एकीकृत संख्या प्रणाली। दशमलव स्थितीय संख्या प्रणाली

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अध्ययन के नीचे का नाम

” संख्या प्रणाली की किस्में ”

संख्या प्रणाली की अवधारणा। संख्या प्रणाली के प्रकार

नोटेशन- कई नामों और संकेतों का एक संग्रह जो आपको किसी भी संख्या को लिखने और उसे एक नाम देने की अनुमति देता है।

संकेतन:

संख्याओं के एक सेट (पूर्णांक और/या वास्तविक) का प्रतिनिधित्व देता है;

प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व (या कम से कम एक मानक प्रतिनिधित्व) देता है;

संख्याओं की बीजगणितीय और अंकगणितीय संरचना को दर्शाता है।

संख्या प्रणाली में विभाजित हैं:

स्थितीय;

· गैर-स्थितीय;

· मिश्रित।

स्थितीय संख्या प्रणाली

स्थितीय संख्या प्रणालीएक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक अंक का मान उसके संख्यात्मक समकक्ष और संख्या में उसके स्थान (स्थिति) पर निर्भर करता है, अर्थात। एक ही प्रतीक (संख्या) अलग-अलग अर्थ ले सकता है।

संख्याओं के स्थानीय अर्थ के आधार पर स्थितीय क्रमांकन के आविष्कार का श्रेय सुमेरियों और बेबीलोनियों को दिया जाता है। यह संख्या हिंदुओं द्वारा विकसित की गई थी और मानव सभ्यता के इतिहास में इसके अमूल्य परिणाम थे।

सबसे प्रसिद्ध स्थितीय संख्या प्रणाली दशमलव संख्या प्रणाली है, जिसका उद्भव उंगलियों पर गिनती के साथ जुड़ा हुआ है। में मध्ययुगीन यूरोपयह इतालवी व्यापारियों के माध्यम से प्रकट हुआ, जिन्होंने बदले में इसे मुसलमानों से उधार लिया।

किसी भी स्थितीय संख्या प्रणाली को आधार की विशेषता होती है। प्राकृतिक स्थितीय संख्या प्रणाली का आधार या आधार (एन) इस प्रणाली में किसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले वर्णों या प्रतीकों की संख्या है। इसलिए, अनंत संख्या में स्थितीय तंत्र संभव हैं, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक संख्या n>1 को आधार के रूप में लिया जा सकता है, जिससे एक नई संख्या प्रणाली बनती है।

जब वे स्थितीय संख्या प्रणाली में एक निश्चित संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं या लिखते हैं, तो वे संख्या के संबंधित अंकों को अलग-अलग वांछित स्थितियों में रखते हैं, जिन्हें आमतौर पर इस स्थितीय संख्या प्रणाली में संख्या के अंक कहा जाता है। किसी संख्या के अंकन में अंकों की संख्या को संख्या की क्षमता कहा जाता है और इसकी लंबाई के साथ मेल खाता है।

सामान्य संख्या प्रणाली को पूर्णांकों और भिन्नात्मक संख्याओं के ऐसे समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें उनमें से प्रत्येक को सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

जहां x आधार n के साथ संख्या प्रणाली में लिखी गई एक मनमाना संख्या है; प्रतीक एआई श्रृंखला का गुणांक है, अर्थात। i संख्या प्रविष्टि का अंक है; k, m - क्रमशः पूर्णांक और भिन्नात्मक अंकों की संख्या।

इस तरह के अंकन में n की प्रत्येक डिग्री को डिस्चार्ज का वेटिंग गुणांक कहा जाता है। अंकों की वरिष्ठता और उनके संगत अंक संकेतक k (अंक संख्या) के मान से निर्धारित होते हैं। स्थितीय संख्या प्रणाली में अंकों की संख्या को अल्पविराम के बाईं ओर पूर्णांक भाग में और अल्पविराम के दाईं ओर आंशिक भाग में गिना जाता है। इसके अलावा, अंकों की संख्या 0 से शुरू होती है। स्थितीय संख्या प्रणाली के आधार का मूल्य इसका नाम निर्धारित करता है: के लिए दशमलव प्रणालीयह 10 होगा, ऑक्टल के लिए यह 8 होगा, बाइनरी के लिए यह 2 होगा, और इसी तरह। आमतौर पर, संख्या प्रणाली के नाम के बजाय, "संख्या कोड" शब्द का प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, बाइनरी कोड की अवधारणा का अर्थ है बाइनरी नंबर सिस्टम में दर्शाई गई संख्या, दशमलव कोड की अवधारणा - एक दशमलव संख्या प्रणाली में, आदि।

यदि कोई विसंगतियां नहीं हैं (उदाहरण के लिए, जब सभी अंक अद्वितीय लिखित वर्णों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं), तो संख्या x को इसके n-ary अंकों के अनुक्रम के रूप में लिखा जाता है, जो बाएं से दाएं अंकों की प्राथमिकता के अवरोही क्रम में सूचीबद्ध होता है। :

सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली स्थितीय प्रणालियाँ हैं:

2 - बाइनरी (असतत गणित, कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग में);

3 - टर्नरी (टर्नरी कंप्यूटर में (उदाहरण के लिए, सेतुन));

8 - ऑक्टल (प्रोग्रामिंग, कंप्यूटर विज्ञान में प्रयुक्त);

10 - दशमलव (हर जगह प्रयुक्त);

12 - ग्रहणी (दर्जनों में गिनती);

16 - हेक्साडेसिमल (प्रोग्रामिंग, कंप्यूटर विज्ञान में प्रयुक्त);

· 60 - सेक्जेसिमल (समय इकाइयां, कोण माप और, विशेष रूप से, निर्देशांक, देशांतर और अक्षांश)।

पोजिशनल सिस्टम में, सिस्टम का आधार जितना बड़ा होता है, संख्या लिखते समय कम बिट्स (अर्थात लिखे जाने वाले अंक) की आवश्यकता होती है।

बाइनरी नंबर सिस्टम- आधार 2 के साथ स्थितीय संख्या प्रणाली। डिजिटल में प्रत्यक्ष कार्यान्वयन के कारण विद्युत सर्किटलॉजिक गेट्स पर, बाइनरी सिस्टम लगभग सभी में प्रयोग किया जाता है आधुनिक कंप्यूटरऔर अन्य कंप्यूटिंग इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों. बाइनरी सिस्टम में, संख्याएं दो प्रतीकों (0 और 1) का उपयोग करके लिखी जाती हैं। यह भ्रमित न करने के लिए कि संख्या किस संख्या प्रणाली में लिखी गई है, इसे नीचे दाईं ओर एक सूचक के साथ प्रदान किया गया है। उदाहरण के लिए, दशमलव 510 में एक संख्या, बाइनरी 1012 में। कभी-कभी एक बाइनरी संख्या को उपसर्ग 0b द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए 0b101।

अनुवाद नियम

किसी भी संख्या प्रणाली से दशमलव संख्या प्रणाली में अनुवाद

किसी भी संख्या प्रणाली से एक पूर्णांक को दशमलव में बदलने के लिए, आपको इस संख्या को सामान्य रूप में लिखना होगा:

anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+...+a2b2+a1b1+a0b0

उदाहरण के लिए: चलिए संख्या 12568 को दशमलव संख्या प्रणाली में अनुवाद करते हैं।

12568=1 8 3 +2 8 2 +5 8 1 +6 8 0 =1 512+2 64+5 8+6 1=68610।

किसी संख्या को दशमलव संख्या प्रणाली से दूसरी प्रणाली में बदलना

1) इस संख्या को उस प्रणाली के आधार से विभाजित करें जिसमें आप संख्या को परिवर्तित करना चाहते हैं।

2) परिणामी संख्या को उस प्रणाली के आधार से समान रूप से विभाजित करें जिसमें आप संख्या को स्थानांतरित करना चाहते हैं।

3) चरण 2 को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि परिणामी भागफल आधार से कम न हो जाए।

4) हम शेष भाग को अंतिम से पहले के क्रम में लिखते हैं।

संख्याओं को बाइनरी से ऑक्टल में बदलने का नियम

1) हम तीन अंकों की संख्या को सबसे कम सार्थक अंक से शुरू करके समूहों में विभाजित करते हैं।

यदि अंकों के पूरे ट्रिपल के लिए पर्याप्त नहीं है, तो जोड़ें आवश्यक धनबाईं ओर शून्य।

2) हम प्रत्येक प्राप्त ट्रिपल अंकों को ऑक्टल नंबर सिस्टम से एक संख्या के साथ बदलते हैं।

द्विआधारी त्रय
अष्टक अंक

3) हम अल्पविराम के दाईं ओर भिन्नात्मक भाग को त्रिगुणों में विभाजित करते हैं।

संख्याओं को बाइनरी से हेक्साडेसिमल में परिवर्तित करना

1) हम चार अंकों की संख्या को सबसे छोटे सार्थक अंक से शुरू करते हुए समूहों में विभाजित करते हैं।

यदि पूरे चार अंकों के लिए पर्याप्त नहीं है, तो बाईं ओर आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ें।

2) हम अष्टक संख्या प्रणाली से प्राप्त प्रत्येक चार अंकों को एक संख्या से प्रतिस्थापित करते हैं।

3) हम दशमलव बिंदु के दाईं ओर भिन्नात्मक भाग को चार भागों में विभाजित करते हैं।

यदि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो हम दाईं ओर शून्य निर्दिष्ट करते हैं।

संख्याओं को ऑक्टल से बाइनरी में बदलने का नियम

1) हम दी गई अष्टक संख्या के प्रत्येक अंक को उसके संगत बाइनरी समकक्ष से प्रतिस्थापित करते हैं।

2) यदि पूर्ण त्रिगुण में पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो इस त्रिगुण में हम बाईं ओर शून्य की लुप्त संख्या जोड़ते हैं।

संख्याओं को हेक्साडेसिमल से बाइनरी में बदलना

1) हम दी गई हेक्साडेसिमल संख्या के प्रत्येक अंक को उसके संगत बाइनरी समकक्ष से प्रतिस्थापित करते हैं।

2) यदि पूर्ण चार में पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो इस चार में हम दायीं ओर शून्य की लुप्त संख्या जोड़ते हैं।

