Matematinis modeliavimas. Įvairūs matematinio modelio kūrimo būdai
Kas yra matematinis modelis?
Matematinio modelio samprata.
Matematinis modelis yra labai paprasta sąvoka. Ir labai svarbu. Būtent matematiniai modeliai jungia matematiką ir realų gyvenimą.
Kalbėdamas paprasta kalba, matematinis modelis yra matematinis bet kokios situacijos aprašymas. Tai viskas. Modelis gali būti primityvus arba itin sudėtingas. Kad ir kokia būtų situacija, modelis yra toks.)
Bet kuriame (kartoju - Bet kokiuose!) tuo atveju, kai reikia ką nors skaičiuoti ir skaičiuoti – mes užsiimame matematiniu modeliavimu. Net jei mes to neįtariame.)
P = 2 CB + 3 CM
Šis įrašas bus matematinis mūsų pirkinių išlaidų modelis. Modelyje neatsižvelgiama į pakuotės spalvą, galiojimo laiką, kasininkų mandagumą ir kt. Štai kodėl ji modelis, ne tikras pirkinys. Tačiau išlaidos, t.y. ko mums reikia– tikrai išsiaiškinsime. Žinoma, jei modelis teisingas.
Naudinga įsivaizduoti, kas yra matematinis modelis, bet to nepakanka. Svarbiausia, kad būtų galima sukurti šiuos modelius.
Uždavinio matematinio modelio sudarymas (konstravimas).
Sukurti matematinį modelį reiškia uždavinio sąlygas paversti matematine forma. Tie. paversti žodžius lygtimi, formule, nelygybe ir pan. Be to, pakeiskite jį taip, kad ši matematika griežtai atitiktų šaltinio tekstą. Priešingu atveju gausime kitos mums nežinomos problemos matematinį modelį.)
Tiksliau, reikia
Pasaulyje yra begalė užduočių. Todėl pasiūlykite aiškų žingsnis po žingsnio instrukcijas sudarant matematinį modelį bet koks užduotys neįmanomos.
Tačiau yra trys pagrindiniai dalykai, į kuriuos reikia atkreipti dėmesį.
1. Kad ir kaip būtų keista, bet kokioje problemoje yra tekstas.) Šiame tekste, kaip taisyklė, yra aiški, atvira informacija. Skaičiai, reikšmės ir kt.
2. Bet kokia problema paslėpta informacija. Tai tekstas, kuris reikalauja papildomų žinių jūsų galvoje. Be jų neapsieina. Be to, matematinė informacija dažnai yra paslėpta paprastais žodžiais ir... praleidžia dėmesį.
3. Turi būti duota bet kokia užduotis duomenų sujungimas tarpusavyje.Šis ryšys gali būti pateiktas paprastu tekstu (kažkas kažkam prilygsta), arba jis gali būti paslėptas už paprastų žodžių. Tačiau paprasti ir aiškūs faktai dažnai nepaisomi. O modelis niekaip nesukompiliuotas.
Iš karto pasakysiu: norėdami pritaikyti šiuos tris punktus, turite kelis kartus perskaityti problemą (ir atidžiai!). Įprastas dalykas.
O dabar – pavyzdžiai.
Pradėkime nuo paprastos problemos:
Petrovičius grįžo iš žvejybos ir išdidžiai pristatė savo laimikį šeimai. Atidžiau ištyrus paaiškėjo, kad 8 žuvys atkeliavo iš šiaurinių jūrų, 20% visų žuvų – iš pietinių jūrų, o iš vietinės upės, kurioje žvejojo Petrovičius, nei viena. Kiek žuvų Petrovičius nusipirko jūros gėrybių parduotuvėje?
Visus šiuos žodžius reikia paversti kažkokia lygtimi. Norėdami tai padaryti, kartoju, nustatyti matematinį ryšį tarp visų problemos duomenų.
Nuo ko pradėti? Pirma, ištraukime visus duomenis iš užduoties. Pradėkime eilės tvarka:
Atkreipkime dėmesį į pirmą punktą.
Kuris čia yra? aiškus matematinė informacija? 8 žuvies ir 20 proc. Ne daug, bet mums nereikia daug.)
Atkreipkime dėmesį į antrąjį punktą.
Ieško paslėptas informacija. Tai čia. Tai yra žodžiai: „20% visų žuvų". Čia reikia suprasti, kas yra procentai ir kaip jie skaičiuojami. Priešingu atveju problemos nepavyks išspręsti. Būtent tai ir yra Papildoma informacija, kuris turėtų būti jūsų galvoje.
Taip pat yra matematinės informacija, kuri yra visiškai nematoma. Tai užduoties klausimas: "Kiek žuvų nusipirkau...“ Tai irgi skaičius. O be jo joks modelis nesusiformuos. Todėl šį skaičių pažymėkime raide "X". Mes dar nežinome, kam x yra lygus, bet šis žymėjimas mums bus labai naudingas. Išsamiau apie tai, ką imti X ir kaip su juo elgtis, parašyta pamokoje Kaip spręsti matematikos uždavinius? Iš karto užsirašykime:
x gabaliukai - visožuvis
Mūsų problemoje pietinės žuvys pateikiamos procentais. Turime juos paversti į gabalus. Kam? Tada kas viduje bet koks turi būti parengta modelio problema to paties tipo kiekiais. Gabalai – taigi viskas gabalais. Jei duodamos, tarkime, valandos ir minutės, viską paverčiame į vieną dalyką – arba tik valandas, arba tik minutes. Nesvarbu, kas tai yra. Svarbu, kad visos vertės buvo to paties tipo.
Grįžkime prie informacijos atskleidimo. Kas nežino, kas yra interesas, niekada jo neatskleis, taip... Bet kas žino, iš karto pasakys, kad čia susidomėjimas iš iš viso duodama žuvies. Ir mes nežinome šio skaičiaus. Niekas neveiks!
Ne veltui rašome bendrą žuvų skaičių (gabalais!) "X" paskirta. Pietinių žuvų suskaičiuoti nepavyks, bet galime užrašyti? Kaip šitas:
0,2 x gabalai - žuvų iš pietinių jūrų skaičius.
Dabar mes atsisiuntėme visą informaciją iš užduoties. Ir akivaizdu, ir paslėpta.
Atkreipkime dėmesį į trečią dalyką.
Ieško matematinis ryšys tarp užduoties duomenų. Šis ryšys toks paprastas, kad daugelis jo nepastebi... Taip nutinka dažnai. Čia naudinga tiesiog surašyti surinktus duomenis į krūvą ir pažiūrėti, kas yra kas.
Ką mes turime? Valgyk 8 vntšiaurinės žuvys, 0,2x vienetų- pietinės žuvys ir x žuvis- visas kiekis. Ar įmanoma šiuos duomenis kaip nors susieti? Taip Lengva! Bendras žuvų skaičius lygus pietų ir šiaurės suma! Na, kas galėjo pagalvoti...) Taigi mes tai užrašome:
x = 8 + 0,2x
Tai lygtis matematinis mūsų problemos modelis.
Atkreipkite dėmesį, kad šioje problemoje Mūsų neprašo nieko sulankstyti! Tai mes patys, be galvos, supratome, kad pietų ir šiaurinių žuvų suma duos bendrą skaičių. Dalykas toks akivaizdus, kad nepastebimas. Tačiau be šių įrodymų matematinis modelis negali būti sukurtas. Kaip šitas.
Dabar galite panaudoti visą matematikos galią, kad išspręstumėte šią lygtį). Būtent dėl to buvo sudarytas matematinis modelis. Išsprendžiame šią tiesinę lygtį ir gauname atsakymą.
Atsakymas: x=10
Sukurkime kitos problemos matematinį modelį:
Jie paklausė Petrovičiaus: „Ar turite daug pinigų? Petrovičius pradėjo verkti ir atsakė: "Taip, tik šiek tiek. Jei išleisiu pusę visų pinigų, o pusę likusių, tada man liks tik vienas maišas pinigų..." Kiek pinigų turi Petrovičius ?
Vėl dirbame taškas po taško.
1. Ieškome aiškios informacijos. Iš karto nerasite! Tiksli informacija yra vienas pinigų maišas. Yra keletas kitų pusių... Na, mes panagrinėsime tai antroje pastraipoje.
2. Ieškome paslėptos informacijos. Tai yra puselės. Ką? Nelabai aišku. Ieškome toliau. Yra dar vienas klausimas: – Kiek pinigų turi Petrovičius? Pinigų sumą pažymėkime raide "X":
X- visi pinigai
Ir vėl skaitome problemą. Jau žinodamas, kad Petrovičius X pinigų. Čia veiks puselės! Užrašome:
0,5 x– pusė visų pinigų.
Likusi dalis taip pat bus pusė, t.y. 0,5 x. O pusę pusės galima parašyti taip:
0,5 x 0,5 x = 0,25 x- pusė likusios dalies.
Dabar visa paslėpta informacija buvo atskleista ir įrašyta.
3. Ieškome ryšio tarp įrašytų duomenų. Čia galite tiesiog perskaityti Petrovičiaus kančias ir užsirašyti matematiškai):
Jei išleisiu pusę visų pinigų...
Įrašykime šį procesą. Visi pinigai - X. pusė - 0,5 x. Išleisti – tai atimti. Frazė virsta įrašu:
x – 0,5 x
taip, puse likusio...
Atimkime dar pusę likusios dalies:
x – 0,5 x – 0,25 x
tada man liks tik vienas maišas pinigų...
Ir štai mes radome lygybę! Po visų atimčių lieka vienas maišas pinigų:
x – 0,5 x – 0,25 x = 1
Štai matematinis modelis! Tai vėlgi tiesinė lygtis, ją išsprendžiame, gauname:
Klausimas svarstymui. Kas yra keturi? Rublis, doleris, juanis? O kokiais vienetais pinigai įrašyti mūsų matematiniame modelyje? Maišuose! Tai reiškia keturis maišas pinigų iš Petrovičiaus. Irgi gerai.)
Užduotys, žinoma, elementarios. Tai konkrečiai skirta matematinio modelio sudarymo esmei. Kai kuriose užduotyse gali būti daug daugiau duomenų, todėl gali būti lengva pasiklysti. Tai dažnai nutinka vadinamojoje. kompetencijos uždaviniai. Su pavyzdžiais parodyta, kaip iš daugybės žodžių ir skaičių išgauti matematinį turinį
Dar viena pastaba. Klasikinėse mokyklos problemose (vamzdžiai, užpildantys baseiną, kažkur plūduriuojantys laivai ir pan.), visi duomenys, kaip taisyklė, atrenkami labai kruopščiai. Yra dvi taisyklės:
- problemoje yra pakankamai informacijos jai išspręsti,
- Problemoje nėra nereikalingos informacijos.
