गणित मॉडलिंग। गणितीय मॉडल बनाने के विभिन्न तरीके

गणितीय मॉडल क्या है?

एक गणितीय मॉडल की अवधारणा।

एक गणितीय मॉडल एक बहुत ही सरल अवधारणा है। और बहुत ही महत्वपूर्ण। यह गणितीय मॉडल हैं जो गणित और वास्तविक जीवन को जोड़ते हैं।

बात कर रहे सदा भाषा, एक गणितीय मॉडल किसी भी स्थिति का गणितीय विवरण है।और बस। मॉडल आदिम हो सकता है, यह अति जटिल हो सकता है। क्या स्थिति है, क्या मॉडल है।)

किसी में (मैं दोहराता हूं - मेँ कोई!) व्यवसाय, जहाँ आपको कुछ गणना करने और गणना करने की आवश्यकता होती है - हम गणितीय मॉडलिंग में लगे हुए हैं। भले ही हम इसे नहीं जानते।)

पी \u003d 2 सीबी + 3 सीबी

यह रिकॉर्ड हमारी खरीदारी के खर्चों का गणितीय मॉडल होगा। मॉडल पैकेजिंग के रंग, समाप्ति तिथि, कैशियर की विनम्रता आदि को ध्यान में नहीं रखता। इसलिए वह नमूना,वास्तविक खरीद नहीं। लेकिन लागत, अर्थात्। हमें क्या चाहिये- हम निश्चित रूप से जानेंगे। यदि मॉडल सही है, बिल्कुल।

यह कल्पना करना उपयोगी है कि गणितीय मॉडल क्या है, लेकिन यह पर्याप्त नहीं है। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इन मॉडलों को बनाने में सक्षम होना चाहिए।

समस्या के गणितीय मॉडल का संकलन (निर्माण)।

गणितीय मॉडल बनाने का अर्थ है समस्या की स्थितियों को गणितीय रूप में बदलना। वे। शब्दों को एक समीकरण, सूत्र, असमानता आदि में बदलें। इसके अलावा, इसे इस तरह से मोड़ें कि यह गणित पूरी तरह से मूल पाठ से मेल खाता हो। अन्यथा, हम किसी अन्य अज्ञात समस्या के गणितीय मॉडल के साथ समाप्त हो जाएंगे।)

अधिक विशेष रूप से, आपको चाहिए

संसार में असंख्य कार्य हैं। इसलिए, एक स्पष्ट प्रस्ताव करने के लिए चरण दर चरण निर्देशएक गणितीय मॉडल तैयार करने पर कोईकार्य असंभव हैं।

लेकिन तीन मुख्य बिंदु हैं जिन पर आपको ध्यान देने की आवश्यकता है।

1. किसी भी कार्य में एक पाठ होता है, विचित्र रूप से पर्याप्त।) यह पाठ, एक नियम के रूप में, है स्पष्ट, खुली जानकारी।अंक, मान आदि।

2. किसी भी कार्य में होता है छिपी हुई जानकारी।यह एक ऐसा पाठ है जो सिर में अतिरिक्त ज्ञान की उपस्थिति को मानता है। उनके बिना - कुछ नहीं। इसके अलावा, गणितीय जानकारी अक्सर पीछे छिपी रहती है सरल शब्दों मेंऔर ... ध्यान से फिसल जाता है।

3. किसी भी कार्य में अवश्य देना चाहिए डेटा के बीच संचार।यह कनेक्शन स्पष्ट पाठ में दिया जा सकता है (कुछ बराबर कुछ), या इसे सरल शब्दों के पीछे छुपाया जा सकता है। लेकिन सरल और स्पष्ट तथ्यों की अक्सर अनदेखी कर दी जाती है। और मॉडल किसी भी तरह से संकलित नहीं है।

मुझे तुरंत कहना होगा कि इन तीन बिंदुओं को लागू करने के लिए समस्या को कई बार (और ध्यान से!) पढ़ना होगा। सामान्य बात।

और अब - उदाहरण।

आइए एक साधारण समस्या से शुरू करें:

पेत्रोविच मछली पकड़ने से लौटा और गर्व से अपने परिवार को अपनी पकड़ भेंट की। करीब से जांच करने पर, यह पता चला कि 8 मछलियां उत्तरी समुद्र से आती हैं, सभी मछलियों का 20% दक्षिणी समुद्र से आती हैं, और स्थानीय नदी से एक भी नहीं, जहां पेत्रोविच ने मछली पकड़ी थी। पेत्रोविच ने सीफूड स्टोर से कितनी मछलियाँ खरीदीं?

इन सभी शब्दों को किसी तरह के समीकरण में बदलने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, मैं दोहराता हूं, समस्या के सभी आँकड़ों के बीच एक गणितीय संबंध स्थापित करें।

कहां से शुरू करें? सबसे पहले, हम कार्य से सभी डेटा निकालेंगे। आइए क्रम में शुरू करें:

आइए पहले बिंदु पर ध्यान दें।

इधर क्या है मुखरगणितीय जानकारी? 8 मछली और 20%। ज्यादा नहीं, लेकिन हमें ज्यादा जरूरत नहीं है।)

आइए दूसरे बिंदु पर ध्यान दें।

की तलाश में प्रच्छन्नजानकारी। वह यहां है। ये शब्द हैं: "सभी मछलियों का 20%"। यहां आपको यह समझने की जरूरत है कि प्रतिशत क्या हैं और उनकी गणना कैसे की जाती है। अन्यथा, कार्य हल नहीं होता है। यह वास्तव में है अतिरिक्त जानकारी, जो सिर में होना चाहिए।

यहाँ भी है गणितीयजानकारी जो पूरी तरह से अदृश्य है। यह कार्य प्रश्न: "तुमने कितनी मछलियाँ खरीदीं...यह भी एक संख्या है। और इसके बिना कोई भी मॉडल तैयार नहीं होगा। इसलिए, आइए हम इस संख्या को अक्षर से निरूपित करें "एक्स"।हम अभी तक नहीं जानते हैं कि x किसके बराबर है, लेकिन इस तरह का पदनाम हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा। एक्स के लिए क्या लेना है और इसे कैसे संभालना है, इस बारे में अधिक जानकारी के लिए, गणित की समस्याओं को कैसे हल करें? आइए इसे तुरंत लिखें:

एक्स पीस - कुलमछली।

हमारी समस्या में, दक्षिण की मछलियों को प्रतिशत के रूप में दिया गया है। हमें उन्हें टुकड़ों में अनुवाद करने की जरूरत है। किसलिए? फिर अंदर क्या है कोईमॉडल का कार्य होना चाहिए एक ही आकार में।टुकड़े - तो सब कुछ टुकड़ों में है। यदि हमें दिया जाता है, मान लें कि घंटे और मिनट, हम सब कुछ एक में अनुवाद करते हैं - या तो केवल घंटे, या केवल मिनट। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। यह महत्वपूर्ण है कि सभी मान समान थे।

प्रकटीकरण को लौटें। जो कोई नहीं जानता कि प्रतिशत क्या है, वह कभी प्रकट नहीं होगा, हाँ ... और कौन जानता है, वह तुरंत कहेगा कि यहाँ से ब्याज है कुल गणनामछली दी जाती है। हम यह संख्या नहीं जानते हैं। इसका कुछ नहीं आएगा!

पत्र के साथ मछली की कुल संख्या (टुकड़ों में!) व्यर्थ नहीं है "एक्स"नामित। दक्षिणी मछली को टुकड़ों में गिनना काम नहीं आएगा, लेकिन क्या हम इसे लिख सकते हैं? इस कदर:

0.2 x टुकड़े - दक्षिणी समुद्र से मछली की संख्या।

अब हमने टास्क से सारी जानकारी डाउनलोड कर ली है। स्पष्ट और गुप्त दोनों।

आइए तीसरे बिंदु पर ध्यान दें।

की तलाश में गणितीय संबंधकार्य डेटा के बीच। यह संबंध इतना सरल है कि कई लोग इस पर ध्यान नहीं देते... ऐसा अक्सर होता है। यहां एकत्र किए गए डेटा को एक समूह में लिखना उपयोगी है, और देखें कि क्या है।

हमारे पास क्या है? खाना 8 टुकड़ेउत्तरी मछली, 0.2 x पीस- दक्षिणी मछली और एक्स मछली- कुल राशि। क्या इस डेटा को किसी तरह एक साथ जोड़ना संभव है? हाँ आसान! मछली की कुल संख्या के बराबर होती हैदक्षिणी और उत्तरी का योग! भला, किसने सोचा होगा ...) तो हम लिखते हैं:

एक्स = 8 + 0.2x

यह रहेगा समीकरण हमारी समस्या का गणितीय मॉडल।

कृपया ध्यान दें कि इस समस्या में हमें कुछ भी फोल्ड करने के लिए नहीं कहा जाता है!यह हम स्वयं थे, हमारे सिर से, जिन्होंने महसूस किया कि दक्षिणी और उत्तरी मछलियों का योग हमें कुल संख्या देगा। बात इतनी स्पष्ट है कि ध्यान से हट जाती है। लेकिन इस प्रमाण के बिना गणितीय मॉडल को संकलित नहीं किया जा सकता है। इस कदर।

अब आप इस समीकरण को हल करने के लिए गणित की सारी शक्ति लगा सकते हैं)। गणितीय मॉडल इसी के लिए डिजाइन किया गया था। हम इस रैखिक समीकरण को हल करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।

उत्तर: एक्स = 10

आइए एक अन्य समस्या का गणितीय मॉडल बनाते हैं:

पेट्रोविच से पूछा गया: "आपके पास कितना पैसा है?" पेत्रोविच रोया और जवाब दिया: "हाँ, बस थोड़ा सा। अगर मैं सभी पैसे का आधा और बाकी का आधा खर्च करता हूं, तो मेरे पास केवल एक बैग पैसा बचेगा ..." पेट्रोविच के पास कितना पैसा है?

फिर से, हम बिंदु से कार्य करते हैं।

1. हम स्पष्ट जानकारी की तलाश कर रहे हैं। आप इसे तुरंत नहीं पाएंगे! मुखर सूचना है एकपैसे का बैग। कुछ और भाग हैं... ठीक है, हम इसे दूसरे पैराग्राफ में सुलझा लेंगे।

2. हम छिपी हुई जानकारी की तलाश कर रहे हैं। ये आधा हैं। क्या? बहुत स्पष्ट नहीं। और खोज रहे हैं। एक और मुद्दा है: "पेट्रोविच के पास कितना पैसा है?"आइए पत्र द्वारा धन की राशि को निरूपित करें "एक्स":

एक्स- सब पैसे

और समस्या को फिर से पढ़ें। पेट्रोविच पहले से ही जानता है एक्सधन। यहीं पर आधा काम करता है! हम लिखते हैं:

0.5 एक्स- सभी पैसे का आधा।

शेष भी आधा होगा, अर्थात 0.5 एक्स।और आधे का आधा इस प्रकार लिखा जा सकता है:

0.5 0.5 x = 0.25x- शेष का आधा।

अब सभी छिपी हुई जानकारी प्रकट और रिकॉर्ड की गई है।

3. हम रिकॉर्ड किए गए डेटा के बीच संबंध ढूंढ रहे हैं। यहाँ आप केवल पेत्रोविच की पीड़ा को पढ़ सकते हैं और उन्हें गणितीय रूप से लिख सकते हैं):

अगर मैं सारे पैसे का आधा खर्च करता हूं...

आइए इस प्रक्रिया को लिखते हैं। सारा पैसा- एक्स।आधा - 0.5 एक्स. खर्च करना है दूर ले जाना है। मुहावरा बन जाता है:

एक्स - 0.5 एक्स

और आधा बाकी...

शेष का आधा घटाएं:

एक्स - 0.5 एक्स - 0.25 एक्स

तब मेरे पास पैसों की एक ही थैली रह जाएगी...

