बीजीय योगों के माध्यम से व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुणांकों की अभिव्यक्ति। व्युत्क्रम मैट्रिक्स परिभाषा अस्तित्व और विशिष्टता
परिभाषा 1:एक मैट्रिक्स को पतित कहा जाता है यदि उसका निर्धारक शून्य है।
परिभाषा 2:एक मैट्रिक्स को गैर-एकवचन कहा जाता है यदि इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।
मैट्रिक्स "ए" कहा जाता है उलटा मैट्रिक्स, यदि शर्त A*A-1 = A-1 *A = E (पहचान मैट्रिक्स) संतुष्ट है।
एक वर्ग मैट्रिक्स केवल तभी उलटा होता है जब वह एकवचन न हो।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए योजना:
1) यदि मैट्रिक्स "ए" के निर्धारक की गणना करें ∆ ए = 0, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।
2) मैट्रिक्स "ए" के सभी बीजगणितीय पूरक खोजें।
3) बीजगणितीय योगों का एक मैट्रिक्स बनाएं (एआईजे)
4) बीजगणितीय पूरकों के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें (Aij )T
5) ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को एक संख्या से गुणा करें, व्युत्क्रम निर्धारकयह मैट्रिक्स.
6) जाँच चलाएँ:
पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह कठिन है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल है। सभी समाधान सरल अंकगणितीय परिचालनों पर आधारित हैं, हल करते समय मुख्य बात यह है कि "-" और "+" संकेतों से भ्रमित न हों, और उन्हें खोना नहीं है।
और अब आइए व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करके आपके साथ मिलकर एक व्यावहारिक समस्या हल करें।
कार्य: व्युत्क्रम मैट्रिक्स "ए" ढूंढें, जो नीचे चित्र में दिखाया गया है:
1. पहली बात यह है कि मैट्रिक्स "ए" के निर्धारक को ढूंढना है:
व्याख्या:
हमने इसके मुख्य कार्यों का उपयोग करके अपने निर्धारक को सरल बना दिया है। सबसे पहले, हमने दूसरी और तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति के तत्वों को एक संख्या से गुणा करके जोड़ा।
दूसरे, हमने सारणिक के दूसरे और तीसरे कॉलम को बदल दिया, और इसके गुणों के अनुसार, हमने इसके सामने के चिह्न को बदल दिया।
तीसरा, हमने दूसरी पंक्ति का सामान्य गुणनखंड (-1) निकाल दिया, जिससे चिह्न फिर से बदल गया और यह सकारात्मक हो गया। हमने पंक्ति 3 को भी उसी तरह सरल बनाया है, जैसे उदाहरण की शुरुआत में।
हमारे पास एक त्रिकोणीय निर्धारक है, जिसमें विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य के बराबर हैं, और संपत्ति 7 के अनुसार यह उत्पाद के बराबर हैविकर्ण तत्व. परिणाम हमें मिला ∆ ए = 26, इसलिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।
ए11 = 1*(3+1) = 4
ए12 = -1 * (9 + 2) = -11
ए13 = 1*1 = 1
ए21 = -1*(-6) = 6
ए22 = 1*(3-0) = 3
ए23 = -1*(1+4) = -5
ए31 = 1*2 = 2
ए32 = -1*(-1) = -1
ए33 = 1+(1+6) = 7
3. अगला कदम परिणामी परिवर्धन से एक मैट्रिक्स संकलित करना है:
5. हम इस मैट्रिक्स को सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं, अर्थात 1/26 से:
6. खैर, अब हमें बस जाँच करने की ज़रूरत है:
सत्यापन के दौरान, हमें एक पहचान मैट्रिक्स प्राप्त हुआ, इसलिए, निर्णय बिल्कुल सही किया गया।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने के 2 तरीके।
1. आव्यूहों का प्राथमिक परिवर्तन
2. उलटा मैट्रिक्सएक प्राथमिक कनवर्टर के माध्यम से.
प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन में शामिल हैं:
1. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।
2. किसी पंक्ति में किसी अन्य पंक्ति को जोड़कर किसी संख्या से गुणा करना।
3. मैट्रिक्स की पंक्तियों की अदला-बदली।
4. प्राथमिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला को लागू करने पर, हमें एक और मैट्रिक्स प्राप्त होता है।
ए -1 = ?
1. (ए|ई) ~ (ई|ए -1 )
2. ए -1*ए=ई
इस पर विचार करें व्यावहारिक उदाहरणवास्तविक संख्या के साथ.
व्यायाम:व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें.
समाधान:
की जाँच करें:
समाधान पर थोड़ा स्पष्टीकरण:
हमने पहले मैट्रिक्स की पंक्तियों 1 और 2 की अदला-बदली की, फिर हमने पहली पंक्ति को (-1) से गुणा किया।
उसके बाद, पहली पंक्ति को (-2) से गुणा किया गया और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। फिर हमने दूसरी पंक्ति को 1/4 से गुणा किया।
अंतिम चरणपरिवर्तन में दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करना और पहली पंक्ति को जोड़ना था। परिणामस्वरूप, हमारे पास बाईं ओर एक पहचान मैट्रिक्स है, इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स दाईं ओर का मैट्रिक्स है।
जाँच के बाद, हम समाधान की शुद्धता के प्रति आश्वस्त हुए।
जैसा कि आप देख सकते हैं, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना बहुत सरल है।
इस व्याख्यान के समापन में, मैं ऐसे मैट्रिक्स के गुणों पर भी कुछ समय देना चाहूंगा।
मान लीजिए कि nवें क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है
मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है उलटा मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में, यदि ए * ए -1 = ई, जहां ई एनवें क्रम का पहचान मैट्रिक्स है।
शिनाख्त सांचा- ऐसा वर्गाकार मैट्रिक्स, जिसमें ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक जाने वाले मुख्य विकर्ण के सभी तत्व एक होते हैं, और शेष शून्य होते हैं, उदाहरण के लिए:
उलटा मैट्रिक्समौजूद हो सकता है केवल वर्ग आव्यूहों के लिएवे। उन मैट्रिक्स के लिए जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान है।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स अस्तित्व स्थिति प्रमेय
किसी मैट्रिक्स में व्युत्क्रम मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह नॉनडीजेनरेट हो।
मैट्रिक्स A = (A1, A2,...A n) कहलाता है गैर पतितयदि स्तंभ सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। किसी मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम वैक्टर की संख्या को मैट्रिक्स की रैंक कहा जाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स की रैंक उसके आयाम के बराबर हो, अर्थात। आर = एन.
