विभेदक प्रणालियों का समाधान। परिचालन पद्धति का उपयोग करके अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें

हमने इस खंड को सरलतम रूप d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 के अवकल समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए समर्पित करने का निर्णय लिया, जिसमें a 1, b 1 , c 1, a 2 , b 2 , c 2 कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए सबसे प्रभावी एकीकरण विधि है। आइए इस विषय पर एक उदाहरण समाधान पर भी विचार करें।

विभेदक समीकरणों की प्रणाली का समाधान x (t) और y (t) कार्यों की एक जोड़ी होगी, जो सिस्टम के दोनों समीकरणों को एक पहचान में बदलने में सक्षम है।

अवकल समीकरणों की प्रणाली को एकीकृत करने की विधि पर विचार करें d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 । अज्ञात फ़ंक्शन x (t) को पहले समीकरण से बाहर करने के लिए हम सिस्टम के दूसरे समीकरण से x व्यक्त करते हैं:

डी वाई डी टी = ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 ⇒ एक्स = 1 ए 2 डी वाई डी टी - बी 2 वाई - सी 2

आइए हम दूसरे समीकरण को के संबंध में विभेदित करें टीऔर d x d t के लिए इसके समीकरण को हल करें:

डी 2 वाई डी टी 2 = ए 2 डी एक्स डी टी + बी 2 डी वाई डी टी ⇒ डी एक्स डी टी = 1 ए 2 डी 2 वाई डी टी 2 - बी 2 डी वाई डी टी

अब आइए पिछली गणनाओं के परिणाम को सिस्टम के पहले समीकरण में बदलें:

डी एक्स डी टी = ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 ⇒ 1 ए 2 डी 2 वाई डी टी 2 - बी 2 डी वाई डी टी = ए 1 ए 2 डी वाई डी टी - बी 2 वाई - सी 2 + बी 1 वाई + सी 1 ⇔ डी 2 वाई डी टी 2 - (ए 1 + बी 2) डी वाई डी टी + (ए 1 बी 2 - ए 2 बी 1) वाई = ए 2 सी 1 - ए 1 सी 2

इस प्रकार, हमने अज्ञात फलन x (t) को हटा दिया और दूसरे क्रम का एक रैखिक अमानवीय DE प्राप्त किया स्थिर गुणांक. आइए इस समीकरण y (t) का हल खोजें और इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण में बदलें। हमे पता करने दें एक्स (टी). हम मानते हैं कि यह समीकरणों की प्रणाली के समाधान को पूरा करता है।

उदाहरण 1

अंतर समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजें d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

समाधान

आइए सिस्टम के पहले समीकरण से शुरू करें। आइए इसे x के सन्दर्भ में हल करते हैं:

एक्स = डी वाई डी टी - 2 वाई + 3

अब सिस्टम के दूसरे समीकरण का विभेदन करते हैं, जिसके बाद हम इसे d x d t के संबंध में हल करते हैं:

हम गणना के दौरान प्राप्त परिणाम को DE प्रणाली के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

डी एक्स डी टी = एक्स - 1 डी 2 वाई डी टी 2 - 2 डी वाई डी टी = डी वाई डी टी - 2 वाई + 3 - 1 डी 2 वाई डी टी 2 - 3 डी वाई डी टी + 2 वाई = 2

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने एक रैखिक अमानवीय प्राप्त किया अंतर समीकरणअचर गुणांकों वाला दूसरा क्रम d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 । अगर हम इसे पाते हैं सामान्य निर्णय, तो हमें फ़ंक्शन मिलता है वाई (टी).

संबंधित LODE y 0 का सामान्य हल जड़ों की गणना करके पाया जा सकता है विशेषता समीकरणके 2 - 3 के + 2 = 0:

डी \u003d 3 2 - 4 2 \u003d 1 k 1 \u003d 3 - 1 2 \u003d 1 k 2 \u003d 3 + 1 2 \u003d 2

हमें जो जड़ें मिली हैं, वे वैध और विशिष्ट हैं। इस संबंध में, LODE के सामान्य समाधान का रूप y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t होगा।

आइए अब रैखिक अमानवीय DE y ~ का एक विशेष हल खोजें:

डी 2 वाई डी टी 2 - 3 डी वाई डी टी + 2 वाई = 2

समीकरण का दाहिना भाग शून्य घात वाला बहुपद है। इसका मतलब है कि हम y ~ = A के रूप में एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे, जहां A एक अनिश्चित गुणांक है।

हम समानता d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2 से अनिश्चित गुणांक निर्धारित कर सकते हैं:
डी 2 (ए) डी टी 2 - 3 डी (ए) डी टी + 2 ए = 2 ⇒ 2 ए = 2 ⇒ ए = 1

इस प्रकार, y ~ = 1 और y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1। हमें एक अज्ञात कार्य मिला।