असामान्य स्थितीय संख्या प्रणाली

असामान्य अंकों का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन वे सैद्धांतिक दृष्टिकोण से दिलचस्प हो सकते हैं। असामान्य संख्या प्रणालियों के बीच, कोई एकल कर सकता है: अंकीय स्थितीय प्रतीकात्मक संकेत

गैर-प्राकृतिक आधारों वाली संख्या प्रणाली

ओ नकारात्मक,

ओ तर्कहीन,

ओ कॉम्प्लेक्स (जैसे: 1 + i);

कई आधारों वाली संख्या प्रणाली;

ओ नेस्टेड (बाइनरी-दशमलव, दशमलव-हेक्साडेसिमल, आदि)

संख्याओं के गैर-मानक सेट वाली संख्या प्रणालियाँ:

शून्य के बारे में सममित अंकों के एक सेट के साथ।

संख्या प्रणाली के साथ नकारात्मक आधार

नकारात्मक आधार आपको संकेत के लिए एक अतिरिक्त प्रतीक पेश किए बिना नकारात्मक संख्या व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। संख्याओं को व्यक्त करने के लिए, संख्याओं के समान सेट का उपयोग उस प्रणाली के लिए किया जाता है जिसका प्राकृतिक आधार निरपेक्ष मान के बराबर होता है। इस प्रकार, किसी संख्या के विषम अंकों का भार ऋणात्मक होता है।

अपरिमेय आधार वाली संख्या प्रणालियाँ

संख्याओं का उपयोग करते हुए, एक अपरिमेय आधार के साथ एक संख्या प्रणाली में रूप की एक अपरिमेय संख्या व्यक्त की जा सकती है।

जटिल आधार वाली संख्या प्रणाली

नकारात्मक आधार वाले सिस्टम की तरह, जटिल आधार व्यक्ति को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं जटिल आंकड़े.

इसके लिए संख्या प्रणाली का आधार इस प्रकार लिया जाता है:

शर्त को संतुष्ट करना - सेट में अंकों की संख्या।

नेस्टेड नींव के साथ फाउंडेशन सिस्टम

यदि संख्या प्रणाली के अंकों के साथ महान कारणएक छोटे आधार के साथ एक संख्या प्रणाली में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो आपको संख्या प्रणाली का एक विशेष मिश्रित जीनस मिलता है।

दशमलव प्रणाली में लिखे गए समय-घंटे, मिनट और सेकंड को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रसिद्ध दशमलव-हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली यहां सेक्सजेसिमल संख्या प्रणाली के अंकों के रूप में दिखाई देती है। यह प्रणाली बाबुल से आई थी, जहां केवल तीन क्यूनिफॉर्म वर्णों के आधार पर, संख्याओं को लिखने के लिए सेक्सजेसिमल प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता था:

ऊर्ध्वाधर पच्चर - निर्वहन की इकाई;

वेजेज का एक कोना - एक दर्जन अंक;

झुका हुआ पच्चर - शून्य, खाली निर्वहन;

बाइनरी-दशमलव संख्या प्रणाली का उपयोग कंप्यूटिंग में किया जाता है। बाइनरी अंकों को चार द्वारा समूहीकृत किया जाता है, जहां प्रत्येक चार (टेट्राड, निबल) एक दशमलव अंक को एन्कोड करता है। यह आपको उन उपकरणों के साथ काम करने की अनुमति देता है जिनमें संख्या प्रणाली को परिवर्तित किए बिना दशमलव संकेत और इनपुट होता है।

अंकों के गैर-मानक सेट, शून्य के बारे में सममित सेट करते हैं

लिखने का वैकल्पिक तरीका ऋणात्मक संख्याऋणात्मक चिह्न (ऋणात्मक आधारों के अलावा) का उपयोग किए बिना ऋणात्मक भार वाले अंकों का उपयोग करना है। इसके लिए संख्या लिखने के लिए विभिन्न अंकों की संख्या में वृद्धि की आवश्यकता नहीं होती है - एक सेट के बजाय, आप फॉर्म के किसी भी सेट का उपयोग कर सकते हैं।

इस संबंध में उल्लेखनीय संख्याओं के एक सममित सेट का उपयोग है। यदि हम 2 . के विषम आधार वाली संख्या प्रणाली लेते हैं पी+ 1, तो संख्याओं का सेट जैसा दिखेगा।

इस दृष्टिकोण ने टर्नरी कंप्यूटरों में आवेदन पाया है (उदाहरण के लिए, "सेटुन")।

मिश्रित संख्या प्रणाली

मिश्रित संख्या प्रणाली n-ary संख्या प्रणाली का एक सामान्यीकरण है और यह अक्सर स्थितीय संख्या प्रणालियों को भी संदर्भित करता है। मिश्रित संख्या प्रणाली का आधार संख्याओं का बढ़ता क्रम है, और इसमें प्रत्येक संख्या को एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है:

फ़ंक्शन के रूप में ni के प्रकार के आधार पर, मिश्रित संख्या प्रणाली शक्ति, घातीय, भाज्य, फाइबोनैचि, आदि हो सकती है। जब कुछ n के लिए, मिश्रित संख्या प्रणाली घातीय n-ary संख्या प्रणाली के साथ मेल खाती है।

मिश्रित संख्या प्रणाली का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण समय का कई दिनों, घंटों, मिनटों और सेकंडों के रूप में प्रतिनिधित्व है। इस स्थिति में, मान "d दिन, h घंटे, m मिनट, s सेकंड" मान से मेल खाता है

गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली

गैर स्थितीय संख्या प्रणाली-- एक प्रणाली है जिसके लिए एक चरित्र का मूल्य, अर्थात। अंक, संख्या में अपनी स्थिति की परवाह किए बिना। इस मामले में, सिस्टम संख्याओं की स्थिति पर प्रतिबंध लगा सकता है, उदाहरण के लिए, ताकि उन्हें अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जा सके।

द्विपद संख्या प्रणाली

द्विपद संख्या प्रणाली में, संख्या x को द्विपद गुणांकों के योग के रूप में दर्शाया जाता है:

n के किसी निश्चित मान के लिए, प्रत्येक प्राकृत संख्या को एक अद्वितीय तरीके से दर्शाया जाता है।

अवशिष्ट वर्ग प्रणाली (एसओसी)

अवशिष्ट वर्गों की प्रणाली में एक संख्या का प्रतिनिधित्व अवशेष की अवधारणा और चीनी शेष प्रमेय पर आधारित है। आरएनएस को जोड़ीदार कोप्राइम के एक सेट द्वारा परिभाषित किया गया है मॉड्यूलउत्पाद के साथ ताकि खंड से प्रत्येक पूर्णांक अवशेषों के एक समूह से जुड़ा हो, जहां

आरएनएस अंतराल से संख्याओं के प्रतिनिधित्व की विशिष्टता की गारंटी देता है

आरएनएस में, अंकगणितीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) घटक द्वारा किया जाता है यदि परिणाम एक पूर्णांक के रूप में जाना जाता है और यह भी निहित है।

आरएनएस का नुकसान केवल सीमित संख्या में प्रतिनिधित्व करने की क्षमता है, साथ ही साथ इसकी कमी भी है कुशल एल्गोरिदमआरएनएस में प्रदर्शित संख्याओं की तुलना करने के लिए।

ऐतिहासिक संख्या प्रणाली

यूनिट नंबर सिस्टम

कालानुक्रमिक रूप से, प्रत्येक राष्ट्र की पहली संख्या प्रणाली जिसने खाते में महारत हासिल की। एक ही चिन्ह (डैश या डॉट) को दोहराकर एक प्राकृतिक संख्या को दर्शाया जाता है। इसके बाद सुविधा के लिए बड़ी संख्या, इन वर्णों को तीन या पाँच में समूहीकृत किया जाता है। फिर संकेतों के समान-मात्रा वाले समूहों को कुछ नए चिह्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाने लगता है - इस तरह भविष्य की संख्याओं के प्रोटोटाइप दिखाई देते हैं।

पांच गुना संख्या प्रणाली (एड़ी पर गिनतीएम)

रूस में मौजूद था। इसका उपयोग लोगों द्वारा कम से कम तब तक किया जाता था जब तक देर से XVIIमैं- प्रारंभिक XIXसदियों

प्राचीन मिस्र की संख्या प्रणाली

प्राचीन मिस्र की दशमलव गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली तीसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की दूसरी छमाही में उत्पन्न हुई थी। इ। 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 संख्याओं को दर्शाने के लिए विशेष संख्याओं का प्रयोग किया गया। मिस्र की अंक प्रणाली में संख्याओं को इन अंकों के संयोजन के रूप में लिखा गया था, जिसमें प्रत्येक अंक को नौ बार से अधिक नहीं दोहराया गया था। किसी संख्या का मान उसकी रिकॉर्डिंग में शामिल अंकों के मानों के साधारण योग के बराबर होता है।

वर्णमाला संख्या प्रणाली

प्राचीन अर्मेनियाई, जॉर्जियाई, यूनानी (आयनिक संख्या प्रणाली), अरब (अबजादिया), यहूदी और मध्य पूर्व के अन्य लोगों ने वर्णमाला संख्या प्रणाली का इस्तेमाल किया। स्लाव लिटर्जिकल पुस्तकों में, ग्रीक वर्णमाला प्रणाली का सिरिलिक अक्षरों में अनुवाद किया गया था।

रोमन अंक प्रणाली

लगभग गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली का विहित उदाहरण रोमन है, जिसमें लैटिन अक्षरों को अंकों के रूप में उपयोग किया जाता है:

मैं 1 के लिए खड़ा हूं,

रोमन प्रणाली पूरी तरह से गैर-स्थितीय नहीं है, क्योंकि बड़ी संख्या से पहले आने वाली छोटी संख्या को इसमें से घटा दिया जाता है।

माया संख्या प्रणाली

माया ने एक अपवाद के साथ 20-दशमलव संख्या प्रणाली का उपयोग किया: दूसरी श्रेणी में 20 नहीं, बल्कि 18 चरण थे, अर्थात्, 17 19 की संख्या के तुरंत बाद 1 0 0 की संख्या थी। यह गणना की सुविधा के लिए किया गया था। कैलेंडर चक्र का, क्योंकि 1 0 0 = 360 मोटे तौर पर एक सौर वर्ष में दिनों की संख्या के बराबर है।