व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम
- गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए तालिका में मैट्रिक्स ए लिखें और दाईं ओर (समीकरणों के दाएं भागों के स्थान पर) मैट्रिक्स ई असाइन करें।
- जॉर्डन ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स ए को एकल कॉलम वाले मैट्रिक्स में लाएं; इस मामले में, मैट्रिक्स ई को एक साथ बदलना आवश्यक है।
- यदि आवश्यक हो, तो अंतिम तालिका की पंक्तियों (समीकरणों) को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि मूल तालिका के मैट्रिक्स ए के तहत पहचान मैट्रिक्स ई प्राप्त हो सके।
- व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 लिखें, जो मूल तालिका के मैट्रिक्स E के अंतर्गत अंतिम तालिका में है।
मैट्रिक्स A के लिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 खोजें
समाधान: हम मैट्रिक्स ए लिखते हैं और दाईं ओर हम पहचान मैट्रिक्स ई निर्दिष्ट करते हैं। जॉर्डन परिवर्तनों का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई में कम करते हैं। गणना तालिका 31.1 में दिखायी गयी है।
आइए मूल मैट्रिक्स ए और व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 को गुणा करके गणना की शुद्धता की जांच करें।
मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप, पहचान मैट्रिक्स प्राप्त होता है। इसलिए, गणना सही है.
उत्तर: 
मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान
मैट्रिक्स समीकरण इस प्रकार दिख सकते हैं:
एएक्स = बी, एक्सए = बी, एएक्सबी = सी,
जहां ए, बी, सी को मैट्रिक्स दिया गया है, एक्स वांछित मैट्रिक्स है।
मैट्रिक्स समीकरणों को व्युत्क्रम आव्यूहों से गुणा करके हल किया जाता है।
उदाहरण के लिए, किसी समीकरण से मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको इस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करना होगा।
इसलिए, समीकरण का समाधान खोजने के लिए, आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे समीकरण के दाईं ओर के मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।
अन्य समीकरण भी इसी प्रकार हल किये जाते हैं।
समीकरण AX = B को हल करें यदि 
समाधान: चूँकि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम बराबर होता है (उदाहरण 1 देखें)
आर्थिक विश्लेषण में मैट्रिक्स विधि
दूसरों के साथ-साथ इनका भी उपयोग होता है मैट्रिक्स तरीके. ये विधियाँ रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं। ऐसी विधियों का उपयोग जटिल और बहुआयामी आर्थिक घटनाओं का विश्लेषण करने के प्रयोजनों के लिए किया जाता है। अधिकतर, इन विधियों का उपयोग तब किया जाता है जब संगठनों के कामकाज और उनके संरचनात्मक प्रभागों की तुलना करना आवश्यक होता है।
विश्लेषण के मैट्रिक्स तरीकों को लागू करने की प्रक्रिया में, कई चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।
पहले चरण मेंसिस्टम बन रहा है आर्थिक संकेतकऔर इसके आधार पर, प्रारंभिक डेटा का एक मैट्रिक्स संकलित किया जाता है, जो एक तालिका है जिसमें सिस्टम संख्याओं को इसकी अलग-अलग पंक्तियों में दिखाया जाता है (मैं = 1,2,....,एन), और ऊर्ध्वाधर ग्राफ़ के साथ - संकेतकों की संख्या (जे = 1,2,....,एम).
दूसरे चरण मेंप्रत्येक ऊर्ध्वाधर स्तंभ के लिए, संकेतकों के उपलब्ध मूल्यों में से सबसे बड़ा खुलासा किया जाता है, जिसे एक इकाई के रूप में लिया जाता है।
उसके बाद, इस कॉलम में परिलक्षित सभी राशियों को विभाजित किया जाता है उच्चतम मूल्यऔर एक मैट्रिक्स बनता है मानकीकृत गुणांक.
तीसरे चरण मेंमैट्रिक्स के सभी घटक वर्गित हैं। यदि उनका अलग-अलग महत्व है, तो मैट्रिक्स के प्रत्येक संकेतक को एक निश्चित भार गुणांक सौंपा गया है क. उत्तरार्द्ध का मूल्य एक विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित किया जाता है।
अंत समय पर चौथा चरणरेटिंग के मान मिले आर.जेबढ़ने या घटने के क्रम में समूहीकृत।
उपरोक्त मैट्रिक्स विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, कब तुलनात्मक विश्लेषणविभिन्न निवेश परियोजनाएँ, साथ ही संगठनों के अन्य आर्थिक प्रदर्शन संकेतकों का आकलन करने में।
यह विषय छात्रों के बीच सबसे अधिक नापसंद किए जाने वाले विषयों में से एक है। इससे भी बदतर, शायद, केवल निर्धारक।
चाल यह है कि व्युत्क्रम तत्व की अवधारणा (और मैं अभी केवल मैट्रिक्स के बारे में बात नहीं कर रहा हूं) हमें गुणन के संचालन को संदर्भित करता है। यहां तक कि स्कूली पाठ्यक्रम में भी, गुणन को एक जटिल ऑपरेशन माना जाता है, और मैट्रिक्स गुणन आम तौर पर एक अलग विषय है, जिसके लिए मेरे पास एक पूरा पैराग्राफ और एक वीडियो पाठ समर्पित है।
आज हम मैट्रिक्स गणना के विवरण में नहीं जाएंगे। बस याद रखें: मैट्रिक्स को कैसे दर्शाया जाता है, उन्हें कैसे गुणा किया जाता है और इससे क्या होता है।
समीक्षा: मैट्रिक्स गुणन
सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। $\left[ m\times n \right]$ आकार का एक मैट्रिक्स $A$ बिल्कुल $m$ पंक्तियों और $n$ कॉलम वाली संख्याओं की एक तालिका है:
\=\अंडरब्रेस(\left[ \begin(मैट्रिक्स) ((ए)_(11)) और ((ए)_(12)) और ... और ((ए)_(1n)) \\ (( a)_(21)) और ((a)_(22)) और ... और ((a)_(2n)) \ ... और ... और ... और ... \ ((ए)_(एम1)) और ((ए)_(एम2)) और ... और ((ए)_(एमएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \दाएं])_(एन)\]
गलती से पंक्तियों और स्तंभों को स्थानों में भ्रमित न करने के लिए (मेरा विश्वास करें, परीक्षा में आप एक को ड्यूस के साथ भ्रमित कर सकते हैं - हम वहां कुछ पंक्तियों के बारे में क्या कह सकते हैं), बस चित्र पर एक नज़र डालें:
मैट्रिक्स कोशिकाओं के लिए सूचकांक का निर्धारण क्या हो रहा है? यदि रखा गया है मानक प्रणालीऊपरी बाएँ कोने में $OXY$ का समन्वय करें और अक्षों को निर्देशित करें ताकि वे पूरे मैट्रिक्स को कवर करें, फिर इस मैट्रिक्स की प्रत्येक कोशिका को निर्देशांक $\left(x;y \right)$ के साथ विशिष्ट रूप से संबद्ध किया जा सकता है - यह होगा पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या.