और समानता है! सभी घटावों के बाद, पैसे का एक थैला बचता है:

एक्स - 0.5 एक्स - 0.25x \u003d 1

यहाँ यह है, गणितीय मॉडल! यह फिर से एक रेखीय समीकरण है, हम हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

विचारार्थ प्रश्न। चार क्या है? रूबल, डॉलर, युआन? और गणितीय मॉडल में हमारे पास किन इकाइयों में पैसा है? बैग में!तो चार थैलापेट्रोविच का पैसा। भी ठीक।)

कार्य, ज़ाहिर है, प्राथमिक हैं। यह विशेष रूप से गणितीय मॉडल बनाने के सार को पकड़ने के लिए है। कुछ कार्यों में बहुत अधिक डेटा हो सकता है जिसमें भ्रमित होना आसान है। यह अक्सर तथाकथित में होता है। योग्यता कार्य। शब्दों और संख्याओं के ढेर से गणितीय सामग्री को कैसे निकाला जाता है, इसे उदाहरणों के साथ दिखाया गया है

एक और नोट। शास्त्रीय स्कूल की समस्याओं में (पाइप पूल भरते हैं, नावें कहीं नौकायन कर रही हैं, आदि), सभी डेटा, एक नियम के रूप में, बहुत सावधानी से चुने जाते हैं। दो नियम हैं:
- इसे हल करने के लिए समस्या में पर्याप्त जानकारी है,
- कार्य में कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं है।

यह एक संकेत है। यदि गणितीय मॉडल में कुछ अप्रयुक्त मान हैं, तो सोचें कि क्या कोई त्रुटि है। यदि किसी भी तरह से पर्याप्त डेटा नहीं है, तो सबसे अधिक संभावना है कि सभी छिपी हुई जानकारी प्रकट और रिकॉर्ड नहीं की गई है।

योग्यता और अन्य जीवन कार्यों में इन नियमों का सख्ती से पालन नहीं किया जाता है। मेरे पास कोई संकेत नहीं है। लेकिन ऐसी समस्याओं का समाधान भी किया जा सकता है। बेशक, क्लासिक पर अभ्यास करें।)

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2.2.1 गणितीय दृष्टिकोण के दृष्टिकोण से, "एक समस्या एक मॉडल और कुछ गणितीय सिद्धांत के ढांचे के भीतर इसके अनुप्रयोग के लिए एक एल्गोरिथ्म है।" गणितीय शोध विधियों को लागू करने के लिए, समस्या का एक गणितीय मॉडल बनाना आवश्यक है। गणित का मॉडलकार्य एक विशेष तार्किक निर्माण हैं जो गणितीय सिद्धांत के संदर्भ में उद्देश्यपूर्ण प्रक्रिया या घटना का वर्णन करता है जो एक विशिष्ट कार्य को रेखांकित करता है। इस तरह के मॉडल को हल करने की प्रक्रिया निर्णय लेने वाले की सोच प्रक्रिया का एक प्रकार का एनालॉग है।

एक मॉडल अध्ययन के तहत एक वास्तविक वस्तु या घटना की एक छवि है, जो उपकरणों के एक निश्चित सेट का उपयोग करके बनाई गई है। मॉडल वस्तुओं (घटनाओं) की समझ को बहुत सुविधाजनक बनाते हैं, हमें उनके व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देते हैं जो हमारे लिए रुचि रखते हैं और विश्लेषण के एकीकृत तरीकों को लागू करते हैं। मॉडल अध्ययन के तहत वस्तु (घटना) की विचाराधीन समस्या, सुविधाओं (गुणों) के दृष्टिकोण से सबसे महत्वपूर्ण ध्यान केंद्रित करता है। मॉडलिंग का उद्देश्य एक ऐसा विवरण बनाना है जो पर्याप्त रूप से सटीक, पूर्ण, संक्षिप्त और समझने और विश्लेषण करने में आसान हो।

गणितीय मॉडल के तत्व चर, पैरामीटर, कनेक्शन (गणितीय) और सूचना हैं।

सामान्य योग्यता गणितीय मॉडल, एक नियम के रूप में, निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार निर्मित होता है:

समय में मॉडलों का व्यवहार;

इनपुट जानकारी के प्रकार

गणितीय मॉडल बनाने वाले पैरामीटर, अभिव्यक्ति, निर्माण;

गणितीय मॉडल की संरचना;

प्रयुक्त गणितीय उपकरण का प्रकार।

इस वर्गीकरण के अनुसार, गणितीय मॉडल हैं गतिशील(समय एक स्वतंत्र चर की भूमिका निभाता है, और समय के साथ प्रणाली का व्यवहार बदल जाता है); स्थिर(समय से स्वतंत्र); अर्ध-स्थैतिक या असतत-घटना(बाहरी प्रभावों के अनुसार सिस्टम का व्यवहार एक स्थिर स्थिति से दूसरे में बदलता है)। यदि मॉडल के ये तत्व पर्याप्त रूप से सटीक रूप से स्थापित हैं और सिस्टम के व्यवहार को सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है, तो मॉडल है नियतात्मकअन्यथा - स्टोकेस्टिक. यदि सूचना और पैरामीटर निरंतर मान हैं, और गणितीय संबंध स्थिर हैं, तो मॉडल निरंतर, अन्यथा - अलग. यदि मॉडल पैरामीटर तय किए गए हैं और सिमुलेशन के दौरान सिमुलेशन ऑब्जेक्ट के व्यवहार के अनुसार नहीं बदलते हैं, तो यह फिक्स्ड-पैरामीटर मॉडल, अन्यथा - समय-या स्थान-भिन्न मापदंडों के साथ मॉडल. गणितीय मॉडल हो सकता है जटिल, जटिल, श्रेणीबद्धयदि आप इसे बनाने वाले प्राथमिक सबसिस्टम ढूंढ सकते हैं। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रश्न है, क्योंकि इसका समाधान मॉडलिंग को महत्वपूर्ण रूप से सरल बना सकता है, उदाहरण के लिए, वितरित सिस्टम का परिचालन प्रबंधन, खासकर यदि मॉडल को ट्री या नेटवर्क संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण के प्रकार के अनुसार, हम बात करेंगे विश्लेषणात्मक, संभाव्य-सांख्यिकीय और अस्पष्टमॉडल।

मॉडल के लिए मुख्य आवश्यकताएं:

पर्याप्तता (विश्वसनीयता);

पूर्णता;

गैर अतिरेक;

स्वीकार्य कार्यभार।

पर्याप्तता और पूर्णता का मतलब है कि मॉडल में मॉडलिंग ऑब्जेक्ट की सभी आवश्यक (समस्या हल होने के दृष्टिकोण से) विशेषताएं होनी चाहिए और पर्याप्त सटीकता के साथ इन सुविधाओं में इससे भिन्न नहीं होना चाहिए। इसमें विशेष रूप से, मॉडलिंग की जा रही प्रणाली के कामकाज के प्रयोजनों के लिए इष्टतमता मानदंड की पर्याप्तता की समस्या भी शामिल है। गैर-अतिरेक की आवश्यकता के संबंध में, मॉडल को कई छोटे, द्वितीयक कारकों से "भरा हुआ" नहीं होना चाहिए जो केवल गणितीय विश्लेषण को जटिल बनाते हैं और अध्ययन के परिणामों को देखने में मुश्किल बनाते हैं। स्वीकार्य श्रम तीव्रता का अर्थ है कि मॉडल बनाने की लागत को स्थापित संसाधन बाधाओं का पालन करना चाहिए और मॉडल का उपयोग करने का प्रभाव इसे बनाने की लागत से अधिक होना चाहिए। साथ ही, मॉडलिंग की लागत का आकलन करते समय, मॉडल के निर्माण और आवश्यक जानकारी एकत्र करने, प्रशिक्षण के लिए लागत और समय, प्रसंस्करण और भंडारण की लागत दोनों में सीधे शामिल सभी प्रतिभागियों के समय और प्रयास को ध्यान में रखना चाहिए। जानकारी। मॉडल के लिए ये आवश्यकताएं विरोधाभासी हैं। उदाहरण के लिए, एक ओर, यह काफी पूर्ण होना चाहिए, और दूसरी ओर, यह काफी सरल और कम लागत वाला होना चाहिए। अर्थात्, गणितीय मॉडल का निर्माण काफी हद तक रचनात्मकता है, जिसके लिए उपयुक्त गणितीय और व्यावहारिक ज्ञान, अनुभव और योग्यता की उपलब्धता की आवश्यकता होती है।

2.2.2 निर्णय लेने की समस्या के संबंध में, कोई सीपीआर मॉडल, निर्णय लेने के माहौल का एक मॉडल (समस्या की स्थिति का एक वर्णनात्मक मॉडल), निर्णय लेने की प्रक्रिया का एक मॉडल, एक कंप्यूटर निर्णय का एक मॉडल के बारे में बात कर सकता है। -मेकिंग सिस्टम (निर्णय समर्थन प्रणाली)।

किसी विशिष्ट CRA के मॉडल का निर्धारण करते समय, CRA के वर्गीकरण की पहले मानी गई प्रणाली के ढांचे के भीतर हमारे द्वारा पहचानी गई वर्गीकरण सुविधाओं के संबंध में इसका मूल्यांकन करना आवश्यक है और इस तरह के मूल्यांकन के परिणामों के आधार पर, निर्धारित करें। संबंधित विशेषताओं के टपल के रूप में सीपीआर मॉडल। उदाहरण के लिए, एक व्यक्तिगत निर्णय निर्माता के लिए डीपीआर के सामान्य औपचारिक मॉडल को टपल के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

;

और टपल के रूप में निर्णय निर्माता समूह के लिए

< So, T, R, S, G, B, A, К, F(f), L, A* >,

जहां समस्या की स्थिति है; T निर्णय लेने का समय है; आर - निर्णय लेने के लिए उपलब्ध संसाधन; एस = (एस 1, …, एस एन) स्वीकार्य परिस्थितियों का सेट है जो विषय क्षेत्र को परिभाषित करता है और इस प्रकार समस्या की स्थिति को स्पष्ट करता है; G=(G 1 ,…,G k) निर्णय लेते समय अपनाए गए लक्ष्यों का समूह है; B=(B 1 ,…,B L) – प्रतिबंधों का समूह; A=(A 1 ,…,A m) – सेट वैकल्पिकसमाधान; च निर्णय निर्माता की वरीयता समारोह है; के - चयन मानदंड; एफ (एफ) समूह वरीयता समारोह है; एल समूह वरीयताओं के गठन के लिए व्यक्तिगत प्राथमिकताओं के समन्वय का सिद्धांत है; ए * इष्टतम समाधान है।

आइए हम चयन मानदंड K और वरीयता फ़ंक्शन के मॉडल में उपस्थिति की व्याख्या करें। अनुभव से पता चलता है कि चयन मानदंडों के संदर्भ में, अक्सर किसी विशेष निर्णय निर्माता की "पूर्वाग्रह", "स्वाद" और वरीयताओं की पूरी श्रृंखला को व्यक्त करना संभव नहीं होता है। वास्तविक ZPR पर विचार करते समय आमतौर पर उत्पन्न होने वाले कई विशेष मानदंडों की मदद से, कुछ लक्ष्यों को केवल रेखांकित किया जाता है, जो अक्सर बहुत विरोधाभासी हो जाते हैं। एक नियम के रूप में, इन लक्ष्यों को एक ही समय में प्राप्त नहीं किया जा सकता है, और इसलिए समझौता करने के लिए कुछ अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता होती है। दूसरे शब्दों में, अगर हम खुद को सेट तक ही सीमित रखते हैं संभव समाधानऔर एक वेक्टर मानदंड, तो ZPR "कम निर्धारित" हो जाता है। यह "अल्पनिर्धारण" तब वेक्टर मानदंड के आधार पर एक प्रभावी समाधान की पसंद की कमजोर तार्किक वैधता को प्रभावित करता है। एक उचित विकल्प बनाने के लिए, सदिश कसौटी के अलावा, निर्णयकर्ता की प्राथमिकताओं के बारे में कुछ अतिरिक्त जानकारी होनी चाहिए। यह अंत करने के लिए, बहु-मानदंड कार्य में एक फ़ंक्शन शामिल करना आवश्यक है जो मौजूदा प्राथमिकताओं के संबंध का वर्णन करता है।

संकेतन A'A का उपयोग अक्सर समाधान A' की तुलना में समाधान A' की वरीयता को दर्शाने के लिए किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक दो संभावित समाधान A' और A" संबंध A'A" या संबंध A"A द्वारा संबंधित नहीं हैं। '। निर्णयों के ऐसे जोड़े हो सकते हैं कि निर्णय निर्माता उनमें से किसी एक को वरीयता देने में सक्षम नहीं है। व्यवहार में, स्वीकार्य विकल्पों के किसी भी जोड़े के लिए वरीयता संबंध निर्धारित करने की निर्णय निर्माता की क्षमता अत्यंत दुर्लभ है (उदाहरण के लिए, किए गए निर्णयों के परिणामों को पूरी तरह से और सटीक रूप से निर्धारित करने की असंभवता के कारण)।

वरीयता संबंध को परिभाषित करते समय, निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:

वरीयता संबंध इस अर्थ में सख्त है कि किसी भी व्यवहार्य समाधान A' के लिए A'A' रूप की किसी शर्त को पूरा करना असंभव है - क्योंकि कोई भी समाधान स्वयं से बेहतर नहीं हो सकता है;

यदि A'A" और A"A''', तो A'A''' (संक्रमण की संपत्ति)।

अक्सर (उदाहरण के लिए, पदानुक्रमित वितरित वातावरण के प्रबंधन के संदर्भ में निर्णय लेते समय), निर्णय लेने की प्रक्रिया को मॉडल करने की आवश्यकता होती है। निर्णय लेने की प्रक्रिया को तथाकथित निर्णय वृक्ष के रूप में योजनाबद्ध रूप से दर्शाया गया है। इस तरह के पेड़ का निर्माण निर्णय लेने की प्रक्रिया के अपघटन पर आधारित है - स्वतंत्र कार्यात्मक उप-प्रक्रियाओं और अधिक विशेष कार्यों का आवंटन, साथ ही साथ उनके बीच संबंध स्थापित करना, जिसके परिणामस्वरूप सामान्य निर्णय -निर्माण प्रक्रिया को परस्पर संबंधित पदानुक्रमित स्थानीय डीपीआर के अनुक्रम के समाधान के रूप में दर्शाया गया है। अपघटन के मुख्य सिद्धांत प्रत्येक उपप्रोसेस की सापेक्ष स्वतंत्रता हैं (यानी, एक विशिष्ट नियंत्रण वस्तु की उपस्थिति); स्पष्ट रूप से परिभाषित स्थानीय निर्णय लेने के लक्ष्यों के अनुरूप कार्यों और डीपीआर के एक उपयुक्त सेट की उपस्थिति आम लक्ष्यपूरे सिस्टम के लिए निर्णय लेना; उपप्रक्रिया में शामिल तत्वों की संरचना का अनुकूलन। परिचालन गुणवत्ता प्रबंधन की समस्या के ढांचे के भीतर निर्णय लेने की समस्या पर विचार करते समय इस मुद्दे पर बाद में विचार किया जाएगा।

2.2.3 मील के पत्थर समग्र प्रक्रियासिमुलेशन हैं:

1) कार्य का विश्लेषण;

2) कार्य के संदर्भ में मॉडलिंग वस्तु और उसके वातावरण का विश्लेषण;

3) मॉडल का निर्माण (संश्लेषण);

4) विश्वसनीयता के लिए निर्मित मॉडल का सत्यापन;

5) मॉडल का अनुप्रयोग;

6) मॉडल अपडेट (आवश्यकतानुसार)।

1) एक मॉडल बनाने से पहले, आपको सबसे पहले मॉडल के मुख्य उद्देश्य को निर्धारित करने की आवश्यकता है - निर्णय निर्माता को उसके सामने आने वाली समस्या को हल करने में मदद करने के लिए आपको मॉडल का उपयोग करने के लिए कौन से आउटपुट डेटा की आवश्यकता है।

फिर आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि मॉडल बनाने के लिए कौन सी जानकारी की आवश्यकता है और कौन सी आउटपुट जानकारी की आवश्यकता है। इसके अलावा, मॉडल बनाने की लागत और इसका उपयोग करने वाले लोगों की प्रतिक्रिया का आकलन किया जाना चाहिए। एक मॉडल जिसका निर्माण और उपयोग करने की लागत इससे प्राप्त लाभों से अधिक है, किसी को इसकी आवश्यकता नहीं है, और एक मॉडल जो बहुत जटिल है, उपयोगकर्ताओं द्वारा समझा नहीं जा सकता है और व्यवहार में लागू नहीं किया जाएगा।

2) मॉडल वस्तु के विवरण पर आधारित होता है, जो वस्तु को बनाने वाले तत्वों को उजागर करने, उनके बीच के संबंध की पहचान करने, निर्धारण करने के आधार पर बनता है (समस्या हल की जा रही है और उपलब्ध जानकारी के अनुसार)। विचाराधीन समस्या के लिए आवश्यक विशेषताएं और पैरामीटर। एक ही चरण में, परिकल्पना बनती है, बाद के सत्यापन के अधीन, अध्ययन के तहत वस्तु में निहित पैटर्न के बारे में, कुछ मापदंडों में परिवर्तन की वस्तु पर प्रभाव की प्रकृति के बारे में और तत्वों के बीच संबंध, संभावित परिणाम निर्धारित करने वाले संबंध लिए गए निर्णयों का अध्ययन किया जाता है, और फजी, अस्पष्ट कथनों या परिभाषाओं को समाप्त कर दिया जाता है। , जिन्हें प्रतिस्थापित किया जाता है, शायद, अनुमानित, लेकिन स्पष्ट कथनों से जो विभिन्न व्याख्याओं की अनुमति नहीं देते हैं।

3) गणितीय मॉडलिंग का सार गणितीय योजनाओं का चयन है जो वास्तविकता में होने वाली प्रक्रियाओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करती हैं।

गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, घटना किसी तरह सरलीकृत, योजनाबद्ध होती है; घटना को प्रभावित करने वाले कारकों की अनगिनत संख्या में से, सबसे महत्वपूर्ण लोगों की एक अपेक्षाकृत छोटी संख्या को बाहर कर दिया जाता है, और परिणामी योजना को एक या किसी अन्य गणितीय उपकरण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। गणितीय मॉडल बनाने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। प्रत्येक मामले में, मॉडल कार्य, उपलब्ध प्रारंभिक डेटा, समाधान की आवश्यक सटीकता और मॉडल बनाने वाले विश्लेषक की व्यक्तिगत प्राथमिकताओं के आधार पर बनाया गया है।

गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, निम्नलिखित प्रकारगतिविधियाँ:

प्रणाली के सभी तत्वों का विश्लेषण जो किए गए निर्णयों की दक्षता को प्रभावित करते हैं और विभिन्न निर्णय विकल्पों के साथ संगठन के कामकाज पर उनमें से प्रत्येक के प्रभाव की डिग्री का आकलन करते हैं;

- उन तत्वों की सूची से बहिष्करण जो समाधान की पसंद को प्रभावित नहीं करते (या नगण्य रूप से प्रभावित करते हैं);

- मॉडल को सरल बनाने के लिए कुछ परस्पर संबंधित तत्वों का प्रारंभिक समूहन (उदाहरण के लिए, किराए की लागत, परिसर के रखरखाव और अन्य को सशर्त रूप से निर्धारित लागतों में जोड़ा जाता है);

- सिस्टम पर प्रभाव की उनकी स्थायी या परिवर्तनशील प्रकृति को स्पष्ट करने के बाद तत्वों की सूची का निर्धारण (परिवर्तनीय तत्वों के हिस्से के रूप में, सिस्टम के उप-तत्व स्थापित किए जाते हैं जो उनके मूल्य को प्रभावित करते हैं; उदाहरण के लिए, परिवहन लागत निर्भर करती है स्थानांतरित किए गए माल की मात्रा, दूरी, ईंधन लागत, आदि पर);

- प्रत्येक उपखंड को एक निश्चित प्रतीक निर्दिष्ट करना और संबंधित गणितीय संरचनाओं को संकलित करना।

एक गणितीय मॉडल आमतौर पर समस्या को हल करने के लिए प्रस्तावित पद्धति पर ध्यान देने के साथ बनाया जाता है। दूसरी ओर, गणितीय अध्ययन करने या समाधान की व्याख्या करने की प्रक्रिया में, गणितीय मॉडल को परिष्कृत करना या महत्वपूर्ण रूप से बदलना आवश्यक हो सकता है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, वर्तमान में निर्णय लेने की समस्याओं में उपयोग किए जाने वाले गणितीय मॉडल को मोटे तौर पर तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: विश्लेषणात्मक, सांख्यिकीय और अस्पष्ट औपचारिकता पर आधारित।

पूर्व को किसी भी रूप में लिखी गई समस्या के मापदंडों के बीच सूत्र, विश्लेषणात्मक निर्भरता की स्थापना की विशेषता है: बीजगणितीय समीकरण, साधारण अंतर समीकरण, आंशिक अंतर समीकरण, आदि। आमतौर पर, विश्लेषणात्मक मॉडल की मदद से, यह संभव है कुछ विशुद्ध रूप से तकनीकी प्रक्रियाओं का संतोषजनक सटीकता के साथ वर्णन करें, जो ज्ञात भौतिक कानूनों पर आधारित हैं।

सांख्यिकीय मॉडल का उपयोग उपयुक्त संभाव्यता और सांख्यिकीय डेटा और नियमितताओं की उपलब्धता को मानता है।

अस्पष्ट औपचारिकता पर आधारित मॉडलों का उपयोग डेटा के अभाव में उचित है जो पहले दो प्रकार के मॉडलों के उपयोग की अनुमति देगा।

इसे सही ठहराने के लिए निर्मित मॉडल को उचित विश्लेषण के अधीन होना चाहिए। अधिकांश महत्वपूर्ण बिंदु- तैयार मॉडल के ढांचे के भीतर अस्तित्व का प्रमाण या समाधान प्राप्त करना। यदि यह स्थिति पूरी नहीं होती है, तो या तो समस्या के सूत्रीकरण या गणितीय औपचारिकता के तरीकों को ठीक किया जाना चाहिए।

4) व्यवहार में, वैधता के लिए मॉडल की जाँच करना लगभग हमेशा आवश्यक होता है। सबसे पहले, वास्तविक घटना के लिए मॉडल के पत्राचार की डिग्री निर्धारित करना आवश्यक है, यह स्थापित करने के लिए कि मॉडल में वास्तविक स्थिति के सभी आवश्यक कारकों को ध्यान में रखा गया है या नहीं। दूसरा, आपको यह समझने की जरूरत है कि मॉडलिंग वास्तव में समस्या को हल करने में कैसे मदद करती है। अतीत में हुई स्थिति के खिलाफ मॉडल का परीक्षण करना वांछनीय है।

मॉडल के साथ अध्ययन के तहत वस्तु की तुलना (मूल्यांकन) का एक सफल परिणाम वस्तु के ज्ञान की पर्याप्त डिग्री, मॉडलिंग के अंतर्निहित सिद्धांतों की शुद्धता और बनाए गए मॉडल के व्यावहारिक होने का संकेत देता है।

अक्सर पहले सिमुलेशन परिणाम आवश्यकताओं को पूरा नहीं करते हैं। इसके लिए अतिरिक्त शोध और मॉडल में तदनुरूप परिवर्तन की आवश्यकता है।

5) मॉडल के आवेदन के संबंध में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि मॉडल के अपर्याप्त उपयोग का मुख्य कारण यह है कि जिन प्रबंधकों के लिए वे बनाए गए हैं वे अक्सर प्राप्त परिणामों को पूरी तरह से नहीं समझते हैं और इसलिए उन्हें लागू करने से डरते हैं। इसका कारण है इस क्षेत्र में उनका ज्ञान का अभाव। इसका मुकाबला करने के लिए, सिस्टम विश्लेषकों को मॉडलों का उपयोग करने की क्षमताओं और तरीकों के बारे में प्रबंधकों को शिक्षित करने में अधिक समय बिताने की आवश्यकता है।

6) यदि प्रबंधन को अधिक सुविधाजनक रूप या अतिरिक्त डेटा में आउटपुट डेटा की आवश्यकता होती है तो मॉडल को अपडेट किया जाता है। संगठन के लक्ष्यों और संबंधित निर्णय लेने के मानदंडों में परिवर्तन के मामले में या मौजूदा मॉडल को स्पष्ट करने और सुधारने की अनुमति देने वाली अतिरिक्त जानकारी प्राप्त होने पर मॉडल के अद्यतन की भी आवश्यकता हो सकती है। बाद की स्थिति अपर्याप्तता की समस्या से संबंधित है, मॉडल बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली प्राथमिक जानकारी की अशुद्धि। यदि बाहरी वातावरण मोबाइल है, तो इसके बारे में जानकारी जल्दी से अपडेट की जानी चाहिए, लेकिन यह पर्याप्त समय नहीं हो सकता है या यह बहुत महंगा हो सकता है। मॉडल के निर्माण में अंतर्निहित मान्यताओं की अविश्वसनीयता का मुख्य कारण सूचना सीमाएं हैं। अक्सर ऐसी परिस्थितियां होती हैं जब सभी महत्वपूर्ण कारकों के बारे में जानकारी प्राप्त करना और इसे मॉडल में उपयोग करना असंभव होता है। उन मान्यताओं का उपयोग करने के लिए सावधानी बरती जानी चाहिए जिनका सटीक अनुमान नहीं लगाया जा सकता है और निष्पक्ष रूप से सत्यापित नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, एक धारणा है कि अगले वर्ष की बिक्री एक निश्चित राशि से बढ़ेगी)।

2.2.4 मॉडल बनाते समय, निम्नलिखित सिफारिशों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

आमतौर पर, गणितीय मॉडल का मुख्य मोटा निर्माण (प्रकार, सामान्य योजना) पहले निर्धारित किया जाता है, और फिर इस निर्माण का विवरण निर्दिष्ट किया जाता है (चर और मापदंडों की एक विशिष्ट सूची, संबंधों का रूप);

मॉडल के अनावश्यक विवरण से बचना चाहिए, क्योंकि यह अनावश्यक रूप से मॉडल को जटिल बनाता है। मॉडल की जटिलता की ऐसी विशेषताओं के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जैसे गणितीय निर्भरता के रूप, यादृच्छिकता और अनिश्चितता आदि के कारकों को ध्यान में रखते हुए। मॉडल की अत्यधिक जटिलता और बोझिलता अनुसंधान प्रक्रिया को जटिल बनाती है। न केवल सूचना और गणितीय समर्थन की वास्तविक संभावनाओं को ध्यान में रखना आवश्यक है, बल्कि प्राप्त प्रभाव के साथ मॉडलिंग की लागतों की तुलना करना भी आवश्यक है (जैसे-जैसे मॉडल की जटिलता बढ़ती है, लागत में वृद्धि प्रभाव में वृद्धि से अधिक हो सकती है);

में से एक महत्वपूर्ण विशेषताएंगणितीय मॉडल - विभिन्न गुणवत्ता की समस्याओं को हल करने के लिए उनके उपयोग की संभावित संभावना। इसलिए, यहां तक ​​​​कि जब एक नए कार्य का सामना करना पड़ता है, तो इसे हल करने के लिए पहले से ही ज्ञात मॉडल (या उनके व्यक्तिगत घटकों) का उपयोग करने की संभावना का विश्लेषण करना आवश्यक है;

गणितीय समस्याओं के एक अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग से संबंधित एक मॉडल प्राप्त करने का प्रयास करना आवश्यक है। अक्सर यह मॉडल की प्रारंभिक धारणाओं के कुछ सरलीकरण द्वारा किया जा सकता है जो कि मॉडल की गई वस्तु की आवश्यक विशेषताओं को विकृत नहीं करते हैं।

मॉडलिंग की सकारात्मक विशेषताएं भी हैं:

- अधिक उन्नत सिद्ध निर्णय लेने वाली तकनीकों का उपयोग;

- निर्णयों की वैधता का उच्च स्तर;

- निर्णय लेने के समय में कमी;

- रिवर्स ऑपरेशन करने की संभावना।

व्युत्क्रम ऑपरेशन की ख़ासियत यह है कि, एक मॉडल और प्रारंभिक डेटा होने पर, कोई न केवल निर्णय ले सकता है, बल्कि वांछित परिणाम पर भी ध्यान केंद्रित कर सकता है और यह निर्धारित कर सकता है कि इसके लिए प्रारंभिक डेटा की क्या आवश्यकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, N की मात्रा में लाभ कमाने पर ध्यान केंद्रित करते हुए, अन्य संकेतकों के मात्रात्मक मूल्यों को भी स्थापित किया जा सकता है जो प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से नियोजित परिणाम की उपलब्धि को प्रभावित करते हैं (स्थिति (वस्तु) के बारे में नया ज्ञान प्राप्त करना) पहले उपलब्ध नहीं था; निष्कर्ष तैयार करना जो सबसे सार्थक तार्किक तर्क के साथ प्राप्त नहीं किया जा सकता)।

