Sąlyginis 2 kintamųjų funkcijos ekstremumas. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumas Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumo samprata

Pirmiausia panagrinėkime dviejų kintamųjų funkcijos atvejį. Funkcijos $z=f(x,y)$ sąlyginis ekstremumas taške $M_0(x_0;y_0)$ yra šios funkcijos ekstremumas, pasiekiamas su sąlyga, kad kintamieji $x$ ir $y$ šio taško apylinkės tenkina apribojimo lygtį $\ varphi(x,y)=0$.

Pavadinimas "sąlyginis" ekstremumas atsirado dėl to, kad kintamiesiems yra primesta papildoma sąlyga $\varphi(x,y)=0$. Jeigu iš jungties lygties galima išreikšti vieną kintamąjį kitu, tai sąlyginio ekstremumo nustatymo uždavinys redukuojamas iki įprasto vieno kintamojo funkcijos ekstremumo uždavinio. Pavyzdžiui, jei iš apribojimo lygties seka $y=\psi(x)$, tada $y=\psi(x)$ pakeitę $z=f(x,y)$, gausime vieno kintamojo $ funkciją. z=f\left (x,\psi(x)\right)$. IN bendras atvejis, tačiau šis metodas yra mažai naudingas, todėl reikalingas naujas algoritmas.

Lagranžo daugiklių metodas dviejų kintamųjų funkcijoms.

Lagranžo daugiklių metodas yra toks, kad norint rasti sąlyginį ekstremumą, Lagranžo funkcija sudaroma: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametras $\lambda $ vadinamas Lagranžo daugikliu ). Būtinos ekstremalios sąlygos pateikiamos lygčių sistema, iš kurios nustatomi stacionarūs taškai:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\pabaiga (sulygiuota)\dešinė.$$

Ženklas $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Jei stacionariame taške $d^2F > 0$, tai funkcija $z=f(x,y)$ šiame taške turi sąlyginį minimumą, bet jei $d^2F< 0$, то условный максимум.

Yra ir kitas būdas nustatyti ekstremumo pobūdį. Iš apribojimo lygties gauname: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, taigi bet kuriame stacionariame taške turime:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\right)$$

Antrasis veiksnys (esantis skliausteliuose) gali būti pavaizduotas tokia forma:

$\left| elementai \begin(masyvas) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \pabaiga (masyvas) \right|$, kuris yra Lagranžo funkcijos Hesenas. Jei $H > 0 $, tada $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 USD, t.y. turime funkcijos $z=f(x,y)$ sąlyginį minimumą.

Pastaba dėl $H$ determinanto formos. Rodyti Slėpti

$$ H=-\left|\begin(masyvas) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(masyvas) \right| $$

Šioje situacijoje aukščiau suformuluota taisyklė pasikeičia taip: jei $H > 0$, tai funkcija turi sąlyginį minimumą, o $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Sąlyginio ekstremumo dviejų kintamųjų funkcijos tyrimo algoritmas

1. Sudarykite Lagranžo funkciją $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Išspręskite sistemą $ \left \( \begin(lygied) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(sulygintas)\right.$
3. Nustatykite ekstremumo pobūdį kiekviename stacionariame taške, rastame ankstesnėje pastraipoje. Norėdami tai padaryti, naudokite bet kurį iš šių būdų:
   • Sudarykite determinantą $H$ ir sužinokite jo ženklą
   • Atsižvelgdami į apribojimo lygtį, apskaičiuokite $d^2F$ ženklą

Lagranžo daugiklio metodas n kintamųjų funkcijoms

Tarkime, kad turime $n$ kintamųjų $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ir $m$ apribojimų lygčių funkciją ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Lagranžo daugiklius pažymėdami kaip $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sudarome Lagranžo funkciją:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Būtinas sąlyginio ekstremumo buvimo sąlygas pateikia lygčių sistema, iš kurios randamos stacionarių taškų koordinatės ir Lagranžo daugiklių reikšmės:

$$\left\(\begin(lygiuotas) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(lygiuotas) \right.$$