समन्वय प्रणाली को ठीक ऊपरी बाएँ कोने में क्यों रखा गया है? हाँ, क्योंकि यहीं से हम किसी भी पाठ को पढ़ना शुरू करते हैं। इसे याद रखना बहुत आसान है.
$x$ अक्ष दाईं ओर न होकर नीचे की ओर क्यों है? फिर, यह सरल है: मानक समन्वय प्रणाली लें ($x$ अक्ष दाईं ओर जाता है, $y$ अक्ष ऊपर जाता है) और इसे घुमाएं ताकि यह मैट्रिक्स को घेर ले। यह 90 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाव है - इसका परिणाम हम चित्र में देखते हैं।
सामान्य तौर पर, हमने यह पता लगाया कि मैट्रिक्स तत्वों के सूचकांकों का निर्धारण कैसे किया जाए। अब आइए गुणन से निपटें।
परिभाषा। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$, जब पहले में कॉलम की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या से मेल खाती है, हैं सुसंगत कहा जाता है.
यह उसी क्रम में है. कोई अस्पष्ट हो सकता है और कह सकता है कि आव्यूह $A$ और $B$ एक क्रमित जोड़ी बनाते हैं $\left(A;B \right)$: यदि वे इस क्रम में सुसंगत हैं, तो यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि $B $ और $A$, वे। जोड़ी $\left(B;A \right)$ भी सुसंगत है।
केवल संगत आव्यूहों को ही गुणा किया जा सकता है।
परिभाषा। संगत मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ का गुणनफल है नया मैट्रिक्स$C=\left[ m\times k \right]$, जिनके तत्व $((c)_(ij))$ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स $C=A\cdot B$ का तत्व $((c)_(ij))$ प्राप्त करने के लिए, आपको पहले मैट्रिक्स की $i$-पंक्ति, $j$ लेने की आवश्यकता है दूसरे मैट्रिक्स का -वाँ कॉलम, और फिर इस पंक्ति और कॉलम से जोड़े तत्वों को गुणा करें। परिणाम जोड़ें.
हाँ, यह एक कठोर परिभाषा है। इससे तुरंत कई तथ्य सामने आते हैं:
- मैट्रिक्स गुणन, आम तौर पर बोलना, गैर-क्रमविनिमेय है: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- हालाँकि, गुणन साहचर्य है: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- और वितरणात्मक भी: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- और फिर से वितरणात्मक: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
गुणन संक्रिया की गैर-विनिमेयता के कारण गुणन की वितरणशीलता को बाएँ और दाएँ गुणक-योग के लिए अलग-अलग वर्णित किया जाना था।
यदि, फिर भी, यह पता चलता है कि $A\cdot B=B\cdot A$, तो ऐसे मैट्रिक्स को क्रमपरिवर्तनीय कहा जाता है।
सभी आव्यूहों में जिन्हें किसी चीज़ से गुणा किया जाता है, कुछ विशेष आव्यूह होते हैं - वे, जिन्हें किसी भी आव्यूह $A$ से गुणा करने पर फिर से $A$ मिलता है:
परिभाषा। एक मैट्रिक्स $E$ को पहचान कहा जाता है यदि $A\cdot E=A$ या $E\cdot A=A$. वर्ग मैट्रिक्स $A$ के मामले में हम लिख सकते हैं:
पहचान मैट्रिक्स हल करने में बार-बार आने वाला अतिथि है मैट्रिक्स समीकरण. और सामान्य तौर पर, मैट्रिसेस की दुनिया में बार-बार आने वाला मेहमान। :)
और इस $E$ के कारण, कोई वह सारा गेम लेकर आया जिसके बारे में आगे लिखा जाएगा।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स क्या है
चूँकि मैट्रिक्स गुणन एक बहुत समय लेने वाला ऑपरेशन है (आपको पंक्तियों और स्तंभों का एक समूह गुणा करना होगा), व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा भी सबसे तुच्छ नहीं है। और इसके लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है.
मुख्य परिभाषा
खैर, अब सच जानने का समय आ गया है।
परिभाषा। मैट्रिक्स $B$ को मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि
व्युत्क्रम मैट्रिक्स को $((A)^(-1))$ द्वारा दर्शाया जाता है (डिग्री के साथ भ्रमित न हों!), इसलिए परिभाषा को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:
ऐसा प्रतीत होगा कि सब कुछ अत्यंत सरल और स्पष्ट है। लेकिन ऐसी परिभाषा का विश्लेषण करते समय तुरंत कई प्रश्न उठते हैं:
- क्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स हमेशा मौजूद होता है? और यदि हमेशा नहीं, तो यह कैसे निर्धारित किया जाए: यह कब मौजूद है और कब नहीं?
- और किसने कहा कि ऐसा मैट्रिक्स बिल्कुल एक ही है? क्या होगा यदि किसी मूल मैट्रिक्स $A$ के लिए व्युत्क्रमों की पूरी भीड़ हो?
- ये सभी "उलट" कैसे दिखते हैं? और आप वास्तव में उन्हें कैसे गिनते हैं?
