यह स्पष्ट रूप से अर्थमिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है आर्थिक व्याख्याइसके पैरामीटर।

रेखीय प्रतिगमन को फॉर्म का समीकरण खोजने के लिए कम किया जाता है

या

समीकरण टाइप करें दिए गए पैरामीटर मानों की अनुमति देता है एक्सप्रभावी विशेषता के सैद्धांतिक मूल्य हैं, इसमें कारक के वास्तविक मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एक्स.

इमारत रेखीय प्रतिगमनइसके मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए नीचे आता है - एकतथा में।रेखीय प्रतिगमन पैरामीटर अनुमान विभिन्न तरीकों से पाया जा सकता है।

रेखीय प्रतिगमन मापदंडों का आकलन करने के लिए शास्त्रीय दृष्टिकोण पर आधारित है कम से कम वर्गों(एमएनके)।

एलएसएम ऐसे पैरामीटर अनुमान प्राप्त करने की अनुमति देता है एकतथा में,जिसके अंतर्गत परिणामी गुण के वास्तविक मानों के वर्ग विचलन का योग होता है (वाई)गणना से (सैद्धांतिक) न्यूनतम-न्यूनतम:

किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम पता लगाने के लिए, प्रत्येक पैरामीटर के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव की गणना करना आवश्यक है एकतथा बीऔर उन्हें शून्य के बराबर करें।

निरूपित एस के माध्यम से, फिर:

सूत्र को बदलने पर, हम मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए सामान्य समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं एकतथा में:

प्रसामान्य समीकरणों के निकाय (3.5) को या तो विधि से हल करना अनुक्रमिक बहिष्करणचर, या निर्धारकों की विधि से, हम मापदंडों के आवश्यक अनुमानों का पता लगाते हैं एकतथा में।

पैरामीटर मेंप्रतिगमन गुणांक कहा जाता है। इसका मान एक इकाई द्वारा कारक में परिवर्तन के साथ परिणाम में औसत परिवर्तन दर्शाता है।

प्रतिगमन समीकरण हमेशा रिश्ते की मजबूती के संकेतक के साथ पूरक होता है। रैखिक प्रतिगमन का उपयोग करते समय, रैखिक सहसंबंध गुणांक ऐसे संकेतक के रूप में कार्य करता है। सूत्र के विभिन्न संस्करण हैं रैखिक गुणांकसहसंबंध। उनमें से कुछ नीचे सूचीबद्ध हैं:

जैसा कि आप जानते हैं, रैखिक सहसंबंध गुणांक सीमा के भीतर है: -1 ≤ ≤ 1.

चयन की गुणवत्ता का आकलन करने के लिए रैखिक प्रकार्यवर्ग की गणना की जाती है

एक रैखिक सहसंबंध गुणांक कहा जाता है दृढ़ संकल्प गुणांक।दृढ़ संकल्प का गुणांक प्रभावी विशेषता के विचरण के अनुपात को दर्शाता है वाई,प्रतिगमन द्वारा समझाया गया, परिणामी विशेषता के कुल विचरण में:

तदनुसार, मान 1 - फैलाव के अनुपात को दर्शाता है वाई,मॉडल में ध्यान में नहीं रखे गए अन्य कारकों के प्रभाव के कारण।

आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

1. न्यूनतम वर्ग विधि का सार?

2. कितने चर जोड़ीदार प्रतिगमन प्रदान करते हैं?

3. कौन सा गुणांक परिवर्तनों के बीच संबंध की जकड़न को निर्धारित करता है?

4. निर्धारण गुणांक किस सीमा के भीतर निर्धारित किया जाता है?

5. सहसंबंध-प्रतिगमन विश्लेषण में पैरामीटर बी का अनुमान?

1. क्रिस्टोफर डौघर्टी। अर्थमिति का परिचय। - एम .: इन्फ्रा - एम, 2001 - 402 पी।

2. एस.ए. बोरोडिच। अर्थमिति। मिन्स्क एलएलसी "न्यू नॉलेज" 2001।

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4. आई.आई. एलिसेवा। अर्थमिति। - एम .: "वित्त और सांख्यिकी", 2002

5. मासिक सूचना एवं विश्लेषणात्मक पत्रिका।

गैर रेखीय आर्थिक मॉडल। अरेखीय प्रतिगमन मॉडल। परिवर्तनीय रूपांतरण।

गैर रेखीय आर्थिक मॉडल..

परिवर्तनीय रूपांतरण।

लोच गुणांक।

यदि आर्थिक घटनाओं के बीच गैर-रैखिक संबंध हैं, तो उन्हें संबंधित गैर-रैखिक कार्यों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है: उदाहरण के लिए, एक समबाहु अतिपरवलय , दूसरी डिग्री पैराबोलस और आदि।

गैर-रैखिक प्रतिगमन के दो वर्ग हैं:

1. प्रतिगमन जो विश्लेषण में शामिल व्याख्यात्मक चर के संबंध में गैर-रैखिक हैं, लेकिन अनुमानित मापदंडों के संबंध में रैखिक हैं, उदाहरण के लिए:

विभिन्न कोटि के बहुपद - , ;

समबाहु अतिशयोक्ति - ;

अर्धलघुगणकीय फलन - .

