Математическое моделирование. Различные пути построения математической модели

Что такое математическая модель?

Понятие математической модели.

Математическая модель - очень простое понятие. И очень важное. Именно математические модели связывают математику и реальную жизнь.

Говоря простым языком, математическая модель - это математическое описание любой ситуации. И всё. Модель может быть примитивной, может быть и суперсложной. Какая ситуация, такая и модель.)

В любом (я повторяю - в любом! ) деле, где нужно чего-нибудь посчитать да рассчитать - мы занимаемся математическим моделированием. Даже если и не подозреваем об этом.)

Р = 2·ЦБ + 3·ЦМ

Вот эта запись и будет математической моделью расходов на наши покупки. Модель не учитывает цвет упаковки, срок годности, вежливость кассиров и т.п. На то она и модель, а не реальная покупка. Но расходы, т.е. то, что нам надо - мы узнаем точно. Если модель правильная, конечно.

Представлять, что такое математическая модель полезно, но этого мало. Самое главное - уметь эти модели строить.

Составление (построение) математической модели задачи.

Составить математическую модель - это значит, перевести условия задачи в математическую форму. Т.е. превратить слова в уравнение, формулу, неравенство и т.д. Причём превратить так, чтобы эта математика строго соответствовала исходному тексту. Иначе у нас получится математическая модель какой-то другой, неведомой нам задачи.)

Говоря конкретнее, нужно

Задач в мире - бесконечное количество. Поэтому предложить чёткую пошаговую инструкцию по составлению математической модели любой задачи - невозможно.

Но можно выделить три основных момента, на которые нужно обратить внимание.

1. В любой задаче есть текст, как ни странно.) В этом тексте, как правило, имеется явная, открытая информация. Числа, значения и т.п.

2. В любой задаче имеется скрытая информация. Это текст, который предполагает наличие дополнительных знаний в голове. Без них - никак. Кроме того, математическая информация частенько скрывается за простыми словами и... проскакивает мимо внимания.

3. В любой задаче должно быть дана связь данных между собой. Эта связь может быть дана открытым текстом (что-то равно чему-то), а может быть и скрыта за простыми словами. Но простые и понятные факты частенько упускаются из виду. И модель никак не составляется.

Сразу скажу: чтобы применить эти три момента, задачу приходится читать (и внимательно!) несколько раз. Обычное дело.

А теперь - примеры.

Начнём с простой задачки:

Петрович вернулся с рыбалки и гордо предъявил семье улов. При ближайшем рассмотрении оказалось, что 8 рыбин родом из северных морей, 20% всех рыбин - из южных, а из местной реки, где рыбачил Петрович - нет ни одной. Сколько всего рыбин купил Петрович в магазине "Морепродукты"?

Все эти слова нужно превратить в какое-то уравнение. Для этого нужно, повторюсь, установить математическую связь между всеми данными задачи.

С чего начинать? Сначала вытащим из задачи все данные. Начнём по порядочку:

Обращаем внимание на первый момент.

Какая здесь явная математическая информация? 8 рыбин и 20%. Не густо, да нам много и не надо.)

Обращаем внимание на второй момент.

Ищем скрытую информацию. Она здесь есть. Это слова: "20% всех рыбин ". Здесь нужно понимать, что такое проценты и как они считаются. Иначе задача не решается. Это как раз та дополнительная информация, которая должна быть в голове.

Здесь ещё имеется математическая информация, которую совершенно не видно. Это вопрос задачи: "Сколько всего рыбин купил..." Это ведь тоже какое-то число. И без него никакая модель не составится. Поэтому обозначим это число буквой "х". Мы пока не знаем, чему равен икс, но такое обозначение очень нам пригодится. Подробнее, что брать за икс и как с ним обращаться, написано в уроке Как решать задачи по математике? Вот так сразу и запишем:

х штук - общее количество рыб.

В нашей задаче южные рыбы даны в процентах. Надо их перевести в штуки. Зачем? Затем, что в любой задаче модели надо составлять в однотипных величинах. Штуки - так всё в штуках. Если даны, скажем часы и минуты - всё переводим во что-нибудь одно - или только часы, или только минуты. Не суть важно во что. Важно, чтобы все величины были однотипными.

Возвращаемся к раскрытию информации. Кто не знает, что такое процент, никогда не раскроет, да... А кто знает, тот сразу скажет, что проценты здесь от общего числа рыб даны. А нам это число неизвестно. Ничего не выйдет!

Общее количество рыб (в штуках!) мы не зря буквой "х" обозначили. Посчитать южных рыб в штуках не получится, но записать-то мы сможем? Вот так:

0,2·х штук - количество рыб из южных морей.

Вот теперь мы скачали всю информацию с задачи. И явную, и скрытую.

Обращаем внимание на третий момент.

Ищем математическую связь между данными задачи. Эта связь настолько проста, что многие её не замечают... Такое часто бывает. Здесь полезно просто записать собранные данные в кучку, да и посмотреть, что к чему.

Что у нас есть? Есть 8 штук северных рыб, 0,2·х штук - южных рыб и х рыб - общее количество. Можно связать эти данные как-то воедино? Да легко! Общее количество рыб равно сумме южных и северных! Ну кто бы мог подумать...) Вот и записываем:

х = 8 + 0,2х

Вот это уравнение и будет математической моделью нашей задачи.

Прошу заметить, что в этой задаче нас не просят ничего складывать! Это мы сами, из головы, сообразили, что сумма южных и северных рыб даст нам общее количество. Вещь настолько очевидная, что проскакивает мимо внимания. Но без этой очевидности математическую модель не составить. Вот так.

Теперь уже можно применить всю мощь математики для решения этого уравнения). Именно для этого и составлялась математическая модель. Решаем это линейное уравнение и получаем ответ.

Ответ: х=10

Составим математичесскую модель ещё одной задачки:

Спросили Петровича: "А много ли у тебя денег?" Заплакал Петрович и отвечает: "Да всего чуть-чуть. Если я потрачу половину всех денег, да половину остатка, то всего-то один мешок денег у меня и останется..." Сколько денег у Петровича?

Опять работаем по пунктам.

1. Ищем явную информацию. Тут её не сразу и обнаружишь! Явная информация - это один мешок денег. Есть ещё какие-то половинки... Ну, это во втором пункте разберём.

2. Ищем скрытую информацию. Это половинки. Чего? Не очень понятно. Ищем дальше. Есть ещё вопрос задачи: "Сколько денег у Петровича?" Обозначим количество денег буквой "х" :

х - все деньги

И вновь читаем задачу. Уже зная, что у Петровича х денег. Вот тут уже и половинки сработают! Записываем:

0,5·х - половина всех денег.