गणना एल्गोरिदम के लिए - हम इस बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे। लेकिन बाकी सवालों का जवाब हम अभी देंगे. आइए हम उन्हें अलग-अलग अभिकथन-लेम्मा के रूप में व्यवस्थित करें।
बुनियादी गुण
आइए शुरू करते हैं कि मैट्रिक्स $A$ कैसा दिखना चाहिए ताकि इसमें $((A)^(-1))$ हो। अब हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये दोनों आव्यूह वर्गाकार हों और समान आकार के हों: $\left[ n\times n \right]$।
लेम्मा 1. एक मैट्रिक्स $A$ और इसका व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ दिया गया है। फिर ये दोनों आव्यूह वर्गाकार हैं और इनका क्रम $n$ समान है।
सबूत। सब कुछ सरल है. मान लीजिए मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. चूँकि उत्पाद $A\cdot ((A)^(-1))=E$ परिभाषा के अनुसार मौजूद है, आव्यूह $A$ और $((A)^(-1))$ उस क्रम में सुसंगत हैं:
\[\begin(संरेखित) और \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( संरेखित करें)\]
यह मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म का प्रत्यक्ष परिणाम है: गुणांक $n$ और $a$ "पारगमन" हैं और समान होने चाहिए।
साथ ही, व्युत्क्रम गुणन भी परिभाषित किया गया है: $((A)^(-1))\cdot A=E$, इसलिए आव्यूह $((A)^(-1))$ और $A$ हैं इस क्रम में भी सुसंगत:
\[\begin(संरेखित) और \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( संरेखित करें)\]
इस प्रकार, व्यापकता की हानि के बिना, हम मान सकते हैं कि $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. हालाँकि, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ की परिभाषा के अनुसार, इसलिए मैट्रिक्स के आयाम बिल्कुल समान हैं:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
तो यह पता चलता है कि सभी तीन आव्यूह - $A$, $((A)^(-1))$ और $E$ - आकार में वर्गाकार हैं $\left[ n\times n \right]$। लेम्मा सिद्ध है.
ख़ैर, यह पहले से ही अच्छा है। हम देखते हैं कि केवल वर्ग आव्यूह व्युत्क्रमणीय होते हैं। अब आइए सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स हमेशा समान हो।
लेम्मा 2. एक मैट्रिक्स $A$ और इसका व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ दिया गया है। तब यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स अद्वितीय है।
सबूत। आइए इसके विपरीत से शुरू करें: मान लें कि मैट्रिक्स $A$ में व्युत्क्रम के कम से कम दो उदाहरण हैं - $B$ और $C$। फिर, परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:
\[\begin(संरेखित) और A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(संरेखित करें)\]
लेम्मा 1 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार आव्यूह $A$, $B$, $C$ और $E$ एक ही क्रम के वर्ग हैं: $\left[ n\times n \right]$। इसलिए, उत्पाद परिभाषित है:
चूँकि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है (लेकिन क्रमविनिमेय नहीं!), हम लिख सकते हैं:
\[\begin(संरेखित) और B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\दायाँ तीर B=C. \\ \end(संरेखित करें)\]
ही प्राप्त हुआ संभव संस्करण: व्युत्क्रम मैट्रिक्स के दो उदाहरण समान हैं। लेम्मा सिद्ध है.
उपरोक्त तर्क लगभग शब्दशः सभी वास्तविक संख्याओं $b\ne 0$ के लिए व्युत्क्रम तत्व की विशिष्टता के प्रमाण को दोहराता है। एकमात्र महत्वपूर्ण जोड़ मैट्रिक्स के आयाम को ध्यान में रखना है।
हालाँकि, हम अभी भी इस बारे में कुछ नहीं जानते हैं कि कोई वर्ग मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है या नहीं। यहां निर्धारक हमारी सहायता के लिए आता है - यह है प्रमुख विशेषतासभी वर्ग आव्यूहों के लिए.
लेम्मा 3. एक मैट्रिक्स $A$ दिया गया है। यदि मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ का व्युत्क्रम मौजूद है, तो मूल मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है:
\[\बाएं| ए \दाएं|\ne 0\]
सबूत। हम पहले से ही जानते हैं कि $A$ और $((A)^(-1))$ आकार के वर्ग आव्यूह हैं $\left[ n\times n \right]$। इसलिए, उनमें से प्रत्येक के लिए निर्धारक की गणना करना संभव है: $\left| A \right|$ और $\left| ((ए)^(-1)) \दाएं|$. हालाँकि, उत्पाद का निर्धारक निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है:
\[\बाएं| A\cdot B \दाएं|=\बाएं| एक \दाएँ|\cdot \बाएँ| बी \दाएं|\दायां तीर \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| एक \दाएँ|\cdot \बाएँ| ((ए)^(-1)) \दाएं|\]
लेकिन $A\cdot ((A)^(-1))=E$ की परिभाषा के अनुसार, और $E$ का निर्धारक हमेशा 1 के बराबर होता है, इसलिए
\[\begin(संरेखित करें) और A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| ई\दाएं|; \\ & \बाएं| एक \दाएँ|\cdot \बाएँ| ((ए)^(-1)) \दाएं|=1. \\ \end(संरेखित करें)\]
दो संख्याओं का गुणनफल केवल एक के बराबर होता है यदि इनमें से प्रत्येक संख्या शून्य से भिन्न हो:
\[\बाएं| A \right|\ne 0;\quad \left| ((ए)^(-1)) \दाएं|\ne 0.\]
तो यह पता चला कि $\left| A \right|\ne 0$. लेम्मा सिद्ध है.
वास्तव में, यह आवश्यकता काफी तार्किक है। अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे - और यह पूरी तरह से स्पष्ट हो जाएगा कि, सिद्धांत रूप में, शून्य निर्धारक के साथ कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद क्यों नहीं हो सकता है।
लेकिन पहले, आइए एक "सहायक" परिभाषा तैयार करें:
परिभाषा। एक पतित मैट्रिक्स $\left[ n\times n \right]$ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसका निर्धारक शून्य है।
इस प्रकार, हम यह दावा कर सकते हैं कि कोई भी उलटा मैट्रिक्स नॉनडीजेनरेट है।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स कैसे खोजें
अब हम व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम पर विचार करेंगे। सामान्य तौर पर, दो आम तौर पर स्वीकृत एल्गोरिदम हैं, और हम आज दूसरे पर भी विचार करेंगे।
अब जिस पर विचार किया जाएगा वह $\left[ 2\times 2 \right]$ आकार और - आंशिक रूप से $\left[ 3\times 3 \right]$ आकार के आव्यूहों के लिए बहुत कुशल है। लेकिन आकार $\left[ 4\times 4 \right]$ से शुरू करके इसका उपयोग न करना ही बेहतर है। क्यों - अब तुम्हें सब समझ में आ जायेगा।
बीजगणितीय जोड़
तैयार कर। अब तो दर्द होगा. नहीं, चिंता न करें: स्कर्ट में एक खूबसूरत नर्स, फीता के साथ मोज़ा आपके पास नहीं आएगी और आपको नितंब में इंजेक्शन नहीं देगी। सब कुछ बहुत अधिक नीरस है: बीजगणितीय जोड़ और महामहिम "यूनियन मैट्रिक्स" आपके पास आ रहे हैं।
आइए मुख्य से शुरू करें। मान लीजिए कि $A=\left[ n\times n \right]$ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसके तत्वों का नाम $((a)_(ij))$ है। फिर, ऐसे प्रत्येक तत्व के लिए, कोई बीजगणितीय पूरक परिभाषित कर सकता है:
परिभाषा। बीजगणित $((A)_(ij))$ को $i$-th पंक्ति और मैट्रिक्स के $j$-th कॉलम में $((a)_(ij))$ तत्व से पूरक करता है $A=\left [ n \times n \right]$ फॉर्म का एक निर्माण है
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
जहां $M_(ij)^(*)$ समान $i$-th पंक्ति और $j$-th कॉलम को हटाकर मूल $A$ से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।
दोबारा। निर्देशांक $\left(i;j \right)$ के साथ मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक को $((A)_(ij))$ के रूप में दर्शाया गया है और योजना के अनुसार गणना की जाती है:
- सबसे पहले, हम मूल मैट्रिक्स से $i$-row और $j$-th कॉलम हटाते हैं। हमें एक नया वर्ग मैट्रिक्स मिलता है, और हम इसके निर्धारक को $M_(ij)^(*)$ के रूप में दर्शाते हैं।
- फिर हम इस निर्धारक को $((\left(-1 \right))^(i+j))$ से गुणा करते हैं - पहले तो यह अभिव्यक्ति आश्चर्यजनक लग सकती है, लेकिन वास्तव में हमें $ के सामने का चिह्न मिल जाता है। M_(ij)^(*) $.