Tai yra užuomina. Jei matematiniame modelyje liko nepanaudota reikšmė, pagalvokite, ar nėra klaidų. Jei duomenų nepakanka, greičiausiai ne visa paslėpta informacija buvo identifikuota ir įrašyta.
Atliekant su kompetencija susijusias ir kitas gyvenimo užduotis, šių taisyklių nėra griežtai laikomasi. Neįsivaizduoju. Tačiau tokias problemas taip pat galima išspręsti. Jei, žinoma, praktikuojate klasikinius.)
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
2.2.1 Matematinio požiūrio požiūriu „Problema yra modelis ir jos taikymo algoritmas tam tikros matematinės teorijos rėmuose.“ Norint taikyti matematinius tyrimo metodus, būtina sukurti matematinį problemos modelį. Matematinis modelis problemos yra speciali loginė konstrukcija, tikslingai matematinės teorijos požiūriu apibūdinanti objektyvų procesą ar reiškinį, kuriuo grindžiama konkreti problema. Tokio modelio sprendimo procesas yra savotiškas sprendimą priimančio specialisto mąstymo proceso analogas.
Modelis – tai realaus tiriamo objekto ar reiškinio vaizdas, sukurtas naudojant tam tikrą priemonių rinkinį. Modeliai labai palengvina objektų (reiškinių) supratimą, leidžia numatyti jų elgesį mus dominančiomis sąlygomis, taikyti vieningus analizės metodus. Modelyje sutelktos svarbiausios, nagrinėjamos problemos požiūriu, tiriamo objekto (reiškinio) ypatybės (savybės). Modeliavimo tikslas – sukurti pakankamai tikslų, išsamų, glaustą ir lengvai suprantamą bei analizuojamą aprašymą.
Matematinio modelio elementai yra kintamieji, parametrai, ryšiai (matematiniai) ir informacija.
Bendroji kvalifikacija matematiniai modeliai, kaip taisyklė, gaminamas pagal šiuos kriterijus:
Modelių elgsena laikui bėgant;
Įvesties informacijos tipai
Parametrai, išraiškos, struktūros, sudarančios matematinį modelį;
Matematinio modelio struktūra;
Naudojamo matematinio aparato tipas.
Pagal šią klasifikaciją matematiniai modeliai yra dinamiškas(laikas atlieka nepriklausomo kintamojo vaidmenį, o sistemos elgsena laikui bėgant kinta); statinis(nepriklausomai nuo laiko); kvazistatinis arba diskretinis įvykis(sistemos elgsena keičiasi iš vienos statinės būsenos į kitą pagal išorinį poveikį). Jei šie modelio elementai yra pakankamai tiksliai nustatyti ir galima tiksliai nustatyti sistemos elgseną, tada modelis yra deterministinis, kitaip - stochastinis. Jei informacija ir parametrai yra ištisiniai dydžiai, o matematiniai ryšiai yra stabilūs, tada modelis tęstinis, kitaip - diskretus. Jei modelio parametrai yra fiksuoti ir modeliavimo proceso metu nekinta pagal modeliuojamo objekto elgesį, tai fiksuoto parametro modelis, kitaip - modelis su laike ar erdvėje kintančiais parametrais. Matematinis modelis gali būti sudėtingas, sudėtingas, hierarchinis, jei galite rasti elementarius posistemius, kurie jį sudaro. Tai labai svarbus klausimas, nes jo sprendimas leidžia žymiai supaprastinti modeliavimą, pavyzdžiui, paskirstytų sistemų operatyvinį valdymą, ypač jei modelis gali būti pavaizduotas medžio ar tinklo struktūros pavidalu. Remdamiesi naudojamo matematinio aparato tipu, mes kalbėsime apie analitinis, tikimybinis-statistinis ir neryškus modeliai.
Pagrindiniai modelio reikalavimai:
Tinkamumas (patikimumas);
Išsamumas;
Neatleidimas;
Priimtinas darbo intensyvumas.
Tinkamumas ir išsamumas reiškia, kad modelis turi turėti visas esmines (sprendžiamos problemos požiūriu) modeliuojamo objekto savybes ir, esant pakankamam tikslumo laipsniui, šiomis savybėmis nuo jo nesiskirti. Tai taip pat visų pirma apima optimalumo kriterijaus adekvatumo modeliuojamos sistemos veikimo tikslams problemą. Kalbant apie nepertekliškumo reikalavimą, modelis neturėtų būti „užkimštas“ daug smulkių, smulkių faktorių, kurie tik apsunkina matematinę analizę ir apsunkina tyrimo rezultatus. Priimtinas darbo intensyvumas reiškia, kad modelio sukūrimo kaštai turi atitikti nustatytus resursų apribojimus, o modelio naudojimo efektas turi viršyti jo sukūrimo išlaidas. Tuo pačiu, vertinant modeliavimo išlaidas, reikia atsižvelgti į visų dalyvių, tiesiogiai dalyvaujančių modelio kūrime ir renkant reikiamą informaciją, laiką ir pastangas, mokymosi išlaidas ir laiką, informacijos apdorojimo ir saugojimo išlaidas. . Modeliui pateikti reikalavimai yra prieštaringi. Pavyzdžiui, viena vertus, jis turėtų būti gana išsamus, kita vertus, jis turėtų būti gana paprastas ir nebrangus. Tai reiškia, kad matematinių modelių kūrimas daugiausia yra kūrybiškumas, reikalaujantis atitinkamų matematinių ir taikomųjų žinių, patirties ir kvalifikacijos.
2.2.2 Kalbant apie sprendimų priėmimo problemą, galima kalbėti apie ZPR modelį, sprendimų priėmimo aplinkos modelį (probleminės situacijos aprašomasis modelis), sprendimų priėmimo proceso modelį, kompiuterinės sprendimų priėmimo sistemos modelį (sprendimas). palaikymo sistema).
Nustatant konkretaus ZPR modelį, reikėtų jį įvertinti pagal klasifikavimo charakteristikas, kurias nustatėme anksčiau svarstytos ZPR klasifikavimo sistemos rėmuose ir, remiantis tokio vertinimo rezultatais, nustatyti ZPR modelį. atitinkamų charakteristikų eilės forma. Pavyzdžiui, bendras formalus sprendimus priimančio asmens modelis individualiam sprendimus priimančiam asmeniui gali būti pavaizduotas kaip kortelė
o sprendimų priėmėjų grupei kortelės forma
< So, T, R, S, G, B, A, К, F(f), L, A* >,
kur Taip yra probleminė situacija; T – sprendimo priėmimo laikas; R – sprendimai priimti; S = (S 1 , …, S n) – leistinų situacijų rinkinys, apibrėžiantis dalykinę sritį ir taip paaiškinantis probleminę situaciją So; G=(G 1 ,…,G k) – tikslų, kurių siekiama priimant sprendimą, visuma; B=(B 1 ,…,B L) – apribojimų rinkinys; A=(A 1 ,…,A m) – aib alternatyvių variantų sprendimai; f – sprendimų priėmėjo pirmenybės funkcija; K – atrankos kriterijai; F(f) – grupės pirmenybės funkcija; L – individualių pageidavimų derinimo principas formuojant grupinę pirmenybę; A* yra optimalus sprendimas.
Paaiškinkime atrankos kriterijų K ir pirmenybės funkcijos buvimą modelyje. Patirtis rodo, kad kalbant apie atrankos kriterijus, dažniausiai neįmanoma išreikšti visų konkretaus sprendimo priėmėjo „polinkių“, „skonių“ ir pageidavimų. Remiantis daugybe konkrečių kriterijų, kurie paprastai iškyla svarstant apie tikrąjį ZPR, tik nubrėžiami tam tikri tikslai, kurie dažnai būna labai prieštaringi. Šie tikslai, kaip taisyklė, negali būti pasiekti vienu metu, todėl norint pasiekti kompromisą reikalinga tam tikra papildoma informacija. Kitaip tariant, jei apsiribosime tik rinkiniu galimi sprendimai ir vektoriaus kriterijus, tada ZPR pasirodo esantis „nepakankamai nustatytas“. Tada šis „neapibrėžtumas“ pasireiškia silpnu loginiu pagrįstumu pasirenkant veiksmingą sprendimą remiantis vektoriniu kriterijumi. Kad galėtumėte priimti pagrįstą pasirinkimą, be vektorinio kriterijaus, turėtumėte turėti papildomos informacijos apie sprendimus priimančio asmens pageidavimus. Tam tikslui į daugiakriterinę problemą būtina įtraukti funkciją, apibūdinančią esamų pirmenybių ryšius.
Norint nurodyti pirmenybę A' sprendimui A', dažnai naudojamas žymėjimas A'A. Pažymėtina, kad ne visi du galimi sprendiniai A' ir A" yra susiję ryšiu A'A" arba ryšiu. A "A". Gali būti tokių sprendimų porų, kad sprendimus priimantis asmuo negali teikti pirmenybės nė vienam iš jų. Praktiškai sprendimų priėmėjo galimybė nustatyti pirmenybės santykį bet kuriai leistinų alternatyvų porai yra labai reta (pvz. dėl to, kad neįmanoma visiškai ir tiksliai nustatyti priimtų sprendimų pasekmių ).
Nustatant pirmenybės santykį turi būti įvykdytos šios dvi sąlygos:
Pirmenybės santykis yra griežtas ta prasme, kad jokiam leistinam sprendiniui A' neįmanoma įvykdyti formos A'A' sąlygos, nes joks sprendimas negali būti geresnis už save patį;
Jei A’A“ ir А“A’’“, tai A’A’’ (tranzityvumo savybė).