अब हम पाए गए फलन को DE प्रणाली के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और के संबंध में नए समीकरण को हल करते हैं एक्स (टी):
डी (सी 1 ई टी + सी 2 ई 2 टी + 1) डी टी = एक्स + 2 (सी 1 ई टी + सी 2 ई 2 टी + 1) - 3 सी 1 ई टी + 2 सी 2 ई 2 टी = एक्स + 2 सी 1 ई टी + 2 सी 2 ई 2 टी - 1 एक्स = - सी 1 ई टी + 1

इसलिए हमने दूसरे अज्ञात फलन x (t) = - C 1 · e t + 1 की गणना की।

उत्तर: एक्स (टी) = - सी 1 ई टी + 1 वाई (टी) = सी 1 ई टी + सी 2 ई 2 टी + 1

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यह बाहर एक उमस भरा समय है, चिनार का फूल उड़ जाता है, और ऐसा मौसम आराम करने के लिए अनुकूल होता है। प्रति शैक्षणिक वर्षसबकी थकान इकट्ठी हो गई है, लेकिन गर्मी की छुट्टियों/छुट्टियों की उम्मीद से प्रेरणा लेनी चाहिए सफल वितरणपरीक्षा और अंक। वैसे शिक्षक भी मौसम के अनुसार सुस्त हैं, इसलिए जल्द ही मैं भी दिमाग को उतारने के लिए समय निकालूंगा। और अब कॉफी, मापा गड़गड़ाहट सिस्टम ब्लॉक, खिड़की पर कुछ मरे हुए मच्छर और पूरी तरह से काम करने की स्थिति ... ओह, लानत है ... एक कमबख्त कवि।

व्यापार करने के लिए। और कौन, लेकिन मेरे पास आज 1 जून है, और हम दूसरे पर विचार करेंगे विशिष्ट कार्यजटिल विश्लेषण - परिचालन कलन की विधि द्वारा विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजना. आपको क्या जानने और इसे हल करने का तरीका सीखने में सक्षम होने की आवश्यकता है? मुख्य रूप से, अत्यधिक सिफारिश किया जाता हैपाठ का संदर्भ लें। कृपया परिचयात्मक भाग पढ़ें, विषय की सामान्य सेटिंग, शब्दावली, संकेतन और कम से कम दो या तीन उदाहरणों को समझें। तथ्य यह है कि डिफ्यूज़र सिस्टम के साथ सब कुछ लगभग समान और आसान भी होगा!

बेशक, आपको समझना चाहिए क्या अंतर समीकरणों की प्रणाली, जिसका अर्थ है प्रणाली का एक सामान्य समाधान और प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजना।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि अंतर समीकरणों की प्रणाली को "पारंपरिक" तरीके से हल किया जा सकता है: उन्मूलन विधिया विशेषता समीकरण का उपयोग करना. परिचालन कलन की विधि, जिस पर चर्चा की जाएगी, नियंत्रण प्रणाली पर लागू होती है जब कार्य निम्नानुसार तैयार किया जाता है:

अवकल समीकरणों के समांगी निकाय का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए प्रारंभिक शर्तों के अनुरूप .

वैकल्पिक रूप से, सिस्टम विषम भी हो सकता है - कार्यों के रूप में और सही भागों में "मेकवेट" के साथ:

लेकिन, दोनों ही मामलों में, आपको स्थिति के दो मूलभूत बिंदुओं पर ध्यान देने की आवश्यकता है:

1) यह के बारे में है केवल एक निजी निर्णय के बारे में.
2) प्रारंभिक स्थितियों के कोष्ठक में हैं सख्ती से शून्य, और बाकी कुछ भी नहीं।

सामान्य चाल और एल्गोरिथ्म बहुत समान होगा एक परिचालन विधि द्वारा एक अंतर समीकरण का समाधान. से संदर्भ वस्तुवही मूल और छवियों की तालिका.

उदाहरण 1

, ,

समाधान:शुरुआत तुच्छ है: साथ लैपलेस ट्रांसफॉर्म टेबलआइए मूल से संबंधित छवियों पर चलते हैं। रिमोट कंट्रोल सिस्टम की समस्या में, यह संक्रमण आमतौर पर सरल होता है:

सारणीबद्ध सूत्रों №№1,2 का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

"खेल" के साथ क्या करना है? तालिका "x" से "y" में मानसिक रूप से बदलें। प्रारंभिक स्थिति को ध्यान में रखते हुए समान परिवर्तनों №№1,2 का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

मिली छवियों को मूल समीकरण में बदलें :

अब बायीं तरफ परएकत्र किए जाने वाले समीकरण सबवे शब्द जिनमें या . दाहिनी ओरसमीकरणों को "तैयार" करने की आवश्यकता है अन्यशर्तें:

इसके अलावा, प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर, हम ब्रैकेटिंग करते हैं:

इस मामले में, पहले पदों पर रखा जाना चाहिए, और दूसरे स्थान पर:

दो अज्ञात के साथ समीकरणों की परिणामी प्रणाली आमतौर पर हल की जाती है क्रैमर के सूत्रों के अनुसार. आइए प्रणाली के मुख्य निर्धारक की गणना करें:

सारणिक की गणना के परिणामस्वरूप, एक बहुपद प्राप्त हुआ।

महत्वपूर्ण तकनीकी टिप!यह बहुपद बेहतर है तुरंतगुणनखंड करने का प्रयास करें। इसके लिए, किसी को हल करने का प्रयास करना चाहिए द्विघात समीकरण , लेकिन, कई पाठकों के लिए, दूसरे वर्ष के लिए प्रशिक्षित एक आंख नोटिस करेगी कि .

