Neigiamų eksponentų dauginimas su ta pačia baze. Kaip padauginti eksponentus, dauginant eksponentus su skirtingais rodikliais

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Valdžių padalijimas ta pačia baze. 4. Sumažinkite eksponentus 2a4/5a3 ir 2/a4 ir padidinkite iki Bendras vardiklis. Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Šis turtas tęsiasi iki trijų ir sandaugos laipsnio daugiau daugikliai. Todėl am−an>0 ir am>an, kas turėjo būti įrodyta. Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų galių savybių su natūraliais rodikliais.

Atkreipkite dėmesį, kad savybė Nr. 4, kaip ir kitos laipsnių savybės, taip pat taikoma atvirkštine tvarka. Tai yra, norėdami padauginti laipsnius su tais pačiais eksponentais, galite padauginti bazes ir palikti eksponentą nepakeistą. Galios vertės apskaičiavimas vadinamas eksponencijos veiksmu. Tai yra, apskaičiuodami išraiškos, kurioje nėra skliaustų, reikšmę, pirmiausia atlikite trečiojo žingsnio veiksmą, tada antrąjį (daugyba ir padalijimas) ir galiausiai pirmąjį (sudėtis ir atimtis).

Nustačius skaičiaus laipsnį, logiška kalbėti apie laipsnio savybes. Šiame straipsnyje pateiksime pagrindines skaičiaus laipsnio savybes, paliesdami visus galimus rodiklius. Čia pateiksime visų laipsnio savybių įrodymus, taip pat parodysime, kaip šios savybės taikomos sprendžiant pavyzdžius. Iš karto pažymime, kad nurodytomis sąlygomis visos parašytos lygybės yra identiškos, o jų dešinė ir kairioji dalys gali būti sukeistos.

Pateiksime pavyzdį, patvirtinantį pagrindinę laipsnio savybę. Prieš pateikdami šios savybės įrodymą, aptarkime papildomų sąlygų formuluotėje reikšmę. Sąlyga m>n įvedama tam, kad neperžengtume natūraliųjų rodiklių. Pagrindinė trupmenos savybė leidžia parašyti lygybę am−n·an=a(m−n)+n=am.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Tai yra, k faktorių sandaugos natūralaus laipsnio savybė n užrašoma kaip (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Aiškumo dėlei šią savybę parodome pavyzdžiu. Įrodymas gali būti atliktas naudojant ankstesnę nuosavybę. Pavyzdžiui, bet kuriai natūraliuosius skaičius p, q, r ir s yra lygūs. Kad būtų aiškiau, pateiksime pavyzdį su konkrečiais skaičiais: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Šis faktas ir daugybos savybės leidžia teigti, kad bet kokio teigiamų skaičių padauginimo rezultatas taip pat bus teigiamas skaičius. Visiškai akivaizdu, kad bet kurio natūraliojo n, kurio a=0, an laipsnis yra lygus nuliui. Iš tiesų, 0n=0·0·…·0=0. Pavyzdžiui, 03=0 ir 0762=0. Pereikime prie neigiamų pagrindų. Pradėkime nuo atvejo, kai rodiklis yra lyginis skaičius, pažymėkite jį kaip 2·m, kur m yra natūralusis skaičius.

Mes kreipiamės į šio turto įrodymą. Įrodykime, kad m>n ir 0 Tuo pačiu principu galima įrodyti visas kitas laipsnio savybes sveikuoju rodikliu, užrašytu lygybėmis. Sąlygos p 0 šiuo atveju bus atitinkamai lygiavertės sąlygoms m 0. Šiuo atveju sąlyga p>q atitiks sąlygą m1>m2, kuri išplaukia iš palyginimo taisyklės paprastosios trupmenos Su tie patys vardikliai.