Dažnai (pavyzdžiui, priimant sprendimus hierarchinių paskirstytų aplinkų valdymo sąlygomis) iškyla poreikis modeliuoti sprendimų priėmimo procesą. Sprendimų priėmimo procesas schematiškai pavaizduotas vadinamojo sprendimų medžio pavidalu. Tokio medžio konstravimas grindžiamas sprendimų priėmimo proceso išskaidymu – savarankiškų funkcinių poprocesų ir konkretesnių užduočių identifikavimu bei ryšių tarp jų užmezgimu, ko pasekoje bendras sprendimų priėmimo procesas. pateikiamas tarpusavyje susijusių hierarchinių vietinių sprendimų priėmimo procesų sekos sprendimo forma. Pagrindiniai dekompozicijos principai yra santykinis kiekvieno subproceso nepriklausomumas (t.y. konkretaus valdymo objekto buvimas); atitinkamo funkcijų rinkinio buvimas ir ZPR su aiškiai išreikštais vietiniais sprendimų priėmimo tikslais, atitinkančiais bendrų tikslų sprendimų priėmimas visai sistemai; į subprocesą įtrauktų elementų sudėties optimizavimas. Šis klausimas bus aptartas vėliau, nagrinėjant sprendimų priėmimo problemą veiklos kokybės valdymo problemos rėmuose.
2.2.3 Pagrindiniai etapai bendras procesas modeliavimas yra:
1) užduoties analizė;
2) modeliuojamo objekto ir jo aplinkos analizė užduoties požiūriu;
3) modelio konstravimas (sintezė);
4) sukonstruoto modelio patikimumo patikrinimas;
5) modelio taikymas;
6) modelio atnaujinimas (pagal poreikį).
1) Prieš kurdami modelį, pirmiausia turite nustatyti pagrindinį modelio tikslą – kokius išvesties duomenis reikia gauti naudojant modelį, kad padėtų sprendimų priėmėjui išspręsti jam iškilusią problemą.
Tada turite nustatyti, kokios informacijos reikia modeliui sukurti ir kokios išvesties informacijos reikia. Be to, turėtumėte įvertinti modelio sukūrimo išlaidas ir žmonių, kuriems reikės jį naudoti, reakcijas. Modelis, kurio konstravimo ir naudojimo sąnaudos viršija iš jo gaunamą naudą, niekam nenaudingas, o pernelyg sudėtingas modelis gali būti nesuprantamas vartotojams ir nebus naudojamas praktiškai.
2) Modelis grindžiamas objekto aprašymu, sudarytu (pagal sprendžiamą problemą ir turimą informaciją) remiantis elementų, sudarančių objektą, identifikavimu, ryšio tarp jų nustatymu ir charakteristikų bei savybių nustatymu. parametrai, būtini nagrinėjamai problemai spręsti. Tame pačiame etape formuojamos hipotezės, kurios vėliau tikrinamos, apie tiriamam objektui būdingus modelius, apie tam tikrų parametrų pokyčių ir elementų ryšių įtakos objektui pobūdį, ryšius, lemiančius galimas pasekmes. priimamų sprendimų yra tiriami ir pašalinami neaiškūs, dviprasmiški teiginiai ar apibrėžimai, kurie pakeičiami galbūt apytiksliais, bet aiškiais teiginiais, neleidžiančiais skirtingai interpretuoti
3) Matematinio modeliavimo esmė – matematinių schemų, adekvačiai aprašančių tikrovėje vykstančius procesus, parinkimas.
Konstruojant matematinį modelį reiškinys kažkaip supaprastinamas ir schematizuojamas; iš nesuskaičiuojamo skaičiaus veiksnių, turinčių įtakos reiškiniui, išskiriamas palyginti nedidelis skaičius svarbiausių, o gauta schema aprašoma naudojant vieną ar kitą matematinį aparatą. Nėra bendrų matematinių modelių konstravimo metodų. Kiekvienu konkrečiu atveju modelis kuriamas atsižvelgiant į atliekamą užduotį, turimus pradinius duomenis, reikalingą sprendimo tikslumą ir asmenines modelį kuriančio analitiko nuostatas.
Kuriant matematinį modelį, atliekami šie veiksmai: šių tipų veikla:
– visų sistemos elementų, turinčių įtakos priimamų sprendimų efektyvumui, analizė ir kiekvieno iš jų įtakos organizacijos funkcionavimui laipsnio įvertinimas pagal įvairius sprendimo variantus;
– išbraukimas iš elementų, neturinčių įtakos (arba nežymiai įtakojančių) sprendimo variantų pasirinkimui, sąrašo;
– preliminarus kai kurių tarpusavyje susijusių elementų sugrupavimas siekiant supaprastinti modelį (pavyzdžiui, išlaidos nuomai, patalpų priežiūrai ir kitos turėtų būti sujungtos į pusiau fiksuotas išlaidas);
– elementų sąrašo nustatymas, išsiaiškinus jų pastovų ar kintamą įtakos sistemai pobūdį (kintamuosiuose elementuose savo ruožtu nustatomi sistemos poelementai, kurie turi įtakos jų vertei; pvz., transporto išlaidos priklauso nuo prekių kiekio perkeltas, atstumas, degalų kaina ir kt. );
– konkretaus simbolio priskyrimas kiekvienam poelementui ir atitinkamų matematinių struktūrų sudarymas.
Matematinis modelis paprastai kuriamas daugiausia dėmesio skiriant numatytam problemos sprendimo metodui. Kita vertus, atliekant matematinius tyrimus ar interpretuojant sprendimą, gali tekti patikslinti ar net iš esmės pakeisti matematinį modelį.
Kaip minėta aukščiau, matematinius modelius, šiuo metu naudojamus sprendimų priėmimo problemoms spręsti, galima apytiksliai suskirstyti į tris klases: analitinius, statistinius ir pagrįstus neaiškiu formalizavimu.
Pirmiesiems būdingas formulinių, analitinių priklausomybių nustatymas tarp uždavinio parametrų, užrašytų bet kokia forma: algebrinėmis lygtimis, paprastosiomis diferencialinėmis lygtimis, dalinėmis diferencialinėmis lygtimis ir kt. Paprastai analitinių modelių pagalba galima aprašyti su patenkinamu tikslumu kai kurie grynai techniniai procesai, pagrįsti žinomais fiziniais dėsniais.
Statistinių modelių naudojimas suponuoja atitinkamų tikimybinių statistinių duomenų ir modelių buvimą.
Neryškiu formalizavimu pagrįstų modelių naudojimas yra pateisinamas, nes nėra duomenų, leidžiančių naudoti pirmųjų dviejų tipų modelius.
Sukurtas modelis turi būti atitinkamai analizuojamas siekiant pagrįsti. Dauguma svarbus punktas- sprendimo egzistavimo arba gavimo įrodymas pagal suformuluotą modelį. Jei ši sąlyga netenkinama, reikia koreguoti arba problemos formuluotę, arba jos matematinio įforminimo būdus.
4) Praktiškai beveik visada būtina patikrinti modelio patikimumą. Pirmiausia reikia nustatyti modelio atitikimo realiam reiškiniui laipsnį, nustatyti, ar modelyje yra atsižvelgta į visus esminius realios situacijos veiksnius. Antra, turite suprasti, kiek modeliavimas iš tikrųjų padeda išspręsti problemą. Patartina išbandyti modelį su situacijomis, kurios įvyko praeityje.
Sėkmingas tiriamo objekto palyginimo (įvertinimo) su modeliu rezultatas rodo pakankamą objekto pažinimo laipsnį, modeliavimo principų teisingumą ir tai, kad sukurtas modelis veikia.
Dažnai pirmieji modeliavimo rezultatai neatitinka reikalavimų. Tam reikia papildomų tyrimų ir atitinkamų modelio pakeitimų.
5) Kalbant apie modelio naudojimą, reikia turėti omenyje, kad pagrindinė nepakankamo modelių naudojimo priežastis yra ta, kad vadovai, kuriems jie sukurti, dažnai nevisiškai suvokia gautus rezultatus, todėl bijo juos taikyti. Priežastis yra jų žinių stoka šioje srityje. Norėdami su tuo kovoti, sistemų analitikai turėtų skirti daug daugiau laiko supažindindami vadovus su modelių naudojimo galimybėmis ir technikomis.
6) Modelis atnaujinamas, jei valdymui reikalingi išvesties duomenys patogesne forma arba papildomi duomenys. Atnaujinti modelį taip pat gali tekti pasikeitus organizacijos tikslams ir atitinkamiems sprendimų priėmimo kriterijams arba gavus papildomos informacijos, leidžiančios patikslinti ar patobulinti esamą modelį. Pastaroji situacija yra susijusi su modeliui sukurti naudojamos a priori informacijos nepakankamumo ir netikslumo problema. Jei išorinė aplinka sklandi, informacija apie ją turėtų būti atnaujinama greitai, tačiau tai gali neužimti laiko arba gali būti per brangu. Informacijos apribojimai yra pagrindinė patalpų, kuriomis grindžiamas modelis, nepatikimumo priežastis. Dažnai susidaro situacijos, kai neįmanoma gauti informacijos apie visus svarbius veiksnius ir jos panaudoti modelyje. Reikia būti atsargiems naudojant prielaidas, kurių negalima tiksliai įvertinti ir objektyviai patikrinti (pavyzdžiui, prielaida, kad kitais metais pardavimai padidės tam tikra suma, negali būti patikrinta).
2.2.4 Kuriant modelį reikia atsižvelgti į šias rekomendacijas:
Paprastai pirmiausia nustatomas pagrindinis grubesnis matematinio modelio dizainas (tipas, bendroji schema), o vėliau nurodomos šios konstrukcijos detalės (konkretus kintamųjų ir parametrų sąrašas, jungčių forma);
Reikėtų vengti nereikalingo modelio detalizavimo, nes tai be reikalo apsunkina modelį. Tą patį galima pasakyti ir apie tokias modelio sudėtingumo charakteristikas kaip naudojamas matematinių priklausomybių formas, atsižvelgiant į atsitiktinumo ir neapibrėžtumo veiksnius ir kt. Per didelis modelio sudėtingumas ir sudėtingumas apsunkina tyrimo procesą. Būtina atsižvelgti ne tik į realias informacijos ir matematinės paramos galimybes, bet ir palyginti modeliavimo išlaidas su gaunamu efektu (didėjant modelio sudėtingumui, kaštų padidėjimas gali viršyti efekto padidėjimą) ;
Vienas iš svarbias savybes matematiniai modeliai – jų panaudojimo galimybės sprendžiant skirtingos kokybės problemas. Todėl net ir susidūrus su nauja problema, pirmiausia reikia išanalizuoti galimybę jai spręsti panaudoti jau žinomus modelius (ar atskirus jų komponentus);
Būtina stengtis gauti modelį, priklausantį gerai ištirtai matematinių problemų klasei. Dažnai tai galima padaryti kiek supaprastinant pirmines modelio prielaidas, neiškreipiant esminių modeliuojamo objekto savybių.