इस प्रकार, प्रणाली का हमारा मुख्य निर्धारक है:

सिस्टम के साथ और अधिक डिस्सेप्लर, धन्यवाद क्रेमर, मानक है:

परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है सिस्टम का ऑपरेटर निर्णय:

विचाराधीन कार्य का लाभ यह है कि भिन्न आमतौर पर सरल हो जाते हैं, और कार्यों में भिन्नों की तुलना में उनसे निपटना बहुत आसान होता है परिचालन विधि द्वारा DE का एक विशेष समाधान खोजना. Premonition ने आपको धोखा नहीं दिया - अच्छा पुराना अनिश्चित गुणांक की विधि, जिसकी सहायता से हम प्रत्येक भिन्न को प्राथमिक भिन्नों में विघटित करते हैं:

1) हम पहले अंश से निपटते हैं:

इस तरह:

2) हम दूसरे अंश को इसी तरह से तोड़ते हैं, जबकि अन्य स्थिरांक (अनिश्चित गुणांक) का उपयोग करना अधिक सही है:

इस तरह:

डमी को विघटित ऑपरेटर समाधान लिखने की सलाह दी जाती है निम्नलिखित प्रपत्र:
- तो अंतिम चरण स्पष्ट हो जाएगा - उलटा लाप्लास परिवर्तन।

तालिका के दाहिने कॉलम का उपयोग करते हुए, आइए छवियों से संबंधित मूल पर चलते हैं:

अच्छे गणितीय स्वर के नियमों के अनुसार, हम परिणाम को थोड़ा जोड़ते हैं:

उत्तर:

उत्तर की जाँच द्वारा की जाती है मानक योजना, जिसकी पाठ में विस्तार से चर्चा की गई है अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?टास्क में बड़ा प्लस स्कोर करने के लिए हमेशा इसे पूरा करने का प्रयास करें।

उदाहरण 2

संक्रियात्मक कलन का उपयोग करते हुए, दी गई प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप अंतर समीकरणों की प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजें।
, ,

यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय. पाठ के अंत में समस्या की अंतिम रूपरेखा और उत्तर का एक अनुमानित नमूना।

विभेदक समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली का समाधान एल्गोरिदमिक रूप से अलग नहीं है, सिवाय इसके कि यह तकनीकी रूप से थोड़ा अधिक जटिल होगा:

उदाहरण 3

संक्रियात्मक कलन का उपयोग करते हुए, दी गई प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप अंतर समीकरणों की प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजें।
, ,

समाधान:प्रारंभिक शर्तों को देखते हुए, लाप्लास परिवर्तन तालिका का उपयोग करना , आइए मूल से संबंधित छवियों पर चलते हैं:

लेकिन इतना ही नहीं, समीकरणों के दायीं ओर एकाकी अचर हैं। उन मामलों में क्या करें जब स्थिरांक अपने आप में बिल्कुल अकेला हो? इस पर पाठ में पहले ही चर्चा की जा चुकी है। परिचालन विधि द्वारा DE को कैसे हल करें. हम दोहराते हैं: एकल स्थिरांक को मानसिक रूप से एक से गुणा किया जाना चाहिए, और निम्नलिखित लाप्लास परिवर्तन को इकाइयों पर लागू किया जाना चाहिए:

मूल प्रणाली में मिली छवियों को प्रतिस्थापित करें:

बाईं ओर हम उन पदों को स्थानांतरित करते हैं जिनमें हम मौजूद हैं, दाएं भागों में हम शेष पदों को रखते हैं:

बाईं ओर, हम कोष्ठक करते हैं; इसके अलावा, हम कम करते हैं आम विभाजक दाईं ओरदूसरा समीकरण:

हम सिस्टम के मुख्य निर्धारक की गणना करते हैं, यह नहीं भूलते कि परिणाम को तुरंत कारक बनाने का प्रयास करना उचित है:
, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

हम और आगे बढ़ते हैं:



इस प्रकार, सिस्टम का ऑपरेटर समाधान:

कभी-कभी एक या दोनों भिन्नों को कम किया जा सकता है, और यह इतनी अच्छी तरह से होता है कि व्यावहारिक रूप से कुछ भी निर्धारित करने के लिए नहीं है! और कुछ मामलों में, यह तुरंत एक फ्रीबी बन जाता है, वैसे, पाठ का निम्नलिखित उदाहरण एक सांकेतिक उदाहरण होगा।

अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके, हम प्राथमिक अंशों का योग प्राप्त करते हैं।

पहले अंश को तोड़ना:

और हमें दूसरा मिलता है:

नतीजतन, ऑपरेटर का निर्णय वह रूप लेता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

सही कॉलम का उपयोग करना मूल और छवियों की तालिकाउलटा लाप्लास परिवर्तन करें:

आइए प्राप्त छवियों को सिस्टम के ऑपरेटर समाधान में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर:निजी समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक अमानवीय प्रणाली में, किसी को की तुलना में अधिक समय लेने वाली गणना करनी पड़ती है सजातीय प्रणाली. आइए साइन, कोसाइन के साथ कुछ और उदाहरणों का विश्लेषण करें, और यह पर्याप्त है, क्योंकि लगभग सभी प्रकार की समस्या और समाधान की अधिकांश बारीकियों पर विचार किया जाएगा।

उदाहरण 4

परिचालन कलन की विधि का उपयोग करते हुए, दी गई प्रारंभिक स्थितियों के साथ अंतर समीकरणों की प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजें,

समाधान: यह उदाहरणमैं खुद इसका विश्लेषण भी करूंगा, लेकिन टिप्पणियों का संबंध केवल विशेष क्षणों से होगा। मुझे लगता है कि आप समाधान एल्गोरिदम में पहले से ही अच्छी तरह से वाकिफ हैं।

आइए मूल से संबंधित छवियों पर चलते हैं:

आइए मिली छवियों को मूल रिमोट कंट्रोल सिस्टम में बदलें:

हम Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं:
, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

परिणामी बहुपद गुणनखंडित नहीं है। ऐसे मामलों में क्या करें? बिल्कुल कुछ नहीं। यह भी करेगा।

नतीजतन, सिस्टम का ऑपरेटर समाधान:

यहाँ भाग्यशाली टिकट है! अनिश्चित गुणांक की विधि का प्रयोग बिल्कुल भी नहीं करना चाहिए ! केवल एक चीज, तालिका परिवर्तनों को लागू करने के लिए, हम समाधान को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखते हैं:

आइए छवियों से संबंधित मूल में चलते हैं:

आइए प्राप्त छवियों को सिस्टम के ऑपरेटर समाधान में प्रतिस्थापित करें:

निरंतर गुणांक के साथ साधारण अंतर समीकरण (SODE) की प्रणाली के लिए मैट्रिक्स संकेतन

निरंतर गुणांक के साथ रैखिक सजातीय SODE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

जहां $y_(1) \बाएं(x\दाएं),\; y_(2) \बाएं(x\दाएं),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- स्वतंत्र चर $x$ के वांछित कार्य, गुणांक $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- हम मैट्रिक्स नोटेशन में दी गई वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं:

1. वांछित कार्यों का मैट्रिक्स $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_ (n) \ बाएँ (x \ दाएँ)) \ अंत (सरणी) \ दाएँ) $;
2. व्युत्पन्न निर्णय मैट्रिक्स $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. SODE गुणांक मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) और (a_(22) ) और (\ldots ) और (a_(2n) ) \\ (\ldots ) और (\ldots ) और (\ldots ) और (\ldots ) \\ (a_(n1) ) और ( a_(n2) ) और (\ldots ) और (a_(nn) ) \end(array)\right)$।

अब, मैट्रिक्स गुणन के नियम के आधार पर, इस SODE को मैट्रिक्स समीकरण $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$ के रूप में लिखा जा सकता है।

स्थिर गुणांक वाले SODE को हल करने की सामान्य विधि

कुछ संख्याओं का मैट्रिक्स होने दें $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \ अल्फा _ (एन)) \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

SODE समाधान निम्नलिखित रूप में पाया जाता है: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^( k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $। मैट्रिक्स रूप में: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2)) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array) )\दाएं)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

यहाँ से हमें मिलता है:

अब मैट्रिक्स समीकरणइस SODE को फॉर्म दिया जा सकता है:

परिणामी समीकरण को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

अंतिम समानता से पता चलता है कि वेक्टर $\alpha $ को मैट्रिक्स $A$ की मदद से वेक्टर $k\cdot \alpha $ के समानांतर में बदल दिया जाता है। इसका मतलब है कि वेक्टर $\alpha $ is खुद का वेक्टरमैट्रिक्स $A$ के अनुरूप eigenvalue$ के $।

संख्या $k$ को समीकरण से निर्धारित किया जा सकता है $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) और (a_(22) -k) और (\ldots ) और (a_(2n) ) \\ (\ldots ) और (\ldots ) और (\ldots ) और (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) और (a_(n2) ) और (\ldots ) और (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$।