2. प्रतिगमन जो अनुमानित मापदंडों में गैर-रैखिक हैं, उदाहरण के लिए:

शक्ति - ;

सांकेतिक -;

घातीय - .

परिणामी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के वर्ग विचलन का कुल योग परऔसत मूल्य से कई कारकों के प्रभाव के कारण होता है। हम सशर्त कारणों के पूरे सेट को दो समूहों में विभाजित करते हैं: कारक x का अध्ययन कियातथा अन्य कारक।

यदि कारक परिणाम को प्रभावित नहीं करता है, तो ग्राफ पर प्रतिगमन रेखा अक्ष के समानांतर होती है ओहतथा

फिर परिणामी विशेषता का संपूर्ण फैलाव अन्य कारकों के प्रभाव के कारण होता है और चुकता विचलन का कुल योग अवशिष्ट के साथ मेल खाता है। यदि अन्य कारक परिणाम को प्रभावित नहीं करते हैं, तो तुम बंध गएसाथ एक्सकार्यात्मक रूप से, और वर्गों का अवशिष्ट योग शून्य है। इस मामले में, प्रतिगमन द्वारा समझाया गया वर्ग विचलन का योग वर्गों के कुल योग के समान है।

चूंकि सहसंबंध क्षेत्र के सभी बिंदु प्रतिगमन रेखा पर स्थित नहीं होते हैं, उनका बिखराव हमेशा कारक के प्रभाव के कारण होता है एक्स, यानी प्रतिगमन परपर एक्स,और अन्य कारणों की कार्रवाई के कारण (अस्पष्ट भिन्नता)। पूर्वानुमान के लिए प्रतिगमन रेखा की उपयुक्तता विशेषता की कुल भिन्नता के किस भाग पर निर्भर करती है परसमझाया भिन्नता के लिए खाते

जाहिर है, अगर प्रतिगमन के कारण वर्ग विचलन का योग वर्गों के अवशिष्ट योग से अधिक है, तो प्रतिगमन समीकरण सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है और कारक एक्सपरिणाम पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है। वाई

, यानी सुविधा की स्वतंत्र भिन्नता की स्वतंत्रता की संख्या के साथ। स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या जनसंख्या n की इकाइयों की संख्या और उससे निर्धारित स्थिरांक की संख्या से संबंधित है। अध्ययन के तहत समस्या के संबंध में, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से पता चलता है कि कितने स्वतंत्र विचलन हैं पी

समग्र रूप से प्रतिगमन समीकरण के महत्व का आकलन की सहायता से दिया जाता है एफ- फिशर की कसौटी। इस मामले में, एक अशक्त परिकल्पना सामने रखी जाती है कि प्रतिगमन गुणांक शून्य के बराबर है, अर्थात ख = 0, और इसलिए कारक एक्सपरिणाम को प्रभावित नहीं करता वाई

एफ-मानदंड की सीधी गणना विचरण के विश्लेषण से पहले होती है। केन्द्रीय स्थानयह चर के वर्ग विचलन के कुल योग का विस्तार लेता है परऔसत मूल्य से परदो भागों में - "व्याख्या" और "अस्पष्टीकृत":

- चुकता विचलनों का कुल योग;

- प्रतिगमन द्वारा समझाया गया वर्ग विचलन का योग;

विचलन के वर्गों का अवशिष्ट योग है।

वर्ग विचलन का कोई भी योग स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से संबंधित है , यानी सुविधा की स्वतंत्र भिन्नता की स्वतंत्रता की संख्या के साथ। स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या जनसंख्या इकाइयों की संख्या से संबंधित है एनऔर इससे निर्धारित स्थिरांकों की संख्या के साथ। अध्ययन के तहत समस्या के संबंध में, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से पता चलता है कि कितने स्वतंत्र विचलन हैं पीदिए गए वर्गों का योग बनाने के लिए संभव है।

स्वतंत्रता की डिग्री प्रति फैलावडी.

एफ-अनुपात (एफ-मानदंड):

यदि शून्य परिकल्पना सत्य है, तब कारक और अवशिष्ट प्रसरण एक दूसरे से भिन्न नहीं होते हैं। एच 0 के लिए, एक खंडन आवश्यक है ताकि कारक विचरण अवशिष्ट से कई गुना अधिक हो। अंग्रेजी सांख्यिकीविद् स्नेडेकोर ने तालिकाओं का विकास किया महत्वपूर्ण मूल्य एफभौतिकता के विभिन्न स्तरों पर संबंध शून्य परिकल्पनाऔर स्वतंत्रता की विभिन्न डिग्री। तालिका मान एफ-मानदंड है अधिकतम मूल्यभिन्नताओं का अनुपात, जो तब हो सकता है जब वे शून्य परिकल्पना की उपस्थिति की संभाव्यता के दिए गए स्तर के लिए बेतरतीब ढंग से विचलन करते हैं। परिकलित मूल्य एफ-संबंध को विश्वसनीय माना जाता है यदि ओ सारणीबद्ध से अधिक है।

इस मामले में, सुविधाओं के संबंध की अनुपस्थिति के बारे में अशक्त परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है और इस संबंध के महत्व के बारे में एक निष्कर्ष निकाला जाता है: एफ तथ्य> एफ टेबलएच0 अस्वीकृत है।