रिकॉर्डिंग के लिए, मुख्य संकेत बिंदु (इकाइयाँ) और खंड (पाँच) थे।

इंकासो का किपू

डेटाबेस का प्रोटोटाइप जो कि I-II सहस्राब्दी ईस्वी में राज्य और सार्वजनिक उद्देश्यों के लिए सेंट्रल एंडीज (पेरू, बोलीविया) में व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। ई।, इंकास-क्विपू का नॉटेड लेखन था, जिसमें दशमलव प्रणाली में संख्यात्मक प्रविष्टियां और बाइनरी कोडिंग सिस्टम में गैर-संख्यात्मक प्रविष्टियां शामिल थीं। क्विपू ने प्राथमिक और द्वितीयक कुंजियों, स्थितीय संख्याओं, रंग कोडिंग और दोहराए जाने वाले डेटा की श्रृंखला के गठन का उपयोग किया। दोहरी प्रविष्टि के रूप में लेखांकन की इस तरह की पद्धति को लागू करने के लिए मानव जाति के इतिहास में पहली बार किपू का उपयोग किया गया था।

ग्रन्थसूची

1. ए जी त्सिप्किन। "माध्यमिक विद्यालयों के लिए गणित की पुस्तिका"

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परिभाषाएं

स्थितीय संख्या प्रणाली एक पूर्णांक द्वारा निर्धारित की जाती है b > 1 (\displaystyle b>1), बुलाया आधारसंख्या प्रणाली। आधार संख्या प्रणाली बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)यह भी कहा जाता है बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)-रिक(विशेष रूप से, बायनरी, त्रिगुट, दशमलवआदि।)।

x = ∑ k = 0 n - 1 a k b k (\displaystyle x=\sum _(k=0)^(n-1)a_(k)b^(k)), कहाँ पे एक के (\displaystyle \ a_(k))पूर्णांक कहलाते हैं आंकड़ों, असमानता को संतुष्ट करना 0 ≤ a k ≤ b − 1. (\displaystyle 0\leq a_(k)\leq b-1.) x = a n − 1 a n − 2 … a 0 । (\displaystyle x=a_(n-1)a_(n-2)\dots a_(0).)

गैर-शून्य संख्याओं में x(\displaystyle\x)अग्रणी शून्य आमतौर पर छोड़े जाते हैं।

36 समावेशी, अरबी अंकों (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) तक आधार के साथ संख्या प्रणालियों में संख्याएं लिखने के लिए और फिर, लैटिन वर्णमाला के अक्षर (ए, बी, सी, डी, ई, एफ, जी, एच, आई, जे, के, एल, एम, एन, ओ, पी, क्यू, आर, एस, टी, यू, वी, डब्ल्यू, एक्स, वाई, जेड)। इस स्थिति में, a = 10, b = 11, आदि, कभी-कभी x = 10।

एक ही समय में कई संख्या प्रणालियों के साथ काम करते समय, उन्हें अलग करने के लिए, सिस्टम का आधार आमतौर पर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में इंगित किया जाता है, जो दशमलव प्रणाली में लिखा जाता है:

123 10 (\displaystyle 123_(10))- यह दशमलव प्रणाली संख्या में 123 की संख्या है; 173 8 (\displaystyle 173_(8))- ऑक्टल सिस्टम कैलकुलस में समान संख्या; 1111011 2 (\displaystyle 1111011_(2))- वही संख्या, लेकिन बाइनरी सिस्टम में; 0001 0010 0011 10 = 000100100011 बी सी डी (\displaystyle 0001\ 0010\ 0011_(10)=000100100011_(BCD))- एक ही संख्या, लेकिन दशमलव संख्या प्रणाली में दशमलव अंकों (बीसीडी) के बाइनरी एन्कोडिंग के साथ; 11120 3एन (\displaystyle 11120_(3एन))- एक ही संख्या, लेकिन एक असममित टर्नरी सिस्टम कैलकुलस में; 1 मैं मैं मैं 0 3 एस = 177770 3 एस = 122220 3 एस = + - - - - 0 3 एस (\displaystyle 1iiii0_(3S)=177770_(3S)=122220_(3S)=+----0_(3S))- एक ही संख्या, लेकिन एक सममित टर्नरी संख्या प्रणाली में, संकेत "i", "7", "2" और "-" "-1" को दर्शाते हैं, संकेत "1" और "+" "+1" को दर्शाते हैं। .

कुछ विशेष क्षेत्रों में, आधार निर्दिष्ट करने के लिए विशेष नियम लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रोग्रामिंग में, हेक्साडेसिमल सिस्टम द्वारा निरूपित किया जाता है:

• असेंबलर और सामान्य नोटेशन में जो एक विशिष्ट भाषा से बंधे नहीं हैं, अक्षर h (से .) एचएक्सडेसिमल) एक संख्या के अंत में (इंटेल सिंटैक्स);
• पास्कल में, संख्या की शुरुआत में "$" चिह्न;
• सी और कई अन्य भाषाओं में संयोजन 0x या 0X (से) एक्सदशमलव) शुरुआत में।

सी भाषा की कुछ बोलियों में, "0x" के साथ सादृश्य द्वारा, उपसर्ग "0b" का उपयोग बाइनरी संख्याओं को दर्शाने के लिए किया जाता है (अंकन "0b" ANSI C मानक में शामिल नहीं है)।

((... (a n − 1 ⋅ b + a n − 2) ⋅ b + a n − 3) …) b + a 0 । (\displaystyle ((\ldots (a_(n-1)\cdot b+a_(n-2)))\cdot b+a_(n-3))\ldots)\cdot b+a_(0)।)

उदाहरण के लिए:

101100 2 = = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 0 2 0 = = 1 32 + 0 16 + 1 8 + 1 4 + 0 2 + 0 1 = = 32 + 8 + 4 + 0 = 44 10

दशमलव संख्या प्रणाली से अनुवाद

पूरा भाग

1. दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को आधार से तब तक विभाजित करें जब तक दशमलव संख्याशून्य नहीं होगा।
2. भाग देने पर प्राप्त शेषफल वांछित संख्या के अंक होते हैं। संख्या नई प्रणालीअंतिम शेष से शुरू होकर लिखा जाता है।

आंशिक हिस्सा

1. हम दशमलव संख्या के भिन्नात्मक भाग को उस सिस्टम के आधार से गुणा करते हैं जिसमें आप अनुवाद करना चाहते हैं। हम पूरे हिस्से को अलग करते हैं। हम नई प्रणाली के आधार से भिन्नात्मक भाग को तब तक गुणा करना जारी रखते हैं जब तक कि यह 0 न हो जाए।
2. नई प्रणाली में संख्या उनकी प्राप्ति के अनुरूप क्रम में गुणन के परिणामों का पूर्णांक भाग है।

उदाहरण

44 10 (\displaystyle 44_(10))आइए बाइनरी में कनवर्ट करें:

44 को 2 से भाग दिया जाता है। भागफल 22, शेष 0 22 को 2 से विभाजित किया जाता है। भागफल 11, शेष 0 11 को 2 से विभाजित किया जाता है। भागफल 5, शेष 15 को 2 से विभाजित किया जाता है। भागफल 2, शेष 1 2 को 2 से विभाजित किया जाता है। भागफल 1, शेष 0 1 को 2 से भाग देने पर भागफल 0, शेषफल 1

भागफल शून्य है, भाग समाप्त हो गया है। अब नीचे से ऊपर तक के सभी शेषफलों को लिखने पर हमें संख्या प्राप्त होती है 101100 2 (\displaystyle 101100_(2))

बाइनरी से ऑक्टल और हेक्साडेसिमल सिस्टम में कनवर्ट करना

इस प्रकार के ऑपरेशन के लिए एक सरलीकृत एल्गोरिथम है।

ऑक्टल के लिए, हम अनुवादित संख्या को 2 की शक्ति के बराबर अंकों की संख्या में विभाजित करते हैं (2 को उस शक्ति तक बढ़ाया जाता है जो उस प्रणाली का आधार प्राप्त करने के लिए आवश्यक होती है जिसमें आप अनुवाद करना चाहते हैं (2³ \u003d 8), में यह केस 3, यानी ट्रायड्स)। आइए त्रय की तालिका के अनुसार त्रय को रूपांतरित करें:

000 0 100 4 001 1 101 5 010 2 110 6 011 3 111 7

हेक्साडेसिमल के लिए, हम अनुवादित संख्या को 2 की शक्ति के बराबर अंकों की संख्या में विभाजित करते हैं (2 को उस शक्ति तक बढ़ाया जाता है जो उस प्रणाली का आधार प्राप्त करने के लिए आवश्यक होती है जिसमें आप अनुवाद करना चाहते हैं (2 4 \u003d 16), इस मामले में 4, यानी टेट्राड्स)। आइए टेट्राड्स को टेट्रैड की तालिका के अनुसार परिवर्तित करें:

0000 0 0100 4 1000 8 1100 सी 0001 1 0101 5 1001 9 1101 डी 0010 2 0110 6 1010 ए 1110 ई

कनवर्ट करें 101100 2 ऑक्टल - 101 100 → 54 8 हेक्साडेसिमल - 0010 1100 → 2सी 16

ऑक्टल और हेक्साडेसिमल सिस्टम से बाइनरी में कनवर्ट करना

इस प्रकार के ऑपरेशन के लिए, एक सरलीकृत फ्लिप एल्गोरिथम है।

अष्टक के लिए - तालिका के अनुसार त्रिगुणों में परिवर्तित करें

0 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 011 7 111

हेक्साडेसिमल के लिए - तालिका के अनुसार चौकड़ी में बदलें

0 0000 4 0100 8 1000 सी 1100 1 0001 5 0101 9 1001 डी 1101 2 0010 6 0110 ए 1010 ई 1110 3 0011 7 0111 बी 1011 एफ 1111

ट्रांसफ़ॉर्म 54 8 → 101 100 2सी 16 → 0010 1100

बाइनरी से 8- और हेक्साडेसिमल में अनुवाद

आधार 8 और 16 के साथ बाइनरी नंबर सिस्टम से नंबर सिस्टम में भिन्नात्मक भाग का रूपांतरण उसी तरह से किया जाता है जैसे संख्या के पूर्णांक भागों के लिए, एकमात्र अपवाद के साथ कि ऑक्टेव्स और टेट्राड में टूटना जाता है दशमलव बिंदु के दाईं ओर, लापता अंक दाईं ओर शून्य से भरे हुए हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर चर्चा की गई संख्या 1100.011 2 14.3 8 या C.6 16 की तरह दिखेगी।

एक मनमाना संख्या प्रणाली से दशमलव में अनुवाद

द्विआधारी संख्या 1100.011 2 को दशमलव में बदलने के उदाहरण पर विचार करें। इस संख्या का पूर्णांक भाग 12 है (ऊपर देखें), लेकिन आइए भिन्नात्मक भाग के अनुवाद पर करीब से नज़र डालें:

0 , 011 = 0 ⋅ 2 − 1 + 1 ⋅ 2 − 2 + 1 ⋅ 2 − 3 = 0 + 0 , 25 + 0 , 125 = 0 , 375. (\displaystyle 0,011=0\cdot 2^(-1) +1\cdot 2^(-2)+1\cdot 2^(-3)=0+0.25+0.125=0.375.)