व्याख्यान 1

मॉडलिंग के पद्धति संबंधी आधार

सिस्टम मॉडलिंग की समस्या की वर्तमान स्थिति

मॉडलिंग और सिमुलेशन की अवधारणा

मोडलिंगइसकी सशर्त छवि, विवरण या किसी अन्य वस्तु द्वारा जांच की गई वस्तु (मूल) के प्रतिस्थापन के रूप में माना जा सकता है, जिसे कहा जाता है नमूनाऔर कुछ धारणाओं और स्वीकार्य त्रुटियों के भीतर मूल के करीब व्यवहार प्रदान करना। मॉडलिंग आमतौर पर अपने मॉडल की जांच करके मूल के गुणों को जानने के उद्देश्य से की जाती है, न कि स्वयं वस्तु की। बेशक, अनुकरण उस मामले में उचित है जब यह बनाने में आसानमूल ही, या जब बाद वाला, किसी कारण से, बिल्कुल नहीं बनाना बेहतर है।

अंतर्गत नमूनाएक भौतिक या अमूर्त वस्तु को समझा जाता है, जिसके गुण एक निश्चित अर्थ में अध्ययन के तहत वस्तु के गुणों के समान होते हैं। इस मामले में, मॉडल की आवश्यकताओं को हल की जा रही समस्या और उपलब्ध साधनों द्वारा निर्धारित किया जाता है। मॉडल के लिए कई सामान्य आवश्यकताएं हैं:

2) पूर्णता - प्राप्तकर्ता को सभी आवश्यक जानकारी प्रदान करना

वस्तु के बारे में;

3) लचीलापन - हर चीज में विभिन्न स्थितियों को पुन: पेश करने की क्षमता

बदलती परिस्थितियों और मापदंडों की सीमा;

4) विकास की जटिलता मौजूदा के लिए स्वीकार्य होनी चाहिए

समय और सॉफ्टवेयर।

मोडलिंगकिसी वस्तु का मॉडल बनाने और मॉडल की जांच करके उसके गुणों का अध्ययन करने की प्रक्रिया है।

इस प्रकार, मॉडलिंग में 2 मुख्य चरण शामिल हैं:

1) मॉडल विकास;

2) मॉडल का अध्ययन और निष्कर्ष निकालना।

इसी समय, प्रत्येक चरण में अलग-अलग कार्य हल किए जाते हैं और

अनिवार्य रूप से विभिन्न तरीके और साधन।

व्यवहार में, लागू करें विभिन्न तरीकेमॉडलिंग। कार्यान्वयन की विधि के आधार पर, सभी मॉडलों को दो बड़े वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: भौतिक और गणितीय।

गणित मॉडलिंगइसे उनके गणितीय मॉडल की मदद से प्रक्रियाओं या घटनाओं का अध्ययन करने के साधन के रूप में माना जाता है।

अंतर्गत शारीरिक मॉडलिंगभौतिक मॉडलों पर वस्तुओं और परिघटनाओं के अध्ययन के रूप में समझा जाता है, जब अध्ययन के तहत प्रक्रिया को उसकी भौतिक प्रकृति के संरक्षण के साथ पुन: पेश किया जाता है या अध्ययन के तहत एक अन्य भौतिक घटना के समान उपयोग किया जाता है। जिसमें भौतिक मॉडलएक नियम के रूप में, वे मूल के उन भौतिक गुणों का वास्तविक अवतार मानते हैं जो किसी विशेष स्थिति में आवश्यक हैं। उदाहरण के लिए, एक नया विमान डिजाइन करते समय, इसका मॉडल बनाया जाता है जिसमें समान वायुगतिकीय गुण होते हैं; भवन की योजना बनाते समय, आर्किटेक्ट एक ऐसा लेआउट बनाते हैं जो इसके तत्वों की स्थानिक व्यवस्था को दर्शाता है। इस संबंध में, भौतिक मॉडलिंग भी कहा जाता है प्रोटोटाइप.

एचआईएल मॉडलिंगमॉडल में वास्तविक उपकरणों को शामिल करने के साथ सिमुलेशन परिसरों पर नियंत्रित प्रणालियों का अध्ययन है। वास्तविक उपकरण के साथ, बंद मॉडल में प्रभाव और हस्तक्षेप सिमुलेटर, बाहरी वातावरण के गणितीय मॉडल और प्रक्रियाएं शामिल हैं जिनके लिए एक पर्याप्त सटीक गणितीय विवरण ज्ञात नहीं है। मॉडलिंग जटिल प्रक्रियाओं के लिए सर्किट में वास्तविक उपकरण या वास्तविक सिस्टम को शामिल करने से प्राथमिक अनिश्चितता को कम करना और उन प्रक्रियाओं की जांच करना संभव हो जाता है जिनके लिए कोई सटीक गणितीय विवरण नहीं है। अर्ध-प्राकृतिक सिमुलेशन की मदद से, छोटे समय के स्थिरांक और वास्तविक उपकरणों में निहित गैर-रैखिकताओं को ध्यान में रखते हुए अध्ययन किया जाता है। वास्तविक उपकरणों को शामिल करने वाले मॉडलों के अध्ययन में, अवधारणा का उपयोग किया जाता है गतिशील अनुकरण, पढ़ाई में जटिल प्रणालीऔर घटनाएं - विकासवादी, नकलऔर साइबरनेटिक सिमुलेशन.

जाहिर है, मॉडलिंग का वास्तविक लाभ तभी प्राप्त किया जा सकता है जब दो शर्तें पूरी हों:

1) मॉडल गुणों का सही (पर्याप्त) प्रदर्शन प्रदान करता है

अध्ययन के तहत ऑपरेशन के दृष्टिकोण से मूल, महत्वपूर्ण;

2) मॉडल ऊपर सूचीबद्ध समस्याओं को खत्म करना संभव बनाता है, जो अंतर्निहित हैं

वास्तविक वस्तुओं पर अनुसंधान करना।

2. गणितीय मॉडलिंग की बुनियादी अवधारणाएँ

गणितीय विधियों द्वारा व्यावहारिक समस्याओं का समाधान लगातार समस्या को तैयार करके (एक गणितीय मॉडल का विकास), प्राप्त गणितीय मॉडल का अध्ययन करने के लिए एक विधि का चयन करके और प्राप्त गणितीय परिणाम का विश्लेषण करके किया जाता है। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण आमतौर पर ज्यामितीय छवियों, कार्यों, समीकरणों की प्रणाली आदि के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। किसी वस्तु (घटना) का वर्णन निरंतर या असतत, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक और अन्य गणितीय रूपों का उपयोग करके प्रस्तुत किया जा सकता है।

गणितीय मॉडलिंग का सिद्धांतआसपास की दुनिया की विभिन्न घटनाओं के प्रवाह में नियमितता की पहचान या उनके गणितीय विवरण और मॉडलिंग के बिना सिस्टम और उपकरणों के संचालन को सुनिश्चित करता है क्षेत्र परीक्षण. इस मामले में, गणित के प्रावधानों और कानूनों का उपयोग किया जाता है जो उनके आदर्शीकरण के एक निश्चित स्तर पर नकली घटनाओं, प्रणालियों या उपकरणों का वर्णन करते हैं।

गणितीय मॉडल (एमएम)कुछ सार भाषा में एक प्रणाली (या संचालन) का एक औपचारिक विवरण है, उदाहरण के लिए, गणितीय संबंधों या एल्गोरिथम योजना के एक सेट के रूप में, अर्थात। ङ. ऐसा गणितीय विवरण जो सिस्टम या उपकरणों के पूर्ण पैमाने पर परीक्षण के दौरान प्राप्त उनके वास्तविक व्यवहार के काफी करीब के स्तर पर सिस्टम या उपकरणों के संचालन की नकल प्रदान करता है।

कोई भी एमएम एक वास्तविक वस्तु, घटना या प्रक्रिया का वर्णन करता है, जिसमें वास्तविकता के कुछ हद तक सन्निकटन होता है। एमएम का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और अध्ययन के उद्देश्यों दोनों पर निर्भर करता है।

गणित मॉडलिंगसामाजिक, आर्थिक, जैविक और भौतिक घटनाएँ, वस्तुएँ, प्रणालियाँ और विभिन्न उपकरण प्रकृति को समझने और विभिन्न प्रकार की प्रणालियों और उपकरणों को डिजाइन करने के सबसे महत्वपूर्ण साधनों में से एक हैं। वायुमंडलीय और समुद्री घटनाओं, मौसम आदि के पूर्वानुमान में परमाणु प्रौद्योगिकियों, विमानन और एयरोस्पेस प्रणालियों के निर्माण में मॉडलिंग के प्रभावी उपयोग के ज्ञात उदाहरण हैं।

हालांकि, मॉडलिंग के ऐसे गंभीर क्षेत्रों में अक्सर मॉडलिंग और इसके डिबगिंग के लिए डेटा तैयार करने के लिए वैज्ञानिकों की बड़ी टीमों द्वारा सुपर कंप्यूटर और वर्षों के काम की आवश्यकता होती है। फिर भी, इस मामले में, जटिल प्रणालियों और उपकरणों का गणितीय मॉडलिंग न केवल अनुसंधान और परीक्षण पर पैसा बचाता है, बल्कि पर्यावरणीय आपदाओं को भी समाप्त कर सकता है - उदाहरण के लिए, यह आपको इसके गणितीय मॉडलिंग के पक्ष में परमाणु और थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के परीक्षण को छोड़ने की अनुमति देता है। या उनकी वास्तविक उड़ानों से पहले एयरोस्पेस सिस्टम का परीक्षण। साथ ही, सरल समस्याओं को हल करने के स्तर पर गणितीय मॉडलिंग, उदाहरण के लिए, यांत्रिकी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, इलेक्ट्रॉनिक्स, रेडियो इंजीनियरिंग और विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई अन्य क्षेत्रों से, अब आधुनिक पीसी पर प्रदर्शन के लिए उपलब्ध हो गए हैं। और सामान्यीकृत मॉडल का उपयोग करते समय, काफी जटिल प्रणालियों को मॉडल करना संभव हो जाता है, उदाहरण के लिए, दूरसंचार प्रणाली और नेटवर्क, रडार या रेडियो नेविगेशन सिस्टम।

गणितीय मॉडलिंग का उद्देश्यगणितीय विधियों द्वारा वास्तविक प्रक्रियाओं (प्रकृति या प्रौद्योगिकी में) का विश्लेषण है। बदले में, इसके लिए जांच की जाने वाली एमएम प्रक्रिया की औपचारिकता की आवश्यकता होती है। मॉडल एक गणितीय अभिव्यक्ति हो सकती है जिसमें चर होते हैं जिनका व्यवहार एक वास्तविक प्रणाली के व्यवहार के समान होता है। मॉडल में यादृच्छिकता के तत्व शामिल हो सकते हैं जो संभावनाओं को ध्यान में रखते हैं दो या की संभावित क्रियाएं अधिक"खिलाड़ी", उदाहरण के लिए, गेम थ्योरी में; या यह ऑपरेटिंग सिस्टम के परस्पर जुड़े भागों के वास्तविक चर का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

सिस्टम की विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए गणितीय मॉडलिंग को विश्लेषणात्मक, सिमुलेशन और संयुक्त में विभाजित किया जा सकता है। बदले में, एमएम को सिमुलेशन और विश्लेषणात्मक में विभाजित किया गया है।

विश्लेषणात्मक मॉडलिंग

के लिए विश्लेषणात्मक मॉडलिंगयह विशेषता है कि सिस्टम के कामकाज की प्रक्रियाएं कुछ कार्यात्मक संबंधों (बीजगणितीय, अंतर, अभिन्न समीकरण) के रूप में लिखी जाती हैं। विश्लेषणात्मक मॉडल की जांच निम्नलिखित विधियों द्वारा की जा सकती है:

1) विश्लेषणात्मक, जब वे सामान्य शब्दों में सिस्टम की विशेषताओं के लिए स्पष्ट निर्भरता प्राप्त करने का प्रयास करते हैं;

2) संख्यात्मक, जब सामान्य रूप में समीकरणों का हल खोजना संभव नहीं होता है और उन्हें विशिष्ट प्रारंभिक डेटा के लिए हल किया जाता है;

3) गुणात्मक, जब समाधान के अभाव में इसके कुछ गुण पाए जाते हैं।

विश्लेषणात्मक मॉडल केवल अपेक्षाकृत सरल प्रणालियों के लिए ही प्राप्त किए जा सकते हैं। जटिल प्रणालियों के लिए, बड़ी गणितीय समस्याएँ अक्सर उत्पन्न होती हैं। विश्लेषणात्मक पद्धति को लागू करने के लिए, मूल मॉडल के एक महत्वपूर्ण सरलीकरण के लिए जाता है। हालांकि, एक सरलीकृत मॉडल पर एक अध्ययन केवल सांकेतिक परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है। विश्लेषणात्मक मॉडल गणितीय रूप से इनपुट और आउटपुट चर और मापदंडों के बीच संबंध को सही ढंग से दर्शाते हैं। लेकिन उनकी संरचना वस्तु की आंतरिक संरचना को नहीं दर्शाती है।

विश्लेषणात्मक मॉडलिंग में, इसके परिणाम विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, कनेक्ट करके आर सी- एक निरंतर वोल्टेज स्रोत के लिए सर्किट इ(आर, सीऔर इइस मॉडल के घटक हैं), हम वोल्टेज की समय निर्भरता के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति कर सकते हैं यू(टी) संधारित्र पर सी:

यह एक रेखीय अवकल समीकरण (DE) है और इस सरल रेखीय परिपथ का एक विश्लेषणात्मक मॉडल है। प्रारंभिक स्थिति के तहत इसका विश्लेषणात्मक समाधान यू(0) = 0, जिसका अर्थ है एक विसर्जित संधारित्र सीसिमुलेशन की शुरुआत में, आपको आवश्यक निर्भरता खोजने की अनुमति मिलती है - एक सूत्र के रूप में:

यू(टी) = इ(1− पूर्वपी(- टी/आरसी)). (2)

हालाँकि, इस सरलतम उदाहरण में भी, अवकल समीकरण (1) को हल करने या लागू करने के लिए कुछ प्रयासों की आवश्यकता होती है कंप्यूटर गणित प्रणाली(SCM) प्रतीकात्मक गणनाओं के साथ - कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली। इस काफी तुच्छ मामले के लिए, एक रेखीय मॉडलिंग की समस्या का समाधान आर सी-सर्किट एक सामान्य रूप की एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति (2) देता है - यह किसी भी घटक रेटिंग के लिए सर्किट के संचालन का वर्णन करने के लिए उपयुक्त है आर, सीऔर इ, और संधारित्र के घातीय आवेश का वर्णन करता है सीएक रोकनेवाला के माध्यम से आरएक निरंतर वोल्टेज स्रोत से इ.

