एक सीधे नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल। पिरामिड क्षेत्र

अनुदेश

सबसे पहले, यह समझने योग्य है कि पिरामिड की पार्श्व सतह को कई त्रिभुजों द्वारा दर्शाया गया है, जिनमें से क्षेत्रों को सबसे अधिक उपयोग करके पाया जा सकता है। विभिन्न सूत्र, ज्ञात डेटा के आधार पर:

एस \u003d (ए * एच) / 2, जहां एच एक तरफ कम ऊंचाई है;

S = a*b*sinβ, जहाँ a, b त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और β इन भुजाओं के बीच का कोण है;

S \u003d (r * (a + b + c)) / 2, जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और r इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है;

एस \u003d (ए * बी * सी) / 4 * आर, जहां आर सर्कल के चारों ओर वर्णित त्रिकोण की त्रिज्या है;

एस \u003d (ए * बी) / 2 \u003d आर² + 2 * आर * आर (यदि त्रिकोण समकोण है);

S = S = (a²*√3)/4 (यदि त्रिभुज समबाहु है)।

वास्तव में, ये केवल सबसे बुनियादी हैं ज्ञात सूत्रत्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए।

गणना करने के बाद, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके, सभी त्रिभुजों के क्षेत्र जो कि पिरामिड के चेहरे हैं, हम इस पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करना शुरू कर सकते हैं। यह अत्यंत सरलता से किया जाता है: आपको पिरामिड की पार्श्व सतह बनाने वाले सभी त्रिभुजों के क्षेत्रों को जोड़ना होगा। इसे इस प्रकार एक सूत्र में व्यक्त किया जा सकता है:

Sp = ΣSi, जहाँ Sp पार्श्व क्षेत्र है, Si i-वें त्रिभुज का क्षेत्रफल है, जो इसकी पार्श्व सतह का हिस्सा है।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम एक छोटे से उदाहरण पर विचार कर सकते हैं: एक नियमित पिरामिड दिया गया है, जिसके पार्श्व फलक समबाहु त्रिभुजों द्वारा बनते हैं, और इसके आधार पर एक वर्ग स्थित है। इस पिरामिड के किनारे की लंबाई 17 सेमी है इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

हल: इस पिरामिड के किनारे की लंबाई ज्ञात है, यह ज्ञात है कि इसके फलक समबाहु त्रिभुज हैं। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि पार्श्व सतह के सभी त्रिभुजों की सभी भुजाएँ 17 सेमी हैं। इसलिए, इनमें से किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको सूत्र लागू करने की आवश्यकता होगी:

एस = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 सेमी²

यह ज्ञात है कि पिरामिड के आधार पर एक वर्ग स्थित है। इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि दिए हुए चार समबाहु त्रिभुज हैं। फिर पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

125.137 सेमी² * 4 = 500.548 सेमी²

उत्तर: पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रफल 500.548 वर्ग सेमी है।

सबसे पहले, हम पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करते हैं। पार्श्व सतह सभी पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है। यदि आप एक नियमित पिरामिड के साथ काम कर रहे हैं (जो कि एक पर आधारित है नियमित बहुभुज, और वर्टेक्स को इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है), फिर पूरी पार्श्व सतह की गणना करने के लिए, यह आधार की परिधि को गुणा करने के लिए पर्याप्त है (अर्थात, बहुभुज के सभी पक्षों की लंबाई का योग) पिरामिड का आधार) साइड फेस की ऊंचाई से (अन्यथा एपोटेम कहा जाता है) और परिणामी मान को 2 से विभाजित करें: Sb=1/2P*h, जहां Sb साइड सतह का क्षेत्रफल है, P की परिधि है आधार, h साइड फेस (एपोटेम) की ऊंचाई है।

यदि आपके सामने एक मनमाना पिरामिड है, तो आपको सभी चेहरों के क्षेत्रों की अलग-अलग गणना करनी होगी और फिर उन्हें जोड़ना होगा। चूँकि पिरामिड के पार्श्व फलक त्रिभुज हैं, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करें: S=1/2b*h, जहाँ b त्रिभुज का आधार है और h ऊँचाई है। जब सभी चेहरों के क्षेत्रों की गणना की जाती है, तो यह पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ने के लिए ही रहता है।