Sužinoti, ar funkcija rastame taške turi sąlyginį minimumą ar sąlyginį maksimumą, kaip ir anksčiau, galima naudojant ženklą $d^2F$. Jei rastame taške $d^2F > 0$, tai funkcija turi sąlyginį minimumą, bet jei $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matricos determinantas $\left| \begin(masyvas) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ltaškai & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ltaškai & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai &\ltaškai & \ ltaškai\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( masyvas) \right|$, raudonai paryškinta $L$ matricoje, yra Lagranžo funkcijos Heso stulpelis. Mes naudojame šią taisyklę:

• Jei kampinių nepilnamečių ženklai yra $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matricos $L$ sutampa su $(-1)^m$ ženklu, tada tiriamas stacionarus taškas yra funkcijos $ sąlyginis minimumas. z=f(x_1,x_2,x_3,\ltaškai,x_n)$.
• Jei kampinių nepilnamečių ženklai yra $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ pakaitomis, o minoro $H_(2m+1)$ ženklas sutampa su skaičiaus $(-1)^(m+1) ženklu )$, tada tiriamas stacionarus taškas yra funkcijos $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ sąlyginis maksimalus taškas.

1 pavyzdys

Rasti sąlyginis ekstremumas funkcijos $z(x,y)=x+3y$ su sąlyga $x^2+y^2=10$.

Geometrinė šio uždavinio interpretacija yra tokia: reikia rasti didžiausią ir mažiausią plokštumos $z=x+3y$ aplikacijos reikšmę jos susikirtimo su cilindru $x^2+y^2 taškams. = 10 USD.

Iš apribojimo lygties vieną kintamąjį išreikšti kitu ir pakeisti į funkciją $z(x,y)=x+3y$ yra kiek sunku, todėl naudosime Lagranžo metodą.

Pažymėdami $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sudarome Lagrange funkciją:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\dalinis x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Užrašykime lygčių sistemą, skirtą Lagranžo funkcijos stacionariesiems taškams nustatyti:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (sulygiuotas)\right.$$

Jei darysime prielaidą, kad $\lambda=0$, tada pirmoji lygtis bus tokia: $1=0$. Gautas prieštaravimas sako, kad $\lambda\neq 0$. Pagal sąlygą $\lambda\neq 0$, iš pirmosios ir antrosios lygčių turime: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Pakeisdami gautas reikšmes į trečiąją lygtį, gauname:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin (sulygiuotas) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end (sulygiuotas) \right.\\ \begin (sulygiuotas) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(lygiuotas) $$

Taigi, sistema turi du sprendimus: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ir $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Išsiaiškinkime ekstremumo prigimtį kiekviename stacionariame taške: $M_1(1;3)$ ir $M_2(-1;-3)$. Norėdami tai padaryti, kiekviename taške apskaičiuojame determinantą $H$.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masyvas) \right|= \left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(masyvas) \right|= 8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masyvas) \right| $$

Taške $M_1(1;3)$ gauname: $H=8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masyvas) \right|= 8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(masyvas) \right|=40 > 0$, taigi taške $M_1(1;3)$ funkcija $z(x,y)=x+3y$ turi sąlyginį maksimumą, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Panašiai taške $M_2(-1;-3)$ randame: $H=8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masyvas) \right|= 8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(masyvas) \right|=-40 $. Nuo $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Pastebiu, kad užuot skaičiuojant determinanto $H$ reikšmę kiekviename taške, daug patogiau ją išplėsti bendras vaizdas. Kad tekstas nebūtų perkrautas detalėmis, šį metodą paslėpsiu po užrašu.