निस्संदेह, विश्लेषणात्मक मॉडलिंग में विश्लेषणात्मक समाधान खोजना सरल रैखिक सर्किट, सिस्टम और उपकरणों के सामान्य सैद्धांतिक कानूनों को प्रकट करने के लिए बेहद मूल्यवान साबित होता है। हालांकि, इसकी जटिलता तेजी से बढ़ जाती है क्योंकि मॉडल पर प्रभाव अधिक जटिल हो जाते हैं और क्रम और संख्या राज्य के समीकरण जो प्रतिरूपित वस्तु वृद्धि का वर्णन करते हैं। दूसरे या तीसरे क्रम की वस्तुओं की मॉडलिंग करते समय आप अधिक या कम दृश्यमान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन उच्च क्रम के साथ भी, विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ अत्यधिक बोझिल, जटिल और समझने में कठिन हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक साधारण इलेक्ट्रॉनिक एम्पलीफायर में भी अक्सर दर्जनों घटक होते हैं। हालाँकि, कई आधुनिक SCM, जैसे प्रतीकात्मक गणित की प्रणालियाँ मेपल, गणितज्ञया बुधवार मतलबकाफी हद तक समाधान को स्वचालित करने में सक्षम चुनौतीपूर्ण कार्यविश्लेषणात्मक मॉडलिंग।

एक प्रकार की मॉडलिंग है संख्यात्मक अनुकरण,जिसमें किसी भी उपयुक्त संख्यात्मक विधि, जैसे यूलर या रनगे-कुट्टा विधियों द्वारा सिस्टम या उपकरणों के व्यवहार के बारे में आवश्यक मात्रात्मक डेटा प्राप्त करना शामिल है। व्यवहार में, संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके गैर-रैखिक प्रणालियों और उपकरणों का मॉडलिंग व्यक्तिगत निजी रैखिक सर्किट, सिस्टम या उपकरणों के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग से कहीं अधिक कुशल है। उदाहरण के लिए, DE (1) या DE के सिस्टम को हल करने के लिए कठिन मामलेएक विश्लेषणात्मक रूप में समाधान प्राप्त नहीं होता है, लेकिन संख्यात्मक सिमुलेशन डेटा का उपयोग सिम्युलेटेड सिस्टम और उपकरणों के व्यवहार पर पर्याप्त पूर्ण डेटा प्राप्त करने के साथ-साथ निर्भरता के इस व्यवहार का वर्णन करने वाले ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए किया जा सकता है।

सिमुलेशन

पर नकलमॉडलिंग में, एल्गोरिदम जो मॉडल को लागू करता है, समय में सिस्टम की कार्यप्रणाली की प्रक्रिया को पुन: उत्पन्न करता है। प्रक्रिया को बनाने वाली प्राथमिक घटनाओं का अनुकरण किया जाता है, उनकी तार्किक संरचना के संरक्षण और समय में प्रवाह के क्रम के साथ।

विश्लेषणात्मक मॉडल की तुलना में सिमुलेशन मॉडल का मुख्य लाभ अधिक जटिल समस्याओं को हल करने की क्षमता है।

सिमुलेशन मॉडल असतत या निरंतर तत्वों, अरेखीय विशेषताओं, यादृच्छिक प्रभावों आदि की उपस्थिति को ध्यान में रखना आसान बनाते हैं। इसलिए, इस पद्धति का व्यापक रूप से जटिल प्रणालियों के डिजाइन चरण में उपयोग किया जाता है। सिमुलेशन मॉडलिंग के कार्यान्वयन का मुख्य उपकरण एक कंप्यूटर है जो सिस्टम और सिग्नल के डिजिटल मॉडलिंग की अनुमति देता है।

इस संबंध में, हम वाक्यांश को परिभाषित करते हैं " कंप्यूटर मॉडलिंग”, जिसका साहित्य में तेजी से उपयोग किया जाता है। हम ऐसा मानेंगे कंप्यूटर मॉडलिंग- यह कंप्यूटर तकनीक का उपयोग कर गणितीय मॉडलिंग है। तदनुसार, कंप्यूटर सिमुलेशन तकनीक में निम्नलिखित क्रियाएं शामिल हैं:

1) मॉडलिंग के उद्देश्य की परिभाषा;

2) एक वैचारिक मॉडल का विकास;

3) मॉडल की औपचारिकता;

4) मॉडल का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन;

5) मॉडल प्रयोगों की योजना बनाना;

6) प्रयोग योजना का कार्यान्वयन;

7) सिमुलेशन परिणामों का विश्लेषण और व्याख्या।

पर सिमुलेशन मॉडलिंगप्रयुक्त एमएम सिस्टम और पर्यावरण के मापदंडों के मूल्यों के विभिन्न संयोजनों के लिए समय में अध्ययन के तहत सिस्टम के कामकाज के एल्गोरिथ्म ("तर्क") को पुन: पेश करता है।

सरलतम विश्लेषणात्मक मॉडल का एक उदाहरण एकसमान सरलरेखीय गति का समीकरण है। सिमुलेशन मॉडल की मदद से ऐसी प्रक्रिया का अध्ययन करते समय, समय के साथ तय किए गए पथ में परिवर्तन का अवलोकन लागू किया जाना चाहिए। जाहिर है, कुछ मामलों में, विश्लेषणात्मक मॉडलिंग अधिक बेहतर है, दूसरों में - सिमुलेशन (या दोनों का संयोजन) . एक अच्छा चुनाव करने के लिए, दो प्रश्नों का उत्तर दिया जाना चाहिए।

मॉडलिंग का उद्देश्य क्या है?

सिम्युलेटेड घटना को किस वर्ग को सौंपा जा सकता है?

मॉडलिंग के पहले दो चरणों के निष्पादन के दौरान इन दोनों प्रश्नों के उत्तर प्राप्त किए जा सकते हैं।

सिमुलेशन मॉडल न केवल गुणों में, बल्कि संरचना में भी मॉडल की जा रही वस्तु के अनुरूप हैं। इस मामले में, मॉडल पर प्राप्त प्रक्रियाओं और वस्तु पर होने वाली प्रक्रियाओं के बीच एक स्पष्ट और स्पष्ट पत्राचार होता है। सिमुलेशन मॉडलिंग का नुकसान यह है कि अच्छी सटीकता प्राप्त करने के लिए समस्या को हल करने में काफी समय लगता है।

स्टोकेस्टिक सिस्टम के संचालन के सिमुलेशन मॉडलिंग के परिणाम प्राप्ति हैं यादृच्छिक चरया प्रक्रियाएँ। इसलिए, सिस्टम की विशेषताओं को खोजने के लिए, कई दोहराव और बाद में डेटा प्रोसेसिंग की आवश्यकता होती है। ज्यादातर, इस मामले में, एक प्रकार के सिमुलेशन का उपयोग किया जाता है - सांख्यिकीय

मॉडलिंग(या मोंटे कार्लो विधि), यानी। यादृच्छिक कारकों, घटनाओं, मात्राओं, प्रक्रियाओं, क्षेत्रों के मॉडल में प्रजनन।

सांख्यिकीय मॉडलिंग के परिणामों के अनुसार, नियंत्रित प्रणाली के कामकाज और दक्षता की विशेषता, सामान्य और विशेष, संभाव्य गुणवत्ता मानदंड का अनुमान निर्धारित किया जाता है। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में वैज्ञानिक और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए सांख्यिकीय मॉडलिंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जटिल गतिशील प्रणालियों के अध्ययन, उनके कामकाज और दक्षता के मूल्यांकन में सांख्यिकीय मॉडलिंग के तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय मॉडलिंग का अंतिम चरण प्राप्त परिणामों के गणितीय प्रसंस्करण पर आधारित है। यहां, गणितीय आँकड़ों के तरीकों का उपयोग किया जाता है (पैरामीट्रिक और गैर-पैरामीट्रिक अनुमान, परिकल्पना परीक्षण)। पैरामीट्रिक मूल्यांकन का एक उदाहरण प्रदर्शन माप का नमूना माध्य है। गैर पैरामीट्रिक विधियों में, सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है हिस्टोग्राम विधि.

माना योजना प्रणाली के कई सांख्यिकीय परीक्षणों और स्वतंत्र यादृच्छिक चर के आंकड़ों के तरीकों पर आधारित है। यह योजना व्यवहार में हमेशा स्वाभाविक और लागत के मामले में इष्टतम है। अधिक सटीक आकलन विधियों का उपयोग करके सिस्टम परीक्षण समय को कम किया जा सकता है। जैसा कि गणितीय आँकड़ों से जाना जाता है, किसी दिए गए नमूने के आकार के लिए उच्चतम सटीकता है प्रभावी आकलन. इष्टतम फ़िल्टरिंग और अधिकतम संभावना विधि देते हैं सामान्य विधिऐसे अनुमान प्राप्त करना सांख्यिकीय मॉडलिंग की समस्याओं में, न केवल आउटपुट प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं की प्राप्ति का प्रसंस्करण आवश्यक है।

इनपुट यादृच्छिक प्रभावों की विशेषताओं को नियंत्रित करना भी बहुत महत्वपूर्ण है। नियंत्रण में यह जाँचना शामिल है कि उत्पन्न प्रक्रियाओं के वितरण दिए गए वितरणों के अनुरूप हैं या नहीं। यह कार्य अक्सर के रूप में तैयार किया जाता है परिकल्पना परीक्षण कार्य.

जटिल नियंत्रित प्रणालियों के कंप्यूटर-समर्थित सिमुलेशन में सामान्य प्रवृत्ति सिमुलेशन समय को कम करने के साथ-साथ वास्तविक समय में अनुसंधान करने की इच्छा है। कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम को आसानी से एक आवर्तक रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो वर्तमान सूचना की गति से उनके कार्यान्वयन की अनुमति देता है।

मॉडलिंग में एक प्रणाली दृष्टिकोण के सिद्धांत

सिस्टम सिद्धांत के मूल तत्व

सिस्टम के सिद्धांत के मुख्य प्रावधान गतिशील प्रणालियों और उनके कार्यात्मक तत्वों के अध्ययन के दौरान उत्पन्न हुए। एक प्रणाली को परस्पर संबंधित तत्वों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जो एक पूर्व निर्धारित कार्य को करने के लिए एक साथ कार्य करते हैं। सिस्टम विश्लेषण आपको सबसे अधिक निर्धारित करने की अनुमति देता है वास्तविक तरीकेनिर्धारित कार्य की सिद्धि, निर्धारित आवश्यकताओं की अधिकतम संतुष्टि सुनिश्चित करना।

सिस्टम सिद्धांत का आधार बनाने वाले तत्व परिकल्पना की मदद से नहीं बनाए गए हैं, बल्कि प्रयोगात्मक रूप से खोजे गए हैं। एक प्रणाली का निर्माण शुरू करने के लिए, तकनीकी प्रक्रियाओं की सामान्य विशेषताओं का होना आवश्यक है। गणितीय रूप से तैयार मानदंड बनाने के सिद्धांतों के लिए भी यही सच है कि एक प्रक्रिया या उसके सैद्धांतिक विवरण को संतुष्ट करना चाहिए। मॉडलिंग सबसे में से एक है महत्वपूर्ण तरीकेवैज्ञानिक अनुसंधान और प्रयोग।

वस्तुओं के मॉडल का निर्माण करते समय, एक व्यवस्थित दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है, जो जटिल समस्याओं को हल करने के लिए एक पद्धति है, जो किसी वस्तु को एक निश्चित वातावरण में संचालित प्रणाली के रूप में मानने पर आधारित है। सिस्टम दृष्टिकोण में वस्तु की अखंडता का खुलासा, इसकी आंतरिक संरचना की पहचान और अध्ययन, साथ ही बाहरी वातावरण के साथ संबंध शामिल हैं। इस मामले में, वस्तु को वास्तविक दुनिया के एक हिस्से के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसे हल किए जा रहे मॉडल के निर्माण की समस्या के संबंध में पहचाना और अध्ययन किया जाता है। इसके अलावा, व्यवस्थित दृष्टिकोण में सामान्य से विशेष तक एक सतत संक्रमण शामिल होता है, जब विचार डिजाइन लक्ष्य पर आधारित होता है, और वस्तु को पर्यावरण के संबंध में माना जाता है।

