विभिन्न तरीकों से उच्च डिग्री के समीकरणों का समाधान। बीजगणित पाठ "उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीके

बीजीय समीकरणों को हल करते समय, बहुपद का गुणनखंड करना अक्सर आवश्यक होता है। एक बहुपद का गुणनखंड करना दो या दो से अधिक बहुपदों के गुणनफल के रूप में निरूपित करना है। हम बहुपदों का विस्तार करने के लिए अक्सर कुछ विधियों का उपयोग करते हैं: एक सामान्य कारक निकालना, संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना, पूर्ण वर्ग को हाइलाइट करना, समूह बनाना। आइए कुछ और तरीके देखें।

कभी-कभी, बहुपद का गुणनखंड करते समय, निम्नलिखित कथन उपयोगी होते हैं:

1) यदि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का एक परिमेय मूल है (जहाँ एक अपरिमेय भिन्न है, तो मुक्त पद का भाजक और उच्चतम गुणांक का भाजक है:

2) यदि किसी प्रकार से हम घात वाले बहुपद का मूल चुनते हैं, तो बहुपद को घात के बहुपद के रूप में निरूपित किया जा सकता है।

बहुपद को या तो द्विपद "स्तंभ" द्वारा बहुपद को विभाजित करके, या बहुपद की शर्तों के संगत समूह द्वारा और उनसे एक कारक निकालने, या अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा पाया जा सकता है।

उदाहरण। बहुपद का गुणनखंड करें

समाधान। चूंकि x4 पर गुणांक 1 के बराबर है, इसलिए इस बहुपद के परिमेय मूल मौजूद हैं और संख्या 6 के विभाजक हैं, अर्थात वे पूर्णांक ±1, ±2, ±3, ±6 हो सकते हैं। हम इस बहुपद को P4(x) से निरूपित करते हैं। चूँकि 4 (1) = 4 और Р4 (-4) = 23, संख्याएँ 1 और -1 बहुपद PA (x) के मूल नहीं हैं। चूँकि P4(2) = 0, तो x = 2 बहुपद P4(x) का मूल है, और, इसलिए, यह बहुपद द्विपद x - 2 से विभाज्य है। इसलिए x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2 x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2 - 2x

इसलिए, P4(x) = (x - 2)(x3 - 3x2 + x - 3)। चूंकि xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), फिर x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3)(x2 + 1)।

पैरामीटर इनपुट विधि

कभी-कभी, एक बहुपद का गुणन करते समय, एक पैरामीटर को पेश करने की विधि मदद करती है। इस विधि का सार निम्नलिखित उदाहरण द्वारा समझाया जाएगा।

उदाहरण। x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

समाधान। पैरामीटर a: x3 - (a + 1)x2 + a2 के साथ एक बहुपद पर विचार करें, जो a = √3 के लिए दिए गए बहुपद में बदल जाता है। हम इस बहुपद को a: ar - ax2 + (x3 - x2) के संबंध में एक वर्ग त्रिपद के रूप में लिखते हैं।

चूँकि a के सापेक्ष इस त्रिपद वर्ग के मूल हैं a1 = x और a2 = x2 - x, तो समानता a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) सत्य है। इसलिए, बहुपद x3 - (√3 + 1)x2 + 3 गुणनखंड √3 - x और √3 - x2 + x में विघटित हो जाता है, अर्थात्।

x3 - (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3)।

एक नए अज्ञात को पेश करने की विधि

कुछ मामलों में, व्यंजक f(x) को प्रतिस्थापित करके, जो बहुपद Pn(x) में शामिल है, y के माध्यम से, व्यक्ति y के संबंध में एक बहुपद प्राप्त कर सकता है, जिसे पहले से ही आसानी से गुणनखंडित किया जा सकता है। फिर, y को f(x) से बदलने के बाद, हम बहुपद Pn(x) का गुणनखंडन प्राप्त करते हैं।

उदाहरण। बहुपद x(x+1)(x+2)(x+3)-15 का गुणनखंड करें।

समाधान। आइए इस बहुपद को इस प्रकार बदलें: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

x2 + 3x को y से निरूपित करें। तब हमारे पास y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= (वाई + 5) (वाई - 3)।

इसलिए x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5)(x2 + 3x - 3)।

उदाहरण। बहुपद का गुणनखंड कीजिए (x-4)4+(x+2)4

समाधान। x - 4 + x + 2 = x - 1 को y से निरूपित करें।

(x - 4)4 + (x + 2)2 = (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(y2 + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 )

विभिन्न तरीकों का संयोजन

अक्सर, जब एक बहुपद का गुणनखंडन किया जाता है, तो ऊपर चर्चा की गई कई विधियों को क्रमिक रूप से लागू करना पड़ता है।

उदाहरण। बहुपद x4 - 3x2 + 4x-3 का गुणनखंड कीजिए।

समाधान। समूहन का प्रयोग करते हुए, हम बहुपद को x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3) के रूप में फिर से लिखते हैं।

पहले कोष्ठक में पूर्ण वर्ग के चयन की विधि को लागू करने पर, हमें x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 1 x2 + 12) - (x2 -4x + 4) प्राप्त होता है।

पूर्ण वर्ग सूत्र का प्रयोग करके, अब हम x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2 लिख सकते हैं।

अंत में, वर्ग सूत्र के अंतर को लागू करने पर, हम पाते हैं कि x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 - एक्स + 1 )।

§ 2. सममित समीकरण

1. तीसरी डिग्री के सममित समीकरण

ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0, a 0 (1) के रूप के समीकरण तृतीय डिग्री के सममित समीकरण कहलाते हैं। चूंकि ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (ba) x + a), तो समीकरण (1) बराबर है समीकरणों का सेट x + 1 \u003d 0 और ax2 + (b-a) x + a \u003d 0, जिसे हल करना मुश्किल नहीं है।

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

समाधान। समीकरण (2) तीसरी डिग्री का एक सममित समीकरण है।

चूँकि 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) = (x + 1) (3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1) (3x2 + x + 3) , तो समीकरण (2) समीकरणों के समुच्चय x + 1 = 0 और 3x3 + x +3=0 के बराबर है।

इनमें से पहले समीकरण का हल x = -1 है, दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है।

उत्तर: एक्स = -1।

2. चौथी डिग्री के सममित समीकरण

समीकरण टाइप करें

(3) चतुर्थ अंश का सममित समीकरण कहलाता है।

चूँकि x \u003d 0 समीकरण (3) का मूल नहीं है, तो समीकरण (3) के दोनों भागों को x2 से विभाजित करने पर हमें मूल समीकरण (3) के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है:

आइए समीकरण (4) को इस रूप में फिर से लिखें:

इस समीकरण में, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं, तो हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है

यदि समीकरण (5) के 2 मूल y1 और y2 हैं, तो मूल समीकरण समीकरणों के समुच्चय के बराबर है

यदि समीकरण (5) का एक मूल у0 है, तो मूल समीकरण समीकरण के तुल्य है

अंत में, यदि समीकरण (5) का कोई मूल नहीं है, तो मूल समीकरण का भी कोई मूल नहीं है।

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें

समाधान। यह समीकरण चौथी डिग्री का एक सममित समीकरण है। चूँकि x \u003d 0 इसका मूल नहीं है, इसलिए समीकरण (6) को x2 से भाग देने पर हमें एक तुल्य समीकरण प्राप्त होता है:

पदों को समूहीकृत करते हुए, हम समीकरण (7) को रूप में या रूप में फिर से लिखते हैं

मान लें कि हमें एक ऐसा समीकरण प्राप्त होता है जिसके दो मूल y1 = 2 और y2 = 3 हैं। इसलिए, मूल समीकरण समीकरणों के समुच्चय के बराबर है।

इस समुच्चय के पहले समीकरण का हल x1 = 1 है और दूसरे का हल u है।

इसलिए, मूल समीकरण के तीन मूल हैं: x1, x2 और x3।

उत्तर: x1=1.

3. बीजीय समीकरण

1. समीकरण की डिग्री को कम करना

कुछ बीजीय समीकरणों में कुछ बहुपदों को एक अक्षर से बदलकर, बीजीय समीकरणों में घटाया जा सकता है जिनकी घात मूल समीकरण की घात से कम होती है और जिनका हल सरल होता है।

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें

समाधान। द्वारा निरूपित करें, फिर समीकरण (1) को फिर से लिखा जा सकता है क्योंकि अंतिम समीकरण की जड़ें हैं और इसलिए, समीकरण (1) समीकरणों के सेट के बराबर है और। इस समुच्चय के पहले समीकरण का हल है और दूसरे समीकरण का हल है

समीकरण के हल (1) हैं

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें

समाधान। समीकरण के दोनों पक्षों को 12 से गुणा करने पर और इससे निरूपित करने पर,

हम समीकरण प्राप्त करते हैं हम इस समीकरण को रूप में फिर से लिखते हैं

(3) और हम द्वारा निरूपित करते हुए समीकरण (3) को इस रूप में लिखते हैं कि अंतिम समीकरण के मूल हैं और इसलिए, हम प्राप्त करते हैं कि समीकरण (3) दो समीकरणों के समुच्चय के बराबर है और 4)

समुच्चय (4) के हल हैं और, और वे समीकरण (2) के हल हैं।

2. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(5) जहां संख्याएं दी गई हैं, अज्ञात के प्रतिस्थापन, यानी प्रतिस्थापन का उपयोग करके द्विघात समीकरण में घटाया जा सकता है