Operacijos su šaknimis. Laipsnio sąvokos išplėtimas. Iki šiol laikėmės tik su natūraliaisiais rodikliais, tačiau veiksmai su rodikliais ir šaknimis taip pat gali sukelti neigiamus, nulinius ir trupmeninius rodiklius. Visiems šiems rodikliams reikia papildomo apibrėžimo. Jei norime, kad formulė a m: a n=a m - n galiotų m = n, turime apibrėžti nulinį laipsnį. Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais.

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia! Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Įvertinti, kaip jie patogūs, galima tik apsisprendus logaritmines lygtis ir nelygybės. Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus. Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei.

Laipsnių savybės, formuluotės, įrodymai, pavyzdžiai.

Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė. Tai vadinama pagrindine logaritmine tapatybe. Kaip ir pagrindinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra unikali galimas sprendimas. Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės.

Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais

Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a iš tos bazės yra lygus vienetui. 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas vienas – logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė. Tai visos savybės. Atsisiųskite cheat lapą pamokos pradžioje, atsispausdinkite – ir išspręskite problemas.

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

2.a-4 yra a-2 pirmasis skaitiklis. Tokiu atveju patariame atlikti šiuos veiksmus. Tai yra trečiojo etapo veiksmas. Pavyzdžiui, pagrindinė trupmenos savybė am·an=am+n, supaprastinant išraiškas, dažnai naudojama forma am+n=am·an. Sąlyga a≠0 reikalinga tam, kad būtų išvengta dalybos iš nulio, nes 0n=0, o susipažinę su dalyba sutarėme, kad dalinti iš nulio neįmanoma. Iš gautos lygybės am−n·an=am ir iš ryšio tarp daugybos ir dalybos išplaukia, kad am−n yra am ir an koeficientas. Tai įrodo dalinių galių, turinčių tuos pačius pagrindus, savybę.

Panašiai, jei q=0, tada (ap)0=1 ir ap 0=a0=1, iš kur (ap)0=ap 0. Daugiau sunkūs pavyzdžiai gali būti atvejų, kai daugyba ir dalyba turi būti atliekama per galias su skirtingi pagrindai ir skirtingi rodikliai. Šios šaknų savybių nelygybės gali būti atitinkamai perrašytos kaip ir. O laipsnio apibrėžimas su racionaliuoju rodikliu leidžia pereiti prie nelygybių ir atitinkamai.

Pirmas lygis

Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019)

Kodėl reikalingi laipsniai? Kur tau jų reikia? Kodėl reikia skirti laiko jų studijavimui?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias Kasdienybė perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnio žinojimas priartins jus prie sėkmės pravažiavęs OGE arba vieningą valstybinį egzaminą ir įstoti į savo svajonių universitetą.

Eime... (Eime!)

Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote beprasmybę, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL+F5 („Windows“) arba Cmd+R („Mac“).

PIRMAS LYGIS

Eksponentinis koeficientas yra ta pati matematinė operacija kaip sudėtis, atimtis, daugyba ar dalyba.

Dabar aš viską paaiškinsiu žmonių kalba paprasti pavyzdžiai. Būk atsargus. Pavyzdžiai yra elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti kitaip: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat butelių kolos ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

O kokių dar gudrių skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos galios yra. Ir tokias problemas jie išsprendžia mintyse – greičiau, lengviau ir be klaidų.

Norėdami tai padaryti, jums tereikia prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl vadinamas antrasis laipsnis kvadratas skaičiai, o trečiasis kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys yra metrai metrais. Baseinas yra jūsų kieme. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet ... baseinas be dugno! Būtina iškloti baseino dugną plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.