अत: संख्या 1100.011 2 = 12.375 10.

इसी तरह किसी भी संख्या प्रणाली से अनुवाद किया जाता है, "2" के बजाय केवल सिस्टम का आधार लगाया जाता है।

अनुवाद में आसानी के लिए, संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का अलग-अलग अनुवाद किया जाता है, और फिर परिणाम को संयोजित किया जाता है।

दशमलव से मनमाना में कनवर्ट करें

किसी संख्या के भिन्नात्मक भाग को अन्य संख्या प्रणालियों में अनुवाद करने के लिए, आपको पूर्णांक भाग को शून्य में बदलना होगा और परिणामी संख्या को उस प्रणाली के आधार से गुणा करना शुरू करना होगा जिसमें आप अनुवाद करना चाहते हैं। यदि, गुणन के परिणामस्वरूप, पूर्णांक भाग फिर से दिखाई देते हैं, तो परिणामी पूर्णांक भाग के मान को याद (लिखने) के बाद, उन्हें फिर से शून्य में बदल दिया जाना चाहिए। ऑपरेशन समाप्त होता है जब भिन्नात्मक भाग पूरी तरह से शून्य होता है। नीचे संख्या 103.625 10 को बाइनरी नंबर सिस्टम में बदलने का एक उदाहरण है।

हम ऊपर वर्णित नियमों के अनुसार पूर्णांक भाग का अनुवाद करते हैं, हमें 103 10 = 1100111 2 मिलता है।

0.625 को 2 से गुणा करें। भिन्नात्मक भाग 0.250 है। पूर्णांक भाग 1. 0.250 गुना 2. भिन्नात्मक भाग 0.500। पूर्णांक भाग 0 है। 0.500 को 2 से गुणा किया जाता है। भिन्नात्मक भाग 0.000 है। पूरा भाग 1.

तो, ऊपर से नीचे तक हमें संख्या 101 2 मिलती है। इसलिए 103.625 10 = 1100111.101 2

उसी तरह, किसी भी आधार के साथ संख्या प्रणालियों में अनुवाद किया जाता है।

यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह उदाहरण विशेष रूप से चुना गया है सामान्य मामलाबहुत कम ही किसी संख्या के भिन्नात्मक भाग का दशमलव प्रणाली से अन्य संख्या प्रणालियों में अनुवाद पूरा करना संभव होता है, और इसलिए, अधिकांश मामलों में, अनुवाद कुछ हद तक त्रुटि के साथ किया जा सकता है। जितने अधिक दशमलव स्थान - सत्य के लिए अनुवाद के परिणाम का अनुमान उतना ही अधिक सटीक होगा। उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 0.626 को बाइनरी कोड में बदलने का प्रयास करते हैं, तो इन शब्दों को सत्यापित करना आसान है।

विविधताएं और सामान्यीकरण

परिमेय संख्याएँ लिखना

सममित संख्या प्रणाली

सममित (संतुलित, साइन-डिजिट) संख्या प्रणालीइसमें भिन्नता है कि वे सेट से नहीं संख्याओं का उपयोग करते हैं ( 0 , 1 , … , b − 1 ) (\displaystyle \(0,1,\ldots ,b-1\)), और सेट से ( 0 - (बी - 1 2), 1 - (बी - 1 2), ..., (बी - 1) - (बी - 1 2)) (\displaystyle \left\(0-\left((\tfrac ( b-1)(2))\right),1-\left((\tfrac (b-1)(2))\right),\ldots ,(b-1)-\left((\tfrac (b) -1)(2))\दाएं)\दाएं\)). संख्याओं के पूर्णांक होने के लिए, यह आवश्यक है कि बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)अजीब था। सममित संख्या प्रणालियों में, संख्या के चिन्ह के लिए किसी अतिरिक्त अंकन की आवश्यकता नहीं होती है। इसके अलावा, सममित प्रणालियों में गणना सुविधाजनक है क्योंकि इसकी आवश्यकता नहीं है विशेष नियमगोलाई - यह केवल अतिरिक्त बिट्स को त्यागने के लिए नीचे आता है, जो नाटकीय रूप से गणना में व्यवस्थित त्रुटियों को कम करता है।

संख्याओं के साथ सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला सममित त्रिगुट संख्या प्रणाली ( − 1 , 0 , 1 ) (\displaystyle \(-1,0,1\)). इसका उपयोग टर्नरी लॉजिक में किया जाता है और इसे तकनीकी रूप से सेतुन कंप्यूटर में लागू किया गया था।

नकारात्मक आधार

नकारात्मक आधारों वाली स्थितीय प्रणालियाँ हैं जिन्हें गैर-स्थितीय कहा जाता है:

• -2 - नकारात्मक बाइनरी नंबर सिस्टम
• -3 - नकारात्मक टर्नरी संख्या प्रणाली
• -10 - नकारात्मक दशमलव संख्या प्रणाली

गैर-पूर्णांक आधार

कभी-कभी गैर-पूर्णांक आधारों वाली स्थितीय संख्या प्रणालियों पर भी विचार किया जाता है: परिमेय, अपरिमेय, अनुवांशिक।

ऐसी संख्या प्रणालियों के उदाहरण हैं:

जटिल आधार

स्थितीय संख्या प्रणालियों के आधार सम्मिश्र संख्याएँ भी हो सकते हैं। उसी समय, उनमें संख्याएँ कुछ परिमित सेट से मान लेती हैं जो उन शर्तों को पूरा करती हैं जो आपको इन संख्या प्रणालियों में संख्याओं के प्रतिनिधित्व के साथ सीधे अंकगणितीय संचालन करने की अनुमति देती हैं।

विशेष रूप से, जटिल आधारों के साथ स्थितीय संख्या प्रणालियों के बीच, द्विआधारी को प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जिसमें केवल दो अंक 0 और 1 का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण

इसके बाद, हम स्थितीय संख्या प्रणाली को लिखेंगे निम्नलिखित प्रपत्र , A ⟩ (\displaystyle \langle \rho ,A\rangle ), कहाँ पे (\displaystyle \rho )संख्या प्रणाली का आधार है, और ए- बहुत सारी संख्याएँ। विशेष रूप से, कई एऐसा लग सकता है:

जटिल आधारों वाली संख्या प्रणालियों के उदाहरण हैं (इसके बाद जे- काल्पनिक (इकाई):

• = जे ​​आर, बी आर । (\displaystyle \langle \rho =j(\sqrt (R)),B_(R)\rangle ।)
• = 2 ई ± जे π / 2, बी 2 । (\displaystyle \langle \rho =(\sqrt (2))e^(\pm j\pi /2),B_(2)\rangle ।)
• = 2 ई जे π / 3 , ( 0 , 1 , ई 2 जे π / 3 , ई − 2 जे π / 3 ) ; (\displaystyle \langle \rho =2e^(j\pi /3),\(0,1,e^(2j\pi /3),e^(-2j\pi /3)\)\rangle ;)
• ρ = R , B R ⟩ , (\displaystyle \langle \rho =(\sqrt (R)),B_(R)\rangle ,)कहाँ पे φ = ± आर्ककोस ⁡ (- β / 2 आर) (\displaystyle \varphi =\pm \arccos ((-\beta /2(\sqrt (R))))), β < min { R , 2 R } {\displaystyle \beta <\min\{R,2{\sqrt {R}}\}} एक सकारात्मक पूर्णांक है जो किसी दिए गए के लिए कई मान ले सकता है आर;
• ρ = − R , A R 2 ⟩ , (\displaystyle \langle \rho =-R,A_(R)^(2)\rangle ,)जहां सेट ए आर 2 (\displaystyle A_(R)^(2))फॉर्म की जटिल संख्याएं शामिल हैं आर एम = α एम 1 + जे α एम 2 (\displaystyle r_(m)=\alpha _(m)^(1)+j\alpha _(m)^(2)), और संख्या α एम ∈ बी आर। (\displaystyle \alpha _(m)\in B_(R).)उदाहरण के लिए: − 2 , ( 0 , 1 , j , 1 + j ) ; (\displaystyle \langle -2,\(0,1,j,1+j\)\rangle ;)

कंप्यूटर विज्ञान के पाठ्यक्रम में, स्कूल या विश्वविद्यालय की परवाह किए बिना, संख्या प्रणाली जैसी अवधारणा को एक विशेष स्थान दिया जाता है। एक नियम के रूप में, इसके लिए कई पाठ या व्यावहारिक अभ्यास आवंटित किए जाते हैं। मुख्य लक्ष्य न केवल विषय की मूल अवधारणाओं को सीखना, संख्या प्रणालियों के प्रकारों का अध्ययन करना है, बल्कि बाइनरी, ऑक्टल और हेक्साडेसिमल अंकगणित से परिचित होना भी है।

इसका क्या मतलब है?