Остаток будет тоже половина, т.е. 0,5·х. А половину от половины можно записать так:

0,5·0,5·х = 0,25х - половина остатка.

Теперь вся скрытая информация выявлена и записана.

3. Ищем связь между записанными данными. Здесь можно просто читать страдания Петровича и записывать их математически):

Если я потрачу половину всех денег ...

Запишем этот процесс. Всех денег - х. Половина - 0,5·х . Потратить - это отнять. Фраза превращается в запись:

х - 0,5·х

да половину остатка...

Отнимем ещё половину остатка:

х - 0,5·х - 0,25х

то всего-то один мешок денег у меня и останется...

А вот и равенство нашлось! После всех вычитаний один мешок денег остаётся:

х - 0,5·х - 0,25х = 1

Вот она, математическая модель! Это опять линейное уравнение, решаем, получаем:

Вопрос на соображение. Четыре - это чего? Рубля, доллара, юаня? А в каких единицах у нас деньги в математической модели записаны? В мешках! Значит, четыре мешка денег у Петровича. Тоже неплохо.)

Задачки, конечно, элементарные. Это специально, чтобы уловить суть составления математической модели. В некоторых задачах может быть гораздо больше данных, в которых легко запутаться. Это часто бывает в т.н. компетентностных задачах. Как вытаскивать математическое содержание из кучи слов и чисел показано на примерах

Ещё одно замечание. В классических школьных задачах (трубы заполняют бассейн, куда-то плывут катера и т.п.) все данные, как правило, подобраны очень тщательно. Там выполняются два правила:
- информации в задаче хватает для её решения,
- лишней информации в задаче не бывает.

Это подсказка. Если осталась какая-то неиспользованная в математической модели величина - задумайтесь, нет ли ошибки. Если данных никак не хватает - скорее всего, не вся скрытая информация выявлена и записана.

В компетентностных и прочих жизненных задачах эти правила строго не соблюдаются. Нету подсказки. Но и такие задачи можно решать. Если, конечно, потренироваться на классических.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

2.2.1 С точки зрения математический подхода “Задача – это модель и алгоритм ее применения в рамках некоторой математической теории” Для применения математических методов исследования требуется построить математическую модель задачи. Математическая модель задачи – это специальная логическая конструкция, целенаправленно описывающая в терминах математической теории объективный процесс или явление, лежащие в основе конкретной задачи. Процесс решения такой модели является своеобразным аналогом мыслительного процесса специалиста, принимающего решение.

Модель есть образ реального исследуемого объекта или явления, созданный при помощи определенного набора средств. Модели значительно облегчают понимание объектов (явлений), позволяют прогнозировать их поведение в интересующих нас условиях, применять унифицированные методы анализа. В модели концентрируются наиболее важные, с точки зрения рассматриваемой проблемы, признаки (свойства) изучаемого объекта (явления). Целью моделирования является создание достаточно точного, полного, лаконичного и удобного для восприятия и анализа описания.

Элементами математической модели являются переменные, параметры, связи (математические) и информация.

Общая квалификация математических моделей, как правило, производится по следующим признакам:

Поведению моделей во времени;

Видам входной информации,

Параметров, выражений, конструкций, составляющих математическую модель;

Структуре математической модели;

Типу используемого математического аппарата.

Согласно данной классификации математические модели бывают динамическими (время играет роль независимой переменной, и поведение системы меняется во времени); статическими (независящими от времени); квазистатическими или дискретно-событийными (поведение системы меняется от одного статического состояния к другому согласно внешним воздействиям). Если эти элементы модели достаточно точно установлены и поведение системы можно точно определить, то модель - детерминированная, в противном случае - стохастическая . Если информация и параметры являются непрерывными величинами, а математические связи устойчивы, то модель непрерывная , в противном случае - дискретная . Если параметры модели фиксированы и не изменяются в процессе моделирования согласно поведению объекта моделирования, то это модель с фиксированными параметрами , в противном случае - модель с изменяющимися во времени или в пространстве параметрами . Математическая модель может быть сложной, комплексной , иерархической , если можно найти элементарные подсистемы, составляющие её. Это очень важный вопрос, поскольку его решение позволяет значительно упростить моделирование, например, оперативное управление распределенными системами, особенно если модель можно представить в виде древовидной или сетевой структуры. По типу используемого математического аппарата будем говорить об аналитических, вероятностно-статистических и нечетких моделях.

Основные требования, предъявляемые к модели:

Адекватность (достоверность);

Полнота;

Неизбыточность;

Приемлемая трудоемкость.

Адекватность и полнота означают, что модель должна обладать всеми существенными (с точки зрения решаемой задачи) признаками объекта моделирования и с достаточной степенью точности не отличаться от него по этим признакам. Сюда же, в частности, относится проблема адекватности критерия оптимальности целям функционирования моделируемой системы. Относительно требования неизбыточности модель не должна быть «засорена» множеством мелких, второстепенных факторов, которые лишь усложняют математический анализ и делает результаты исследования трудно обозримыми. Приемлемая трудоемкость означает, что затраты на создание модели должны соответствовать установленным ограничениям на ресурсы и эффект от использования модели должен превышать затраты на ее построение. При этом при оценке издержек на моделирование следует учитывать затраты времени и усилий всех участников, задействованных как непосредственно в построении модели, так и сборе необходимой информации, расходы и время на обучение, стоимость обработки и хранения информации. Указанные требования к модели противоречивы. Например, с одной стороны, она должна быть достаточно полной, а с другой - достаточно простой и малозатратной. То есть создание математических моделей –это во многом творчество, требующее наличие соответствующих математических и прикладных знаний, опыта и квалификации.

2.2.2 Применительно к проблеме принятия решения можно говорить о модели ЗПР, модели среды принятия решения(описательной модели проблемной ситуации), модели процесса принятия решения, модели компьютерной системы принятия решения (системы поддержки принятия решений).

При определении модели конкретной ЗПР следует оценить ее относительно классификационных признаков, выделенных нами в рамках рассмотренной ранее системы классификации ЗПР и по результатам такой оценки определить модель ЗПР в виде кортежа соответствующих характеристик. Например, общая формальная модель ЗПР для индивидуального ЛПР может быть представлена в виде кортежа

;

а для группы ЛПР в виде кортежа

< So, T, R, S, G, B, A, К, F(f), L, A* >,

где So – проблемная ситуация; T –время для принятия решения; R – имеющиеся для принятия решения ресурсы; S = (S 1 , …, S n) – множество допустимых ситуаций, определяющих предметную область и тем самым уточняющих проблемную ситуацию So; G=(G 1 ,…,G k) – множество целей, преследуемых при принятии решения; B=(B 1 ,…,B L) – множество ограничений; A=(A 1 ,…,A m) – множество альтернативных вариантов решения; f – функция предпочтения ЛПР; K – критерии выбора; F(f) – функция группового предпочтения; L – принцип согласования индивидуальных предпочтений для формирования группового предпочтения; A* – оптимальное решение.