इस समीकरण को विशेषता कहा जाता है।

सभी मूल $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ विशेषता समीकरण के अलग होने दें। प्रत्येक $k_(i)$ मूल्य के लिए $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \ \ (a_(21) ) और (a_(22) -k) और (\ldots ) और (a_(2n) ) \\ (\ldots ) और (\ldots ) और (\ldots ) और (\ldots ) \ \ (a_(n1) ) और (a_(n2)) और (\ldots ) और (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) ( \alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ मूल्यों का एक मैट्रिक्स परिभाषित किया जा सकता है $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right) ))) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$।

इस मैट्रिक्स में मूल्यों में से एक को मनमाने ढंग से चुना जाता है।

अंत में, मैट्रिक्स रूप में इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार लिखा गया है:

$\बाएं(\प्रारंभ(सरणी)(सी) (y_(1) ) \\ (y_(2)) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ बाएं (\ start (सरणी) (सीसीसीसी) (\ अल्फा _ (1) ^ (\ बाएं (1 \ दाएं))) और (\ अल्फा _ (1) ^ (\ बाएं (2 \ दाएं))) और (\ ldots ) और (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) और (\alpha _(2)^ (\बाएं(2\दाएं))) और (\ldots ) और (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) और (\ldots ) और (\ldots ) और (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) और (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) और (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right))) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_) (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

जहां $C_(i) $ मनमानी स्थिरांक हैं।

एक कार्य

सिस्टम को हल करें $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_) 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$.

सिस्टम मैट्रिक्स लिखें: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$।

मैट्रिक्स रूप में, यह SODE इस प्रकार लिखा जाता है: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (सरणी)\दाएं)=\बाएं(\शुरू(सरणी)(सीसी) (5) और (4) \\ (4) और (5) \end(सरणी)\दाएं)\cdot \बाएं( \begin(सरणी)(c) (y_(1)) \\ (y_(2)) \end(array)\right)$.

हमें विशेषता समीकरण मिलता है:

$\बाएं|\प्रारंभ(सरणी)(सीसी) (5-के) और (4) \\ (4) और (5-के) \end(सरणी)\दाएं|=0$ यानी $k^( 2) -10\cdot k+9=0$।

विशेषता समीकरण की जड़ें: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$।

हम $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ दाएं))) \end(सरणी)\दाएं)$ $k_(1) =1$ के लिए:

\[\बाएं(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) और (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सी) (\ अल्फा _ (1) ^ (\ बाएं (1 \ दाएं))) \\ (\ अल्फा _ (2) ^ (\ बाएं (1 \ दाएं))) \ अंत (सरणी)\दाएं)=0,\]

यानी $\बाएं(5-1\दाएं)\cdot \alpha _(1)^(\बाएं(1\दाएं)) +4\cdot \alpha _(2)^(\बाएं(1\दाएं)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) = 0$।

$\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$ डालने पर, हमें $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$ मिलता है।

हम $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ दाएं))) \end(सरणी)\दाएं)$ $k_(2) =9$ के लिए:

\[\बाएं(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सी) (\ अल्फा _ (1) ^ (\ बाएं (2 \ दाएं))) \\ (\ अल्फा _ (2) ^ (\ बाएं (2 \ दाएं))) \ अंत (सरणी)\दाएं)=0, \]

यानी $\बाएं(5-9\दाएं)\cdot \alpha _(1)^(\बाएं(2\दाएं)) +4\cdot \alpha _(2)^(\बाएं(2\दाएं)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) = 0$।

$\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$ डालने पर, हमें $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$ मिलता है।

हम मैट्रिक्स रूप में SODE समाधान प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं(\शुरू(सरणी)(सी) (y_(1) ) \\ (y_(2)) \end(सरणी)\दाएं)=\बाएं(\शुरू(सरणी)(सीसी) (1) और (1) \\ (-1) और (1) \end(सरणी)\दाएं)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

सामान्य रूप में, SODE समाधान है: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end (सरणी)\दाएं।$।

व्यावहारिक मूल्यअंतर समीकरण इस तथ्य के कारण है कि, उनका उपयोग करके, आप बुनियादी भौतिक या रासायनिक कानून और अक्सर चर के एक पूरे समूह के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं जो तकनीकी मुद्दों के अध्ययन में बहुत महत्व रखते हैं।

पर होने वाली प्रक्रिया के लिए भी सबसे सरल भौतिक नियम का अनुप्रयोग परिवर्तनशील स्थितियां, चरों के बीच एक बहुत ही जटिल संबंध को जन्म दे सकता है।

अवकल समीकरणों की ओर ले जाने वाली भौतिक और रासायनिक समस्याओं को हल करते समय, यह ज्ञात करना महत्वपूर्ण है सामान्य अभिन्नसमीकरण, साथ ही इस अभिन्न में शामिल स्थिरांक के मूल्यों को निर्धारित करते हैं, ताकि समाधान इस समस्या से मेल खाता हो।