आइए मुख्य अवधारणा की परिभाषा के साथ शुरू करें। जैसा कि पाठ्यपुस्तक "कंप्यूटर साइंस" नोट करता है, संख्या प्रणाली संख्याओं का एक रिकॉर्ड है जो एक विशेष वर्णमाला या संख्याओं के एक विशिष्ट सेट का उपयोग करती है।

इस पर निर्भर करता है कि अंक का मान संख्या में अपनी स्थिति से बदलता है या नहीं, दो को प्रतिष्ठित किया जाता है: स्थितीय और गैर-स्थितित्मक संख्या प्रणाली।

स्थितीय प्रणालियों में, एक अंक का मान संख्या में अपनी स्थिति के साथ बदलता रहता है। अतः यदि हम संख्या 234 लें, तो इसमें संख्या 4 का अर्थ इकाई है, लेकिन यदि हम संख्या 243 पर विचार करें, तो यहाँ इसका अर्थ पहले से ही दहाई होगा, इकाई नहीं।

गैर-स्थितीय प्रणालियों में, अंक का मान स्थिर होता है, संख्या में उसकी स्थिति की परवाह किए बिना। सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण स्टिक सिस्टम है, जहां प्रत्येक इकाई को डैश द्वारा दर्शाया जाता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप छड़ी कहाँ निर्दिष्ट करते हैं, संख्या का मूल्य केवल एक से बदल जाएगा।

गैर-स्थितीय प्रणाली

गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों में शामिल हैं:

1. एक एकल प्रणाली, जिसे पहले में से एक माना जाता है। इसमें अंकों के स्थान पर लाठी का प्रयोग किया जाता था। जितने अधिक थे, संख्या का मूल्य उतना ही अधिक था। आप फिल्मों में इस तरह से लिखे गए नंबरों का एक उदाहरण देख सकते हैं जहां हम समुद्र में खोए हुए लोगों के बारे में बात कर रहे हैं, कैदी जो हर दिन पत्थर या पेड़ पर निशान की मदद से निशान लगाते हैं।
2. रोमन, जिसमें संख्याओं के स्थान पर लैटिन अक्षरों का प्रयोग किया जाता था। इनका प्रयोग करके आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं। उसी समय, इसका मूल्य संख्या बनाने वाले अंकों के योग और अंतर का उपयोग करके निर्धारित किया गया था। यदि अंक के बाईं ओर एक छोटी संख्या थी, तो बाएं अंक को दाएं से घटाया गया था, और यदि दाईं ओर का अंक बाईं ओर के अंक से कम या उसके बराबर था, तो उनके मूल्यों को जोड़ दिया गया था। यूपी। उदाहरण के लिए, संख्या 11 को XI और 9 - IX के रूप में लिखा गया था।
3. अक्षर, जिसमें किसी विशेष भाषा की वर्णमाला का उपयोग करके संख्याओं को निरूपित किया जाता था। उनमें से एक स्लाव प्रणाली है, जिसमें कई अक्षरों में न केवल एक ध्वन्यात्मक, बल्कि एक संख्यात्मक मूल्य भी था।
4. जिसमें रिकॉर्डिंग के लिए केवल दो पदनामों का उपयोग किया गया था - वेज और एरो।
5. मिस्र में भी, संख्याओं को दर्शाने के लिए विशेष प्रतीकों का उपयोग किया जाता था। संख्या लिखते समय, प्रत्येक वर्ण का उपयोग नौ बार से अधिक नहीं किया जा सकता है।

स्थितीय प्रणाली

कंप्यूटर विज्ञान में स्थितीय संख्या प्रणालियों पर बहुत ध्यान दिया जाता है। इनमें निम्नलिखित शामिल हैं:

• द्विआधारी;
• अष्टाधारी;
• दशमलव;
• हेक्साडेसिमल;
• सेक्सेजिमल, समय की गणना करते समय उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, एक मिनट में - 60 सेकंड में, एक घंटे में - 60 मिनट)।

उनमें से प्रत्येक के पास लेखन, अनुवाद नियम और अंकगणितीय संचालन के लिए अपनी वर्णमाला है।

दशमलव प्रणाली

यह प्रणाली हमारे लिए सबसे परिचित है। यह संख्या लिखने के लिए 0 से 9 तक की संख्याओं का उपयोग करता है। इन्हें अरबी भी कहा जाता है। संख्या में अंक की स्थिति के आधार पर, यह विभिन्न अंकों - इकाइयों, दहाई, सैकड़ों, हजारों या लाखों को निरूपित कर सकता है। हम इसे हर जगह उपयोग करते हैं, हम उन बुनियादी नियमों को जानते हैं जिनके द्वारा अंकगणितीय संक्रियाएं संख्याओं पर की जाती हैं।

बायनरी सिस्टम

कंप्यूटर विज्ञान में मुख्य संख्या प्रणालियों में से एक बाइनरी है। इसकी सादगी कंप्यूटर को दशमलव प्रणाली की तुलना में कई गुना तेजी से बोझिल गणना करने की अनुमति देती है।

संख्याएँ लिखने के लिए केवल दो अंकों का उपयोग किया जाता है - 0 और 1। वहीं, संख्या में 0 या 1 की स्थिति के आधार पर इसका मान बदल जाएगा।

प्रारंभ में, यह कंप्यूटर की मदद से था कि उन्हें सभी आवश्यक जानकारी प्राप्त हुई। उसी समय, एक का अर्थ था वोल्टेज का उपयोग करके प्रेषित सिग्नल की उपस्थिति, और शून्य का अर्थ था इसकी अनुपस्थिति।

अष्टक प्रणाली

एक और प्रसिद्ध कंप्यूटर नंबर सिस्टम जिसमें 0 से 7 तक की संख्या का उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग मुख्य रूप से ज्ञान के उन क्षेत्रों में किया जाता था जो डिजिटल उपकरणों से जुड़े होते हैं। लेकिन हाल ही में इसका उपयोग बहुत कम बार किया गया है, क्योंकि इसे हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

बाइनरी दशमलव

किसी व्यक्ति के लिए बाइनरी सिस्टम में बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना एक जटिल प्रक्रिया है। इसे सरल बनाने के लिए इसे विकसित किया गया था यह आमतौर पर इलेक्ट्रॉनिक घड़ियों, कैलकुलेटर में प्रयोग किया जाता है। इस प्रणाली में, दशमलव प्रणाली से पूरी संख्या को बाइनरी में परिवर्तित नहीं किया जाता है, लेकिन प्रत्येक अंक को बाइनरी सिस्टम में शून्य और एक के संगत सेट में अनुवादित किया जाता है। वही बाइनरी से दशमलव में परिवर्तित करने के लिए जाता है। प्रत्येक अंक, शून्य और इकाई के चार अंकों के सेट के रूप में दर्शाया जाता है, दशमलव संख्या प्रणाली में एक अंक में अनुवाद किया जाता है। सिद्धांत रूप में, कुछ भी जटिल नहीं है।

संख्याओं के साथ काम करने के लिए, इस मामले में, संख्या प्रणालियों की एक तालिका उपयोगी होती है, जो संख्याओं और उनके बाइनरी कोड के बीच पत्राचार को इंगित करेगी।

हेक्साडेसिमल सिस्टम

हाल ही में, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर विज्ञान में हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली तेजी से लोकप्रिय हो गई है। यह न केवल 0 से 9 तक की संख्याओं का उपयोग करता है, बल्कि कई लैटिन अक्षरों - ए, बी, सी, डी, ई, एफ का भी उपयोग करता है।

उसी समय, प्रत्येक अक्षर का अपना अर्थ होता है, इसलिए A=10, B=11, C=12 इत्यादि। प्रत्येक संख्या को चार वर्णों के सेट के रूप में दर्शाया गया है: 001F।

संख्या रूपांतरण: दशमलव से बाइनरी तक

संख्या प्रणालियों में अनुवाद कुछ नियमों के अनुसार होता है। सबसे आम रूपांतरण बाइनरी से दशमलव और इसके विपरीत है।

किसी संख्या को दशमलव से बाइनरी में बदलने के लिए, इसे संख्या प्रणाली के आधार, यानी संख्या दो से लगातार विभाजित करना आवश्यक है। इस मामले में, प्रत्येक डिवीजन के शेष को तय किया जाना चाहिए। यह तब तक जारी रहेगा जब तक कि शेष भाग एक से कम या उसके बराबर न हो जाए। एक कॉलम में गणना करना सबसे अच्छा है। फिर परिणामी विभाजन शेष को विपरीत क्रम में स्ट्रिंग में लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 9 को बाइनरी में बदलें:

हम 9 को भाग देते हैं, क्योंकि संख्या समान रूप से विभाज्य नहीं है, तो हम संख्या 8 लेते हैं, शेषफल 9-1 = 1 होगा।

8 को 2 से भाग देने पर हमें 4 प्राप्त होता है। हम इसे फिर से विभाजित करते हैं, क्योंकि संख्या को दो से विभाजित किया जाता है - हमें शेष में 4 - 4 = 0 मिलता है।

हम 2 के साथ समान संक्रिया करते हैं। शेषफल 0 है।

विभाजन के परिणामस्वरूप, हमें 1 मिलता है।

अंतिम संख्या प्रणाली के बावजूद, दशमलव से किसी अन्य में संख्याओं का स्थानांतरण स्थिति प्रणाली के आधार पर संख्या को विभाजित करने के सिद्धांत के अनुसार होगा।

संख्या रूपांतरण: बाइनरी से दशमलव तक

संख्याओं को बाइनरी से दशमलव में बदलना काफी आसान है। ऐसा करने के लिए, संख्या बढ़ाने के नियमों को जानने के लिए पर्याप्त है। इस मामले में, दो की शक्ति के लिए।

अनुवाद एल्गोरिथ्म इस प्रकार है: बाइनरी नंबर कोड से प्रत्येक अंक को दो से गुणा किया जाना चाहिए, और पहले दो को m-1 की शक्ति के लिए, दूसरा - m-2, और इसी तरह, जहां m संख्या है। कोड में अंकों की। फिर एक पूर्णांक प्राप्त करते हुए, योग के परिणाम जोड़ें।

स्कूली बच्चों के लिए, इस एल्गोरिथ्म को और अधिक सरलता से समझाया जा सकता है:

शुरू करने के लिए, हम प्रत्येक अंक को दो से गुणा करते हैं और लिखते हैं, फिर हम शून्य से शुरू करते हुए, अंत से दो की शक्ति डालते हैं। फिर परिणामी संख्या जोड़ें।

उदाहरण के लिए, आइए आपके साथ पहले प्राप्त संख्या 1001 का विश्लेषण करें, इसे दशमलव प्रणाली में परिवर्तित करें, और साथ ही साथ हमारी गणनाओं की शुद्धता की जांच करें।

यह इस तरह दिखेगा:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

इस विषय का अध्ययन करते समय, दो की शक्तियों वाली तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। यह गणना के लिए आवश्यक समय की मात्रा को काफी कम कर देगा।