यदि मान तालिका से कम है एफ तथ्य ‹, एफ टेबल, तो अशक्त परिकल्पना की संभावना एक दिए गए स्तर से अधिक है और रिश्ते की उपस्थिति के बारे में गलत निष्कर्ष निकालने के गंभीर जोखिम के बिना इसे अस्वीकार नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, प्रतिगमन समीकरण को सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन माना जाता है। नहीं विचलित नहीं होता है।

प्रतिगमन गुणांक की मानक त्रुटि

प्रतिगमन गुणांक के महत्व का आकलन करने के लिए, इसके मूल्य की तुलना इसके साथ की जाती है मानक त्रुटि, अर्थात्, निर्धारित है असल मूल्य टी-छात्र की कसौटी: जिसके बाद महत्व के एक निश्चित स्तर पर सारणीबद्ध मूल्य और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के साथ तुलना की जाती है ( एन- 2).

पैरामीटर मानक त्रुटि एक:

त्रुटि के परिमाण के आधार पर रैखिक सहसंबंध गुणांक के महत्व की जाँच की जाती है सहसंबंध गुणांक आर:

एक सुविधा का कुल विचरण एक्स:

एकाधिक रेखीय प्रतिगमन

प्रतिरूप निर्माण

एकाधिक प्रतिगमनदो और के साथ परिणामी विशेषता का प्रतिगमन है एक बड़ी संख्या मेंकारक, यानी दृश्य मॉडल

प्रतिगमन मॉडलिंग में एक अच्छा परिणाम दे सकता है यदि अध्ययन की वस्तु को प्रभावित करने वाले अन्य कारकों के प्रभाव को उपेक्षित किया जा सकता है। व्यक्तिगत आर्थिक चर के व्यवहार को नियंत्रित नहीं किया जा सकता है, अर्थात अध्ययन के तहत एक कारक के प्रभाव का आकलन करने के लिए अन्य सभी स्थितियों की समानता सुनिश्चित करना संभव नहीं है। इस मामले में, आपको उन्हें मॉडल में पेश करके अन्य कारकों के प्रभाव की पहचान करने की कोशिश करनी चाहिए, यानी एक समीकरण बनाना एकाधिक प्रतिगमन: वाई = ए + बी 1 एक्स 1 + बी 2 +… + बी पी एक्स पी + .

एकाधिक प्रतिगमन का मुख्य लक्ष्य बड़ी संख्या में कारकों के साथ एक मॉडल का निर्माण करना है, जबकि व्यक्तिगत रूप से उनमें से प्रत्येक के प्रभाव का निर्धारण करते हुए, साथ ही साथ मॉडल किए गए संकेतक पर उनके संचयी प्रभाव का निर्धारण करना है। मॉडल के विनिर्देश में प्रश्नों के दो क्षेत्र शामिल हैं: कारकों का चयन और प्रतिगमन समीकरण के प्रकार का चुनाव

इसके कई अनुप्रयोग हैं, क्योंकि यह अन्य सरल कार्यों द्वारा दिए गए फ़ंक्शन के अनुमानित प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है। एलएसएम अवलोकनों को संसाधित करने में बेहद उपयोगी हो सकता है, और यह यादृच्छिक त्रुटियों वाले अन्य के मापन के परिणामों से कुछ मात्राओं का अनुमान लगाने के लिए सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। इस लेख में, आप सीखेंगे कि एक्सेल में कम से कम वर्गों की गणना कैसे करें।

एक विशिष्ट उदाहरण पर समस्या का विवरण

मान लीजिए कि दो संकेतक X और Y हैं। इसके अलावा, Y X पर निर्भर करता है। चूंकि प्रतिगमन विश्लेषण के दृष्टिकोण से OLS हमारे लिए रुचि रखता है (एक्सेल में, इसके तरीकों को अंतर्निहित कार्यों का उपयोग करके लागू किया जाता है), हमें तुरंत आगे बढ़ना चाहिए एक विशिष्ट समस्या पर विचार करने के लिए।

तो, X को किराने की दुकान का विक्रय क्षेत्र होने दें, जिसे मापा गया है वर्ग मीटर, और Y वार्षिक कारोबार है, जिसे लाखों रूबल में परिभाषित किया गया है।

यह अनुमान लगाना आवश्यक है कि स्टोर में एक या दूसरे रिटेल स्पेस होने पर टर्नओवर (Y) क्या होगा। जाहिर है, फ़ंक्शन वाई = एफ (एक्स) बढ़ रहा है, क्योंकि हायपरमार्केट स्टॉल से ज्यादा सामान बेचता है।

भविष्यवाणी के लिए प्रयुक्त प्रारंभिक डेटा की शुद्धता के बारे में कुछ शब्द

मान लें कि हमारे पास एन स्टोर्स के डेटा के साथ एक टेबल बनाया गया है।

गणितीय आँकड़ों के अनुसार, यदि कम से कम 5-6 वस्तुओं के डेटा की जाँच की जाए तो परिणाम कमोबेश सही होंगे। साथ ही, "विषम" परिणामों का उपयोग नहीं किया जा सकता है। विशेष रूप से, एक संभ्रांत छोटे बुटीक का टर्नओवर बड़े के टर्नओवर से कई गुना अधिक हो सकता है दुकानों"मास्मार्केट" वर्ग।