Teigiamos modeliavimo savybės taip pat yra:
– pažangesnių, praktikoje patikrintų sprendimų priėmimo technologijų taikymas;
– aukštas sprendimų pagrįstumo laipsnis;
– sprendimų priėmimo laiko sutrumpinimas;
– galimybė atlikti atvirkštinę operaciją.
Atvirkštinės operacijos ypatumas yra tas, kad turėdami modelį ir pradinius duomenis galite ne tik priimti sprendimą, bet ir susitelkti į norimą rezultatą bei nustatyti, kokių pradinių duomenų tam reikia. Taigi, pavyzdžiui, sutelkiant dėmesį į N dydžio pelną, galima nustatyti kiekybines kitų rodiklių reikšmes, kurios tiesiogiai ir netiesiogiai įtakoja planuojamo rezultato pasiekimą (naujų žinių apie situaciją (objektą) gavimas), kurio anksčiau trūko; formuluojant išvadas, kurių negalima padaryti prasmingiausiu loginiu samprotavimu).
1 paskaita.
MODELIAVIMO METODINIAI PAGRINDAI
Dabartinė sistemos modeliavimo problemos padėtis
Modeliavimo ir modeliavimo koncepcijos
Modeliavimas gali būti laikomas tiriamo objekto (originalo) pakeitimu jo sutartiniu atvaizdu, aprašymu ar kitu objektu, vadinamu modelis ir elgsenos, artimos originalui, suteikimas tam tikrų prielaidų ir priimtinų klaidų rėmuose. Modeliavimas dažniausiai atliekamas siekiant suprasti originalo savybes, tiriant jo modelį, o ne patį objektą. Žinoma, modeliavimas yra pateisinamas, kai jis lengviau sukurti pats originalas arba kai dėl kokių nors priežasčių pastarojo geriau išvis nekurti.
Pagal modelis suprantamas kaip fizinis arba abstraktus objektas, kurio savybės tam tikra prasme yra panašios į tiriamo objekto savybes Šiuo atveju modeliui keliamus reikalavimus lemia sprendžiama problema ir turimos priemonės. Modeliams keliami keli bendrieji reikalavimai:
2) išsamumas – visos reikiamos informacijos suteikimas gavėjui
apie objektą;
3) lankstumas – gebėjimas visame kame atkurti įvairias situacijas
sąlygų ir parametrų pokyčių diapazonas;
4) plėtros sudėtingumas turi būti priimtinas esamam
laikas ir programinė įranga.
Modeliavimas yra objekto modelio konstravimo ir jo savybių tyrimo, tiriant modelį, procesas.
Taigi modeliavimas apima 2 pagrindinius etapus:
1) modelio kūrimas;
2) modelio tyrimas ir išvadų darymas.
Tuo pačiu metu kiekviename etape sprendžiamos skirtingos užduotys ir
iš esmės skirtingi metodai ir priemonės.
Praktikoje jie naudoja įvairių metodų modeliavimas. Priklausomai nuo įgyvendinimo būdo, visus modelius galima suskirstyti į dvi dideles klases: fizinę ir matematinę.
Matematinis modeliavimas Paprastai tai laikoma priemone tirti procesus ar reiškinius naudojant jų matematinius modelius.
Pagal fizinis modeliavimas reiškia objektų ir reiškinių tyrimą pagal fizikinius modelius, kai tiriamas procesas atkuriamas išsaugant jo fizinę prigimtį arba naudojamas kitas fizinis reiškinys, panašus į tiriamąjį. Kuriame fiziniai modeliai Paprastai jie prisiima realų įkūnijimą tų originalo fizinių savybių, kurios yra reikšmingos konkrečioje situacijoje.Pavyzdžiui, projektuojant naują orlaivį, sukuriamas maketas, turintis tas pačias aerodinamines savybes; Planuodami plėtrą, architektai sudaro modelį, atspindintį jo elementų erdvinį išdėstymą. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinamas fizinis modeliavimas prototipų kūrimas.
Pusinės eliminacijos periodo modeliavimas yra valdomų sistemų tyrimas modeliavimo kompleksuose, įtraukiant į modelį realią įrangą. Kartu su realia įranga uždarame modelyje yra įtakų ir trukdžių simuliatoriai, išorinės aplinkos matematiniai modeliai ir procesai, kurių pakankamai tikslus matematinis aprašymas nežinomas. Realios įrangos ar realių sistemų įtraukimas į sudėtingų procesų modeliavimo grandinę leidžia sumažinti a priori neapibrėžtumą ir ištirti procesus, kuriems nėra tikslaus matematinio aprašymo. Taikant pusiau natūralų modeliavimą, tyrimai atliekami atsižvelgiant į mažas laiko konstantas ir tiesiškumą, būdingą realiai įrangai. Tiriant modelius naudojant tikrą įrangą, naudojama koncepcija dinaminis modeliavimas, tyrimo metu sudėtingos sistemos ir reiškiniai - evoliucinis, imitacija Ir kibernetinis modeliavimas.
Akivaizdu, kad realią modeliavimo naudą galima gauti tik tada, kai įvykdomos dvi sąlygos:
1) modelis pateikia teisingą (adekvatų) savybių atvaizdavimą
originalas, reikšmingas tiriamos operacijos požiūriu;
2) modelis leidžia pašalinti aukščiau išvardytas būdingas problemas
atliekant realių objektų tyrimus.
2. Pagrindinės matematinio modeliavimo sąvokos
Praktinių uždavinių sprendimas matematiniais metodais nuosekliai vykdomas formuluojant uždavinį (sukuriant matematinį modelį), pasirenkant gauto matematinio modelio tyrimo metodą, analizuojant gautą matematinį rezultatą. Matematinė uždavinio formuluotė dažniausiai pateikiama geometrinių vaizdų, funkcijų, lygčių sistemų ir kt. Objekto (reiškinio) aprašymas gali būti vaizduojamas naudojant ištisines arba diskrečiąsias, deterministines arba stochastines ir kitas matematines formas.
Matematinio modeliavimo teorija užtikrina įvairių supančio pasaulio reiškinių atsiradimo ar sistemų ir prietaisų veikimo dėsningumų identifikavimą matematiniu jų aprašymu ir modeliavimu be pilno masto bandymai. Šiuo atveju naudojamos matematikos nuostatos ir dėsniai, apibūdinantys imituojamus reiškinius, sistemas ar įrenginius tam tikru jų idealizacijos lygmeniu.
Matematinis modelis (MM) yra formalizuotas sistemos (arba operacijos) aprašymas kokia nors abstrakčia kalba, pavyzdžiui, matematinių ryšių aibės arba algoritminės diagramos pavidalu, t.y. y., toks matematinis aprašymas, kuriame pateikiamas sistemų ar įrenginių veikimo modeliavimas pakankamai artimu jų realiam elgesiui, gautam atliekant visapusišką sistemų ar įrenginių testavimą.
Bet kuris MM aprašo realų objektą, reiškinį ar procesą tam tikru laipsniu priartindamas prie tikrovės. MM tipas priklauso ir nuo realaus objekto pobūdžio, ir nuo tyrimo tikslų.
Matematinis modeliavimas socialiniai, ekonominiai, biologiniai ir fiziniai reiškiniai, objektai, sistemos ir įvairūs prietaisai yra viena iš svarbiausių gamtos pažinimo ir įvairiausių sistemų bei įrenginių projektavimo priemonių. Yra žinomi modeliavimo efektyvaus panaudojimo pavyzdžiai kuriant branduolines technologijas, aviacijos ir kosmoso sistemas, prognozuojant atmosferos ir vandenyno reiškinius, orus ir kt.
Tačiau tokios rimtos modeliavimo sritys dažnai reikalauja superkompiuterių ir ilgų didelių mokslininkų komandų darbo, kad paruoštų duomenis modeliavimui ir jo derinimui. Tačiau šiuo atveju sudėtingų sistemų ir prietaisų matematinis modeliavimas ne tik leidžia sutaupyti pinigų tyrimams ir bandymams, bet ir gali pašalinti ekologines nelaimes – pavyzdžiui, tai leidžia atsisakyti branduolinių ir termobranduolinių ginklų bandymų, o jų matematinis modeliavimas. arba aviacijos ir kosmoso sistemų bandymai prieš jų realius skrydžius.Todėl matematinis modeliavimas paprastesnių uždavinių sprendimo lygmeniu, pavyzdžiui, iš mechanikos, elektrotechnikos, elektronikos, radijo inžinerijos ir daugelio kitų mokslo ir technologijų sričių galima atlikti šiuolaikiniuose kompiuteriuose. O naudojant apibendrintus modelius, tampa įmanoma imituoti gana sudėtingas sistemas, pavyzdžiui, telekomunikacijų sistemas ir tinklus, radarą ar radijo navigacijos sistemas.
Matematinio modeliavimo tikslas yra realių procesų (gamtoje ar technologijoje) analizė naudojant matematinius metodus. Savo ruožtu tam reikia formalizuoti tiriamą MM procesą.Modelis gali būti matematinė išraiška, turinti kintamuosius, kurių elgsena yra panaši į realios sistemos elgesį.Modelis gali apimti atsitiktinumo elementus, kurie atsižvelgia į galimų tikimybę dviejų ar daugiau„žaidėjai“, pavyzdžiui, žaidimų teorijoje; arba tai gali būti tikrieji tarpusavyje sujungtų operacinės sistemos dalių kintamieji.
Matematinis modeliavimas, skirtas sistemų charakteristikoms tirti, gali būti skirstomas į analitinį, imitacinį ir kombinuotą. Savo ruožtu MM skirstomi į modeliavimo ir analitinius.
Analitinis modeliavimas
Dėl analitinis modeliavimas Būdinga, kad sistemos funkcionavimo procesai užrašomi tam tikrų funkcinių ryšių (algebrinių, diferencialinių, integralinių lygčių) forma. Analitinis modelis gali būti tiriamas naudojant šiuos metodus:
1) analitiniai, kai jie bendrai siekia gauti aiškias sistemų charakteristikų priklausomybes;
2) skaitinės, kai neįmanoma rasti lygčių sprendinio bendra forma ir jos sprendžiamos konkretiems pradiniams duomenims;
3) kokybinis, kai nesant sprendimo randamos kai kurios jo savybės.