एक जटिल वस्तु को उप-प्रणालियों में विभाजित किया जा सकता है, जो कि निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करने वाली वस्तु के हिस्से हैं:

1) सबसिस्टम वस्तु का कार्यात्मक रूप से स्वतंत्र हिस्सा है। यह अन्य उप-प्रणालियों से जुड़ा है, उनके साथ सूचना और ऊर्जा का आदान-प्रदान करता है;

2) प्रत्येक सबसिस्टम के लिए, ऐसे कार्यों या गुणों को परिभाषित किया जा सकता है जो पूरे सिस्टम के गुणों से मेल नहीं खाते;

3) प्रत्येक सबसिस्टम को तत्वों के स्तर पर और उप-विभाजित किया जा सकता है।

इस मामले में, एक तत्व को निचले स्तर के सबसिस्टम के रूप में समझा जाता है, जिसका आगे का विभाजन समस्या के समाधान के दृष्टिकोण से अनुचित है।

इस प्रकार, एक प्रणाली को इसके निर्माण, अनुसंधान या सुधार के उद्देश्य से उप-प्रणालियों, तत्वों और संबंधों के एक सेट के रूप में एक वस्तु के प्रतिनिधित्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। साथ ही, सिस्टम का एक बड़ा प्रतिनिधित्व, जिसमें मुख्य उपप्रणाली और उनके बीच कनेक्शन शामिल हैं, को मैक्रोस्ट्रक्चर कहा जाता है, और सिस्टम की आंतरिक संरचना के तत्वों के स्तर तक विस्तृत प्रकटीकरण को माइक्रोस्ट्रक्चर कहा जाता है।

प्रणाली के साथ, आमतौर पर एक सुपरसिस्टम होता है - एक उच्च स्तर की प्रणाली, जिसमें विचाराधीन वस्तु शामिल होती है, और किसी भी प्रणाली का कार्य केवल सुपरसिस्टम के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है।

पर्यावरण की अवधारणा को बाहरी दुनिया की वस्तुओं के एक समूह के रूप में उजागर करना आवश्यक है जो सिस्टम की दक्षता को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हैं, लेकिन सिस्टम और इसके सुपरसिस्टम का हिस्सा नहीं हैं।

मॉडल के निर्माण के लिए व्यवस्थित दृष्टिकोण के संबंध में, बुनियादी ढांचे की अवधारणा का उपयोग किया जाता है, जो अपने पर्यावरण (पर्यावरण) के साथ प्रणाली के संबंध का वर्णन करता है। इस मामले में, महत्वपूर्ण वस्तु के गुणों का चयन, विवरण और अध्ययन किसी विशिष्ट कार्य के भीतर किसी वस्तु का स्तरीकरण कहा जाता है, और किसी वस्तु का कोई भी मॉडल उसका स्तरीकृत विवरण होता है।

एक व्यवस्थित दृष्टिकोण के लिए, सिस्टम की संरचना को निर्धारित करना महत्वपूर्ण है, अर्थात। सिस्टम के तत्वों के बीच लिंक का सेट, उनकी बातचीत को दर्शाता है। ऐसा करने के लिए, हम पहले मॉडलिंग के संरचनात्मक और कार्यात्मक दृष्टिकोणों पर विचार करते हैं।

एक संरचनात्मक दृष्टिकोण के साथ, सिस्टम के चयनित तत्वों की संरचना और उनके बीच के लिंक का पता चलता है। तत्वों और संबंधों की समग्रता प्रणाली की संरचना का न्याय करना संभव बनाती है। संरचना का सबसे सामान्य विवरण एक स्थलीय विवरण है। यह आपको ग्राफ़ का उपयोग करके सिस्टम के घटकों और उनके संबंधों को परिभाषित करने की अनुमति देता है। कम सामान्य कार्यात्मक विवरण है जब व्यक्तिगत कार्यों पर विचार किया जाता है, अर्थात सिस्टम के व्यवहार के लिए एल्गोरिदम। साथ ही, एक कार्यात्मक दृष्टिकोण लागू किया जाता है जो सिस्टम द्वारा किए जाने वाले कार्यों को निर्धारित करता है।

एक व्यवस्थित दृष्टिकोण के आधार पर, मॉडल विकास का एक क्रम प्रस्तावित किया जा सकता है, जब डिजाइन के दो मुख्य चरणों को प्रतिष्ठित किया जाता है: मैक्रो-डिज़ाइन और माइक्रो-डिज़ाइन।

मैक्रो-डिज़ाइन चरण में, बाहरी वातावरण का एक मॉडल बनाया जाता है, संसाधनों और बाधाओं की पहचान की जाती है, एक सिस्टम मॉडल और पर्याप्तता का आकलन करने के लिए मानदंड का चयन किया जाता है।

माइक्रोडिजाइन का चरण काफी हद तक चुने गए विशिष्ट प्रकार के मॉडल पर निर्भर करता है। सामान्य स्थिति में, इसमें मॉडलिंग प्रणाली के लिए सूचना, गणितीय, तकनीकी और सॉफ्टवेयर समर्थन का निर्माण शामिल है। इस स्तर पर, निर्मित मॉडल की मुख्य तकनीकी विशेषताएं स्थापित की जाती हैं, इसके साथ काम करने का समय और मॉडल की दी गई गुणवत्ता प्राप्त करने के लिए संसाधनों की लागत का अनुमान लगाया जाता है।

मॉडल के प्रकार के बावजूद, इसे बनाते समय, व्यवस्थित दृष्टिकोण के कई सिद्धांतों द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है:

1) एक मॉडल बनाने के चरणों के माध्यम से निरंतर प्रगति;

2) सूचना, संसाधन, विश्वसनीयता और अन्य विशेषताओं का समन्वय;

3) सही अनुपात विभिन्न स्तरप्रतिरूप निर्माण;

4) मॉडल डिजाइन के व्यक्तिगत चरणों की अखंडता।

उदाहरण 1.5.1।

कुछ चलो आर्थिक क्षेत्रकई (एन) प्रकार के उत्पादों का उत्पादन विशेष रूप से अपने दम पर और केवल दिए गए क्षेत्र की आबादी के लिए करता है। यह माना जाता है कि तकनीकी प्रक्रिया पर काम किया गया है और इन सामानों के लिए जनसंख्या की मांग का अध्ययन किया गया है। उत्पादों के उत्पादन की वार्षिक मात्रा निर्धारित करना आवश्यक है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इस मात्रा को अंतिम और औद्योगिक खपत दोनों प्रदान करना चाहिए।

आइए इस समस्या का एक गणितीय मॉडल बनाते हैं। इसकी स्थिति के अनुसार, निम्नलिखित दिए गए हैं: उत्पादों के प्रकार, उनकी मांग और तकनीकी प्रक्रिया; प्रत्येक प्रकार के उत्पाद के लिए आउटपुट की मात्रा पाएं।

आइए हम ज्ञात मात्राओं को निरूपित करें:

सी मैं- जनता की मांग मैं-वें उत्पाद ( मैं=1,...,एन); ए आईजे- मात्रा मैं-वां उत्पाद इस तकनीक का उपयोग करके जे-वें उत्पाद की एक इकाई का उत्पादन करने के लिए आवश्यक है ( मैं=1,...,एन ; जे=1,...,एन);

एक्स मैं - आउटपुट की मात्रा मैं-वें उत्पाद ( मैं=1,...,एन); समग्रता साथ =(सी 1 ,..., सी एन ) मांग वेक्टर, संख्या कहा जाता है ए आईजे- तकनीकी गुणांक, और सेट एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स एन ) रिलीज वेक्टर है।

समस्या की स्थिति से, वेक्टर एक्स दो भागों में बांटा गया है: अंतिम खपत के लिए (वेक्टर साथ ) और प्रजनन (वेक्टर एक्स-एस ). वेक्टर के उस हिस्से की गणना करें एक्स जो प्रजनन के लिए जाता है। उत्पादन के लिए हमारे पदनामों के अनुसार एक्स जेजे-वें उत्पाद की मात्रा जाती है ए आईजे · एक्स जेमात्रा मैं-वें उत्पाद।

फिर योग ए i1 · एक्स 1 +...+ ए में · एक्स एनमान दर्शाता है मैं-वाँ उत्पाद, जिसकी आवश्यकता संपूर्ण उत्पादन के लिए होती है एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स एन ).

इसलिए, समानता होनी चाहिए:

इस तर्क को सभी प्रकार के उत्पादों तक विस्तारित करते हुए, हम वांछित मॉडल पर पहुंचते हैं:

के संबंध में n रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करना एक्स 1 ,...,एक्स एनऔर आवश्यक आउटपुट वेक्टर खोजें।

इस मॉडल को अधिक कॉम्पैक्ट (वेक्टर) रूप में लिखने के लिए, हम संकेतन प्रस्तुत करते हैं:

वर्ग (
) -आव्यूह एप्रौद्योगिकी मैट्रिक्स कहा जाता है। यह जांचना आसान है कि हमारा मॉडल अब इस तरह लिखा जाएगा: x-s=आहया

(1.6)

हमें क्लासिक मॉडल मिला " इनपुट आउटपुट ”, जिसके लेखक प्रसिद्ध अमेरिकी अर्थशास्त्री वी। लियोन्टीव हैं।

उदाहरण 1.5.2।

एक तेल रिफाइनरी में तेल के दो ग्रेड होते हैं: ग्रेड ए 10 इकाइयों की मात्रा में, ग्रेड में- 15 इकाइयां। तेल को संसाधित करते समय, दो सामग्रियां प्राप्त होती हैं: गैसोलीन (हम निरूपित करते हैं बी) और ईंधन तेल ( एम). प्रसंस्करण प्रौद्योगिकी के लिए तीन विकल्प हैं:

मैं: एक इकाई ए+ 2 इकाइयां में 3 इकाइयां देता है। बी+ 2 इकाइयां एम

द्वितीय: 2 इकाइयां ए+ 1 यूनिट में 1 यूनिट देता है। बी+ 5 इकाइयां एम

तृतीय: 2 यूनिट ए+ 2 इकाइयां में 1 यूनिट देता है। बी+ 2 इकाइयां एम

गैसोलीन की कीमत 10 डॉलर प्रति यूनिट है, ईंधन तेल 1 डॉलर प्रति यूनिट है।

तेल की उपलब्ध मात्रा को संसाधित करने के लिए तकनीकी प्रक्रियाओं का सबसे लाभप्रद संयोजन निर्धारित करना आवश्यक है।

मॉडलिंग से पहले, हम निम्नलिखित बिंदुओं को स्पष्ट करते हैं। यह समस्या की स्थितियों से अनुसरण करता है कि संयंत्र के लिए तकनीकी प्रक्रिया की "लाभप्रदता" को उसके तैयार उत्पादों (गैसोलीन और ईंधन तेल) की बिक्री से अधिकतम आय प्राप्त करने के अर्थ में समझा जाना चाहिए। इस संबंध में, यह स्पष्ट है कि संयंत्र का "चयन (निर्माण) निर्णय" यह निर्धारित करना है कि कौन सी तकनीक और कितनी बार लागू की जाए। जाहिर है, ऐसी कई संभावनाएं हैं।

आइए हम अज्ञात मात्राओं को निरूपित करें:

एक्स मैं- उपयोग की मात्रा मैं-वें तकनीकी प्रक्रिया (मैं = 1,2,3). मॉडल के अन्य पैरामीटर (तेल ग्रेड के भंडार, गैसोलीन और ईंधन तेल की कीमतें) ज्ञात.

अब एक विशिष्ट समाधानसंयंत्र एक वेक्टर की पसंद के लिए कम हो गया है एक्स = (एक्स 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) , जिसके लिए संयंत्र का राजस्व बराबर है (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) डॉलर। यहां, 32 डॉलर पहली तकनीकी प्रक्रिया के एक आवेदन से प्राप्त आय है (10 डॉलर 3 यूनिट। बी+ $1 2 यूनिट एम= $32). गुणांक 15 और 12 का क्रमशः दूसरी और तीसरी तकनीकी प्रक्रियाओं के लिए समान अर्थ है। तेल भंडार के लिए लेखांकन निम्नलिखित स्थितियों की ओर ले जाता है:

विविधता के लिए ए:

विविधता के लिए में:,

जहां पहली असमानता में गुणांक 1, 2, 2 के लिए ग्रेड ए तेल की खपत दर हैं डिस्पोजेबलतकनीकी प्रक्रियाएं मैं,द्वितीय,तृतीयक्रमश। दूसरी असमानता के गुणांक का ग्रेड बी तेल के लिए समान अर्थ है।

समग्र रूप से गणितीय मॉडल का रूप है:

ऐसा वेक्टर खोजें एक्स = (एक्स 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) बढ़ाने के लिए

एफ (एक्स) = 32x 1 +15x 2 +12x 3

शर्तें पूरी होने पर:

इस प्रविष्टि का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है:

प्रतिबंधों के तहत

(1.7)

हमें तथाकथित लीनियर प्रोग्रामिंग समस्या मिली।

मॉडल (1.7.) नियतात्मक प्रकार (अच्छी तरह से परिभाषित तत्वों के साथ) के अनुकूलन मॉडल का एक उदाहरण है।

उदाहरण 1.5.3।

निवेशक को एक निश्चित राशि के लिए उन्हें खरीदने के लिए स्टॉक, बॉन्ड और अन्य प्रतिभूतियों का सबसे अच्छा सेट निर्धारित करने की आवश्यकता होती है ताकि एक निश्चित लाभ प्राप्त किया जा सके। न्यूनतम जोखिमअपने आप के लिए। सुरक्षा में निवेश किए गए प्रत्येक डॉलर पर वापस लौटें जे-वें प्रकार, दो संकेतकों की विशेषता: अपेक्षित लाभ और वास्तविक लाभ। एक निवेशक के लिए यह वांछनीय है कि प्रति डॉलर निवेश पर अपेक्षित रिटर्न पूरे सेट के लिए हो मूल्यवान कागजातनिर्दिष्ट मूल्य से कम नहीं बी.