Determinantas $H$ žymėjimas bendra forma. Rodyti Slėpti

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(masyvas)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Iš principo jau akivaizdu, kokį ženklą turi $H$. Kadangi nė vienas iš taškų $M_1$ arba $M_2$ nesutampa su pradine vieta, tai $y^2+x^2>0$. Todėl $H$ ženklas yra priešingas $\lambda$ ženklui. Taip pat galite atlikti skaičiavimus:

$$ \begin(sulygiuotas) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(sulygiuotas) $$

Klausimas apie ekstremumo prigimtį stacionariuose taškuose $M_1(1;3)$ ir $M_2(-1;-3)$ gali būti išspręstas nenaudojant determinanto $H$. Kiekviename stacionariame taške raskite $d^2F$ ženklą:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Atkreipiu dėmesį, kad žymėjimas $dx^2$ reiškia lygiai $dx$ pakeltą į antrą laipsnį, t.y. $\left(dx\right)^2$. Taigi turime: $dx^2+dy^2>0$, taigi $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ gauname $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Atsakymas: taške $(-1;-3)$ funkcija turi sąlyginį minimumą, $z_(\min)=-10$. Taške $(1;3)$ funkcija turi sąlyginį maksimumą, $z_(\max)=10$

2 pavyzdys

Raskite funkcijos $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sąlyginį ekstremumą esant sąlygai $x+y=0$.

Pirmasis būdas (Lagranžo daugiklių metodas)

Pažymėdami $\varphi(x,y)=x+y$, sudarome Lagranžo funkciją: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin (lygiuotas) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(lygiuotas)\right.$$

Išspręsdami sistemą gauname: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ir $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Turime du stacionarius taškus: $M_1(0;0)$ ir $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Išsiaiškinkime ekstremumo prigimtį kiekviename stacionariame taške naudodami determinantą $H$.

$$ H=\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masyvas) \right|= \left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(masyvas) \right|=-10-18y $$

Taške $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, taigi šiuo metu funkcija turi sąlyginį maksimumą $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Ekstremo pobūdį kiekviename taške tiriame skirtingu metodu, remiantis $d^2F$ ženklu:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Iš apribojimo lygties $x+y=0$ turime: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Kadangi $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, tai $M_1(0;0)$ yra sąlyginis minimumas funkcijos $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Panašiai $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Antras būdas

Iš apribojimo lygties $x+y=0$ gauname: $y=-x$. Pakeitę $y=-x$ į funkciją $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, gauname tam tikrą kintamojo $x$ funkciją. Pažymime šią funkciją kaip $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Taigi dviejų kintamųjų funkcijos sąlyginio ekstremumo radimo problemą redukavome iki vieno kintamojo funkcijos ekstremumo nustatymo.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Gavo taškų $M_1(0;0)$ ir $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Tolimesni tyrimai žinomi iš vieno kintamojo funkcijų diferencialinio skaičiavimo. Ištyrę $u_(xx)^("")$ ženklą kiekviename stacionariame taške arba patikrinę $u_(x)^(")$ ženklo pokytį rastuose taškuose, gauname tokias pačias išvadas kaip ir sprendžiant pirmąjį. Pavyzdžiui, pažymėkite ženklą $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Kadangi $u_(xx)^("")(M_1)>0$, tai $M_1$ yra mažiausias funkcijos $u(x)$ taškas, o $u_(\min)=u(0)=0 $ . Nuo $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Funkcijos $u(x)$ reikšmės pagal nurodytą ryšio sąlygą sutampa su funkcijos $z(x,y)$ reikšmėmis, t.y. rasti funkcijos $u(x)$ ekstremumai yra norimi funkcijos $z(x,y)$ sąlyginiai ekstremumai.

Atsakymas: taške $(0;0)$ funkcija turi sąlyginį minimumą, $z_(\min)=0$. Taške $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcija turi sąlyginį maksimumą, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Panagrinėkime dar vieną pavyzdį, kuriame ekstremumo prigimtį išsiaiškiname nustatę $d^2F$ ženklą.

3 pavyzdys

Raskite maksimalią ir mažiausią funkcijos $z=5xy-4$ reikšmes, jei kintamieji $x$ ir $y$ yra teigiami ir tenkina apribojimo lygtį $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1 = 0 $.