Поясним наличие в модели критериев выбора K и функции предпочтения. Опыт показывает, что в терминах критериев выбора чаще всего не удается выразить всю гамму «пристрастий», «вкусов» и предпочтений конкретного ЛПР. С помощью множества частных критериев, как правило возникающих при рассмотрения реальных ЗПР, лишь намечаются определенные цели, которые нередко оказываются весьма противоречивыми. Эти цели одновременно, как правило, достигнуты быть не могут, и поэтому требуется определенная дополнительная информация для осуществления компромисса. Иначе говоря, если ограничиться лишь множеством возможных решений и векторным критерием, то ЗПР оказывается «недоопределенной». Эта «недоопределенность» сказывается затем в слабой логической обоснованности выбора эффективного решения на основе векторного критерия. Для того чтобы осуществить обоснованный выбор, следует помимо векторного критерия располагать какими-то дополнительными сведениями о предпочтениях ЛПР. С этой целью необходимо включить в многокритериальную задачу функцию, описывающую отношения существующих предпочтений.

Для обозначения предпочтения решения А’ перед решением A” часто используется запись А’A”.Следует отметить, что не всякие два возможных решения А’ и A” связаны соотношением А’A” либо соотношениемA”А’. Могут существовать такие пары решений, что ЛПР не в состоянии отдать предпочтение какому-то одному из них.На практике способность ЛПР определить отношение предпочтения для любой пары допустимых альтернатив встречаются крайне редко (например, из-за невозможности абсолютно полно и точно определить последствия принимаемых решений).

При определении отношения предпочтения следует обеспечить выполнение двух следующих условий:

Отношение предпочтения является строгим в том смысле, что ни для какого допустимого решения А’ невозможно выполнение условия вида А’A’ - поскольку ни одно решение не может быть лучше самого себя;

Если А’A” и А”A’’’, то А’A’’’(свойство транзитивности).

Часто (например, при принятии решений в условиях управления иерархическими распределенными средами) возникает потребность в моделировании процесса принятия решения. Процесс принятия решений схематически представляется в виде так называемого дерева решений. Построение такого дерева базируются на декомпозиции процесса принятия решения - выделении самостоятельных функциональных подпроцессови более частных задач, а также установления взаимосвязи между ними, в результате чего общий процесс принятия решений представляется в виде решения последовательности взаимосвязанных иерархических локальных ЗПР. Основными принципами декомпозиции являются относительная самостоятельность каждого из подпроцессов (т.е. наличие конкретного объекта управления); наличие соответствующего набора функций и ЗПР с четко выраженными локальными целями принятия решения, согласующимися с общими целями принятия решения для системы в целом; оптимизация состава включенных в подпроцесс элементов. Этот вопрос будет рассмотрен позднее, при рассмотрении проблемы принятия решения в рамках проблемы оперативного менеджмента качества.

2.2.3 Основными этапами общего процесса моделирования являются:

1) анализ поставленной задачи;

2)анализ объекта моделирования и его среды с точки зрения поставленной задачи;

3) построение(синтез) модели;

4) проверка построенной модели на достоверность;

5) применение модели;

6)обновление модели(по мере необходимости).

1) Перед построении модели сначала необходимо определить главное назначением модели - какие выходные данные нужно получить, используя модель, чтобы помочь ЛПР разрешить стоящую перед ним проблему.

Затем следует определить, какая информация требуется для построения модели и какие нужны сведения на выходе. Кроме того, следует оценить расходы на создание модели и реакцию людей, которые должны будут ее использовать. Модель, затраты на построение и использование которой превышает получаемые от нее выгоды, никому не нужна, а слишком сложная модель может быть не понятна пользователям и не будет применяться на практике.

2) В основу модели кладется описание объекта, формируемое (в соответствии с решаемой задачи и доступной информации) на основе выделения составляющих объект элементов, выявления связи между ними, определения существенные для рассматриваемой задачи характеристик и параметров. На этом же этапе формируются, подлежащие последующей проверке гипотезы о закономерностях, присущих изучаемому объекту, о характере влияния на объект изменения тех или иных параметров и связей между элементами, изучаются взаимосвязи, определяющие возможные последствия принимаемых решений, а также устраняется нечеткие, неоднозначные высказывания или определения, которые заменяются, быть может, и приближенными, но четкими, не допускающими различных толкований высказываниями

3) Сущность математического моделирования состоит в подборе математических схем, адекватно описывающих процессы, происходящие в действительности.

При построении математической модели явление каким-то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из поставленной задачи, доступных исходных данных, требуемой точности решения, личных предпочтений аналитика, создающего модель.

При построении математической модели выполняются следующие виды деятельности:

–анализ всех элементов системы, влияющих на эффективность принимаемых решений и оценка степени влияния каждого из них на функционирование организации при различных вариантах решений;

– исключение из перечня элементов, не влияющих (или несущественно влияющих)на выбор вариантов решений;

– предварительная группировка некоторых взаимосвязанных элементов для упрощения модели (например, расходы по аренде, содержанию помещений и другие объединить в условно-постоянные расходы);

– определение перечня элементов после уточнения их постоянного или переменного характера влияния на систему (в составе переменных элементов устанавливаются, в свою очередь, подэлементы системы, влияющие на их величину; например, транспортные расходы зависят от объема перемещенных товаров, расстояния, стоимости горючего и др.);

– закрепление за каждым подэлементом определенного символа и составление соответствующих математических конструкций.

Математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения задачи. С другой стороны, в процессе проведения математического исследования или интерпретации решения может понадобиться уточнить или даже существенно изменить математическую модель.

Как уже отмечалось выше, математические модели, применяемые в настоящее время в задачах принятия решений, можно грубо подразделить на три класса: аналитические, статистические и основанные на нечеткой формализации.

Для первых характерно установление формульных, аналитических зависимостей между параметрами задачи, записанных в любом виде: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными и т. д. Обычно с помощью аналитических моделей удается с удовлетворительной точностью описать какие-то сугубо технические процессы, в основу которых положены известные физические законы.

Использование статистических моделей предполагает наличие соответствующих вероятностно-статистических данных и закономерностей.