Tiesiog bakstelėję pirštu galite suskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei jūsų plytelės yra metras po metro, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur tu matei tokią plytelę? Plytelė greičiau bus cm po cm, o tada jus kankins „skaičiuoti pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginus iš, gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad tą patį skaičių padauginome iš savęs, norėdami nustatyti baseino dugno plotą? Ką tai reiškia? Kadangi tas pats skaičius padauginamas, galime naudoti eksponencijos techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti į laipsnį. Bet jei jų turi daug, tai pakelti iki laipsnio yra daug lengviau, o skaičiavimuose taip pat yra mažiau klaidų . Egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, trisdešimties iki antrojo laipsnio bus (). Arba galite pasakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norėdami suskaičiuoti jų skaičių, turite aštuonis padauginti iš aštuonių arba ... jei tai pastebėsite Šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tada galite kvadratą aštuoni. Gaukite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnis. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Beje, tūriai ir skysčiai matuojami kubiniai metrai. Netikėtai, tiesa?) Nubraižykite baseiną: vieno metro dydžio ir metro gylio dugną ir pabandykite apskaičiuoti, kiek metras po metro iš viso pateks į jūsų baseiną kubelių.

Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys... Kiek išėjo? Ar nepasiklydo? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Imk pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia padauginti jo ilgį, plotį ir aukštį vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, tiesa?

Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei tai daro per daug lengva. Sumažino viską iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius padauginamas iš savęs... O ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite naudoti laipsnį. Taigi, ką kažkada suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kube yra lygūs. Tai parašyta taip:

Lieka tik įsiminti laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.

Na, o tam, kad pagaliau jus įtikintumėte, jog laipsnius sugalvojo palaidūnai ir gudruoliai, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne jums pridaryti problemų, štai dar pora pavyzdžių iš gyvenimo.

4 realaus gyvenimo pavyzdys

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate po vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir .. kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais – du kart du... antraisiais – kas atsitiko, dar dviem, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš savęs vieną kartą. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris greičiau skaičiuos, gaus šiuos milijonus... Ar verta prisiminti skaičių laipsnius, ką manote?

5 pavyzdys realiame gyvenime

Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate dar dviem. Tai puiku, tiesa? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtoji galia yra milijonas. Jums tereikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.

Dabar jūs žinote, kad padidinę skaičių iki galios, jūs žymiai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Terminai ir sąvokos ... kad nesusipainiotumėte

Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai yra skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas ...

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprastesnis yra skaičius, kuris yra apačioje, apačioje.

Štai nuotrauka, kad įsitikintumėte.

Na ir į vidų bendras vaizdas apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze "" ir laipsniu "" skaitomas kaip "iki laipsnio" ir rašomas taip:

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia

Tikriausiai jau atspėjote: nes rodiklis yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai yra tie, kurie naudojami skaičiuojant surašant elementus: vienas, du, trys ... Kai skaičiuojame elementus, nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Mes taip pat nesakome „trečdalis“ ar „nulis taško penkios dešimtosios“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. O ką reiškia neigiami („minusiniai“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia skoloms žymėti: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.

Visos trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad neturi pakankamai natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?

Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, be galo dešimtainis. Pavyzdžiui, jei apskritimo perimetrą padalinsite iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Santrauka:

Apibrėžkime laipsnio sąvoką, kurios rodiklis yra natūralusis skaičius (tai yra sveikasis skaičius ir teigiamas).

1. Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau:
2. Norėdami padalyti skaičių kvadratu, padauginkite jį iš savęs:
3. Skaičius kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš savęs kartų:
.

Laipsnio savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau parodysiu dabar.

Pažiūrėkime, kas yra ir ?

Pagal apibrėžimą:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie veiksnių pridėjome veiksnius, o rezultatas yra veiksniai.

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , kurį reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi būti ta pati priežastis!
Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:

tik galių produktams!

Jokiu būdu neturėtumėte to rašyti.

2. tai yra - skaičiaus laipsnis

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai netiesa, tikrai.

Laipsnis su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Laipsniais nuo natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai.

Pagalvokime, kokie ženklai (" " arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, paaiškėja.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

Jei nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:

Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų sukeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.

Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose.

Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

visasįvardijame natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su ženklu "") ir skaičių.

teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, klausiame savęs: kodėl taip yra?