Sukurkite Lagranžo funkciją: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Raskite stacionarius Lagranžo funkcijos taškus:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin (sulygiuotas) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end (sulygiuotas) \right.$$

Visos tolimesnės transformacijos atliekamos atsižvelgiant į $x > 0; \; y > 0$ (tai nurodyta problemos sąlygoje). Iš antrosios lygties išreiškiame $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ir rastą reikšmę pakeičiame pirmąja lygtimi: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Trečiąja lygtimi pakeitę $x=2y$, gauname: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.

Kadangi $y=1$, tada $x=2$, $\lambda=-10$. Ekstremo pobūdis taške $(2;1)$ nustatomas pagal $d^2F$ ženklą.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Kadangi $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, tada:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Iš esmės čia galite iš karto pakeisti stacionaraus taško $x=2$, $y=1$ koordinates ir parametrą $\lambda=-10$, taip gaudami:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Tačiau kitose sąlyginio ekstremumo problemose gali būti keletas stacionarių taškų. Tokiais atvejais $d^2F$ geriau pavaizduoti bendra forma, o tada gautoje išraiškoje pakeisti kiekvieno rasto stacionaraus taško koordinates:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Pakeitę $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, gauname:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Kadangi $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Atsakymas: taške $(2;1)$ funkcija turi sąlyginį maksimumą, $z_(\max)=6$.

Kitoje dalyje aptariame Lagranžo metodo taikymą funkcijoms daugiau kintamieji.

Apibrėžimas1: Sakoma, kad funkcija turi tašką vietinis maksimumas, jei yra taško, kurio bet kuriam taškui, kaimynystė M su koordinatėmis (x, y) nelygybė išsipildo: . Šiuo atveju, t.y., funkcijos padidėjimas< 0.

Apibrėžimas2: sakoma, kad funkcija taške turi vietinį minimumą, jei taško kaimynystė yra tokia, kad bet kuriame taške M su koordinatėmis (x, y) nelygybė išsipildo: . Šiuo atveju, t. y. funkcijos padidėjimas > 0.

3 apibrėžimas: Iškviečiami vietiniai minimalūs ir didžiausi taškai ekstremalūs taškai.

Sąlyginiai kraštutinumai

Ieškant daugelio kintamųjų funkcijos kraštutinumų, dažnai iškyla problemų, susijusių su vadinamuoju sąlyginis kraštutinumas.Šią sąvoką galima paaiškinti dviejų kintamųjų funkcijos pavyzdžiu.

Tegu duota funkcija ir eilutė L ant paviršiaus 0xy. Užduotis – linijuoti L rasti tokį tašką P(x, y), kurioje funkcijos reikšmė yra didžiausia arba mažiausia, palyginti su šios funkcijos reikšmėmis linijos taškuose L esantis netoli taško P. Tokie taškai P paskambino sąlyginiai ekstremumo taškai linijos funkcijos L. Skirtingai nuo įprasto ekstremumo taško, funkcijos reikšmė sąlyginio ekstremumo taške lyginama su funkcijos reikšmėmis ne visuose kai kurių kaimynų taškuose, o tik tuose, kurie yra tiesėje. L.

Visiškai aišku, kad įprasto ekstremumo taškas (taip pat sako besąlyginis ekstremumas) taip pat yra bet kurios tiesės, einančios per šį tašką, sąlyginis ekstremumo taškas. Priešingai, žinoma, netiesa: sąlyginis ekstremumo taškas gali būti ne įprastas ekstremumo taškas. Leiskite man tai paaiškinti paprastu pavyzdžiu. Funkcijos grafikas yra viršutinis pusrutulis (3 priedas (3 pav.)).

Ši funkcija turi maksimumą pradžioje; tai atitinka viršų M pusrutuliai. Jei linija L per taškus eina linija BET Ir IN(jos lygtis x+y-1=0), tada geometriškai aišku, kad šios tiesės taškams didžiausia vertė funkcija pasiekiama taške, esančiame viduryje tarp taškų BET Ir IN. Tai funkcijos sąlyginio ekstremumo (maksimalaus) taškas duotoje tiesėje; jis atitinka pusrutulio tašką M 1, o iš paveikslo matyti, kad apie jokį eilinį ekstremumą čia negali būti nė kalbos.

Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje problemos dalyje rasti didžiausią ir mažiausios vertės veikia uždara zona turime rasti šios srities ribos funkcijos kraštutines reikšmes, t.y. kurioje nors eilutėje ir taip išspręskite sąlyginio ekstremumo problemą.

Dabar pereikime prie funkcijos Z= f(x, y) sąlyginio ekstremumo taškų praktinės paieškos, jei kintamieji x ir y yra susiję lygtimi (x, y) = 0. Šis ryšys bus vadinama apribojimo lygtimi. Jei iš ryšio lygties y galima aiškiai išreikšti x: y \u003d (x), gauname vieno kintamojo funkciją Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Radę x reikšmę, kuriai esant ši funkcija pasiekia ekstremumą, ir tada iš jungties lygties nustatę atitinkamas y reikšmes, gausime norimus sąlyginio ekstremumo taškus.

Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje iš komunikacijos lygties x+y-1=0 turime y=1-x. Iš čia

Nesunku patikrinti, ar z pasiekia maksimumą, kai x = 0,5; bet tada iš jungties lygties y = 0,5, ir gauname tiksliai tašką P, rastą geometriniais svarstymais.

Sąlyginio ekstremumo problema yra labai paprastai išspręsta net tada, kai galima pavaizduoti apribojimo lygtį parametrines lygtis x=x(t), y=y(t). Šia funkcija pakeitę x ir y išraiškas, vėl pasiekiame vieno kintamojo funkcijos ekstremumo radimo problemą.

Jei apribojimo lygtis turi daugiau nei sudėtingas vaizdas ir mums nepavyksta vieno kintamojo aiškiai išreikšti kitu, nei pakeisti jo parametrinėmis lygtimis, tada sąlyginio ekstremumo radimo problema tampa sunkesnė. Toliau darysime prielaidą, kad funkcijos z= f(x, y) išraiškoje kintamasis (x, y) = 0. Funkcijos z= f(x, y) suminė išvestinė lygi:

Kur yra išvestinė y`, randama pagal diferenciacijos taisyklę numanoma funkcija. Sąlyginio ekstremumo taškuose rasta suminė išvestinė turi būti lygi nuliui; taip gaunama viena lygtis, susijusi su x ir y. Kadangi jie taip pat turi atitikti apribojimo lygtį, gauname dviejų lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais

Transformuokime šią sistemą į daug patogesnę, pirmąją lygtį surašydami kaip proporciją ir įvesdami naują pagalbinį nežinomąjį:

(patogumui priešais padėtas minuso ženklas). Iš šių lygybių lengva pereiti prie šios sistemos:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

kuri kartu su apribojimo lygtimi (x, y) = 0 sudaro trijų lygčių sistemą su nežinomaisiais x, y ir.

Šias lygtis (*) lengviausia prisiminti naudojant šią taisyklę: norint rasti taškus, kurie gali būti funkcijos sąlyginio ekstremumo taškai

Z= f(x, y) su apribojimo lygtimi (x, y) = 0, reikia sudaryti pagalbinę funkciją

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Kur yra tam tikra konstanta, ir parašykite lygtis, kad surastumėte šios funkcijos kraštutinius taškus.

Ši lygčių sistema, kaip taisyklė, pateikia tik būtinas sąlygas, t.y. ne kiekviena x ir y reikšmių pora, kuri tenkina šią sistemą, būtinai yra sąlyginis ekstremumo taškas. Nepateiksiu pakankamai sąlygų sąlyginiams ekstremumo balams; labai dažnai pats konkretus problemos turinys rodo, koks yra rastas taškas. Aprašyta sąlyginio ekstremumo uždavinių sprendimo technika vadinama Lagranžo daugiklių metodu.

Kelių kintamųjų funkcijų ekstremumai. Būtina ekstremumo sąlyga. Pakankama sąlyga ekstremumui. Sąlyginis kraštutinumas. Lagranžo daugiklių metodas. Didžiausių ir mažiausių verčių radimas.