Использование моделей, основанных на нечеткой формализации, оправдано в случае отсутствия данных, позволяющих использовать два первых типа моделей.

Построенная модель должна быть подвергнута соответствующему анализу с целью обоснования. Наиболее важный момент - доказательство существования или получения решения в рамках сформулированной модели. Если это условие не выполняется, то следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.

4) На практике почти всегда необходима проверка модели на достоверность. Во-первых, надо определить степень соответствия модели реальному явлению, установить, все ли существенные факторы реальной ситуации учтены в модели. Во-вторых, следует понять, насколько моделирование действительно помогает решить проблему. Желательно проверить модель на ситуации, имевшей место в прошлом.

Успешный результат сравнения (оценки) исследуемого объекта с моделью свидетельствует о достаточной степени изученности объекта, о правильности принципов, положенных в основу моделирования, и о том, что созданная модель работоспособна.

Часто первые результаты моделирования не удовлетворяют предъявленным требованиям. Это требует проведения дополнительных исследовании и соответствующего изменения модели.

5) Относительно применения модели следует учитывать, что основная причина недостаточно широкого использования моделей заключается в том, что руководители, для которых они создаются, часто не вполне понимают получаемые результаты и потому боятся их применять. Причиной является недостаток у них знаний в этой области. Для борьбы с этим системным аналитикам следует уделять значительно больше времени ознакомлению руководителей с возможностями и методикой использования моделей.

6) Обновление модели производится, если руководству потребуются выходные данные вболее удобной форме или дополнительные данные. Обновление модели может также потребоваться в случае изменения целей организации и соответствующих имкритериев принятия решений, либо при получении дополнительной информации, позволяющей уточнить, усовершенствовать текущую модель. Последняя ситуация связана с проблемой недостаточности, неточности априорной информации используемой для построения модели. Если внешняя среда подвижна, информацию о ней следует обновлять быстро, но на это может не хватать времени или это может оказаться слишком дорого. Информационные ограничения являются основной причиной недостоверности предпосылок, положенных в основу построения модели. Нередко возникают ситуации, когда невозможно получить информацию по всем важным факторам и использовать ее в модели. Следует соблюдать осторожность в отношении использования предположений, которые не могут быть точно оценены и объективно проверены (например, не поддается проверке предположение о росте продаж в будущем году на определенную сумму).

2.2.4 При построении модели следует учитывать следующие рекомендации:

Обычно сначала определяется основная более грубая конструкция (тип, общая схема) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей);

Следует избегать ненужной детализации модели, так как это излишне усложняет модель. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей, учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта);

Одна из важных особенностей математических моделей -потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой задачей, необходимо предварительно проанализировать возможность использования для ее решения уже известных моделей (или отдельных их составляющих);

Необходимо стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта.

Положительными характеристиками моделирования также являются:

– применение более совершенных проверенных практикой технологий принятия решения;

– высокая степень обоснованности решений;

– сокращение сроков принятия решений;

– возможность выполнения обратной операции.

Особенность обратной операции состоит в том, что, имея модель и исходные данные, можно не только принять решение, но и сориентироваться на требуемый результат и определить, какие исходные данные для этого необходимы. Так, например, ориентируясь на получение прибыли в объеме N, можно установить и количественные значения других показателей, прямо и косвенно влияющих на достижение планируемого результата (получение новых знаний о ситуации (объекте), отсутствующих ранее; формулировку выводов, которые невозможно получить при самых содержательных логических рассуждениях).

Лекция 1.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Современное состояние проблемы моделирования систем

Понятия модели и моделирования

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемогообъекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом,именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведениев рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделированиеобычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследованияего модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в томслучае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний покаким-то причинам лучше вообще не создавать.

Под моделью понимается физический или абстрактный объект, свойствакоторого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта.При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимисясредствами. Существует ряд общих требований к моделям:

2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации

об объекте;

3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем

диапазоне изменения условий и параметров;

4) трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося

времени и программных средств.

Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследованияего свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1) разработка модели;

2) исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются

отличающиеся по сути методы и средства.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимостиот способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса:физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средствоисследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов иявлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводятс сохранением его физической природы или используют другое физическоеявление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойстворигинала, которые являются существенными в конкретной ситуации.Например, при проектировании нового самолета создается его макет,обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планированиизастройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственноерасположение ее элементов. В связи с этим физическое моделированиеназывают также макетированием .

Полунатурное моделирование представляет собой исследованиеуправляемых систем на моделирующих комплексах с включением в составмодели реальной аппаратуры. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутуюмодель входят имитаторы воздействий и помех, математические моделивнешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точноематематическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальныхсистем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшитьаприорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точногоматематического описания. С помощью полунатурного моделированияисследования выполняются с учетом малых постоянных времени инелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей свключением реальной аппаратуры используется понятие динамическогомоделирования , при исследовании сложных систем и явлений -эволюционного , имитационного и кибернетического моделирования .

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть полученатолько при соблюдении двух условий:

1) модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств

оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2) модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие

проведению исследований на реальных объектах.

2. Основные понятия математического моделирования

Решение практических задач математическими методами последовательноосуществляется путем формулировки задачи (разработки математическоймодели), выбора метода исследования полученной математической модели,анализа полученного математического результата. Математическаяформулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов,функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может бытьпредставлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированнойили стохастической и другими математическими формами.

Теория математического моделирования обеспечивает выявлениезакономерностей протекания различных явлений окружающего мира илиработы систем и устройств путем их математического описания имоделирования без проведения натурных испытаний. При этом используютсяположения и законы математики, описывающие моделируемые явления,системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

Математическая модель (ММ) представляет собой формализованноеописание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например,в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма,т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работысистем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальномуповедению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств.

Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторойстепенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природыреального объекта, так и от задач исследования.

Математическое моделирование общественных, экономических,биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройствявляется одним из важнейших средств познания природы и проектированиясамых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективногоиспользования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных иаэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений,погоды и т.д.

Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужнысуперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовкеданных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случаематематическое моделирование сложных систем и устройств не толькоэкономит средства на проведение исследований и испытаний, но и можетустранить экологические катастрофы – например, позволяет отказаться отиспытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математическогомоделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальнымиполетами.Между тем математическое моделирование на уровне решения болеепростых задач, например, из области механики, электротехники, электроники,радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее времястало доступным выполнять на современных ПК. А при использованииобобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточносложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей,радиолокационных или радионавигационных комплексов.

