्रासंगिक चार्ट: टास्क 11.सतत यादृच्छिक चरएक्स अंतर वितरण समारोह द्वारा दिया गया: टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिएएक्स टू इंटरवल फेसला। ध्यान दें कि यह घातीय वितरण कानून का एक विशेष मामला है। आइए सूत्र का उपयोग करें: काम 12.
वितरण कानून द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं: –5
एक्स 2 : x2 .
,
कहाँ पे इस फ़ंक्शन के मान तालिका का उपयोग करके पाए जाते हैं। हमारे मामले में: । तालिका के अनुसार हम पाते हैं:, इसलिए: असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, निरंतर यादृच्छिक चर को इसके वितरण कानून की तालिका के रूप में निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक निश्चित क्रम में इसके सभी मूल्यों को सूचीबद्ध करना और लिखना असंभव है। एक सतत यादृच्छिक चर को परिभाषित करने का एक संभावित तरीका वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करना है। परिभाषा। वितरण फलन एक ऐसा फलन है जो इस प्रायिकता को निर्धारित करता है कि एक यादृच्छिक चर उस मान पर ले जाएगा जो वास्तविक अक्ष पर बिंदु x के बाईं ओर एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात। कभी-कभी, "वितरण फ़ंक्शन" शब्द के बजाय, "एकात्म कार्य" शब्द का उपयोग किया जाता है। वितरण समारोह गुण: 1. वितरण फ़ंक्शन का मान खंड से संबंधित है: 0F(x)1 कोरोलरी 1. एक यादृच्छिक चर के अंतराल (ए, बी) में निहित मान लेने की संभावना इस अंतराल पर वितरण फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है: पी(एएक्स उदाहरण 9. एक यादृच्छिक चर X एक वितरण फलन द्वारा दिया गया है: प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X, अंतराल (0; 2) से संबंधित मान लेगा: P(0 हल: चूंकि अंतराल (0;2) पर शर्त के अनुसार, F(x)=x/4+1/4, तो F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. तो पी(0 कोरोलरी 2. एक सतत यादृच्छिक चर X के एक निश्चित मान लेने की प्रायिकता शून्य के बराबर है। कोरोलरी 3. यदि एक यादृच्छिक चर के संभावित मान अंतराल (a;b) से संबंधित हैं, तो: 1) F(x)=0 xa के लिए; 2) एफ (एक्स) = 1 एक्सबी के लिए। वितरण फलन का ग्राफ सीधी रेखाओं y=0, y=1 (पहली संपत्ति) से घिरी हुई पट्टी में स्थित होता है। जैसे-जैसे x अंतराल (a;b) में बढ़ता है, जिसमें यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान होते हैं, ग्राफ़ "ऊपर उठता है"। xa के लिए, ग्राफ के निर्देशांक शून्य के बराबर हैं; xb पर, ग्राफ के निर्देशांक एक के बराबर हैं: उदाहरण 10. एक असतत यादृच्छिक चर X एक वितरण तालिका द्वारा दिया गया है: वितरण फलन ज्ञात कीजिए और उसका ग्राफ बनाइए। परिभाषा: एक सतत यादृच्छिक चर X की संभाव्यता वितरण घनत्व फ़ंक्शन f (x) है - वितरण फ़ंक्शन F (x) का पहला व्युत्पन्न: f (x) \u003d F "(x) इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि वितरण फलन वितरण घनत्व का व्युत्पन्न है। प्रमेय। संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्स अंतराल (ए; बी) से संबंधित मान लेगा, वितरण घनत्व के एक निश्चित अभिन्न के बराबर है, जिसे ए से बी की सीमा में लिया गया है: संभाव्यता घनत्व गुण: 1. प्रायिकता घनत्व एक गैर-ऋणात्मक फलन है: f(x)0। उदाहरण 11. एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन घनत्व दिया है हल: वांछित संभावना: आइए हम असतत मात्राओं की संख्यात्मक विशेषताओं की परिभाषा को निरंतर मात्राओं तक विस्तारित करें। मान लीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण घनत्व f(x) द्वारा दिया गया है। परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, जिसके संभावित मान खंड से संबंधित हैं, एक निश्चित समाकलन कहलाता है: एम (एक्स) = एक्सएफ (एक्स) डीएक्स (9) यदि संभावित मान संपूर्ण x-अक्ष से संबंधित हैं, तो: एम (एक्स) = एक्सएफ (एक्स) डीएक्स (10) एक सतत यादृच्छिक चर X का बहुलक M 0 (X) इसका संभावित मान है, जो वितरण घनत्व के स्थानीय अधिकतम से मेल खाता है। एक सतत यादृच्छिक चर X का माध्यिका M e (X) इसका संभावित मान है, जो समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है: पी(एक्स ई (एक्स))=पी(एक्स>एम ई (एक्स)) परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर का फैलाव इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा है। यदि X के संभावित मान खंड से संबंधित हैं, तो: डी (एक्स) = 2 एफ (एक्स) डीएक्स (11) यदि संभावित मान संपूर्ण x-अक्ष से संबंधित हैं, तो। वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके एक सतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट किया जा सकता है एफ(एक्स)
. सेटिंग का यह तरीका केवल एक ही नहीं है। एक सतत यादृच्छिक चर को वितरण घनत्व या संभाव्यता घनत्व (कभी-कभी अंतर फ़ंक्शन कहा जाता है) नामक एक अन्य फ़ंक्शन का उपयोग करके भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। परिभाषा 4.1:
एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व एक्सफ़ंक्शन को कॉल करें एफ
(एक्स)
- वितरण समारोह का पहला व्युत्पन्न एफ(एक्स)
: एफ
(
एक्स
)
=
एफ
"(
एक्स
)
.
इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि वितरण फलन वितरण घनत्व का व्युत्पन्न है। ध्यान दें कि असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का वर्णन करने के लिए, वितरण घनत्व लागू नहीं होता है। किसी दिए गए अंतराल में एक सतत यादृच्छिक चर को हिट करने की प्रायिकता
वितरण घनत्व को जानने के बाद, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि एक सतत यादृच्छिक चर एक मान लेगा जो किसी दिए गए अंतराल से संबंधित है। प्रमेय:
संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्स अंतराल से संबंधित मान लेगा (ए,
बी), वितरण घनत्व के एक निश्चित अभिन्न के बराबर है, से सीमा में लिया गया हैएइससे पहलेबी :
प्रमाण:हम अनुपात का उपयोग करते हैं पी(ए
≤
एक्सबी)
=
एफ(बी)
–
एफ(ए).
न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, इस प्रकार, जैसा पी(ए
≤
एक्स बी)=
पी(ए
एक्स बी)
, तो हम अंत में प्राप्त करते हैं
ज्यामितीय रूप से, परिणाम की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर अंतराल से संबंधित मान लेता है (ए,
बी), अक्ष से घिरे वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर हैबैलवितरण वक्रएफ(एक्स) और प्रत्यक्षएक्स =
एऔरएक्स =
बी.
टिप्पणी:विशेष रूप से, यदि एफ(एक्स)
एक सम फलन है और अंतराल के सिरे मूल बिन्दु के सन्दर्भ में सममित हैं, तो उदाहरण।एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व को देखते हुए एक्स प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्सअंतराल से संबंधित मान लेगा (0.5; 1)। फेसला:वांछित संभावना ज्ञात वितरण घनत्व से वितरण फलन ज्ञात करना
वितरण घनत्व को जानना एफ(एक्स)
, हम वितरण समारोह पा सकते हैं एफ(एक्स)
सूत्र के अनुसार सच में, एफ(एक्स)
=
पी(एक्स
एक्स) = पी(-∞
एक्स एक्स)
.