फिर आपको पिरामिड के आधार के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है। गणना के लिए सूत्र का चुनाव इस बात पर निर्भर करता है कि पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है: सही (अर्थात, जिसके सभी पक्षों की लंबाई समान हो) या गलत। एक नियमित बहुभुज के क्षेत्र की गणना बहुभुज में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या द्वारा परिधि को गुणा करके और परिणामी मान को 2 से विभाजित करके की जा सकती है: Sn=1/2P*r, जहाँ Sn का क्षेत्रफल है बहुभुज, P परिधि है, और r बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

एक छोटा पिरामिड एक पिरामिड द्वारा गठित एक पॉलीहेड्रॉन है और इसका खंड आधार के समानांतर है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है। यह बहुत सरल है: क्षेत्रफल आधारों के आधे योग के गुणनफल के बराबर है। पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि एक नियमित पिरामिड दिया गया है। आधार की लंबाई हैं b=5 सेमी, c=3 सेमी. अंतःत्रिज्या a=4 सेमी. पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको पहले आधारों की परिधि ज्ञात करनी होगी. एक बड़े आधार में, यह p1=4b=4*5=20 सेमी के बराबर होगा। एक छोटे आधार में, सूत्र इस प्रकार होगा: p2=4c=4*3=12 सेमी। इसलिए, क्षेत्रफल होगा इसके बराबर: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 सेमी।

यदि एक अनियमित बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो संपूर्ण आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको पहले बहुभुज को त्रिभुजों में तोड़ना होगा, प्रत्येक के क्षेत्रफल की गणना करनी होगी, और फिर जोड़ना होगा। अन्य मामलों में, पिरामिड की पार्श्व सतह को खोजने के लिए, आपको इसके प्रत्येक पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा। कुछ मामलों में, पिरामिड की पार्श्व सतह को खोजने का कार्य आसान बनाया जा सकता है। यदि एक तरफ का चेहरा आधार के लंबवत है, या दो आसन्न पक्ष के चेहरे आधार के लंबवत हैं, तो पिरामिड के आधार को इसकी पार्श्व सतह के एक हिस्से का ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन माना जाता है, और वे सूत्रों से संबंधित होते हैं।

पिरामिड के सतह क्षेत्र की गणना को पूरा करने के लिए, पार्श्व सतह के क्षेत्रों और पिरामिड के आधार को जोड़ें।

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन है, जिसका एक फलक (आधार) एक मनमाना बहुभुज है, और शेष फलक (भुजाएँ) त्रिकोण हैं। आधार के कोनों की संख्या के अनुसार, पिरामिड त्रिकोणीय (टेट्राहेड्रोन), चतुष्कोणीय और इसी तरह हैं।

पिरामिड एक बहुभुज के रूप में एक आधार के साथ एक बहुफलक है, और शेष चेहरे एक सामान्य शीर्ष के साथ त्रिकोण हैं। अंतःत्रिज्या एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई है, जो इसके शीर्ष से खींची गई है।

पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन है, जिसका आधार एक बहुभुज है, और पार्श्व फलक त्रिभुज होते हैं जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है। वर्ग सतह पिरामिडपार्श्व के क्षेत्रों के योग के बराबर सतहऔर मैदान पिरामिड.

आपको चाहिये होगा

• कागज, कलम, कैलकुलेटर

अनुदेश

सबसे पहले, पक्ष के क्षेत्र की गणना करें सतह . पार्श्व सतह सभी पार्श्व चेहरों का योग है। यदि आप एक नियमित पिरामिड के साथ काम कर रहे हैं (अर्थात, जिसमें एक नियमित बहुभुज होता है, और शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित होता है), तो पूरे पार्श्व की गणना करने के लिए सतहयह आधार की परिधि को गुणा करने के लिए पर्याप्त है (अर्थात, आधार पर स्थित बहुभुज के सभी पक्षों की लंबाई का योग) पिरामिड) साइड फेस की ऊंचाई से (अन्यथा कहा जाता है) और परिणामी मान को 2: Sb \u003d 1 / 2P * h से विभाजित करें, जहां Sb साइड का क्षेत्र है सतह, पी - आधार की परिधि, एच - साइड फेस (एपोटेम) की ऊंचाई।

यदि आपके सामने एक मनमाना पिरामिड है, तो आपको सभी चेहरों के क्षेत्रों की गणना करनी होगी और फिर उन्हें जोड़ना होगा। क्योंकि पक्ष का सामना करना पड़ता है पिरामिडहैं, त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करें: S=1/2b*h, जहाँ b त्रिभुज का आधार है और h ऊँचाई है। जब सभी चेहरों के क्षेत्रों की गणना की जाती है, तो यह केवल पार्श्व क्षेत्र प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ने के लिए रहता है सतह पिरामिड.