उदाहरण 3. समीकरण को हल करें

समाधान। आइए द्वारा निरूपित करें, यानी हम चरों में बदलाव करते हैं या फिर समीकरण (6) को फॉर्म में या फॉर्मूले का उपयोग करके फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है

क्योंकि जड़ें द्विघात समीकरणहै और फिर समीकरण (7) के हल समीकरणों के समुच्चय u के हल हैं। समीकरणों के इस सेट के दो हल हैं और इसलिए, समीकरण (6) के हल हैं और

3. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(8) जहां संख्याएं α, β, γ, , और ऐसी हैं कि α

उदाहरण 4. समीकरण को हल करें

समाधान। आइए अज्ञात का परिवर्तन करें, अर्थात y=x+3 या x = y – 3. तब समीकरण (9) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, यानी फॉर्म में

(y2-4)(y2-1)=10(10)

द्विघात समीकरण (10) के दो मूल हैं। इसलिए, समीकरण (9) के भी दो मूल हैं:

4. फॉर्म के समीकरण

समीकरण, (11)

जहाँ, x = 0 का कोई मूल नहीं है, इसलिए समीकरण (11) को x2 से भाग देने पर हमें एक तुल्य समीकरण प्राप्त होता है

जिसे अज्ञात के स्थान पर द्विघात समीकरण के रूप में पुनः लिखा जाएगा, जिसका समाधान कठिन नहीं है।

उदाहरण 5. समीकरण को हल कीजिए

समाधान। चूँकि h \u003d 0 समीकरण (12) का मूल नहीं है, तो, इसे x2 से विभाजित करने पर, हम एक समान समीकरण प्राप्त करते हैं

परिवर्तन को अज्ञात बनाते हुए, हम समीकरण (y+1)(y+2)=2 प्राप्त करते हैं, जिसके दो मूल हैं: y1 = 0 और y1 = -3। इसलिए, मूल समीकरण (12) समीकरणों के समुच्चय के बराबर है

इस संग्रह के दो मूल हैं: x1= -1 और x2 = -2।

उत्तर: x1= -1, x2 = -2।

टिप्पणी। समीकरण टाइप करें,

जिसे हमेशा फॉर्म (11) और, इसके अलावा, α> 0 और λ> 0 को फॉर्म पर विचार करके कम किया जा सकता है।

5. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

,(13) जहां संख्याएं α, β, , , और ऐसी हैं कि αβ = 0, पहले ब्रैकेट को दूसरे के साथ गुणा करके, और तीसरे को चौथे के साथ, फॉर्म यानी समीकरण में फिर से लिखा जा सकता है (13) अब फॉर्म (11) में लिखा गया है, और इसका हल उसी तरह से किया जा सकता है जैसे समीकरण (11) का हल।

उदाहरण 6. समीकरण को हल कीजिए

समाधान। समीकरण (14) का रूप (13) है, इसलिए हम इसे फिर से लिखते हैं

चूँकि x = 0 इस समीकरण का हल नहीं है, इसके दोनों पक्षों को x2 से विभाजित करने पर हमें एक समतुल्य मूल समीकरण प्राप्त होता है। चरों में परिवर्तन करने पर हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है जिसका हल और है। इसलिए, मूल समीकरण (14) समीकरणों के समुच्चय u के बराबर है।

इस समुच्चय के प्रथम समीकरण का हल है

समाधान के इस सेट के दूसरे समीकरण में नहीं है। अतः मूल समीकरण के मूल x1 और x2 हैं।

6. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(15) जहाँ संख्याएँ a, b, c, q, A ऐसी हैं, जिनका कोई मूल x = 0 नहीं है, इसलिए समीकरण (15) को x2 से विभाजित करना। हम इसके बराबर एक समीकरण प्राप्त करते हैं, जो अज्ञात के प्रतिस्थापन के बाद, द्विघात समीकरण के रूप में फिर से लिखा जाएगा, जिसका समाधान मुश्किल नहीं है।

उदाहरण 7. समीकरण हल

समाधान। चूँकि x \u003d 0 समीकरण (16) का मूल नहीं है, तो इसके दोनों भागों को x2 से विभाजित करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

, (17) समीकरण (16) के बराबर। अज्ञात का परिवर्तन करने के बाद, हम समीकरण (17) को रूप में फिर से लिख सकते हैं

द्विघात समीकरण (18) के 2 मूल हैं: y1 = 1 और y2 = -1। इसलिए, समीकरण (17) समीकरणों के समुच्चय के बराबर है और (19)

समीकरणों के समुच्चय (19) के 4 मूल हैं: ,.

वे समीकरण (16) के मूल होंगे।

4. परिमेय समीकरण

रूप के समीकरण = 0, जहाँ H(x) और Q(x) बहुपद हैं, परिमेय कहलाते हैं।

समीकरण H(x) = 0 के मूल ज्ञात करने के बाद, आपको यह जाँचने की आवश्यकता है कि उनमें से कौन समीकरण Q(x) = 0 के मूल नहीं हैं। ये मूल और केवल वे ही समीकरण के समाधान होंगे।

फॉर्म = 0 के समीकरण को हल करने के लिए कुछ विधियों पर विचार करें।

1. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(1) कुछ शर्तों के तहत संख्याओं पर निम्नानुसार हल किया जा सकता है। समीकरण (1) की शर्तों को दो से समूहित करना और प्रत्येक जोड़ी को जोड़ना, किसी को पहली या शून्य डिग्री के अंश बहुपद में प्राप्त करना चाहिए, केवल संख्यात्मक कारकों में भिन्न होता है, और हर में - समान दो शब्दों वाले ट्रिनोमियल जिसमें x होता है, फिर चर बदलने के बाद, समीकरण का या तो रूप (1) होगा, लेकिन शब्दों की एक छोटी संख्या के साथ, या दो समीकरणों के संयोजन के बराबर होगा, जिनमें से एक पहली डिग्री का होगा, और दूसरा फॉर्म (1) का एक समीकरण होगा, लेकिन शब्दों की एक छोटी संख्या के साथ।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। समीकरण के बाईं ओर समूहीकरण (2) पिछले एक के साथ पहला शब्द, और दूसरा एक के साथ, हम फॉर्म में समीकरण (2) को फिर से लिखते हैं

प्रत्येक कोष्ठक में पदों का योग करते हुए, हम समीकरण (3) को फिर से लिखते हैं:

चूँकि समीकरण (4) का कोई हल नहीं है, तो इस समीकरण को इससे भाग देने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

, (5) समीकरण (4) के बराबर। आइए अज्ञात का परिवर्तन करें, फिर समीकरण (5) को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा

इस प्रकार, समीकरण (2) का हल बाईं ओर पांच पदों के साथ एक ही रूप के समीकरण (6) के समाधान के लिए कम हो जाता है, लेकिन बाईं ओर तीन पदों के साथ। समीकरण (6) के बाईं ओर के सभी पदों को जोड़कर, हम इसे फॉर्म में फिर से लिखते हैं

समीकरण के समाधान भी हैं। इनमें से कोई भी संख्या हर को शून्य पर सेट नहीं करती है। तर्कसंगत कार्यसमीकरण (7) के बाईं ओर। इसलिए, समीकरण (7) में ये दो जड़ें हैं, और इसलिए मूल समीकरण (2) समीकरणों के सेट के बराबर है

इस समुच्चय के प्रथम समीकरण के हल हैं

इस सेट से दूसरे समीकरण के हल हैं

इसलिए, मूल समीकरण के मूल हैं

2. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(8) कुछ शर्तों के तहत संख्याओं पर निम्नानुसार हल किया जा सकता है: समीकरण के प्रत्येक भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करना आवश्यक है, यानी समीकरण (8) को समीकरण से बदलें

इसे फॉर्म (1) में कम करें और फिर इसे पिछले पैराग्राफ में वर्णित तरीके से हल करें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। हम समीकरण (9) को रूप में या रूप में लिखते हैं

कोष्ठकों में पदों को सारांशित करते हुए, हम समीकरण (10) को इस प्रकार लिखते हैं

अज्ञात का परिवर्तन करते हुए, हम समीकरण (11) को रूप में फिर से लिखते हैं

समीकरण (12) के बाईं ओर के पदों को जोड़कर, हम इसे फॉर्म में फिर से लिखते हैं

यह देखना आसान है कि समीकरण (13) के दो मूल हैं: और। इसलिए, मूल समीकरण (9) के चार मूल हैं:

3) फॉर्म के समीकरण।

संख्याओं पर कुछ शर्तों के तहत फॉर्म (14) के समीकरण को निम्नानुसार हल किया जा सकता है: समीकरण (14) के बाईं ओर के प्रत्येक अंश को सरल अंशों के योग में विस्तारित करके (यदि, निश्चित रूप से, यह संभव है)

समीकरण (14) को फॉर्म (1) में कम करें, फिर, परिणामी समीकरण की शर्तों की सुविधाजनक पुनर्व्यवस्था करने के बाद, इसे पैराग्राफ 1 में वर्णित विधि से हल करें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। चूँकि और तब से, समीकरण (15) में प्रत्येक भिन्न के अंश को 2 से गुणा करना और यह नोट करना कि समीकरण (15) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

समीकरण (16) का रूप (7) है। इस समीकरण में पदों को पुनः समूहित करते हुए, हम इसे रूप में या रूप में फिर से लिखते हैं

समीकरण (17) समीकरणों के समुच्चय के बराबर है और

समुच्चय (18) के दूसरे समीकरण को हल करने के लिए हम अज्ञात का परिवर्तन करेंगे फिर इसे रूप में या रूप में फिर से लिखा जाएगा