इसलिये, इस प्रकार, वितरण घनत्व को जानकर, आप वितरण फलन ज्ञात कर सकते हैं। बेशक, ज्ञात वितरण फ़ंक्शन से, कोई वितरण घनत्व पा सकता है, अर्थात्: एफ(एक्स)
=
एफ"(एक्स).
उदाहरण।किसी दिए गए वितरण घनत्व के लिए वितरण फलन ज्ञात कीजिए: फेसला:आइए सूत्र का उपयोग करें
यदि एक एक्स
≤
ए, तब एफ(एक्स)
= 0
, इस तरह, एफ(एक्स)
= 0
. यदि एक ए, फिर एफ(एक्स) = 1/(बी-ए),
इस तरह, यदि एक एक्स
>
बी, तब तो, वांछित वितरण समारोह टिप्पणी:हमने एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फलन प्राप्त किया है (एकसमान वितरण देखें)। वितरण घनत्व गुण
संपत्ति 1:वितरण घनत्व एक गैर-ऋणात्मक कार्य है: एफ
(
एक्स
)
≥ 0
. संपत्ति 2:-∞ से की सीमा में वितरण घनत्व का अनुचित समाकलन एक के बराबर होता है: टिप्पणी:वितरण घनत्व के प्लॉट को कहा जाता है वितरण वक्र. टिप्पणी:एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व को वितरण नियम भी कहा जाता है। उदाहरण।एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का निम्न रूप है: निरंतर पैरामीटर खोजें ए. फेसला:वितरण घनत्व को शर्त को पूरा करना चाहिए, इसलिए हमें आवश्यकता है कि समानता यहां से
हम अनुचित अभिन्न की गणना करते हैं: इस प्रकार, आवश्यक पैरामीटर वितरण घनत्व का संभावित अर्थ
रहने दो एफ(एक्स)
एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन है एक्स. वितरण घनत्व की परिभाषा के अनुसार, एफ(एक्स)
=
एफ"(एक्स)
, या अंतर एफ(एक्स+∆х) -एफ(एक्स)
संभावना निर्धारित करता है कि एक्सअंतराल से संबंधित मान लेगा (एक्स,
एक्स+∆х). इस प्रकार, एक सतत यादृच्छिक चर के अंतराल से संबंधित मान लेने की प्रायिकता के अनुपात की सीमा (एक्स,
एक्स+∆х), इस अंतराल की लंबाई तक (at →0) बिंदु पर वितरण घनत्व के मान के बराबर है एक्स. तो समारोह एफ(एक्स)
प्रत्येक बिंदु के लिए संभाव्यता वितरण घनत्व निर्धारित करता है एक्स. डिफरेंशियल कैलकुलस से यह ज्ञात होता है कि किसी फंक्शन का इंक्रीमेंट फंक्शन के डिफरेंशियल के लगभग बराबर होता है, यानी। जैसा एफ"(एक्स)
=
एफ(एक्स)
और डीएक्स = ∆
एक्स, तब एफ(एक्स+∆
एक्स)
-
एफ(एक्स)
≈
एफ(एक्स)∆
एक्स. इस समानता का संभाव्य अर्थ इस प्रकार है: संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अंतराल से संबंधित मान लेता है (एक्स,
एक्स+∆
एक्स), बिंदु x पर प्रायिकता घनत्व के गुणनफल और अंतराल . की लंबाई के लगभग बराबर है. ज्यामितीय रूप से, इस परिणाम की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है:
संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अंतराल से संबंधित मान लेता है (एक्स,
एक्स+∆
एक्स), आधार और ऊंचाई . के साथ एक आयत के क्षेत्रफल के लगभग बराबरएफ(एक्स).