- हम गिनते हैं - हमें एक विशिष्ट संख्या मिलती है। वे। बीजगणितीय जोड़ केवल एक संख्या है, कोई नया मैट्रिक्स नहीं, इत्यादि।
मैट्रिक्स $M_(ij)^(*)$ को स्वयं तत्व $((a)_(ij))$ का पूरक लघु कहा जाता है। और इस अर्थ में, बीजगणितीय पूरक की उपरोक्त परिभाषा एक अधिक जटिल परिभाषा का एक विशेष मामला है - जिसे हमने निर्धारक के बारे में पाठ में माना था।
महत्वपूर्ण लेख। दरअसल, "वयस्क" गणित में, बीजीय जोड़ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
- हम एक वर्ग मैट्रिक्स में $k$ पंक्तियाँ और $k$ कॉलम लेते हैं। उनके प्रतिच्छेदन पर, हमें $\left[ k\times k \right]$ आकार का एक मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को $k$ क्रम का लघु कहा जाता है और इसे $((M)_(k))$ द्वारा दर्शाया जाता है।
- फिर हम इन "चयनित" $k$ पंक्तियों और $k$ कॉलमों को काट देते हैं। फिर से, हमें एक वर्ग मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को पूरक लघु कहा जाता है और इसे $M_(k)^(*)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
- $M_(k)^(*)$ को $((\left(-1 \right))^(t))$ से गुणा करें, जहां $t$ (अब ध्यान दें!) सभी चयनित पंक्तियों की संख्याओं का योग है और कॉलम. यह बीजगणितीय जोड़ होगा.
तीसरे चरण पर एक नज़र डालें: वास्तव में $2k$ शब्दों का योग है! दूसरी बात यह है कि $k=1$ के लिए हमें केवल 2 पद मिलते हैं - ये वही $i+j$ होंगे - तत्व $((a)_(ij))$ के "निर्देशांक", जिसके लिए हम हैं एक बीजगणितीय पूरक की तलाश में।
इसलिए आज हम थोड़ी सरलीकृत परिभाषा का उपयोग करते हैं। लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह पर्याप्त से अधिक होगा। निम्नलिखित अधिक महत्वपूर्ण है:
परिभाषा। संघ मैट्रिक्स $S$ से वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ आकार का एक नया मैट्रिक्स है $\left[ n\times n \right]$, जो $A$ से प्राप्त होता है $(( a)_(ij))$ को बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ से प्रतिस्थापित करके:
\\दायां तीर S=\left[ \begin(मैट्रिक्स) ((ए)_(11)) और ((ए)_(12)) और ... और ((ए)_(1n)) \\ (( ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) \ ... और ... और ... और ... \ ((ए)_(एन1)) और ((ए)_(एन2)) और ... और ((ए)_(एनएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \दाएं]\]
इस परिभाषा को समझने के क्षण में पहला विचार यह उठता है कि "आपको कुल मिलाकर कितना गिनना है!" आराम करें: आपको गिनना होगा, लेकिन इतना नहीं। :)
खैर ये सब तो बहुत अच्छा है, लेकिन ये जरूरी क्यों है? लेकिन क्यों।
मुख्य प्रमेय
चलिए थोड़ा पीछे चलते हैं. याद रखें, लेम्मा 3 में कहा गया है कि एक उलटा मैट्रिक्स $A$ हमेशा गैर-एकवचन होता है (अर्थात, इसका निर्धारक गैर-शून्य होता है: $\left| A \right|\ne 0$)।
तो, इसका विपरीत भी सत्य है: यदि मैट्रिक्स $A$ पतित नहीं है, तो यह हमेशा उलटा होता है। और यहां तक कि एक खोज योजना भी है $((A)^(-1))$. इसकी जांच - पड़ताल करें:
व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्रमेय. मान लीजिए कि एक वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ दिया गया है, और इसका निर्धारक शून्येतर है: $\left| A \right|\ne 0$. फिर व्युत्क्रम मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ मौजूद है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
और अब - सब कुछ वैसा ही है, लेकिन सुपाठ्य लिखावट में। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको चाहिए:
- निर्धारक $\left| की गणना करें A \right|$ और सुनिश्चित करें कि यह गैर-शून्य है।
- यूनियन मैट्रिक्स $S$ संकलित करें, अर्थात। 100500 बीजगणितीय जोड़ $((A)_(ij))$ गिनें और उन्हें $((a)_(ij))$ के स्थान पर रखें।
- इस मैट्रिक्स $S$ को स्थानांतरित करें और फिर इसे किसी संख्या $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ से गुणा करें।
और बस! व्युत्क्रम मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ पाया जाता है। आइए उदाहरण देखें:
\[\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) 3 और 1 \\ 5 और 2 \\\अंत(मैट्रिक्स) \दाएं]\]
समाधान। आइए उत्क्रमणीयता की जाँच करें। आइए निर्धारक की गणना करें:
\[\बाएं| ए \दाएं|=\बाएं| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
निर्धारक शून्य से भिन्न है। तो मैट्रिक्स उलटा है. आइए एक यूनियन मैट्रिक्स बनाएं:
आइए बीजगणितीय योगों की गणना करें:
\[\begin(संरेखित) और ((ए)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\दाएं|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\दाएं|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \दाएं|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\दाएं|=3. \\ \end(संरेखित करें)\]
ध्यान दें: निर्धारक |2|, |5|, |1| और |3| $\left[ 1\times 1 \right]$ आकार के आव्यूहों के निर्धारक हैं, मॉड्यूल नहीं। वे। यदि निर्धारक थे नकारात्मक संख्याएँ, "माइनस" को हटाना आवश्यक नहीं है।
कुल मिलाकर, हमारा यूनियन मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (सरणी)(*(35)(आर)) 2 और -1 \ -5 और 3 \\अंत(सरणी) \दाएं]\]
ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। समस्या हल हो गई।
उत्तर। $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
काम। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
समाधान। फिर, हम निर्धारक पर विचार करते हैं:
\[\शुरू(संरेखित करें) और \बाएं| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(संरेखित)\]
निर्धारक शून्य से भिन्न है - मैट्रिक्स उलटा है। लेकिन अब यह सबसे अधिक सूक्ष्म होगा: आपको 9 (नौ, लानत है!) बीजगणितीय जोड़ तक गिनना होगा। और उनमें से प्रत्येक में $\left[ 2\times 2 \right]$ क्वालीफायर शामिल होगा। उड़ गया:
\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(मैट्रिक्स)\]
संक्षेप में, यूनियन मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:
इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स होगा:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 और 1 और -2 \\\end(सरणी) \दाएं]\]
खैर वह सब है। यहाँ उत्तर है.