ध्यान दें कि इस समस्या के सही मॉडलिंग के लिए, एक गणितज्ञ को प्रतिभूतियों के पोर्टफोलियो सिद्धांत के क्षेत्र में कुछ बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता होती है।

आइए हम समस्या के ज्ञात मापदंडों को निरूपित करें:

एन- प्रतिभूतियों के प्रकारों की संख्या; ए जे- जे-वें प्रकार की सुरक्षा से वास्तविक लाभ (यादृच्छिक संख्या); से अपेक्षित लाभ है जेवें प्रकार की सुरक्षा।

अज्ञात मात्राओं को निरूपित करें :

वाई जे - प्रकार की प्रतिभूतियों की खरीद के लिए आवंटित धन जे.

हमारे अंकन में, निवेश की गई कुल राशि के रूप में व्यक्त किया गया है . मॉडल को सरल बनाने के लिए, हम नई मात्राएँ पेश करते हैं

.

इस प्रकार, एक्स मैं- यह प्रकार की प्रतिभूतियों की खरीद के लिए आवंटित सभी निधियों का हिस्सा है जे.

यह स्पष्ट है कि

समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि निवेशक का लक्ष्य न्यूनतम जोखिम के साथ एक निश्चित स्तर का लाभ प्राप्त करना है। अनिवार्य रूप से, जोखिम अपेक्षित लाभ से वास्तविक लाभ के विचलन का एक उपाय है। इसलिए, इसे टाइप I और टाइप j की प्रतिभूतियों के लिए लाभ सहप्रसरण के साथ पहचाना जा सकता है। यहाँ M गणितीय अपेक्षा का पदनाम है।

मूल समस्या के गणितीय मॉडल का रूप है:

प्रतिबंधों के तहत

,
,
,
. (1.8)

हमने प्रतिभूति पोर्टफोलियो की संरचना को अनुकूलित करने के लिए प्रसिद्ध मार्कोविट्ज़ मॉडल प्राप्त किया है।

मॉडल (1.8।) एक स्टोकेस्टिक प्रकार (यादृच्छिकता के तत्वों के साथ) के एक अनुकूलन मॉडल का एक उदाहरण है।

उदाहरण 1.5.4।

एक व्यापार संगठन के आधार पर, न्यूनतम वर्गीकरण के उत्पादों में से एक के प्रकार हैं। इस उत्पाद के केवल एक प्रकार को स्टोर पर डिलीवर किया जाना चाहिए। स्टोर में लाने के लिए सलाह दी जाने वाली वस्तुओं के प्रकार को चुनना आवश्यक है। यदि उत्पाद प्रकार जेमांग में होगा, तो स्टोर को इसकी बिक्री से लाभ होगा आर जे, अगर यह मांग में नहीं है - नुकसान क्यू जे .

मॉडलिंग से पहले, हम कुछ मूलभूत बिंदुओं पर चर्चा करेंगे। इस समस्या में निर्णय निर्माता (DM) स्टोर है। हालाँकि, परिणाम (अधिकतम लाभ प्राप्त करना) न केवल उसके निर्णय पर निर्भर करता है, बल्कि इस बात पर भी निर्भर करता है कि क्या आयातित सामान मांग में होंगे, अर्थात क्या उन्हें आबादी द्वारा खरीदा जाएगा (यह माना जाता है कि किसी कारण से स्टोर करता है जनसंख्या की मांग का अध्ययन करने का अवसर नहीं है)। इसलिए, जनसंख्या को दूसरे निर्णय निर्माता के रूप में माना जा सकता है, जो उनकी प्राथमिकताओं के अनुसार माल के प्रकार का चयन करता है। स्टोर के लिए आबादी का सबसे खराब "निर्णय" है: "आयातित सामान मांग में नहीं हैं।" इसलिए, सभी प्रकार की स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, स्टोर को अपने "प्रतिद्वंद्वी" (सशर्त) के रूप में आबादी पर विचार करने की आवश्यकता है, विपरीत लक्ष्य का पीछा करते हुए - स्टोर के लाभ को कम करने के लिए।

इसलिए, हमारे पास विपरीत लक्ष्यों का पीछा करने वाले दो प्रतिभागियों के साथ निर्णय लेने की समस्या है। आइए हम स्पष्ट करें कि स्टोर बिक्री के लिए सामानों में से एक प्रकार का चयन करता है (एन समाधान हैं), और आबादी सबसे अधिक मांग वाले सामानों में से एक का चयन करती है ( एनसमाधान विकल्प)।

एक गणितीय मॉडल को संकलित करने के लिए, हम एक तालिका बनाते हैं एनरेखाएँ और एनकॉलम (कुल एन 2 सेल) और सहमत हैं कि पंक्तियाँ स्टोर की पसंद के अनुरूप हैं, और कॉलम जनसंख्या की पसंद के अनुरूप हैं। फिर पिंजरा (मैं, जे)स्टोर चुनने पर स्थिति से मेल खाती है मैं-वें प्रकार का माल ( मैं-थ लाइन), और जनसंख्या चुनती है जे-वें प्रकार का माल ( जे-वें स्तंभ)। प्रत्येक सेल में, हम स्टोर के दृष्टिकोण से संबंधित स्थिति का एक संख्यात्मक मूल्यांकन (लाभ या हानि) लिखते हैं:

नंबर क्यू मैंस्टोर के नुकसान को दर्शाने के लिए ऋण के साथ लिखा गया; प्रत्येक स्थिति में, जनसंख्या का "अदायगी" (सशर्त रूप से) स्टोर के "अदायगी" के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिन्ह के साथ लिया जाता है।

इस मॉडल का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है:

(1.9)

हमें तथाकथित मैट्रिक्स गेम मिला। मॉडल (1.9.) गेम डिसीजन मेकिंग मॉडल का एक उदाहरण है।

सिस्टम के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, कई चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

पहला चरण।समस्या का निरूपण। चरण स्थितियों या समस्याओं की घटना से पहले होता है, जिसके बारे में जागरूकता कुछ प्रभाव की बाद की उपलब्धि के लिए उनके सामान्यीकरण या समाधान के विचार की ओर ले जाती है। इसके आधार पर, वस्तु का वर्णन किया जाता है, हल किए जाने वाले मुद्दों पर ध्यान दिया जाता है, और अध्ययन का उद्देश्य निर्धारित किया जाता है। यहां यह समझना आवश्यक है कि शोध के परिणामस्वरूप हम क्या प्राप्त करना चाहते हैं। पहले से, यह आकलन करना आवश्यक है कि क्या ये परिणाम दूसरे, सस्ते या अधिक सुलभ तरीके से प्राप्त किए जा सकते हैं।

दूसरा चरण।कार्य परिभाषा। शोधकर्ता यह निर्धारित करने की कोशिश करता है कि वस्तु किस प्रकार की है, वस्तु के राज्य मापदंडों, चर, विशेषताओं, पर्यावरणीय कारकों का वर्णन करता है। वस्तु की आंतरिक संरचना के नियमों को जानना, वस्तु की सीमाओं को रेखांकित करना, उसकी संरचना का निर्माण करना आवश्यक है। इस काम को सिस्टम आइडेंटिफिकेशन कहा जाता है। यहाँ से, शोध कार्य का चयन किया जाता है, जो निम्नलिखित प्रश्नों को हल कर सकता है: अनुकूलन, तुलना, मूल्यांकन, पूर्वानुमान, संवेदनशीलता विश्लेषण, कार्यात्मक संबंधों की पहचानऔर इसी तरह।

वैचारिक मॉडल हमें बाहरी वातावरण में सिस्टम की स्थिति का आकलन करने, इसके कामकाज के लिए आवश्यक संसाधनों की पहचान करने, पर्यावरणीय कारकों के प्रभाव और हम आउटपुट के रूप में क्या उम्मीद करते हैं, की अनुमति देता है।

अनुसंधान की आवश्यकता वास्तविक स्थितियों से उत्पन्न होती है जो प्रणाली के संचालन के दौरान विकसित होती हैं, जब वे किसी भी तरह से किसी भी पुरानी या नई आवश्यकताओं को पूरा करने में विफल होने लगती हैं। यदि कमियाँ स्पष्ट हैं और उन्हें दूर करने के तरीके ज्ञात हैं, तो शोध की कोई आवश्यकता नहीं है।

अध्ययन के कार्य के आधार पर, गणितीय मॉडल का उद्देश्य निर्धारित करना संभव है जिसे अध्ययन के लिए बनाया जाना चाहिए। ऐसे मॉडल समस्याओं को हल कर सकते हैं:

· कार्यात्मक संबंधों की पहचान करना, जिसमें मॉडल के इनपुट कारकों और अध्ययन के तहत वस्तु की आउटपुट विशेषताओं के बीच मात्रात्मक निर्भरता निर्धारित करना शामिल है;

संवेदनशीलता विश्लेषण, जिसमें कारकों को स्थापित करना शामिल है, में अधिकसिस्टम की आउटपुट विशेषताओं को प्रभावित करते हैं जो शोधकर्ता के लिए रुचि रखते हैं;

भविष्यवाणी - कुछ अपेक्षित संयोजन के लिए सिस्टम के व्यवहार का आकलन बाहरी परिस्थितियाँ;

आकलन - यह निर्धारित करना कि अध्ययन के तहत वस्तु कुछ मानदंडों को कितनी अच्छी तरह पूरा करेगी;

तुलना, जिसमें सीमित संख्या में वैकल्पिक प्रणालियों की तुलना करना या कई प्रस्तावित सिद्धांतों या कार्रवाई के तरीकों की तुलना करना शामिल है;

अनुकूलन कि सटीक परिभाषानियंत्रण चर का ऐसा संयोजन जो उद्देश्य समारोह के चरम मूल्य को सुनिश्चित करता है।

कार्य का चुनाव मॉडल बनाने और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करने की प्रक्रिया को निर्धारित करता है।

किसी भी शोध की शुरुआत एक योजना के निर्माण से होनी चाहिए जिसमें प्रणाली का सर्वेक्षण और उसके कामकाज का विश्लेषण शामिल हो। योजना में शामिल होना चाहिए:

वस्तु द्वारा कार्यान्वित कार्यों का विवरण;

सभी प्रणालियों और वस्तु के तत्वों की बातचीत का निर्धारण;

इनपुट और आउटपुट चर के बीच संबंध का निर्धारण और इन निर्भरताओं पर चर नियंत्रण क्रियाओं का प्रभाव;

· परिभाषा आर्थिक संकेतकप्रणाली की कार्यप्रणाली।

प्रणाली सर्वेक्षण के परिणाम और पर्यावरणके जैसा लगना वीकामकाज की प्रक्रिया का विवरण, जिसका उपयोग सिस्टम की पहचान करने के लिए किया जाता है। किसी प्रणाली की पहचान करने का अर्थ है उसे पहचानना और उसका अध्ययन करना, साथ ही साथ:

अधिक मिलना पूरा विवरणप्रणाली और इसका व्यवहार;

इसके आंतरिक संगठन के वस्तुनिष्ठ पैटर्न को जानने के लिए;

इसकी सीमाओं को रेखांकित करें;

इनपुट, प्रक्रिया और आउटपुट का संकेत दें;

उन पर प्रतिबंधों को परिभाषित करें;

इसके संरचनात्मक और गणितीय मॉडल बनाएं;

किसी औपचारिक सार भाषा में इसका वर्णन करें;

लक्ष्य निर्धारित करें, कनेक्शन मजबूर करें, सिस्टम के संचालन के लिए मानदंड।

सिस्टम की पहचान करने के बाद, एक वैचारिक मॉडल बनाया गया है, जो कि भविष्य के गणितीय मॉडल का "वैचारिक" आधार है। यह इष्टतमता मानदंड और बाधाओं की संरचना को दर्शाता है जो निर्धारित करते हैं मॉडल का लक्ष्य अभिविन्यास।गुणात्मक निर्भरताओं के औपचारिककरण के चरण में मात्रात्मक में अनुवाद इष्टतम मानदंड को एक उद्देश्य समारोह में बदल देता है, बाधाएं - संचार समीकरणों में, वैचारिक मॉडल - एक गणितीय में।

वैचारिक मॉडल के आधार पर, कोई भी निर्माण कर सकता है कारख़ाने काएक मॉडल जो वस्तु के मापदंडों, इनपुट और आउटपुट चर, पर्यावरणीय कारकों और नियंत्रण मापदंडों के बीच एक तार्किक संबंध स्थापित करता है, और इसे भी ध्यान में रखता है प्रतिक्रियाप्रणाली में।

तीसरा चरण। एक गणितीय मॉडल तैयार करना।गणितीय मॉडल का प्रकार काफी हद तक अध्ययन के उद्देश्य पर निर्भर करता है। गणितीय मॉडल गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में हो सकता है, जो है बीजगणितीय समीकरण, या एक असमानता जिसमें मॉडल, उद्देश्य फ़ंक्शन और कनेक्शन समीकरणों के किसी भी राज्य चर का निर्धारण करते समय कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया की शाखा नहीं होती है।