परिभाषा 5.1:
यादृच्छिक मूल्य एक्स, जो दो मान लेता है 1
और 0
संभावनाओं के साथ ("सफलता") पीऔर ("विफलता") क्यू, कहा जाता है Bernoulli: इसे उत्पादित होने दें एन
स्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना एप्रकट हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। सभी परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता स्थिर और बराबर होती है पी(इसलिए गैर-उपस्थिति की संभावना क्यू = 1 -
पी). एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या एइन परीक्षणों में। यादृच्छिक मूल्य एक्समान लेता है 0,1,2,…
एनबर्नौली सूत्र द्वारा गणना की गई संभावनाओं के साथ:
, कहाँ पे क = 0,1,2,…
एन. परिभाषा 5.2:
द्विपदबर्नौली सूत्र द्वारा निर्धारित प्रायिकता बंटन कहलाता है। उदाहरण।लक्ष्य पर तीन गोलियां दागी जाती हैं, और प्रत्येक गोली मारने की प्रायिकता 0.8 है। हम एक यादृच्छिक चर पर विचार करते हैं एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या। इसकी वितरण श्रृंखला ज्ञात कीजिए। फेसला:यादृच्छिक मूल्य एक्समान लेता है 0,1,2,3
बर्नौली सूत्र द्वारा परिकलित प्रायिकताओं के साथ, जहाँ एन = 3,
पी
= 0,8
(हिट की संभावना), क्यू
= 1 - 0,8 = = 0,2
(लापता होने की संभावना)। इस प्रकार, वितरण श्रृंखला के निम्नलिखित रूप हैं: बड़े मूल्यों के लिए बर्नौली सूत्र का प्रयोग करें एनबल्कि मुश्किल है, इसलिए, संबंधित संभावनाओं की गणना करने के लिए, स्थानीय लाप्लास प्रमेय का उपयोग किया जाता है, जो किसी को लगभग किसी घटना के ठीक होने की संभावना का पता लगाने की अनुमति देता है। कएक बार एनपरीक्षण अगर परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है। स्थानीय लाप्लास प्रमेय: यदि प्रायिकता पीकिसी घटना का घटित होना ए
नोट 1:फ़ंक्शन मान वाली तालिकाएँ
उदाहरण:घटना के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए
बिल्कुल आता है 80
एक बार 400
परीक्षण यदि प्रत्येक परीक्षण में इस घटना के घटित होने की प्रायिकता बराबर है 0,2.
फेसला:शर्त के अनुसार एन = 400,
क = 80,
पी
= 0,2
, क्यू = 0,8
. आइए समस्या डेटा द्वारा निर्धारित मूल्य की गणना करें एक्स:
यदि आप किसी घटना के होने की प्रायिकता की गणना करना चाहते हैं एमें दिखाई देगा एनपरीक्षण कम से कम क 1
एक बार और नहीं क 2
बार, तो आपको लाप्लास अभिन्न प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है: लाप्लास इंटीग्रल प्रमेय: यदि प्रायिकता पीकिसी घटना का घटित होना एप्रत्येक परीक्षण में शून्य और एक से स्थिर और भिन्न है, तो प्रायिकता
कि घटना ए
में दिखाई देगा एनसे परीक्षण क 1
इससे पहले क 2
समय, लगभग निश्चित अभिन्न के बराबर दूसरे शब्दों में, संभावना है कि एक घटना ए
में दिखाई देगा एनसे परीक्षण क 1
इससे पहले क 2
बार, लगभग बराबर कहाँ पे
टिप्पणी 2:समारोह
उदाहरण:प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इनमें से
400
बेतरतीब ढंग से चयनित भागों को 70 से 100 भागों में से अनियंत्रित कर दिया जाएगा, यदि भाग गुणवत्ता नियंत्रण जांच पास नहीं करने की संभावना के बराबर है 0,2.