Целью математического моделирования является анализ реальныхпроцессов (в природе или технике) математическими методами. В своюочередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию.Модель может представлять собой математическое выражение, содержащеепеременные, поведение которых аналогично поведению реальной системы.Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятностивозможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, втеории игр; либо она может представлять реальные переменные параметрывзаимосвязанных частей действующей системы.

Математическое моделирование для исследования характеристик системможно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В своюочередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.

Аналитическое моделирование

Для аналитического моделирования характерно, что процессыфункционирования системы записываются в виде некоторых функциональныхсоотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений). Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явныезависимости для характеристик систем;

2) численным, когда не удается найти решение уравнений в общем виде иих решают для конкретных начальных данных;

3) качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые егосвойства.

Аналитические модели удается получить только для сравнительно простыхсистем. Для сложных систем часто возникают большие математическиепроблемы. Для применения аналитического метода идут на существенноеупрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенноймодели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Аналитическиемодели математически верно отражают связь между входными и выходнымипеременными и параметрами. Но их структура не отражает внутреннююструктуру объекта.

При аналитическом моделировании его результаты представляются в видеаналитических выражений. Например, подключив RC -цепь к источникупостоянного напряжения E (R , C и E - компоненты данной модели), мыможем составить аналитическое выражение для временной зависимостинапряжения u (t ) на конденсаторе C :

Это линейное дифференциальное уравнение (ДУ) и являетсяаналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическоерешение, при начальном условии u (0) = 0 , означающем разряженныйконденсатор C в момент начала моделирования, позволяет найти искомуюзависимость – в виде формулы:

u (t ) = E (1− eх p (- t / RC )). (2)

Однако даже в этом простейшем примере требуются определенные усилиядля решения ДУ (1) или для применения систем компьютерной математики (СКМ) с символьными вычислениями – систем компьютернойалгебры. Для данного вполне тривиального случая решение задачимоделирования линейной RC -цепи дает аналитическое выражение (2)достаточно общего вида – оно пригодно для описания работы цепи при любыхноминалах компонентов R , C и E , и описывает экспоненциальный зарядконденсатора C через резистор R от источника постоянного напряжения E .

Безусловно, нахождение аналитических решений при аналитическоммоделировании оказывается исключительно ценным для выявления общихтеоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств.Однако его сложность резко возрастает по мере усложнения воздействий намодель и увеличения порядка и числа уравнений состояния, описывающихмоделируемый объект. Можно получить более или менее обозримыерезультаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но ужепри большем порядке аналитические выражения становятся чрезмерногромоздкими, сложными и трудно осмысляемыми. Например, даже простойэлектронный усилитель зачастую содержит десятки компонентов. Тем неменее, многие современные СКМ, например, системы символьной математикиMaple, Mathematica или среда MATLAB , способны в значительноймере автоматизировать решение сложных задач аналитическогомоделирования.

Одной из разновидностей моделирования является численное моделирование, которое заключается в получении необходимыхколичественных данных о поведении систем или устройств каким-либоподходящим численным методом, таким как методы Эйлера илиРунге-Кутта. На практике моделирование нелинейных систем и устройствс использованием численных методов оказывается намного болееэффективным, чем аналитическое моделирование отдельных частных линейныхцепей, систем или устройств. Например, для решения ДУ (1) или систем ДУв более сложных случаях решение в аналитическом виде не получается, но поданным численного моделирования можно получить достаточно полныеданные о поведении моделируемых систем и устройств, а также построитьграфики описывающих это поведение зависимостей.

Имитационное моделирование

Приимитационном 10имоделировании реализующий модель алгоритмвоспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируютсяэлементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логическойструктуры и последовательности протекания во времени.

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнениюсаналитическими является возможность решения более сложных задач.

Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных илинепрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействияи др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектированиясложных систем. Основным средством реализации имитационногомоделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровоемоделирование систем и сигналов.

В связи с этим определим словосочетание «компьютерноемоделирование », которое все чаще используется в литературе. Будем полагать,что компьютерное моделирование - это математическое моделированиес использованием средств вычислительной техники. Соответственно,технология компьютерного моделирования предполагает выполнениеследующих действий:

1) определение цели моделирования;

2) разработка концептуальной модели;

3) формализация модели;

4) программная реализация модели;

5) планирование модельных экспериментов;

6) реализация плана эксперимента;

7) анализ и интерпретация результатов моделирования.

При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводиталгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени приразличных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды.

Примером простейшей аналитической модели может служить уравнениепрямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процессас помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдениеза изменением пройденного пути с течением времени.Очевидно, в одних случаях более предпочтительным являетсяаналитическое моделирование, в других - имитационное (или сочетание того идругого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса.

С какой целью проводится моделирование?

К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двухпервых этапов моделирования.

Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуресоответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явноесоответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами,протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделированияявляется большое время решения задачи для получения хорошей точности.

Результаты имитационного моделирования работы стохастическойсистемы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтомудля нахождения характеристик системы требуется многократное повторение ипоследующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяетсяразновидность имитационного моделирования - статистическое

моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделяхслучайных факторов, событий, величин, процессов, полей.

По результатам статистического моделирования определяют оценкивероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующихфункционирование и эффективность управляемой системы. Статистическоемоделирование широко применяется для решения научных и прикладных задачв различных областях науки и техники. Методы статистическогомоделирования широко применяются при исследовании сложныхдинамических систем, оценке их функционирования и эффективности.

Заключительный этап статистического моделирования основан наматематической обработке полученных результатов. Здесь используют методыматематической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание,проверку гипотез). Примером параметрической оценки являетсявыборочное среднее показателя эффективности. Среди непараметрическихметодов большое распространение получил метод гистограмм .

Рассмотренная схема основана на многократных статистическихиспытаниях системы и методах статистики независимых случайных величин.Эта схема является далеко не всегда естественной на практике и оптимальнойпо затратам. Сокращение времени испытания систем может быть достигнуто засчет использования более точных методов оценивания. Как известно изматематической статистики, наибольшую точность при заданном объемевыборки имеют эффективные оценки. Оптимальная фильтрация и методмаксимального правдоподобия дают общий метод получения таких оценок.В задачах статистического моделирования обработка реализацийслучайных процессов необходима не только для анализа выходных процессов.

Весьма важен также и контроль характеристик входных случайныхвоздействий. Контроль заключается в проверке соответствия распределенийгенерируемых процессов заданным распределениям. Эта задача частоформулируется как задача проверки гипотез .