विधि का सार

तालिका डेटा को कार्तीय तल पर बिंदु M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। अब समस्या का समाधान एक अनुमानित फ़ंक्शन y = f (x) के चयन के लिए कम हो जाएगा, जिसका एक ग्राफ जितना संभव हो सके बिंदु M 1, M 2, .. M n के पास से गुजरता है।

बेशक, आप बहुपद का उपयोग कर सकते हैं उच्च डिग्री, लेकिन यह विकल्प न केवल लागू करना मुश्किल है, बल्कि गलत भी है, क्योंकि यह उस मुख्य प्रवृत्ति को प्रतिबिंबित नहीं करेगा जिसका पता लगाने की आवश्यकता है। सबसे उचित समाधान एक सीधी रेखा y = ax + b की खोज करना है, जो प्रायोगिक डेटा का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है, और अधिक सटीक रूप से, गुणांक - a और b।

सटीकता स्कोर

किसी भी अनुमान के लिए, इसकी सटीकता का आकलन विशेष महत्व रखता है। बिंदु x i के लिए कार्यात्मक और प्रायोगिक मानों के बीच e i अंतर (विचलन) को निरूपित करें, अर्थात e i = y i - f (x i)।

जाहिर है, सन्निकटन की सटीकता का आकलन करने के लिए, आप विचलन के योग का उपयोग कर सकते हैं, अर्थात, Y पर X की निर्भरता के अनुमानित प्रतिनिधित्व के लिए एक सीधी रेखा का चयन करते समय, वरीयता उसे दी जानी चाहिए जिसका सबसे छोटा मूल्य हो योग ई मैं विचाराधीन सभी बिंदुओं पर। हालांकि, सब कुछ इतना सरल नहीं है, क्योंकि सकारात्मक विचलन के साथ-साथ व्यावहारिक रूप से नकारात्मक भी होंगे।

आप विचलन मॉड्यूल या उनके वर्गों का उपयोग करके समस्या का समाधान कर सकते हैं। बाद की विधि सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। सहित कई क्षेत्रों में इसका उपयोग किया जाता है प्रतिगमन विश्लेषण(एक्सेल में, इसका कार्यान्वयन दो अंतर्निहित कार्यों का उपयोग करके किया जाता है), और लंबे समय से इसकी प्रभावशीलता साबित हुई है।

कम से कम वर्ग विधि

एक्सेल में, जैसा कि आप जानते हैं, एक अंतर्निहित ऑटोसम फ़ंक्शन है जो आपको चयनित श्रेणी में स्थित सभी मानों के मानों की गणना करने की अनुमति देता है। इस प्रकार, कुछ भी हमें अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने से नहीं रोकेगा (ई 1 2 + ई 2 2 + ई 3 2 + ... ई एन 2)।

गणितीय संकेतन में, ऐसा दिखता है:

चूंकि निर्णय शुरू में एक सीधी रेखा का उपयोग करके अनुमानित किया गया था, हमारे पास:

इस प्रकार, एक सीधी रेखा खोजने का कार्य जो एक्स और वाई के बीच एक विशिष्ट संबंध का सबसे अच्छा वर्णन करता है, दो चर के न्यूनतम फ़ंक्शन की गणना करने के लिए:

इसके लिए नए चर ए और बी के संबंध में शून्य आंशिक डेरिवेटिव के बराबर होने की आवश्यकता है, और फॉर्म के 2 अज्ञात के साथ दो समीकरणों से मिलकर एक आदिम प्रणाली को हल करना है:

सरल परिवर्तनों के बाद, 2 से विभाजित करने और योगों में हेरफेर करने सहित, हम प्राप्त करते हैं:

इसे हल करते हुए, उदाहरण के लिए, क्रैमर की विधि द्वारा, हम निश्चित गुणांक a * और b * के साथ एक स्थिर बिंदु प्राप्त करते हैं। यह न्यूनतम है, यानी यह अनुमान लगाने के लिए कि एक निश्चित क्षेत्र के लिए स्टोर का टर्नओवर क्या होगा, सीधी रेखा y = a * x + b * उपयुक्त है, जो प्रश्न में उदाहरण के लिए एक प्रतिगमन मॉडल है। बेशक, यह आपको सटीक परिणाम खोजने की अनुमति नहीं देगा, लेकिन इससे आपको यह अंदाजा लगाने में मदद मिलेगी कि क्या किसी विशेष क्षेत्र के लिए क्रेडिट पर स्टोर खरीदना बंद हो जाएगा।

एक्सेल में कम से कम वर्ग विधि कैसे लागू करें

एक्सेल में कम से कम वर्गों के मान की गणना के लिए एक फ़ंक्शन है। इसका निम्न रूप है: TREND (ज्ञात Y मान; ज्ञात X मान; नए X मान; स्थिर)। आइए एक्सेल में ओएलएस की गणना के लिए सूत्र को हमारी तालिका में लागू करें।