ऐसा मॉडल बनाने के लिए, निम्नलिखित अवधारणाएँ तैयार की जाती हैं:

· इष्टतमता मानदंड- शोधकर्ता द्वारा चुना गया एक संकेतक, जो, एक नियम के रूप में, एक पारिस्थितिक अर्थ रखता है, जो औपचारिक रूप से कार्य करता है विशिष्ट उद्देश्यअध्ययन की वस्तु का प्रबंधन और उद्देश्य समारोह का उपयोग करके व्यक्त किया गया;

· उद्देश्य समारोह - किसी वस्तु की एक विशेषता, एक इष्टतमता मानदंड के लिए आगे की खोज की स्थिति से स्थापित, गणितीय रूप से अध्ययन की वस्तु के एक या दूसरे कारक को जोड़ना। वस्तुनिष्ठ कार्य और इष्टतमता मानदंड अलग-अलग अवधारणाएँ हैं। उन्हें एक ही प्रकार के कार्यों या विभिन्न कार्यों द्वारा वर्णित किया जा सकता है;

· प्रतिबंध- व्यवहार्य, स्वीकार्य या स्वीकार्य समाधानों के क्षेत्र को सीमित करने और वस्तु के मुख्य आंतरिक और बाहरी गुणों को ठीक करने की सीमा। बाधाएं अध्ययन के क्षेत्र, प्रक्रियाओं के पाठ्यक्रम, वस्तु के मापदंडों और कारकों में परिवर्तन की सीमा निर्धारित करती हैं।

सिस्टम के निर्माण में अगला कदम एक गणितीय मॉडल का निर्माण है, जिसमें कई प्रकार के कार्य शामिल हैं: गणितीय औपचारिकता, संख्यात्मक प्रतिनिधित्व, मॉडल विश्लेषण और इसे हल करने के लिए एक विधि का विकल्प।

गणितीय औपचारिकतावैचारिक मॉडल के अनुसार किया गया। औपचारिक रूप देते समय, तीन मुख्य स्थितियों पर विचार किया जाता है:

1) वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने वाले समीकरण ज्ञात हैं। इस मामले में, प्रत्यक्ष समस्या को हल करके, किसी दिए गए इनपुट सिग्नल पर ऑब्जेक्ट की प्रतिक्रिया मिल सकती है;

2) एक व्युत्क्रम समस्या, जब किसी दिए गए गणितीय विवरण और एक ज्ञात प्रतिक्रिया के अनुसार, इस प्रतिक्रिया का कारण बनने वाले इनपुट सिग्नल को खोजना आवश्यक है;

3) वस्तु का गणितीय विवरण अज्ञात है, लेकिन इनपुट और संबंधित आउटपुट संकेतों के सेट हैं या दिए जा सकते हैं। इस मामले में, हम वस्तु पहचान की समस्या से निपट रहे हैं।

तीसरी स्थिति में उत्पादन और पर्यावरणीय वस्तुओं को मॉडलिंग करते समय, पहचान की समस्या को हल करते समय, एन वीनर द्वारा प्रस्तावित दृष्टिकोण, और "ब्लैक बॉक्स" विधि के रूप में जाना जाता है, का उपयोग किया जाता है। समग्र रूप से वस्तु को उसकी जटिलता के कारण "ब्लैक बॉक्स" माना जाता है। क्योंकि आंतरिक संगठनऑब्जेक्ट अज्ञात है, हम इनपुट और आउटपुट ढूंढकर "ब्लैक बॉक्स" का अध्ययन कर सकते हैं। इनपुट और आउटपुट की तुलना करके हम संबंध लिख सकते हैं

वाई = एएक्स,

कहाँ एक्स-वेक्टर इनपुट पैरामीटर; वाई-आउटपुट मापदंडों का वेक्टर; एएक ऑब्जेक्ट ऑपरेटर है जो रूपांतरित करता है एक्सवी वाईपहचान की समस्याओं में गणितीय निर्भरता के रूप में किसी वस्तु का वर्णन करने के लिए, प्रतिगमन विश्लेषण के तरीकों का उपयोग किया जाता है। इस मामले में, विभिन्न गणितीय मॉडलों के साथ किसी वस्तु का वर्णन करना संभव है, क्योंकि इसकी आंतरिक संरचना के बारे में उचित निर्णय लेना असंभव है।

गणितीय विवरण की पद्धति को चुनने का आधार कंप्यूटर की पारिस्थितिक और गणितीय विधियों, क्षमताओं और विशेषताओं की एक विस्तृत श्रृंखला की वर्णित वस्तु के कामकाज की भौतिक प्रकृति का ज्ञान है, जिस पर सिमुलेशन की योजना बनाई गई है। विचाराधीन कई परिघटनाओं के लिए, काफी प्रसिद्ध गणितीय विवरण और विशिष्ट गणितीय मॉडल हैं। एक विकसित कंप्यूटर सॉफ्टवेयर सिस्टम के साथ, मानक कार्यक्रमों का उपयोग करके कई मॉडलिंग प्रक्रियाएं की जा सकती हैं।

मूल गणितीय मॉडल सिस्टम के अध्ययन और वास्तविक स्थितियों में परीक्षण किए गए लोगों के आधार पर लिखे जा सकते हैं। नए अध्ययन करने के लिए, ऐसे मॉडलों को नई परिस्थितियों में समायोजित किया जाता है।

प्रारंभिक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल, भौतिक प्रकृतिजो ज्ञात हैं वे उन सूत्रों और निर्भरताओं के रूप में लिखे गए हैं जो इन प्रक्रियाओं के लिए स्थापित हैं। एक नियम के रूप में, स्थैतिक समस्याओं को रूप में व्यक्त किया जाता है बीजगणितीय भाव, गतिशील - अंतर या परिमित-अंतर समीकरणों के रूप में।

संख्यात्मक प्रतिनिधित्वकंप्यूटर पर कार्यान्वयन के लिए इसे तैयार करने के लिए मॉडल तैयार किया जाता है। संख्यात्मक मान सेट करना कठिन नहीं है। व्यापक सांख्यिकीय जानकारी और प्रायोगिक परिणामों की कॉम्पैक्ट प्रस्तुति में जटिलताएँ उत्पन्न होती हैं।

सारणीबद्ध मानों को एक विश्लेषणात्मक रूप में परिवर्तित करने की मुख्य विधियाँ हैं: प्रक्षेप, सन्निकटन और बहिर्वेशन।

इंटरपोलेशन -किसी भी मात्रा का उसी या उससे जुड़ी अन्य मात्राओं के ज्ञात व्यक्तिगत मूल्यों द्वारा अनुमानित या सटीक खोज।

सन्निकटन- कुछ गणितीय वस्तुओं का दूसरों द्वारा प्रतिस्थापन, एक अर्थ में या मूल के करीब। सन्निकटन आपको अन्वेषण करने की अनुमति देता है संख्यात्मक विशेषताएंऔर वस्तु के गुणात्मक गुण, सरल या अधिक सुविधाजनक वस्तुओं के अध्ययन के लिए समस्या को कम करना।

एक्सट्रपलेशन -इसके दायरे से बाहर एक समारोह की निरंतरता, जिसमें निरंतर कार्य दिए गए वर्ग से संबंधित है। किसी फ़ंक्शन का एक्सट्रपलेशन आमतौर पर फ़ार्मुलों का उपयोग करके किया जाता है जो परिभाषा के डोमेन से संबंधित एक्सट्रपलेशन नोड्स कहे जाने वाले बिंदुओं के कुछ परिमित सेट पर फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में जानकारी का उपयोग करते हैं।

निर्माण का अगला चरण है परिणामी मॉडल का विश्लेषणऔर विधि का चुनावउसके फैसले। मॉडल की आउटपुट विशेषताओं के मूल्यों की गणना करने का आधार कंप्यूटर पर समस्या को हल करने के लिए इसके आधार पर संकलित एल्गोरिथम है। इस तरह के एक एल्गोरिथ्म का विकास और प्रोग्रामिंग, एक नियम के रूप में, मौलिक कठिनाइयों का सामना नहीं करता है।

विशेष रूप से मल्टीफैक्टोरियल मॉडल के लिए स्वीकार्य क्षेत्रों में मौजूद आउटपुट विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया का संगठन अधिक कठिन है। अनुकूलन मॉडल के आधार पर समाधानों की खोज करना और भी कठिन है। बिना खोजे वर्णित वस्तु गणितीय मॉडल के लिए सबसे सही और पर्याप्त इष्टतम मूल्यअनुपयोगी, इसका उपयोग नहीं किया जा सकता।

इष्टतम समाधान खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म के विकास में मुख्य भूमिका गणितीय मॉडल के कारकों की प्रकृति, इष्टतमता मानदंड की संख्या, उद्देश्य फ़ंक्शन के प्रकार और संचार समीकरणों द्वारा निभाई जाती है, उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधाओं का प्रकार पारिस्थितिक-गणितीय मॉडल को हल करने के लिए एक और तीन मुख्य तरीकों का चुनाव निर्धारित करता है:

· विश्लेषणात्मक अनुसंधान;

संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके अनुसंधान;

· एक कंप्यूटर पर प्रायोगिक अनुकूलन के तरीकों का उपयोग करके एल्गोरिथम मॉडल का अध्ययन।

विश्लेषणात्मक तरीकोंइसमें भिन्नता है, वांछित चर के सटीक मूल्य के अलावा, वे तैयार किए गए सूत्र के रूप में इष्टतम समाधान दे सकते हैं, जिसमें बाहरी वातावरण की विशेषताएं और प्रारंभिक स्थितियां शामिल हैं, जिन्हें शोधकर्ता बदल सकता है सूत्र को बदले बिना एक विस्तृत श्रृंखला।

संख्यात्मक तरीकेएक निश्चित एल्गोरिथ्म के अनुसार बार-बार गणना करके एक समाधान प्राप्त करना संभव बनाता है जो एक या किसी अन्य संख्यात्मक पद्धति को लागू करता है। चूंकि गणना के लिए प्रारंभिक डेटा का उपयोग किया जाता है संख्यात्मक मूल्यवस्तु, पर्यावरण और प्रारंभिक स्थितियों का पैरामीटर। संख्यात्मक तरीके पुनरावृत्त प्रक्रियाएं हैं: अगले गणना चरण (नियंत्रित चर के एक नए मूल्य के साथ) के लिए, पिछली गणनाओं के परिणामों का उपयोग किया जाता है, जिससे गणना प्रक्रिया में बेहतर परिणाम प्राप्त करना संभव हो जाता है और इस तरह इष्टतम समाधान मिल जाता है।

किसी विशेष के गुण एल्गोरिथम मॉडल,जिस पर इष्टतम समाधान खोज एल्गोरिथ्म आधारित है, उदाहरण के लिए, इसकी रैखिकता या उत्तलता, केवल इसके साथ प्रयोग करने की प्रक्रिया में निर्धारित की जा सकती है, और इसलिए, कंप्यूटर पर तथाकथित प्रायोगिक अनुकूलन विधियों का उपयोग इसके मॉडल को हल करने के लिए किया जाता है। कक्षा। इन विधियों का उपयोग करते समय, एक एल्गोरिदम द्वारा गणना के परिणामों के आधार पर इष्टतम समाधान के लिए चरण-दर-चरण दृष्टिकोण किया जाता है जो अध्ययन के तहत सिस्टम के संचालन को अनुकरण करता है। तरीके खोज के सिद्धांतों पर आधारित हैं इष्टतम समाधानसंख्यात्मक तरीकों में, लेकिन उनके विपरीत, एल्गोरिथम और अनुकूलन कार्यक्रम के विकास के लिए सभी क्रियाएं मॉडल डेवलपर द्वारा की जाती हैं।

यादृच्छिक पैरामीटर वाली समस्याओं के सिमुलेशन मॉडलिंग को आमतौर पर सांख्यिकीय मॉडलिंग कहा जाता है।

एक मॉडल बनाने में अंतिम चरण इसके विवरण का संकलन है, जिसमें मॉडल का अध्ययन करने के लिए आवश्यक जानकारी, इसके आगे उपयोग, साथ ही सभी सीमाएं और धारणाएं शामिल हैं। मॉडल के निर्माण और मान्यताओं के निर्माण में कारकों का सावधानीपूर्वक और पूर्ण विचार मॉडल की सटीकता का आकलन करना और इसके परिणामों की व्याख्या में त्रुटियों से बचना संभव बनाता है।

· चौथा चरण. गणना।समस्या को हल करते समय, गणितीय मॉडल में शामिल सभी मात्राओं के आयामों को ध्यान से समझना और उन सीमाओं (सीमाओं) को निर्धारित करना आवश्यक है जिनके भीतर वांछित उद्देश्य फ़ंक्शन झूठ होगा, साथ ही गणना की आवश्यक सटीकता भी। यदि संभव हो, तो यह सुनिश्चित करने के लिए कि उद्देश्य फ़ंक्शन नहीं बदलता है, गणना कई बार स्थिर परिस्थितियों में की जाती है।

· पांचवां चरण. परिणामों का वितरण।वस्तु के अध्ययन के परिणाम मौखिक या लिखित रूप में जारी किए जा सकते हैं। उन्हें शामिल करना चाहिए संक्षिप्त वर्णनअध्ययन का उद्देश्य, अध्ययन का उद्देश्य, गणितीय मॉडल, गणितीय मॉडल को चुनते समय की गई धारणाएँ, गणना के मुख्य परिणाम, सामान्यीकरण और निष्कर्ष।