समीकरण (19) के बाईं ओर के सभी पदों का योग करते हुए, इसे इस प्रकार लिखिए

चूँकि समीकरण का कोई मूल नहीं है, समीकरण (20) का भी कोई मूल नहीं है।

समुच्चय के पहले समीकरण (18) का एक ही मूल है चूंकि यह मूल समुच्चय (18) के दूसरे समीकरण के ODZ में शामिल है, यह समुच्चय (18) का एकमात्र मूल है, और इसलिए मूल समीकरण है।

4. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(21) संख्याओं पर कुछ शर्तों के तहत और ए, फॉर्म में बाईं ओर प्रत्येक शब्द का प्रतिनिधित्व करने के बाद, इसे फॉर्म (1) में घटाया जा सकता है।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। आइए समीकरण (22) को रूप में या रूप में फिर से लिखें

इस प्रकार, समीकरण (23) को रूप (1) में घटाया जाता है। अब, पहले पद को अंतिम के साथ और दूसरे को तीसरे के साथ समूहित करते हुए, हम समीकरण (23) को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

यह समीकरण समीकरणों के सेट के बराबर है और। (24)

अंतिम सेट समीकरण (24) को फिर से लिखा जा सकता है

इस समीकरण के समाधान हैं और चूंकि यह सेट (30) के दूसरे समीकरण के ODZ में शामिल है, तो सेट (24) के तीन मूल हैं: ये सभी मूल समीकरण के हल हैं।

5. फॉर्म के समीकरण।

फॉर्म का समीकरण (25)

संख्याओं पर कुछ शर्तों के तहत, अज्ञात को बदलकर, कोई फॉर्म के समीकरण को कम कर सकता है

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। चूँकि यह समीकरण (26) का हल नहीं है, इसलिए प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को बायीं ओर से विभाजित करके, हम इसे रूप में फिर से लिखते हैं

चरों में परिवर्तन करने के बाद, हम समीकरण (27) को इस रूप में फिर से लिखते हैं

समीकरण को हल करना (28) है और। इसलिए, समीकरण (27) समीकरणों के समुच्चय u के बराबर है। (29)

काम का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना रखा गया है।
पूर्ण संस्करणकार्य "कार्य की फ़ाइलें" टैब में PDF स्वरूप में उपलब्ध है

परिचय

बीजीय समीकरणों को हल करना उच्च डिग्रीएक अज्ञात के साथ सबसे कठिन और सबसे पुराने में से एक है गणित की समस्याओं. प्राचीन काल के सबसे प्रख्यात गणितज्ञों ने इन समस्याओं का समाधान किया।

nth डिग्री के समीकरणों को हल करना आधुनिक गणित के लिए भी एक महत्वपूर्ण कार्य है। उनमें रुचि काफी बड़ी है, क्योंकि ये समीकरण उन समीकरणों की जड़ों की खोज से निकटता से संबंधित हैं जिन पर गणित में स्कूली पाठ्यक्रम द्वारा विचार नहीं किया जाता है।

संकट:छात्रों के बीच विभिन्न तरीकों से उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने में कौशल की कमी उन्हें गणित और गणितीय ओलंपियाड में अंतिम प्रमाणीकरण, एक विशेष गणितीय कक्षा में प्रशिक्षण के लिए सफलतापूर्वक तैयारी करने से रोकती है।

उपरोक्त तथ्य निर्धारित प्रासंगिकताहमारे काम का "उच्च डिग्री के समीकरणों का समाधान"।

nth डिग्री के समीकरणों को हल करने के सबसे सरल तरीकों का कब्जा कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय को कम करता है, जिस पर कार्य का परिणाम और सीखने की प्रक्रिया की गुणवत्ता निर्भर करती है।

उद्देश्य:का अध्ययन ज्ञात तरीकेउच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना और उनमें से सबसे सुलभ की पहचान करना व्यावहारिक आवेदन.

इस लक्ष्य के आधार पर निम्नलिखित कार्य:

इस विषय पर साहित्य और इंटरनेट संसाधनों का अध्ययन करना;

इस विषय से संबंधित ऐतिहासिक तथ्यों से परिचित हों;

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन करें

उनमें से प्रत्येक की कठिनाई की डिग्री की तुलना करें;

सहपाठियों को उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीकों से परिचित कराना;

प्रत्येक मानी गई विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए समीकरणों का एक सेट बनाएँ।

अध्ययन की वस्तु- एक चर के साथ उच्च डिग्री के समीकरण।

अध्ययन का विषय- उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीके।

परिकल्पना:कोई सामान्य तरीका नहीं है और एक एकल एल्गोरिथ्म है जो nth डिग्री के समीकरणों को चरणों की एक सीमित संख्या में हल करने की अनुमति देता है।

तलाश पद्दतियाँ:

- ग्रंथ सूची विधि (शोध विषय पर साहित्य का विश्लेषण);

- वर्गीकरण विधि;

- गुणात्मक विश्लेषण की विधि।

सैद्धांतिक महत्वअनुसंधान में उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने और उनके एल्गोरिदम का वर्णन करने के तरीकों को व्यवस्थित करना शामिल है।

व्यवहारिक महत्व- इस विषय और विकास पर प्रस्तुत सामग्री अध्ययन गाइडइस विषय पर छात्रों के लिए।

1. उच्च शक्तियों के समीकरण

1.1 n वीं डिग्री के समीकरण की अवधारणा

परिभाषा 1. nवीं डिग्री का एक समीकरण रूप का समीकरण है

ए 0 एक्सⁿ+ए 1 एक्सएन -1 +ए 2 xⁿ - +…+एएन -1 एक्स+ए n = 0, जहां गुणांक ए 0, ए 1, ए 2…, एएन -1, ए n - कोई भी वास्तविक संख्या, और ,ए 0 ≠ 0 .

बहुपद ए 0 एक्सⁿ+ए 1 एक्सएन -1 +ए 2 xⁿ - +…+एएन -1 एक्स+ए n को nवीं डिग्री का बहुपद कहा जाता है। गुणांक नामों से प्रतिष्ठित हैं: ए 0 - वरिष्ठ गुणांक; ए n एक स्वतंत्र सदस्य है।

परिभाषा 2. समाधान या जड़ों के लिए दिया गया समीकरण चर के सभी मान हैं एक्स, जो इस समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं या जिसके लिए बहुपद ए 0 एक्सⁿ+ए 1 एक्सएन -1 +ए 2 xⁿ - +…+एएन -1 एक्स+ए n शून्य हो जाता है। ऐसा परिवर्तनशील मान एक्सबहुपद का मूल भी कहा जाता है। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना या यह स्थापित करना कि कोई भी नहीं है।

अगर ए 0 = 1, तो ऐसे समीकरण को घटा हुआ पूर्णांक परिमेय समीकरण n . कहा जाता है वांडिग्री।

तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के लिए, कार्डानो और फेरारी सूत्र हैं जो इन समीकरणों की जड़ों को मूलांक के रूप में व्यक्त करते हैं। यह पता चला कि व्यवहार में उनका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। इस प्रकार, यदि n 3, और बहुपद के गुणांक स्वेच्छ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण के मूल ज्ञात करना कोई आसान कार्य नहीं है। हालांकि, कई विशेष मामलों में यह समस्या अंत तक हल हो जाती है। आइए उनमें से कुछ पर ध्यान दें।

1.2 ऐतिहासिक तथ्यउच्च डिग्री के समीकरणों के समाधान

पहले से ही प्राचीन समय में, लोगों ने महसूस किया कि बीजीय समीकरणों को हल करना सीखना कितना महत्वपूर्ण था। लगभग 4,000 साल पहले, बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने द्विघात समीकरण के हल में महारत हासिल की और दो समीकरणों के हल किए गए सिस्टम, जिनमें से एक दूसरी डिग्री का था। उच्च डिग्री के समीकरणों की मदद से, भूमि सर्वेक्षण, वास्तुकला और सैन्य मामलों की विभिन्न समस्याओं को हल किया गया था, अभ्यास और प्राकृतिक विज्ञान के कई और विभिन्न मुद्दों को उनके लिए कम कर दिया गया था, क्योंकि गणित की सटीक भाषा केवल तथ्यों को व्यक्त करना संभव बनाती है और सामान्य भाषा में कहे जाने वाले रिश्ते भ्रमित करने वाले और जटिल लग सकते हैं।

जड़ों को खोजने के लिए सार्वभौमिक सूत्र बीजीय समीकरण एन-वेंकोई डिग्री। कई, निश्चित रूप से, n की किसी भी शक्ति के लिए सूत्र खोजने के लिए आकर्षक विचार के साथ आए, जो इसके गुणांक के संदर्भ में समीकरण की जड़ों को व्यक्त करेगा, जो कि रेडिकल में समीकरण को हल करेगा।

केवल 16वीं शताब्दी में इतालवी गणितज्ञों ने आगे बढ़ने का प्रबंधन किया - n = 3 और n = 4 के सूत्र खोजने के लिए। साथ ही, का प्रश्न सामान्य निर्णयतीसरी डिग्री के समीकरणों का अध्ययन स्किपियो, डाहल, फेरो और उनके छात्रों फियोरी और टार्टाग्लिया द्वारा किया गया था।

1545 में, इतालवी गणितज्ञ डी। कार्डानो की पुस्तक "ग्रेट आर्ट, या बीजगणित के नियमों पर" प्रकाशित हुई, जहाँ, बीजगणित के अन्य मुद्दों के साथ, सामान्य तरीकेक्यूबिक समीकरणों के समाधान, साथ ही उनके छात्र एल। फेरारी द्वारा खोजी गई चौथी डिग्री के समीकरणों को हल करने की एक विधि।