ऐसा करने के लिए, उस सेल में जिसमें एक्सेल में कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके गणना का परिणाम प्रदर्शित किया जाना चाहिए, "=" चिह्न दर्ज करें और "ट्रेंड" फ़ंक्शन का चयन करें। खुलने वाली विंडो में, हाइलाइट करते हुए उपयुक्त फ़ील्ड भरें:

• वाई के लिए ज्ञात मूल्यों की सीमा (इस मामले में टर्नओवर के लिए डेटा);
• रेंज x 1 , …x n , यानी रिटेल स्पेस का आकार;
• दोनों प्रसिद्ध और अज्ञात मूल्य x, जिसके लिए आपको टर्नओवर के आकार का पता लगाने की आवश्यकता है (वर्कशीट पर उनके स्थान के बारे में जानकारी के लिए, नीचे देखें)।

इसके अलावा, सूत्र में एक तार्किक चर "कॉन्स्ट" है। यदि आप इसके अनुरूप क्षेत्र में 1 दर्ज करते हैं, तो इसका मतलब यह होगा कि बी \u003d 0 मानकर गणना की जानी चाहिए।

यदि आपको एक से अधिक x मान के लिए पूर्वानुमान जानने की आवश्यकता है, तो सूत्र दर्ज करने के बाद, आपको "एंटर" नहीं दबाना चाहिए, लेकिन आपको संयोजन "Shift" + "Control" + "Enter" ("Enter") टाइप करना होगा ) कीबोर्ड पर।

कुछ सुविधाएं

प्रतिगमन विश्लेषण डमी के लिए भी सुलभ हो सकता है। अज्ञात चरों की एक सरणी के मान की भविष्यवाणी करने के लिए एक्सेल फॉर्मूला - "ट्रेंड" - का उपयोग उन लोगों द्वारा भी किया जा सकता है जिन्होंने कभी कम से कम वर्ग विधि के बारे में नहीं सुना है। इसके काम की कुछ विशेषताओं को जानना ही काफी है। विशेष रूप से:

• यदि हम चर y के ज्ञात मानों की श्रेणी को एक पंक्ति या स्तंभ में व्यवस्थित करें, तो प्रत्येक पंक्ति (स्तंभ) के साथ ज्ञात मूल्य x को प्रोग्राम द्वारा एक अलग चर के रूप में माना जाएगा।
• यदि TREND विंडो में ज्ञात x के साथ सीमा निर्दिष्ट नहीं है, तो एक्सेल में फ़ंक्शन का उपयोग करने के मामले में, प्रोग्राम इसे पूर्णांक से मिलकर एक सरणी के रूप में मानेगा, जिसकी संख्या दिए गए मानों के साथ सीमा से मेल खाती है चर y का।
• "अनुमानित" मानों की एक सरणी को आउटपुट करने के लिए, प्रवृत्ति अभिव्यक्ति को एक सरणी सूत्र के रूप में दर्ज किया जाना चाहिए।
• यदि कोई नया x मान निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो TREND फ़ंक्शन उन्हें ज्ञात के बराबर मानता है। यदि वे निर्दिष्ट नहीं हैं, तो सरणी 1 को तर्क के रूप में लिया जाता है; 2; 3; 4;…, जो पहले से दिए गए पैरामीटर y के साथ सीमा के अनुरूप है।
• नए x मान वाली श्रेणी में समान या शामिल होना चाहिए अधिकपंक्तियों या स्तंभों, दिए गए y मानों वाली श्रेणी के रूप में। दूसरे शब्दों में, यह स्वतंत्र चर के अनुपात में होना चाहिए।
• ज्ञात x मान वाले सरणी में एकाधिक चर हो सकते हैं। हालाँकि, यदि हम केवल एक के बारे में बात कर रहे हैं, तो यह आवश्यक है कि x और y के दिए गए मान वाली श्रेणियाँ समानुपाती हों। कई चर के मामले में, यह आवश्यक है कि दिए गए y मान वाली सीमा एक स्तंभ या एक पंक्ति में फिट हो।

पूर्वानुमान समारोह

यह कई कार्यों का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है। उनमें से एक को "भविष्यवाणी" कहा जाता है। यह TREND के समान है, अर्थात यह कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके गणना का परिणाम देता है। हालाँकि, केवल एक X के लिए, जिसके लिए Y का मान अज्ञात है।

अब आप डमी के लिए एक्सेल फ़ार्मुलों को जानते हैं जो आपको एक रेखीय प्रवृत्ति के अनुसार एक संकेतक के भविष्य के मूल्य के मूल्य की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है।