फिर आपको आधार के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है पिरामिड. गणना के लिए विकल्प यह है कि क्या बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है: सही (अर्थात, जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हैं) या। वर्गएक नियमित बहुभुज की गणना बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या द्वारा परिधि को गुणा करके और परिणामी मान को 2: Sn=1/2P*r से विभाजित करके की जा सकती है, जहाँ Sn बहुभुज का क्षेत्रफल है, P है परिमाप, और r बहुभुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या है।

अगर आधार पर पिरामिडएक अनियमित बहुभुज निहित है, फिर संपूर्ण आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको फिर से बहुभुज को त्रिभुजों में तोड़ना होगा, प्रत्येक के क्षेत्रफल की गणना करनी होगी और फिर जोड़ना होगा।

क्षेत्र गणना को पूरा करने के लिए सतह पिरामिड, चौकोर साइड को फोल्ड करें सतहऔर मैदान पिरामिड.

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बहुभुज एक पॉलीलाइन को बंद करके निर्मित एक ज्यामितीय आकृति है। बहुभुज कई प्रकार के होते हैं, जो शीर्षों की संख्या के आधार पर भिन्न होते हैं। क्षेत्र की गणना प्रत्येक प्रकार के बहुभुज के लिए निश्चित तरीकों से की जाती है।

अनुदेश

यदि आपको किसी वर्ग या आयत के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है, तो भुजाओं की लंबाई को गुणा करें। यदि आपको एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल जानने की आवश्यकता है, तो इसे एक आयत में पूरा करें, इसके क्षेत्रफल की गणना करें और इसे दो से विभाजित करें।

क्षेत्र की गणना करने के लिए निम्न विधि का उपयोग करें, यदि आकृति में 180 डिग्री (एक उत्तल बहुभुज) से अधिक नहीं है, जबकि इसके सभी कोने समन्वय ग्रिड में हैं, और स्वयं को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
ऐसे बहुभुज के चारों ओर एक आयत का वर्णन करें ताकि इसकी भुजाएँ ग्रिड रेखाओं (निर्देशांक अक्षों) के समानांतर हों। इस स्थिति में, बहुभुज का कम से कम एक शीर्ष आयत का शीर्ष होना चाहिए।

दो ठिकानों में केवल एक छोटा हो सकता है पिरामिड. इस मामले में, दूसरा आधार बड़े आधार के समानांतर एक खंड द्वारा बनता है पिरामिड. में से एक खोजें मैदानयदि ज्ञात हो तो संभव है या दूसरे के रैखिक तत्व।

आपको चाहिये होगा

• - पिरामिड के गुण;
• - त्रिकोणमितीय कार्य;
• - आंकड़ों की समानता;
• - बहुभुज के क्षेत्रों का पता लगाना।

अनुदेश

यदि आधार एक नियमित त्रिभुज है, तो इसे खोजें वर्ग, भुजा के वर्ग को 3 के वर्गमूल से विभाजित करके 4 से गुणा करें। यदि आधार एक वर्ग है, तो इसकी भुजा को दूसरी शक्ति तक बढ़ाएँ। में सामान्य मामला, किसी नियमित बहुभुज के लिए, सूत्र S=(n/4) a² ctg(180º/n) लागू करें, जहां n एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या है, a इसकी भुजा की लंबाई है।

सूत्र b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n) का उपयोग करके छोटे आधार की भुजा ज्ञात करें। यहां एक- अधिक कारण, h काटे गए की ऊँचाई है पिरामिड, α इसके आधार पर डायहेड्रल कोण है, n भुजाओं की संख्या है मैदान(यह ऐसा ही है)। सूत्र में इसकी भुजा S = (n / 4) b² ctg (180º / n) की लंबाई का उपयोग करके दूसरे आधार का क्षेत्रफल पहले की तरह ही ज्ञात करें।