Apsvarstykite tam tikrą galią su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, koks buvo -. Iš kokio skaičiaus reikia padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, toliau. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turi būti lygus bet kokiam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius iki nulio laipsnio, jis turi būti lygus. Taigi kokia čia tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė pakelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar galime ne tik padalyti iš nulio, bet ir pakelti jį iki nulinės galios.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai apima ir neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiamas laipsnis, darykime taip pat, kaip ir praeitą kartą: kokį nors normalų skaičių padauginame iš to paties neigiamo laipsnio:

Iš čia jau lengva išreikšti norimą:

Dabar išplečiame gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius neigiamam laipsniui yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui. Bet tuo pačiu bazė negali būti nulinė:(nes padalyti neįmanoma).

Apibendrinkime:

I. Išraiška neapibrėžiama atveju. Jei tada.

II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .

III. Skaičius, kuris nėra lygus nuliui neigiamam laipsniui, yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Na, kaip įprasta, nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

Savarankiško sprendimo užduočių analizė:

Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet per egzaminą turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimą, jei nepavyko išspręsti, ir išmoksite, kaip lengvai su jais susidoroti egzamine!

Toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.

Dabar apsvarstykite racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: visa tai gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai.

Norėdami suprasti, kas yra "dalinis laipsnis" Panagrinėkime trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisimink taisyklę "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, th laipsnio šaknis yra atvirkštinė eksponencijos operacija: .

Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad tai ypatinga byla galima pratęsti: .

Dabar pridėkite skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą nesunku gauti taikant energijos tiekimo taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk šaknies negalima išgauti iš visų skaičių.

Nė vienas!

Prisiminkite taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išskirti lyginio laipsnio šaknų!

O tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.

O išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, sumažintos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, ir tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet kai tik užrašome rodiklį kitaip, vėl susiduriame su bėdomis: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtumėte tokių paradoksų, apsvarstykite tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

• - natūralusis skaičius;
• yra sveikas skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsniai su racionaliuoju rodikliu yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 praktikos pavyzdžiai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, o dabar – sunkiausia. Dabar analizuosime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnių su racionaliuoju rodikliu, išskyrus

Iš tiesų, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;

...nulinė galia- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias skaičius“ , būtent numeris;

...neigiamas sveikasis rodiklis- tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius.

Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo jau įprastos laipsnio pakėlimo į laipsnį taisyklės:

Dabar pažiūrėkite į rezultatą. Ar jis tau ką nors primena? Primename kvadratų skirtumo sutrumpinto dauginimo formulę:

Tokiu atveju,

Paaiškėjo, kad:

Atsakymas: .

2. Rodiklio trupmenas sudarome ta pačia forma: arba abi po kablelio, arba abi paprastosios. Mes gauname, pavyzdžiui:

Atsakymas: 16

3. Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Laipsnio apibrėžimas

Laipsnis yra formos išraiška: , kur:

• — laipsnio pagrindas;
• - eksponentas.

Laipsnis su natūraliuoju rodikliu (n = 1, 2, 3,...)

Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)

Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:

erekcija iki nulinės galios:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki aštuntojo laipsnio yra tai.

Jei eksponentas yra sveikasis skaičius neigiamas numeris:

(nes padalyti neįmanoma).

Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.

Pavyzdžiai:

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

• - natūralusis skaičius;
• yra sveikas skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnio savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.

Pažiūrėkime: kas yra ir?

Pagal apibrėžimą:

Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gaunamas šis produktas:

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, ty:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi turėti tą patį pagrindą. Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:

Kitas svarbi pastaba: ši taisyklė yra - tik galių produktams!

Jokiu būdu neturėčiau to rašyti.

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pertvarkykime taip:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus --oji galia:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:!

Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai netiesa, tikrai.

Galia su neigiama baze.

Iki šiol aptarėme tik tai, kas turėtų būti indeksas laipsnį. Bet kas turėtų būti pagrindas? Laipsniais nuo natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Iš tiesų, galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai. Pagalvokime, kokie ženklai (" " arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ?

Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime -.

Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galima suformuluoti tokius paprastos taisyklės:

1. net laipsnis, - skaičius teigiamas.
2. Neigiamas skaičius, pastatytas m nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
3. Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
4. Nulis bet kokiai galiai yra lygus nuliui.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ar susitvarkei? Štai atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimenate, tai tampa aišku, o tai reiškia, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir suskirstome juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:

Prieš analizuodami paskutinę taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite išraiškų reikšmes:

Sprendimai :

Jei nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!

Mes gauname:

Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų pakeisti, būtų galima taikyti 3 taisyklę. Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar atrodo taip:

Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose. Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu! Jo negalima pakeisti pakeitus tik vieną mums nepriimtiną minusą!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:

Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek bus raidžių? kartų pagal daugiklius – kaip tai atrodo? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: iš viso pasirodė daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą iracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionaliuosius).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „numerio paruošimas“, būtent skaičius; laipsnis su sveikuoju neigiamu rodikliu - tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius nebuvo padaugintas iš savęs, o padalintas.

Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Greičiau tai yra grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.

Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti! :)

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

1)

2)

3)

Atsakymai:

1. Prisiminkite kvadratų formulės skirtumą. Atsakymas:.
2. Trupmenas sudarome į tą pačią formą: arba abu dešimtainius, arba abu paprastus. Pavyzdžiui, gauname: .
3. Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:

SKYRIAUS SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ

Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

rodiklis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnio savybės

Laipsnių ypatumai.

• Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
• Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
• Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
• Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
• Bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.

DABAR TURI ŽODĮ...

Kaip jums patinka straipsnis? Leiskite man žinoti toliau pateiktuose komentaruose, ar jums tai patiko, ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį, susijusią su galios savybėmis.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Rašyk komentaruose.

Ir sėkmės egzaminuose!

Paskutiniame vaizdo įraše sužinojome, kad tam tikros bazės laipsnis yra išraiška, kuri yra bazės ir pačios sandaugos sandauga, lygia laipsniui. Dabar panagrinėkime kai kurias svarbiausias galių savybes ir operacijas.

Pavyzdžiui, padauginkime dvi skirtingas galias su ta pačia baze:

Pažvelkime į šį kūrinį visą:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Apskaičiavę šios išraiškos reikšmę, gauname skaičių 32. Kita vertus, kaip matyti iš to paties pavyzdžio, 32 galima pavaizduoti kaip tos pačios bazės sandaugą (dviejų), paimtą 5 kartus. Ir iš tikrųjų, jei skaičiuojate, tada:

Taigi galima drąsiai daryti išvadą, kad:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ši taisyklė sėkmingai veikia bet kokiems rodikliams ir bet kokiems pagrindams. Ši laipsnio dauginimo savybė išplaukia iš posakių reikšmės išsaugojimo gaminio transformacijų metu taisyklės. Bet kuriai bazei a dviejų reiškinių (a) x ir (a) y sandauga yra lygi a (x + y). Kitaip tariant, kuriant bet kokias išraiškas su ta pačia baze, galutinis monomilas turi bendrą laipsnį, suformuotą pridedant pirmosios ir antrosios išraiškos laipsnius.

Pateikta taisyklė puikiai veikia ir dauginant kelias išraiškas. Pagrindinė sąlyga, kad pagrindai visiems būtų vienodi. Pavyzdžiui:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Neįmanoma pridėti laipsnių ir apskritai atlikti bet kokius galios bendrus veiksmus su dviem išraiškos elementais, jei jų pagrindai skiriasi.
Kaip rodo mūsų vaizdo įrašas, dėl daugybos ir dalybos procesų panašumo, galių pridėjimo gaminio metu taisyklės puikiai perkeliamos į padalijimo procedūrą. Apsvarstykite šį pavyzdį:

Atlikime terminą po termino išraiškos transformaciją į pilną formą ir sumažinkime identiški elementai dividenduose ir dalikliuose:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Šio pavyzdžio galutinis rezultatas nėra toks įdomus, nes jau sprendžiant jį aišku, kad išraiškos reikšmė lygi dviejų kvadratui. Ir būtent dvejetas gaunamas atėmus antrosios išraiškos laipsnį iš pirmosios.