प्रक्रियाओं का अध्ययन जिसमें सभी आवश्यक मात्राएं केवल एक स्वतंत्र चर के कार्य हैं, सामान्य अंतर समीकरणों की ओर ले जाती हैं।

स्थिर-राज्य प्रक्रियाएं आंशिक अंतर समीकरणों को जन्म दे सकती हैं।

ज्यादातर मामलों में, अवकल समीकरणों के समाधान से समाकलों की खोज नहीं होती है; ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए, किसी को अनुमानित विधियों का उपयोग करना पड़ता है।

गतिकी की समस्या को हल करने में अवकल समीकरणों के निकाय का उपयोग किया जाता है।

साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए सबसे आम और सार्वभौमिक संख्यात्मक विधि परिमित अंतर की विधि है।

साधारण अवकल समीकरणों को समस्याएँ दी जाती हैं जिसमें आश्रित और स्वतंत्र चरों के बीच संबंध खोजने की आवश्यकता होती है, जब बाद वाले लगातार बदलते रहते हैं। समस्या का समाधान परिमित अंतरों में तथाकथित समीकरणों की ओर ले जाता है।

x के निरंतर परिवर्तन के क्षेत्र को नोड्स नामक बिंदुओं के एक समूह द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ये नोड अंतर ग्रिड बनाते हैं। एक सतत तर्क का वांछित कार्य लगभग किसी दिए गए ग्रिड पर तर्क के कार्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस फ़ंक्शन को ग्रिड फ़ंक्शन कहा जाता है। एक अंतर समीकरण द्वारा एक अंतर समीकरण के प्रतिस्थापन को इसका ग्रिड सन्निकटन कहा जाता है। मूल अंतर समीकरण और अतिरिक्त प्रारंभिक स्थितियों का अनुमान लगाने वाले अंतर समीकरणों के सेट को अंतर योजना कहा जाता है। एक अंतर योजना को स्थिर कहा जाता है यदि इनपुट डेटा में एक छोटा परिवर्तन समाधान में एक छोटे से परिवर्तन से मेल खाता है। एक अंतर योजना को सही कहा जाता है यदि इसका समाधान मौजूद है और किसी भी इनपुट डेटा के लिए अद्वितीय है, और यह भी कि यह योजना स्थिर है।

कॉची समस्या को हल करते समय, एक फ़ंक्शन y=y(x) खोजने की आवश्यकता होती है जो समीकरण को संतुष्ट करता है:

और प्रारंभिक स्थिति: y \u003d y 0 x \u003d x 0 के लिए।

आइए अंक x 0 , x 1 , … x n और चरण h i =x i +1 –x i (i = 0, 1, …) के अनुक्रम का परिचय दें। प्रत्येक बिंदु x i पर, संख्या y i पेश की जाती है, जो सटीक समाधान y का अनुमान लगाती है। मूल समीकरण में व्युत्पन्न को परिमित अंतर के अनुपात से बदलने के बाद, अंतर समस्या से अंतर समस्या में संक्रमण किया जाता है:

y i+1 = F(x i , h i , y i+1 , y i , … y i-k+1),

जहां मैं = 0, 1, 2 ...

इस मामले में, k प्राप्त होता है - परिमित अंतरों की चरण विधि। एक-चरण विधियों में, y i +1 की गणना करने के लिए, पिछले चरण y i में केवल एक पहले पाया गया मान, बहु-चरण विधियों में, कई का उपयोग किया जाता है।

कौची समस्या को हल करने के लिए सबसे सरल एक-चरणीय संख्यात्मक विधि यूलर विधि है।

y i+1 = y i + h f(x i , y i).

यह योजना सटीकता के पहले क्रम की एक अंतर योजना है।

यदि समीकरण y "=f(x, y) में दाहिने पक्ष को f(x i, y i) और f(x i+1, y i+1) के बीच अंकगणितीय माध्य से बदल दिया जाता है, अर्थात। , तो हमें यूलर विधि की अंतर्निहित अंतर योजना मिलती है:

,

सटीकता का दूसरा क्रम होना।

में प्रतिस्थापित करके दिया गया समीकरण y i+1 से y i +h f(x i , y i) योजना पुनर्गणना के साथ यूलर विधि में जाती है, जिसमें दूसरा क्रम भी होता है:

अंतर योजनाओं के बीच, अधिक उच्च स्तरसबसे आम है रनगे-कुट्टा पद्धति की योजना चौथा क्रम:

y i +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), i = 0, 1, …

से 1 = f(x i , y i)

से 2 = f(x i + , y i + )

से 3 = f(x i + , y i + )

के 4 = एफ (एक्स आई + एच, वाई आई + के 3)।

सटीकता में सुधार करने के लिए संख्यात्मक समाधानकंप्यूटर समय में उल्लेखनीय वृद्धि के बिना, रन विधि का उपयोग किया जाता है। इसका सार विभिन्न चरणों के साथ एक अंतर योजना के अनुसार बार-बार गणना करना है।

गणनाओं की एक श्रृंखला का उपयोग करके परिष्कृत समाधान का निर्माण किया जाता है। यदि आदेश योजना के अनुसार गणना की दो श्रृंखलाएँ की जाती हैं प्रतिक्रमशः चरण h और h/2 के साथ और ग्रिड फ़ंक्शन y h और y h /2 के मान प्राप्त होते हैं, फिर चरण h के साथ ग्रिड नोड्स पर ग्रिड फ़ंक्शन के परिष्कृत मान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

.