5 paskaita

Apibrėžimas 5.1. Taškas M 0 (x 0, y 0) paskambino maksimalus taškas funkcijas z = f(x, y), jeigu f (x o , y o) > f(x, y) už visus taškus (x, y) M 0.

Apibrėžimas 5.2. Taškas M 0 (x 0, y 0) paskambino minimalus taškas funkcijas z = f(x, y), jeigu f (x o , y o) < f(x, y) už visus taškus (x, y) iš kokios nors taško apylinkės M 0.

Pastaba 1. Iškviečiami didžiausi ir mažiausi taškai ekstremalūs taškai kelių kintamųjų funkcijas.

2 pastaba. Bet kokio kintamųjų skaičiaus funkcijos ekstremumo taškas apibrėžiamas panašiai.

5.1 teorema(būtinos ekstremalios sąlygos). Jeigu M 0 (x 0, y 0) yra funkcijos kraštutinis taškas z = f(x, y), tada šioje vietoje šios funkcijos pirmos eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui arba jų nėra.

Įrodymas.

Pataisykime kintamojo reikšmę adresu skaičiuojant y = y 0. Tada funkcija f(x, y0) bus vieno kintamojo funkcija X, kuriam x = x 0 yra kraštutinis taškas. Todėl pagal Ferma teoremą arba neegzistuoja. Tas pats teiginys įrodytas ir .

Apibrėžimas 5.3. Taškai, priklausantys kelių kintamųjų funkcijos sričiai, kuriuose funkcijos dalinės išvestinės yra lygios nuliui arba jų nėra, vadinami stacionarūs taškaišią funkciją.

komentuoti. Taigi ekstremumą galima pasiekti tik stacionariuose taškuose, tačiau nebūtinai jis pastebimas kiekviename iš jų.

5.2 teorema(pakankamos sąlygos ekstremumui). Įsileiskite į kokią nors taško kaimynystę M 0 (x 0, y 0), kuris yra stacionarus funkcijos taškas z = f(x, y),ši funkcija turi ištisines dalines išvestines iki 3 eilės imtinai. Tada pažymėkite:

1) f(x, y) turi taške M 0 maksimalus jei AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) turi taške M 0 minimalus, jei AC-B² > 0, A > 0;

3) kritiniame taške nėra ekstremumo, jei AC-B² < 0;

4) jei AC-B² = 0, reikia papildomų tyrimų.

Įrodymas.

Parašykime funkcijos antrosios eilės Teiloro formulę f(x, y), turint omenyje, kad stacionariame taške pirmosios eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui:

kur Jei kampas tarp atkarpos M 0 M, kur M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ adresu) ir O ašį X pažymėkite φ, tada Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Šiuo atveju Teiloro formulė bus tokia: . Leiskite Tada skliausteliuose esančią išraišką galime padalyti ir padauginti iš BET. Mes gauname:

Dabar apsvarstykite keturis galimus atvejus:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и pakankamai mažam Δρ. Todėl kai kuriose apylinkėse M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), t.y M 0 yra maksimalus taškas.

2) Leiskite AC-B² > 0, A > 0. Tada , Ir M 0 yra minimalus taškas.

3) Leiskite AC-B² < 0, A> 0. Apsvarstykite argumentų prieaugį išilgai spindulio φ = 0. Tada iš (5.1) išplaukia, kad , tai yra, judant palei šį spindulį, funkcija didėja. Jei judėsime išilgai spindulio, kad tg φ 0 \u003d -A / B, tada , todėl judant palei šį spindulį funkcija mažėja. Taigi esmė M 0 nėra kraštutinis taškas.

3`) Kada AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

panašus į ankstesnįjį.