उत्तर। $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$
जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रत्येक उदाहरण के अंत में, हमने एक जाँच की। इस संबंध में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी:
जांचने में आलस्य न करें. मूल मैट्रिक्स को प्राप्त व्युत्क्रम से गुणा करें - आपको $E$ प्राप्त होना चाहिए।
आगे की गणनाओं में त्रुटि देखने की तुलना में यह जांच करना बहुत आसान और तेज़ है, उदाहरण के लिए, जब आप एक मैट्रिक्स समीकरण हल करते हैं।
वैकल्पिक तरीका
जैसा कि मैंने कहा, उलटा मैट्रिक्स प्रमेय आकार $\left[ 2\times 2 \right]$ और $\left[ 3\times 3 \right]$ के लिए ठीक काम करता है (बाद वाले मामले में, यह इतना "सुंदर" नहीं है) अब और)। ”), लेकिन मैट्रिसेस के लिए बड़े आकारउदासी शुरू हो जाती है.
लेकिन चिंता न करें: एक वैकल्पिक एल्गोरिदम है जिसका उपयोग $\left[ 10\times 10 \right]$ मैट्रिक्स के लिए भी शांति से व्युत्क्रम खोजने के लिए किया जा सकता है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, इस एल्गोरिदम पर विचार करने के लिए, हमें थोड़ी सैद्धांतिक पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है।
प्राथमिक परिवर्तन
मैट्रिक्स के विभिन्न परिवर्तनों के बीच, कई विशेष परिवर्तन हैं - उन्हें प्राथमिक कहा जाता है। ऐसे तीन परिवर्तन हैं:
- गुणन. आप $i$-वीं पंक्ति (कॉलम) ले सकते हैं और इसे किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा कर सकते हैं;
- जोड़ना। $i$-वीं पंक्ति (कॉलम) में कोई अन्य $j$-th पंक्ति (कॉलम) जोड़ें, किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा करें (बेशक, $k=0$ भी संभव है, लेकिन इसका मतलब क्या है) उसमें से? ?हालांकि कुछ नहीं बदलेगा)।
- क्रमपरिवर्तन. $i$-th और $j$-th पंक्तियाँ (कॉलम) लें और उन्हें स्वैप करें।
इन परिवर्तनों को प्राथमिक क्यों कहा जाता है (बड़े मैट्रिक्स के लिए वे इतने प्राथमिक नहीं लगते हैं) और उनमें से केवल तीन ही क्यों हैं - ये प्रश्न आज के पाठ के दायरे से बाहर हैं। इसलिए, हम विवरण में नहीं जाएंगे।
एक और बात महत्वपूर्ण है: हमें इन सभी विकृतियों को संबंधित मैट्रिक्स पर निष्पादित करना होगा। हाँ, हाँ, आपने सही सुना। अब एक और परिभाषा होगी - आज के पाठ में अंतिम।
संलग्न मैट्रिक्स
निश्चित रूप से स्कूल में आपने जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल किया होगा। खैर, वहाँ, एक पंक्ति से दूसरी घटाएँ, किसी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करें - बस इतना ही।
तो: अब सब कुछ वैसा ही होगा, लेकिन पहले से ही "वयस्क तरीके से"। तैयार?