यदि आधार अन्य प्रकार के बहुभुज हैं, तो किसी एक की सभी भुजाएँ मैदान, और दूसरी भुजाओं में से एक, फिर समान रूप से शेष भुजाओं की गणना करें। उदाहरण के लिए, बड़े आधार की भुजाएँ 4, 6, 8 सेमी हैं। छोटे आधार की बड़ी भुजा 4 सेमी है। आनुपातिकता कारक की गणना करें, 4/8 = 2 (हम प्रत्येक में भुजाएँ लेते हैं मैदान), और अन्य भुजाओं की गणना करें 6/2=3 सेमी, 4/2=2 सेमी। हमें भुजा के छोटे आधार पर 2, 3, 4 सेमी भुजाएँ मिलती हैं। अब इन्हें त्रिभुजों के क्षेत्रफल के रूप में परिकलित कीजिए।

यदि काट-छाँट में संगत तत्वों का अनुपात ज्ञात हो, तो क्षेत्रफलों का अनुपात मैदानइन तत्वों के वर्गों के अनुपात के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, यदि संबंधित पक्ष ज्ञात हैं मैदान a और a1, तो a²/a1²=S/S1।

अंतर्गत क्षेत्र पिरामिडआमतौर पर इसके पार्श्व या के क्षेत्र को संदर्भित करता है पूरी सतह. इस ज्यामितीय निकाय के आधार पर एक बहुभुज स्थित है। साइड फेस आकार में त्रिकोणीय हैं। उनका एक सामान्य शीर्ष है, जो एक शीर्ष भी है पिरामिड.

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम;
• - कैलकुलेटर;
• - दिए गए मापदंडों के साथ एक पिरामिड।

अनुदेश

टास्क में दिए गए पिरामिड पर विचार करें। निर्धारित करें कि एक नियमित या अनियमित बहुभुज इसके आधार पर स्थित है या नहीं। एक सही की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इस मामले में क्षेत्र परिधि और त्रिज्या के आधे उत्पाद के बराबर है। भुजा l की लंबाई को भुजाओं की संख्या n से गुणा करके परिमाप ज्ञात करें, अर्थात P=l*n। आधार का क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है तो \u003d 1 / 2P * r, जहां P परिधि है, और r उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है।

इस ज्यामितीय आकृति और इसके गुणों के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करने से पहले, कुछ शर्तों को समझना आवश्यक है। जब कोई व्यक्ति पिरामिड के बारे में सुनता है, तो वह मिस्र में विशाल इमारतों की कल्पना करता है। यह वही है जो सबसे सरल दिखते हैं। लेकिन ऐसा होता है अलग - अलग प्रकारऔर आकृतियाँ, जिसका अर्थ है कि ज्यामितीय आकृतियों के लिए गणना सूत्र अलग होगा।

पिरामिड - ज्यामितीय आकृति , अनेक चेहरों को दर्शाना और उनका प्रतिनिधित्व करना। वास्तव में, यह वही पॉलीहेड्रॉन है, जिसके आधार पर एक बहुभुज स्थित है, और इसके किनारों पर त्रिभुज हैं जो एक बिंदु पर जुड़ते हैं - शीर्ष। आकृति दो मुख्य प्रकार की होती है:

• सही;
• काट दिया।

पहले मामले में, आधार एक नियमित बहुभुज है। यह सब यहाँ है पार्श्व सतहोंबराबरउनके और आकृति के बीच ही एक पूर्णतावादी की आंख को प्रसन्न करेगा।

दूसरे मामले में, दो आधार हैं - बहुत नीचे एक बड़ा और शीर्ष के बीच एक छोटा, मुख्य के आकार को दोहराता है। दूसरे शब्दों में, एक छोटा पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन है जिसका एक खंड आधार के समानांतर बना है।

नियम और अंकन

मूल शर्तें:

• नियमित (समबाहु) त्रिभुज- तीन समान कोणों वाली एक आकृति और समान भुजाएँ. इस स्थिति में सभी कोण 60 डिग्री के होते हैं। आंकड़ा नियमित पॉलीहेड्रा का सबसे सरल है। यदि यह आंकड़ा आधार पर स्थित है, तो ऐसे पॉलीहेड्रॉन को नियमित त्रिकोणीय कहा जाएगा। यदि आधार एक वर्ग है, तो पिरामिड को नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड कहा जाएगा।
• शिखर- उच्चतम बिंदु जहां किनारे मिलते हैं। शीर्ष की ऊंचाई ऊपर से पिरामिड के आधार तक निकलने वाली एक सीधी रेखा से बनती है।
• किनाराबहुभुज के तलों में से एक है। यह त्रिकोणीय पिरामिड के मामले में त्रिभुज के रूप में हो सकता है, या इसके लिए ट्रेपेज़ॉइड के रूप में हो सकता है कटा हुआ पिरामिड.
• क्रॉस सेक्शन- विच्छेदन के परिणामस्वरूप गठित एक सपाट आकृति। खंड के साथ भ्रमित न हों, क्योंकि खंड यह भी दिखाता है कि अनुभाग के पीछे क्या है।
• एपोटेम- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक खींचा गया खंड। यह चेहरे की ऊँचाई भी है जहाँ दूसरा ऊँचाई बिंदु है। यह परिभाषाकेवल एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के लिए मान्य है। उदाहरण के लिए - यदि यह छोटा पिरामिड नहीं है, तो चेहरा त्रिभुज होगा। इस स्थिति में, इस त्रिभुज की ऊँचाई एक अंतःत्रिज्या बन जाएगी।

क्षेत्र सूत्र

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिएकिसी भी प्रकार को कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आकृति सममित नहीं है और एक बहुभुज है विभिन्न दल, तो इस मामले में गणना करना आसान है कुल क्षेत्रफलसभी सतहों के संग्रह के माध्यम से सतहों। दूसरे शब्दों में, आपको प्रत्येक चेहरे के क्षेत्र की गणना करने और उन्हें एक साथ जोड़ने की आवश्यकता है।

ज्ञात मापदंडों के आधार पर, एक वर्ग, एक ट्रेपोज़ॉइड, एक मनमाना चतुर्भुज, आदि की गणना के लिए सूत्र की आवश्यकता हो सकती है। सूत्र स्वयं विभिन्न अवसर भी अलग होगा।

एक नियमित आंकड़े के मामले में, क्षेत्र का पता लगाना बहुत आसान है। कुछ ही जानना काफी है प्रमुख पैरामीटर. ज्यादातर मामलों में, ऐसे आंकड़ों के लिए सटीक गणना की आवश्यकता होती है। इसलिए, संबंधित सूत्र नीचे दिए जाएंगे। अन्यथा, आपको सब कुछ कई पृष्ठों पर चित्रित करना होगा, जो केवल भ्रमित और भ्रमित करेगा।

गणना के लिए मूल सूत्रएक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र होगा अगला दृश्य:

S \u003d ½ Pa (P आधार की परिधि है, और अंतःत्रिज्या है)

आइए उदाहरणों में से एक पर विचार करें। पॉलीहेड्रॉन का आधार A1, A2, A3, A4, A5 है, और वे सभी 10 सेमी के बराबर हैं। अंतःत्रिज्या को 5 सेमी के बराबर होने दें। पहले आपको परिधि खोजने की आवश्यकता है। चूँकि आधार के सभी पाँच चेहरे समान हैं, इसे निम्नानुसार पाया जा सकता है: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 सेमी। अगला, हम मूल सूत्र लागू करते हैं: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 सेमी वर्ग .

सही पार्श्व सतह क्षेत्र त्रिकोणीय पिरामिड गणना करने में सबसे आसान। सूत्र ऐसा दिखता है:

S =½* ab *3, जहां a अंतःत्रिज्या है, b आधार का फलक है। यहाँ तीन के कारक का अर्थ है आधार के चेहरों की संख्या, और पहला भाग पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है। एक उदाहरण पर विचार करें। 5 सेमी के अंतःत्रिज्या और 8 सेमी के आधार फलक के साथ एक आकृति दी गई है। हम गणना करते हैं: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 सेमी वर्ग।

एक काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रगणना करना थोड़ा अधिक कठिन है। सूत्र इस तरह दिखता है: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, जहाँ p_01 और p_02 आधारों की परिधि हैं, और अंतःत्रिज्या है। एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए, एक चतुष्कोणीय आकृति के लिए, आधारों की भुजाओं का आयाम 3 और 6 सेमी है, अंतःत्रिज्या 4 सेमी है।