अनुमानित गणना

भौतिक और रासायनिक गणनाओं में, सटीक समाधान देने वाली विधियों और सूत्रों का उपयोग करना शायद ही कभी आवश्यक होता है। ज्यादातर मामलों में, सटीक परिणाम देने वाले समीकरणों को हल करने के तरीके या तो बहुत जटिल होते हैं या अस्तित्वहीन होते हैं। आमतौर पर, अनुमानित समस्या समाधान के तरीकों का उपयोग किया जाता है।

रासायनिक कैनेटीक्स से संबंधित भौतिक और रासायनिक समस्याओं को हल करते समय, प्रयोगात्मक डेटा के प्रसंस्करण के साथ, अक्सर हल करना आवश्यक हो जाता है विभिन्न समीकरण. कुछ समीकरणों का सटीक हल कई मामलों में बड़ी मुश्किलें पेश करता है। इन मामलों में, कोई अनुमानित समाधान के तरीकों का उपयोग कर सकता है, सटीकता के साथ परिणाम प्राप्त कर सकता है जो कार्य को संतुष्ट करता है। कई तरीके हैं: स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन की विधि), रैखिक प्रक्षेप विधि, पुनरावृत्ति (पुनरावृत्ति) विधि, आदि।

मान लीजिए कि एक समीकरण है f(x)=0, और f(x) - निरंतर कार्य. आइए मान लें कि ए और बी के मानों को चुनना संभव है जैसे कि एफ (ए) और एफ (बी) है विभिन्न संकेत, उदाहरण के लिए f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

समीकरण की जड़ों की ग्राफिकल खोज। उच्च डिग्री के समीकरण को हल करने के लिए, ग्राफिकल विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। मान लीजिए कि समीकरण दिया गया है:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

जहाँ a, b,… , p, q संख्याएँ दी गई हैं।

ज्यामितीय रूप से, समीकरण

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

एक निश्चित वक्र है। मनमाने ढंग से x-मानों के अनुरूप y-मानों की गणना करके कोई भी इसके किसी भी अंक का पता लगा सकता है। OX अक्ष के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन का प्रत्येक बिंदु इस समीकरण के किसी एक मूल का मान देता है। इसलिए, OX अक्ष के साथ संबंधित वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए समीकरण की जड़ों को खोजना कम हो जाता है।

पुनरावृत्ति विधि। इस पद्धति में यह तथ्य शामिल है कि हल किया जाने वाला समीकरण f (x) \u003d 0 एक नए समीकरण x \u003d j (x) में परिवर्तित हो जाता है और, पहला सन्निकटन x 1 दिया जाता है, अधिक सटीक सन्निकटन x 2 \u003d j ( x 1), x 3 क्रमिक रूप से पाए जाते हैं =j(x 2) आदि। समाधान सटीकता की किसी भी डिग्री के साथ प्राप्त किया जा सकता है, बशर्ते कि पहले सन्निकटन और समीकरण की जड़ के बीच के अंतराल में | j "(x) |<1.

एक अरेखीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:

ए) आधा विभाजन विधि:

एक वास्तविक जड़ के अलगाव अंतराल को हमेशा विभाजित करके कम किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, आधे में, यह निर्धारित करना कि मूल अंतराल के किस हिस्से की सीमाओं पर फ़ंक्शन f(x) संकेत बदलता है। फिर परिणामी अंतराल को फिर से दो भागों में विभाजित किया जाता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया तब तक की जाती है जब तक कि उत्तर में संग्रहीत दशमलव स्थान बदलना बंद न कर दें।

हम उस अंतराल को चुनते हैं जिसमें समाधान समाप्त होता है। f(a) और f(b) की गणना करें यदि f(a) > 0 और f(b)< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 और f(c) > 0, तो a = c और b = b। अन्यथा, यदि f(a)< 0 и f(c) >0 या f(a) > 0 और f(c)< 0, то a = a и b = c.