Norint nustatyti koeficiento laipsnį, iš dividendo laipsnio reikia atimti daliklio laipsnį. Taisyklė veikia tuo pačiu pagrindu visoms savo vertybėms ir visoms prigimtinėms galioms. Abstrakčia forma mes turime:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Nulinio laipsnio apibrėžimas išplaukia iš identiškų bazių padalijimo su laipsniais taisyklės. Akivaizdu, kad ši išraiška yra tokia:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Kita vertus, jei padalinsime vizualiau, gautume:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Sumažinant visus matomus trupmenos elementus, visada gaunama išraiška 1/1, tai yra vienas. Todėl visuotinai pripažįstama, kad bet kuri bazė, padidinta iki nulinės galios, yra lygi vienetui:

Nepriklausomai nuo a vertės.

Tačiau būtų absurdiška, jei 0 (kuris vis tiek suteikia 0 bet kokiam dauginimui) kažkaip lygus vienetui, todėl tokia išraiška kaip (0) 0 (nulis iki nulio laipsnio) tiesiog neturi prasmės, o formulė (a) 0 = 1 pridėkite sąlygą: "jei a nelygu 0".

Atlikime pratimą. Raskime išraiškos reikšmę:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Kadangi bazė visur yra vienoda ir lygi 34, galutinė reikšmė bus tokia pati su laipsniu (pagal aukščiau pateiktas taisykles):

Kitaip tariant:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Atsakymas: Išraiška lygi vienetui.

Jei reikia padidinti konkretų skaičių iki laipsnio, galite naudoti . Dabar pažvelgsime atidžiau laipsnių savybės.

Eksponentiniai skaičiai atveria dideles galimybes, jie leidžia paversti daugybą į sudėjimą, o sudėti daug lengviau nei dauginti.

Pavyzdžiui, turime padauginti 16 iš 64. Šių dviejų skaičių sandauga yra 1024. Tačiau 16 yra 4x4, o 64 - 4x4x4. Taigi 16 kartų 64 = 4x4x4x4x4, kuris taip pat yra 1024.

Skaičius 16 taip pat gali būti pavaizduotas kaip 2x2x2x2, o 64 - kaip 2x2x2x2x2x2, o jei padauginsime, vėl gausime 1024.

Dabar naudokimės taisykle. 16 = 4 2 arba 2 4 , 64 = 4 3 arba 2 6 , o 1024 = 6 4 = 4 5 arba 2 10 .

Todėl mūsų uždavinį galima parašyti ir kitaip: 4 2 x4 3 =4 5 arba 2 4 x2 6 =2 10, ir kiekvieną kartą gauname 1024.

Galime išspręsti daugybę panašių pavyzdžių ir pamatyti, kad skaičių dauginimas su laipsniais sumažėja iki eksponentų pridėjimas, arba eksponentas, žinoma, su sąlyga, kad veiksnių bazės yra lygios.

Taigi, nedauginant galime iš karto pasakyti, kad 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Ši taisyklė galioja ir dalijant skaičius laipsniais, tačiau šiuo atveju el daliklio rodiklis atimamas iš dividendo rodiklio. Taigi, 2 5:2 3 =2 2 , kuris įprastais skaičiais lygus 32:8=4, tai yra 2 2 . Apibendrinkime:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kur m ir n yra sveikieji skaičiai.

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad taip skaičių daugyba ir dalyba laipsniais nėra labai patogu, nes pirmiausia reikia pavaizduoti skaičių eksponentine forma. Nesunku pavaizduoti skaičius 8 ir 16 tokia forma, ty 2 3 ir 2 4, bet kaip tai padaryti su skaičiais 7 ir 17? Arba ką daryti tais atvejais, kai skaičius gali būti pavaizduotas eksponentine forma, tačiau skaičių eksponentinių išraiškų pagrindai labai skiriasi. Pavyzdžiui, 8×9 yra 2 3 x 3 2, tokiu atveju negalime sumuoti eksponentų. Nei 2 5, nei 3 5 nėra atsakymas, taip pat nėra atsakymas tarp jų.