यहां, शुरुआत के लिए, आपको आधारों की परिधि का पता लगाना चाहिए: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 सेमी; p_02=6*4=24 सेमी। यह मूल्यों को मुख्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है और प्राप्त करें: एस =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 सेमी वर्ग।

इस प्रकार, किसी भी जटिलता के एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का पता लगाना संभव है। भ्रमित न हों, इसका ध्यान रखेंये गणना पूरे पॉलीहेड्रॉन के कुल क्षेत्रफल के साथ। और अगर आपको अभी भी ऐसा करने की आवश्यकता है, तो यह पॉलीहेड्रॉन के सबसे बड़े आधार के क्षेत्र की गणना करने और इसे पॉलीहेड्रॉन की पार्श्व सतह के क्षेत्र में जोड़ने के लिए पर्याप्त है।

वीडियो

विभिन्न पिरामिडों के पार्श्व सतह क्षेत्र को कैसे निकालना है, इसकी जानकारी को समेकित करने के लिए, यह वीडियो आपकी सहायता करेगा।

आपके प्रश्न का उत्तर नहीं मिला? लेखकों को एक विषय सुझाएं।

हम जानते हैं कि शंकु क्या है, आइए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। ऐसी समस्या का समाधान करना क्यों आवश्यक है? उदाहरण के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि वफ़ल शंकु बनाने के लिए कितना आटा लगेगा? या किसी महल की ईंट की छत बनाने में कितनी ईंटें लगेंगी?

शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्र को मापना आसान नहीं है। लेकिन कपड़े में लिपटे उसी सींग की कल्पना करो। कपड़े के एक टुकड़े के क्षेत्र का पता लगाने के लिए, आपको इसे काटने और टेबल पर फैलाने की जरूरत है। हमें एक समतल आकृति प्राप्त होती है, हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

चावल। 1. जेनरेट्रिक्स के साथ शंकु का खंड

शंकु के साथ भी ऐसा ही करते हैं। आइए किसी भी जेनरेट्रिक्स के साथ इसकी पार्श्व सतह को "कट" करें, उदाहरण के लिए, (चित्र 1 देखें)।

अब हम एक विमान पर साइड की सतह को "अनवाइंड" करते हैं। हमें एक सेक्टर मिलता है। इस क्षेत्र का केंद्र शंकु के शीर्ष पर है, क्षेत्र की त्रिज्या शंकु के जेनरेट्रिक्स के बराबर है, और इसके चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के साथ मेल खाती है। इस तरह के एक क्षेत्र को शंकु की पार्श्व सतह का विकास कहा जाता है (चित्र 2 देखें)।

चावल। 2. पार्श्व सतह का विकास

चावल। 3. रेडियंस में कोण माप

आइए उपलब्ध आंकड़ों के अनुसार सेक्टर का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। सबसे पहले, आइए एक अंकन का परिचय दें: त्रिज्यखंड के शीर्ष पर स्थित कोण को रेडियन में होने दें (चित्र 3 देखें)।

कार्यों में हम अक्सर स्वीप के शीर्ष पर कोण का सामना करेंगे। इस बीच, आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या यह कोण 360 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता है? यानी, क्या यह नहीं निकलेगा कि स्वीप खुद को सुपरइम्पोज कर देगा? बिल्कुल नहीं। आइए इसे गणितीय रूप से सिद्ध करें। स्वीप को "ओवरलैप" करने दें। इसका मतलब है कि स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या की परिधि से अधिक है। लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या की परिधि है। और शंकु के आधार की त्रिज्या, निश्चित रूप से, जेनरेट्रिक्स से कम है, उदाहरण के लिए, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण से कम है

फिर प्लैमेट्री के पाठ्यक्रम से दो सूत्र याद करें: चाप की लंबाई। सेक्टर क्षेत्र: .