फेसला:शर्त के अनुसार एन = 400,
पी = 0,2
, क्यू
= 0,8,
क 1
=
70,
क 2
=
100
. आइए हम एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाओं की गणना करें: इस प्रकार, हमारे पास है: परिशिष्ट 2 की तालिका के अनुसार, हम पाते हैं कि
टिप्पणी3:स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में (जब n बड़ा होता है, p छोटा होता है), किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना करने के लिए पॉइसन सूत्र का ठीक k बार उपयोग किया जाता है (पॉइसन वितरण देखें)। परिभाषा 5.3:
एक असतत यादृच्छिक चर कहलाता है पॉइज़न,यदि इसके वितरण कानून के निम्नलिखित रूप हैं: पॉइसन यादृच्छिक चर के उदाहरण: एक समय अंतराल में स्वचालित स्टेशन पर कॉलों की संख्या टी.
किसी रेडियोधर्मी पदार्थ के एक निश्चित अवधि में क्षय कणों की संख्या टी.
एक समयावधि में वर्कशॉप में प्रवेश करने वाले टीवी की संख्या टीबड़े शहर में .
एक बड़े शहर में एक चौराहे की स्टॉप लाइन पर आने वाली कारों की संख्या .
नोट 1:इन संभावनाओं की गणना के लिए विशेष सारणियां परिशिष्ट 3 में दी गई हैं। टिप्पणी 2:स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में (जब एनमहान, पीछोटा) किसी घटना के ठीक होने की संभावना की गणना करने के लिए कएक बार पॉइसन सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
टिप्पणी3:यदि कोई यादृच्छिक चर है जो पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, तो आवश्यक रूप से एक यादृच्छिक चर होता है जो घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और इसके विपरीत (घातीय वितरण देखें)। उदाहरण।कारखाने को आधार भेजा गया 5000
अच्छी गुणवत्ता वाले उत्पाद। पारगमन में उत्पाद के क्षतिग्रस्त होने की प्रायिकता बराबर है 0,0002
. आधार पर ठीक तीन अनुपयोगी वस्तुओं के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। फेसला:शर्त के अनुसार एन = 5000,
पी
= 0,0002,
क = 3.
हमे पता करने दें λ: λ =
एनपी= 5000 0.0002 = 1. पॉइसन सूत्र के अनुसार, वांछित प्रायिकता इसके बराबर है: स्वतंत्र परीक्षण किए जाने दें, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता लेकिनके बराबर है पी(0पी क्यू
= 1 -
पी. घटना के प्रकट होते ही परीक्षण समाप्त हो जाते हैं लेकिन. इस प्रकार, यदि कोई घटना लेकिनइसमें दिखाई दिया क-वें टेस्ट, फिर पिछले में क
– 1
यह परीक्षणों में नहीं दिखा। द्वारा निरूपित करें एक्सअसतत यादृच्छिक चर - घटना की पहली घटना से पहले किए जाने वाले परीक्षणों की संख्या लेकिन. जाहिर है, संभावित मूल्य एक्सप्राकृतिक संख्याएँ हैं x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ... पहले चलो क-1
परीक्षण घटना लेकिननहीं आया, लेकिन कवें परीक्षण दिखाई दिया। इस "जटिल घटना" की संभावना, स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार,
पी
(एक्स =
क) =
क्यू
क -1
पी.
परिभाषा 5.4:
एक असतत यादृच्छिक चर है ज्यामितीय वितरणयदि इसके वितरण कानून के निम्नलिखित रूप हैं: पी
(
एक्स
=
क
) =
क्यू
क
-1
पी
,
कहाँ पे
नोट 1:यह मानते हुए क = 1,2,…
, हम पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति प्राप्त करते हैं पीऔर हर क्यू (0क्यू. इस कारण से, वितरण को ज्यामितीय कहा जाता है।
टिप्पणी 2:पंक्ति
उदाहरण।पहली हिट तक बंदूक लक्ष्य पर फायर करती है। लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता पी
= 0,6
. तीसरे शॉट पर हिट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। फेसला:शर्त के अनुसार पी = 0,6,
क्यू
= 1 – 0,6 = 0,4,
क = 3.