एफ. वियत ने तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के हल से संबंधित प्रश्नों की पूरी जानकारी दी।

19वीं सदी के 20 के दशक में, नॉर्वे के गणितज्ञ एन. हाबिल ने साबित किया कि पाँचवीं डिग्री के समीकरणों की जड़ों को रेडिकल के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अध्ययन के दौरान यह पाया गया कि आधुनिक विज्ञान nth डिग्री के समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं।

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीकों की खोज के परिणाम जो स्कूल पाठ्यक्रम में मानी जाने वाली विधियों द्वारा हल नहीं किए जा सकते हैं वे विएटा प्रमेय (डिग्री के समीकरणों के लिए) के आवेदन पर आधारित विधियां हैं। एन> 2), बेज़ाउट के प्रमेय, हॉर्नर की योजनाएँ, साथ ही घन और चतुर्थक समीकरणों को हल करने के लिए कार्डानो और फेरारी सूत्र।

पेपर समीकरणों और उनके प्रकारों को हल करने के तरीकों को प्रस्तुत करता है, जो हमारे लिए एक खोज बन गए हैं। इनमें शामिल हैं - अनिश्चित गुणांक की विधि, पूर्ण डिग्री का आवंटन, सममित समीकरण।

2. एकीकृत गुणांक के साथ उच्च शक्तियों के एकीकृत समीकरणों का समाधान

2.1 तीसरी डिग्री के समीकरणों का समाधान। फॉर्मूला डी कार्डानो

फॉर्म के समीकरणों पर विचार करें एक्स 3 +px+q=0.आइए समीकरण को रूपांतरित करें सामान्य रूप से देखेंदेखने के लिए: एक्स 3 +px 2 +qx+r=0.आइए योग का घन सूत्र लिखें; आइए इसे मूल समानता में जोड़ें और इसे इसके साथ बदलें आप. हमें समीकरण मिलता है: आप 3 + (क्यू -) (वाई -) + (आर - = 0।परिवर्तनों के बाद, हमारे पास है: आप 2 +पीई + क्यू=0.अब, योग घन सूत्र को फिर से लिखते हैं:

(ए+बी) 3 =ए 3 + 3a 2 बी+3एबी 2 +बी 3 = ए 3 +बी 3 + 3ab (ए + बी),बदलने के ( ए+बी)पर एक्स, हमें समीकरण मिलता है एक्स 3 - 3abx - (ए 3 +बी 3) = 0. अब यह स्पष्ट है कि मूल समीकरण सिस्टम के बराबर है: और सिस्टम को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

हमने तीसरी डिग्री के उपरोक्त समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है। यह इतालवी गणितज्ञ कार्डानो के नाम पर है।

एक उदाहरण पर विचार करें। प्रश्न हल करें: ।

हमारे पास है आर= 15 और क्यू= 124, फिर कार्डानो सूत्र का उपयोग करके हम समीकरण के मूल की गणना करते हैं

निष्कर्ष: यह सूत्र अच्छा है, लेकिन सभी घन समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है। हालाँकि, यह भारी है। इसलिए, व्यवहार में इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

लेकिन जो इस फॉर्मूले में महारत हासिल करता है, वह परीक्षा में थर्ड डिग्री के समीकरणों को हल करते समय इसका इस्तेमाल कर सकता है।

2.2 विएटा का प्रमेय

गणित के पाठ्यक्रम से, हम इस प्रमेय को द्विघात समीकरण के लिए जानते हैं, लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि इसका उपयोग उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जाता है।

समीकरण पर विचार करें:

समीकरण के बाईं ओर गुणनखंड करें, 0 से विभाजित करें।

हम समीकरण के दाईं ओर को रूप में बदलते हैं

; इससे यह इस प्रकार है कि हम सिस्टम में निम्नलिखित समानताएं लिख सकते हैं:

द्विघात समीकरणों के लिए वीटा द्वारा व्युत्पन्न सूत्र और हमारे द्वारा तीसरी डिग्री के समीकरणों के लिए प्रदर्शित उच्च डिग्री वाले बहुपदों के लिए भी सही हैं।

आइए घन समीकरण को हल करें:

आउटपुट: यह विधिछात्रों के लिए सार्वभौमिक और आसान समझने के लिए, क्योंकि विएटा की प्रमेय उन्हें एन के लिए स्कूल पाठ्यक्रम से परिचित है = 2. साथ ही, इस प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों की जड़ों को खोजने के लिए, अच्छा कम्प्यूटेशनल कौशल होना आवश्यक है।

2.3 बेज़ौट का प्रमेय

इस प्रमेय का नाम 18वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ जे. बेज़ौट के नाम पर रखा गया है।

प्रमेय।अगर समीकरण ए 0 एक्सⁿ+ए 1 एक्सएन -1 +ए 2 xⁿ - +…+एएन -1 एक्स+ए n = 0, जिसमें सभी गुणांक पूर्णांक हैं, और मुक्त पद शून्य से भिन्न है, एक पूर्णांक मूल है, तो यह मूल मुक्त पद का भाजक है।

यह देखते हुए कि nth डिग्री का बहुपद समीकरण के बाईं ओर है, प्रमेय की एक और व्याख्या है।

प्रमेय। nवें घात वाले बहुपद को के संबंध में विभाजित करते समय एक्सद्विपद में एक्स-एशेषफल लाभांश के मूल्य के बराबर होता है जब एक्स = ए. (पत्र एकिसी भी वास्तविक या . का मतलब हो सकता है काल्पनिक संख्या, अर्थात। कोई भी जटिल संख्या) .

प्रमाण:रहने दो च (एक्स) चर x के संबंध में n वीं डिग्री के एक मनमाना बहुपद को दर्शाता है, और माना, जब इसे द्विपद से विभाजित किया जाता है ( एक्स-ए) निजी में हुआ क्यू (एक्स), और शेष में आर. जाहिर सी बात है क्यू (एक्स)कुछ बहुपद होंगे (n - 1)वीं डिग्री अपेक्षाकृत एक्स, और शेष आरएक स्थिर मूल्य होगा, अर्थात। स्वतंत्र एक्स.

यदि शेष आर x में पहली डिग्री का बहुपद था, तो इसका मतलब यह होगा कि विभाजन नहीं किया गया था। इसलिए, आरसे एक्सनिर्भर नहीं करता है। विभाजन की परिभाषा से, हमें पहचान मिलती है: f(x)=(x-a)q(x)+R.

x के किसी भी मान के लिए समानता सत्य है, इसलिए यह के लिए भी सत्य है एक्स = ए, हमें मिला: f(a)=(a-a)q(a)+R. प्रतीक च (ए) बहुपद f . का मान दर्शाता है (एक्स) पर एक्स = ए, क्यू (ए)एक मूल्य को दर्शाता है क्यू (एक्स) पर एक्स = ए।शेष आरजैसा पहले था वैसा ही रहा आरसे एक्सनिर्भर नहीं करता है। काम ( एक्स-ए) क्यू (ए) = 0, गुणक के बाद से ( एक्स-ए) = 0,और गुणक क्यू (ए)एक निश्चित संख्या है। इसलिए, समानता से हमें मिलता है: एफ (ए) = आर,एच.टी.डी.

उदाहरण 1एक बहुपद के विभाजन का शेषफल ज्ञात कीजिए एक्स 3 - 3एक्स 2 + 6एक्स- 5 प्रति द्विपद

एक्स- 2. बेज़ौट प्रमेय द्वारा : आर = एफ(2) = 23-322 + 62 -5=3। उत्तर: आर = 3.

ध्यान दें कि बेज़ाउट का प्रमेय अपने आप में इतना महत्वपूर्ण नहीं है, बल्कि इसके परिणामों के कारण है। (अनुलग्नक 1)

आइए हम व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए बेज़ाउट के प्रमेय को लागू करने के कुछ तरीकों पर विचार करें। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि Bezout प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, यह आवश्यक है:

मुक्त पद के सभी पूर्णांक भाजक ज्ञात कीजिए;

इन भाजक में से, समीकरण का कम से कम एक मूल ज्ञात कीजिए;

समीकरण के बाएँ पक्ष को से विभाजित करें (हा);

समीकरण के बाईं ओर भाजक और भागफल का गुणनफल लिखिए;

परिणामी समीकरण को हल करें।

समीकरण x . को हल करने के उदाहरण पर विचार करें 3 + 4एक्स 2 + एक्स - 6 = 0 .

हल: मुक्त पद ±1 . के भाजक ज्ञात कीजिए ; ± 2; ± 3; ± 6. के लिए मूल्यों की गणना करें एक्स = 1, 1 3 + 41 2 + 1-6 = 0। समीकरण के बाएँ पक्ष को द्वारा विभाजित करें ( एक्स- 1). हम एक "कोने" के साथ विभाजन करते हैं, हमें मिलता है:

निष्कर्ष: Bezout की प्रमेय, उन तरीकों में से एक जिसे हम अपने काम में मानते हैं, का अध्ययन पाठ्येतर गतिविधियों के कार्यक्रम में किया जाता है। इसे समझना मुश्किल है, क्योंकि इसमें महारत हासिल करने के लिए, आपको इसके सभी परिणामों को जानना होगा, लेकिन साथ ही, बेज़आउट का प्रमेय परीक्षा में छात्रों के मुख्य सहायकों में से एक है।

2.4 हॉर्नर योजना

एक बहुपद को एक द्विपद से भाग देना एक्स-αआप 17वीं शताब्दी के अंग्रेजी गणितज्ञों द्वारा आविष्कृत एक विशेष सरल चाल का उपयोग कर सकते हैं, जिसे बाद में हॉर्नर योजना कहा गया। समीकरणों की जड़ों को खोजने के अलावा, हॉर्नर की योजना उनके मूल्यों की गणना करना आसान बनाती है। ऐसा करने के लिए, चर के मान को बहुपद Pn . में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है (एक्स) = ए 0 एक्सएन+ए 1 एक्स एन-1 +ए 2 xⁿ - +…++ एएन -1 एक्स+एएन। (एक)

बहुपद (1) को द्विपद से विभाजित करने पर विचार करें एक्स-α.