हमारे मामले में, जेनरेट्रिक्स द्वारा भूमिका निभाई जाती है , और चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर है, अर्थात। अपने पास:

अंत में हमें मिलता है:

पार्श्व सतह क्षेत्र के साथ-साथ कुल सतह क्षेत्र भी पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, पार्श्व सतह क्षेत्र में आधार क्षेत्र जोड़ें। लेकिन आधार त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल सूत्र के अनुसार है।

अंत में हमारे पास है: , जहां सिलेंडर के आधार की त्रिज्या है, जेनरेट्रिक्स है।

आइए दिए गए सूत्रों पर कुछ समस्याओं को हल करें।

चावल। 4. वांछित कोण

उदाहरण 1. शंकु की पार्श्व सतह का विकास शीर्ष पर एक कोण वाला एक क्षेत्र है। यह कोण ज्ञात कीजिए यदि शंकु की ऊँचाई 4 सेमी और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है (देखिए आकृति 4)।

चावल। 5. सही त्रिकोणएक शंकु बनाना

पहली क्रिया से, पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार, हम जेनरेट्रिक्स पाते हैं: 5 सेमी (चित्र 5 देखें)। इसके अलावा, हम जानते हैं .

उदाहरण 2. शंकु के अक्षीय खंड का क्षेत्रफल है, ऊंचाई है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 6 देखिए)।

एक समांतर चतुर्भुज एक चतुष्कोणीय प्रिज्म है जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज होता है। आकृति के पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना के लिए तैयार सूत्र हैं, जिसके लिए केवल समानांतर चतुर्भुज के तीन आयामों की लंबाई की आवश्यकता होती है।

घनाभ का पार्श्व सतह क्षेत्र कैसे ज्ञात करें

एक आयताकार और एक सही समानांतर चतुर्भुज के बीच अंतर करना आवश्यक है। एक सीधी आकृति का आधार कोई भी समांतर चतुर्भुज हो सकता है। इस तरह के एक आंकड़े के क्षेत्र की गणना अन्य सूत्रों का उपयोग करके की जानी चाहिए।

घनाभ के पार्श्व फलकों के योग S की गणना सरल सूत्र P*h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P परिमाप है और h ऊँचाई है। यह आंकड़ा दिखाता है कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे बराबर होते हैं, और ऊंचाई एच किनारों की लंबाई के आधार पर लंबवत होती है।

एक घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल

आकृति के कुल क्षेत्रफल में भुजा और 2 आधारों का क्षेत्रफल शामिल है। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें:

जहाँ a, b और c ज्यामितीय निकाय के आयाम हैं।
वर्णित सूत्र समझने में आसान हैं और कई ज्यामिति समस्याओं को हल करने में उपयोगी हैं। एक विशिष्ट कार्य का एक उदाहरण निम्न छवि में दिखाया गया है।

इस तरह की समस्याओं को हल करते समय, यह याद रखना चाहिए कि चतुष्कोणीय प्रिज्म का आधार मनमाने ढंग से चुना जाता है। यदि हम आयाम x और 3 के आधार के रूप में एक चेहरा लेते हैं, तो Sside के मान भिन्न होंगे, और Stot 94 cm2 रहेगा।

घन सतह क्षेत्र

एक घन एक आयताकार समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी 3 आयाम समान हैं। इस संबंध में, एक घन के कुल और पार्श्व क्षेत्र के सूत्र मानक वाले से भिन्न होते हैं।

घन का परिमाप 4a है, इसलिए, भुजा = 4*a*a = 4*a2। याद रखने के लिए इन भावों की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन कार्यों के समाधान में काफी तेजी आती है।

एक मनमाने पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों के योग के बराबर है। नियमित पिरामिड के मामले में इस क्षेत्र को व्यक्त करने के लिए एक विशेष सूत्र देना समझ में आता है। तो, एक नियमित पिरामिड दिया जाता है, जिसके आधार पर एक नियमित एन-गॉन होता है, जिसकी भुजा बराबर होती है। बता दें कि एच साइड फेस की ऊंचाई है, जिसे भी कहा जाता है एपोथेमापिरामिड। एक तरफ के चेहरे का क्षेत्रफल 1/2ah है, और पिरामिड की पूरी तरफ की सतह का क्षेत्रफल n/2ha के बराबर है। चूँकि ना पिरामिड के आधार की परिधि है, हम इस प्रकार पाया गया सूत्र लिख सकते हैं :