Analitinius modelius galima gauti tik palyginti paprastoms sistemoms. Sudėtingose sistemose dažnai iškyla didelių matematinių problemų. Norėdami taikyti analitinį metodą, jie labai supaprastina pradinį modelį. Tačiau tyrimai naudojant supaprastintą modelį padeda gauti tik orientacinius rezultatus. Analitiniai modeliai matematiškai teisingai atspindi ryšį tarp įvesties ir išvesties kintamųjų bei parametrų. Bet jų struktūra neatspindi vidinės objekto struktūros.
Analitinio modeliavimo metu jo rezultatai pateikiami analitinių išraiškų pavidalu. Pavyzdžiui, jungiantis R.C.- grandinė į nuolatinės įtampos šaltinį E(R, C Ir E- šio modelio komponentai), galime sukurti analitinę įtampos priklausomybės nuo laiko išraišką u(t) ant kondensatoriaus C:
Ši tiesinė diferencialinė lygtis (DE) yra šios paprastos tiesinės grandinės analitinis modelis. Jo analitinis sprendimas, esant pradinei sąlygai u(0) = 0, ty išsikrovęs kondensatorius C modeliavimo pradžioje leidžia rasti norimą priklausomybę - formulės pavidalu:
u(t) = E(1− pvzp(- t/RC)). (2)
Tačiau net ir šiame paprasčiausiame pavyzdyje reikia tam tikrų pastangų norint išspręsti DE (1) arba taikyti kompiuterinės matematikos sistemos(SCM) su simboliniais skaičiavimais – kompiuterinės algebros sistemos. Šiam visiškai trivialiam atvejui, sprendžiant linijinio modeliavimo problemą R.C.-grandinė suteikia gana bendros formos analitinę išraišką (2) - tinka grandinės veikimui apibūdinti esant bet kokiems komponentų nominalams R, C Ir E, ir apibūdina eksponentinį kondensatoriaus įkrovimą C per rezistorių R iš nuolatinės įtampos šaltinio E.
Žinoma, analitinio modeliavimo metu rasti analitinius sprendimus yra labai vertinga identifikuojant bendrus teorinius paprastų tiesinių grandinių, sistemų ir įrenginių modelius, tačiau jo sudėtingumas smarkiai išauga, kai įtaka modeliui tampa sudėtingesnė, o modelių eiliškumas ir skaičius tampa vis sudėtingesni. būsenų lygtys, apibūdinančios modeliuojamo objekto padidėjimą. Modeliuodami antros ar trečios eilės objektus galite gauti daugiau ar mažiau matomų rezultatų, tačiau esant aukštesnei eilei, analitinės išraiškos tampa pernelyg sudėtingos, sudėtingos ir sunkiai suvokiamos. Pavyzdžiui, net paprastame elektroniniame stiprintuve dažnai yra dešimtys komponentų. Tačiau daugelis šiuolaikinių SCM, pavyzdžiui, simbolinės matematikos sistemos Klevas, Mathematica arba aplinka MATLAB, gali iš esmės automatizuoti sprendimą sudėtingos užduotys analitinis modeliavimas.
Viena iš modeliavimo rūšių yra skaitmeninis modeliavimas, kurią sudaro būtinų kiekybinių duomenų apie sistemų ar įrenginių veikimą gavimas bet kokiu tinkamu skaitiniu metodu, pavyzdžiui, Eulerio arba Runge-Kutta metodais. Praktikoje netiesinių sistemų ir įrenginių modeliavimas naudojant skaitmeninius metodus yra daug efektyvesnis nei atskirų privačių tiesinių grandinių, sistemų ar įrenginių analitinis modeliavimas. Pavyzdžiui, išspręsti DE (1) arba DE sistemas daugiau nei sunkių atvejų Sprendimas negali būti gautas analitine forma, tačiau naudojant skaitmeninio modeliavimo duomenis galima gauti gana išsamius duomenis apie modeliuojamų sistemų ir įrenginių elgseną, taip pat sudaryti priklausomybių grafikus, apibūdinančius šį elgesį.
Simuliacinis modeliavimas
At imitacija 10ir modeliuojant, modelį įgyvendinantis algoritmas atkuria sistemos veikimo procesą laikui bėgant. Elementarūs reiškiniai, sudarantys procesą, yra imituojami, išsaugant jų loginę struktūrą ir įvykių seką laikui bėgant.
Pagrindinis modeliavimo modelių pranašumas, palyginti su analitiniais, yra galimybė spręsti sudėtingesnes problemas.
Modeliavimo modeliai leidžia lengvai atsižvelgti į atskirų arba ištisinių elementų buvimą, netiesines charakteristikas, atsitiktines įtakas ir kt. Todėl šis metodas plačiai naudojamas sudėtingų sistemų projektavimo etape. Pagrindinė modeliavimo modeliavimo įgyvendinimo priemonė yra kompiuteris, leidžiantis skaitmeniniu būdu modeliuoti sistemas ir signalus.
Šiuo atžvilgiu apibrėžkime frazę „ kompiuterinis modeliavimas“, kuris vis dažniau naudojamas literatūroje. Tarkime, kad kompiuterinis modeliavimas yra matematinis modeliavimas naudojant kompiuterines technologijas. Atitinkamai, kompiuterinio modeliavimo technologija apima šių veiksmų atlikimą:
1) modeliavimo tikslo nustatymas;
2) konceptualaus modelio kūrimas;
3) modelio įforminimas;
4) modelio programinė įranga;
5) modelio eksperimentų planavimas;
6) eksperimentinio plano įgyvendinimas;
7) modeliavimo rezultatų analizė ir interpretavimas.
At imitacinis modeliavimas naudojamas MM atkuria tiriamos sistemos veikimo algoritmą („logiką“) laikui bėgant įvairiems sistemos parametrų ir išorinės aplinkos reikšmių deriniams.
Paprasčiausio analitinio modelio pavyzdys yra tiesinio tolygaus judėjimo lygtis. Tiriant tokį procesą taikant simuliacinį modelį, reikėtų įgyvendinti nueito kelio pokyčių stebėjimą per tam tikrą laiką.Akivaizdu, kad kai kuriais atvejais labiau pageidautina analitinis modeliavimas, kitais – modeliavimas (arba abiejų derinys). Norėdami sėkmingai pasirinkti, turite atsakyti į du klausimus.
Koks modeliavimo tikslas?
Kokiai klasei galima priskirti modeliuojamą reiškinį?
Atsakymus į abu šiuos klausimus galima gauti per pirmuosius du modeliavimo etapus.
Modeliavimo modeliai ne tik savybėmis, bet ir struktūra atitinka modeliuojamą objektą. Šiuo atveju yra nedviprasmiškas ir akivaizdus atitikimas tarp modelyje gautų procesų ir objekte vykstančių procesų. Modeliavimo trūkumas yra tas, kad norint pasiekti gerą tikslumą, reikia ilgai išspręsti problemą.
Stochastinės sistemos veikimo modeliavimo modeliavimo rezultatai yra realizacijos atsitiktiniai dydžiai arba procesai. Todėl norint rasti sistemos charakteristikas, reikia daugkartinių pakartojimų ir vėlesnio duomenų apdorojimo. Dažniausiai šiuo atveju naudojamas modeliavimo tipas - statistiniai
modeliavimas(arba Monte Karlo metodas), t.y. atsitiktinių veiksnių, įvykių, kiekių, procesų, laukų atkūrimas modeliuose.
Remiantis statistinio modeliavimo rezultatais, nustatomi tikimybinių kokybės kriterijų, bendrųjų ir specifinių, apibūdinančių valdomos sistemos funkcionavimą ir efektyvumą, įverčiai. Statistinis modeliavimas plačiai taikomas sprendžiant mokslines ir taikomąsias problemas įvairiose mokslo ir technologijų srityse. Statistinio modeliavimo metodai plačiai taikomi tiriant sudėtingas dinamines sistemas, vertinant jų funkcionavimą ir efektyvumą.
Galutinis statistinio modeliavimo etapas pagrįstas gautų rezultatų matematiniu apdorojimu. Čia naudojami matematinės statistikos metodai (parametrinis ir neparametrinis įvertinimas, hipotezių tikrinimas). Parametrinio įverčio pavyzdys yra našumo matavimo imties vidurkis. Tarp neparametrinių metodų plačiai paplitę histogramos metodas.
Nagrinėjama schema paremta pakartotiniais statistiniais sistemos testais ir nepriklausomų atsitiktinių dydžių statistikos metodais, ši schema ne visada yra praktikoje natūrali ir kaštų atžvilgiu optimali. Sutrumpinti sistemos testavimo laiką galima naudojant tikslesnius vertinimo metodus. Kaip žinoma iš matematinės statistikos, imtys turi didžiausią tikslumą tam tikram imties dydžiui efektyvūs vertinimai. Optimalus filtravimas ir didžiausios tikimybės metodas suteikia bendras metodas gaunant tokius įverčius.. Statistinio modeliavimo uždaviniuose atsitiktinių procesų apdorojimas yra būtinas ne tik išvesties procesams analizuoti.
Taip pat labai svarbi įvesties atsitiktinių įtakų charakteristikų kontrolė. Kontrolė susideda iš sugeneruotų procesų paskirstymų atitikties pateiktiems skirstiniams tikrinimo. Ši problema dažnai formuluojama kaip hipotezių tikrinimo problema.
Bendra sudėtingų valdomų sistemų kompiuterinio modeliavimo tendencija yra siekis sutrumpinti modeliavimo laiką, taip pat atlikti tyrimus realiu laiku. Patogu pateikti skaičiavimo algoritmus pasikartojančia forma, leidžiant juos įgyvendinti esamos informacijos gavimo greičiu.
SISTEMINIO POŽIŪdžio PRINCIPAI MODELIAVIME
Pagrindiniai sistemų teorijos principai
Pagrindiniai sistemų teorijos principai atsirado tiriant dinamines sistemas ir jų funkcinius elementus. Sistema suprantama kaip tarpusavyje susijusių elementų grupė, kuri veikia kartu, kad atliktų iš anksto nustatytą užduotį. Sisteminė analizė leidžia nustatyti labiausiai tikrų būdų pavestos užduoties įvykdymas, užtikrinant maksimalų iškeltų reikalavimų patenkinimą.