हम अपूर्ण भागफल b . के गुणांकों को व्यक्त करते हैं 0 xⁿ - ¹+ बी 1 xⁿ - ²+ बी 2 xⁿ - ³+…+ अरब -1 और शेष आरबहुपद Pn के गुणांकों के संदर्भ में ( एक्स) और संख्या α. बी 0 =ए 0 , बी 1 = α बी 0 +ए 1 , बी 2 = α बी 1 +ए 2 …, अरब -1 =

= α अरब -2 +एएन -1 = α अरब -1 +एएन .

हॉर्नर योजना के अनुसार गणना निम्न तालिका के रूप में प्रस्तुत की जाती है:

	लेकिन 0	ए 1	ए 2 ,
	बी 0 =ए 0	बी 1 = α बी 0 +ए 1	बी 2 = α बी 1 +ए 2		आर = αबी एन-1 +एएन

जहां तक ​​कि आर = पीएन (α),तब α समीकरण का मूल है। यह जांचने के लिए कि क्या α एक बहुमूल है, हॉर्नर की योजना पहले से ही भागफल b . पर लागू की जा सकती है 0 एक्स+बी 1 एक्स+…+अरब -1 तालिका के अनुसार। यदि bn . के अंतर्गत कॉलम में -1 हमें फिर से 0 मिलता है, इसलिए α एक बहुमूल है।

एक उदाहरण पर विचार करें: समीकरण हल करें एक्स 3 + 4एक्स 2 + एक्स - 6 = 0.

आइए हम समीकरण के बाईं ओर समीकरण के बाईं ओर बहुपद के गुणनखंड, हॉर्नर की योजना को लागू करें।

हल: मुक्त पद के भाजक ज्ञात कीजिए ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.

				6 ∙ 1 + (-6) = 0

भागफल के गुणांक संख्या 1, 5, 6 हैं, और शेषफल r = 0 है।

साधन, एक्स 3 + 4एक्स 2 + एक्स - 6 = (एक्स - 1) (एक्स 2 + 5एक्स + 6) = 0.

यहाँ से: एक्स- 1 = 0 या एक्स 2 + 5एक्स + 6 = 0.

एक्स = 1, एक्स 1 = -2; एक्स 2 = -3. उत्तर: 1,- 2, - 3.

निष्कर्ष: इस प्रकार, एक समीकरण पर, हमने दो . का उपयोग दिखाया है विभिन्न तरीकेबहुपदों के गुणनखंड। हमारी राय में, हॉर्नर की योजना सबसे व्यावहारिक और किफायती है।

2.5 चतुर्थ अंश के समीकरणों का हल। फेरारी विधि

कार्डानो के छात्र लुडोविक फेरारी ने चौथी डिग्री के समीकरण को हल करने का एक तरीका खोजा। फेरारी विधि में दो चरण होते हैं।

स्टेज I: फॉर्म के समीकरण को दो वर्ग ट्रिनोमियल्स के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है; यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि समीकरण 3 डिग्री और कम से कम एक समाधान का है।

चरण II: परिणामी समीकरणों को गुणनखंड का उपयोग करके हल किया जाता है, हालांकि, आवश्यक गुणनखंड को खोजने के लिए, घन समीकरणों को हल करना होगा।

विचार समीकरणों को ए 2 = बी 2 के रूप में प्रस्तुत करना है जहां ए = एक्स 2+एस,

बी-रैखिक कार्य एक्स. फिर यह समीकरणों ए = ± बी को हल करने के लिए बनी हुई है।

स्पष्टता के लिए, समीकरण पर विचार करें: हम चौथी डिग्री को अलग करते हैं, हमें मिलता है: किसी के लिए डीअभिव्यक्ति एक पूर्ण वर्ग होगी। हमें प्राप्त होने वाले समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें

बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग है, आप उठा सकते हैं डीताकि (2) का दाहिना भाग एक पूर्ण वर्ग बन जाए। कल्पना कीजिए कि हमने इसे हासिल कर लिया है। तब हमारा समीकरण इस तरह दिखता है:

बाद में जड़ खोजना मुश्किल नहीं होगा। सही चुनने के लिए डीयह आवश्यक है कि (3) के दाईं ओर का विवेचक गायब हो जाए, अर्थात।

तो खोजने के लिए डी, तीसरी डिग्री के इस समीकरण को हल करना आवश्यक है। इस सहायक समीकरण को कहा जाता है विश्लेषक.

हम आसानी से रिज़ॉल्वेंट का पूर्णांक मूल ढूंढ सकते हैं: डी = 1

समीकरण को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

निष्कर्ष: फेरारी पद्धति सार्वभौमिक है, लेकिन जटिल और बोझिल है। वहीं अगर सॉल्यूशन एल्गोरिथम स्पष्ट हो तो इस विधि से चतुर्थ डिग्री के समीकरणों को हल किया जा सकता है।

2.6 अनिर्धारित गुणांकों की विधि

फेरारी विधि द्वारा चौथी डिग्री के समीकरण को हल करने की सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि क्या हम रिज़ॉल्वेंट को हल करते हैं - तीसरी डिग्री का समीकरण, जैसा कि हम जानते हैं, हमेशा संभव नहीं होता है।

अनिश्चित गुणांक की विधि का सार यह है कि किसी दिए गए बहुपद को विघटित करने वाले कारकों के प्रकार का अनुमान लगाया जाता है, और इन कारकों (बहुपद भी) के गुणांक कारकों को गुणा करके और गुणांक को बराबर करके निर्धारित किया जाता है। बराबर डिग्रीचर ।

उदाहरण: समीकरण हल करें:

मान लीजिए कि हमारे समीकरण के बाईं ओर पूर्णांक गुणांक वाले दो वर्ग त्रिपदों में विघटित किया जा सकता है जैसे कि समान समानता

यह स्पष्ट है कि उनके सामने गुणांक 1 के बराबर होना चाहिए, और मुक्त शर्तें एक के बराबर होनी चाहिए + 1, दूसरे के पास 1 है।

गुणांक का सामना करना पड़ रहा है एक्स. आइए उन्हें द्वारा निरूपित करें लेकिनऔर उन्हें निर्धारित करने के लिए, हम समीकरण के दाईं ओर दोनों त्रिपदों को गुणा करते हैं।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

समान घातों पर गुणांकों की बराबरी करना एक्सबाईं ओर और सही भागसमानता (1), हम खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त करते हैं और

इस प्रणाली को हल करने पर, हमारे पास होगा

तो हमारा समीकरण समीकरण के बराबर है

इसे हल करने पर हमें निम्नलिखित मूल प्राप्त होते हैं।

अनिश्चित गुणांक की विधि निम्नलिखित कथनों पर आधारित है: समीकरण में चौथी डिग्री के किसी भी बहुपद को दूसरी डिग्री के दो बहुपदों के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है; दो बहुपद समान रूप से समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके गुणांक समान शक्तियों पर समान हों एक्स।

2.7 सममित समीकरण

परिभाषा।फॉर्म के एक समीकरण को सममित कहा जाता है यदि समीकरण के बाईं ओर पहला गुणांक दाईं ओर पहले गुणांक के बराबर हो।

हम देखते हैं कि बाईं ओर के पहले गुणांक दाईं ओर के पहले गुणांक के बराबर हैं।

यदि इस तरह के समीकरण में एक विषम डिग्री है, तो इसका एक मूल है एक्स= - 1. इसके बाद, हम समीकरण की डिग्री को इससे विभाजित करके कम कर सकते हैं ( एक्स+एक)। यह पता चला है कि सममित समीकरण को विभाजित करते समय ( एक्स+ 1) सम घात का सममित समीकरण प्राप्त होता है। गुणांकों की समरूपता का प्रमाण नीचे प्रस्तुत किया गया है। (परिशिष्ट 6) हमारा काम यह सीखना है कि सम कोटि के सममित समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण के लिए: (1)

हम समीकरण (1) को हल करते हैं, से विभाजित करते हैं एक्स 2 (मध्य डिग्री तक) = 0.