परिभाषा। मान लीजिए मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ और समान आकार का पहचान मैट्रिक्स $E$ $n$ दिया गया है। फिर संबंधित मैट्रिक्स $\left[ A\left| इ\सही. \right]$ एक नया $\left[ n\times 2n \right]$ मैट्रिक्स है जो इस तरह दिखता है:
\[\बाएं[ ए\बाएं| इ\सही. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) और 1 और 0 और ... और 0 \\((ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) और 0 और 1 और ... और 0 \\... और ... और ... और ... और ... और ... और ... और ... \((ए)_(एन1)) और ((ए)_(एन2)) और ... और ((ए)_(एनएन)) और 0 और 0 और ... और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\]
संक्षेप में, हम मैट्रिक्स $A$ लेते हैं, दाईं ओर हम इसे पहचान मैट्रिक्स $E$ निर्दिष्ट करते हैं सही आकार, सुंदरता के लिए हम उन्हें एक ऊर्ध्वाधर रेखा से अलग करते हैं - यहां आपके लिए संलग्न है। :)
क्या चालबाजी है? और यहाँ क्या है:
प्रमेय. मान लीजिए कि मैट्रिक्स $A$ उलटा है। सहायक मैट्रिक्स $\left[ A\left| पर विचार करें इ\सही. \दाएं]$. यदि उपयोग कर रहे हैं प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनइसे $\left[ E\left| फॉर्म में लाएँ चमकदार। \दाएं]$, यानी। $A$ से दाईं ओर मैट्रिक्स $E$ प्राप्त करने के लिए पंक्तियों को गुणा, घटाकर और पुनर्व्यवस्थित करके, फिर बाईं ओर प्राप्त मैट्रिक्स $B$ $A$ का व्युत्क्रम है:
\[\बाएं[ ए\बाएं| इ\सही. \दाएं]\से \बाएं[ ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]\दायां तीर B=((ए)^(-1))\]
यह इतना आसान है! संक्षेप में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम इस तरह दिखता है:
- संबंधित मैट्रिक्स $\left[ A\left| लिखें इ\सही. \दाएं]$;
- प्रारंभिक स्ट्रिंग रूपांतरण तब तक करें जब तक कि $A$ के बजाय दाईं ओर $E$ दिखाई न दे;
- बेशक, बाईं ओर भी कुछ दिखाई देगा - एक निश्चित मैट्रिक्स $B$। यह उलटा होगा;
- मुनाफ़ा! :)
निःसंदेह, कहना जितना आसान है, करना उतना ही आसान। तो आइए कुछ उदाहरण देखें: आकार $\left[ 3\times 3 \right]$ और $\left[ 4\times 4 \right]$ के लिए।
काम। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
समाधान। हम संलग्न मैट्रिक्स बनाते हैं:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 3 और 2 और 1 और 0 और 1 और 0 \\ 6 और -2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\]
चूँकि मूल मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम एक से भरा हुआ है, बाकी से पहली पंक्ति घटाएँ:
\[\begin(संरेखित करें) और \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 3 और 2 और 1 और 0 और 1 और 0 \\ 6 और - 2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\अंत(सरणी) \दाएं]\प्रारंभ(मैट्रिक्स) \डाउनएरो \\ -1 \\ -1 \\\अंत(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं [\begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \5 और -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]
पहली पंक्ति को छोड़कर, कोई और इकाइयाँ नहीं हैं। लेकिन हम इसे नहीं छूते हैं, अन्यथा नई हटाई गई इकाइयाँ तीसरे कॉलम में "गुणा" होने लगेंगी।
लेकिन हम दूसरी पंक्ति को पिछली पंक्ति से दो बार घटा सकते हैं - हमें निचले बाएँ कोने में एक इकाई मिलती है:
\[\begin(संरेखित) और \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 5 और -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\begin(मैट्रिक्स) \ \\ \डाउनएरो \\ -2 \\\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \बाएं [\begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]
अब हम अंतिम पंक्ति को पहली से और दो बार दूसरी से घटा सकते हैं - इस तरह हम पहले कॉलम को "शून्य" कर देंगे:
\[\begin(संरेखित) और \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\begin(मैट्रिक्स) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(मैट्रिक्स)\to \\ & \ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]
दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें और फिर इसे पहली से 6 बार घटाएं और अंतिम में 1 बार जोड़ें:
\[\begin(संरेखित करें) और \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ \ \\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \शुरू(सरणी)(आरआरआर|आरआरआर) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\शुरू (मैट्रिक्स) -6 \\ \updownerror \\ +1 \\end (मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \शुरू(सरणी)(आरआरआर|आरआरआर) 0 और 0 और 1 और -18 और 32 और -13 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]
यह केवल पंक्ति 1 और 3 की अदला-बदली करना बाकी है:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 1 और - 18 और 32 और -13 \\\end(सरणी) \दाएं]\]
तैयार! दाईं ओर आवश्यक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है।
उत्तर। $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
काम। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें:
\[\left[ \begin(मैट्रिक्स) 1 और 4 और 2 और 3 \\ 1 और -2 और 1 और -2 \\ 1 और -1 और 1 और 1 \\ 0 और -10 और -2 और -5 \\\अंत(मैट्रिक्स) \दाएं]\]
समाधान। हम फिर से संलग्न रचना लिखते हैं:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 1 और -2 और 1 और -2 और 0 और 1 और 0 और 0 \ \ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\अंत(सरणी) \दाएं]\]
आइए थोड़ा उधार लें, इस बात की चिंता करें कि अब हमें कितना गिनना है... और गिनना शुरू करें। आरंभ करने के लिए, हम पंक्तियों 2 और 3 में से पंक्ति 1 को घटाकर पहले कॉलम को "शून्य" करते हैं:
\[\begin(संरेखित करें) और \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 1 और -2 और 1 और -2 और 0 और 1 और 0 और 0 \\ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\begin(मैट्रिक्स) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \ 0 और -6 और -1 और -5 और -1 और 1 और 0 और 0 \ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]
हम पंक्ति 2-4 में बहुत सारे "नुकसान" देखते हैं। सभी तीन पंक्तियों को -1 से गुणा करें, और फिर पंक्ति 3 को बाकी से घटाकर तीसरे कॉलम को जला दें:
\[\begin(संरेखित) और \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और -6 और -1 और -5 और - 1 और 1 और 0 और 0 \ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ \बाएं| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ \बाएं| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 और 1 और -1 और 0 और 0 \ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \ 0 और 10 और 2 और 5 और 0 और 0 और 0 और -1 \ \end (सरणी) \दाएं]\begin(मैट्रिक्स) -2 \\ -1 \\ \updownrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( आरआरआरआर| आरआरआरआर) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]
अब मूल मैट्रिक्स के अंतिम कॉलम को "फ्राई" करने का समय आ गया है: बाकी से पंक्ति 4 घटाएं:
\[\begin(संरेखित) और \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end(सरणी ) \right]\begin(मैट्रिक्स) +1 \\ -3 \\ -2 \\ uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 & -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]
अंतिम रोल: पंक्ति 1 और 3 से पंक्ति 2 को घटाकर दूसरे कॉलम को "बर्न आउट" करें:
\[\begin(संरेखित करें) और \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end( सारणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) 6 \\ \अपडाउनएरो \\ -5 \\ \ \\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \begin(सरणी)(आरआरआरआर|आरआरआरआर) 1 और 0 और 0 और 0 और 33 और -6 और -26 और -17 \ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \ 0 और 0 और 1 और 0 और -25 और 5 और 20 और -13 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]
और फिर, बाईं ओर पहचान मैट्रिक्स, इसलिए दाईं ओर व्युत्क्रम। :)
उत्तर। $\left[ \begin(मैट्रिक्स) 33 और -6 और -26 और 17 \\ 6 और -1 और -5 और 3 \\ -25 और 5 और 20 और -13 \\ -2 और 0 और 2 और - 1 \\\end(मैट्रिक्स) \दाएं]$
मैट्रिक्स ए -1 को मैट्रिक्स ए के संबंध में व्युत्क्रम मैट्रिक्स कहा जाता है, यदि ए * ए -1 \u003d ई, जहां ई एनवें क्रम का पहचान मैट्रिक्स है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद हो सकता है।
सेवा असाइनमेंट. इस सेवा का ऑनलाइन उपयोग करके, आप बीजगणितीय जोड़, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए टी, यूनियन मैट्रिक्स और व्युत्क्रम मैट्रिक्स पा सकते हैं। समाधान सीधे साइट पर (ऑनलाइन) किया जाता है और निःशुल्क है। गणना परिणाम वर्ड प्रारूप और एक्सेल प्रारूप में एक रिपोर्ट में प्रस्तुत किए जाते हैं (अर्थात, समाधान की जांच करना संभव है)। डिज़ाइन उदाहरण देखें.