Общей тенденцией моделирования с использованием ЭВМ у сложныхуправляемых систем является стремление к уменьшению временимоделирования, а также проведение исследований в реальном масштабевремени. Вычислительные алгоритмы удобно представлять в рекуррентнойформе, допускающей их реализацию в темпе поступления текущей информации.

ПРИНЦИПЫ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА В МОДЕЛИРОВАНИИ

Основные положения теории систем

Основные положения теории систем возникли в ходе исследованиядинамических систем и их функциональных элементов. Под системой понимают группу взаимосвязанных элементов, действующих совместнос целью выполнения заранее поставленной задачи. Анализ систем позволяетопределить наиболее реальные способы выполнения поставленной задачи,обеспечивающие максимальное удовлетворение поставленных требований.

Элементы, составляющие основу теории систем, не создаются с помощьюгипотез, а обнаруживаются экспериментальным путем. Для того чтобы начатьпостроение системы, необходимо иметь общие характеристикитехнологических процессов. Это же справедливо и в отношении принциповсоздания математически сформулированных критериев, которым долженудовлетворять процесс или его теоретическое описание. Моделированиеявляется одним из наиболее важных методов научного исследования иэкспериментирования.

При построении моделей объектов используется системный подход,представляющий собой методологию решения сложных задач, в основекоторой лежит рассмотрение объекта как системы, функционирующейв некоторой среде. Системный подход предполагает раскрытие целостностиобъекта, выявление и изучение его внутренней структуры, а также связейс внешней средой. При этом объект представляется как часть реального мира,которая выделяется и исследуется в связи с решаемой задачей построениямодели. Кроме этого, системный подход предполагает последовательныйпереход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цельпроектирования, а объект рассматривается во взаимосвязи с окружающейсредой.

Сложный объект может быть разделен на подсистемы, представляющие собой части объекта, удовлетворяющие следующим требованиям:

1) подсистема является функционально независимой частью объекта. Онасвязана с другими подсистемами, обменивается с ними информацией иэнергией;

2) для каждой подсистемы могут быть определены функции или свойства,не совпадающие со свойствами всей системы;

3) каждая из подсистем может быть подвергнута дальнейшему делению доуровня элементов.

В данном случае под элементом понимается подсистема нижнего уровня,дальнейшее деление которой нецелесообразно с позиций решаемой задачи.

Таким образом, систему можно определить как представление объектав виде набора подсистем, элементов и связей с целью его создания,исследования или усовершенствования. При этом укрупненное представлениесистемы, включающее в себя основные подсистемы и связи между ними,называется макроструктурой, а детальное раскрытие внутреннего строениясистемы до уровня элементов – микроструктурой.

Наряду с системой обычно существует надсистема – система болеевысокого уровня, в состав которой входит рассматриваемый объект, причёмфункция любой системы может быть определена только через надсистему.

Следует выделить понятие среды как совокупности объектов внешнего мира,существенно влияющих на эффективность функционирования системы, но невходящих в состав системы и ее надсистемы.

В связи с системным подходом к построению моделей используетсяпонятие инфраструктуры, описывающей взаимосвязи системы с ееокружением (средой).При этом выделение, описание и исследование свойств объекта,существенных в рамках конкретной задачи называется стратификациейобъекта, а всякая модель объекта является его стратифицированнымописанием.

Для системного подхода важным является определение структуры системы, т.е. совокупности связей между элементами системы, отражающих ихвзаимодействие. Для этого вначале рассмотрим структурный ифункциональный подходы к моделированию.

При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы и связи между ними. Совокупность элементов и связей позволяет судить о структуре системы. Наиболее общим описанием структуры является топологическое описание. Оно позволяет определить составные части системыи их связи с помощью графов. Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваютсяо тдельные функции, т. е. алгоритмы поведения системы. При этом реализуетсяфункциональный подход, определяющий функции, которые выполняетсистема.

На базе системного подхода может быть предложена последовательностьразработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования:макропроектирование и микропроектирование.

На стадии макропроектирования строится модель внешней среды,выявляются ресурсы и ограничения, выбирается модель системы и критериидля оценки адекватности.

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит отконкретного типа выбранной модели. В общем случае предполагает созданиеинформационного, математического, технического и программногообеспечения системы моделирования. На этой стадии устанавливаютсяосновные технические характеристики созданной модели, оцениваются времяработы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества модели.

Независимо от типа модели при ее построении необходиморуководствоваться рядом принципов системного подхода:

1) последовательное продвижение по этапам создания модели;

2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и другиххарактеристик;

3) правильное соотношение различных уровней построения модели;

4) целостность отдельных стадий проектирования модели.

Пример 1.5.1.

Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта.

Обозначим известные величины:

c i – спрос населения на i -й продукт (i =1,...,n ); a ij – количество i -го продукта, необходимое для выпуска единицы j -го продукта по данной технологии (i =1,...,n ; j =1,...,n );

х i – объем выпуска i -го продукта (i =1,...,n ); совокупность с =(c 1 ,..., c n ) называется вектором спроса, числа a ij – технологическими коэффициентами, а совокупность х =(х 1 ,..., х n ) – вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с ) и на воспроизводство (вектор х-с ). Вычислим ту часть вектора х которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х j количества j-го товара идет a ij · х j количества i -го товара.

Тогда сумма a i1 · х 1 +...+ a in · х n показывает ту величину i -го товара, которая нужна для всего выпуска х =(х 1 ,..., х n ).

Следовательно, должно выполняться равенство:

Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х 1 ,...,х n и найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная (
) -матрицаА называется технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так:х-с=Ах или

(1.6)

Мы получили классическую модель «Затраты – выпуск », автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 1.5.2.

Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В - 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б ) и мазут (М ). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I : 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М

III : 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

Цена бензина - 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу.

Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что «выгодность» технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что «выбор (принятие) решения» завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины:

х i – количество использованияi -го технологического процесса(i=1,2,3) . Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута)известны .

Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х =(х 1 ,х 2 ,х 3 ) , для которого выручка завода равна(32х 1 +15х 2 +12х 3 ) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А :

для сорта В :,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 – это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I ,II ,III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор х = (х 1 ,х 2 ,х 3 ) , чтобы максимизировать

f(x) =32х 1 +15х 2 +12х 3

при выполнении условий:

Сокращенная форма этой записи такова:

при ограничениях

(1.7)

Мы получили так называемую задачу линейного программирования.

Модель (1.7.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример1.5.3.

Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b .

Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг.

Обозначим известные параметры задачи:

n – число разновидностей ценных бумаг; а j – фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги; – ожидаемая прибыль отj -го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины :

y j - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j .

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как . Для упрощения модели введем новые величины

.