पार्श्व सतह क्षेत्रएक नियमित पिरामिड का आधार के आधे परिधि द्वारा उसके अंतःकरण के उत्पाद के बराबर होता है।

विषय में कुल सतह क्षेत्रफल, तो बस आधार के क्षेत्र को किनारे से जोड़ दें।

खुदा और परिचालित गोला और गेंद. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पिरामिड में अंकित गोले का केंद्र पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमानों के चौराहे पर स्थित है। पिरामिड के पास वर्णित गोले का केंद्र पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले विमानों के चौराहे पर स्थित है और उनके लंबवत है।

कटा हुआ पिरामिड।यदि पिरामिड को उसके आधार के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है, तो काटने वाले तल और आधार के बीच परिबद्ध भाग को कहा जाता है कटा हुआ पिरामिड।आंकड़ा एक पिरामिड दिखाता है, काटने वाले विमान के ऊपर पड़े हुए हिस्से को छोड़कर, हमें एक छोटा पिरामिड मिलता है। यह स्पष्ट है कि जिस छोटे पिरामिड को छोड़ा जाना है, वह शीर्ष पर समरूपता के केंद्र के साथ बड़े पिरामिड के समरूप है। समानता गुणांक अनुपात के बराबर हैऊँचाई: k=h 2 /h 1 , या पार्श्व किनारे, या अन्य उपयुक्त रैखिक आयामदोनों पिरामिड। हम जानते हैं कि समान आकृतियों के क्षेत्रफल रैखिक आयामों के वर्ग के रूप में संबंधित होते हैं; इसलिए दोनों पिरामिडों के आधारों के क्षेत्र (अर्थात काटे गए पिरामिड के आधारों को छोड़ दें) के रूप में संबंधित हैं

यहाँ S 1 निचले आधार का क्षेत्र है, और S 2 काटे गए पिरामिड के ऊपरी आधार का क्षेत्र है। पिरामिड की पार्श्व सतह समान अनुपात में हैं। वॉल्यूम के लिए भी ऐसा ही नियम है।

समान पिंडों का आयतनउनके रैखिक आयामों के घन के रूप में संबंधित हैं; उदाहरण के लिए, पिरामिडों के आयतन आधारों के क्षेत्रफल द्वारा उनकी ऊंचाई के गुणनफल के रूप में संबंधित होते हैं, जिससे हमारा नियम तुरंत अनुसरण करता है। इसका पूरी तरह से सामान्य चरित्र है और सीधे इस तथ्य से अनुसरण करता है कि वॉल्यूम में हमेशा लंबाई की तीसरी शक्ति का आयाम होता है। इस नियम का उपयोग करते हुए, हम ऊंचाई और आधारों के क्षेत्रों के संदर्भ में एक छोटे पिरामिड के आयतन को व्यक्त करने वाला एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

ऊँचाई h और आधार क्षेत्रों S 1 और S 2 के साथ एक छोटा पिरामिड दिया जाए। यदि हम कल्पना करते हैं कि यह पूर्ण पिरामिड तक विस्तारित है, तो पूर्ण पिरामिड और छोटे पिरामिड की समानता गुणांक को आसानी से S2/S1 अनुपात की जड़ के रूप में पाया जा सकता है। काटे गए पिरामिड की ऊंचाई h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) के रूप में व्यक्त की जाती है। अब हमारे पास कटे हुए पिरामिड का आयतन है (V 1 और V 2 पूर्ण और छोटे पिरामिड के आयतन को दर्शाता है)

छोटा पिरामिड मात्रा सूत्र

हम आधारों के परिधि P 1 और P 2 के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र S के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं और अंतःत्रिज्या a की लंबाई। हम ठीक उसी तरह तर्क देते हैं जैसे आयतन के लिए सूत्र निकालते समय। पिरामिड का पूरक ऊपर, हमारे पास P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1 है, जहाँ k समानता गुणांक है, P 1 और P 2 आधारों की परिधि हैं, और S 1 और S 2 पक्ष के घोड़े हैं क्रमशः पूरे परिणामी पिरामिड और उसके ऊपरी भाग की सतहें। पार्श्व सतह के लिए हम पाते हैं (ए 1 और 2 - पिरामिड के एपोटेम्स, ए \u003d ए 1 - ए 2 \u003d ए 1 (1-के))

एक नियमित छंटे हुए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र