3``) Jei AC-B² < 0, A= 0, tada . Kuriame. Tada, esant pakankamai mažam φ, išraiška 2 B cos + C sinφ artimas 2 IN, tai yra, jis išlaiko pastovų ženklą, o sinφ keičia ženklą taško apylinkėse M 0 . Tai reiškia, kad funkcijos padidėjimas pakeičia ženklą šalia stacionaraus taško, kuris todėl nėra ekstremumo taškas.

4) Jei AC-B² = 0 ir , , tai yra, prieaugio ženklas nustatomas pagal ženklą 2α 0 . Tuo pačiu metu reikalingi tolesni tyrimai, siekiant išsiaiškinti ekstremumo egzistavimo klausimą.

Pavyzdys. Raskime funkcijos kraštutinius taškus z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Norėdami ieškoti stacionarių taškų, išsprendžiame sistemą . Taigi, stacionarus taškas yra (-2,-1). Kuriame A = 2, IN = -2, NUO= 4. Tada AC-B² = 4 > 0, todėl stacionariame taške pasiekiamas ekstremumas, būtent minimumas (nes A > 0).

Apibrėžimas 5.4. Jei funkcijos argumentai f (x 1 , x 2 ,…, x n) saistomas papildomų sąlygų formoje m lygtys ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kur funkcijos φ i turi ištisines dalines išvestines, tai lygtys (5.2) vadinamos ryšio lygtis.

Apibrėžimas 5.5. Funkcinis ekstremumas f (x 1 , x 2 ,…, x n) sąlygomis (5.2) vadinamas sąlyginis ekstremumas.

komentuoti. Galime pasiūlyti tokią geometrinę dviejų kintamųjų funkcijos sąlyginio ekstremumo interpretaciją: tegul funkcijos argumentai f(x,y) yra susiję lygtimi φ (x, y)= 0, apibrėžianti kokią nors kreivę plokštumoje O hu. Iš kiekvieno šios kreivės taško atkūrę statmenus plokštumai O hu prieš kertant paviršių z = f (x, y), gauname erdvinę kreivę, gulinčią paviršiuje virš kreivės φ (x, y)= 0. Uždavinys yra rasti gautos kreivės ekstremumo taškus, kurie, žinoma, bendru atveju nesutampa su funkcijos besąlyginiais ekstremumais f(x,y).

Apibrėžkime būtinas sąlygines ekstremumo sąlygas dviejų kintamųjų funkcijai, prieš tai įvesdami tokį apibrėžimą:

Apibrėžimas 5.6. Funkcija L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

kur λ i - kai kurios konstantos, vadinamos Lagrange funkcija, ir skaičiai λ i– neapibrėžti Lagranžo daugikliai.

5.3 teorema(būtinos sąlyginės ekstremumo sąlygos). Sąlyginis funkcijos ekstremumas z = f(x, y) esant apribojimo lygčiai φ ( x, y)= 0 galima pasiekti tik stacionariuose Lagranžo funkcijos taškuose L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Įrodymas. Apribojimų lygtis apibrėžia numanomą priklausomybę adresu iš X, todėl manysime, kad adresu yra funkcija nuo X: y = y(x). Tada z valgyti sudėtinga funkcija iš X, o jo kritinius taškus lemia sąlyga: . (5.4) Iš apribojimo lygties išplaukia, kad . (5.5)

Lygybę (5.5) padauginame iš kokio nors skaičiaus λ ir pridedame prie (5.4). Mes gauname:

, arba .

Paskutinė lygybė turi galioti stacionariuose taškuose, iš kurių išplaukia:

(5.6)

Gaunama trijų nežinomųjų lygčių sistema: x, y ir λ, kai pirmosios dvi lygtys yra Lagranžo funkcijos stacionaraus taško sąlygos. Iš sistemos (5.6) pašalinę pagalbinį nežinomąjį λ, randame taškų, kuriuose pradinė funkcija gali turėti sąlyginį ekstremumą, koordinates.

Pastaba 1. Sąlyginio ekstremumo buvimą rastame taške galima patikrinti išnagrinėjus Lagranžo funkcijos antros eilės dalines išvestines pagal analogiją su 5.2 teorema.