Таким образом, х i - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг видаj .

Ясно, что

Из условия задачи видно, что цель инвестора - достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М - обозначение математического ожидания.

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

при ограничениях

,
,
,
. (1.8)

Мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Модель (1.8.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример1.5.4.

На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыльр j , если же он не будет пользоваться спросом - убытокq j .

Перед моделированием обсудим некоторые принципиальные моменты. В данной задаче лицом, принимающим решение (ЛПР), является магазин. Однако исход (получение максимальной прибыли) зависит не только от его решения, но и от того, будет ли завезенный товар пользоваться спросом, т. е. будет ли выкуплен населением (предполагается, что по какой-то причине у магазина нет возможности изучить спрос населения). Поэтому население может рассматриваться как второе ЛПР, выбирающее тип товара согласно своего предпочтения. Наихудшим для магазина «решением» населения является: «завезенный товар не пользуется спросом». Так что, для учета всевозможных ситуаций, магазину нужно считать население своим «противником» (условно), преследующим противоположную цель – минимизировать прибыль магазина.

Итак, имеем задачу принятия решения с двумя участниками, преследующими противоположные цели. Уточним, что магазин выбирает один из типов товаров для продажи (всего n вариантов решений), а население - один из типов товаров, который пользуется наибольшим спросом (n вариантов решений).

Для составления математической модели нарисуем таблицу с n строками и n столбцами (всего n 2 клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору магазина, а столбики - выбору населения. Тогда клетка (i, j) соответствует той ситуации, когда магазин выбирает i -й тип товара (i -ю строку), а население выбирает j -й тип товара (j- ю столбик). В каждую клетку запишем числовую оценку (прибыль или убыток) соответствующей ситуации с точки зрения магазина:

Числа q i написаны с минусом для отражения убытка магазина; в каждой ситуации «выигрыш» населения (условно) равен «выигрышу» магазина, взятому с обратным знаком.

Сокращенный вид этой модели таков:

(1.9)

Мы получили так называемую матричную игру. Модель (1.9.) является примером игровых моделей принятия решения.

При построении математической модели системы можно выделить несколько этапов.

1-й этап. Постановка задачи. Этапу предшествует возникновение ситуаций или проблем, осознание которых приводит к мысли их обобщения или решения для последующего достижения какого-либо эффекта. Исходя из этого, объект описывается, отмечаются вопросы, подлежащие решению, и ставится цель исследования. Здесь необходимо уяснить, что мы хотим получить в результате исследований. Предварительно нужно оценить, нельзя ли получить эти результаты другим, более дешевым или доступным путем.

2-й этап. Определение задачи. Исследователь старается определить, к какому виду относится объект, описывает параметры состояния объекта, переменные, характеристики, факторы внешней среды. Необходимо познать закономерности внутренней организации объекта, очертить границы объекта, построить его структуру. Эта работа называется идентификацией системы. Отсюда выбирается задача исследования, которая может решать вопросы: оптимизации, сравнения, оценки, прогноза, анализа чувствительности, выявления функциональных соотношений и т.п.

Концептуальная модель позволяет оценить положение системы во внешней среде, выявить необходимые ресурсы для ее функционирования, влияние факторов внешней среды и то, что мы ожидаем на выходе.

Необходимость проведения исследования возникает из реальных ситуаций, складывающихся в процессе работы системы, когда они в чем-либо начинают не удовлетворять каким-либо старым или новым требованиям. Если недостатки очевидны и известны методы их устранения, то нет необходимости в исследованиях.

Исходя из задачи исследования, можно определить назначение математической модели, которая должна быть построена для исследования. Такие модели могут решать задачи:

· выявления функциональных соотношений, заключающихся в определении количественных зависимостей между входными фактора ми модели и выходными характеристиками исследуемого объекта;

· анализа чувствительности, заключающегося в установлении факторов, которые в большей степени влияют на интересующие исследователя выходные характеристики системы;

· прогноза - оценки поведения системы при некотором предполагаемом сочетании внешних условий;

· оценки - определения, насколько хорошо исследуемый объект будет соответствовать некоторым критериям;

· сравнения, заключающегося в сопоставлении ограниченного числа альтернативных вариантов систем или же в сопоставлении нескольких предлагаемых принципов или методов действия;

· оптимизации, состоящей в точном определении такого сочетания переменных управления, при которых обеспечивается экстремальное значение целевой функции.

Выбор задачи определяет процесс создания и экспериментальной проверки модели.

Любое исследование должно начинаться с построения плана,включающего обследование системы и анализ ее функционирования. В плане должны быть предусмотрены:

· описание функций, реализуемых объектом;

· определение взаимодействий всех систем и элементов объекта;

· определение зависимости между входными и выходными переменными и влияние переменных управляющих воздействий на эти зависимости;

· определение экономических показателей функционирования системы.

Результаты обследования системы и окружающей среды представляются в виде описания процесса функционирования, которое используется для идентификации системы. Идентифицировать систему - значит выявить и изучить ее, а также:

Получить более полную характеристику системы и ее поведения;

Познать объективные закономерности ее внутренней организации;

Очертить ее границы;

Указать на вход, процесс и выход;

Определить ограничения на них;

Построить ее структурную и математическую модели;

Описать ее на каком-либо формальном абстрактном языке;

Определить цели, принуждающие связи, критерии действия системы.

После идентификации системы строится концептуальная модель,являющаяся «идеологической» основой будущей математической модели. Именно в ней отражается состав критериев оптимальности и ограничений, определяющих целевую направленность модели. Перевод на этапе формализации качественных зависимостей в количественные преобразует критерий оптимальности в целевую функцию, ограничения - в уравнения связи, концептуальную модель - в математическую.

На основе концептуальной модели можно построить факторную модель, которая устанавливает логическую связь между параметрами объекта, входными и выходными переменными, факторами внешней среды и параметрами управления, а также учитывать обратные связи в системе.

3-й этап. Составление математической модели. Вид математической модели в значительной степени зависит от цели исследования. Математическая модель может быть в виде математического выражения, представляющего собой алгебраическое уравнение, или неравенство, не имеющее разветвления вычислительного процесса при определении любых переменных состояния модели, целевой функции и уравнений связи.

Для построения такой модели формулируются следующие понятия:

· критерий оптимальности - показатель, выбираемый исследователем, имеющий, как правило, экологический смысл, который служит для формализации конкретной цели управления объектом исследования и выражаемый при помощи целевой функции;

· целевая функция - характеристика объекта, установленная из условия дальнейшего поиска критерия оптимальности, математически связывающая между собой те или иные факторы объекта исследования. Целевая функция и критерий оптимальности - разные понятия. Они могут быть описаны функциями одного и того же вида или же разными функциями;

· ограничения - пределы, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений и фиксирующие основные внутренние и внешние свойства объекта. Ограничения определяют область исследования, протекания процессов, пределы изменения параметров и факторов объекта.