Elementai, sudarantys sistemų teorijos pagrindą, nėra kuriami per hipotezes, o atrandami eksperimentiniu būdu. Norint pradėti kurti sistemą, būtina turėti bendrąsias technologinių procesų charakteristikas. Tas pats pasakytina ir apie matematiškai suformuluotų kriterijų, kuriuos turi atitikti procesas ar jo teorinis aprašymas, kūrimo principus. Modeliavimas yra vienas iš labiausiai svarbius metodus moksliniai tyrimai ir eksperimentai.
Konstruojant objektų modelius naudojamas sisteminis požiūris, tai sudėtingų problemų sprendimo metodika, pagrįsta objekto vertinimu kaip tam tikroje aplinkoje veikiančia sistema. Sisteminis požiūris apima objekto vientisumo atskleidimą, jo vidinės struktūros, taip pat sąsajų su išorine aplinka nustatymą ir tyrimą. Šiuo atveju objektas pateikiamas kaip realaus pasaulio dalis, kuri yra izoliuojama ir tiriama atsižvelgiant į modelio konstravimo problemą. Be to, sisteminis požiūris apima nuoseklų perėjimą nuo bendro prie konkretaus, kai projektavimo tikslas yra svarstymo pagrindas, o objektas yra vertinamas atsižvelgiant į aplinką.
Sudėtingas objektas gali būti suskirstytas į posistemes, kurios yra objekto dalys, atitinkančios šiuos reikalavimus:
1) posistemis yra funkciškai nepriklausoma objekto dalis. Jis yra susijęs su kitais posistemiais, keičiasi informacija ir energija su jomis;
2) kiekvienam posistemiui gali būti nustatytos funkcijos ar savybės, kurios nesutampa su visos sistemos savybėmis;
3) kiekvienas iš posistemių gali būti toliau skirstomas į elementų lygį.
Šiuo atveju elementas suprantamas kaip žemesnio lygio posistemis, kurio tolesnis skirstymas yra netinkamas sprendžiamos problemos požiūriu.
Taigi sistema gali būti apibrėžiama kaip objekto vaizdavimas posistemių, elementų ir jungčių rinkinio pavidalu, siekiant jį sukurti, tirti ar tobulinti. Šiuo atveju padidintas sistemos atvaizdas, apimantis pagrindinius posistemius ir ryšius tarp jų, vadinamas makrostruktūra, o detalus sistemos vidinės struktūros atskleidimas iki elementų lygio – mikrostruktūra.
Kartu su sistema dažniausiai yra ir supersistema – aukštesnio lygio sistema, apimanti nagrinėjamą objektą, o bet kurios sistemos funkciją galima nustatyti tik per supersistemą.
Būtina išryškinti aplinkos, kaip išorinio pasaulio objektų visumos, reikšmingai įtakojančių sistemos efektyvumą, tačiau nėra sistemos ir jos viršsistemos dalis, sampratą.
Ryšium su sisteminiu požiūriu į modelių kūrimą, naudojama infrastruktūros sąvoka, kuri apibūdina sistemos ryšį su aplinka (aplinka), šiuo atveju esminių objekto savybių nustatymas, aprašymas ir tyrimas. konkrečios užduoties rėmuose vadinamas objekto stratifikacija, o bet koks objekto modelis yra jo stratifikuotas aprašymas.
Sisteminiam požiūriui svarbu nustatyti sistemos struktūrą, t.y. ryšių tarp sistemos elementų visuma, atspindinti jų sąveiką. Norėdami tai padaryti, pirmiausia apsvarstykite struktūrinius ir funkcinius modeliavimo metodus.
Struktūriniu požiūriu atskleidžiama pasirinktų sistemos elementų kompozicija ir ryšiai tarp jų. Elementų ir jungčių rinkinys leidžia spręsti apie sistemos struktūrą. Bendriausias struktūros aprašymas yra topologinis aprašymas. Tai leidžia nustatyti sistemos komponentus ir jų ryšius naudojant grafikus. Mažiau bendras yra funkcinis aprašymas, kai nagrinėjamos atskiros funkcijos, t.y. sistemos veikimo algoritmai. Šiuo atveju įgyvendinamas funkcinis požiūris, kuris apibrėžia funkcijas, kurias atlieka sistema.
Remiantis sisteminiu požiūriu, galima pasiūlyti modelio kūrimo seką, kai išskiriami du pagrindiniai projektavimo etapai: makrodizainas ir mikrodizainas.
Makroprojektavimo etape sukuriamas išorinės aplinkos modelis, nustatomi ištekliai ir apribojimai, parenkamas sistemos modelis ir kriterijai tinkamumui įvertinti.
Mikroprojektavimo etapas labai priklauso nuo konkretaus pasirinkto modelio tipo. Apskritai tai apima informacinių, matematinių, techninių ir programinės įrangos modeliavimo sistemų kūrimą. Šiame etape nustatomos pagrindinės sukurto modelio techninės charakteristikos, įvertinamas laikas, reikalingas darbui su juo, bei išteklių sąnaudos, norint gauti nurodytą modelio kokybę.
Nepriklausomai nuo modelio tipo, jį kuriant būtina vadovautis keliais sisteminio požiūrio principais:
1) nuoseklus progresas modelio kūrimo etapais;
2) informacijos, išteklių, patikimumo ir kitų charakteristikų derinimas;
3) teisingas santykis skirtingi lygiai modelio kūrimas;
4) atskirų modelio projektavimo etapų vientisumas.
1.5.1 pavyzdys.
Leisk šiek tiek ekonominis regionas gamina kelių (n) rūšių gaminius išskirtinai savarankiškai ir tik tam tikro regiono gyventojams. Daroma prielaida, kad technologinis procesas yra parengtas, ištirtas gyventojų poreikis šioms prekėms. Būtina nustatyti metinę produkcijos gamybos apimtį, atsižvelgiant į tai, kad ši apimtis turi užtikrinti ir galutinį, ir pramoninį suvartojimą.
Sukurkime matematinį šios problemos modelį. Pagal jos sąlygas pateikiamos: gaminių rūšys, jų paklausa ir technologinis procesas; reikia rasti kiekvieno produkto tipo išvesties apimtį.
Pažymime žinomus kiekius:
c i– gyventojų paklausa i produktas ( i=1,...,n); a ij- kiekis i produktas, reikalingas j-ojo produkto vienetui pagaminti naudojant tam tikrą technologiją ( i=1,...,n ; j=1,...,n);
X i – išvesties apimtis i-tas produktas ( i=1,...,n); visuma Su =(c 1 ,..., c n ) vadinamas paklausos vektoriumi, skaičiais a ij– technologiniai koeficientai ir visuma X =(X 1 ,..., X n ) – išleidimo vektorius.
Pagal problemos sąlygas vektorius X padalintas į dvi dalis: galutiniam vartojimui (vektorius Su ) ir dauginimuisi (vektorius x-s ). Apskaičiuokime tą vektoriaus dalį X kuris patenka į dauginimąsi. Pagal mūsų paskirtį gamybai X j j-osios prekės kiekis a ij · X j kiekiai i-tas produktas.
Tada suma a i1 · X 1 +...+ a in · X n parodo tą vertę i-tas produktas, kuris reikalingas visam leidimui X =(X 1 ,..., X n ).
Todėl lygybė turi būti patenkinta:
Išplėtę šį samprotavimą visų tipų gaminiams, gauname norimą modelį:
Sprendžiant šią n tiesinių lygčių sistemą, skirtą X 1 ,...,X n ir raskite reikiamą išleidimo vektorių.
Norėdami parašyti šį modelį kompaktiškesne (vektorine) forma, pateikiame tokį žymėjimą:
Kvadratas ( 
) -matrica A vadinama technologijų matrica. Nesunku patikrinti, ar mūsų modelis dabar bus parašytas taip: x-s = Ak arba
(1.6)
Gavome klasikinį modelį " Įvesties išvesties “, kurio autorius – garsus amerikiečių ekonomistas V. Leontjevas.
1.5.2 pavyzdys.
Naftos perdirbimo gamykloje yra dvi alyvos rūšys: klasė A 10 vnt., laipsnis IN- 15 vnt. Rafinuojant naftą gaunamos dvi medžiagos: benzinas (žymime B) ir mazutas ( M). Yra trys apdorojimo technologijos proceso parinktys:
aš: 1 vnt A+ 2 vnt IN duoda 3 vnt. B+ 2 vnt M
II: 2 vnt. A+ 1 vnt IN duoda 1 vnt. B+ 5 vnt M
III: 2 vienetai A+ 2 vnt IN duoda 1 vnt. B+ 2 vnt M
Benzino kaina – 10 USD už vienetą, mazuto – 1 USD už vienetą.
Būtina nustatyti naudingiausią turimo aliejaus kiekio perdirbimo technologinių procesų derinį.
Prieš modeliuodami išsiaiškinkime šiuos dalykus. Iš problemos sąlygų matyti, kad gamyklos technologinio proceso „pelningumas“ turėtų būti suprantamas kaip maksimalių pajamų gavimas parduodant gatavus produktus (benziną ir mazutą). Šiuo atžvilgiu aišku, kad gamyklos „pasirinkimo (priėmimo) sprendimas“ yra nustatyti, kurią technologiją taikyti ir kiek kartų. Akivaizdu, kad tokių galimų variantų yra gana daug.
Pažymime nežinomus kiekius:
X i– naudojimo kiekis i technologinis procesas (i=1,2,3). Kiti modelio parametrai (naftos atsargos, benzino ir mazuto kainos) žinomas.
Dabar vienas dalykas konkretus sprendimas augalas pasirenka vieną vektorių X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , už kurią gamyklos pajamos yra lygios (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dolerių. Čia 32 doleriai – tai pajamos, gautos iš vieno pirmojo technologinio proceso pritaikymo (10 USD 3 vnt. B+ 1 doleris · 2 vnt. M= 32 USD). Antrojo ir trečiojo technologinių procesų koeficientai 15 ir 12 turi panašią reikšmę. Naftos atsargų apskaita lemia šias sąlygas:
dėl įvairovės A:
dėl įvairovės IN:,
kur pirmieji nelygybės koeficientai 1, 2, 2 yra A klasės alyvos suvartojimo normos vienkartiniai technologiniai procesai aš,II,III atitinkamai. Antrosios nelygybės koeficientai turi panašią reikšmę B klasės alyvai.
Matematinis modelis kaip visuma turi tokią formą:
Raskite tokį vektorių x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) maksimaliai padidinti
f(x) =32х 1 +15x 2 +12x 3
laikantis šių sąlygų:
Sutrumpinta šio įrašo forma yra tokia:
pagal apribojimus
(1.7)
Gavome vadinamąją linijinio programavimo problemą.