अनुदेश. समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको मैट्रिक्स का आयाम निर्दिष्ट करना होगा। इसके बाद, नए डायलॉग बॉक्स में मैट्रिक्स ए भरें।
जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी देखें
व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम
- ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए टी ढूँढना।
- बीजगणितीय जोड़ की परिभाषा. मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उसके बीजगणितीय पूरक से बदलें।
- बीजगणितीय जोड़ से व्युत्क्रम मैट्रिक्स का संकलन: परिणामी मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित होता है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।
- निर्धारित करें कि क्या मैट्रिक्स वर्गाकार है। यदि नहीं, तो इसके लिए कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं है।
- मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना। यदि यह शून्य के बराबर नहीं है, तो हम समाधान जारी रखते हैं, अन्यथा, व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।
- बीजगणितीय जोड़ की परिभाषा.
- संघ (पारस्परिक, सहायक) मैट्रिक्स सी भरना।
- बीजीय जोड़ से व्युत्क्रम मैट्रिक्स का संकलन: सहायक मैट्रिक्स C के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित किया गया है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।
- जाँच करें: मूल और परिणामी आव्यूहों को गुणा करें। परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए.
उदाहरण 1। हम मैट्रिक्स को इस रूप में लिखते हैं:
बीजगणितीय जोड़.
| ए 1.1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| ए 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| ए 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| ए 2.1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| ए 2.2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| ए 2.3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| ए 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| ए 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| ए 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
तब उलटा मैट्रिक्सइस प्रकार लिखा जा सकता है:
| ए -1 = 1/10 |
|
| ए -1 = |
|
व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एक और एल्गोरिदम
हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एक और योजना प्रस्तुत करते हैं।- दिए गए वर्ग मैट्रिक्स A का निर्धारक ज्ञात कीजिए।
- हम मैट्रिक्स ए के सभी तत्वों में बीजगणितीय जोड़ पाते हैं।
- हम पंक्तियों के तत्वों के बीजगणितीय पूरकों को कॉलम (ट्रांसपोज़िशन) में लिखते हैं।
- हम परिणामी मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मैट्रिक्स ए के निर्धारक द्वारा विभाजित करते हैं।
एक विशेष मामला: पहचान मैट्रिक्स ई के संबंध में व्युत्क्रम, पहचान मैट्रिक्स ई है।
किसी दिए गए मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, मूल मैट्रिक्स का गुणन जिससे पहचान मैट्रिक्स मिलता है: अनिवार्य और पर्याप्त स्थितिव्युत्क्रम मैट्रिक्स की उपस्थिति मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के शून्य की असमानता है (जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स वर्गाकार होना चाहिए)। यदि किसी मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है, तो उसे डिजनरेट कहा जाता है और ऐसे मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं होता है। में उच्च गणितव्युत्क्रम आव्यूह हैं महत्त्वऔर कई समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, पर व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढनाबनाना मैट्रिक्स विधिसमीकरणों की प्रणालियों के समाधान. हमारी सेवा साइट अनुमति देती है व्युत्क्रम मैट्रिक्स की ऑनलाइन गणना करेंदो विधियाँ: गॉस-जॉर्डन विधि और बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करना। पहला तात्पर्य है एक बड़ी संख्या कीमैट्रिक्स के अंदर प्राथमिक परिवर्तन, दूसरा - सभी तत्वों के लिए निर्धारक और बीजगणितीय परिवर्धन की गणना। किसी मैट्रिक्स के निर्धारक की ऑनलाइन गणना करने के लिए, आप हमारी अन्य सेवा का उपयोग कर सकते हैं - किसी मैट्रिक्स के निर्धारक की ऑनलाइन गणना करना
.साइट पर व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें
वेबसाइटआपको खोजने की अनुमति देता है उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनतेज़ और मुफ़्त. साइट पर, गणना हमारी सेवा द्वारा की जाती है और परिणाम प्रदर्शित किया जाता है विस्तृत समाधानस्थान के अनुसार उलटा मैट्रिक्स. सर्वर हमेशा सटीक और सही उत्तर ही देता है। परिभाषा के अनुसार कार्यों में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइन, यह आवश्यक है कि निर्धारक मैट्रिक्सअन्यथा शून्य से भिन्न था वेबसाइटइस तथ्य के कारण व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की असंभवता की रिपोर्ट करेगा कि मूल मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है। ढूँढने का कार्य उलटा मैट्रिक्सगणित की कई शाखाओं में पाया जाता है, जो सबसे अधिक में से एक है बुनियादी अवधारणाओंव्यावहारिक समस्याओं में बीजगणित और गणितीय उपकरण। स्वतंत्र व्युत्क्रम मैट्रिक्स परिभाषागणना में कोई चूक या छोटी सी त्रुटि न हो इसके लिए काफी प्रयास, बहुत समय, गणना और बहुत सावधानी की आवश्यकता होती है। इसलिए, हमारी सेवा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ऑनलाइन ढूँढनाआपके कार्य को बहुत सुविधाजनक बनाएगा और समाधान के लिए एक अनिवार्य उपकरण बन जाएगा गणित की समस्याओं. यहां तक कि यदि तुम व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजेंहम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं अपने सर्वर पर अपना समाधान जांचें। हमारे ऑनलाइन व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना पर अपना मूल मैट्रिक्स दर्ज करें और अपना उत्तर जांचें। हमारा सिस्टम कभी गलत नहीं होता और ढूंढता है उलटा मैट्रिक्समोड में दिया गया आयाम ऑनलाइनहाथों हाथ! स्थल पर वेबसाइटतत्वों में वर्ण प्रविष्टियों की अनुमति है मैट्रिक्स, इस मामले में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनसामान्य प्रतीकात्मक रूप में प्रस्तुत किया जायेगा।