वांछित संभावना के बराबर है: पी
(एक्स = 3) = 0,4
2
0.6 = 0.096। निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। पार्टी को जाने दो एनउत्पाद उपलब्ध एममानक (एमएन).
पार्टी से बेतरतीब ढंग से चुना गया एनउत्पाद (प्रत्येक उत्पाद को समान संभावना के साथ हटाया जा सकता है), और चयनित उत्पाद को अगले एक के चयन से पहले बैच में वापस नहीं किया जाता है (इसलिए, बर्नौली सूत्र यहां लागू नहीं है)। द्वारा निरूपित करें एक्सयादृच्छिक चर - संख्या एममानक उत्पादों के बीच एनचुन लिया। फिर संभावित मान एक्सहोगा 0, 1, 2,…, मिनट; आइए उन्हें लेबल करें और... परस्वतंत्र चर (पसंद) के मान, बटन का उपयोग करें ( अध्याय ... ... व्यवस्थित निर्देश परव्यावहारिक कार्य करना 5.1 व्यवस्थितसिफारिशों परप्रशिक्षण परियोजनाओं का कार्यान्वयन 5.2 व्यवस्थितसिफारिशों पर... संवेदनशीलता), एक आयामीऔर बहुआयामी... अनियमितमें घटक आकार... साथ खंड"प्रदर्शन... ... धारापाठ्यपुस्तकों में। समस्या को सुलझाना परप्रत्येक विषय। विस्तार व्यवस्थित निर्देशप्रयोगशाला के काम के लिए पर ... अनियमितऔर वाद्य माप त्रुटि 1.8 नियंत्रण कार्यों के विषय और व्यवस्थित निर्देश पर... कण में एक आयामीसंभावित छेद। ... ... व्यवस्थित निर्देशप्रयोगशाला कार्यों के लिए पर ... आकार, और सबसे बड़ी राशि मात्रा... सरणी अनियमितसंख्या... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 a) एक आयामीसरणी बी) द्वि-आयामी सरणी अंजीर। 2– फ़ाइलें... में वर्णित हैं खंडक्रियान्वयन के बाद...
.
. उनके योग का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए। स्वतंत्र यादृच्छिक चर x और h के योग का वितरण ज्ञात कीजिए, जहाँ x का अंतराल पर एक समान वितरण है, और h का पैरामीटर l के साथ एक घातीय वितरण है। पी खोजें 
, यदि x में है: a) पैरामीटर a और s2 के साथ सामान्य वितरण; बी) पैरामीटर एल के साथ घातीय वितरण; ग) अंतराल पर समान वितरण [-1;1]। x, h का संयुक्त वितरण एकसमान वर्ग है
के = (एक्स, वाई): |x| +|y|£ 2)। संभावना खोजें 
. क्या x और h स्वतंत्र हैं? यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी समान रूप से त्रिभुज K= के अंदर वितरित की जाती है। घनत्व x और h की गणना करें। क्या ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं? प्रायिकता ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और अंतरालों पर समान रूप से वितरित हैं और [-1,1]। प्रायिकता ज्ञात कीजिए। एक द्वि-आयामी यादृच्छिक चर (x, h) को एक वर्ग में समान रूप से वितरित किया जाता है जिसमें शीर्ष (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) होते हैं। बिंदु (1, -1) पर संयुक्त वितरण फलन का मान ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक सदिश (x, h) मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 3 के एक वृत्त के भीतर समान रूप से वितरित है। संयुक्त वितरण घनत्व के लिए एक व्यंजक लिखिए। निर्धारित करें कि क्या ये यादृच्छिक चर निर्भर हैं। संभावना की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी समान रूप से एक समलम्ब के अंदर बिंदुओं (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0) पर शीर्षों के साथ वितरित की जाती है। यादृच्छिक चर के इस जोड़े के लिए संयुक्त वितरण घनत्व और घटकों के घनत्व का पता लगाएं। क्या एक्स और एच निर्भर हैं? एक यादृच्छिक जोड़ी (x, h) अर्धवृत्त के अंदर समान रूप से वितरित की जाती है। घनत्व x और h ज्ञात कीजिए, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच कीजिए। दो यादृच्छिक चर x और h का संयुक्त घनत्व है 
.