Modelis (1.7.) yra deterministinio tipo (su gerai apibrėžtais elementais) optimizavimo modelio pavyzdys.
1.5.3 pavyzdys.
Investuotojas turi nustatyti geriausią akcijų, obligacijų ir kitų vertybinių popierių rinkinį, kad galėtų juos įsigyti už tam tikrą sumą, kad gautų tam tikrą pelną. minimali rizika sau pačiam. Pelnas už dolerį, investuotą į vertybinį popierių j- tipas, kuriam būdingi du rodikliai: numatomas pelnas ir faktinis pelnas. Investuotojui pageidautina, kad laukiamas pelnas vienam investicijos doleriui būtų už visą rinkinį vertingų popierių ne mažesnė už nurodytą vertę b.
Atkreipkite dėmesį, kad norint teisingai modeliuoti šią problemą, matematikas turi turėti tam tikrų pagrindinių žinių vertybinių popierių portfelio teorijos srityje.
Pažymime žinomus problemos parametrus:
n– vertybinių popierių rūšių skaičius; A j– faktinis pelnas (atsitiktinis skaičius) iš j-osios vertybinių popierių rūšies; 
– numatomas pelnas iš j- apsaugos rūšis.
Pažymime nežinomus dydžius :
y j - lėšos, skirtos tokio tipo vertybiniams popieriams įsigyti j.
Naudojant mūsų žymėjimą, visa investuota suma išreiškiama kaip 
. Norėdami supaprastinti modelį, pristatome naujus kiekius
.
Taigi, X i- tai visų lėšų dalis, skirta tokio tipo vertybiniams popieriams įsigyti j.
Tai aišku 
Iš problemos sąlygų aišku, kad investuotojo tikslas yra pasiekti tam tikrą pelno lygį su minimalia rizika. Iš esmės rizika yra faktinio pelno nuokrypio nuo tikėtino matas. Todėl jį galima identifikuoti su i ir j tipų vertybinių popierių pelno kovariacija. Čia M yra matematinio lūkesčio žymėjimas.
Pirminės problemos matematinis modelis turi tokią formą:
pagal apribojimus
,
,
,
. (1.8)
Vertybinių popierių portfelio struktūrai optimizuoti gavome gerai žinomą Markowitz modelį.
Modelis (1.8.) yra stochastinio tipo (su atsitiktinumo elementais) optimizavimo modelio pavyzdys.
1.5.4 pavyzdys.
Prekybos organizacijos pagrindu yra n rūšių vienos iš minimalaus asortimento produktų. Į parduotuvę turi būti atsineštas tik vienos rūšies tam tikras produktas. Turite pasirinkti produkto tipą, kuris yra tinkamas atsinešti į parduotuvę. Jei produkto tipas j bus paklausi, parduotuvė gaus pelno iš savo pardavimo R j, jei jis nėra paklausus - nuostolis q j .
Prieš modeliuodami aptarsime keletą pagrindinių dalykų. Šioje problemoje sprendimų priėmėjas (DM) yra parduotuvė. Tačiau rezultatas (maksimalus pelnas) priklauso ne tik nuo jo apsisprendimo, bet ir nuo to, ar importuota prekė bus paklausi, tai yra, ar ją pirks gyventojai (manoma, kad parduotuvė dėl kokių nors priežasčių turėti galimybę ištirti gyventojų paklausą ). Todėl gyventojai gali būti laikomi antruoju sprendimus priimančiu asmeniu, renkantis prekės rūšį pagal savo pageidavimus. Blogiausias gyventojų „sprendimas“ dėl parduotuvės yra toks: „importinės prekės nėra paklausios“. Taigi, norėdama atsižvelgti į visas įmanomas situacijas, parduotuvė turi laikyti gyventojus savo „priešu“ (sąlygiškai), siekdama priešingo tikslo – sumažinti parduotuvės pelną.
Taigi, turime sprendimų priėmimo problemą, kai du dalyviai siekia priešingų tikslų. Paaiškinkime, kad parduotuvė renkasi vieną iš parduodamų prekių rūšių (yra n sprendimo variantų), o gyventojai renkasi vieną iš labiausiai paklausių prekių rūšių ( n sprendimo variantai).
Norėdami sudaryti matematinį modelį, nubraižykite lentelę su n linijos ir n stulpeliai (iš viso n 2 langeliai) ir sutikite, kad eilutės atitiktų parduotuvės pasirinkimą, o stulpeliai – populiacijos pasirinkimą. Tada ląstelė (i, j) atitinka situaciją, kai renkasi parduotuvė i produkto rūšis ( i-toji eilutė), o gyventojai pasirenka j produkto rūšis ( j- stulpelis). Kiekvienoje langelyje užrašome skaitinį atitinkamos situacijos įvertinimą (pelną ar nuostolį) parduotuvės požiūriu:
Skaičiai q i parašyta su minusu, kad atspindėtų parduotuvės nuostolius; kiekvienoje situacijoje gyventojų „pelnas“ (sąlygiškai) yra lygus parduotuvės „pelnui“, paimtam su priešingu ženklu.
Sutrumpinta šio modelio forma yra:
(1.9)
Gavome vadinamąjį matricos žaidimą. Modelis (1.9.) yra žaidimo sprendimų priėmimo modelių pavyzdys.
Konstruojant matematinį sistemos modelį, galima išskirti kelis etapus.
1 etapas. Problemos formulavimas. Prieš etapą atsiranda situacijų ar problemų, kurių suvokimas veda į idėją apie jų apibendrinimą ar sprendimą, kad vėliau būtų pasiektas bet koks poveikis. Tuo remiantis aprašomas objektas, pažymimi spręstini klausimai, iškeliamas tyrimo tikslas. Čia būtina suprasti, ką mes norime gauti atlikdami tyrimą. Pirmiausia turite įvertinti, ar šiuos rezultatus galima gauti kitu, pigesniu ar prieinamesniu būdu.
2 etapas. Užduoties apibrėžimas. Tyrėjas bando nustatyti, kokiam tipui priklauso objektas, aprašo objekto būklės parametrus, kintamuosius, charakteristikas, aplinkos veiksnius. Būtina suprasti objekto vidinės organizacijos modelius, nubrėžti objekto ribas ir sukurti jo struktūrą. Šis darbas vadinamas sistemos identifikavimu. Iš čia parenkama tyrimo problema, kuri gali išspręsti šiuos klausimus: optimizavimas, palyginimas, vertinimas, prognozė, jautrumo analizė, funkcinių ryšių nustatymas ir taip toliau.
Koncepcinis modelis leidžia įvertinti sistemos padėtį išorinėje aplinkoje, nustatyti jos funkcionavimui reikalingus išteklius, aplinkos veiksnių įtaką ir ko tikimės iš produkcijos.
Poreikis atlikti tyrimus kyla iš realių situacijų, susidarančių sistemos veikimo metu, kai kažkokiu būdu pradeda nebetenkinti kokių nors senų ar naujų reikalavimų. Jei trūkumai yra akivaizdūs ir žinomi jų pašalinimo būdai, tada tyrimų nereikia.
Remiantis tyrimo problema, galima nustatyti matematinio modelio, kuris turėtų būti kuriamas tyrimui, tikslą. Tokie modeliai gali išspręsti šias problemas:
· funkcinių ryšių nustatymas, kuris susideda iš kiekybinių priklausomybių tarp modelio įvesties faktorių ir tiriamo objekto išėjimo charakteristikų nustatymo;
Jautrumo analizė, kurią sudaro veiksnių, kurie didesniu mastu paveikti tyrėją dominančios sistemos išvesties charakteristikas;
· prognozė – sistemos elgsenos įvertinimas esant tam tikram numatomam deriniui išorinės sąlygos;
· vertinimai – nustatant, kiek tiriamas objektas atitiks tam tikrus kriterijus;
· palyginimas, kurį sudaro riboto skaičiaus alternatyvių sistemų arba kelių siūlomų principų ar veiksmų metodų palyginimas;
optimizavimas, susidedantis iš tikslus apibrėžimas toks kontrolinių kintamųjų derinys, užtikrinantis kraštutinę tikslo funkcijos reikšmę.
Problemos pasirinkimas lemia modelio kūrimo ir eksperimentinio testavimo procesą.
Bet koks tyrimas turėtų prasidėti plano sudarymu, įskaitant sistemos tyrimą ir jos veikimo analizę. Plane turėtų būti:
· objekto įgyvendinamų funkcijų aprašymas;
· visų sistemų ir objekto elementų sąveikų nustatymas;
· ryšio tarp įvesties ir išvesties kintamųjų ir kintamųjų valdymo veiksmų įtakos šioms priklausomybėms nustatymas;
· apibrėžimas ekonominiai rodikliai sistemos funkcionavimas.
Sistemos patikrinimo rezultatai ir aplinką prisistatyti V funkcionavimo proceso aprašymo forma, kuri naudojama sistemai identifikuoti. Nustatyti sistemą reiškia ją identifikuoti ir ištirti, taip pat:
Gauti daugiau pilnas aprašymas sistema ir jos elgsena;
Išmanyti objektyvius savo vidinės organizacijos dėsnius;
Nubrėžkite jo ribas;
Nurodykite įvestį, procesą ir išvestį;
Nustatyti jiems apribojimus;
Sukurti jo struktūrinius ir matematinius modelius;
Apibūdinkite jį kokia nors formalia abstrakčia kalba;
Nustatykite sistemos veikimo tikslus, prievartinius ryšius ir kriterijus.
Identifikavus sistemą, sudaromas konceptualus modelis, kuris yra būsimo matematinio modelio „idėjinis“ pagrindas. Tai atspindi optimalumo kriterijų ir apribojimų sudėtį modelio orientacija į tikslą.Įforminimo stadijoje kokybinių priklausomybių vertimas į kiekybines optimalumo kriterijų paverčia objektyvia funkcija, suvaržymus – komunikacijos lygtimis, o konceptualųjį modelį – matematinį.
Remdamiesi koncepciniu modeliu, galite statyti faktorinis modelis, kuris nustato loginį ryšį tarp objekto parametrų, įvesties ir išvesties kintamųjų, aplinkos veiksnių ir valdymo parametrų, taip pat atsižvelgiama į atsiliepimai sistemoje.