अन्य अनुवाद विकल्प

कुछ मामलों में, अनुवाद बाइनरी और ऑक्टल, बाइनरी और हेक्साडेसिमल के बीच किया जा सकता है। इस मामले में, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग कर सकते हैं या व्यू टैब में "प्रोग्रामर" विकल्प का चयन करके अपने कंप्यूटर पर कैलकुलेटर एप्लिकेशन चला सकते हैं।

अंकगणितीय आपरेशनस

चाहे जिस रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, उससे परिचित गणना करना संभव है। यह आपके द्वारा चुनी गई संख्या प्रणाली में भाग और गुणा, घटाव और जोड़ हो सकता है। बेशक, उनमें से प्रत्येक के अपने नियम हैं।

तो बाइनरी सिस्टम के लिए प्रत्येक ऑपरेशन के लिए अपनी टेबल विकसित की। अन्य स्थितीय प्रणालियों में समान तालिकाओं का उपयोग किया जाता है।

उन्हें याद रखना जरूरी नहीं है - बस प्रिंट करें और हाथ में लें। आप अपने पीसी पर कैलकुलेटर का भी उपयोग कर सकते हैं।

कंप्यूटर विज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण विषयों में से एक संख्या प्रणाली है। इस विषय को जानना, संख्याओं का एक सिस्टम से दूसरे सिस्टम में अनुवाद करने के लिए एल्गोरिदम को समझना इस बात की गारंटी है कि आप अधिक जटिल विषयों को समझने में सक्षम होंगे, जैसे कि एल्गोरिथम और प्रोग्रामिंग, और आप अपना पहला प्रोग्राम अपने दम पर लिखने में सक्षम होंगे।

प्रयोगशाला कार्य 1. "नंबर सिस्टम"

संख्या प्रणाली विशेष वर्णों - संख्याओं के दिए गए सेट का उपयोग करके संख्याएँ लिखने का नियम है।

लोगों ने संख्या लिखने के विभिन्न तरीकों का इस्तेमाल किया, जिन्हें कई समूहों में जोड़ा जा सकता है: एकात्मक, गैर-स्थितीय और स्थितीय।

पहले दो ऐतिहासिक रुचि के हैं, क्योंकि वर्तमान समय में उनका बहुत सीमित उपयोग है।

यूनरी नंबर सिस्टम

एकल नोटेशन - यह एक संख्या प्रणाली है जिसमें संख्या लिखने के लिए केवल एक चिन्ह का उपयोग किया जाता है - 1 ("छड़ी")।

अगला नंबर एक नया 1 जोड़कर पिछले एक से प्राप्त किया जाता है; उनकी संख्या (योग) स्वयं संख्या के बराबर है।

यह वह प्रणाली है जिसका उपयोग बच्चों को गिनने के प्रारंभिक शिक्षण के लिए किया जाता है (आप "गिनती की छड़ें" याद कर सकते हैं)।

दूसरे शब्दों में, यूनरी प्रणाली का उपयोग बच्चों को संख्याओं और उनके साथ क्रियाओं की दुनिया से परिचित कराने के लिए एक महत्वपूर्ण शैक्षणिक तकनीक के रूप में सामने आता है।

गैर स्थितीय नोटेशन

गैर स्थितीय संख्या प्रणाली - एक प्रणाली जिसमें किसी विशेष मात्रा को दर्शाने वाले प्रतीक संख्या की छवि में स्थान (स्थिति) के आधार पर अपना अर्थ नहीं बदलते हैं।

से गैर स्थितीय सबसे आम रोमन अंक प्रणाली है।

इसमें कुछ मूल संख्याओं को बड़े लैटिन अक्षरों से दर्शाया गया है:

1 - आई, 5 - वी, 10 - एक्स, 50 - एल, 100 - सी, 500 - डी, 1000 - एम।

अन्य सभी संख्याएँ आधार संख्याओं के संयोजन से निर्मित होती हैं, और:

यदि बायीं ओर का अंक दायीं ओर के अंक से कम है, तो बायें अंक को दायीं ओर से घटाया जाता है;

यदि दाईं ओर की संख्या बाईं ओर की संख्या से कम या उसके बराबर है, तो इन संख्याओं को जोड़ा जाता है;

इस तरह की प्रणाली में अंक लिखना बोझिल और असुविधाजनक है, लेकिन इससे भी अधिक असुविधाजनक है कि इसमें सबसे सरल अंकगणितीय संक्रियाओं का प्रदर्शन भी होता है।

अंत में, शून्य की अनुपस्थिति और M से बड़ी संख्याओं के लिए चिह्न रोमन अंकों में कोई संख्या (यहां तक ​​कि एक प्राकृतिक संख्या) लिखने की अनुमति नहीं देते हैं। इस प्रणाली का उपयोग नंबरिंग के लिए किया जाता है।

स्थितीय संख्या प्रणाली

पोजिशनल नंबर सिस्टम कहलाते हैं, जिसमें किसी संख्या की छवि में प्रत्येक अंक का मान कई अन्य अंकों में उसकी स्थिति (स्थिति) से निर्धारित होता है।

वर्णों का क्रमित सेट (संख्या) (लेकिन 0 , ए वी ..., लेकिन पी ), किसी दिए गए स्थितीय संख्या प्रणाली में किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, इसे कॉल करें वर्णमाला,वर्णमाला के वर्णों (अंकों) की संख्या आर= एन+ 1 - उसका नींव,और संख्या प्रणाली को ही कहा जाता है आर-रिक।

आधार स्थितीय संख्या प्रणाली - किसी दिए गए संख्या प्रणाली में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विभिन्न अंकों की संख्या।

हमारे लिए सबसे परिचित दशमलव संख्या प्रणाली है। उसका अक्षर है (0, 1, 2, 3, 4, 5, b, 7, 8, 9), और आधार पी = 10, यानी इस प्रणाली में किसी भी संख्या को लिखने के लिए केवल दस अलग-अलग वर्णों (अंकों) का उपयोग किया जाता है। दशमलव संख्या प्रणाली इस तथ्य पर आधारित है कि प्रत्येक अंक की 10 इकाइयों को आसन्न उच्च-क्रम अंक की एक इकाई में जोड़ा जाता है, इसलिए प्रत्येक अंक का वजन 10 की शक्ति के बराबर होता है। इसलिए, उसी अंक का मान है संख्या की छवि में इसके स्थान द्वारा निर्धारित, 10 की शक्ति द्वारा विशेषता। उदाहरण के लिए, संख्या 222.22 की छवि में, संख्या 2 को 5 बार दोहराया जाता है, जबकि बाईं ओर पहली संख्या 2 का अर्थ सैकड़ों की संख्या है (इसका वजन 10 2 है); दूसरा - दहाई की संख्या (इसका वजन 10 1 है), तीसरा - इकाइयों की संख्या (इसका वजन 10 0 है), चौथा - एक इकाई के दसवें हिस्से की संख्या (इसका वजन 10 -1 है) और पाँचवाँ अंक - एक इकाई के सौवें भाग की संख्या (इसका भार 10 -2 है), अर्थात संख्या 222.22 को 10 की घातों में विस्तारित किया जा सकता है:

222.22 = 2 10 2 + 2 10 1 + 2 10° + 2 10 -1 + 2 10 -2।

इसी प्रकार, 725 = 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10°;

1304.5 = 1 10 3 + 3 10 2 + 0 10 1 + 4 10° + 5 10 -1 ,

50328.15 = 5 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 + 8 10° + 1 10 -1 + 5 10 -2।

सामान्य तौर पर, नौकरी के लिए आर-एरी नंबर सिस्टम, आधार तय करना जरूरी आरऔर एक वर्णमाला जिसमें आरविभिन्न वर्ण (संख्या) लेकिन आर मैं = 1,...,आर।

कोई संख्या एक्स पीएक संख्या की घातों में इसका विस्तार करके एक बहुपद के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है पी:

गुणांकों का क्रम संख्या का एक संक्षिप्त संकेतन है एक्स पी :

संख्या के पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक से अलग करने वाला बिंदु संख्याओं के इस क्रम में प्रत्येक स्थिति के विशिष्ट मानों को ठीक करने का कार्य करता है और प्रारंभिक बिंदु है।

संख्या अनुवाद के तरीके। विभिन्न संख्या प्रणालियों में संख्याओं का प्रतिनिधित्व

अनुवादएक नंबर सिस्टम से दूसरे नंबर सिस्टम में नंबर

एक ही संख्या को विभिन्न संख्या प्रणालियों में लिखा जा सकता है।

कलन विधिपूर्णांकों को से परिवर्तित करना क्यू -आरी प्रणाली में पी -आरी, क्यू> पी . के लिए

मूल संख्या को बदलने के लिएएक्स क्यू एक समान संख्याएक्स पी नियमों द्वारा आवश्यकक्यू-आरी अंकगणितीय पूर्णांक विभाजितएक्स क्यू एक नए आधार परपी. अंतिम से पहले तक के क्रम में लिखे गए विभाजन के परिणाम, अंक X . होंगे पी .

चूंकि बहुपद के गुणांक अज्ञात हैं, आइए उन्हें i के रूप में निरूपित करें; हमें मिला:

आमतौर पर, वर्णित प्रक्रिया को स्कूल से परिचित एक डिवीजन ऑपरेशन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है:

इस प्रकार, हमें X 5 = 443 प्राप्त हुआ।

अनुवाद की शुद्धता की जाँच करना: 4*5 2 +4*5 1 +3*5 0 =100+20+3=123 10 ।

ध्यान देने वाली दूसरी बात है सभी संक्रियाओं को अंकगणित के उस अंक प्रणाली के नियमों के अनुसार निष्पादित किया गया जिससे स्थानांतरण किया गया था(माना गया उदाहरण में - दशमलव)।

पूर्णांकों को से परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिथम क्यू -आरी प्रणाली में पी -आरी, क्यू के लिए< p

अनुवाद करने के लिए, आपको एक नंबर प्रदान करना होगाएक्स क्यू पी-री अंकगणित।

एक्स 6 एक्स 10, एक्स \u003d 234 6

234 6 = 26 2 +36 1 +46 0 = 236+36+41 = 94 10

उपरोक्त एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है जब किसी संख्या को दशमलव प्रणाली से किसी अन्य में परिवर्तित किया जाता है, या इसके विपरीत।

वे किसी अन्य संख्या प्रणाली के बीच अनुवाद के लिए भी काम करते हैं, हालांकि, ऐसा अनुवाद मुश्किल होगा क्योंकि सभी अंकगणितीय संचालन मूल (पहले एल्गोरिदम में) या अंतिम (दूसरे एल्गोरिदम में) प्रणाली के नियमों के अनुसार किए जाने चाहिए।

इस कारण से, संक्रमण, उदाहरण के लिए X 3 X 8, मध्यवर्ती संक्रमण के माध्यम से 10-वें सिस्टम X 3  X 10  X 8 में करना आसान है।

q > p . के लिए एक उचित भिन्न को परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिदम

उचित भिन्न 0,X q के अनुवाद का परिणाम भी होगा उचित अंश 0,एक्स पी , जो मूल भिन्न को नए आधार से गुणा करके प्राप्त किया जाता हैपीनियमों के अनुसारक्यू-री अंकगणित; पूरा भागपरिणामी उत्पाद नए अंश का उच्च-क्रम अंक होगा; परिणामी उत्पाद के भिन्नात्मक भाग को फिर से गुणा किया जाना चाहिएपीआदि।

उदाहरण: 0.X 10 0.X 2। 0.X = 0.375 10

फिर 0,X 2 प्राप्त करने के लिए:

0,375*2 = 0 ,750

0,75*2 = 1 ,50

0,5*2 = 1 ,0

इस प्रकार, 0.375 10 \u003d 0.011 2.