घनत्व x, h ज्ञात कीजिए। x और h की निर्भरता के प्रश्न का अन्वेषण करें। एक यादृच्छिक जोड़ी (x, h) सेट पर समान रूप से वितरित की जाती है। घनत्व x और h ज्ञात कीजिए, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच कीजिए। एम (एक्सएच) खोजें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और पैरामीटर Find . के साथ घातीय कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं
, या:
. इसकी क्या प्रायिकता है कि पूरे बैच में ठीक 3 दोषपूर्ण कार्ट्रिज होंगे?
, कहाँ पे ।
.
.
.
.
के लिए 
, तब
.
.
लाप्लास फ़ंक्शन है।
2. F(x) एक गैर-घटता फलन है, अर्थात। एफ (एक्स 2) एफ (एक्स 1) अगर एक्स 2> एक्स 1
निम्नलिखित सीमा संबंध मान्य हैं:
चित्र 1एक्स
1
4
8
पी
0.3
0.1
0.6
हल: वितरण फलन को विश्लेषणात्मक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:
चित्र 2
(8)
2. एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण घनत्व का -∞ से +∞ तक निश्चित अभिन्न 1: f(x)dx=1 के बराबर है।
3. एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण घनत्व के -∞ से x तक निश्चित अभिन्न इस चर के वितरण समारोह के बराबर है: f(x)dx=F(x)
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, X अंतराल (0.5; 1) से संबंधित मान लेगा।
या
डी (एक्स) = एक्स 2 एफ (एक्स) डीएक्स- 2 (11 *)4. एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का घनत्व
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. आइए अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:
.
.5. असतत यादृच्छिक चर के विशिष्ट वितरण
5.1. बर्नौली वितरण
,
कहाँ पे क=0,1.
5.2. द्विपद वितरण
कि घटना ए
में दिखाई देगा एनपरीक्षण बिल्कुल कबार, लगभग बराबर (अधिक सटीक, अधिक एन) फ़ंक्शन मान
,
कहाँ पे
,
.
,
परिशिष्ट 1 में दिए गए हैं, और
.
समारोह
मानक सामान्य वितरण का घनत्व है (सामान्य वितरण देखें)।
.
परिशिष्ट 1 की तालिका के अनुसार हम पाते हैं
.
तब वांछित संभावना होगी:
,
कहाँ पे
और
.
,
और
.
लाप्लास फ़ंक्शन कहा जाता है (सामान्य वितरण देखें)। फ़ंक्शन मान वाली तालिकाएँ
,
परिशिष्ट 2 में दिए गए हैं, और
.
;
.
और
.
तब अभीष्ट प्रायिकता है:5.3. पॉसों वितरण
,
कहाँ पे
और
(नियत मान)।
,
कहाँ पे
,
अर्थात् घटनाओं के घटित होने की औसत संख्या स्थिर रहती है।
,
जहां यादृच्छिक चर एक्स- दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या।5.4. ज्यामितीय वितरण
.
अभिसरण करता है और इसका योग एक के बराबर होता है। वास्तव में, श्रृंखला का योग है
.5.5. हाइपरज्यामितीय वितरण
अनुशासन के लिए शैक्षिक और कार्यप्रणाली परिसर "सामान्य मनोवैज्ञानिक कार्यशाला"
प्रशिक्षण और मौसम विज्ञान परिसरभौतिकी के अनुशासन में शैक्षिक और पद्धतिगत परिसर (नाम)
प्रशिक्षण और मौसम विज्ञान परिसरसूचना विज्ञान के अनुशासन में प्रयोगशाला कार्य के लिए दिशानिर्देश
दिशा-निर्देश