हम शब्दों को सममित के साथ समूहित करते हैं

) + 3(एक्स+। निरूपित पर= एक्स+ , आइए दोनों भागों का वर्ग करें, इसलिए = पर 2 तो 2( पर 2 या 2 पर 2 +3 समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं पर = , पर= 3. अगला, हम प्रतिस्थापन पर लौटते हैं एक्स+ = और एक्स+ = 3. हमें समीकरण मिलते हैं और पहले का कोई हल नहीं है, और दूसरे के दो मूल हैं। उत्तर:।

निष्कर्ष: इस प्रकार का समीकरण अक्सर सामने नहीं आता है, लेकिन यदि आप इसका सामना करते हैं, तो इसे आसानी से और आसानी से बिना बोझिल गणनाओं का सहारा लिए हल किया जा सकता है।

2.8 पूर्ण डिग्री का निष्कर्षण

समीकरण पर विचार करें।

बाईं ओर योग (x + 1) का घन है, अर्थात।

हम दोनों भागों से तृतीय अंश का मूल निकालते हैं: , तब हमें प्राप्त होता है

एकमात्र जड़ कहाँ है।

अध्ययन के परिणाम

काम के परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचे:

अध्ययन किए गए सिद्धांत के लिए धन्यवाद, हम परिचित हो गए विभिन्न तरीकेउच्च डिग्री के संपूर्ण समीकरणों के समाधान;

D. कार्डानो के सूत्र का उपयोग करना कठिन है और गणना में त्रुटि होने की उच्च संभावना देता है;

- एल। फेरारी की विधि चौथी डिग्री के समीकरण के समाधान को घन एक तक कम करने की अनुमति देती है;

- Bezout के प्रमेय का उपयोग घन समीकरणों और चतुर्थ अंश के समीकरणों दोनों के लिए किया जा सकता है; समीकरणों को हल करने के लिए लागू होने पर यह अधिक समझ में आता है और उदाहरण देता है;

हॉर्नर की योजना समीकरणों को हल करने में गणना को काफी कम करने और सरल बनाने में मदद करती है। जड़ों को खोजने के अलावा, हॉर्नर की योजना समीकरण के बाईं ओर बहुपदों के मूल्यों की गणना करना आसान बनाती है;

विशेष रूप से ब्याज अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा समीकरणों का समाधान, सममित समीकरणों का समाधान था।

दौरान अनुसंधान कार्ययह पाया गया कि छात्र 9वीं या 10वीं कक्षा के साथ-साथ यात्रा करने वाले गणितीय स्कूलों के विशेष पाठ्यक्रमों में गणित में ऐच्छिक कक्षाओं में उच्चतम डिग्री के समीकरणों को हल करने के सबसे सरल तरीकों से परिचित होते हैं। इस तथ्य MBOU "माध्यमिक विद्यालय नंबर 9" में गणित के शिक्षकों के एक सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप स्थापित और "गणित" विषय में बढ़ती रुचि दिखाने वाले छात्र।

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए सबसे लोकप्रिय तरीके, जो ओलंपियाड को हल करने, प्रतिस्पर्धी समस्याओं और छात्रों द्वारा परीक्षा की तैयारी के परिणामस्वरूप सामने आते हैं, वे बेज़आउट के प्रमेय, हॉर्नर की योजना और एक नए चर की शुरूआत के आधार पर विधियां हैं। .

शोध कार्य के परिणामों का प्रदर्शन, अर्थात्। गणित, रुचि रखने वाले सहपाठियों में स्कूली पाठ्यक्रम में अध्ययन नहीं किए गए समीकरणों को हल करने के तरीके।

निष्कर्ष

युवा शैक्षिक मंचों में शैक्षिक और वैज्ञानिक साहित्य, इंटरनेट संसाधनों का अध्ययन करने के बाद

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। गणित में, पूर्णांक गुणांक के साथ उच्च डिग्री के समीकरण काफी सामान्य हैं। इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

समीकरण की तर्कसंगत जड़ें निर्धारित करें;

समीकरण के बाईं ओर स्थित बहुपद का गुणनखंड करें;

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए हमें एक समीकरण दिया गया है निम्नलिखित प्रकार:

आइए इसकी सभी वास्तविक जड़ों को खोजें। समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को \ से गुणा करें

चलो चर बदलते हैं \

इस प्रकार, हमने चौथी डिग्री का एक कम समीकरण प्राप्त किया है, जिसे मानक एल्गोरिथ्म के अनुसार हल किया जाता है: हम भाजक की जांच करते हैं, विभाजन करते हैं, और परिणामस्वरूप हमें पता चलता है कि समीकरण में दो वास्तविक जड़ें \ और दो जटिल हैं वाले। हमें चौथी डिग्री के हमारे समीकरण का निम्नलिखित उत्तर मिलता है:

मैं सॉल्वर के साथ उच्च शक्तियों के समीकरण को ऑनलाइन कहां हल कर सकता हूं?

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में सामान्य मामला 4 से अधिक डिग्री वाले समीकरण को रेडिकल में हल नहीं किया जा सकता है। लेकिन कभी-कभी हम उच्चतम डिग्री के समीकरण में बाईं ओर बहुपद की जड़ों को ढूंढ सकते हैं, अगर हम इसे 4 से अधिक की डिग्री में बहुपदों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करते हैं। ऐसे समीकरणों का समाधान बहुपद के कारकों में विघटन पर आधारित होता है, इसलिए हम आपको इस लेख का अध्ययन करने से पहले इस विषय की समीक्षा करने की सलाह देते हैं।

अक्सर, किसी को पूर्णांक गुणांक वाले उच्च डिग्री के समीकरणों से निपटना पड़ता है। इन मामलों में, हम तर्कसंगत जड़ों को खोजने का प्रयास कर सकते हैं, और फिर बहुपद को कारक बना सकते हैं ताकि हम इसे कम डिग्री के समीकरण में परिवर्तित कर सकें, जिसे हल करना आसान होगा। इस सामग्री के ढांचे में, हम ऐसे उदाहरणों पर विचार करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

पूर्णांक गुणांक के साथ उच्च डिग्री समीकरण

फॉर्म के सभी समीकरण a n x n + a n - 1 x n - 1 + । . . + a 1 x + a 0 = 0, हम दोनों पक्षों को n n - 1 से गुणा करके और y = a n x के रूप के चर को बदलकर समान डिग्री के समीकरण में कम कर सकते हैं:

ए एन एक्स एन + ए एन -1 एक्स एन -1 +। . . + ए 1 एक्स + ए 0 = 0 एन एक्सएन + एन -1 एन -1 एक्सएन -1 + … + ए 1 (ए) एन -1 एक्स + ए 0 (ए) एन -1 = 0 वाई = चिंता ⇒ yn + बीएन - 1 वाईएन - 1 + … + बी 1 वाई + बी 0 = 0

परिणामी गुणांक भी पूर्णांक होंगे। इस प्रकार, हमें पूर्णांक गुणांकों के साथ nवीं डिग्री के घटे हुए समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी, जिसका रूप x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 है।

हम समीकरण की पूर्णांक जड़ों की गणना करते हैं। यदि समीकरण में पूर्णांक मूल हैं, तो आपको उन्हें मुक्त पद a 0 के भाजक के बीच खोजने की आवश्यकता है। आइए उन्हें लिख लें और परिणाम की जांच करते हुए उन्हें एक-एक करके मूल समानता में बदल दें। एक बार जब हम एक पहचान प्राप्त कर लेते हैं और समीकरण की जड़ों में से एक मिल जाते हैं, तो हम इसे x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ x 1 समीकरण का मूल है, और P n - 1 (x) x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 का भागफल x - x 1 से विभाजित है।

P n - 1 (x) = 0 में शेष भाजक को x 1 से प्रारंभ करते हुए रखिए, क्योंकि जड़ों को दोहराया जा सकता है। पहचान प्राप्त करने के बाद, रूट x 2 को पाया जाता है, और समीकरण को (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0 के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ P n - 2 (x) ) P n - 1 (x) को x - x 2 से विभाजित करने पर भागफल होगा।

हम भाजक के माध्यम से क्रमबद्ध करना जारी रखते हैं। सभी पूर्णांक मूल ज्ञात कीजिए और उनकी संख्या को m से निरूपित कीजिए। उसके बाद, मूल समीकरण को x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 के रूप में दर्शाया जा सकता है। यहाँ P n - m (x) n - m -th डिग्री का एक बहुपद है। गणना के लिए हॉर्नर योजना का उपयोग करना सुविधाजनक है।

यदि हमारे मूल समीकरण में पूर्णांक गुणांक हैं, तो हम भिन्नात्मक जड़ों के साथ समाप्त नहीं हो सकते।

परिणामस्वरूप, हमें समीकरण P n - m (x) = 0 प्राप्त हुआ, जिसके मूल किसी के द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं। सुविधाजनक तरीका. वे तर्कहीन या जटिल हो सकते हैं।

आइए दिखाते हैं विशिष्ट उदाहरणऐसी समाधान योजना कैसे लागू की जाती है।

उदाहरण 1

स्थिति:समीकरण x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 का हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए पूर्णांक जड़ों को खोजने के साथ शुरू करें।

हमारे पास शून्य से तीन के बराबर एक अवरोधन है। इसमें 1 , - 1 , 3 और - 3 के बराबर भाजक हैं। आइए उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और देखें कि उनमें से कौन परिणाम के रूप में पहचान देगा।

x बराबर एक के लिए, हमें 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 \u003d 0 मिलता है, जिसका अर्थ है कि इस समीकरण का मूल होगा।

अब बहुपद x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 को (x - 1) से एक कॉलम में विभाजित करते हैं:

तो x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3।

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

हमें एक सर्वसमिका मिली, जिसका अर्थ है कि हमें समीकरण का एक और मूल मिला, जो -1 के बराबर है।

हम एक कॉलम में बहुपद x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 को (x + 1) से विभाजित करते हैं:

हमें वह मिलता है

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

हम अगले भाजक को समीकरण x 2 + x + 3 = 0 में प्रतिस्थापित करते हैं, जो - 1 से शुरू होता है:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

परिणामी समानताएं गलत होंगी, जिसका अर्थ है कि समीकरण में अब पूर्णांक मूल नहीं हैं।

शेष मूल व्यंजक x 2 + x + 3 के मूल होंगे।

डी \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह वर्ग त्रिपदकोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन जटिल संयुग्म हैं: x = - 1 2 ± i 11 2 ।

हम स्पष्ट करें कि एक कॉलम में विभाजित करने के बजाय, हॉर्नर की योजना का उपयोग किया जा सकता है। यह इस तरह किया जाता है: समीकरण की पहली जड़ निर्धारित करने के बाद, हम तालिका में भरते हैं।

गुणांकों की तालिका में, हम बहुपदों के विभाजन से भागफल के गुणांकों को तुरंत देख सकते हैं, जिसका अर्थ है x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

- 1 के बराबर अगला मूल ज्ञात करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है:

उत्तर: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± मैं 11 2.