जाँच 0.011=0*2 -1 +1*2 -2 +1*2 -3 = 0.25+1.125=0.375 10

q . के लिए एक उचित भिन्न को परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिथम< p

अनुवाद के लिएएक्स क्यू  एक्स पी एक नंबर प्रदान करने की आवश्यकता हैएक्स क्यू एक बहुपद के रूप में और नियमों के अनुसार सभी संचालन करेंपी-री अंकगणित।

उदाहरण: एक्स 6 एक्स 10, एक्स 6 \u003d 0.234 6

इसके लिए

0,234 6 = 26 -1 +36 -2 +46 -3 =0,33(3)+0,083(3)+0,01(851)= 0,43517 10

हम जाँच:

0, 43517*6=2 ,61102

0, 61102*6=3, 66612

0.66612*6=3.99672 4 ,0 (अपरिमेय संख्या प्राप्त करने के मामले में गणना त्रुटि)

उदाहरण: एक्स 2 एक्स 10, एक्स \u003d 0.10101 2

इसके लिए

0, 10101 2 = 12 -1 +02 -2 +12 -3 +02 -4 +12 -5 = 0,5+0,125+0,03125= 0,65625 10.

हम जाँच:

0,65625*2=1 ,3125

0,3125*2=0, 625

0,625*2=1 ,25

0,25*2=0 ,5

0,5*2=1 ,0। सही बात है

संख्या प्रणालियों के बीच संख्याओं का अनुवाद 2 - 8 - 16

इन संख्या प्रणालियों में संख्याओं की छवियों के उदाहरण तालिका 1 में दिखाए गए हैं

तालिका 1. संख्या प्रणाली

दशमलव	बायनरी			दशमलव	बायनरी

एक बाइनरी पूर्णांक को आधार के साथ एक संख्या प्रणाली में बदलने के लिएपी = 2 आर कम से कम महत्वपूर्ण अंक से शुरू होने वाली इस बाइनरी संख्या को समूहों में विभाजित करने के लिए पर्याप्त हैआरअंक प्रत्येक और प्रत्येक समूह स्वतंत्र रूप से सिस्टम में अनुवाद करते हैंपी.

उदाहरण के लिए, संख्या 110001 2 को p=8 संख्या प्रणाली में बदलने के लिए, आपको मूल संख्या को तीन अंकों के समूहों में दाएं से बाएं (8 = 2 3, इसलिए, r = 3) में विभाजित करना होगा और अष्टक में बदलना होगा। संख्या प्रणाली: 110001 2 =61 8। 110001 की जाँच करना 2 =32+16+1=49 10 , 6*8 1 +1*8 0 =49 10

इसी तरह, 4 बाइनरी अंकों के समूहों में तोड़कर, हमें 110001 2 = 31 16 मिलता है।

आधार के साथ संख्या प्रणाली में लिखे गए पूर्णांक का अनुवाद करने के लिएपी = 2 आर , बाइनरी सिस्टम में मूल संख्या के प्रत्येक अंक को स्वतंत्र रूप से संबंधित के साथ बदलने के लिए पर्याप्त हैआर-बिट बाइनरी नंबर, इसे पैडिंग, यदि आवश्यक हो, तो समूह में महत्वहीन शून्य के साथआरअंक।

उदाहरण: आइए बाइनरी सिस्टम में संख्या D3 16 का प्रतिनिधित्व करते हैं:

उदाहरण, 123 8 = 001010011 2 = 53 16।

आत्म-पूर्ति के लिए कार्य

पी-आरी संख्या प्रणाली की संख्या X p को q-ary संख्या प्रणाली के X q में परिवर्तित करें

एक्स 5 एक्स 10, जहां एक्स 5 \u003d 123

एक्स 3 एक्स 10, जहां एक्स 3 \u003d 102

एक्स 10 एक्स 4, जहां एक्स 10 \u003d 123

एक्स 10 एक्स 6, जहां एक्स 10 \u003d 548

एक्स 5 एक्स 3, जहां एक्स 3 \u003d 421

एक्स 2 एक्स 6, जहां एक्स 2 \u003d 0111001

एक्स 2 एक्स 16, जहां एक्स 2 \u003d 10011

एक्स 2 एक्स 8, जहां एक्स 2 \u003d 101010

एक्स 16 एक्स 2, जहां एक्स 16 \u003d AD3

एक्स 8 एक्स 2, जहां एक्स 8 \u003d 5470

द्वितीय. दशमलव को बाइनरी में बदलें:

743 10, बी) 334.12 10, सी) 61.375, डी) 160.25 10, ई) 131.82 10

III. दशमलव को हेक्साडेसिमल में बदलें:

445 10, बी) 334.12 10, सी) 261.375, डी) 160.25 10, ई) 131.82 10

संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं। किसी भी स्थिति में, संख्या को किसी वर्ण के किसी प्रतीक या प्रतीकों (शब्द) के समूह द्वारा दर्शाया जाता है। ऐसे वर्णों को अंक कहते हैं।

संख्या प्रणाली

संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए, गैर-स्थितीय और स्थितीय संख्या प्रणालियों का उपयोग किया जाता है।

गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली

जैसे ही लोगों ने गिनना शुरू किया, उन्हें संख्याएँ लिखनी पड़ीं। आदिम लोगों के स्थलों पर पुरातत्वविदों की खोज से संकेत मिलता है कि शुरू में वस्तुओं की संख्या समान संख्या में किसी भी बैज (टैग) द्वारा प्रदर्शित की गई थी: पायदान, डैश, डॉट्स। बाद में, गिनती में आसानी के लिए, इन चिह्नों को तीन या पाँच में समूहीकृत किया गया। संकेतन की इस प्रणाली को कहा जाता है एकल (यूनरी), क्योंकि इसमें कोई भी संख्या इकाई के प्रतीक एक चिन्ह को दोहराकर बनती है। इकाई संख्या प्रणाली की गूँज आज पाई जाती है। इसलिए, यह पता लगाने के लिए कि एक सैन्य स्कूल का कैडेट किस पाठ्यक्रम में पढ़ रहा है, आपको यह गिनने की जरूरत है कि उसकी आस्तीन पर कितनी धारियां सिल दी गई हैं। इसे समझे बिना, एकल प्रणालीकैलकुलस का उपयोग बच्चों द्वारा उनकी उंगलियों पर उनकी उम्र दिखाते हुए किया जाता है, और पहली कक्षा के छात्रों को गिनना सिखाने के लिए काउंटिंग स्टिक का उपयोग किया जाता है। विचार करना विभिन्न प्रणालियाँगणना

एक एकल प्रणाली सबसे अधिक नहीं है सुविधाजनक तरीकासंख्या प्रविष्टियाँ। इस तरह रिकॉर्ड करें बड़ी मात्राथकाऊ, और रिकॉर्डिंग स्वयं बहुत लंबी हैं। समय के साथ, अन्य, अधिक सुविधाजनक, संख्या प्रणाली उत्पन्न हुई।

प्राचीन मिस्री दशमलव गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली. तीसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व के आसपास, प्राचीन मिस्रवासी अपनी खुद की संख्या प्रणाली के साथ आए, जिसमें नामित किया गया कुंजी संख्या 1, 10, 100, आदि। विशेष चिह्नों का उपयोग किया - चित्रलिपि। अन्य सभी नंबरों को इन प्रमुख नंबरों से जोड़ ऑपरेशन का उपयोग करके संकलित किया गया था। नोटेशन प्राचीन मिस्रदशमलव है लेकिन गैर-स्थितीय है। गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्रत्येक अंक का मात्रात्मक समतुल्य संख्या प्रविष्टि में उसकी स्थिति (स्थान, स्थिति) पर निर्भर नहीं करता है। उदाहरण के लिए, 3252 को चित्रित करने के लिए, तीन कमल के फूल (तीन हजार), दो मुड़े हुए ताड़ के पत्ते (दो सौ), पांच चाप (पांच दहाई) और दो डंडे (दो इकाई) खींचे गए थे। संख्या का मूल्य उस क्रम पर निर्भर नहीं करता था जिसमें इसे बनाने वाले चिन्ह स्थित थे: उन्हें ऊपर से नीचे तक, दाएं से बाएं, या परस्पर लिखा जा सकता था।

रोमन अंक प्रणाली. एक गैर-स्थितीय प्रणाली का एक उदाहरण जो आज तक जीवित है, वह संख्या प्रणाली है, जिसका उपयोग ढाई हजार साल से भी पहले में किया गया था। प्राचीन रोम. रोमन अंक प्रणाली का आधार नंबर 1 के लिए I (एक उंगली) था, नंबर 5 के लिए V (खुली हथेली), 10 के लिए X (दो मुड़ी हुई हथेलियां), और संबंधित लैटिन शब्दों के पहले अक्षर शुरू हुए संख्या 100, 500 और 1000 (सेंटम - एक सौ, डेमिमिल - आधा हजार, मिल - एक हजार) को निरूपित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। एक संख्या लिखने के लिए, रोमनों ने इसे हजारों, आधा हजार, सैकड़ों, आधा सौ, दसियों, एड़ी, इकाइयों के योग में विघटित कर दिया। उदाहरण के लिए, दशमलव संख्या 28 को इस प्रकार दर्शाया गया है:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (दो दहाई, पांच, तीन वाले)।