Pastaba 2. Taškai, kuriuose galima pasiekti funkcijos sąlyginį ekstremumą f (x 1 , x 2 ,…, x n) sąlygomis (5.2), gali būti apibrėžti kaip sistemos sprendimai (5.7)

Pavyzdys. Raskite funkcijos sąlyginį ekstremumą z = xy su salyga x + y= 1. Sudarykite Lagranžo funkciją L(x, y) = xy + λ (x + y – vienas). Tada sistema (5.6) atrodo taip:

Iš kur -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Kuriame L (x, y) gali būti pavaizduotas kaip L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, vadinasi, rastame stacionariame taške L (x, y) turi maksimalų ir z = xy - sąlyginis maksimumas.

SĄLYGINIS EKSTREMAS

Minimalus arba maksimali vertė, pasiekiamas naudojant tam tikrą funkciją (arba funkcinę), su sąlyga, kad kai kurios kitos funkcijos (funkcijos) paima reikšmes iš tam tikros leistinos rinkinio. Jei nėra sąlygų, ribojančių nepriklausomų kintamųjų (funkcijų) pokyčius nurodyta prasme, tada kalbama apie besąlyginį ekstremumą.
Klasika užduotis W. e. yra kelių kintamųjų funkcijos minimumo nustatymo problema

Su sąlyga, kad kai kurios kitos funkcijos įgyja nurodytas reikšmes:

Šioje užduotyje G, kuriai taikomos vektoriaus funkcijos reikšmės g=(g 1 , ...,g m), įtrauktas į papildomas sąlygas (2), yra fiksuotas taškas c=(c 1, ..., su t) m matmenų euklido erdvėje
Jei (2) kartu su lygybės ženklu, leidžiami nelygybės ženklai

Tai veda prie problemos nelinijinis programavimas(13). (1), (3) uždavinyje vektorinės funkcijos g leistinų reikšmių aibė G yra tam tikra kreivinė , priklausanti (n-m 1) matmenų hiperpaviršiui, apibrėžtam m 1 , m 1 lygybės tipo sąlygos (3). Nurodyto kreivinio daugiakampio ribos konstruojamos atsižvelgiant į p-m 1 nelygybės įtrauktos į (3).
Ypatingas (1), (3) problemos atvejis ant U.v. yra užduotis linijinis programavimas, kurioje visos svarstomos funkcijos f ir gi yra tiesiniai x l , ... , x p. Tiesinio programavimo uždavinyje galimų vektorinės funkcijos reikšmių rinkinys G g,įtrauktos į sąlygas, ribojančias kintamųjų diapazoną x 1, .....x n , yra , kuri priklauso (n-t 1) matmenų hiperplokštumai, apibrėžtai m 1 lygybės tipo sąlygomis (3).
Panašiai dauguma optimizavimo problemų, susijusių su funkcinėmis funkcijomis, kurios yra praktiškos palūkanas, yra sumažintas iki užduočių dėl U. e. (cm. Izoperimetrinė problema, žiedo problema, Lagranžo problema, būdo problema). Visai kaip matematikoje. programavimo, pagrindinės variacijų skaičiavimo ir optimalaus valdymo teorijos problemos yra uždaviniai ant išgaubto e.
Sprendžiant problemas U. e., ypač atsižvelgiant į teorinius. klausimus, susijusius su problemomis C. e., pasirodo, kad labai naudinga naudoti neapibrėžtą Lagranžo daugikliai, leidžianti sumažinti problemą iki U. e. besąlygiškai išspręsti problemą ir supaprastinti būtinas optimalumo sąlygas. Lagranžo daugiklių naudojimas yra daugumos klasikinių dalykų pagrindas problemų sprendimo būdai U. e.

Lit.: Hadley J., Netiesinis ir , vert. iš anglų k., M., 1967; Bliss G.A., Paskaitos apie variacijų skaičiavimą, vert. iš anglų k., M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2. leidimas, M., 1969 m.
I. B. Vapnyarskis.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. I. M. Vinogradovas. 1977-1985 m.