उदाहरण 2

स्थिति:समीकरण x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 को हल करें।

समाधान

मुक्त सदस्य के भाजक 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 होते हैं।

आइए उन्हें क्रम में जांचें:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

अतः x = 2 समीकरण का मूल होगा। हॉर्नर योजना का उपयोग करके x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 को x - 2 से भाग दें:

परिणामस्वरूप, हमें x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 प्राप्त होता है।

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

तो 2 फिर से एक रूट होगा। x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 को x - 2 से भाग दें:

परिणामस्वरूप, हमें (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 प्राप्त होता है।

शेष भाजक की जाँच करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि समानता x 2 + 3 x + 3 = 0 विवेचक का उपयोग करके हल करने के लिए तेज़ और अधिक सुविधाजनक है।

आइए द्विघात समीकरण को हल करें:

एक्स 2 + 3 एक्स + 3 = 0 डी = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

हमें जड़ों का एक जटिल संयुग्म युग्म प्राप्त होता है: x = - 3 2 ± i 3 2।

उत्तर: एक्स = - 3 2 ± मैं 3 2।

उदाहरण 3

स्थिति:समीकरण x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

हम समीकरण के दोनों भागों का गुणन 2 3 करते हैं:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

हम चर y = 2 x को प्रतिस्थापित करते हैं:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

नतीजतन, हमें चौथी डिग्री का एक मानक समीकरण मिला, जिसे हल किया जा सकता है मानक योजना. आइए भाजक की जाँच करें, विभाजित करें और अंत में हम पाते हैं कि इसकी 2 वास्तविक जड़ें y \u003d - 2, y \u003d 3 और दो जटिल हैं। हम यहां संपूर्ण समाधान प्रस्तुत नहीं करेंगे। प्रतिस्थापन के आधार पर, इस समीकरण के वास्तविक मूल x = y 2 = - 2 2 = - 1 और x = y 2 = 3 2 होंगे।

उत्तर:एक्स 1 \u003d - 1, एक्स 2 \u003d 3 2

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"उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीके"

( किसेलेव्स्की रीडिंग)

गणित के शिक्षक अफानसयेवा एल.ए.

MKOU Verkhnekarachanskaya माध्यमिक विद्यालय

ग्रिबानोव्स्की जिला, वोरोनिश क्षेत्र

2015

गणित की शिक्षा प्राप्त सामान्य शिक्षा विद्यालय, सबसे महत्वपूर्ण घटक है सामान्य शिक्षाऔर आम संस्कृतिआधुनिक आदमी।

प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ कूरेंट ने लिखा: "दो हजार से अधिक वर्षों के लिए, गणित के क्षेत्र में कुछ का अधिकार, बहुत सतही नहीं, ज्ञान एक आवश्यक था अभिन्न अंगप्रत्येक शिक्षित व्यक्ति की बौद्धिक सूची में।" और इस ज्ञान के बीच, अंतिम स्थान समीकरणों को हल करने की क्षमता का नहीं है।

पहले से ही प्राचीन समय में, लोगों ने महसूस किया कि बीजीय समीकरणों को हल करना सीखना कितना महत्वपूर्ण था। लगभग 4,000 साल पहले, बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने द्विघात समीकरण के हल में महारत हासिल की और दो समीकरणों के हल किए गए सिस्टम, जिनमें से एक दूसरी डिग्री का था। समीकरणों की मदद से, भूमि सर्वेक्षण, वास्तुकला और सैन्य मामलों की विभिन्न समस्याओं को हल किया गया था, अभ्यास और प्राकृतिक विज्ञान के कई और विविध मुद्दों को उनके लिए कम कर दिया गया था, क्योंकि गणित की सटीक भाषा केवल तथ्यों और संबंधों को व्यक्त करना संभव बनाती है, सामान्य भाषा में कहा जा रहा है, भ्रामक और जटिल लग सकता है। समीकरण गणित में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। एक विज्ञान के रूप में गणित के जन्म से शुरू होने वाले समीकरणों को हल करने के तरीकों का विकास लंबे समय से बीजगणित के अध्ययन का मुख्य विषय रहा है। और आज, गणित के पाठों में, शिक्षा के पहले चरण से शुरू होकर, समीकरणों को हल करना विभिन्न प्रकारबहुत ध्यान दिया जाता है।

nवीं डिग्री के बीजीय समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए कोई सार्वभौमिक सूत्र नहीं है। बेशक, कई लोग किसी भी डिग्री को खोजने के लिए आकर्षक विचार के साथ आए थे एनऐसे सूत्र जो समीकरण के मूल को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त करते हैं, अर्थात्, मूलांक में समीकरण को हल करते हैं। हालाँकि, चर्चा के तहत समस्या के संबंध में "उदास मध्य युग" जितना संभव हो उतना उदास निकला - सात पूरी शताब्दियों तक किसी को भी आवश्यक सूत्र नहीं मिले! केवल 16वीं शताब्दी में इतालवी गणितज्ञों ने आगे जाने का प्रबंधन किया - सूत्र खोजने के लिए एन =3 और एन =4 . उसी समय, स्किपियो दल फेरो, उनके छात्र फियोरी और टार्टाग्लिया ने तीसरी डिग्री के समीकरणों के सामान्य समाधान के प्रश्न से निपटा। 1545 में, इतालवी गणितज्ञ डी कार्डानो की पुस्तक "महान कला, या बीजगणित के नियमों पर" प्रकाशित हुई थी, जहां, बीजगणित के अन्य मुद्दों के साथ, घन समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीकों पर विचार किया जाता है, साथ ही हल करने की एक विधि भी। चौथी डिग्री के समीकरण, उनके छात्र एल फेरारी द्वारा खोजे गए। तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के समाधान से संबंधित मुद्दों की पूरी प्रस्तुति एफ. वियत द्वारा दी गई थी। और 19वीं शताब्दी के 20 के दशक में, नॉर्वेजियन गणितज्ञ एन. हाबिल ने साबित कर दिया कि 5वीं और उच्च डिग्री के समीकरणों की जड़ों को रेडिकल के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

एक समीकरण के समाधान खोजने की प्रक्रिया में आमतौर पर समीकरण को एक समकक्ष के साथ बदलने में शामिल होता है। एक समीकरण को एक समतुल्य के साथ बदलना चार स्वयंसिद्धों के अनुप्रयोग पर आधारित है:

1. यदि समान संख्या में समान मान बढ़ाए जाएं, तो परिणाम समान होंगे।

2. यदि समान संख्याओं को समान मानों में से घटा दिया जाए, तो परिणाम समान होंगे।

3. यदि समान मानों को समान संख्या से गुणा किया जाए, तो परिणाम समान होंगे।

4. यदि समान मानों को समान संख्या से विभाजित किया जाए, तो परिणाम समान होंगे।

जहां तक ​​कि बाईं तरफसमीकरण P(x) = 0 nवीं डिग्री का एक बहुपद है, निम्नलिखित कथनों को याद करना उपयोगी है:

एक बहुपद और उसके भाजक की जड़ों के बारे में कथन:

1. बहुपद nthडिग्री में कई जड़ें होती हैं जो संख्या n से अधिक नहीं होती हैं, और गुणन m की जड़ें ठीक m बार होती हैं।

2. विषम घात वाले बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

3. यदि α, (х) का मूल है, तो n (х) = (х - α)·Q n - 1 (x), जहां Q n - 1 (x) डिग्री (n - 1) का एक बहुपद है .

4. पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का कोई भी पूर्णांक मूल मुक्त पद का भाजक होता है।

5. पूर्णांक गुणांक वाले कम किए गए बहुपद में भिन्नात्मक परिमेय मूल नहीं हो सकते हैं।

6. तीसरी डिग्री बहुपद के लिए

पी 3 (एक्स) \u003d कुल्हाड़ी 3 + बीएक्स 2 + सीएक्स + डी दो चीजों में से एक संभव है: या तो यह तीन द्विपदों के उत्पाद में विघटित हो जाता है

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - ), या द्विपद और वर्ग त्रिपद P 3 (x) \u003d a (x - α) के गुणनफल में विघटित होता है ( एक्स 2 + βx + )।

7. चौथी डिग्री का कोई भी बहुपद दो वर्ग त्रिपदों के गुणनफल में फैलता है।

8. एक बहुपद f(x) एक बहुपद g(x) से बिना शेषफल के विभाज्य होता है यदि एक बहुपद q(x) मौजूद हो जिससे कि f(x) = g(x) q(x)। बहुपदों को विभाजित करने के लिए, "एक कोने से भाग" का नियम लागू होता है।

9. बहुपद P(x) के द्विपद (x - c) से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि c, P(x) का मूल हो (बेज़ौट के प्रमेय का परिणाम)।

10. विएटा की प्रमेय: यदि x 1, x 2, ..., x n बहुपद के वास्तविक मूल हैं

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, तो निम्नलिखित समानताएँ होती हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन = -ए 1 / ए 0,

एक्स 1 एक्स 2 + एक्स 1 एक्स 3 + ... + एक्स एन - 1 एक्स एन \u003d ए 2 / ए 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3 एक्स एन \u003d (-1) एन ए एन / ए 0।

उदाहरणों का समाधान

उदाहरण 1 . P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 को (x - 1/3) से विभाजित करने के बाद शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम के अनुसार: "एक बहुपद को एक द्विपद (x - c) से विभाजित करने का शेष भाग c में बहुपद के मान के बराबर होता है।" आइए, P(1/3) = 0 ज्ञात करें। इसलिए, शेषफल 0 है और संख्या 1/3 बहुपद का मूल है।

उत्तर: आर = 0।

उदाहरण 2 . "कोने" को 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 को (x + 2) से भाग दें। शेष और अपूर्ण भागफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3| एक्स + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

एक्स 2 - 2x

एक्स 2 - 2x

उत्तर: आर = 3; भागफल: 2x 2 - x।

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके

1. एक नए चर का परिचय

एक नए चर को पेश करने की विधि यह है कि समीकरण f(x) = 0 को हल करने के लिए, एक नया चर (प्रतिस्थापन) t = xn या t = g(x) पेश किया जाता है और f(x) को t के रूप में व्यक्त किया जाता है, एक नया समीकरण r(t) प्राप्त करना। तब समीकरण r(t) को हल करते हुए, मूल ज्ञात कीजिए: (t 1 , t 2 ,…, t n)। उसके बाद, n समीकरणों का एक सेट q(x) = t 1, q(x) = t 2 , ..., q(x) = t n प्राप्त होता है, जिससे मूल समीकरण के मूल ज्ञात होते हैं।

उदाहरण;(एक्स 2 + एक्स + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0।

हल: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0।

(एक्स 2 + एक्स + 1) 2 - 3 (एक्स 2 + एक्स + 1) + 3 - 1 = 0।

प्रतिस्थापन (x 2 + x + 1) = t.

टी 2 - 3टी + 2 = 0.

टी 1 \u003d 2, टी 2 \u003d 1. रिवर्स रिप्लेसमेंट:

x 2 + x + 1 = 2 या x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 या x 2 + x \u003d 0;

पहले समीकरण से: x 1, 2 = (-1 ± 5) / 2, दूसरे से: 0 और -1।

एक नया चर पेश करने की विधि को हल करने में आवेदन मिलता है वापस करने समीकरण, अर्थात्, 0 xn + a 1 xn - 1 + .. + a - 1 x + a \u003d 0 के रूप के समीकरण, जिसमें समीकरण की शर्तों के गुणांक, शुरुआत और अंत से समान रूप से दूरी पर हैं , बराबर हैं।

2. समूहीकरण की विधि द्वारा गुणनखंडन और संक्षिप्त गुणन सूत्र

बुनियाद यह विधिशब्दों का समूहीकरण इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक समूह में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो। ऐसा करने के लिए, कभी-कभी आपको कुछ कृत्रिम तरकीबों का उपयोग करना पड़ता है।

उदाहरण: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

समाधान। कल्पना कीजिए - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 और समूह:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(एक्स 2 - 1) 2 - 1 - (एक्स - 2) 2 + 1 = 0।

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(एक्स 2 - 1 - एक्स + 2) (एक्स 2 - 1 + एक्स - 2) = 0।

(एक्स 2 - एक्स + 1) (एक्स 2 + एक्स - 3) = 0।

x 2 - x + 1 \u003d 0 या x 2 + x - 3 \u003d 0।

पहले समीकरण में कोई मूल नहीं है, दूसरे से: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2।

3. अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा गुणनखंडन

विधि का सार यह है कि मूल बहुपद अज्ञात गुणांक वाले कारकों में विघटित हो जाता है। इस गुण का उपयोग करना कि बहुपद समान हैं यदि उनके गुणांक समान घातों पर समान हैं, तो अज्ञात विस्तार गुणांक पाए जाते हैं।

उदाहरण: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

समाधान। तीसरी डिग्री के बहुपद को रैखिक और वर्ग कारकों के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है।

एक्स 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (एक्स - ए) (एक्स 2 + बीएक्स + सी),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac।

सिस्टम को हल करना:

हमें मिला

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2)।

समीकरण (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 के मूल आसानी से खोजे जा सकते हैं।

उत्तर 1; -2।

4. उच्चतम और मुक्त गुणांक द्वारा मूल का चयन करने की विधि

विधि प्रमेयों के अनुप्रयोग पर आधारित है:

1) पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का कोई भी पूर्णांक मूल मुक्त पद का भाजक होता है।

2) अपरिवर्तनीय अंश p / q (p एक पूर्णांक है, q एक प्राकृतिक है) के लिए पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण की जड़ होने के लिए, यह आवश्यक है कि संख्या p मुक्त पद a 0 का पूर्णांक भाजक हो , और q उच्चतम गुणांक का एक प्राकृतिक भाजक है।

उदाहरण: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

समाधान:

2: पी = ±1, ±2

6: क्यू = 1, 2, 3, 6।

इसलिए p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

एक मूल, उदाहरण के लिए - 2 को खोजने के बाद, हम एक कोने से विभाजन, अनिश्चित गुणांक की विधि या हॉर्नर की योजना का उपयोग करके अन्य जड़ें पाएंगे।

उत्तर: -2; 1/2; 1/3.

5. ग्राफिक विधि।

इस पद्धति में रेखांकन की साजिश रचने और कार्यों के गुणों का उपयोग करना शामिल है।

उदाहरण:एक्स 5 + एक्स - 2 = 0

आइए समीकरण को x 5 \u003d - x + 2 के रूप में प्रस्तुत करें। फ़ंक्शन y \u003d x 5 बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y \u003d - x + 2 घट रहा है। इसका मतलब है कि समीकरण x 5 + x - 2 \u003d 0 का एक ही मूल -1 है।

6. एक फलन द्वारा समीकरण का गुणन।

कभी-कभी एक बीजगणितीय समीकरण के हल को उसके दोनों भागों को अज्ञात में एक बहुपद - किसी फ़ंक्शन द्वारा गुणा करके बहुत सुविधा प्रदान की जाती है। उसी समय, यह याद रखना चाहिए कि अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं - बहुपद की जड़ें जिससे समीकरण को गुणा किया गया था। इसलिए, किसी को या तो उस बहुपद से गुणा करना चाहिए जिसका कोई मूल नहीं है और प्राप्त करें समतुल्य समीकरण, या एक बहुपद से गुणा करें जिसमें जड़ें हों, और फिर इनमें से प्रत्येक मूल को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए और यह निर्धारित करना चाहिए कि यह संख्या इसकी जड़ है या नहीं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

एक्स 8 - एक्स 6 + एक्स 4 - एक्स 2 + 1 = 0. (1)

समाधान: समीकरण के दोनों पक्षों को बहुपद X 2 + 1 से गुणा करने पर, जिसका कोई मूल नहीं है, हमें समीकरण प्राप्त होता है:

(एक्स 2 + 1) (एक्स 8 - एक्स 6 + एक्स 4 - एक्स 2 + 1) \u003d 0 (2)
समीकरण (1) के बराबर। समीकरण (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक्स 10 + 1 = 0 (3)
यह स्पष्ट है कि समीकरण (3) की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, इसलिए समीकरण (1) में वे नहीं हैं।

उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए उपरोक्त विधियों के अलावा, अन्य भी हैं। उदाहरण के लिए, एक पूर्ण वर्ग का चयन, हॉर्नर की योजना, दो अंशों के रूप में एक अंश का प्रतिनिधित्व। से सामान्य तरीकेउच्च डिग्री के समीकरणों के समाधान, जो सबसे आम हैं, का उपयोग करें: समीकरण के बाईं ओर के कारकों में अपघटन की विधि;

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (एक नया चर शुरू करने की विधि); ग्राफिक तरीका. "संपूर्ण समीकरण और इसकी जड़ें" विषय का अध्ययन करते समय हम 9वीं कक्षा के छात्रों के लिए इन विधियों का परिचय देते हैं। पाठ्यपुस्तक बीजगणित 9 में (लेखक मकर्यचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी और अन्य) हाल के वर्षप्रकाशन उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों पर पर्याप्त विस्तार से विचार करते हैं। इसके अलावा, "उन लोगों के लिए जो अधिक जानना चाहते हैं" खंड में, मेरी राय में, उच्च के समीकरणों को हल करते समय एक पूरे समीकरण के बहुपद और पूर्णांक जड़ों की जड़ पर प्रमेयों के आवेदन पर सामग्री को एक सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया जाता है। डिग्री। अच्छी तरह से तैयार छात्र रुचि के साथ इस सामग्री का अध्ययन करते हैं, और फिर हल किए गए समीकरणों को अपने सहपाठियों के सामने प्रस्तुत करते हैं।

हमारे आस-पास की लगभग हर चीज किसी न किसी तरह से गणित से जुड़ी हुई है। भौतिकी, प्रौद्योगिकी में उपलब्धियां, सूचान प्रौद्योगिकीकेवल इसकी पुष्टि करें। और क्या बहुत महत्वपूर्ण है - कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आता है जिन्हें आपको हल करना सीखना होगा।