• ट्यूटोरियल

परिचय

मैं एक कंप्यूटर प्रोग्रामर हूं. मैंने अपने करियर में सबसे बड़ी छलांग तब लगाई जब मैंने कहना सीखा: "मुझे कुछ भी समझ में नहीं आता!"अब मुझे विज्ञान के प्रकाश को यह बताने में कोई शर्म नहीं है कि वह मुझे व्याख्यान दे रहा है, कि मुझे समझ नहीं आ रहा है कि यह प्रकाशमान मुझसे क्या बात कर रहा है। और यह बहुत कठिन है। हाँ, यह स्वीकार करना कठिन और शर्मनाक है कि आप नहीं जानते। कौन यह स्वीकार करना पसंद करता है कि वह किसी चीज़ की मूल बातें नहीं जानता है। अपने पेशे के आधार पर, मुझे बड़ी संख्या में प्रस्तुतियों और व्याख्यानों में भाग लेना पड़ता है, जहाँ, मैं स्वीकार करता हूँ, अधिकांश मामलों में मुझे नींद आती है, क्योंकि मुझे कुछ भी समझ में नहीं आता है। और मुझे समझ नहीं आता क्योंकि विज्ञान की वर्तमान स्थिति की बहुत बड़ी समस्या गणित में निहित है। यह मानता है कि सभी छात्र गणित के बिल्कुल सभी क्षेत्रों से परिचित हैं (जो बेतुका है)। यह स्वीकार करना कि आप नहीं जानते कि डेरिवेटिव क्या है (कि यह थोड़ी देर बाद है) शर्म की बात है।

लेकिन मैंने यह कहना सीख लिया है कि मुझे नहीं पता कि गुणा क्या है। हां, मुझे नहीं पता कि लाई अलजेब्रा के ऊपर सबलजेब्रा क्या होता है। हां, मुझे नहीं पता कि आपको जीवन में क्यों चाहिए द्विघातीय समीकरण. वैसे, अगर आप सुनिश्चित हैं कि आप जानते हैं, तो हमारे पास बात करने के लिए कुछ है! गणित ट्रिक्स की एक श्रृंखला है। गणितज्ञ जनता को भ्रमित करने और डराने की कोशिश करते हैं; जहां कोई भ्रम नहीं है, कोई प्रतिष्ठा नहीं है, कोई अधिकार नहीं है। हां, संभव सबसे अमूर्त भाषा में बोलना प्रतिष्ठित है, जो अपने आप में पूरी बकवास है।

क्या आप जानते हैं कि व्युत्पन्न क्या है? सबसे अधिक संभावना है कि आप मुझे अंतर संबंध की सीमा के बारे में बताएंगे। सेंट पीटर्सबर्ग स्टेट यूनिवर्सिटी में गणित के पहले वर्ष में, विक्टर पेट्रोविच खाविन मी परिभाषितबिंदु पर समारोह के टेलर श्रृंखला की पहली अवधि के गुणांक के रूप में व्युत्पन्न (यह डेरिवेटिव के बिना टेलर श्रृंखला निर्धारित करने के लिए एक अलग जिम्नास्टिक था)। मैं इस परिभाषा पर लंबे समय तक हँसा, जब तक कि मैं अंत में समझ नहीं पाया कि यह किस बारे में है। व्युत्पन्न केवल एक उपाय से ज्यादा कुछ नहीं है कि हम जिस फ़ंक्शन को अलग कर रहे हैं वह फ़ंक्शन y=x, y=x^2, y=x^3 के समान है।

मुझे अब छात्रों को व्याख्यान देने का सम्मान मिला है डरअंक शास्त्र। यदि आप गणित से डरते हैं - हम रास्ते में हैं। जैसे ही आप किसी पाठ को पढ़ने की कोशिश करते हैं और आपको लगता है कि यह बहुत जटिल है, तो जान लें कि यह खराब तरीके से लिखा गया है। मेरा तर्क है कि गणित का एक भी क्षेत्र ऐसा नहीं है जिसके बारे में सटीकता खोए बिना "उंगलियों पर" नहीं बोला जा सकता है।

निकट भविष्य के लिए चुनौती: मैंने अपने छात्रों को यह समझने का निर्देश दिया कि रैखिक-द्विघात नियंत्रक क्या होता है। शरमाओ मत, अपने जीवन के तीन मिनट बर्बाद करो, लिंक का पालन करो। अगर आपको कुछ समझ नहीं आ रहा है तो हम रास्ते में हैं। मुझे (पेशेवर गणितज्ञ-प्रोग्रामर) भी कुछ समझ नहीं आया। और मैं आपको विश्वास दिलाता हूं, इसे "उंगलियों पर" हल किया जा सकता है। पर इस पलमुझे नहीं पता कि यह क्या है, लेकिन मैं आपको विश्वास दिलाता हूं कि हम इसका पता लगाने में सक्षम होंगे।

इसलिए, पहला व्याख्यान जो मैं अपने छात्रों को देने जा रहा हूं, जब वे मेरे पास भागते हुए आते हैं, इस शब्द के साथ कि रैखिक-द्विघात नियंत्रक एक भयानक बग है जिसे आप अपने जीवन में कभी भी मास्टर नहीं करेंगे कम से कम वर्ग विधियाँ. क्या आप तय कर सकते हैं? रेखीय समीकरण? यदि आप यह पाठ पढ़ रहे हैं, तो शायद नहीं।

तो, दो बिंदु (x0, y0), (x1, y1), उदाहरण के लिए, (1,1) और (3,2) दिए गए हैं, कार्य इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण को ढूंढना है:

चित्रण

इस सीधी रेखा में निम्न जैसा समीकरण होना चाहिए:

यहाँ अल्फा और बीटा हमारे लिए अज्ञात हैं, लेकिन इस रेखा के दो बिंदु ज्ञात हैं:

आप इस समीकरण को मैट्रिक्स रूप में लिख सकते हैं:

यहाँ हमें एक गेय विषयांतर करना चाहिए: एक मैट्रिक्स क्या है? एक मैट्रिक्स और कुछ नहीं बल्कि एक द्वि-आयामी सरणी है। यह डाटा को स्टोर करने का एक तरीका है, इसमें और कोई वैल्यू नहीं देनी चाहिए। यह हम पर निर्भर करता है कि किसी निश्चित मैट्रिक्स की ठीक-ठीक व्याख्या कैसे की जाए। समय-समय पर, मैं इसे एक रेखीय मानचित्रण के रूप में, समय-समय पर द्विघात रूप में, और कभी-कभी केवल वैक्टर के एक सेट के रूप में व्याख्या करूँगा। यह सब संदर्भ में स्पष्ट किया जाएगा।

आइए विशिष्ट मैट्रिसेस को उनके प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व से बदलें:

तब (अल्फा, बीटा) आसानी से पाया जा सकता है:

अधिक विशेष रूप से हमारे पिछले डेटा के लिए:

जो बिंदुओं (1,1) और (3,2) से गुजरने वाली सीधी रेखा के निम्नलिखित समीकरण की ओर ले जाता है:

ठीक है, यहाँ सब कुछ स्पष्ट है। और एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं जिससे होकर गुजरती है तीनअंक: (x0,y0), (x1,y1) और (x2,y2):

ओह-ओह-ओह, लेकिन हमारे पास दो अज्ञात के लिए तीन समीकरण हैं! मानक गणितज्ञ कहेंगे कि कोई हल नहीं है। प्रोग्रामर क्या कहेगा? और वह पहले समीकरणों की पिछली प्रणाली को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखेंगे:

हमारे मामले में वैक्टर मैं, जे, बीत्रि-आयामी, इसलिए, (में सामान्य मामला) इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। कोई भी सदिश (alpha\*i + beta\*j) सदिशों (i, j) द्वारा फैलाए गए समतल में स्थित है। यदि b इस तल से संबंधित नहीं है, तो कोई हल नहीं है (समीकरण में समानता प्राप्त नहीं की जा सकती)। क्या करें? आइए एक समझौता देखें। द्वारा निरूपित करते हैं ई (अल्फा, बीटा)कैसे वास्तव में हमने समानता हासिल नहीं की:

और हम इस त्रुटि को कम करने का प्रयास करेंगे:

चौक क्यों?

हम न केवल मानदंड के न्यूनतम के लिए देख रहे हैं, बल्कि मानक के न्यूनतम वर्ग के लिए भी देख रहे हैं। क्यों? न्यूनतम बिंदु स्वयं मेल खाता है, और वर्ग एक सहज कार्य (तर्कों का एक द्विघात कार्य (अल्फा, बीटा)) देता है, जबकि केवल लंबाई एक शंकु के रूप में एक कार्य देती है, जो न्यूनतम बिंदु पर गैर-विभेदी है। ब्र. वर्ग अधिक सुविधाजनक है।

जाहिर है, वेक्टर होने पर त्रुटि कम हो जाती है इवैक्टर द्वारा फैलाए गए विमान के लिए ऑर्थोगोनल मैंतथा जे.

चित्रण

दूसरे शब्दों में: हम एक ऐसी रेखा की तलाश कर रहे हैं, जिसमें इस रेखा के सभी बिंदुओं से दूरियों की वर्ग लंबाई का योग न्यूनतम हो:

अद्यतन: यहां मेरे पास एक जंब है, लाइन की दूरी लंबवत रूप से मापी जानी चाहिए, न कि ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन। यह टिप्पणीकार सही है।

चित्रण

पूरी तरह से अलग शब्दों में (सावधानीपूर्वक, खराब औपचारिक रूप से, लेकिन यह उंगलियों पर स्पष्ट होना चाहिए): हम सभी बिंदुओं के बीच सभी संभव रेखाएं लेते हैं और सभी के बीच औसत रेखा की तलाश करते हैं:

चित्रण

उंगलियों पर एक और स्पष्टीकरण: हम सभी डेटा बिंदुओं (यहां हमारे पास तीन हैं) और जिस रेखा की हम तलाश कर रहे हैं, और संतुलन की स्थिति की रेखा के बीच एक वसंत संलग्न करते हैं, वही है जो हम खोज रहे हैं।

द्विघात रूप न्यूनतम

दूसरे शब्दों में, हम एक सदिश x=(alpha, beta) की तलाश कर रहे हैं जैसे कि:

मैं आपको याद दिलाता हूं कि यह सदिश x=(alpha, beta) न्यूनतम है द्विघात फंक्शन||ई(अल्फा, बीटा)||^2:

यहां यह याद रखना उपयोगी है कि मैट्रिक्स की व्याख्या द्विघात रूप के साथ-साथ की जा सकती है, उदाहरण के लिए, पहचान मैट्रिक्स ((1,0),(0,1)) की व्याख्या x^2 + y के एक फ़ंक्शन के रूप में की जा सकती है ^2:

द्विघात रूप

यह सब जिम्नास्टिक रैखिक प्रतिगमन के रूप में जाना जाता है।

डिरिचलेट सीमा शर्त के साथ लाप्लास समीकरण

मूल प्रतिबद्धता उपलब्ध है। बाहरी निर्भरता को कम करने के लिए, मैंने अपने सॉफ़्टवेयर रेंडरर का कोड लिया, जो पहले से ही हैबे पर था। समाधान के लिए रैखिक प्रणालीमैं ओपनएनएल का उपयोग करता हूं, यह एक महान सॉल्वर है, लेकिन इसे स्थापित करना वास्तव में कठिन है: आपको अपने प्रोजेक्ट फ़ोल्डर में दो फाइलों (.h+.c) की प्रतिलिपि बनाने की आवश्यकता है। सभी चौरसाई निम्नलिखित कोड द्वारा किया जाता है:

के लिए (इंट डी = 0; डी<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; iऔर चेहरा = चेहरे [i]; के लिए (इंट जे = 0; जे<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y और Z निर्देशांक वियोज्य हैं, मैं उन्हें अलग से चिकना करता हूं। यही है, मैं रैखिक समीकरणों की तीन प्रणालियों को हल करता हूं, जिनमें से प्रत्येक में मेरे मॉडल में वर्टिकल की संख्या के समान चर हैं। मैट्रिक्स ए की पहली एन पंक्तियों में प्रति पंक्ति केवल एक 1 है, और वेक्टर बी की पहली एन पंक्तियों में मूल मॉडल निर्देशांक हैं। यही है, मैं नई शीर्ष स्थिति और पुरानी शीर्ष स्थिति के बीच स्प्रिंग-टाई करता हूं - नए को पुराने से बहुत दूर नहीं होना चाहिए।

मैट्रिक्स A की सभी बाद की पंक्तियों (faces.size()*3 = ग्रिड में सभी त्रिकोणों के किनारों की संख्या) में 1 की एक घटना और -1 की एक घटना होती है, जबकि वेक्टर b में शून्य घटक विपरीत होते हैं। इसका मतलब है कि मैंने हमारे त्रिकोणीय जाल के प्रत्येक किनारे पर एक स्प्रिंग लगाया है: सभी किनारे अपने शुरुआती और अंत बिंदु के समान शीर्ष प्राप्त करने का प्रयास करते हैं।

एक बार फिर: सभी शीर्ष चर हैं, और वे अपनी मूल स्थिति से दूर विचलित नहीं हो सकते, लेकिन साथ ही वे एक दूसरे के समान बनने का प्रयास करते हैं।

यहाँ परिणाम है:

सब कुछ ठीक हो जाएगा, मॉडल वास्तव में चिकना है, लेकिन यह अपने मूल किनारे से दूर चला गया। आइए कोड को थोड़ा बदलें:

के लिए (int मैं = 0; मैं<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

हमारे मैट्रिक्स ए में, किनारे पर मौजूद शीर्षों के लिए, मैं श्रेणी v_i = verts[i][d] से कोई पंक्ति नहीं जोड़ता, लेकिन 1000*v_i = 1000*verts[i][d]। यह क्या बदलता है? और यह त्रुटि के हमारे द्विघात रूप को बदल देता है। अब किनारे पर ऊपर से एक भी विचलन पहले की तरह एक इकाई नहीं, बल्कि 1000 * 1000 इकाइयों का खर्च आएगा। यही है, हमने चरम शिखर पर एक मजबूत वसंत लटका दिया, समाधान दूसरों को अधिक मजबूती से फैलाना पसंद करता है। यहाँ परिणाम है:

आइए शीर्षों के बीच के झरनों की शक्ति को दोगुना करें:
एनएल गुणांक (चेहरा [जे], 2); एनएल गुणांक (चेहरा [(जे + 1)% 3], -2);

यह तार्किक है कि सतह चिकनी हो गई है:

और अब सौ गुना ज्यादा मजबूत:

यह क्या है? कल्पना कीजिए कि हमने तार के छल्ले को साबुन के पानी में डुबाया है। नतीजतन, परिणामी साबुन फिल्म कम से कम वक्रता रखने की कोशिश करेगी, उसी सीमा को छूती है - हमारे तार की अंगूठी। सीमा तय करने और अंदर चिकनी सतह मांगने से हमें यही मिला। बधाई हो, हमने डिरिचलेट सीमा स्थितियों के साथ लाप्लास समीकरण को अभी हल किया है। ठीक लगता है? लेकिन वास्तव में, हल करने के लिए रैखिक समीकरणों की सिर्फ एक प्रणाली।

पोइसन समीकरण

मान लें कि मेरे पास ऐसी छवि है:

सब अच्छे हैं, पर मुझे कुर्सी अच्छी नहीं लगती।

मैंने चित्र को आधा काट दिया:

और मैं अपने हाथों से एक कुर्सी उठाऊंगा:

फिर मैं तस्वीर के बाईं ओर मुखौटा में सफेद सब कुछ खींचूंगा, और साथ ही मैं पूरी तस्वीर में कहूंगा कि दो पड़ोसी पिक्सेल के बीच का अंतर दो पड़ोसी पिक्सेल के बीच के अंतर के बराबर होना चाहिए सही छवि:

के लिए (int मैं = 0; मैं

यहाँ परिणाम है:

कोड और चित्र उपलब्ध हैं

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