Tada ar verta vargti su šiuo metodu? Tikrai verta. Tai suteikia didžiulių pranašumų, ypač atliekant sudėtingus ir daug laiko reikalaujančius skaičiavimus.

Valdžių padalijimas ta pačia baze. Pagrindinę laipsnio savybę, pagrįstą daugybos savybėmis, galima apibendrinti trijų ir sandauga daugiau laipsniai su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliais rodikliais.

3.a-3 yra a0 = 1, antrasis skaitiklis. Sudėtingesniuose pavyzdžiuose gali būti atvejų, kai daugyba ir dalyba turi būti atliekama laipsniais su skirtingais pagrindais ir skirtingais rodikliais. Dabar pažvelkime į juos konkrečių pavyzdžių ir bandyk tai įrodyti.

Taigi įrodėme, kad dalijant du laipsnius su tais pačiais pagrindais, jų rodikliai turi būti atimami. Nustačius skaičiaus laipsnį, logiška kalbėti apie laipsnio savybes.

Čia pateiksime visų laipsnio savybių įrodymus, taip pat parodysime, kaip šios savybės taikomos sprendžiant pavyzdžius. Pavyzdžiui, pagrindinė trupmenos savybė am·an=am+n, supaprastinant išraiškas, dažnai naudojama forma am+n=am·an. Pateiksime pavyzdį, patvirtinantį pagrindinę laipsnio savybę. Prieš pateikdami šios savybės įrodymą, aptarkime papildomų sąlygų formuluotėje reikšmę.

Laipsnių savybės su natūraliais rodikliais

Sąlyga m>n įvedama tam, kad neperžengtume natūraliųjų rodiklių. Iš gautos lygybės am−n·an=am ir iš ryšio tarp daugybos ir dalybos išplaukia, kad am−n yra am ir an koeficientas. Tai įrodo dalinių galių, turinčių tuos pačius pagrindus, savybę. Aiškumo dėlei šią savybę parodome pavyzdžiu. Pavyzdžiui, lygybė galioja bet kokiems natūraliems skaičiams p, q, r ir s. Kad būtų aiškiau, pateiksime pavyzdį su konkrečiais skaičiais: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Vienanarių sudėjimas ir atėmimas

Šis faktas ir daugybos savybės leidžia teigti, kad bet kokio teigiamų skaičių padauginimo rezultatas taip pat bus teigiamas skaičius. Visiškai akivaizdu, kad bet kurio natūraliojo n, kurio a=0, an laipsnis yra lygus nuliui. Iš tiesų, 0n=0·0·…·0=0. Pavyzdžiui, 03=0 ir 0762=0. Pereikime prie neigiamų pagrindų. Pradėkime nuo atvejo, kai rodiklis yra lyginis skaičius, pažymėkite jį kaip 2·m, kur m yra natūralusis skaičius.

Mes kreipiamės į šio turto įrodymą. Įrodykime, kad esant m>n ir 0 Belieka įrodyti antrąją nuosavybės dalį. Todėl am−an>0 ir am>an, kas turėjo būti įrodyta. Įrodyti kiekvieną iš šių savybių nėra sunku, tam pakanka naudoti laipsnio apibrėžimus su natūraliuoju ir sveikuoju rodikliu, taip pat veiksmų su realiaisiais skaičiais savybes.

Jei p=0, tai turime (a0)q=1q=1 ir a0 q=a0=1, iš kur (a0)q=a0 q. Tuo pačiu principu visas kitas laipsnio savybes galima įrodyti sveikuoju rodikliu, užrašytu lygybių forma. Sąlygos p 0 šiuo atveju bus atitinkamai lygiavertės sąlygoms m 0.