मध्यवर्ती संख्याएँ लिखने के लिए, रोमन न केवल जोड़, बल्कि घटाव का भी उपयोग करते थे। इस मामले में, निम्नलिखित नियम लागू किया गया था: बड़े के दाईं ओर रखा गया प्रत्येक छोटा चिन्ह इसके मूल्य में जोड़ा जाता है, और बड़े के बाईं ओर रखा गया प्रत्येक छोटा चिन्ह इससे घटाया जाता है। उदाहरण के लिए, IX का अर्थ 9 है, XI का अर्थ 11 है।

दशमलव संख्या 99 में निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:

XCIХ \u003d -10 + 100 - 1 + 10।

रोमन अंकों का प्रयोग बहुत पहले से होता आ रहा है। 200 साल पहले भी, व्यावसायिक पत्रों में, रोमन अंकों द्वारा संख्याओं का संकेत दिया जाना चाहिए था (ऐसा माना जाता था कि साधारण अरबी अंक नकली के लिए आसान थे)। रोमन अंक प्रणाली आज मुख्य रूप से नामकरण के लिए प्रयोग की जाती है महत्वपूर्ण तिथियां, पुस्तकों में खंड, खंड और अध्याय।

वर्णमाला संख्या प्रणाली. अधिक उन्नत गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली वर्णमाला प्रणाली थीं। इन संख्या प्रणालियों में ग्रीक, स्लाविक, फोनीशियन और अन्य शामिल थे। उनमें 1 से 9 तक की संख्याएँ, दहाई की पूर्णांक संख्याएँ (10 से 90 तक) और सैकड़ों की पूर्णांक संख्याएँ (100 से 900 तक) वर्णमाला के अक्षरों द्वारा निरूपित की जाती थीं। वर्णमाला संख्या प्रणाली में प्राचीन ग्रीससंख्या 1, 2, ..., 9 ग्रीक वर्णमाला के पहले नौ अक्षरों द्वारा दर्शाए गए थे, और इसी तरह। निम्नलिखित 9 अक्षरों का उपयोग संख्याओं 10, 20, ..., 90 को निर्दिष्ट करने के लिए किया गया था, और अंतिम 9 अक्षरों का उपयोग संख्या 100, 200, ..., 900 को निर्दिष्ट करने के लिए किया गया था।

स्लाव लोगों के बीच संख्यात्मक मूल्यअक्षरों को स्लाव वर्णमाला के क्रम में स्थापित किया गया था, जिसमें पहले ग्लैगोलिटिक वर्णमाला और फिर सिरिलिक वर्णमाला का उपयोग किया गया था।

रूस में, 17 वीं शताब्दी के अंत तक स्लाव संख्या को संरक्षित किया गया था। पीटर I के तहत, तथाकथित अरबी नंबरिंग प्रचलित थी, जिसका हम आज भी उपयोग करते हैं। स्लाव नंबरिंग को केवल लिटर्जिकल किताबों में संरक्षित किया गया था।

गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों के कई महत्वपूर्ण नुकसान हैं:

• बड़ी संख्या में लिखने के लिए नए पात्रों को पेश करने की निरंतर आवश्यकता है।

• भिन्नात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को निरूपित करना संभव नहीं है।

• अंकगणितीय संचालन करना मुश्किल है, क्योंकि उन्हें करने के लिए कोई एल्गोरिदम नहीं हैं।

स्थितीय संख्या प्रणाली

स्थितीय संख्या प्रणालियों में - प्रत्येक अंक का मात्रात्मक समतुल्य संख्या के कोड (रिकॉर्ड) में उसकी स्थिति (स्थिति) पर निर्भर करता है। आजकल, हम दशमलव स्थितीय प्रणाली का उपयोग करने के अभ्यस्त हैं - संख्याएँ 10 अंकों का उपयोग करके लिखी जाती हैं। सबसे दाहिना अंक इकाइयों के लिए है, बाईं ओर - दहाई, इससे भी अधिक बाईं ओर - सैकड़ों, आदि।

उदाहरण के लिए: 1) Sexagesimal (प्राचीन बेबीलोन) - पहली स्थितीय संख्या प्रणाली। अब तक, समय को आधार 60 (1min = 60s, 1h = 60min) का उपयोग करके मापा गया है; 2) ग्रहणी संख्या प्रणाली (19 वीं शताब्दी में, संख्या 12 - "दर्जन" व्यापक हो गई: एक दिन में दो दर्जन घंटे होते हैं)। गिनती उंगलियों पर नहीं, उंगलियों के जोड़ों पर होती है। हाथ की प्रत्येक उंगली पर, अंगूठे को छोड़कर, 3 जोड़ होते हैं - कुल 12; 3) वर्तमान में, सबसे आम स्थितीय संख्या प्रणाली दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल और हेक्साडेसिमल हैं (व्यापक रूप से निम्न-स्तरीय प्रोग्रामिंग में और सामान्य रूप से कंप्यूटर प्रलेखन में उपयोग किया जाता है, क्योंकि आधुनिक कंप्यूटरों में मेमोरी की न्यूनतम इकाई 8-बिट बाइट है, जिन मूल्यों को दो हेक्साडेसिमल अंकों में आसानी से लिखा जाता है)।

किसी भी स्थितीय प्रणाली में, एक संख्या को बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए दिखाते हैं कि कैसे एक दशमलव संख्या को बहुपद के रूप में दर्शाया जाता है:

संख्या प्रणाली के प्रकार

संख्या प्रणाली के बारे में जानने के लिए सबसे महत्वपूर्ण बात इसका प्रकार है: योगात्मक या गुणक. पहले प्रकार में, प्रत्येक अंक का अपना अर्थ होता है, और संख्या को पढ़ने के लिए, आपको उपयोग किए गए अंकों के सभी मानों को जोड़ना होगा:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; सीसीएक्सआईएक्स = 100+100+10–1+10 = 219;

दूसरे प्रकार में, प्रत्येक अंक में हो सकता है विभिन्न अर्थआपके स्थान के आधार पर:

(चित्रलिपि क्रम में: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

यहां चरित्र "2" का दो बार उपयोग किया जाता है, और प्रत्येक मामले में इसने "2000" और "20" के विभिन्न मूल्यों को लिया।

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

एडिटिव ("एडिटिव") सिस्टम के लिए, आपको सभी अंक-प्रतीकों को उनके अर्थों के साथ जानना होगा (उनमें से 4-5 दस तक हैं), और रिकॉर्डिंग ऑर्डर। उदाहरण के लिए, लैटिन संकेतन में, यदि बड़ी संख्या से पहले छोटी संख्या लिखी जाती है, तो घटाव किया जाता है, और यदि बाद में, तो जोड़ (IV \u003d (5–1) \u003d 4; VI \u003d (5 + 1) \u003d 6)।

एक गुणन प्रणाली के लिए, आपको संख्याओं की छवि और उनके अर्थ के साथ-साथ संख्या प्रणाली के आधार को जानना होगा। आधार निर्धारित करना बहुत आसान है, आपको बस सिस्टम में महत्वपूर्ण अंकों की संख्या की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है। सीधे शब्दों में कहें, यह वह संख्या है जिससे संख्या का दूसरा अंक शुरू होता है। उदाहरण के लिए, हम संख्या 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 का उपयोग करते हैं। उनमें से ठीक 10 हैं, इसलिए हमारी संख्या प्रणाली का आधार भी 10 है, और संख्या प्रणाली है "दशमलव" कहा जाता है। उपरोक्त उदाहरण संख्या 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (सहायक 10, 100, 1000, 10000, आदि की गिनती नहीं है) का उपयोग करता है। 10 मुख्य अंक भी हैं, और संख्या प्रणाली दशमलव है।

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, कितनी संख्याएँ हैं, संख्या प्रणालियों के उतने ही आधार हो सकते हैं। लेकिन संख्या प्रणालियों के केवल सबसे सुविधाजनक आधारों का उपयोग किया जाता है। आपको क्यों लगता है कि सबसे सामान्य मानव संख्या प्रणाली का आधार 10 है? जी हां, ठीक इसलिए क्योंकि हमारे हाथों पर 10 उंगलियां होती हैं। "लेकिन एक हाथ पर केवल पाँच उंगलियाँ हैं," कुछ कहेंगे, और वे सही होंगे। मानव जाति का इतिहास पांच गुना संख्या प्रणालियों के उदाहरण जानता है। "और पैरों के साथ - बीस उंगलियां" - दूसरे कहेंगे, और वे भी बिल्कुल सही होंगे। मायाओं ने यही सोचा। आप इसे उनकी संख्या में भी देख सकते हैं।

"दर्जन" की अवधारणा बहुत दिलचस्प है। हर कोई जानता है कि यह 12 है, लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि ऐसा नंबर कहां से आया। अपने हाथों को देखें, या यों कहें कि एक तरफ। एक हाथ की सभी अंगुलियों पर कितने फलांग होते हैं, अंगूठा नहीं गिनते? यह सही है, बारह। लेकिन अंगूठेगिने हुए फलांगों को चिह्नित करने के लिए डिज़ाइन किया गया।

और दूसरी ओर यदि हम अपनी उंगलियों से पूर्ण दर्जनों की संख्या को हटा दें, तो हमें प्रसिद्ध सेक्जेसिमल बेबीलोनियाई प्रणाली मिल जाएगी।

विभिन्न सभ्यताओं में, वे अलग-अलग तरीके से गिने जाते थे, लेकिन अब भी भाषा में, संख्याओं के नामों और छवियों में पूरी तरह से अलग संख्या प्रणालियों के अवशेष खोजने के लिए संभव है जो कभी इन लोगों द्वारा उपयोग किए जाते थे।

तो फ्रेंच में एक बार एक विजिसिमल नंबर सिस्टम था, क्योंकि 80 फ्रेंच में "चार गुना बीस" जैसा लगता है।

रोमन, या उनके पूर्ववर्तियों ने एक बार पांच गुना प्रणाली का इस्तेमाल किया था, क्योंकि वी एक हथेली की एक छवि से ज्यादा कुछ नहीं है, और एक्स एक ही हाथों में से दो है।