3 etapas. Matematinio modelio sudarymas. Matematinio modelio tipas labai priklauso nuo tyrimo tikslo. Matematinis modelis gali būti matematinės išraiškos, vaizduojančios algebrinė lygtis, arba nelygybė, neturinti skaičiavimo proceso pasekmių nustatant bet kokius modelio būsenos kintamuosius, tikslo funkciją ir ryšio lygtis.
Norint sukurti tokį modelį, formuluojamos šios sąvokos:
· optimalumo kriterijus- tyrėjo pasirinktas rodiklis, kuris, kaip taisyklė, turi ekologinę reikšmę, padedantis formalizuoti konkretus tikslas tyrimo objekto kontrolė ir išreikšta naudojant tikslo funkciją;
· objektyvi funkcija - objektui būdinga, nustatyta iš tolimesnės optimalumo kriterijaus paieškos sąlygos, matematiškai susiejant tam tikrus tiriamojo objekto veiksnius. Tikslinė funkcija ir optimalumo kriterijus yra skirtingos sąvokos. Jas galima apibūdinti to paties tipo funkcijomis arba skirtingomis funkcijomis;
· apribojimai- ribos, kurios susiaurina galimų, priimtinų ar leistinų sprendimų sritį ir fiksuoja pagrindines vidines ir išorines objekto savybes. Apribojimai lemia tyrimų sritį, procesų eigą, objekto parametrų ir veiksnių kitimo ribas.
Kitas sistemos kūrimo etapas – matematinio modelio formavimas, apimantis kelių rūšių darbus: matematinį formalizavimą, skaitinį vaizdavimą, modelio analizę ir sprendimo metodo parinkimą.
Matematinis formalizavimas atliekami pagal konceptualų modelį. Formalizuojant atsižvelgiama į tris pagrindines situacijas:
1) žinomos objekto elgseną apibūdinančios lygtys. Šiuo atveju tiesioginės problemos sprendimas gali būti rasti objekto reakciją į duotą įvesties signalą;
2) atvirkštinė problema, kai, atsižvelgiant į pateiktą matematinį aprašymą ir žinomą reakciją, reikia rasti įvesties signalą, kuris sukelia šią reakciją;
3) matematinis objekto aprašymas nežinomas, tačiau yra arba gali būti nurodyti įvesties ir atitinkamų išėjimo signalų rinkiniai. Šiuo atveju susiduriame su objekto identifikavimo problema.
Modeliuojant pramonės ir aplinkos objektus trečioje situacijoje, sprendžiant identifikavimo problemą, naudojamas N. Wienerio pasiūlytas požiūris, žinomas kaip „juodosios dėžės“ metodas. Visas objektas dėl savo sudėtingumo laikomas „juodąja dėže“. Nes vidinė organizacija objektas nežinomas, galime ištirti „juodąją dėžę“ suradę įvestis ir išvestis. Lygindami įvestis ir išvestis, galime parašyti ryšį
Y = AX,
Kur X- vektorius įvesties parametrai; Y- išvesties parametrų vektorius; A- objekto operatoriaus transformavimas X V Y. Objektui apibūdinti matematinio ryšio forma, identifikavimo uždaviniuose naudojami regresinės analizės metodai. Šiuo atveju objektą galima apibūdinti įvairiais matematiniais modeliais, nes neįmanoma priimti pagrįsto sprendimo apie jo vidinę struktūrą.
Pagrindas renkantis matematinio aprašymo metodą yra aprašomojo objekto funkcionavimo fizinės prigimties žinios, gana platus aplinkos ir matematinių metodų spektras, kompiuterio, kuriame planuojama modeliuoti, galimybės ir ypatybės. Daugeliui nagrinėjamų reiškinių yra gana daug gerai žinomų matematinių aprašymų ir standartinių matematinių modelių. Su sukurta kompiuterine programine sistema galima atlikti daugybę modeliavimo procedūrų naudojant standartines programas.
Originalūs matematiniai modeliai gali būti parašyti remiantis sistemų tyrimais, atliktais ir išbandytais realiose situacijose. Norint atlikti naujus tyrimus, tokie modeliai pritaikomi prie naujų sąlygų.
Elementariųjų procesų matematiniai modeliai, fizinė prigimtis kurios yra žinomos, yra parašytos tų formulių ir priklausomybių forma, kurios yra nustatytos šiems procesams. Paprastai statinės problemos išreiškiamos kaip algebrinės išraiškos, dinaminė – diferencialinių arba baigtinių skirtumų lygčių pavidalu.
Skaitmeninis vaizdavimas Modelis pagamintas, kad būtų galima jį paruošti diegimui kompiuteryje. Nustatyti skaitines reikšmes nėra sunku. Komplikacijų kyla kompaktiškai pateikiant išsamią statistinę informaciją ir eksperimentinius rezultatus.
Pagrindiniai lentelės verčių konvertavimo į analitinę formą metodai yra: interpoliacija, aproksimacija ir ekstrapoliacija.
Interpoliacija - apytikslis arba tikslus bet kokio kiekio nustatymas iš žinomų individualių tų pačių ar kitų su juo susijusių dydžių verčių.
Aproksimacija- kai kurių matematinių objektų pakeitimas kitais, viena ar kita prasme artimais originaliems. Aproksimacija leidžia tyrinėti skaitinės charakteristikos ir kokybines objekto savybes, redukuojant užduotį iki paprastesnių ar patogesnių objektų tyrimo.
Ekstrapoliacija - funkcijos išplėtimas už jos apibrėžimo srities, kurioje išplėstinė funkcija priklauso tam tikrai klasei. Funkcijos ekstrapoliacija paprastai atliekama naudojant formules, kurios naudoja informaciją apie funkcijų veikimą tam tikruose baigtiniuose taškų rinkiniuose, vadinamuose ekstrapoliacijos mazgais, priklausančiais apibrėžimo sričiai.
Kitas statybos etapas yra gauto modelio analizė Ir metodo pasirinkimas jos sprendimus. Modelio išvesties charakteristikų verčių apskaičiavimo pagrindas yra algoritmas, sudarytas jo pagrindu, siekiant išspręsti problemą kompiuteryje. Tokio algoritmo kūrimas ir programavimas, kaip taisyklė, nesusiduria su jokiais esminiais sunkumais.
Sudėtingesnis yra skaičiavimo proceso organizavimas, siekiant nustatyti išvesties charakteristikas, kurios yra priimtinose srityse, ypač daugiafaktoriniuose modeliuose. Rasti sprendimus naudojant optimizavimo modelius yra dar sunkiau. Tobuliausias ir adekvatiausias matematinis modelis aprašomam objektui nerandant optimalią vertę yra nenaudingas, jo negalima naudoti.
Pagrindinį vaidmenį kuriant optimalių sprendimų paieškos algoritmą vaidina matematinio modelio veiksnių pobūdis, chisui ir optimalumo kriterijai, tikslo funkcijos tipas ir komunikacijos lygtys.Tai lemia tikslo funkcijos tipas ir apribojimai. pasirinkti vieną ir tris pagrindinius aplinkos matematinių modelių sprendimo būdus:
· analitinis tyrimas;
· tyrimas naudojant skaitmeninius metodus;
· algoritminių modelių tyrimas naudojant eksperimentinius optimizavimo metodus kompiuteryje.
Analizės metodai skiriasi tuo, kad, be tikslios ieškomų kintamųjų reikšmės, jie gali pateikti optimalų sprendimą paruoštos formulės pavidalu, apimančią išorinės aplinkos charakteristikas ir pradines sąlygas, kurias tyrėjas gali keisti plačiomis ribomis. nekeičiant pačios formulės.
Skaitiniai metodai leidžia gauti sprendimą pakartotiniais skaičiavimais naudojant tam tikrą algoritmą, įgyvendinantį tam tikrą skaitinį metodą. Pradiniai skaičiavimo duomenys yra skaitines reikšmes objekto parametras, išorinė aplinka ir pradinės sąlygos. Skaitiniai metodai yra iteracinės procedūros: kitam skaičiavimo žingsniui atlikti (su nauja valdomų kintamųjų reikšme) naudojami ankstesnių skaičiavimų rezultatai, kurie leidžia gauti geresnius rezultatus skaičiavimo metu ir taip rasti optimalų sprendimą. .
Konkrečios savybės algoritminis modelis, kuriuo grindžiamas optimalaus sprendimo paieškos algoritmas, pavyzdžiui, jo tiesiškumas ar išgaubtumas, gali būti nustatytas tik eksperimentuojant su juo, todėl šios klasės modeliams spręsti naudojami vadinamieji eksperimentinio optimizavimo metodai. naudojamas kompiuteris. Taikant šiuos metodus, remiantis skaičiavimų rezultatais, naudojant algoritmą, kuris modeliuoja tiriamos sistemos veikimą, žingsnis po žingsnio imamasi optimalaus sprendimo. Metodai pagrįsti paieškos principais optimalius sprendimus skaitiniais metodais, tačiau skirtingai nei jie, visus algoritmo ir optimizavimo programos kūrimo veiksmus atlieka modelio kūrėjas.
Imitacinis problemų, turinčių atsitiktinius parametrus, modeliavimas paprastai vadinamas statistiniu modeliavimu.
Paskutinis modelio kūrimo žingsnis yra jo aprašymo sudarymas, kuriame yra informacija, reikalinga modeliui ištirti, tolesniam jo naudojimui, taip pat visi apribojimai ir prielaidos. Kruopštus ir išsamus veiksnių įvertinimas kuriant modelį ir formuluojant prielaidas leidžia įvertinti modelio tikslumą ir išvengti klaidų interpretuojant jo rezultatus.
· 4-as etapas. Kompiuterija. Sprendžiant uždavinį, būtina atidžiai suprasti visų matematinį modelį įtrauktų dydžių matmenis ir nustatyti ribas (ribas), kuriose bus norima tikslo funkcija, taip pat reikiamą skaičiavimų tikslumą. Jei įmanoma, skaičiavimai atliekami pastoviomis sąlygomis kelis kartus, siekiant užtikrinti, kad tikslo funkcija nepasikeistų.
· 5 etapas. Rezultatų pristatymas. Objekto tyrimo rezultatai gali būti pateikiami žodžiu arba raštu. Jie turėtų apimti Trumpas aprašymas tyrimo objektas, tyrimo tikslai, matematinis modelis, prielaidos, padarytos renkantis matematinį modelį, pagrindiniai skaičiavimų rezultatai, apibendrinimai ir išvados.