Šiuo atveju sąlyga p>q atitiks sąlygą m1>m2, kuri išplaukia iš paprastųjų trupmenų su tais pačiais vardikliais palyginimo taisyklės. Šios šaknų savybių nelygybės gali būti atitinkamai perrašytos kaip ir. O laipsnio apibrėžimas su racionaliuoju rodikliu leidžia pereiti prie nelygybių ir atitinkamai.

Pagrindinės logaritmų savybės

Galios vertės apskaičiavimas vadinamas eksponencijos veiksmu. Tai yra, apskaičiuodami išraiškos, kurioje nėra skliaustų, reikšmę, pirmiausia atlikite trečiojo žingsnio veiksmą, tada antrąjį (daugyba ir padalijimas) ir galiausiai pirmąjį (sudėtis ir atimtis). Operacijos su šaknimis.

Laipsnio sąvokos išplėtimas. Iki šiol laikėmės tik su natūraliaisiais rodikliais, tačiau veiksmai su rodikliais ir šaknimis taip pat gali sukelti neigiamus, nulinius ir trupmeninius rodiklius. Visiems šiems rodikliams reikia papildomo apibrėžimo. Jei norime, kad formulė a m: a n=a m - n galiotų m = n, turime apibrėžti nulinį laipsnį.

Skaičių laipsnių dauginimas iš tų pačių rodiklių. Toliau suformuluojame teoremą apie galių padalijimą tais pačiais pagrindais, išsprendžiame aiškinamąsias problemas ir įrodome teoremą bendras atvejis. Dabar pereikime prie neigiamų galių apibrėžimo. Galite lengvai tai patikrinti, pakeisdami formulę iš apibrėžimo į kitas savybes. Norėdami išspręsti šią problemą, atminkite, kad: 49 = 7^2 ir 147 = 7^2 * 3^1. Jei dabar atidžiai naudositės laipsnių savybėmis (kai laipsnį didinate iki laipsnio, eksponentai ...

Tai yra, rodikliai tikrai atimami, bet kadangi rodiklis yra neigiamas rodiklio vardiklyje, atimant minusą iš minuso, gaunamas pliusas, o rodikliai pridedami. Prisiminkime, kas vadinama monomialu ir kokias operacijas galima atlikti su monomijomis. Prisiminkite tai, kad sumažintumėte monomiją iki Standartinė forma pirmiausia turite gauti skaitinį koeficientą, padauginus visus skaitinius veiksnius, o tada padauginti atitinkamus laipsnius.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Tai yra, turime išmokti atskirti panašius ir nepanašius monomus. Darome išvadą: panašių vienanarių raidžių dalis yra tokia pati, o tokius vienanarius galima sudėti ir atimti.

Dėkojame už jūsų atsiliepimus. Jeigu jums patinka mūsų projektas ir esate pasirengęs padėti ar jame dalyvauti, siųskite informaciją apie projektą savo draugams ir kolegoms. Ankstesniame vaizdo įraše buvo pasakyta, kad pavyzdžiuose su monomijomis gali būti tik daugyba: „Suraskime skirtumą tarp šių posakių ir ankstesnių.

Pati monomio, kaip matematinio vieneto, samprata reiškia tik skaičių ir kintamųjų dauginimą, jei yra kitų operacijų, išraiška nebebus monomialas. Bet tuo pačiu metu vienanarius galima sudėti, atimti, padalyti tarpusavyje... Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima sudėti, atimti ir transformuoti visais įmanomais būdais. Tačiau kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinėmis savybėmis.

Pastaba: pagrindinis momentasčia tos pačios bazės. Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia! Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Tai yra, k faktorių sandaugos natūralaus laipsnio savybė n užrašoma kaip (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Nėra taisyklių, kaip pridėti ir atimti galias su ta pačia baze. Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. 4. Sumažinkite laipsnius 2a4/5a3 ir 2/a4 ir suveskite juos į bendrą vardiklį.