Следующим этапом построения системы является формирование математической модели, включающее в себя несколько видов работ: математическую формализацию, численное представление, анализ модели и выбор метода ее решения.

Математическая формализация осуществляется по концептуальной модели. При формализации рассматривают три основные ситуации:

1) известны уравнения, описывающие поведение объекта. В этом случае решением прямой задачи можно найти реакцию объекта на заданный входной сигнал;

2) обратная задача, когда по заданному математическому описанию и известной реакции необходимо найти входной сигнал, вызывающий этот отклик;

3)математическое описание объекта неизвестно, но имеются или могут быть заданы совокупности входных и соответствующих им выходных сигналов. В этом случае имеем дело с задачей идентификации объекта.

При моделировании производственно-экологических объектов в третьей ситуации при решении задачи идентификации используется подход, предложенный Н. Винером, и известный как метод «черного ящика». В качестве «черного ящика» рассматривается объект в целом, вследствие его сложности. Так как внутреннее устройство объекта неизвестно, мы можем изучить «черный ящик», найдя входы и выходы. Сопоставляя входы и выходы, можно написать соотношение

Y = АХ,

где X - вектор входных параметров; Y - вектор выходных параметров; А - оператор объекта, преобразующий Х в Y. Для описания объекта в виде математической зависимости в задачах идентификации используются методы регрессивного анализа. При этом возможно описание объекта множеством математических моделей, так как нельзя вынести обоснованного суждения о его внутреннем устройстве.

Основой выбора метода математического описания является знание физической природы функционирования описываемого объекта достаточно широкого круга эколого-математических методов, возможностей и особенностей ЭВМ, на которой планируется проведение моделирования. Для многих рассматриваемых явлений имеется достаточно много известных математических описаний и типовых математических моделей. При развитой системе математического обеспечения ЭВМ целый ряд процедур моделирования можно осуществит с помощью стандартных программ.

Оригинальные математические модели можно написать на основе проведенных исследований систем и апробированных в реалы ной обстановке. Для проведения новых исследований такие модели корректируются под новые условия.

Математические модели элементарных процессов, физической природа которых известна, записываются в виде тех формул и зависимостей, которые установлены для этих процессов. Как правило, статические задачи выражаются в виде алгебраических выражений, динамические - в виде дифференциальных или конечно-разностных уравнений.

Численное представление модели производится для подготовки ее к реализации на ЭВМ. Задание числовых значений трудностей не представляет. Осложнения встречаются при компактном представлении обширной статистической информации и результатов экспериментов.

Основными методами преобразования табличных значений к аналитическому виду являются: интерполяция, аппроксимация и экстраполяция.

Интерполяция - приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней.

Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов.

Экстраполяция - продолжение функции за пределы ее области определения, при котором продолженная функция принадлежит заданному классу. Экстраполяция функции обычно производится с помощью формул, в которых использована информация о поведении функций в некотором конечном наборе точек, называемых узлами экстраполяции, принадлежащими к области определения.

Следующим этапом построения является анализ полученной модели и выбор метода ее решения. Основой для вычисления значений выходных характеристик модели служит составленный на ее базе алгоритм решения задачи на ЭВМ. Разработка и программирование такого алгоритма, как правило, не встречают принципиальных трудностей.

Более сложной является организация вычислительного процесса для определения выходных характеристик, лежащих в допустимых областях, особенно для многофакторных моделей. Еще сложнее - поиск решений по оптимизационным моделям. Самая совершенная и адекватная описываемому объекту математическая модель без нахождения оптимального значения бесполезна, она не может быть использована.

Основную роль при разработке алгоритма поиска оптимальны решений играют характер факторов математической модели, чисуи критериев оптимальности, вид целевой функции и уравнений связи Вид целевой функции и ограничений определяет выбор одного и трех основных методов решения эколого-математических моделей:

· аналитического исследования;

· исследования при помощи численных методов;

· исследования алгоритмических моделей с помощью методов экспериментальной оптимизации на ЭВМ.

Аналитические методы отличаются тем, что помимо точного значения искомых переменных они могут давать оптимальное решение в виде готовой формулы, куда входят характеристики внешней среды и начальные условия, которые исследователь может изменять в широких пределах, не меняя самой формулы.

Численные методы дают возможность получить решение путем многократного вычисления по определенному алгоритму, реализующему тот или иной численный метод. В качестве исходных данных для вычисления используются числовые значения параметре объекта, внешней среды и начальных условий. Численные методы являются итеративными процедурами: для проведения следующего шага расчетов (при новом значении управляемых переменных) пользуются результаты предыдущих расчетов, что позволяет получать в процессе вычислений улучшенные результаты и тем самым находить оптимальное решение.

Свойства конкретной алгоритмической модели, на которой базируется алгоритм поиска оптимального решения, например ее линейность или выпуклость, могут быть определены только в процессе экспериментирования с ней, в связи с чем для решения моделей этого класса используются так называемые методы экспериментальной оптимизации на ЭВМ. При использовании этих метод производится пошаговое приближение к оптимальному решению на основе результатов расчета по алгоритму, моделирующему работу исследуемой системы. Методы базируются на принципах поиска оптимальных решений в численных методах, но в отличие от них все действия по разработке алгоритма и программы оптимизации выполняет разработчик модели.

Имитационное моделирование задач, содержащих случайные параметры, принято называть статистическим моделированием.

Заключительным шагом создания модели является составление ее описания, которое содержит сведения, необходимые для изучения модели, ее дальнейшего использования, а также все ограничения и допущения. Тщательный и полный учет факторов при построении модели и формулировке допущений позволяет оценить точность модели, избежать ошибок при интерпретации ее результатов.

· 4-й этап . Вычисления. При решении задачи необходимо тщательно разобраться с размерностью всех величин, входящих в математическую модель, и определить границы (пределы), в которых будет лежать искомая целевая функция, а также требуемую точность вычислений. Если возможно, то вычисления проводятся при неизменных условиях по несколько раз, чтобы убедиться, что целевая функция не изменяется.

· 5-й этап . Выдача результатов. Результаты исследования объекта могут выдаваться в устной или письменной форме. Они должны включать в себя краткое описание объекта исследования, цели исследования, математическую модель, допущения, принятые при выборе математической модели, основные результаты вычислений, обобщения и выводы.