बी) स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन विधि):

मान लीजिए कि समीकरण f(x) = 0 का वास्तविक मूल खंड पर पृथक है। आइए एक ऐसे खंड को लें जो एक ऐसी संख्या x 0 है जिसके लिए f (x 0) का वही चिह्न है जो f '(x 0) है। आइए हम वक्र y = f(x) पर बिंदु M 0 पर एक स्पर्श रेखा खींचते हैं। मूल के अनुमानित मान के लिए, हम इस स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज अक्ष ऑक्स के साथ लेते हैं। जड़ का यह अनुमानित मान सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है

इस तकनीक को दूसरी बार बिंदु M 1 पर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

आदि। इस प्रकार प्राप्त अनुक्रम x 0 , x 1 , x 2 , ... की सीमा के रूप में वांछित मूल है। सामान्य तौर पर, इसे इस तरह लिखा जा सकता है:

.

बीजगणितीय समीकरणों की रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस-सीडल पुनरावृत्ति विधि का उपयोग किया जाता है। सामग्री और गर्मी संतुलन की गणना के रूप में रासायनिक प्रौद्योगिकी की ऐसी समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कम हो जाती हैं।

विधि का सार इस तथ्य में निहित है कि सरल परिवर्तनों के माध्यम से, अज्ञात x 1, x 2, ..., x n क्रमशः समीकरण 1,2, ..., n से व्यक्त किए जाते हैं। अज्ञात के प्रारंभिक सन्निकटन x 1 =x 1 (0), x 2 =x 2 (0), ..., x n =x n (0) सेट हैं, इन मानों को व्यंजक x के दाईं ओर प्रतिस्थापित किया जाता है 1 और x 1 (1) की गणना की जाती है। फिर x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) को व्यंजक के दाएँ पक्ष में प्रतिस्थापित किया जाता है x 2 और x 2 (1) आदि मिलते हैं। x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1) की गणना करने के बाद दूसरा पुनरावृत्ति किया जाता है। पुनरावृति प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि मान x 1 (k), x 2 (k), ... दी गई त्रुटि के साथ x 1 (k-1), x 2 (k-2) के मान के करीब न आ जाएं। ), ....

रासायनिक प्रौद्योगिकी की ऐसी समस्याएं जैसे रासायनिक संतुलन की गणना, आदि, गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए कम हो जाती हैं। गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियों का भी उपयोग किया जाता है। गैर-रेखीय बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए जटिल संतुलन की गणना कम हो जाती है।

सरल पुनरावृत्ति द्वारा एक प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली गॉस-सीडल विधि जैसा दिखता है।

न्यूटन की विधि में सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में तेजी से अभिसरण होता है। यह टेलर श्रृंखला में फलन F 1 (x 1 , x 2 , ... x n) के विस्तार के उपयोग पर आधारित है। इस मामले में, दूसरे डेरिवेटिव वाले शब्दों को छोड़ दिया जाता है।

पिछले पुनरावृत्ति पर प्राप्त अज्ञात प्रणाली के अनुमानित मान को 1 , a 2 , …a n होने दें। कार्य इन मानों Δx 1, Δx 2, ... x n में वृद्धि का पता लगाना है, जिसके कारण अज्ञात के नए मान प्राप्त होंगे:

एक्स 1 \u003d ए 1 + Δx 1

एक्स 2 \u003d ए 2 + Δx 2

एक्स एन \u003d ए एन + x एन।

आइए एक टेलर श्रृंखला में समीकरणों के बाएँ हाथ का विस्तार करें, जो रैखिक शब्दों तक सीमित है:

चूँकि समीकरणों के बाएँ भाग शून्य के बराबर होने चाहिए, इसलिए हम सही भागों को भी शून्य के बराबर करते हैं। आइए वेतन वृद्धि x के संबंध में रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करें।

मान F 1 , F 2 , … F n और उनके आंशिक व्युत्पन्न की गणना x 1 = a 1, x 2 = a 2 , … x n = a n पर की जाती है।

हम इस प्रणाली को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखते हैं:

इस रूप के मैट्रिक्स G के निर्धारक को जैकोबियन कहा जाता है। ऐसे मैट्रिक्स के निर्धारक को जैकोबियन कहा जाता है। सिस्टम के अद्वितीय समाधान के अस्तित्व के लिए, यह प्रत्येक पुनरावृत्ति पर शून्य से भिन्न होना चाहिए।

इस प्रकार, न्यूटन विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली के समाधान में प्रत्येक पुनरावृत्ति पर जैकोबियन मैट्रिक्स (आंशिक डेरिवेटिव) का निर्धारण करना और प्रत्येक पुनरावृत्ति पर अज्ञात के मूल्यों के लिए वेतन वृद्धि Δх 1, Δх 2, … n का निर्धारण करना शामिल है। रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके।

प्रत्येक पुनरावृत्ति पर जैकोबियन मैट्रिक्स को खोजने की आवश्यकता को समाप्त करने के लिए, एक बेहतर न्यूटन की विधि प्रस्तावित है। यह विधि पिछले पुनरावृत्तियों में प्राप्त F 1, F 2, …, F n मानों का उपयोग करके जैकोबी मैट्रिक्स के सुधार की अनुमति देती है।